Што се ирационални броеви? Зошто се нарекуваат така? Каде се користат и што се тие? Малкумина можат да одговорат на овие прашања без размислување. Но, всушност, одговорите на нив се прилично едноставни, иако не им се потребни на сите и тоа во многу ретки ситуации

Суштина и ознака

Ирационалните броеви се бесконечни непериодични броеви.Потребата од воведување на овој концепт се должи на фактот што за решавање на новите проблеми што се појавуваат веќе не беа доволни досегашните концепти на реални или реални, цели, природни и рационални броеви. На пример, за да пресметате која количина е квадрат од 2, треба да користите непериодични бесконечни децимали. Покрај тоа, многу едноставни равенки исто така немаат решение без да се воведе концептот на ирационален број.

Ова множество е означено како I. И, како што е веќе јасно, овие вредности не можат да се претстават како едноставна дропка, чиј броител ќе биде цел број, а именителот ќе биде

За прв пат, вака или онака, индиските математичари се сретнале со овој феномен во VII век кога било откриено дека квадратните корени на некои количини не можат експлицитно да се наведат. И првиот доказ за постоењето на такви броеви му се припишува на Питагорејот Хипас, кој го направил тоа во процесот на проучување на рамнокрак правоаголен триаголник. Некои други научници кои живееле пред нашата ера дадоа сериозен придонес во проучувањето на оваа група. Воведувањето на концептот на ирационални броеви повлекува ревизија на постоечкиот математички систем, поради што тие се толку важни.

потеклото на името

Ако односот преведен од латински е „фракција“, „сооднос“, тогаш префиксот „ir“
го дава овој збор спротивно значење. Така, името на множеството од овие броеви покажува дека тие не можат да бидат во корелација со цел број или дропка и да имаат посебно место. Ова произлегува од нивната суштина.

Место во генералниот пласман

Ирационалните броеви, заедно со рационалните броеви, припаѓаат на групата реални или реални броеви, кои пак припаѓаат на сложени броеви. Нема подмножества, но има алгебарски и трансцендентални сорти, за кои ќе се дискутира подолу.

Својства

Бидејќи ирационалните броеви се дел од множеството реални броеви, за нив важат сите нивни својства што се изучуваат аритметички (тие се нарекуваат и основни алгебарски закони).

a + b = b + a (комутативност);

(а + б) + в = а + (б + в) (асоцијативност);

a + (-a) = 0 (постоење на спротивниот број);

ab = ba (комутативен закон);

(ab)c = a(bc) (дистрибутивноста);

a(b+c) = ab + ac (закон за распределба);

a x 1/a = 1 (постоење на реципрочен број);

Споредбата се врши и во согласност со општите закони и принципи:

Ако a > b и b > c, тогаш a > c (преодност на релацијата) и. итн.

Се разбира, сите ирационални броеви можат да се претворат со помош на основна аритметика. Нема посебни правила за ова.

Покрај тоа, аксиомата на Архимед се однесува на ирационални броеви. Тој наведува дека за било кои две величини a и b, точно е дека ако го земете a како член доволно пати, може да го надминете b.

Употреба

И покрај фактот што не ги среќавате многу често во секојдневниот живот, ирационалните броеви не можат да се избројат. Ги има во огромен број, но тие се речиси невидливи. Ирационалните броеви се насекаде околу нас. Примери кои се познати на сите се пи, што е 3,1415926..., или e, што во суштина е основата природен логаритам, 2,718281828... Во алгебрата, тригонометријата и геометријата тие мора постојано да се користат. Патем, познатото значење на „златниот пресек“, односно односот и на поголемиот дел и на помалиот дел и обратно, исто така.

припаѓа на овој сет. Помалку познатиот „сребрен“ исто така.

На нумеричката линија тие се наоѓаат многу густо, така што помеѓу кои било две величини класифицирани како рационални, сигурно ќе се појави ирационална.

