VIII . Групи на градежни задачи.
Решавање на групи задачи со помош на помошен триаголник.
Суштината на методот е конструкција на помошни триаголници и користење на нивните својства и новодобиени елементи за конечно решавање на проблемот.
Конструктивната анализа се состои од следниве чекори:
Побарајте помошен триаголник во вашата анализа.
Доколку се појават нови елементи со помош на кој триаголник ABC може да се конструира, тогаш целта е постигната.
Ако тоа не се случи, тогаш можеби може да се конструира друг помошен триаголник кој ќе ги обезбеди елементите што недостасуваат.
Ајде да ја разгледаме суштината на методот користејќи примери.
Задача 1. Конструирај рамнокрак триаголник ABC ( б= в) Од страна а, ч б .
Бараме помошен триаголник. Очигледно, погодно е да се смета триаголникот CDB како таков триаголник.
Ова ќе го даде аголот C, па оттука и аголот ABC. Значи, постои a, агол B, агол C, што значи дека можеме да конструираме триаголник ABC. Шематски ќе го напишеме вака:
(a, h b) → Δ CDB →< C.
(а,< B, < C) → Δ ABC.
Задачи за независна одлука:
Користејќи расудување слично на горенаведеното, препорачуваме да се конструира рамнокрак триаголник (b=c) користејќи ги следните податоци:
А)< А, h b ;
б)< В, h с;
G)< В, h b ;
д)< С, h b .
Задача 2. Конструирај триаголник користејќи го радиусот r на впишаната кружница, аголот A и аголот B.
Нека бидам центар на кругот впишан во триаголник ABC.
(r; ½< А) → Δ AID → |AD|;
(r; ½< В) → Δ ВID → |ВD|;
(|АД| + |ВД| = |AB|) → (в,< А, < В) → Δ ABC.
Задачи за независно решение:
Конструирај триаголник користејќи ги следниве елементи:
а) а, ч в, ч б; б) a, h a, h b; в) a, m a, m b;
G)< A, l A , b; д) R, h а, m a ; е) a, R, h b ;
е) b, h b, m b (каде m се медијани, l се симетрали, h се висини).
Самостојно:
Решавање на групи проблеми врз основа на главната.
Главната задача:
конструирај ромб ABCD користејќи дијагонала BD и висина BM. (ΔBHD →< BDH → равнобедренный Δ BDA → ABCD);
изгради трапез од четири страни.
Конструирај триаголник користејќи две страни и аголот меѓу нив.
Главната задача:
Конструирај правоаголен триаголник долж две страни.
Конструирај ромб по две дијагонали.
Конструирај правоаголник со две нееднакви страни.
Конструирај паралелограм користејќи две дијагонали и аголот меѓу нив.
Конструирај правоаголник користејќи ги дијагоналите и аголот меѓу нив.
Конструирај триаголник користејќи страна и два соседни агли.
Задачи за независно решение:
Главната задача:
Конструирај рамнокрак триаголник користејќи ја неговата основа и соседниот агол.
Конструирај правоаголен триаголник користејќи крак и соседен остар агол.
Конструирај ромб користејќи агол и дијагонала што минува низ темето на овој агол.
Конструирај рамнокрак триаголник врз основа на висината и аголот на темето.
Конструирај квадрат по дадената дијагонала.
Конструирај правоаголен триаголник користејќи хипотенуза и остар агол.
Задачи за независно решение:
Главната задача:
Конструирај рамнокрак триаголник долж страната и аголот во основата.
Конструирај рамнокрак триаголник користејќи ја неговата страна и аголот на темето.
Конструирај триаголник користејќи три страни.
Задачи за независно решение:
Главната задача:
Конструирај рамнокрак триаголник користејќи ја неговата основа и страни.
Конструирај ромб по страните и дијагоналите.
Конструирај паралелограм користејќи две нееднакви страни и дијагонала.
