Од училишен курсматематичарите знаат дека квадратниот трином се подразбира како израз на формата
секира 2 + bx + c, каде што a ≠ 0.
Корените на овој трином се пресметуваат со формулата: X 1,2 = (-b ± √D) / (2a), каде што D = b 2 – 4ac.
Д се нарекува дискриминаторски. Тоа е од најголема важност за решавање на проблемите на оваа тема, бидејќи го одредува бројот на корените на трином.
Има два од нив - ако D > 0, еден - ако D = 0(понекогаш велат дека две се идентични, т.е. x 1 = x 2 = -b/(2a)), и ако Д< 0, то действительных корней нет.
Функција од формата (*) y = ax 2 + bx + c, каде што a ≠ 0 се нарекува квадратна. Нејзиниот график е парабола, чии гранки се насочени нагоре ако a > 0 и надолу ако a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Точката на пресек на параболата со оската ОУ е в. Лесно е да се одредат координатите на темето на параболата (m ;n).
m = (x 1 + x 2)/2 или (**) m = -b/(2a).
n може да се пресмета со замена на вредноста на m за x во формулата
y = ax 2 + bx + c, или користете ја формулата y = -D/(4a).
Ако во квадратен трином изолираме совршен квадрат, тогаш m и n ќе бидат присутни во записот во експлицитна форма: (***) y = a(x – m) 2 + n.
Речиси сето тоа е претставено овде референтен материјалнеопходни за решавање на проблеми на наведената тема. Ајде да погледнеме неколку примери на задачи.
Пример 1.
За кои вредности на a темето на параболата y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 лежи во втората четвртина од координатната рамнина?
Решение.
Квадратната функција е напишана во форма на истакнат совршен квадрат (***).
Тогаш е јасно дека m = 13a и n = -a 2 + 6a + 16. За теме со координати (m; n) да лежи во втората четвртина потребно е m< 0, n >0. Условите мора да се исполнуваат истовремено. Затоа, го решаваме системот на неравенки:
(13а< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0
Од првата неравенка имаме a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).
Одговор: за сите a Є(-2:0) или за -2< a < 0.
Пример 2.
Со кои вредности на параметарот a највисока вредностфункција y = ax 2 – 2x + 7a е еднакво на 6?
Решение.
Квадратната функција ќе има најголема вредност само ако гранките на параболата се насочени надолу (т.е.< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем
m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .
Тогаш n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; или 7а 2 – 1 = 6а.
Откако ја решивме добиената равенка, имаме a = 1 или a = -1/7. Но, a = 1 не го задоволува првиот услов.
Одговор: на = -1/7.
Пример 3.
Најдете го бројот на цели броеви на параметарот a за кој е равенката
а) |x 2 – 8x + 7| = a 2; б) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 има 4 корени.
Решение.
а) Овде најкраткиот начин за решавање е графичкиот. Планот е:
1. Изгради график на функцијата y = x 2 – 8x + 7 (парабола).
2. Тогаш y = |x 2 – 8x + 7| (прикажете го дното на графиконот во однос на OX).
Понатамошниот тек на решението е очигледен од сликата. Правата линија ќе го пресече графикот на четири точки ако 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.
Одговор: 4.
б) Решението на овој пример се изведува според истата шема. Единствената разлика е во тоа што при исцртување на функцијата y = |x 2 – 6|x| – 16| ќе треба да направите два прикази: во однос на OX на долниот дел од графикот и во однос на OU - на десната страна. Ако правилно го нацртате графикот, лесно ќе најдете 7 решенија:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;
Пример 4.
За кои вредности на a стои графикот на квадратниот трином y = ax 2 + (a – 3)x + a над x-оската?
Решение.
Да го спроведеме следното размислување. Графикот на квадратен трином ќе лежи над оската OX само ако гранките на параболата се насочени нагоре, т.е.
a > 0 (*), а параболата не ја пресекува оската OX, т.е. Д< 0 или
(а – 3) 2 – 4а 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞; -3) или (1; ∞). Земајќи ја предвид состојбата (*), добиваме Є (1; ∞).
Одговор: a Є (1; ∞).
Пример 5.
За кои вредности на a графикот на квадратниот трином y = ax 2 + (a – 3)x + a има две заеднички точки со позитивниот дел од оската OX?
Решение.
Да ги погледнеме условите за коефициентите: (види слика подолу)
1. Добиваме две точки на пресек со оската OX ако
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0
2. Точките ќе бидат на иста страна од нула ако гранките се насочени нагоре и f(0) = a > 0 или во случај кога гранките се насочени надолу и f(0) = a< 0
3. Двата корени ќе бидат позитивни ако х-координатата на темето е позитивна, т.е. m = -(a – 3)/(2a) > 0.