Сè уште има многу нерешени проблеми поврзани со овој сет. Постојат критериуми како мерката за ирационалност и нормалноста на некој број. Математичарите продолжуваат да ги проучуваат најзначајните примери за да утврдат дали припаѓаат на една или друга група. На пример, се верува дека e е нормален број, т.е. веројатноста за појава на различни цифри во неговата нотација е иста. Што се однесува до пи, истражувањето сè уште е во тек во врска со тоа. Мерката за ирационалност е вредност која покажува колку добро даден број може да се приближи со рационални броеви.

Алгебарски и трансцендентални

Како што веќе споменавме, ирационалните броеви се конвенционално поделени на алгебарски и трансцендентални. Условно, бидејќи, строго кажано, оваа класификација се користи за поделба на множеството В.

Под оваа ознака се скриени сложени броеви, кои вклучуваат реални или материјални.

Значи, алгебарската е вредност што е корен на полином што не е идентично еднаков на нула. На пример, Квадратен коренод 2 би спаѓал во оваа категорија бидејќи е решение на равенката x 2 - 2 = 0.

Сите други реални броеви кои не го задоволуваат овој услов се нарекуваат трансцендентални. Оваа сорта ги вклучува најпознатите и веќе споменатите примери - бројот пи и основата на природниот логаритам e.

Интересно е што ниту едното ниту другото првично не биле развиени од математичарите во овој капацитет; нивната ирационалност и трансцендентност биле докажани многу години по нивното откритие. За пи, доказот бил даден во 1882 година и поедноставен во 1894 година, со што завршила 2.500-годишната дебата за проблемот со квадратурата на кругот. Сè уште не е целосно проучено, па модерни математичариима на што да се работи. Патем, првата прилично точна пресметка на оваа вредност ја изврши Архимед. Пред него сите пресметки беа премногу приближни.

За e (бројот на Ојлер или Напиер), доказ за неговата трансценденција е пронајден во 1873 година. Се користи при решавање на логаритамски равенки.

Други примери ги вклучуваат вредностите на синус, косинус и тангента за која било алгебарска ненулта вредност.

1. Доказите се примери за дедуктивно расудување и се различни од индуктивните или емпириските аргументи. Доказот мора да покаже дека исказот што се докажува е секогаш вистинит, понекогаш со наведување на сите можни случаи и покажување дека исказот важи во секој од нив. Доказот може да се потпира на очигледни или општо прифатени појави или случаи познати како аксиоми. Наспроти ова, се докажува ирационалноста на „квадратниот корен од два“.
2. Интервенцијата на топологијата овде се објаснува со самата природа на нештата, што значи дека не постои чисто алгебарски начин да се докаже ирационалноста, особено врз основа на рационални броеви. Еве еден пример, изборот е ваш: 1 + 1/ 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 или 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Ако прифатите 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, што се смета за „алгебарски“ пристап, тогаш воопшто не е тешко да се покаже дека постои n/m ∈ ℚ, што на Бесконечната низа е ирационална и конечен број.Ова сугерира дека ирационалните броеви се затворање на полето ℚ, но ова се однесува на тополошка сингуларност.
Значи, за броевите на Фибоначи, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Ова само покажува дека постои континуиран хомоморфизам ℚ → I, и може ригорозно да се покаже дека постоењето на таков изоморфизам не е логична последица на алгебарските аксиоми.

Дефиниција за ирационален број

Ирационални броеви се оние броеви кои во децимална нотација претставуваат бескрајни непериодични децимални дропки.



Така, на пример, броевите добиени со земање на квадратниот корен на природните броеви се ирационални и не се квадрати на природните броеви. Но, не сите ирационални броеви се добиваат со екстракција квадратни корени, бидејќи бројот „пи“ добиен со делење е исто така ирационален, и веројатно нема да го добиете кога се обидувате да го извлечете квадратниот корен на природен број.