Конструирај паралелограм користејќи страна и две дијагонали.
Конструирај правоаголен триаголник со помош на крак и хипотенуза.
Задачи за независно решение:
Конструирај рамнокрак триаголник долж висината и страната.
Конструирај рамнокрак триаголник користејќи ја основата и нормална од крајот на основата до страната.
Конструирај паралелограм користејќи ја неговата основа, висина и дијагонала.
Конструирај ромб по неговата висина и дијагонала.
Конструирај рамнокрак триаголник користејќи ја страната и висината спуштена од неа.
Конструирај триаголник користејќи ја неговата основа, висина и страна.
Литература:
Б. И. Аргунов, М. Б. Балк „Геометриски конструкции на рамнината“, М, „Просвешчение“ 1955 г.
Глејзер Г.И.„Историја на математиката во училиште“ IV – VI одделение, М, „Просветителство“, 1981 г.
I. Голденблант „Искуство во решавање на задачи од геометриска конструкција“ „Математика во училиште“ бр. 3, 1946 г.
Кушнир „На еден начин да се решат градежните проблеми“ „Математика на училиште“ бр. 2, 1984 г.
А. И. Мостовој „Примени различни методи за решавање на градежни проблеми“ „Математика на училиште“ бр. 5, 1983 г.
А.А. Попова Учебник „Математика“. „Држава Чељабинск Педагошки универзитет“, 2005 година
E. M. Selezneva, M. N. Serebryakova „Геометриски конструкции во I – V одделение средно школо„Методолошки развој. Свердловск, 1974 година
Рамнокраке вака тријаголник, во која должините на неговите две страни се еднакви една со друга.
При решавање на проблеми на темата „Истокрак триаголник“потребно е да се користат следниве познати својства:
1.
Аглите спроти еднакви страни се еднакви еден на друг.
2.
Симетрали, медијани и надморски височини извлечени од еднакви агли, се еднакви едни на други.
3.
Симетралата, средината и надморската височина нацртани до основата на рамнокрак триаголник се совпаѓаат една со друга.
4.
Центарот на кружницата и центарот на кружниот круг лежат на висината, а со тоа и на средната и симетралата нацртани до основата.
5.
Аглите кои се еднакви во рамнокрак триаголник се секогаш остри.
Триаголникот е рамнокрак ако го има следново знаци:
1.
Два агли на триаголник се еднакви.
2.
Висината се совпаѓа со средната вредност.
3.
Симетралата се совпаѓа со медијаната.
4.
Висината се совпаѓа со симетралата.
5.
Двете височини на триаголникот се еднакви.
6.
Двете симетрали на триаголникот се еднакви.
7.
Двете посредини на триаголникот се еднакви.
Ајде да разгледаме неколку проблеми на темата „Истокрак триаголник“и дадат свое детално решение.
Задача 1.
Во рамнокрак триаголник, висината до основата е 8, а основата до страната е 6: 5. Најдете го растојанието од темето на триаголникот до точката на пресек на неговите симетрали.
Решение.
Нека е даден рамнокрак триаголник ABC (сл. 1).
1) Бидејќи AC: BC = 6: 5, тогаш AC = 6x и BC = 5x. VN – висина повлечена до основата на звучникот триаголник ABC.
Бидејќи точката H е средината на AC (според својството на рамнокрак триаголник), тогаш HC = 1/2 AC = 1/2 6x = 3x.
BC 2 = VN 2 + NS 2;
(5x) 2 = 8 2 + (3x) 2;
x = 2, тогаш
AC = 6x = 6 2 = 12 и
BC = 5x = 5 2 = 10.
3) Бидејќи точката на пресек на симетралите на триаголникот е центарот на кругот впишан во него, тогаш
OH = r. Го наоѓаме радиусот на кругот впишан во триаголникот ABC користејќи ја формулата
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (12 · 8) = 48;
p = 1/2 (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, потоа OH = r = 48/16 = 3.
