Конечни и бесконечни децимални дропки. Заеднички и децимални дропки и операции на нив Што е крајна дропка

дробен број.

Децимална ознака на дробен броје збир од две или повеќе цифри од $0$ до $9$, меѓу кои има т.н. \textit (децимална точка).

Пример 1

На пример, $35,02 $; 100,7 долари; $123\$456,5; 54,89 долари.

Најлевата цифра во децималната ознака на бројот не може да биде нула, единствениот исклучок е кога децималната точка е веднаш по првата цифра $0$.

Пример 2

На пример, 0,357 $; 0,064 долари.

Често децималната точка се заменува со децимална точка. На пример, $35,02 $; 100,7 долари; $123\456,5 $; 54,89 долари.

Децимална дефиниција

Дефиниција 1

Децимали-- ова се дробни броеви кои се претставени во децимална нотација.

На пример, 121,05 долари; 67,9 долари; 345,6700 долари.

Децималите се користат за покомпактно запишување правилни дропки, чии именители се броевите $10$, $100$, $1\000$ итн. и мешани броеви, чиишто именители на дробниот дел се броевите $10$, $100$, $1\000$ итн.

На пример, заедничката дропка $\frac(8)(10)$ може да се напише како децимална дропка $0,8$, и мешан број$405\frac(8)(100)$ -- како децимална дропка од $405,08$.

Читање децимали

Децималните фракции, кои одговараат на правилни дропки, се читаат исто како и обичните дропки, само пред се додава фразата „нула цел број“. На пример, заедничката дропка $\frac(25)(100)$ (читај „дваесет и пет стотинки“) одговара на децималната дропка $0,25$ (читај „нулта точка дваесет и пет стотинки“).

Децималните дропки кои одговараат на мешани броеви се читаат на ист начин како и мешаните броеви. На пример, мешаниот број $43\frac(15)(1000)$ одговара на децималната дропка $43,015$ (читај „четириесет и три точки петнаесет илјадити“).

Места во децимали

При пишување децимална дропка, значењето на секоја цифра зависи од нејзината положба. Оние. кај децималните дропки се применува и концептот категорија.

Местата во децималните дропки пред децималната точка се нарекуваат исто како местата во природни броеви. Децималните места по децималната точка се наведени во табелата:

Слика 1.

Пример 3

На пример, во децималната дропка $56,328 $, цифрата $5 $ е на десетици, $6 $ е на местото на единиците, $3 $ е на десетото место, $2 $ е на стотинката, $8 $ е на илјадити место.

Местата во децималните дропки се разликуваат по предност. Кога читате децимална дропка, движете се од лево кон десно - од Сениорранг до помлади.

Пример 4

На пример, во децималната дропка $56,328 $, најзначајното (највисоко) место е местото на десетици, а ниското (најниското) место е илјадитиното место.

Децимална дропка може да се прошири на цифри слични на разградувањето на цифрите на природен број.

Пример 5

На пример, да ја разложиме децималната дропка $37,851$ на цифри:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Завршни децимали

Дефиниција 2

Завршни децималисе нарекуваат децимални дропки чии записи содржат конечен бројзнаци (цифри).

На пример, $0,138 $; 5,34 долари; $56,123456 $; 350.972,54 долари.

Секоја конечна децимална дропка може да се претвори во дропка или мешан број.

Пример 6

На пример, последната децимална дропка $7,39$ одговара фракционен број$7\frac(39)(100)$, а конечната децимална дропка $0.5$ одговара на точната заедничка дропка$\frac(5)(10)$ (или која било дропка што е еднаква на него, како што се $\frac(1)(2)$ или $\frac(10)(20)$.

Претворање на дропка во децимален број

Конвертирање на дропки со именители $10, 100, \dots$ во децимали

Пред да конвертирате некои правилни дропки во децимали, тие прво мора да се „подготват“. Резултатот од таквата подготовка треба да биде ист број цифри во броителот и ист број нули во именителот.

Суштината на „прелиминарната подготовка“ на правилните обични дропки за претворање во децимални фракции е додавање на таков број нули лево во броителот што вкупниот број на цифри станува еднаков на бројот на нули во именителот.

