Како се означени пресечните линии? Видови прави линии. Како да се најде точката на пресек на просторните линии

Не помина ни минута пред да создадам нова датотека Verd и да продолжам со толку фасцинантна тема. Треба да доловите моменти на работно расположение, така што нема да има лирски вовед. Ќе има прозаично тепање =)

Два прави простори можат:

1) вкрстување;

2) се сечат во точката ;

3) да биде паралелен;

4) натпревар.

Случајот бр. 1 е суштински различен од другите случаи. Две прави се сечат ако не лежат во иста рамнина. Подигнете ја едната рака нагоре и истегнете ја другата рака напред - еве пример за вкрстување линии. Во точките бр. 2-4 правите линии мора да лежат во еден авион.

Како да ги дознаете релативните позиции на линиите во просторот?

Размислете за два директни простори:

- директно, дадена од точкатаи вектор на насока;
– права линија дефинирана со точка и вектор на насока.

За подобро разбирање, ајде да направиме шематски цртеж:

Цртежот покажува вкрстени прави линии како пример.

Како да се справите со овие прави линии?

Бидејќи точките се познати, лесно е да се најде векторот.

Ако директно вкрстуваат, потоа векторите не компланарни(види лекција Линеарна (не) зависност на вектори. Основа на вектори), и, според тоа, детерминантата составена од нивните координати е не-нула. Или, што всушност е истото, ќе биде не-нула: .

Во случаите бр. 2-4, нашата структура „паѓа“ во една рамнина и векторите компланарни, а мешаниот производ на линеарно зависните вектори е еднаков на нула: .

Да го прошириме алгоритмот понатаму. Да претпоставиме дека Затоа, линиите или се сечат, се паралелни или се совпаѓаат.

Ако векторите на насоката колинеарна, тогаш линиите се или паралелни или совпаѓаат. За последниот клинец, ја предлагам следната техника: земете која било точка на една линија и заменете ги нејзините координати во равенката на втората линија; ако координатите „се вклопуваат“, тогаш линиите се совпаѓаат ако „не се вклопуваат“, тогаш линиите се паралелни.

Алгоритмот е едноставен, но практичните примери сè уште не би наштетиле:

Пример 11

Откријте ја релативната положба на две линии

Решение: како и во многу геометриски проблеми, погодно е да се формулира решението точка по точка:

1) Од равенките вадиме вектори за точки и насока:

2) Најдете го векторот:

Така, векторите се компланарни, што значи дека линиите лежат во иста рамнина и можат да се сечат, да бидат паралелни или да се совпаѓаат.

4) Да ги провериме векторите на насока за колинеарност.

Ајде да создадеме систем од соодветните координати на овие вектори:

Од ситеОд равенките произлегува дека, според тоа, системот е конзистентен, соодветните координати на векторите се пропорционални, а векторите се колинеарни.

Заклучок: линиите се паралелни или се совпаѓаат.

5) Откријте дали линиите имаат заеднички точки. Да земеме точка што припаѓа на првата линија и да ги замениме нејзините координати во равенките на правата:

Така, заеднички точкиправите линии не, и немаат друг избор освен да бидат паралелни.

Одговори:

Интересен примерЗа независна одлука:

Пример 12

Откријте ги релативните позиции на линиите

Ова е пример за да го решите сами. Ве молиме имајте предвид дека втората линија ја има буквата како параметар. Логично. Во општ случај, ова се две различни линии, така што секоја линија има свој параметар.

И повторно ве повикувам да не ги прескокнувате примерите, задачите што ги предлагам се далеку од случајни ;-)

Проблеми со линија во просторот

Во последниот дел од лекцијата ќе се обидам да го земам предвид максималниот број различни задачисо просторни линии. Во овој случај, ќе се запази оригиналниот редослед на приказната: прво ќе ги разгледаме проблемите со линиите на вкрстување, потоа со линиите што се вкрстуваат, а на крајот ќе зборуваме за паралелните линии во просторот. Сепак, морам да кажам дека некои задачи од оваа лекција може да се формулираат за неколку случаи на локацијата на линиите одеднаш, и во овој поглед, поделбата на делот во параграфи е донекаде произволна. Има повеќе едноставни примери, ги има повеќе сложени примери, и се надевам дека секој ќе го најде тоа што му треба.

Преминување линии

Да ве потсетам дека правите линии се сечат ако нема рамнина во која лежат и двајцата. Кога размислував за вежбањето, ми падна на ум проблем со чудовиште и сега мило ми е да ви претставам змеј со четири глави:

Пример 13

Со оглед на прави линии. Потребно:

а) докаже дека правите се сечат;

б) да ги најде равенките на права што минува низ точка нормална на дадените прави;

в) составува равенки на права линија која содржи заеднички нормаленлинии на премин;

г) најдете го растојанието помеѓу линиите.

Решение: Оној што оди ќе го совлада патот:

а) Да докажеме дека правите се сечат. Ајде да ги најдеме точките и векторите на насоката на овие линии:

Ајде да го најдеме векторот:

Ајде да пресметаме мешан производ на вектори:

Така, векторите не компланарни, што значи дека линиите се сечат, што требаше да се докаже.

Веројатно сите одамна забележале дека за вкрстување на линии алгоритмот за верификација е најкраток.