Оттука VO = VN – OH; VO = 8 – 3 = 5.
Одговор: 5.
Задача 2.
Во рамнокрак триаголник ABC е нацртана симетралата AD. Областите на триаголниците ABD и ADC се 10 и 12. Најдете ја тројната плоштина на квадрат конструиран на висина на овој триаголник нацртан до основата AC.
Решение.
Размислете за триаголник ABC - рамнокрак, AD - симетрала на аголот А (сл. 2).
1) Да ги запишеме плоштините на триаголниците BAD и DAC:
S BAD = 1/2 · AB · AD · грев α; S DAC = 1/2 · AC · AD · sin α.
2) Најдете го соодносот на области:
S BAD /S DAC = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.
Бидејќи S BAD = 10, S DAC = 12, потоа 10/12 = AB/AC;
AB/AC = 5/6, па нека AB = 5x и AC = 6x.
AN = 1/2 AC = 1/2 · 6x = 3x.
3) Од триаголникот ABN - правоаголен според Питагоровата теорема AB 2 = AN 2 + BH 2;
25x 2 = VN 2 + 9x 2;
4) S A ВС = 1/2 · АС · ВН; S A B C = 1/2 · 6x · 4x = 12x 2 .
Бидејќи S A BC = S BAD + S DAC = 10 + 12 = 22, тогаш 22 = 12x 2 ;
x 2 = 11/6; VN 2 = 16x 2 = 16 11/6 = 1/3 8 11 = 88/3.
5) Површината на квадратот е еднаква на VN 2 = 88/3; 3 88/3 = 88.
Одговор: 88.
Задача 3.
Во рамнокрак триаголник основата е 4, а страната 8. Најдете го квадратот на висината спуштена на страната.
Решение.
Во триаголникот ABC - рамнокрак BC = 8, AC = 4 (сл. 3).
1) ВН – висина повлечена до основата AC на триаголникот ABC.
Бидејќи точката H е средината на AC (според својството на рамнокрак триаголник), тогаш HC = 1/2 AC = 1/2 4 = 2.
2) Од триаголникот VNS - правоаголен според Питагоровата теорема BC 2 = VN 2 + NS 2;
64 = VN 2 + 4;
3) S ABC = 1/2 · (AC · BH), како и S ABC = 1/2 · (AM · BC), тогаш ги изедначуваме десните страни на формулите, добиваме
1/2 · AC · BH = 1/2 · AM · BC;
AM = (AC BH)/BC;
AM = (√60 · 4)/8 = (2√15 · 4)/8 = √15.
Одговор: 15.
Задача 4.
Во рамнокрак триаголник, основата и висината спуштена на него се еднакви на 16. Најдете го радиусот на кругот опфатен околу овој триаголник.
Решение.
Во триаголникот ABC – рамнокрака основа AC = 16, ВН = 16 – висина повлечена до основата AC (сл. 4).
1) AN = NS = 8 (според својството на рамнокрак триаголник).
2) Од триаголникот VNS - правоаголен според Питагоровата теорема
BC 2 = VN 2 + NS 2;
BC 2 = 8 2 + 16 2 = (8 2) 2 + 8 2 = 8 2 4 + 8 2 = 8 2 5;
3) Разгледајте го триаголникот ABC: според теоремата на синусите 2R = AB/sin C, каде што R е радиусот на кругот опфатен околу триаголникот ABC.
sin C = BH/BC (од триаголникот VNS по дефиниција за синус).
sin C = 16/(8√5) = 2/√5, потоа 2R = 8√5/(2/√5);
2R = (8√5 · √5)/2; R = 10.
Одговор: 10.
Задача 5.
Должината на надморската височина нацртана до основата на рамнокрак триаголник е 36, а радиусот на впишаниот круг е 10. Најдете ја плоштината на триаголникот.
Решение.
Нека е даден рамнокрак триаголник ABC.