Врз основа на горенаведеното, нашите услови ќе се сведуваат на решавање на два системи:
Првиот систем:
((а – 3) 2 – 4а 2 > 0,
(а > 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0
Поедноставувајќи, добиваме:
((3а – 3)(а + 3)< 0,
(а > 0,
((а - 3)< 0
(а Є (-3; 1),
(а Є (0; ∞),
(а Є (-∞; 3)
и општото решение на системот a Є(0; 1).
Втор систем:
((а – 3) 2 – 4а 2 > 0,
(а< 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0
Поедноставувајќи, добиваме:
((3а – 3)(а + 3)< 0,
(а< 0,
((а – 3) > 0
Решенија за секоја од неравенките:
(а Є (-3; 1)
(а Є (-∞; 0)
(а Є (3; ∞)
а системот нема решенија
Така нашите параболата има две заеднички точки со позитивната насока на оската OX ако параметарот a Є (0; 1).
Пример 6.
За кои вредности на a се корените на равенката 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 поголеми од 3?
Размислете за графикот на квадратниот трином y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2.
Ќе изградиме план за решавање на оваа задача врз основа на претходниот пример.
1. Добиваме две точки на пресек со оската OX ако D > 0 и a ≠ 0.
2. Овде гранките секогаш се насочени само нагоре
(за ≠ 0; 4a 2 > 0).
3. Точките ќе бидат на иста страна од 3 ако f(3) > 0.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).
4. Двата корени ќе бидат поголеми (десно) од три ако х-координатата на темето е поголема (десно) од три, т.е. m = 8a/(8a 2) > 3.
Ако правилно ги користите овие услови, тогаш одговори Земи го ова: a Є(0;2/9). Провери го.
Се надевам дека сега му станува јасно на читателот колку е важно да може јасно да се видат својствата на параболата кога се решаваат проблеми од овој тип.
Сè уште имате прашања? Не знаете како да решавате квадратни равенки?
За да добиете помош од учител, регистрирајте се.
Првата лекција е бесплатна!
веб-страница, при копирање на материјал во целост или делумно, потребна е врска до изворот.
Дефиниција
Параболанаречен график квадратна функција$y = ax^(2) + bx + c$, каде што $a \neq 0$.
График на функцијата $y = x^2$.
За шематски исцртување на графикот на функцијата $y = x^2$, ќе најдеме неколку точки кои ја задоволуваат оваа еднаквост. За погодност, ги запишуваме координатите на овие точки во форма на табела:
График на функцијата $y = ax^2$.
Ако коефициентот $a > 0$, тогаш графикот $y = ax^2$ се добива од графиконот $y = x^2$ или со вертикално истегнување (за $a > 1$) или со компресија на $x$ оска (за $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = 2x^2$ | $y = \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
Ако $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:
| $y = - x^2$ | $y = -2x^2$ | $y = - \dfrac(x^2)(2)$ |
|
|
|
График на квадратна функција.
За да ја нацртате функцијата $y = ax^2 + bx + c$, треба да изолирате целосен квадрат од квадратниот трином $ax^2 + bx + c$, односно да го претставите во форма $a(x - x_0)^2 + y_0$. Графикот на функцијата $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ се добива од соодветниот графикон $y = ax^2$ со поместување за $x_0$ по оската $x$ и за $y_0$ долж оската $y$. Како резултат на тоа, точката $(0;0)$ ќе се премести во точката $(x_0;y_0)$.
Дефиниција
Врвотпараболата $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ е точката со координати $(x_0;y_0)$.
Ајде да конструираме парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$. Со избирање на целосниот квадрат, добиваме $y = 2(x - 1)^2 - 8$.
| Ајде да зацртаме $y = 2x^2$ | Да го преместиме надесно за 1 | И намалување за 8 |
|
|
|
Резултатот е парабола со нејзиното теме во точката $(1;-8)$.
Графикот на квадратната функција $y = ax^2 + bx + c$ ја пресекува оската $y$ во точката $(0; c)$ и оската $x$ во точките $(x_(1,2) ;0)$, каде што $ x_(1,2)$ се корените на квадратната равенка $ax^2 + bx + c = 0$ (и ако равенката нема корени, тогаш соодветната парабола не го пресекува $ x$ оска).
На пример, параболата $y = 2x^2 - 4x - 6$ ги пресекува оските во точките $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.