б) Најдете ги равенките на правата што минува низ точката и е нормална на правите. Ајде да направиме шематски цртеж:

За промена објавив директен ЗАправо, погледнете како е малку избришано на премините. Вкрстување? Да, генерално, правата линија „де“ ќе се прекрсти со оригиналните прави линии. Иако во моментотСè уште не сме заинтересирани за тоа, само треба да изградиме нормална линија и тоа е тоа.

Што се знае за директното „де“? Точката што му припаѓа е позната. Нема доволно водич вектор.

Според условот, правата мора да биде нормална на правите, што значи дека нејзиниот вектор на насока ќе биде ортогонален на векторите на насоката. Веќе познат од примерот бр. 9, ајде да го најдеме векторскиот производ:

Да ги составиме равенките на правата линија „de“ користејќи вектор на точка и насока:

Подготвени. Во принцип, можете да ги промените знаците во именителот и да го напишете одговорот во форма , но нема потреба од ова.

За да проверите, треба да ги замените координатите на точката во добиените равенки на права линија, а потоа користете скаларен производ на векторипроверете дали векторот е навистина ортогонален на векторите на насоката „пе еден“ и „пе два“.

Како да се најдат равенките на права која содржи заедничка перпендикулар?

в) Овој проблем ќе биде потежок. Препорачувам да ја прескокнете оваа точка за кукли, не сакам да ја оладам вашата искрена симпатија за аналитичката геометрија =) Патем, можеби е подобро и за поподготвените читатели да се воздржат, факт е дека во однос на сложеноста примерот треба да биде последна во статијата, но според логиката на презентација треба да се наоѓа овде.

Значи, треба да ги пронајдете равенките на права која содржи заедничка нормална на искривени линии.

– ова е отсечка што ги поврзува овие линии и е нормална на овие линии:

Еве го нашиот убав дечко: - заедничка нормална на линии кои се вкрстуваат. Тој е единствениот. Нема друг како него. Треба да создадеме равенки за линијата што ја содржи оваа отсечка.

Што се знае за директното „хм“? Неговиот вектор на насока е познат, најден во претходниот пасус. Но, за жал, не знаеме ниту една точка што припаѓа на правата линија „ем“, ниту ги знаеме краевите на нормалната – точките. Каде оваа нормална права ги сече двете оригинални прави? Во Африка, на Антарктикот? Од првичното разгледување и анализа на состојбата, воопшто не е јасно како да се реши проблемот... Но, постои еден незгоден трик поврзан со употребата на параметарски равенки на права линија.

Одлуката ќе ја формализираме точка по точка:

1) Ајде да ги преработиме равенките од првиот ред во параметарска форма:

Ајде да ја разгледаме поентата. Не ги знаеме координатите. НО. Ако точката припаѓа на дадена права, тогаш нејзините координати одговараат на , да ја означиме со . Тогаш координатите на точката ќе бидат напишани во форма:

Животот се подобрува, една непозната сè уште не е три непозната.

2) Истиот бес мора да се изврши и на втората точка. Дозволете ни да ги преработиме равенките од вториот ред параметарска форма:

Ако точка припаѓа на дадена права, тогаш со многу специфично значењенеговите координати мора да ги задоволуваат параметарските равенки:

Или:

3) Векторот, како и претходно пронајдениот вектор, ќе биде насочен вектор на правата линија. Како да се конструира вектор од две точки беше дискутирано во памтивек на часот Вектори за кукли. Сега разликата е во тоа што координатите на векторите се напишани со непознати вредности на параметрите. Па што? Никој не забранува одземање на соодветните координати на почетокот на векторот од координатите на крајот на векторот.

Постојат две точки: .

Наоѓање на векторот:

4) Бидејќи векторите на насоката се колинеарни, едниот вектор е линеарно изразен преку другиот со одреден коефициент на пропорционалност „ламбда“:

Или координирајте по координација:

Испадна дека е најобично систем на линеарни равенкисо три непознати, што е стандардно решливо, на пример, Крамеровиот метод. Но, тука има можност да се симне со мала загуба, ајде да изразиме „ламбда“ од третата равенка и да ја замениме во првата и втората равенка:

Така: , и не ни треба „ламбда“. Фактот дека вредностите на параметрите се покажаа исти е чисто несреќен случај.

5) Небото целосно се расчистува, ајде да ги замениме пронајдените вредности на нашите точки:

Векторот на насока не е особено потребен, бидејќи неговиот пандан е веќе пронајден.

Секогаш е интересно да се провери по долго патување.

:

Се добиваат точните еднаквости.

Да ги замениме координатите на точката во равенките :

Се добиваат точните еднаквости.

6) Завршен акорд: ајде да ги создадеме равенките на права линија користејќи точка (можете да ја земете) и вектор на насока:

Во принцип, можете да изберете „добра“ точка со непроменети координати, но ова е козметичко.

Како да се најде растојанието помеѓу линиите што се пресекуваат?

г) Ја отсековме четвртата глава на змејот.

Метод еден. Ниту начин, туку мал посебен случај. Растојанието помеѓу линиите на вкрстување е еднакво на должината на нивната заедничка перпендикулар: .

