Лема 1 : Ако во матрица со големина n n барем еден ред (колона) е нула, тогаш редовите (колоните) од матрицата се линеарно зависни.

Доказ:Нека првата линија е нула, тогаш

Каде а 10. Тоа е она што се бараше.

Дефиниција: Се нарекува матрица чии елементи лоцирани под главната дијагонала се еднакви на нула триаголен:

и ij = 0, i>j.

Лема 2: Детерминантата на триаголна матрица е еднаква на производот на елементите на главната дијагонала.

Доказот лесно се изведува со индукција на димензијата на матрицата.

Теорема О линеарна независноствектори.

А)Потреба: линеарно зависни D=0 .

Доказ:Нека бидат линеарно зависни, j=,

тоа е, има j, не сите се еднакви на нула, j=,Што a 1 A 1 + a 2 A 2 + ... a n A n = , A j –матрични колони А.Нека, на пример, n¹0.

Ние имаме a j * = a j / a n , j£ n-1a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 * A n -1 + A n = .

Да ја замениме последната колона од матрицата Ана

A n * = a 1 * A 1 + a 2 * A 2 + ... a n -1 A n -1 + A n = .

Според погоре докажаното својство на детерминантата (нема да се промени ако на која било колона во матрицата се додаде друга колона помножена со број), детерминантата на новата матрица е еднаква на детерминантата на оригиналната. Но, во новата матрица една колона е нула, што значи дека, со проширување на детерминантата над оваа колона, добиваме D=0, Q.E.D.

б)Адекватност:Матрица за големина n nсо линеарно независни редовисекогаш може да се сведе на триаголна форма користејќи трансформации кои не се менуваат абсолутна вредностдетерминанта. Покрај тоа, од независноста на редовите на оригиналната матрица, произлегува дека нејзината детерминанта е еднаква на нула.

1. Ако во матрицата за големина n nсо линеарно независни редови елемент а 11е еднаква на нула, потоа колоната чиј елемент a 1 j ¹ 0. Според Лема 1, таков елемент постои. Детерминантата на трансформираната матрица може да се разликува од детерминантата на оригиналната матрица само по знак.

2. Од линии со броеви i>1одземете ја првата линија помножена со дропката a i 1 /a 11. Покрај тоа, во првата колона од редови со броеви i>1ќе резултира со нула елементи.

3. Да почнеме да ја пресметуваме детерминантата на добиената матрица со разложување преку првата колона. Бидејќи сите елементи во него освен првиот се еднакви на нула,

D ново = a 11 нови (-1) 1+1 D 11 нови,

Каде г 11 новое детерминанта на матрица со помала големина.

Следно, да се пресмета детерминантата Д 11повторете ги чекорите 1, 2, 3 додека последната детерминанта не испадне дека е детерминанта на матрицата за големина 1 1. Бидејќи чекор 1 го менува само знакот на детерминантата на матрицата што се трансформира, а чекор 2 воопшто не ја менува вредноста на детерминантата, тогаш, до знакот, на крајот ќе ја добиеме детерминантата на оригиналната матрица. Во овој случај, бидејќи поради линеарната независност на редовите од оригиналната матрица, чекор 1 е секогаш задоволен, сите елементи на главната дијагонала ќе испаднат нееднакви на нула. Така, конечната детерминанта, според опишаниот алгоритам, е еднаква на производот на не-нула елементи на главната дијагонала. Затоа, детерминантата на оригиналната матрица не е еднаква на нула. Q.E.D.

Додаток 2

Следниве даваат неколку критериуми за линеарна зависност и, соодветно, линеарна независност на векторските системи.

Теорема. (Неопходен и доволен услов за линеарна зависност на вектори.)

Систем од вектори е зависен ако и само ако еден од векторите на системот е линеарно изразен преку другите од овој систем.

Доказ. Потреба. Нека системот е линеарно зависен. Потоа, по дефиниција, нетривијално го претставува нултиот вектор, т.е. постои нетривијална комбинација на овој систем на вектори еднаков на нултиот вектор:

каде што барем еден од коефициентите на оваа линеарна комбинација не е еднаков на нула. Нека,.