Пример 7

На пример, да ја подготвиме дропот $\frac(43)(1000)$ за конверзија во децимален и да добиеме $\frac(043)(1000)$. А на обичната дропка $\frac(83)(100)$ не и треба никаква подготовка.

Ајде да формулираме правило за претворање на правилна заедничка дропка со именител од $10$, или $100$, или $1\000$, $\dots$ во децимална дропка:

напишете $0$;

откако ќе стави децимална точка;

запишете го бројот од броителот (заедно со додадените нули по подготовката, доколку е потребно).

Пример 8

Претворете ја соодветната дропка $\frac(23)(100)$ во децимален број.

Решение.

Именителот го содржи бројот $100$, кој содржи $2$ и две нули. Бројачот го содржи бројот $23$ кој се пишува со $2$.цифри. Ова значи дека нема потреба да се подготвува оваа дропка за претворање во децимален број.

Ајде да напишеме $0$, да ставиме децимална точка и да го запишеме бројот $23$ од броителот. Ја добиваме децималната дропка $0,23$.

Одговори: $0,23$.

Пример 9

Правилната дропка $\frac(351)(100000)$ запишете ја како децимална.

Решение.

Броителот на оваа дропка содржи цифри од $3$, а бројот на нули во именителот е $5$, така што оваа обична дропка мора да биде подготвена за претворање во децимална. За да го направите ова, треба да додадете $5-3=2$ нули лево во броителот: $\frac(00351)(100000)$.

Сега можеме да ја формираме саканата децимална дропка. За да го направите ова, запишете $0$, потоа додадете запирка и запишете го бројот од броителот. Ја добиваме децималната дропка $0,00351$.

Одговори: $0,00351$.

Ајде да формулираме правило за претворање на неправилни дропки со именители $10$, $100$, $\dots$ во децимални дропки:

запишете го бројот од броителот;

Користете децимална точка за да одвоите онолку цифри од десната страна колку што има нули во именителот на првобитната дропка.

Пример 10

Претворете ја неправилната дропка $\frac(12756)(100)$ во децимален број.

Решение.

Ајде да го запишеме бројот од броителот $12756$, а потоа да ги одвоиме цифрите од 2$ од десната страна со децимална точка, бидејќи именителот на првобитната дропка $2$ е нула. Ја добиваме децималната дропка 127,56 $.

Децималите се поделени во следните три класи: конечни децимали, бесконечни периодични децимали и бесконечни непериодични децимали.

Завршни децимали

Дефиниција . Конечна децимална дропка (децимална дропка)наречен дропка или мешан број со именител 10, 100, 1000, 10000 итн.

На пример,

Децималните дропки ги вклучуваат и оние дропки кои можат да се редуцираат на дропки со именител 10, 100, 1000, 10000 итн., користејќи го основното својство на дропките.

На пример,

Изјава . Нередуцирана проста дропка или несведлив мешан нецел број е конечна децимална дропка ако и само ако размножувањето на нивните именители во прости множители ги содржи само броевите 2 и 5 како множители и во произволни сили.

За децимални дропки постои посебен метод на снимање , користејќи запирка. Лево од децималната точка е запишан целиот дел од дропката, а десно е броителот на дробниот дел, пред кој се собира таков број на нули така што бројот на цифрите по децималната точка е еднаков на бројот на нули во именителот на децималната дропка.

На пример,

Забележете дека децималната дропка нема да се промени ако додадете неколку нули десно или лево од неа.

На пример,

3,14 = 3,140 =
= 3,1400 = 003,14 .

Броевите пред децималната точка (лево од децималната точка) во децимална ознака на конечна децимална дропка, формирајте повикан број цел делдецимална.

Броевите по децималната точка (десно од децималната точка) во децималната ознака на конечната децимална дропка се нарекуваат децимали.

Конечната децимала има конечен број на децимали. Се формираат децимали фракционо дел од децимална.

Множење и делење децимали со 10, 100, 1000 итн.

Со цел да се помножи децимална со 10, 100, 1000, 10000 итн., доволно поместете ја запирката надесноод 1, 2, 3, 4, итн. децимали соодветно.

Има уште едно претставување на рационалниот број 1/2, различно од претставите на формата 2/4, 3/6, 4/8 итн. Се мисли на претставување во форма на децимална дропка 0,5. Некои дропки имаат конечни децимални претстави, на пр.