Екстремни точки на заедничката перпендикулар се најде во претходниот пасус, а задачата е елементарна:

Метод два. Во пракса, најчесто краевите на заедничката перпендикулар се непознати, па затоа се користи различен пристап. Паралелните рамнини можат да се извлечат низ две права линии кои се вкрстуваат, а растојанието помеѓу овие рамнини е еднакво на растојанието помеѓу овие прави линии. Конкретно, меѓу овие рамнини се држи заедничка нормална.

Во текот на аналитичката геометрија, од горенаведените размислувања, изведена е формула за пронаоѓање на растојанието помеѓу пресечните прави:
(наместо нашите точки „хм еден, два“ ​​можете да земете произволни точки од линии).

Мешан производ на векторивеќе се најде во точката „а“: .

Векторски производ на векторисе наоѓа во ставот „биди“: , да ја пресметаме неговата должина:

Така:

Со гордост да ги прикажеме трофеите во еден ред:

Одговори:
А) , што значи дека правите линии се сечат, што се бараше да се докаже;
б) ;
V) ;
G)

Што друго можете да кажете за преминувањето на линиите? Меѓу нив има одреден агол. Но, ќе ја разгледаме формулата за универзален агол во следниот пасус:

Пресечните прави простори нужно лежат во иста рамнина:

Првата мисла е да се потпрете на раскрсницата со сета сила. И веднаш помислив, зошто да си ги негираш вистинските желби?! Ајде да се качиме на неа веднаш!

Како да се најде точката на пресек на просторните линии?

Пример 14

Најдете ја точката на пресек на правите

Решение: Да ги преработиме равенките на правите во параметарска форма:

Оваа задачабеше детално дискутирано во Пример бр. 7 од оваа лекција (види. Равенки на права во просторот). И, патем, ги зедов самите прави линии од Пример бр. 12. Нема да лажам, премногу сум мрзлив да смислувам нови.

Решението е стандардно и веќе се сретнавме кога се обидувавме да ги откриеме равенките за заедничката перпендикулар на линиите што се пресекуваат.

Точката на пресек на правите припаѓа на правата, затоа нејзините координати ги задоволуваат параметарските равенки на оваа права и одговараат на многу специфична вредност на параметарот:

Но, оваа иста точка припаѓа и на втората линија, затоа:

Ги изедначуваме соодветните равенки и вршиме поедноставувања:

Систем од три линеарни равенкисо две непознати. Ако линиите се сечат (што е докажано во примерот бр. 12), тогаш системот е нужно конзистентен и има единствено решение. Тоа може да се реши Гаусовиот метод, но да не грешиме со ваков фетишизам во градинка, да го направиме поедноставно: од првата равенка изразуваме „те нула“ и ја заменуваме со втората и третата равенка:

Последните две равенки се покажаа во суштина исти и од нив произлегува дека . Потоа:

Да ја замениме пронајдената вредност на параметарот во равенките:

Одговори:

За да провериме, пронајдената вредност на параметарот ја заменуваме во равенките:
Добиени се истите координати кои требаше да се проверат. Прецизните читатели можат да ги заменат координатите на точката во оригиналните канонски равенки на линии.

Патем, беше можно да се направи спротивното: пронајдете ја точката преку „es zero“ и проверете ја преку „te zero“.

Едно добро познато математичко суеверие вели: каде што се зборува за пресекот на правите, секогаш има мирис на нормални.

Како да се изгради линија на простор нормална на дадена?

(линиите се сечат)

Пример 15

а) Запишете ги равенките на правата што минува низ точка нормална на правата (линиите се сечат).

б) Најдете го растојанието од точката до правата.

Забелешка : клаузула „линиите се пресекуваат“ – значајни. Преку точка
можете да нацртате бесконечен број нормални линии кои ќе се сечат со правата „ел“. Единственото решениесе јавува во случај кога, преку оваа точкасе повлекува права линија нормално двададена со права линија (види Пример бр. 13, точка „б“).

А) Решение: Непознатата линија ја означуваме со . Ајде да направиме шематски цртеж:

Што се знае за правата линија? Според условот се дава поен. За да се состават равенките на права линија, потребно е да се најде векторот на насоката. Векторот е доста погоден како таков вектор, па ќе се занимаваме со него. Попрецизно, да го земеме непознатиот крај на векторот до гребенот на вратот.

1) Да го извадиме неговиот вектор на насока од равенките на правата линија „ел“ и да ги преработиме самите равенки во параметарска форма:

Многумина претпоставуваа дека сега по трет пат за време на лекцијата волшебникот ќе извади бел лебед од шапката. Размислете за точка со непознати координати. Бидејќи точката е , нејзините координати ги задоволуваат параметарските равенки на правата линија „ел“ и одговараат на одредена вредност на параметарот:

Или во една линија:

2) Според условот, правата мора да бидат нормални, затоа, нивните вектори на насока се ортогонални. И ако векторите се ортогонални, тогаш нивните производ со точкие еднакво на нула:

Што се случи? Наједноставната линеарна равенка со една непозната:

3) Вредноста на параметарот е позната, ајде да ја најдеме поентата:

И векторот на насока:
.

4) Да ги составиме равенките на права линија користејќи вектор на точка и насока:

Именителот на пропорцијата се покажа како фракционо, а токму тоа е случај кога е соодветно да се ослободиме од дропките. Само ќе ги помножам со -2:

Одговори:

Забелешка : поригорозен завршеток на решението се формализира на следниов начин: да ги составиме равенките на права линија користејќи точка и вектор на насока. Навистина, ако векторот е насочен вектор на права линија, тогаш колинеарниот вектор, природно, исто така ќе биде насочен вектор на оваа права линија.