Ајде да ги поделиме двете страни на претходната еднаквост со овој коефициент кој не е нула (т.е. помножи со:

Да означиме: , каде .

тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите од овој систем итн.

Адекватност. Нека еден од векторите на системот е линеарно изразен преку другите вектори на овој систем:

Да го поместиме векторот надесно од оваа еднаквост:

Бидејќи коефициентот на векторот е еднаков на , тогаш имаме нетривијално претставување на нула со систем на вектори, што значи дека овој систем на вектори е линеарно зависен итн.

Теоремата е докажана.

Последица.

1. Векторски систем векторски просторе линеарно независен ако и само ако ниту еден од векторите на системот не е линеарно изразен во однос на другите вектори на овој систем.

2. Систем на вектори што содржи нула вектор или два еднакви вектори е линеарно зависен.

Доказ.

1) неопходност. Нека системот е линеарно независен. Да го претпоставиме спротивното и постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Тогаш, според теоремата, системот е линеарно зависен и доаѓаме до контрадикција.

Адекватност. Нека ниту еден од векторите на системот не се изразува во однос на другите. Да го претпоставиме спротивното. Нека системот е линеарно зависен, но тогаш од теоремата произлегува дека постои вектор на системот кој линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем и повторно доаѓаме до контрадикција.

2а) Нека системот содржи нула вектор. За дефинитивноста да претпоставиме дека векторот :. Тогаш еднаквоста е очигледна

тие. еден од векторите на системот линеарно се изразува преку другите вектори на овој систем. Од теоремата произлегува дека таквиот систем на вектори е линеарно зависен итн.

Забележете дека овој факт може да се докаже директно од линеарно зависен систем на вектори.

Бидејќи , следнава еднаквост е очигледна

Ова е нетривијална претстава на нултиот вектор, што значи дека системот е линеарно зависен.

2б) Нека системот има два еднакви вектори. Дозволете за. Тогаш еднаквоста е очигледна

Оние. првиот вектор линеарно се изразува преку преостанатите вектори од истиот систем. Од теоремата произлегува дека овој системлинеарно зависни итн.

Слично како и претходниот, оваа изјава може да се докаже директно со дефиниција за линеарно зависен систем. Тогаш овој систем нетривијално го претставува нултиот вектор

од каде следи линеарната зависност на системот.

Теоремата е докажана.

Последица. Систем кој се состои од еден вектор е линеарно независен ако и само ако овој вектор е ненула.

Деф Множеството w се нарекува линеарен простор и неговиот елемент. -вектори ако:

*законот е наведен (+) според кат. кои било два елементи x, y од w се поврзани со елемент наречен. нивниот збир [x + y]

*даден е закон (* за бројот a), според cat елементот x од w и a, се споредува елемент од w, наречен производ на x и a [ax];

* завршено

следните барања (или аксиоми):

Трага c1. нула вектор (ctv 0 1 и 0 2. од a3: 0 2 + 0 1 = 0 2 и 0 1 + 0 2 = 0 1. од a1 0 1 + 0 2 = 0 2 + 0 1 => 0 1 = 0 2.)

в2. .(ctv, a4)

c3. 0 вект.(a7)

в4. a(број)*0=0.(a6,c3)

c5. x (*) -1 =0 вектор, спротивно на x, т.е. (-1)x = -x. (a5,a6)

в6. Во w се дефинира дејството на одземање: векторот x се нарекува разлика на векторите b и a, ако x + a = b, и се означува x = b - a.

Број nповикани димензија лин. пр-а Л , ако во Л постои систем на nлин. незав. вектори, и кој било систем на n+1 вектор - лина. зависни слабо Л= n. Простор Л наречен n-димензионален.

Нарачана колекција од n линии. незав. вектори n димензионални независни. простор - основа

Теорема. Секој вектор X може да се претстави на единствен начин како права.Комбинации на основни вектори

Нека (1) е основа на n-димензионална линеарна. пр-ва В, т.е. збирка од линеарно независни вектори. Множеството вектори ќе биде линеарно. зависни, бидејќи нивните n+ 1.