додека децималните претстави на другите дропки се бесконечни:

Овие бесконечни децимали може да се добијат од соодветните рационални дропки со делење на броителот со именителот. На пример, во случајот со дропот 5/11, со делење 5.000... со 11 се добива 0,454545...

Кои рационални дропки имаат конечни децимални претстави? Пред да одговориме на ова прашање воопшто, ајде да погледнеме конкретен пример. Да ја земеме, да речеме, конечната децимална дропка 0,8625. Ние го знаеме тоа

и дека секоја конечна децимална дропка може да се запише како рационална децимална дропка со именител еднаков на 10, 100, 1000 или некоја друга моќност од 10.

Намалувајќи ја дропката од десната страна на нескратлива дропка, добиваме

Именителот на 80 се добива со делење на 10.000 со 125 - најголемиот заеднички делител на 10.000 и 8625. Затоа, простата факторизација на бројот 80, како и бројот 10.000, вклучува само два прости множители: 2 и 5. Ако не започнете со 0, 8625 и со која било друга конечна децимална дропка, тогаш добиената нередуцирана рационална дропка исто така би го имала ова својство. Со други зборови, проширувањето на именителот b во прости множители може да ги вклучи само простите броеви 2 и 5, бидејќи b е делител на некоја моќност од 10, a . Оваа околност се покажува како одлучувачка, имено, важи следнава општа изјава:

Нередуцираната рационална дропка има конечна децимална претстава ако и само ако бројот b нема прости множители 2 и 5.

Забележете дека b не мора да ги има двата броја 2 и 5 меѓу неговите прости множители: тој може да биде делив само со еден од нив или воопшто да не се дели со нив. На пример,

овде b е еднакво на 25, 16 и 1, соодветно. Она што е значајно е дека b нема други делители освен 2 и 5.

Горенаведената реченица го содржи изразот ако и само ако. Досега само тогаш го докажавме делот што се однесува на прометот. Ние покажавме дека разложувањето на рационален број на децимална дропка ќе биде конечно само во случај кога b нема прости множители освен 2 и 5.

(Со други зборови, ако b е делив со прост број различен од 2 и 5, тогаш нередуцираната дропка нема конечен децимален израз.)

Тогашниот дел од реченицата вели дека ако цел број b нема прости множители освен 2 и 5, тогаш нередуцираната рационална дропка може да се претстави со конечна децимална дропка. За да го докажеме ова, мора да земеме произволен несведлив рационална дропка, за кои b нема прости множители освен 2 и 5 и проверете дали соодветната децимална дропка е конечна. Ајде прво да погледнеме пример. Нека

За да се добие децималното проширување, ја трансформираме оваа дропка во дропка чиј именител е цел број од десет. Ова може да се постигне со множење на броителот и именителот со:

Горенаведеното размислување може да се прошири на општиот случај на следниов начин. Да претпоставиме дека b е од формата , каде што типот е ненегативни цели броеви (т.е. позитивни броеви или нула). Можни се два случаи: или помал или еднаков (овој услов е напишан), или поголем (што е напишано). Кога ќе ги помножиме броителот и именителот на дропката со

Бидејќи цел број не е негативен (т.е. позитивен или еднаков на нула), тогаш , и затоа a е позитивен цел број. Ајде да го ставиме. Потоа

Се сеќавате како во првата лекција за децимали реков дека има нумерички дропки кои не можат да се претстават како децимали (види лекција „Децимали“)? Научивме и како да ги факторизираме именителот на дропките за да видиме дали има други броеви освен 2 и 5.

Значи: лажев. И денес ќе научиме како да ја претвориме апсолутно секоја нумеричка дропка во децимална. Истовремено ќе се запознаеме со цела класа дропки со бесконечен значаен дел.

Периодична децимала е која било децимала која:

1. Значајниот дел се состои од бесконечен број цифри;
2. Во одредени интервали се повторуваат бројките во значајниот дел.

Множеството цифри што се повторуваат што го сочинуваат значајниот дел се нарекува периодичен дел од дропка, а бројот на цифри во ова множество се нарекува период на дропката. Преостанатиот сегмент од значајниот дел, кој не се повторува, се нарекува непериодичен дел.