Проверката се состои од две фази:

1) проверете ги векторите на насоката на правите за ортогоналност;

2) ги заменуваме координатите на точката во равенките на секоја линија, тие треба да се „вклопат“ и таму и таму.

Многу се зборуваше за типични акции, па проверив на нацрт.

Патем, заборавив уште една точка - да конструирам точка „zyu“ симетрична на точката „en“ во однос на правата линија „el“. Сепак, постои добар „рамен аналог“, кој може да се најде во статијата Наједноставните проблеми со права линија на авион. Тука единствената разлика ќе биде во дополнителната координата „Z“.

Како да се најде растојанието од точка до права во просторот?

б) Решение: Да го најдеме растојанието од точка до права.

Метод еден. Ова растојание е точно еднакво на должината на нормалната: . Решението е очигледно: ако се познати точките , Тоа:

Метод два. ВО практични проблемиосновата на нормалната често е строго чувана тајна, па затоа е порационално да се користи готова формула.

Растојанието од точка до права се изразува со формулата:
, каде е насочен вектор на правата линија „ел“, и - бесплатноточка која припаѓа на дадена права.

1) Од равенките на правата го вадиме векторот на насока и најпристапната точка.

2) Точката е позната од условот, заострете го векторот:

3) Ајде да најдеме векторски производи пресметајте ја нејзината должина:

4) Пресметајте ја должината на векторот на водичот:

5) Така, растојанието од точка до права:

ТЕКСТ ТРАНСКРИП НА ЧАСОТ:

Веќе знаете два случаи релативна положбаправи линии во просторот:

1. линии кои се вкрстуваат;

2. паралелни прави.

Да се ​​потсетиме на нивните дефиниции.

Дефиниција. Линиите во просторот се нарекуваат пресечни ако лежат во иста рамнина и имаат една заедничка точка

Дефиниција. Прави во просторот се нарекуваат паралелни ако лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

Заедничко за овие дефиниции е тоа што линиите лежат во иста рамнина.

Ова не е секогаш случај во вселената. Можеме да се справиме со неколку рамнини, а не секои две прави линии ќе лежат во иста рамнина.

На пример, рабовите на коцката ABCDA1B1C1D1

AB и A1D1 лежат во различни рамнини.

Дефиниција. Две прави се нарекуваат искривени ако нема рамнина што би минувала низ овие линии. Од дефиницијата е јасно дека овие прави не се сечат и не се паралелни.

Дозволете ни да докажеме теорема што го изразува критериумот на искривени линии.

Теорема (тест на искривени линии).

Ако една од правата лежи во одредена рамнина, а другата права ја пресекува оваа рамнина во точка што не припаѓа на оваа права, тогаш овие прави се сечат.

Правата линија AB лежи во α рамнината. Правата CD ја пресекува рамнината α во точката C, која не припаѓа на правата AB.

Докажете дека правата AB и DC се вкрстени.

Доказ

Доказот ќе го спроведеме со контрадикторност.

Да речеме дека AB и CD лежат во иста рамнина, да го означиме β.

Тогаш рамнината β поминува низ правата AB и точката C.

Како последица на аксиомите, преку правата AB и точката C што не лежи на неа, може да се нацрта рамнина, а само една.

Но, ние веќе имаме таква рамнина - рамнината α.

Според тоа, рамнините β и α се совпаѓаат.

Но, ова е невозможно, бидејќи правата ЦД ја сече α, но не лежи во неа.

Дојдовме до контрадикторност, затоа нашата претпоставка е неточна. Лежат AB и CD

различни рамнини и се вкрстуваат.

Теоремата е докажана.

Значи, постојат три можни начини на заемно распоредување на линиите во просторот:

А) Правите се сечат, односно имаат само една заедничка точка.

Б) Правите се паралелни, т.е. лежат во иста рамнина и немаат заеднички точки.

В) Правите линии се вкрстуваат, т.е. не лежи во иста рамнина.

Ајде да разгледаме уште една теорема за искривени линии

Теорема. Низ секоја од двете вкрстувачки линии поминува рамнина паралелна со другата линија, а згора на тоа, само една.

AB и CD - линии на вкрстување

Докажете дека постои рамнина α таква што правата AB лежи во рамнината α, а правата CD е паралелна со рамнината α.

Доказ

Да го докажеме постоењето на таков авион.

1) Низ точката А повлекуваме права линија AE паралелна на CD.

2) Бидејќи линиите AE и AB се сечат, може да се повлече рамнина низ нив. Да го означиме со α.

3) Бидејќи правата CD е паралелна со AE, а AE лежи во рамнината α, тогаш правата CD ∥ рамнина α (по теоремата за перпендикуларноста на правата и рамнината).

Рамнината α е посакуваната рамнина.

Да докажеме дека рамнината α е единствената што го задоволува условот.

Секоја друга рамнина што минува низ правата AB ќе го пресече AE, а со тоа и правата CD паралелна со неа. Односно, која било друга рамнина што минува низ AB ја пресекува правата линија CD, и затоа не е паралелна со неа.

Затоа, α рамнината е единствена. Теоремата е докажана.