Оние. има броеви кои не се сите еднакви на нула во исто време, каква врска има тоа (инаку (1) се линеарно зависни).

Потоа каде е векторското разложување xпо основа(1) .

Овој израз е единствен, бидејќи ако постои друг израз (**)

одземање на еднаквоста (**) од (*),

добиваме

Бидејќи се линеарно независни, тогаш . Chtd

Теорема. Ако - лин. независни вектори на просторот V и секој вектор x од V може да се претстават преку , тогаш овие вектори формираат основа на V

Doc: (1)-lin.independent =>документот останува линеарно-независен. Според конвенцијата Секој вектор a се изразува преку (1): , разгледај , rang≤n => меѓу колоните не повеќе од n се линеарно независни, но m > n=> m колоните се линеарно зависни => s=1, n

Односно, векторите се линеарно зависни

Така, просторот V е n-димензионален и (1) неговата основа

№4Деф.Подмножество L lin. производство V се нарекува lin. конд. на овој простор ако, во однос на операциите (+) и (*a) наведени во V, потпросторот L е линеарен простор

Теорема Множеството l вектори на просторот V е линеарно. Изведува потпростор од овој простор

(напред) нека (1) и (2) се задоволени, за L да биде поедноставно.V останува да се докаже дека се задоволени сите аксиоми на lin. пр-ва.

(-x): -x+x=0 г. a(x + y) = секира + ay;

(а-б) и (е-ж) произлегува од валидноста на V; да докажеме (в)

(нужност) Нека L е lin. потпросторот на овој простор, тогаш (1) и (2) се задоволуваат врз основа на дефиницијата на линии. пр-ва

Деф.Збирка од сите видови линии. комбинации на некои елементи (x j) лини. производот се нарекува линеарна обвивка

Теоремапроизволно множество од сите линии. комбинации на вектори V со реални. коефициентот е лини. подпр В (линеарна школка даден систем на вектори лини. пр е линеарна потпр на овој пр. )

ОДА.Непразно подмножество од вектори на L права. производство V се нарекува lin. потпростор ако:

а) збирот на кои било вектори од L припаѓа на L

б) производот на секој вектор од L по кој било број му припаѓа на L

Збир од два потпросториЛповторно е потпросторЛ

1) Нека y 1 +y 2 (L 1 +L 2)<=>y 1 =x 1 +x 2, y 2 =x’ 1 +x’ 2, каде што (x 1, x’ 1) L 1, (x 2, x’ 2) L 2. y 1 +y 2 =(x 1 +x 2)+(x' 1 +x' 2)=(x 1 +x' 1)+(x 2 +x' 2), каде што (x 1 +x' 1 ) L 1 , (x 2 +x' 2) L 2 => првиот услов на линеарен потпростор е задоволен.

ay 1 =ax 1 +ax 2, каде што (ax 1) L 1, (ax 2) L 2 => затоа што (y 1 +y 2) (L 1 +L 2) , (ly 1) (L 1 +L 2) => се исполнети условите => L 1 +L 2 е линеарен потпростор.

Пресек на две поделбиЛ 1 ИЛ 2 лин. пр-ваЛ е исто така супсп. овој простор.

Размислете за два произволни вектори x,y, кои припаѓаат на пресекот на потпростори, и два произволни броја а,б:.

Според деф. пресеци на множества:

=> по дефиниција за потпростор на линеарен простор:,.

Вектор Т.К секира + од страна наим припаѓа на многумина Л 1, и многу Л 2, тогаш припаѓа, по дефиниција, на пресекот на овие множества. Така:

ОДА.Велат дека V е директен збир на неговите поделби. ако и б) ова разложување е единствено

б")Да покажеме дека б) е еквивалентно на b’)

Кога б) е точно б')

Секакви (М, Н) од се сечат само по нултиот вектор

Нека ∃ z ∈

Фер враќањеЛ=

контрадикторност

Теорема До (*) е неопходен и доволен за соединување на базите ( ја формираа основата на просторот

(Задолжително)нека (*) и вектори се бази на подмножества. и има проширување во ; x се проширува над основата L, за да се каже дека ( претставуваат основа, потребно е да се докаже нивната линеарна независност; сите тие содржат 0 0=0+...+0. Поради единственоста на проширувањето на 0 над : => поради линеарната независност на основата => ( – основа