Бидејќи има многу дефиниции, вреди да се разгледаат неколку од овие фракции во детали:

Оваа фракција најчесто се појавува во проблеми. Непериодичен дел: 0; периодичен дел: 3; должина на периодот: 1.

Непериодичен дел: 0,58; периодичен дел: 3; должина на периодот: повторно 1.

Непериодичен дел: 1; периодичен дел: 54; должина на периодот: 2.

Непериодичен дел: 0; периодичен дел: 641025; должина на периодот: 6. За погодност, повторливите делови се одделени еден од друг со празно место - тоа не е неопходно во ова решение.

Непериодичен дел: 3066; периодичен дел: 6; должина на периодот: 1.

Како што можете да видите, дефиницијата за периодична дропка се заснова на концептот значителен дел од бројката. Затоа, ако сте заборавиле што е тоа, препорачувам да го повторите - видете ја лекцијата „“.

Премин во периодична децимална дропка

Размислете за обична дропка од формата a /b. Да го разделиме неговиот именител во прости множители. Постојат две опции:

1. Проширувањето содржи само фактори 2 и 5. Овие дропки лесно се претвораат во децимали - видете ја лекцијата „Децимали“. Ние не сме заинтересирани за такви луѓе;
2. Има нешто друго во проширувањето освен 2 и 5. Во овој случај, дропот не може да се претстави како децимален, но може да се претвори во периодична децимала.

За да дефинирате периодична децимална дропка, треба да ги најдете нејзините периодични и непериодични делови. Како? Претворете ја дропката во неправилна дропка, а потоа поделете го броителот со именителот користејќи агол.

Ќе се случи следново:

1. Прво ќе се раздели цел дел, доколку постои;
2. Може да има неколку броеви по децималната точка;
3. По некое време бројките ќе почнат повторете.

Тоа е се! Броевите кои се повторуваат по децималната запирка се означуваат со периодичен дел, а оние пред се означени со непериодичен дел.

Задача. Претворете ги обичните дропки во периодични децимали:

Сите дропки без цел број, затоа едноставно го делиме броителот со именителот со „агол“:

Како што можете да видите, останатите се повторуваат. Да ја запишеме дропката во „точна“ форма: 1,733 ... = 1,7(3).

Резултатот е дропка: 0,5833 ... = 0,58 (3).

Го пишуваме во нормална форма: 4.0909 ... = 4,(09).

Добиваме дропка: 0,4141 ... = 0,(41).

Премин од периодична децимална дропка во обична дропка

Размислете за периодичната децимална дропка X = abc (a 1 b 1 c 1). Потребно е да се претвори во класичен „двокатен“. За да го направите ова, следете четири едноставни чекори:

1. Најдете го периодот на дропката, т.е. брои колку цифри има во периодичниот дел. Нека ова е бројот k;
2. Најдете ја вредноста на изразот X · 10 k. Ова е еквивалентно на поместување на децималната точка надесно цел период - видете ја лекцијата „Множење и делење децимали“;
3. Оригиналниот израз мора да се одземе од добиениот број. Во овој случај, периодичниот дел е „изгорен“ и останува заедничка дропка;
4. Најдете X во добиената равенка. Сите децимални дропки ги претвораме во обични дропки.

Задача. Намали на обични неправилна дропкаброеви:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Работиме со првата дропка: X = 9,(6) = 9,666 ...

Заградите содржат само една цифра, така што периодот е k = 1. Потоа, оваа дропка ја множиме со 10 k = 10 1 = 10. Имаме:

10X = 10 9,6666... ​​= 96,666...

Одземете ја првобитната дропка и решете ја равенката:

10X − X = 96,666 ... − 9,666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Сега да ја погледнеме втората дропка. Значи X = 32, (39) = 32,393939...

Период k = 2, па помножете сè со 10 k = 10 2 = 100:

100X = 100 · 32,393939 ... = 3239,3939 ...