АГ.40. Растојание помеѓу две линии на вкрстување

Во координати

FMP.3. Целосно зголемување

функции на неколку променливи - зголемувањето добиено од функцијата кога сите аргументи добиваат (општо кажано, не-нула) зголемувања. Поточно, функцијата f нека биде дефинирана во соседство на точката

n-димензионален простор на променливи x 1,. . ., x стр.Зголемување

функција f во точката x (0), каде

повикани целосен прираст ако се смета како функција од n можни зголемувања D x 1, . . ., Д x nаргументи x 1,. .., x p,само под услов точката x (0) + Dx да припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата f. Заедно со парцијалните зголемувања на функцијата се разгледуваат и делумните зголемувања на D x k fфункција f во точка x (0) во променлива xk,т.е. такви зголемувања Df, за кои Dx уj =0, j=1, 2, . . ., k- 1, k+1,. . ., стр, к -фиксна (k=1, 2, . . ., n).

FMP.4. О: Делумното зголемување на функцијата z = (x, y) во однос на x е разликата со делумното зголемување во однос на

О: Парцијалниот извод во однос на x од функцијата z = (x, y) е граница на односот на парцијалниот прираст кон зголемувањето Ax бидејќи вториот се стреми кон нула:

Други ознаки: Слично за променливи -

Ноа у.

Имајќи предвид дека е определено за константа y, а за константа x, можеме да формулираме правило: делумниот извод во однос на x од функцијата z = (x, y) е обичниот извод во однос на x, пресметан според претпоставката дека y = конст. Слично на тоа, за да се пресмета парцијалниот извод во однос на y, мора да се претпостави x = const. Така, правилата за пресметување на парцијални изводи се исти како и во случај на функција од една променлива.

FMP.5. Континуитет на функции. Дефиниција на континуитет на функција

Функцијата се нарекува континуирана во точка ако е исполнет еден од еквивалентните услови:

2) за произволна низа ( x n) вредности кои се конвергираат во n→ ∞ до точка x 0 , соодветната низа ( ѓ(x n)) вредностите на функцијата конвергира во n→ ∞ k ѓ(x 0);

3) или ѓ(x) - ѓ(x 0) → 0 во x - x 0 → 0;

4) така што или, што е истото,

ѓ: ]x 0 - δ , x 0 + δ [ → ]ѓ(x 0) - ε , ѓ(x 0) + ε [.

Од дефиницијата за континуитет на функција ѓво точката x 0 следува дека

Доколку функцијата ѓконтинуирано во секоја точка од интервалот] а, б[, потоа функцијата ѓповикани континуирано на овој интервал.

FMP.6. ВО математичка анализа, делумен дериват- една од генерализациите на поимот извод за случај на функција од неколку променливи.

Експлицитно парцијалниот извод на функцијата ѓсе дефинира на следниов начин:

График на функција z = x² + xy + y². Делумен извод во точката (1, 1, 3) на константа yодговара на аголот на наклон на тангента линија паралелна на рамнината xz.

Пресеци од графикот прикажани погоре по рамнина y= 1

Ве молиме имајте предвид дека ознаката треба да се разбере како целинасимбол, за разлика од вообичаениот извод на функција од една променлива, кој може да се претстави како однос на диференцијалите на функцијата и аргументот. Меѓутоа, парцијалниот извод може да се претстави и како сооднос на диференцијали, но во овој случај потребно е да се означи со која променлива функцијата се зголемува: , каде d x f - парцијален диференцијалфункција f во однос на променливата x. Честопати, недостатокот на разбирање на фактот за интегритетот на симболот е причина за грешки и недоразбирања, како што е кратенката во изразот. (за повеќе детали, видете Фихтенхолц, „Курс на диференцијална и интегрална пресметка“).

Геометриски, парцијалниот извод е изводот во однос на насоката на еден од координатни оски. Делумен извод на функција ѓво точка долж координатата x kе еднаков на изводот во однос на насоката, каде што единицата е вклучена к-то место.

LA 76) Сист. Равенката се нарекува Крамер ако бројот на равенките е еднаков на бројот на непознати.

LA 77-78) Сист. се нарекува спој ако има барем едно решение, а инаку неконзистентно.

LA 79-80) Заеднички систем. наречено определено ако има само едно решение, а неопределено инаку.

LA 81) ...детерминантата на системот Крамер беше различна од нула

LA 169) За да може системот да биде конзистентен, потребно е и доволно рангот на матрицата да биде еднаков на рангот на проширената матрица = .

LA 170) Ако детерминантата на системот Крамер е различна од нула, тогаш системот е дефиниран, а неговото решение може да се најде со помош на формулите

LA 171) 1. Најдете го решението на Крамеровиот систем на равенки со помош на методот на матрица; 2.. Да го напишеме системот во форма на матрица; 3. Да ја пресметаме детерминантата на системот користејќи ги нејзините својства: 4. Потоа пишува инверзна матрицаА-1; 5. Затоа

LA 172) Хомоген систем на линеарни равенки AX = 0. Хомоген систем е секогаш конзистентен затоа што има барем едно решение

LA 173) Ако барем една од детерминантите , , не е еднаква на нула, тогаш сите решенија на системот (1) ќе се определат со формулите , , , каде t е произволен број. Секое поединечно решение се добива со одредена вредност од т.

