Во претходните лекции, разгледавме два начина за факторинг на полином: ставање на заедничкиот фактор надвор од загради и методот на групирање.

Во оваа лекција ќе разгледаме уште еден начин за факторинг на полином користејќи скратени формули за множење.

Препорачуваме секоја формула да ја напишете најмалку 12 пати. За подобро меморирањезапишете ги сите формули за скратено множење на мал лист за измама.

Да се ​​потсетиме како изгледа разликата на формулата за коцки.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Разликата во формулата на коцки не е многу лесна за паметење, затоа препорачуваме да користите специјален метод за да ја запомните.

Важно е да се разбере дека секоја скратена формула за множење исто така функционира задната страна.

(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Ајде да погледнеме на пример. Неопходно е да се пресмета разликата на коцките.

Имајте предвид дека „27a 3“ е „(3a) 3“, што значи дека за формулата за разлика во коцките, наместо „a“ користиме „3a“.

Ја користиме формулата за разлика од коцки. На местото на „a 3“ имаме „27a 3“, а на местото на „b 3“, како во формулата, има „b 3“.

Примена на разликата на коцки во спротивна насока

Ајде да погледнеме друг пример. Производот на полиноми треба да го претворите во разлика на коцки користејќи ја скратената формула за множење.

Ве молиме имајте предвид дека производот на полиномите „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ личи на десната страна на разликата на коцките формула „“, само наместо „а“ има „x“ и на место од „б“ има „1“ .

За „(x − 1)(x 2 + x + 1)“ ја користиме формулата за разлика од коцки во спротивна насока.


Ајде да погледнеме покомплициран пример. Потребно е да се поедностави производот на полиномите.

Ако споредиме „(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)“ со десната страна на формулата за разлика на коцки
« a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)“, тогаш можете да разберете дека на местото на „а“ од првата заграда има „y 2“, а на местото на „б“ има „1“.

Скратените формули или правила за множење се користат во аритметиката, поконкретно во алгебрата, за да се забрза процесот на оценување на големи алгебарски изрази. Самите формули се изведени од правилата што постојат во алгебрата за множење на неколку полиноми.

Употребата на овие формули обезбедува прилично брзо решение за различни математички проблеми, а исто така помага да се поедностават изразите. Правилата за алгебарски трансформации ви дозволуваат да извршите некои манипулации со изрази, по кои можете да го добиете на левата страна на еднаквоста изразот на десната страна или да ја трансформирате десната страна на еднаквоста (за да го добиете изразот на левата страна по знакот за еднаквост).

Удобно е да се знаат формулите што се користат за скратено множење од меморијата, бидејќи тие често се користат при решавање проблеми и равенки. Подолу се наведени главните формули вклучени во оваа листа, и нивното име.

Квадрат од збирот

За да го пресметате квадратот на збирот, треба да ја пронајдете сумата што се состои од квадратот на првиот член, двапати од производот на првиот член и вториот и квадратот на вториот член. Во форма на израз, ова правило е напишано на следниов начин: (a + c)² = a² + 2ac + c².

Квадратна разлика

За да го пресметате квадратот на разликата, треба да го пресметате збирот што се состои од квадратот на првиот број, двапати од производот на првиот број и вториот (земен со спротивен знак) и квадратот на вториот број. Во форма на израз, ова правило изгледа вака: (a - c)² = a² - 2ac + c².

Разлика на квадрати

Формулата за разликата на два броја на квадрат е еднаква на производот од збирот на овие броеви и нивната разлика. Во форма на израз, ова правило изгледа вака: a² - с² = (a + с)·(a - с).

Коцка од сума

За да ја пресметате коцката од збирот на два члена, треба да ја пресметате сумата што се состои од коцката од првиот член, тројно да го зголемите производот од квадратот на првиот член и вториот, тројно да го зголемите производот од првиот член и вториот. на квадрат и коцката од вториот член. Во форма на израз, ова правило изгледа вака: (a + c)³ = a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Збир на коцки

Според формулата, тоа е еднакво на производот од збирот на овие членови и нивните делумно квадратразлики. Во форма на израз, ова правило изгледа вака: a³ + c³ = (a + c)·(a² - ac + c²).

Пример.Неопходно е да се пресмета волуменот на фигурата формирана со додавање на две коцки. Познати се само големините на нивните страни.

Ако страничните вредности се мали, тогаш пресметките се едноставни.

Ако должините на страните се изразени во незгодни бројки, тогаш во овој случај полесно е да се користи формулата „Збир на коцки“, што во голема мера ќе ги поедностави пресметките.

Коцка за разлика

Изразот за кубната разлика звучи вака: како збир на третата моќност на првиот член, тројно го негативниот производ на квадратот на првиот член за вториот, тројно го зголемуваме производот од првиот член со квадратот на вториот и негативната коцка од вториот член. Во форма на математички израз, коцката на разликата изгледа вака: (a - c)³ = a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Разлика на коцки

Формулата за разлика на коцки се разликува од збирот на коцки само за еден знак. Така, разликата на коцките е формула еднаква на производот на разликата на овие броеви и нивниот нецелосен квадрат од збирот. Во форма, разликата на коцки изгледа вака: a 3 - c 3 = (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Пример.Потребно е да се пресмета волуменот на фигурата што ќе остане по одземањето на волуметриската бројка од волуменот на сината коцка жолта боја, кој исто така е коцка. Позната е само големината на страната на малата и големата коцка.