Повторно одземете ја првобитната дропка и решете ја равенката:

100X − X = 3239,3939 ... − 32,3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Да преминеме на третата дропка: X = 0,30(5) = 0,30555... Дијаграмот е ист, па јас само ќе ги дадам пресметките:

Период k = 1 ⇒ помножете сè со 10 k = 10 1 = 10;

10X = 10 0,30555... = 3,05555...
10X − X = 3,0555 ... − 0,305555 ... = 2,75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Конечно, последната дропка: X = 0,(2475) = 0,2475 2475... Повторно, за погодност, периодичните делови се одделени еден од друг со празни места. Ние имаме:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10.000;
10.000X = 10.000 0,2475 2475 = 2475,2475 ...
10.000X − X = 2475,2475 ... − 0,2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

До рационален број m/n се пишува како децимална дропка, треба да го поделите броителот со именителот. Во овој случај, количникот се запишува како конечна или бесконечна децимална дропка.

Напиши даден бројкако децимална дропка.

Решение. Поделете го броителот на секоја дропка во колона со неговиот именител: А)подели 6 на 25; б)подели 2 на 3; V)поделете 1 на 2, а потоа додадете ја добиената дропка на еден - целиот дел од овој мешан број.

Несведливи обични дропки чиишто именители не содржат прости множители освен 2 И 5 , се пишуваат како конечна децимална дропка.

ВО пример 1кога А)именителот 25=5·5; кога V)именителот е 2, па ги добиваме конечните децимали од 0,24 и 1,5. Кога б)именителот е 3, така што резултатот не може да се запише како конечна децимала.

Дали е можно, без долго делење, да се претвори во децимална дропка таква обична дропка, чиј именител не содржи други делители освен 2 и 5? Ајде да го сфатиме! Која дропка се нарекува децимала и се пишува без дропка? Одговор: дропка со именител 10; 100; 1000, итн. И секој од овие бројки е производ еднаквиброј на две и петки. Всушност: 10=2 ·5 ; 100=2 ·5 ·2 ·5 ; 1000=2 ·5 ·2 ·5 ·2 ·5 итн.

Следствено, именителот на нередуцирана обична дропка ќе треба да се претстави како производ од „два“ и „пет“, а потоа да се помножи со 2 и (или) 5, така што „два“ и „пет“ ќе станат еднакви. Тогаш именителот на дропката ќе биде еднаков на 10 или 100 или 1000 итн. За да се осигураме дека вредноста на дропката не се менува, го множиме броителот на дропката со истиот број со кој го помноживме именителот.

Следниве заеднички дропки изразете ги како децимали:

Решение. Секоја од овие фракции е нередуцирана. Ајде да го факторизираме именителот на секоја дропка во прости множители.

20=2·2·5. Заклучок: недостасува едно „А“.

8=2·2·2. Заклучок: недостасуваат три „А“.

25=5·5. Заклучок: недостигаат две „два“.

Коментар.Во пракса, тие често не користат размножување на именителот, туку едноставно го поставуваат прашањето: за колку треба да се помножи именителот, така што резултатот е еден со нули (10 или 100 или 1000 итн.). И тогаш броителот се множи со истиот број.

Значи, во случај А)(пример 2) од бројот 20 можете да добиете 100 со множење со 5, затоа, треба да ги помножите броителот и именителот со 5.

Кога б)(пример 2) од бројот 8 нема да се добие бројот 100, туку бројот 1000 ќе се добие со множење со 125. И броителот (3) и именителот (8) на дропката се множат со 125.

Кога V)(пример 2) од 25 добивате 100 ако помножите со 4. Тоа значи дека броителот 8 мора да се помножи со 4.

Бесконечна децимална дропка во која една или повеќе цифри непроменливо се повторуваат во иста низа се нарекува периодичникако децимален број. Множеството цифри што се повторуваат се нарекува период на оваа дропка. За краткост, точката на дропка се пишува еднаш, затворена во загради.

Кога б)(пример 1) има само една цифра која се повторува и е еднаква на 6. Затоа, нашиот резултат 0,66... ​​ќе биде напишан вака: 0,(6) . Тие гласат: нула точка, шест во период.

Ако има една или повеќе цифри кои не се повторуваат помеѓу децималната точка и првата точка, тогаш таквата периодична дропка се нарекува мешана периодична дропка.

Несводлива заедничка дропка чиј именител е заедно со другитемножител содржи мултипликатор 2 или 5 , станува измешанипериодична дропка.

Запишете ги броевите како децимали.