(Вон.)Нека ( ја формира основата на L единствено распаѓање (**) постои барем едно разложување. По единственост (*) => единственост (**)

Коментар. Димензијата на директната сума е еднаква на збирот на димензиите на потпросторот

Секоја квадратна матрица што не е единствена може да послужи како преодна матрица од една основа во друга

Нека во n димензионална линеарен простор V има две основи и

(1) =A, каде што елементите * и ** не се броеви, но ќе прошириме одредени операции на нумеричка матрица на такви редови.

Бидејќи во спротивно векторите ** би биле линеарно зависни

Назад.Ако тогаш колоните од А се линеарно независни => формираат основа

Координати И поврзани со релацијата , Каде елементи на транзициската матрица

Нека се знае разградувањето на елементите на „новата“ основа во „старата“.

Тогаш еднаквостите се вистинити

Но, ако линеарна комбинација на линеарно независни елементи е 0 тогаш =>

Основна линеарна теорема на зависност

Ако (*) линеарно се изразува преку (**) Тоаn<= м

Да докажеме со индукција на m

m=1: системот (*) содржи 0 и лини. менаџер - невозможно

нека е точно за m=k-1

да докажеме за m=k

Може да испадне дека 1), т.е. v-ry (1) се lin.comb. лин. во-ров (2)Систем (1) линеарен несигурен, бидејќи е дел од лин.незав. системи (*). Бидејќи во системот (2) има само k-1 вектори, тогаш со индукциската хипотеза добиваме k+1 3.3. Линеарна независност на вектори. Основа.

Линеарна комбинација векторски системи

наречен вектор

каде што 1, a 2, ..., a n - произволни броеви.

Ако сите и = 0, тогаш се повикува линеарната комбинација тривијални . Во овој случај, очигледно

Дефиниција 5.

Ако за систем на вектори постои нетривијална линеарна комбинација (барем една ai¹ 0) еднаков на векторот нула: тогаш се нарекува системот на вектори линеарна зависни. Ако еднаквоста (1) е можна само во случај кога сите а јас =0, тогаш се нарекува системот на вектори линеарна независна .

Теорема 2 (Услови на линеарна зависност).

Дефиниција 6.

Од теорема 3 произлегува дека ако е дадена основа во просторот, тогаш со додавање на произволен вектор на неа, добиваме линеарно зависен систем на вектори. Во согласност соТеорема 2 (1) , еден од нив (може да се покаже дека векторот) може да се претстави како линеарна комбинација од другите:

.

Дефиниција 7.

Броеви се нарекуваат координати вектори во основата (означува

Ако векторите се разгледаат на рамнината, тогаш основата ќе биде подреден пар на неколинеарни вектори

а координатите на векторот во оваа основа се пар броеви:

Забелешка 3. Може да се покаже дека за дадена основа, координатите на векторот се одредуваат единствено . Од ова, особено, произлегува дека ако векторите се еднакви, тогаш нивните соодветни координати се еднакви и обратно .

Така, ако основата е дадена во празно место, тогаш секој вектор на просторот одговара на подредена тројка од броеви (координати на векторот во оваа основа) и обратно: секоја тројка од броеви одговара на вектор.

На рамнината, се воспоставува слична кореспонденција помеѓу вектори и парови на броеви.

Теорема 4 (Линеарни операции преку векторски координати).

Ако по некоја основа И а е произволен број, тогаш во оваа основа

Со други зборови:

Кога векторот се множи со број, неговите координати се множат со тој број ;

при собирање вектори се додаваат нивните соодветни координати .

Пример 1 . Во некоја основа векторитеимаат координати

Покажете дека векторите формираат основа и пронајдете ги координатите на векторот во оваа основа.

Векторите формираат основа ако се некомпланарни, затоа (во согласност соод теорема 3(2) ) се линеарно независни.

По дефиниција 5 тоа значи дека еднаквоста

можно само акоx = y = z = 0.