Ако страничните вредности се мали, тогаш пресметките се прилично едноставни. И ако должините на страните се изразени во значителни бројки, тогаш вреди да се примени формулата со наслов „Разлика на коцки“ (или „Коцка на разликата“), што во голема мера ќе ги поедностави пресметките.

Скратените формули за множење (FMF) се користат за степенување и множење на броеви и изрази. Често овие формули ви дозволуваат да ги правите пресметките покомпактно и побрзо.

Во оваа статија ќе ги наведеме основните формули за скратено множење, ќе ги групираме во табела, ќе разгледаме примери за користење на овие формули, а исто така ќе се задржиме на принципите на докажување на формули за скратено множење.

За прв пат темата ФСУ се разгледува во рамките на предметот Алгебра за VII одделение. Подолу се дадени 7 основни формули.

Скратени формули за множење

  1. формула за квадратот на збирот: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
  2. Формула за квадратна разлика: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
  3. формула за сума коцка: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
  4. разлика коцка формула: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
  5. Формула за квадратна разлика: a 2 - b 2 = a - b a + b
  6. формула за збир на коцки: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
  7. формула за разлика на коцки: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Буквите a, b, c во овие изрази може да бидат какви било броеви, променливи или изрази. За полесно користење, подобро е да ги научите седумте основни формули напамет. Да ги ставиме во табела и да ги претставиме подолу, заокружувајќи ги со рамка.

Првите четири формули ви овозможуваат да го пресметате, соодветно, квадратот или коцката од збирот или разликата на два изрази.

Петтата формула ја пресметува разликата помеѓу квадратите на изразите со множење на нивниот збир и разлика.

Шестата и седмата формула, соодветно, го множат збирот и разликата на изразите со нецелосниот квадрат на разликата и нецелосниот квадрат на збирот.

Скратената формула за множење понекогаш се нарекува и скратени идентитети за множење. Ова не е изненадувачки, бидејќи секоја еднаквост е идентитет.

При одлучувањето практични примеричесто користат скратени формули за множење со заменети левата и десната страна. Ова е особено погодно при факторинг на полином.

Дополнителни скратени формули за множење

Да не се ограничуваме само на курсот за алгебра за 7-мо одделение и да додадеме уште неколку формули на нашата табела FSU.

Прво, да ја погледнеме биномната формула на Њутн.

a + b n = C n 0 · a n + C n 1 · a n - 1 · b + C n 2 · a n - 2 · b 2 + . . + C n n - 1 · a · b n - 1 + C n n · b n

Овде C n k се биномните коефициенти што се појавуваат во линијата број n во триаголникот на Паскал. Биномните коефициенти се пресметуваат со формулата:

C n k = n! к! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Како што можете да видите, FSU за квадрат и коцка на разликата и збирот е посебен случајБиномните формули на Њутн за n=2 и n=3, соодветно.

Но, што ако има повеќе од два мандата во збирот што треба да се подигне на моќ? Формулата за квадрат од збирот од три, четири или повеќе членови ќе биде корисна.

а 1 + а 2 + . . + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 + . . + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 + . . + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Друга формула која може да биде корисна е формулата за разликата помеѓу n-тите сили на два члена.

a n - b n = a - b a n - 1 + a n - 2 b + a n - 3 b 2 + . . + a 2 b n - 2 + b n - 1

Оваа формула обично се дели на две формули - за парни и непарни сили, соодветно.

За индикатори дури 2 m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

За непарни експоненти 2m+1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Разликата на квадрати и разликата на формулите на коцки, како што претпоставувате, се посебни случаи на оваа формула за n = 2 и n = 3, соодветно. За разлика на коцки, b се заменува и со - b.

Како да читате скратени формули за множење?

Ќе ги дадеме соодветните формулации за секоја формула, но прво ќе го разбереме принципот на читање формули. Најпогоден начин да го направите ова е со пример. Да ја земеме првата формула за квадратот на збирот на два броја.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .

Велат: квадратот на збирот на два израза a и b е еднаков на збирот на квадратот на првиот израз, двојно повеќе од производот на изразите и квадратот на вториот израз.

Сите други формули се читаат слично. За квадратот на разликата a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 пишуваме:

квадратот на разликата помеѓу два израза a и b е еднаков на збирот на квадратите на овие изрази минус двапати од производот од првиот и вториот израз.

Да ја прочитаме формулата a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Коцката од збирот на два израза a и b е еднаква на збирот на коцките на овие изрази, тројно го зголемуваме производот од квадратот на првиот израз за вториот, а тројно го зголемуваме производот од квадратот на вториот израз за првиот израз.

Ајде да продолжиме со читање на формулата за разликата на коцките a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Коцката на разликата помеѓу два израза a и b е еднаква на коцката од првиот израз минус тројниот производ на квадратот на првиот израз и вториот, плус тројниот производ на квадратот на вториот израз и првиот израз , минус коцката од вториот израз.