График на квадратен трином
2019-04-19
Квадратен трином
Квадратен трином го нарековме цела рационална функција од втор степен:
$y = ax^2 + bx + c$, (1)
каде $a \nq 0$. Да докажеме дека графикот на квадратен трином е парабола добиена со паралелни поместувања (во насоките на координатните оски) од параболата $y = ax^2$. За да го направите ова, го презентираме изразот (1) користејќи едноставни идентитетски трансформациина ум
$y = a(x + \алфа)^2 + \бета$. (2)
Соодветните трансформации, напишани подолу, се познати како „точна екстракција на квадрат“:
$y = x^2 + bx + c = a \лево (x^2 + \frac(b)(a) x \десно) + c = a \лево (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \десно) - \frac (b^2)(4a) + c = a \лево (x + \frac(b)(2a) \десно)^2 - \frac (b^2 - 4ac) (4a)$. (2")
Квадратниот трином го намаливме на форма (2); при што
$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$
(овие изрази не треба да се меморираат; попогодно е секој пат директно да се трансформира триномот (1) во форма (2).
Сега е јасно дека графикот на триномот (1) е парабола еднаква на параболата $y = ax^2$ и се добива со поместување на параболата $y = ax^2$ во насоките на координатните оски за $\ alpha$ и $\beta$ (земајќи го предвид знакот $\alpha$ и $\beta$), соодветно. Темето на оваа парабола се наоѓа во точката $(- \alpha, \beta)$, нејзината оска е права линија $x = - \alpha$. За $a > 0$, темето е најниската точка на параболата, за $a
Сега да извршиме студија за квадратниот трином, т.е., ќе ги дознаеме неговите својства во зависност од нумеричките вредности на коефициентите $a, b, c$ во неговиот израз (1).
Во еднаквост (2") ја означуваме вредноста $b^2- 4ac$ со $d$:
$y = a \лево (x + \frac(b)(2a) \десно)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)
$d = b^2 - 4ac$ се нарекува дискриминант на квадратен трином. Својствата на триномот (1) (и локацијата на неговиот график) се одредуваат со знаците на дискриминантната $d$ и водечкиот коефициент $a$.
1) $a > 0, d 0$; бидејќи $a > 0$, тогаш графикот се наоѓа над темето $O^( \prime)$; лежи во горната полурамнина ($y > 0$ - Сл. а.).
2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Темето $O^( \prime)$ лежи под оската $Ox$, параболата ја пресекува оската $Ox$ на две точки $x_1, x_2$ (сл. в.).
4) 0 долари. Темето $O^( \prime)$ лежи над оската $Ox$, параболата повторно ја пресекува оската $Ox$ на две точки $x_1, x_2$ (сл. г).
5) $a > 0, d = 0$. Темето лежи на самата оска $Ox$, параболата се наоѓа во горната полурамнина (сл. д).
6) $a
Заклучоци. Ако $d 0$), или пониско (ако $a
Ако $d > 0$, тогаш функцијата е наизменично (графикот делумно лежи под и делумно над оската $Ox$). Квадратен трином со $d > 0$ има два корени (нули) $x_1, x_2$. За $a > 0$ тоа е негативно во интервалот помеѓу корените (сл. в) и позитивно надвор од овој интервал. На $ a
Лекција: Како да се конструира парабола или квадратна функција?
ТЕОРЕТСКИ ДЕЛ
Парабола е график на функција опишана со формулата ax 2 +bx+c=0.
За да изградите парабола, треба да следите едноставен алгоритам:
1) Формула за парабола y=ax 2 +bx+c,
Ако a>0тогаш се насочени гранките на параболата нагоре,
во спротивно гранките на параболата се насочени надолу.
Бесплатен член воваа точка ја пресекува параболата со оската OY;
2), се наоѓа со помош на формулата x=(-b)/2a, пронајденото x го заменуваме во равенката на параболата и наоѓаме y;
3)Функција нулиили, со други зборови, точките на пресек на параболата со оската OX, тие се нарекуваат и корени на равенката. За да ги најдеме корените, ја изедначуваме равенката со 0 секира 2 +bx+c=0;
Видови равенки:
а) Целосно квадратна равенкаизгледа како секира 2 +bx+c=0а се решава од дискриминаторот;
б) Нецелосна квадратна равенка на формата секира 2 +bx=0.За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0:
секира 2 +bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 и ax+b=0;
в) Нецелосна квадратна равенка на формата секира 2 +c=0.За да го решите, треба да ги преместите непознатите на едната, а познатите на другата страна. x =±√(c/a);
4) Најдете неколку дополнителни точки за да ја конструирате функцијата.
ПРАКТИЧЕН ДЕЛ
И така, сега, користејќи пример, ќе анализираме сè чекор по чекор:
Пример #1:
y=x 2 +4x+3
c=3 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=3. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 теме е во точката (-2;-1)
Да ги најдеме корените на равенката x 2 +4x+3=0
Користејќи го дискриминантот ги наоѓаме корените
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x = -2
x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3
Заменете наместо x во равенката y=x 2 +4x+3 вредности
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата x = -2
Пример #2:
y=-x 2 +4x
c=0 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=0. Гранките на параболата гледаат надолу бидејќи a=-1 -1 Да ги најдеме корените на равенката -x 2 +4x=0
Непотполна квадратна равенка од формата ax 2 +bx=0. За да го решите, треба да го извадите x од заградите, а потоа да го изедначите секој фактор со 0.
x(-x+4)=0, x=0 и x=4.