Својства на ирационални броеви

За разлика од броевите напишани како бесконечни децимали, само ирационалните броеви се запишуваат како непериодични бесконечни децимали.
Збирот на два ненегативни ирационални броја може да заврши како рационален број.
Ирационалните броеви ги дефинираат деловите на Дедекинд во множеството рационални броеви, во пониската класа кои немаат голем број, а во горниот нема ништо помалку.
Секој реален трансцендентален број е ирационален.
Сите ирационални броеви се или алгебарски или трансцендентални.
Множеството ирационални броеви на правата е густо лоцирано, а помеѓу кои било два негови броеви сигурно има ирационален број. рационален број.
Множеството ирационални броеви е бесконечно, неброиво и е множество од втора категорија.
При извршување на која било аритметичка операција на рационални броеви, освен делење со 0, резултатот ќе биде рационален број.
Кога се додава рационален број на ирационален број, резултатот е секогаш ирационален број.
Кога собираме ирационални броеви, можеме да завршиме со рационален број.
Множеството ирационални броеви не е парно.

Броевите не се ирационални

Понекогаш е доста тешко да се одговори на прашањето дали некој број е ирационален, особено во случаи кога бројот има форма децималнаили во форма нумерички израз, корен или логаритам.

Затоа, нема да биде излишно да се знае кои бројки не се ирационални. Ако ја следиме дефиницијата за ирационални броеви, тогаш веќе знаеме дека рационалните броеви не можат да бидат ирационални.

Ирационалните броеви не се:

Прво, сите природни броеви;
Второ, цели броеви;
Трето, обични дропки;
Четврто, различни мешани броеви;
Петто, ова се бесконечни периодични децимални фракции.

Покрај сето горенаведено, ирационален број не може да биде која било комбинација од рационални броеви што се изведуваат со знаците на аритметички операции, како што се +, -, , :, бидејќи во овој случај резултатот од два рационални броја исто така ќе биде рационален број.

Сега да видиме кои бројки се ирационални:



Дали знаете за постоењето на фан клуб каде љубителите на овој мистериозен математички феномен бараат се повеќе информации за Пи, обидувајќи се да ја откријат неговата мистерија? Секој што знае напамет одреден број Пи броеви по децималната точка може да стане член на овој клуб;

Дали знаевте дека во Германија, под заштита на УНЕСКО, се наоѓа палатата Кастадел Монте, благодарение на чии пропорции можете да го пресметате Пи. Кралот Фредерик II ја посветил целата палата на овој број.

Излегува дека тие се обиделе да го користат бројот Пи во изградбата на Вавилонската кула. Но, за жал, ова доведе до колапс на проектот, бидејќи во тоа време точната пресметка на вредноста на Пи не беше доволно проучена.

Пејачката Кејт Буш во својот нов диск сними песна наречена „Пи“, во која се слушнаа сто дваесет и четири броеви од познатата серија 3, 141...

Дропка m/nќе го сметаме за нередуциран (на крајот на краиштата, редуцираната дропка секогаш може да се сведе на нередуцирана форма). Со квадратирање на двете страни на еднаквоста, добиваме м^2=2n^2. Од тука заклучуваме дека m^2, а по ова бројот м- дури. тие. м = 2к. Затоа м^2 = 4к^2 и затоа 4 к^2 =2n^2 или 2 к^2 = n^2. Но, тогаш излегува дека nИсто така парен број, но ова не може да биде, бидејќи дропката m/nненамалување. Се појавува контрадикторност. Останува да се заклучи: нашата претпоставка е неточна и рационалниот број m/n, еднакво на √2, не постои“.

Тоа е сиот нивен доказ.

Критичка оценка на доказите на античките Грци


Но…. Да го погледнеме овој доказ за античките Грци донекаде критички. А ако сте повнимателни во едноставната математика, тогаш во неа можете да го видите следново:

1) Во рационалниот број што го усвоиле Грците m/nброеви мИ n- цела, но непознат(без разлика дали тие дури, дали тие чудно). И така е! А за некако да се воспостави каква било зависност меѓу нив, потребно е точно да се одреди нивната цел;

2) Кога древните одлучиле дека бројот м– дури, тогаш во еднаквоста што ја прифатија м = 2ктие (намерно или од незнаење!) не го окарактеризираа баш „правилно“ бројот „ к " Но, еве го бројот к- Ова целина(ЦЕЛА!) и сосема познатиброј кој сосема јасно го дефинира она што е пронајдено дуриброј м. И не биди вака пронајденброеви" к„старите не можеа во иднина“ употреба“ и број м ;

3) А кога од еднаквост 2 к^2 = n^2 античките го добиле бројот n^2 е парен, а во исто време n– дури, тогаш би морале не брзајсо заклучок за „ противречноста што се појави“, но подобро е да се увериме во максимумот точностприфатени од нив“ избор» броеви » n ».