LA 174) Множеството раствори е хомогено. системи се нарекуваат фундаментален систем на решенија ако: 1) линеарно независни; 2) секое решение на системот е линеарна комбинација на решенија.

AG118. Општата равенка на авионот е ...

Се вика равенката на рамнината на формата општа равенкаавион.

AG119.Ако рамнината a е опишана со равенката Ax+D=0, тогаш...

ПР 10.Што е бесконечно мала величина и кои се нејзините основни својства?

ПР 11. Која количина се нарекува бескрајно голема? Каква е нејзината врска

со бесконечно мало?

ПР12.ККоја ограничувачка врска се нарекува прва забележителна граница? Под првиот извонредна границасе подразбира како ограничувачки однос

ПР 13Која ограничувачка врска се нарекува втора извонредна граница?

ПР 14Кои парови на еквивалентни функции ги знаете?

CR64Која серија се нарекува хармонична? Под кој услов се спојува?

Се нарекува серија од формата хармоничен.

CR 65.Колкав е збирот на бесконечна опаѓачка прогресија?

CR66.Која изјава се подразбира под првата теорема за споредба?

Нека се дадат две позитивни серии

Ако, барем од одреден момент (да речеме, за ), неравенката: , тогаш од конвергенцијата на серијата следи конвергенцијата на серијата, или - што е истото - од дивергенцијата на серијата следи дивергенцијата на серијата серија.

CR67. Која изјава се подразбира под втората теорема за споредба?

Да претпоставиме дека. Ако има ограничување

тогаш кога двете серии се спојуваат или се разминуваат истовремено.

CR 45Формулирајте го потребниот критериум за конвергенција на серија.

Ако една серија има конечен збир, тогаш таа се нарекува конвергентна.

CR 29Хармонична серија е серија од формата... Се конвергира кога

Се нарекува серија од формата хармоничен.Така, хармониската серија конвергира во и се разминува во .

АГ 6. Линеарно подреден систем независни векторилежи на дадена права (во дадена рамнина, во простор) се нарекува основа на оваа права (на оваа рамнина, во просторот) ако кој било вектор што лежи на дадена права (во дадена рамнина, во простор) може да се претстави како линеарна комбинација на вектори на овој линеарно независен систем.

Секој пар на неколинеарни вектори што лежи во дадена рамнина формира основа на оваа рамнина.

AG 7. Подреден систем на линеарно независни вектори што лежат на дадена права (во дадена рамнина, во простор) се нарекува основа на оваа права (на оваа рамнина, во просторот) ако некој вектор лежи на дадена права (во дадена рамнина, простор ) може да се претстави како линеарна комбинација на вектори на овој линеарно независен систем.

Секоја тројка од некомпланарни вектори формира основа во просторот.

AG 8, Коефициентите во проширувањето на векторот над основата се нарекуваат координати на овој вектор во дадена основа. За да ги пронајдете координатите на векторот со даден почеток и крај, треба да ги одземете координатите на неговиот почеток од координатите на крајот на векторот: ако , , тогаш .

АГ 9.а)Ајде да конструираме вектор (се вика вектор со почеток во точка и крај во точка радиус вектор на точка ).

АГ 10. Не, затоа што Радијанската мерка на аголот помеѓу два вектори е секогаш помеѓу и

AG 11. Скалар е секој реален број. Производ со точкидва вектори и бројот се нарекува еднаков на производот на нивните модули и косинус на аголот меѓу нив.

АГ 12. можеме да пресметамерастојание помеѓу точките, основни вектори, агол помеѓу вектори.

АГ 13. Векторски уметнички делавектор по вектор се нарекува трет вектор кој ги има следните својства:

Неговата должина е

Векторот е нормален на рамнината во која се наоѓаат векторите и

Во оваа статија, прво ќе го дефинираме аголот помеѓу линиите на вкрстување и ќе обезбедиме графичка илустрација. Следно, ќе одговориме на прашањето: „Како да се најде аголот помеѓу линиите на вкрстување ако се познати координатите на векторите на насоката на овие линии во правоаголен координатен систем“? Како заклучок, ќе вежбаме да го најдеме аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат при решавање на примери и проблеми.

Навигација на страница.

Агол помеѓу вкрстени прави - дефиниција.

Постепено ќе пристапиме кон одредување на аголот помеѓу пресечните прави.

Прво, да се потсетиме на дефиницијата за искривени линии: две линии во тродимензионален простор се нарекуваат вкрстување, ако не лежат во иста рамнина. Од оваа дефиниција произлегува дека линиите што се пресекуваат не се сечат, не се паралелни и, згора на тоа, не се совпаѓаат, инаку и двете би лежеле во одредена рамнина.

Дозволете ни да дадеме дополнително помошно расудување.

Во тродимензионален простор нека се дадени две вкрстувачки прави a и b. Да ги конструираме правите a 1 и b 1 така што тие да бидат паралелни со искривените линии a и b, соодветно, и да минуваат низ некоја точка во просторот M 1. Така, добиваме две линии кои се пресекуваат a 1 и b 1. Нека аголот помеѓу правата кои се вкрстуваат a 1 и b 1 еднаков на аголот. Сега да ги конструираме линиите a 2 и b 2, паралелни со искривените линии a и b, соодветно, кои минуваат низ точка M 2, различна од точката M 1. Аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат a 2 и b 2 исто така ќе биде еднаков на аголот. Оваа изјава е точна, бидејќи правите a 1 и b 1 ќе се совпаднат со правите a 2 и b 2, соодветно, ако се изврши паралелен пренос, во кој точката M 1 се движи во точката M 2. Така, мерката на аголот помеѓу две прави што се сечат во точка М, соодветно паралелни на дадените пресечни линии, не зависи од изборот на точката М.