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x=2
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
Заменете наместо x во равенката y=-x 2 +4x вредности
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x = 2
Пример бр. 3
y=x 2 -4
c=4 значи параболата се сече на OY во точката x=0 y=4. Гранките на параболата гледаат нагоре бидејќи a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 темето е во точката (0;- 4 )
Да ги најдеме корените на равенката x 2 -4=0
Непотполна квадратна равенка од формата ax 2 +c=0. За да го решите, треба да ги преместите непознатите на едната, а познатите на другата страна. x =±√(c/a)
x 2 =4
x 1 =2
x 2 =-2
Да земеме неколку произволни точки кои се наоѓаат во близина на темето x=0
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
Заменете наместо x во равенката y= x 2 -4 вредности
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
Од вредностите на функцијата може да се види дека параболата е симетрична во однос на правата линија x = 0
Претплатете се на каналот на YOUTUBEда бидете во тек со сите нови производи и да се подготвите кај нас за испити.
Дефинирани со формулата $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Броевите $a, b$ и $c$ се коефициенти на квадратен трином, тие се обично се нарекува: а - водечки, б - втор или просечен коефициент, в - слободен член. Функција од формата y = ax 2 + bx + c се нарекува квадратна функција.
Сите овие параболи имаат свое теме на почетокот; за a > 0 ова е најниската точка на графикот (најмалата вредност на функцијата), а за a< 0, наоборот, највисоката точка(највисока функционална вредност). Оската Ој е оската на симетрија на секоја од овие параболи.
Како што може да се види, за a > 0 параболата е насочена нагоре, за a< 0 - вниз.
Постои едноставен и удобен графички метод кој ви овозможува да конструирате кој било број точки на параболата y = ax 2 без пресметки, ако е позната точка на параболата различна од темето. Нека точката M(x 0 , y 0) лежи на параболата y = ax 2 (сл. 2). Ако сакаме да изградиме n дополнителни n точки помеѓу точките O и M, тогаш ја делиме отсечката ON на оската на апсцисата со n + 1 еднакви деловиа на точките на делење цртаме нормални на оската Ox. Отсечката NM ја делиме на ист број еднакви делови и ги поврзуваме точките на делење со зраци со потеклото на координатите. Потребните точки на параболата лежат на пресекот на перпендикуларите и зраците со исти броеви (на слика 2 бројот на точки на делење е 9).
Графикот на функцијата y = ax 2 + bx + c се разликува од графикот y = ax 2 само по својата положба и може да се добие едноставно со поместување на кривата на цртежот. Ова произлегува од претставувањето на квадратниот трином во форма
од кој лесно може да се заклучи дека графикот на функцијата y = ax 2 + bx + c е парабола y = ax 2, чие теме е поместено во точката
а неговата оска на симетрија останала паралелна со оската Oy (сл. 3). Од добиениот израз за квадратен трином, лесно се следат сите негови основни својства. Изразот D = b 2 − 4ac се нарекува дискриминанта на квадратниот трином ax 2 + bx + c и дискриминанта на поврзаната квадратна равенка ax 2 + bx + c = 0. Знакот на дискриминантата одредува дали графикот на квадратен трином ја пресекува оската x или лежи на иста страна од неа. Имено, доколку Д< 0, то парабола не имеет заеднички точкисо оската Ox, во овој случај: ако a > 0, тогаш параболата лежи над оската Ox, и ако a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 графикот на квадратен трином ја сече оската x на две точки x 1 и x 2, кои се корени на квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0 и се еднакви, соодветно
На D = 0 параболата ја допира оската Ox во точката
Својствата на квадратниот трином ја формираат основата за решавање на квадратни неравенки. Да го објасниме ова со пример. Да претпоставиме дека треба да ги најдеме сите решенија за неравенката 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, тогаш соодветната квадратна равенка 3x 2 − 2x − 1 = 0 има два различни корени, тие се одредени со формулите дадени претходно:
x 1 = −1/3 и x 2 = 1.
Во разгледуваниот квадратен трином, a = 3 > 0, што значи дека гранките на неговиот график се насочени нагоре, а вредностите на квадратниот трином се негативни само во интервалот помеѓу корените. Значи, сите решенија на нееднаквоста го задоволуваат условот
−1/3 < x < 1.
ДО квадратни неравенкиразлични неравенки може да се намалат со исти замени со кои различни равенки се сведуваат на квадратна равенка.