Како можеа да го направат ова? Да, едноставно!
Погледнете: од еднаквоста што ја добија 2 к^2 = n^2 лесно може да се добие следнава еднаквост к√2 = n. И тука нема ништо за осуда - на крајот на краиштата, тие добија од еднаквоста m/n=√2 е друга еднаквост адекватна за тоа м^2=2n^2! И никој не им противречи!

Но, во новата еднаквост к√2 = nза очигледни ЦЕЛИ БЕРИ кИ nјасно е дека од него Секогаш добиј го бројот √2 - рационален . Секогаш! Затоа што содржи бројки кИ n- познати ЦЕЛИ!

Но, така што од нивната еднаквост 2 к^2 = n^2 и, како последица на тоа, од к√2 = nдобиј го бројот √2 - ирационален (како тоа " посака„старите Грци!), тогаш е неопходно да се има во нив, најмалку , број " к„како не цела (!!!) бројки. А токму тоа го немале античките Грци!

Оттука и ЗАКЛУЧОК: горенаведениот доказ за ирационалноста на бројот √2, направен од античките Грци пред 2400 години, е искрено погрешно и математички неточно, да не речам грубо - едноставно е лажен .

Во малата брошура F-6 прикажана погоре (види слика погоре), издадена во Краснодар (Русија) во 2015 година со вкупен тираж од 15.000 примероци. (очигледно со спонзорска инвестиција) е даден нов, крајно коректен од математичка гледна точка и крајно точен ] доказ за нерационалноста на бројот √2, што можеше да се случи одамна да немаше тешко " наставникн“ кон проучувањето на антиквитетите на историјата.

Кои бројки се ирационални? Ирационален бројне е рационален реален број, т.е. не може да се претстави како дропка (како сооднос од два цели броеви), каде м- цел број, n- природен број . Ирационален бројможе да се претстави како бесконечна непериодична децимална дропка.

Ирационален бројможеби нема точно значење. Само во формат 3.333333…. На пример, квадратниот корен од два е ирационален број.

Кој број е ирационален? Ирационален број(наспроти рационалното) се нарекува бесконечна децимална непериодична дропка.

Збир на ирационални броевичесто се означува со голема латинска буква во задебелен стил без засенчување. Тоа.:

Оние. Множеството ирационални броеви е разлика помеѓу множествата реални и рационални броеви.

Својства на ирационални броеви.

  • Збирот од 2 ненегативни ирационални броја може да биде рационален број.
  • Ирационалните броеви ги дефинираат Дедекиндските резови во множеството рационални броеви, од кои во долната класа нема најголем број, а во горната класа нема помал.
  • Секој реален трансцендентален број е ирационален број.
  • Сите ирационални броеви се или алгебарски или трансцендентални.
  • Множеството ирационални броеви е густо насекаде на бројната права: помеѓу секој пар броеви има ирационален број.
  • Редоследот на множеството ирационални броеви е изоморфен на редот на множеството реални трансцендентални броеви.
  • Множеството ирационални броеви е бесконечно и е множество од 2-ра категорија.
  • Резултатот од секоја аритметичка операција со рационални броеви (освен делењето со 0) е рационален број. Резултатот од аритметичките операции на ирационални броеви може да биде или рационален или ирационален број.
  • Збирот на рационален и ирационален број секогаш ќе биде ирационален број.
  • Збирот на ирационални броеви може да биде рационален број. На пример,нека xирационално тогаш y=x*(-1)исто така ирационален; x+y=0,и бројот 0 рационално (ако, на пример, го додадеме коренот на кој било степен од 7 и минус коренот на истиот степен од седум, го добиваме рационалниот број 0).

Ирационални броеви, примери.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — д — π — δ