Се повикуваат функциите линеарно независна,Ако

(дозволена е само тривијална линеарна комбинација на функции која е идентично еднаква на нула). За разлика од линеарната независност на векторите, овде линеарната комбинација е идентична со нула, а не еднаквост. Ова е разбирливо, бидејќи еднаквоста на линеарна комбинација на нула мора да биде исполнета за која било вредност на аргументот.

Се повикуваат функциите линеарно зависни,ако постои ненула множество на константи (не сите константи се еднакви на нула) така што (постои нетривијална линеарна комбинација на функции идентично еднаква на нула).

Теорема.За да може функциите да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно некоја од нив да биде линеарно изразена преку другите (претставена како нивна линеарна комбинација).

Докажете ја оваа теорема сами; таа е докажана на ист начин како и слична теорема за линеарната зависност на векторите.

Одредница на Вронски.

Вронска детерминанта за функции е воведена како детерминанта чии колони се изводи на овие функции од нула (самите функции) до n-1-виот ред.

.

Теорема. Доколку функциите се линеарно зависни, тогаш

Доказ. Бидејќи функциите се линеарно зависни, тогаш кој било од нив линеарно се изразува преку другите, на пример,

Идентитетот може да се диференцира, па

Тогаш првата колона од детерминантата Вронски е линеарно изразена низ преостанатите колони, така што детерминантата Вронски е идентично еднаква на нула.

Теорема.За решенијата на линеарна хомогена диференцијална равенка од n-ти ред да бидат линеарно зависни, потребно е и доволно.

Доказ. Неопходноста следи од претходната теорема.

Адекватност. Ајде да поправиме некоја точка. Бидејќи , колоните на детерминантата пресметани во оваа точка се линеарно зависни вектори.

, дека односите се задоволни

Бидејќи линеарна комбинација на решенија на линеарна хомогена равенка е нејзиното решение, можеме да воведеме решение од формата

Линеарна комбинација на решенија со исти коефициенти.

Забележете дека ова решение задоволува нула почетни услови; ова произлегува од системот на равенки напишан погоре. Но, тривијалното решение на линеарна хомогена равенка исто така ги задоволува истите нула почетни услови. Според тоа, од теоремата на Коши произлегува дека воведеното решение е идентично еднакво на тривијалното, затоа,

затоа решенијата се линеарно зависни.

Последица.Ако Вронска детерминанта, изградена на решенија на линеарна хомогена равенка, исчезне барем во една точка, тогаш таа е идентично еднаква на нула.

Доказ. Ако , тогаш решенијата се линеарно зависни, затоа, .

Теорема.1. За линеарна зависност на решенијата е потребно и доволно(или).

2. За линеарна независност на решенијата тоа е неопходно и доволно.

Доказ. Првата изјава произлегува од теоремата и последицата докажани погоре. Втората изјава може лесно да се докаже со контрадикторност.

Решенијата нека бидат линеарно независни. Ако , тогаш решенијата се линеарно зависни. Контрадикторност. Оттука, .

Нека . Ако решенијата се линеарно зависни, тогаш , оттука, контрадикторност. Според тоа, решенијата се линеарно независни.

Последица.Исчезнувањето на Вронската детерминанта барем во една точка е критериум за линеарната зависност на решенијата на линеарна хомогена равенка.

Разликата помеѓу Вронска детерминанта и нула е критериум за линеарна независност на решенијата на линеарна хомогена равенка.

Теорема.Димензијата на просторот на решенијата на линеарна хомогена равенка од n-ти ред е еднаква на n.

Доказ.

а) Да покажеме дека постојат n линеарно независни решенија за линеарна хомогена диференцијална равенка од n-ти ред. Ајде да разгледаме решенија , исполнувајќи ги следните првични услови:

...........................................................

Такви решенија постојат. Навистина, според теоремата на Коши, преку точката минува низ една интегрална крива - решението. Преку точка решението минува низ точката

- решение, низ точка - решение.

Овие решенија се линеарно независни, бидејќи .

б) Да покажеме дека секое решение на линеарна хомогена равенка е линеарно изразено преку овие решенија (е нивна линеарна комбинација).

Ајде да разгледаме две решенија. Еден - произволно решение со почетни услови . Праведен сооднос