Сега сме подготвени да го дефинираме аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат.

Дефиниција.

Агол помеѓу линиите што се вкрстуваате аголот помеѓу две вкрстувачки прави кои се соодветно паралелни со дадените права што се пресекуваат.

Од дефиницијата произлегува дека аголот помеѓу линиите на вкрстување исто така нема да зависи од изборот на точката М. Затоа, како точка М можеме да земеме која било точка што припаѓа на една од линиите што се вкрстуваат.

Дозволете ни да дадеме илустрација за одредување на аголот помеѓу линиите што се пресекуваат.

Наоѓање на аголот помеѓу линиите што се пресекуваат.

Бидејќи аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат се одредува преку аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат, наоѓањето на аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат се сведува на наоѓање на аголот помеѓу соодветните пресечни линии во тродимензионален простор.

Несомнено, за пронаоѓање на аголот меѓу линиите кои се вкрстуваат, методите што се изучуваат на часовите по геометрија во средно училиште. Тоа е, откако ќе ги завршите потребните конструкции, можете да го поврзете саканиот агол со кој било агол познат од состојбата, врз основа на еднаквоста или сличноста на фигурите, во некои случаи тоа ќе помогне косинусова теорема, а понекогаш доведува до резултат дефиниција на синус, косинус и тангента на аголправоаголен триаголник.

Сепак, многу е погодно да се реши проблемот со наоѓање на аголот помеѓу линиите на вкрстување со помош на методот на координати. Тоа е она што ќе го разгледаме.

Нека се воведе Oxyz во тродимензионален простор (сепак, во многу проблеми морате сами да го внесете).

Да си поставиме задача: да го најдеме аголот помеѓу линиите на вкрстување a и b, кои одговараат на некои равенки на права во просторот во правоаголниот координатен систем Oxyz.

Ајде да го решиме.

Да земеме произволна точка во тродимензионалниот простор M и да претпоставиме дека правата a 1 и b 1 минуваат низ неа, паралелни со вкрстувачките права a и b, соодветно. Тогаш потребниот агол помеѓу линиите што се вкрстуваат a и b е еднаков на аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат a 1 и b 1 по дефиниција.

Така, ние само треба да го најдеме аголот помеѓу линиите што се вкрстуваат a 1 и b 1. За да ја примениме формулата за пронаоѓање на аголот помеѓу две вкрстени прави во просторот, треба да ги знаеме координатите на векторите на насоката на правите a 1 и b 1.

Како можеме да ги добиеме? И тоа е многу едноставно. Дефиницијата на векторот на насоката на права линија ни овозможува да тврдиме дека множествата вектори на насоката на паралелните прави се совпаѓаат. Затоа, векторите на насоката на правите а 1 и б 1 може да се земат како вектори на насоката И прави линии a и b соодветно.

Значи, Аголот помеѓу две пресечни прави a и b се пресметува со формулата
, Каде И се векторите на насоката на правите a и b, соодветно.

Формула за пронаоѓање на косинус на аголот помеѓу линиите на вкрстување a и b имаат форма .

Ви овозможува да го пронајдете синусот на аголот помеѓу линиите на вкрстување ако косинусот е познат: .

Останува да се анализираат решенијата на примерите.

Пример.

Најдете го аголот помеѓу линиите на вкрстување a и b, кои се дефинирани во правоаголниот координатен систем Oxyz со равенките И .

Решение.

Канонските равенки на права линија во просторот ви овозможуваат веднаш да ги одредите координатите на насочувачкиот вектор на оваа права линија - тие се дадени со броевите во именители на дропките, т.е. . Параметриските равенки на права линија во просторот исто така овозможуваат веднаш да се запишат координатите на векторот на насока - тие се еднакви на коефициентите пред параметарот, т.е. - директен вектор . Така, ги имаме сите потребни податоци за да ја примениме формулата со која се пресметува аголот помеѓу линиите што се пресекуваат:

Одговор:

Аголот помеѓу дадените линии што се пресекуваат е еднаков на .

Пример.

Најдете ги синусот и косинусот на аголот помеѓу линиите на вкрстување на кои лежат рабовите AD и BC на пирамидата ABCD, ако се познати координатите на нејзините темиња: .

Решение.

Векторите на насоката на линиите на вкрстување AD и BC се векторите и . Да ги пресметаме нивните координати како разлика помеѓу соодветните координати на крајните и почетните точки на векторот:

Според формулата можеме да го пресметаме косинус на аголот помеѓу наведените линии на вкрстување:

Сега да го пресметаме синусот на аголот помеѓу линиите на вкрстување:

Одговор:

Како заклучок, ќе го разгледаме решението на проблемот во кој е неопходно да се најде аголот помеѓу линиите на вкрстување, а правоаголниот координатен систем мора да се внесе независно.

Пример.