Петтата формула a 2 - b 2 = a - b a + b (разлика на квадрати) гласи вака: разликата на квадратите на два изрази е еднаква на производот од разликата и збирот на двата израза.

За погодност, изразите како a 2 + a b + b 2 и a 2 - a b + b 2 се нарекуваат, соодветно, нецелосен квадрат на збирот и нецелосен квадрат на разликата.

Земајќи го ова предвид, формулите за збир и разлика на коцки може да се прочитаат на следниов начин:

Збирот на коцките од два израза е еднаков на производот од збирот на овие изрази и делумниот квадрат на нивната разлика.

Разликата помеѓу коцките од два израза е еднаква на производот од разликата помеѓу овие изрази и делумниот квадрат од нивниот збир.

Доказ за FSU

Докажувањето на FSU е прилично едноставно. Врз основа на својствата на множење, ќе ги помножиме деловите од формулите во загради.

На пример, разгледајте ја формулата за квадратна разлика.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

За да го подигнете изразот на втората моќност, треба да го помножите овој израз сам по себе.

a - b 2 = a - b a - b .

Ајде да ги прошириме заградите:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 .

Формулата е докажана. Останатите FSU се докажани слично.

Примери на апликација FSU

Целта на користењето на скратените формули за множење е брзо и концизно множење и подигање на изразите до моќи. Сепак, ова не е целиот опсег на примена на FSU. Тие се широко користени за намалување на изрази, намалување на дропки и факторинг на полиноми. Да дадеме примери.

Пример 1. ФСУ

Да го поедноставиме изразот 9 y - (1 + 3 y) 2.

Да ја примениме формулата за збир на квадрати и да добиеме:

9 y - (1 + 3 y) 2 = 9 y - (1 + 6 y + 9 y 2) = 9 y - 1 - 6 y - 9 y 2 = 3 y - 1 - 9 y 2

Пример 2. ФСУ

Да ја намалиме дропот 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Забележуваме дека изразот во броителот е разликата на коцките, а во именителот е разликата на квадратите.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Намалуваме и добиваме:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

FSU исто така помагаат да се пресметаат вредностите на изразите. Главната работа е да можете да забележите каде да ја примените формулата. Да го покажеме ова со пример.

Да го квадрираме бројот 79. Наместо гломазни пресметки, да напишеме:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Се чини дека, комплексна пресметкасе врши брзо само со користење на скратени формули за множење и табели за множење.

Друга важна точка е изборот на квадратот на биномот. Изразот 4 x 2 + 4 x - 3 може да се претвори во 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . Ваквите трансформации се широко користени во интеграцијата.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Скратени формули за множење.

Проучување на скратени формули за множење: квадрат на збирот и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадрати од два израза; коцка од збирот и коцка на разликата на два израза; збирови и разлики на коцки од два израза.

Примена на скратени формули за множење при решавање на примери.

За да се поедностават изразите, множителните полиноми и да се редуцираат полиномите во стандардна форма, се користат скратени формули за множење. Скратените формули за множење треба да се знаат напамет.

Нека a, b R. Тогаш:

1. Квадратот на збирот на два изрази е еднаков наквадратот на првиот израз плус двојно поголем производ од првиот израз и вториот плус квадратот на вториот израз.

(а + б) 2 = a 2 + 2ab + b 2

2. Квадратот на разликата на два изрази е еднаков наквадратот на првиот израз минус двапати од производот од првиот израз и вториот плус квадратот на вториот израз.

(а - б) 2 = a 2 - 2ab + b 2

3. Разлика на квадратидва изрази е еднаков на производот од разликата на овие изрази и нивниот збир.

a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)

4. Коцка од сумадва изрази се еднакви на коцката од првиот израз плус тројно го зголемуваат производот од квадратот на првиот израз, а вториот плус тројно го зголемуваат производот од првиот израз и квадратот на вториот плус коцката од вториот израз.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

5. Коцка за разликадва изрази се еднакви на коцката на првиот израз минус тројно производот од квадратот на првиот израз и вториот плус тројно на производот од првиот израз и квадратот на вториот минус коцката од вториот израз.

(а - б) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

6. Збир на коцкидва израза е еднаков на производот од збирот на првиот и вториот израз и нецелосниот квадрат на разликата на овие изрази.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

7. Разлика на коцкидва изрази е еднаков на производот од разликата на првиот и вториот израз со нецелосниот квадрат од збирот на овие изрази.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Примена на скратени формули за множење при решавање на примери.

Пример 1.

Пресметај

а) Користејќи ја формулата за квадрат од збирот на два израза, имаме

(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681

б) Користејќи ја формулата за квадрат на разликата на два израза, добиваме

98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604

Пример 2.

Пресметај

Користејќи ја формулата за разликата на квадратите на два израза, добиваме

Пример 3.

Поедностави израз

(x - y) 2 + (x + y) 2

Да ги користиме формулите за квадрат на збирот и квадрат на разликата на два израза

(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2

Скратени формули за множење во една табела:

(а + б) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(а - б) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(а - б) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)