1) Бидејќи центарот на кругот впишан во триаголник е пресечната точка на неговите симетрали, тогаш О ϵ VN и AO е симетрала на аголот A, а исто така и OH = r = 10 (сл. 5).
2) VO = VN – OH; VO = 36 – 10 = 26.
3) Размислете за триаголникот ABN. Според теоремата за симетралата на аголот на триаголникот
AB/AN = VO/OH;
AB/AN = 26/10 = 13/5, тогаш нека AB = 13x и AN = 5x.
Според Питагоровата теорема, AB 2 = AN 2 + VN 2;
(13x) 2 = 36 2 + (5x) 2;
169x 2 = 25x 2 + 36 2;
144x 2 = (12 · 3) 2 ;
144x2 = 144 9;
x = 3, потоа AC = 2 · AN = 10x = 10 · 3 = 30.
4) S ABC = 1/2 · (AC · BH); S ABC = 1/2 · (36 · 30) = 540;
Одговор: 540.
Задача 6.
Во рамнокрак триаголник, двете страни се еднакви на 5 и 20. Најдете симетрала на аголот на основата на триаголникот.
Решение.
1) Да претпоставиме дека страните на триаголникот се 5, а основата е 20.
Потоа 5 + 5< 20, т.е. такого треугольника не существует. Значит, АВ = ВС = 20, АС = 5 (сл. 6).
2) Нека LC = x, потоа BL = 20 – x. Според теоремата за симетралата на аголот на триаголникот
AB/AC = BL/LC;
20/5 = (20 – x)/x,
тогаш 4x = 20 – x;
Така LC = 4; BL = 20 – 4 = 16.
3) Да ја користиме формулата за симетрала на агол на триаголник:
AL 2 = AB AC – BL LC,
тогаш AL 2 = 20 5 – 4 16 = 36;
Одговор: 6.
Сè уште имате прашања? Не знаете како да решавате геометриски проблеми?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Како да се изгради рамнокрак триаголник? Ова е лесно да се направи со ќелии со линијар, молив и тетратка.
Ја започнуваме изградбата на рамнокрак триаголник од основата. За да се направи шаблонот парен, бројот на ќелии во основата мора да биде парен број.
Поделете го сегментот - основата на триаголникот - на половина.
Темето на триаголникот може да се избере на која било висина од основата, но секогаш точно над средината.
Како да се изгради акутен рамнокрак триаголник?
Аглите на основата на рамнокрак триаголник можат да бидат само остри. За да може рамнокрак триаголник да биде остар, аголот на темето исто така мора да биде остар.
За да го направите ова, изберете го темето на триаголникот повисоко, подалеку од основата.
Колку е повисок врвот, толку е помал аголот на врвот. Соодветно се зголемуваат аглите на основата.
Како да се изгради тап рамнокрак триаголник?
Како што темето на рамнокрак триаголник се приближува до основата степен меркасе зголемува аголот на врвот.
Значи, да се конструира рамнокрак тап триаголник, изберете пониско теме.
Како да се изгради рамнокрак правоаголен триаголник?
За да изградите рамнокрак правоаголен триаголник, треба да изберете теме на растојание еднакво на половина од основата (ова се должи на својствата на рамнокрак правоаголен триаголник).
На пример, ако должината на основата е 6 ќелии, тогаш го поставуваме темето на триаголникот на висина од 3 ќелии над средината на основата. Ве молиме запомнете: во овој случај, секоја ќелија на аглите во основата е поделена дијагонално.
Конструкцијата на рамнокрак правоаголен триаголник може да се започне од темето.
Избираме теме и од него под прав агол поставуваме еднакви отсечки нагоре и надесно. Ова се страните на триаголникот.
Ајде да ги поврземе и да добиеме рамнокрак правоаголен триаголник.
Конструкцијата на рамнокрак триаголник со помош на компас и линијар без поделби ќе ја разгледаме во друга тема.