Даден е правоаголен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, кој има AB = 3, AD = 2 и AA 1 = 7 единици. Точката Е лежи на работ AA 1 и ја дели во сооднос 5 спрема 2, сметајќи од точката А. Најдете го аголот помеѓу линиите на вкрстување BE и A 1 C.

Решение.

Бидејќи рабовите на правоаголниот паралелепипед на едно теме се меѓусебно нормални, погодно е да се воведе правоаголен координатен систем и да се одреди аголот помеѓу наведените линии на вкрстување користејќи го методот на координати преку аголот помеѓу векторите на насоката на овие линии.

Дозволете ни да воведеме правоаголен координатен систем Oxyz на следниов начин: нека потеклото се совпаѓа со темето A, оската Ox се совпаѓа со правата линија AD, оската Oy со правата линија AB и оската Oz со правата линија AA 1.

Тогаш точката Б има координати, точката Е - (ако е потребно, видете ја статијата), точката А 1 - и точката С -. Од координатите на овие точки можеме да ги пресметаме координатите на векторите и . имаме , .

Останува да се примени формулата за да се најде аголот помеѓу линиите што се пресекуваат користејќи ги координатите на векторите на насоката:

Одговор:

Референци.

• Атанасјан Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позњак Е.Г. Геометрија. Учебник за 10-11 одделение од средно училиште.
• Погорелов А.В., Геометрија. Учебник за 7-11 одделение во општообразовните институции.
• Бугров Ја.С., Николски С.М. Виша математика. Том еден: Елементи линеарна алгебраи аналитичка геометрија.
• Илин В.А., Позњак Е.Г. Аналитичка геометрија.

линиите l1 и l2 се нарекуваат коси ако не лежат во иста рамнина. Нека a и b се вектори на насоката на овие прави, а точките M1 и M2 нека припаѓаат на правите l1 и l2, соодветно

Тогаш векторите a, b, M1M2> не се компланарни, и затоа нивниот измешан производ не е еднаков на нула, т.е. (a, b, M1M2>) =/= 0. Точно е и обратното тврдење: ако (a, b , M1M2> ) =/= 0, тогаш векторите a, b, M1M2> не се компланарни и, според тоа, правата l1 и l2 не лежат во иста рамнина, односно, тие се сечат ако и само ако условот(a, b, M1M2>) =/= 0, каде што a и b се вектори на насоката на правите, а M1 и M2 се точките што им припаѓаат, соодветно, на овие прави. Условот (a, b, M1M2>) = 0 е неопходен и доволен услов за тоа што линиите лежат во иста рамнина. Ако правите се дадени со нивните канонски равенки

тогаш a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2 (x2; y2; z2) и условот (2) се запишува на следниов начин:

Растојание помеѓу линиите на вкрстување

ова е растојанието помеѓу една од правата што се вкрстуваат и рамнината паралелна на неа, која минува низ друга права Растојанието помеѓу линиите што се вкрстуваат е растојанието од некоја точка на една од правата што се вкрстуваат до рамнината што минува низ друга права паралелна на првата. линија.

26.Дефиниција на елипса, канонска равенка. Изведување на канонската равенка. Својства.

Елипса се нарекува локусточки на рамнината за кои збирот на растојанија до две фокусирани точки F1 и F2 на оваа рамнина, наречени фокуси, е константна вредност Во овој случај, совпаѓањето на фокусите на елипсата не е исклучено , тогаш елипсата е круг за која било елипса, можете да најдете Декартов координатен систем така што елипсата ќе биде опишана со равенката (канонската равенка на елипсата):

Опишува елипса со центар на почетокот, чии оски се совпаѓаат со координатните оски.

Ако на десната страна има единица со знак минус, тогаш добиената равенка е:

опишува имагинарна елипса. Невозможно е да се прикаже таква елипса во реалната рамнина Дозволете ни да ги означиме фокусите со F1 и F2, а растојанието меѓу нив со 2c, а збирот на растојанија од произволна точка на елипсата до фокусите со 2a.

За да ја изведеме равенката на елипсата, го избираме координатниот систем Oxy така што фокусите F1 и F2 лежат на оската Ox, а потеклото се совпаѓа со средината на отсечката F1F2. Тогаш фокусите ќе ги имаат следните координати: и Нека M(x;y) е произволна точка на елипсата. Потоа, според дефиницијата за елипса, т.е.

Ова, во суштина, е равенка на елипса.

27. Дефиниција на хипербола, канонска равенка. Изведување на канонската равенка. Својства

Хипербола е геометриски локус на точки на рамнина за која апсолутната вредност на разликата во растојанието до две фиксни точки F1 и F2 на оваа рамнина, наречени фокуси, е константна вредност Нека M(x;y) е произволна точка на хиперболата. Потоа, според дефиницијата на хиперболата |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Дефиниција на парабола, канонска равенка. Заклучок канонска равенка. Својства. Парабола е HMT на рамнина за која растојанието до некоја фиксна точка F на оваа рамнина е еднакво на растојанието до некоја фиксна права линија, исто така лоцирана во рамнината што се разгледува. F – фокус на параболата; фиксната линија е дирекцијата на параболата. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; y 2 = 2 px;

Својства: 1. Параболата има оска на симетрија (оска на параболата); 2.Сите

параболата се наоѓа во десната полурамнина на Oxy рамнината на p>0, а во левата

ако стр<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"