Математички проблеми. Недокажани теореми на модерноста, за кои се должи награда. Теорија на Јанг-Милс

Нерешливите проблеми се 7 најинтересни математички задачи. Секој од нив беше предложен во исто време од познати научници, по правило, во форма на хипотези. За многу децении, математичарите ширум светот го мачат својот мозок околу нивното решение. Оние кои ќе успеат ќе бидат наградени со милион американски долари понудени од Институтот Клеј.

Институт за глина

Ова име е приватна непрофитна организација со седиште во Кембриџ, Масачусетс. Основана е во 1998 година од математичарот од Харвард А. Џефи и бизнисменот Л. Клеј. Целта на Институтот е да го популаризира и развива математичкото знаење. За да се постигне ова, организацијата доделува награди на научници и спонзори кои ветуваат истражување.

Почетокот на 21 век Математички институтКлеја им понуди награда на оние кои решаваат проблеми за кои се знае дека се најтешки нерешливи задачи, именувајќи ја неговата листа Проблеми на Милениумската награда. Од „Hilbert List“ ја вклучи само Римановата хипотеза.

Милениумски предизвици

Списокот на Институтот Клеј првично вклучуваше:

• хипотезата на Хоџ циклусот;
• равенки квантна теоријаЈанг-Милс;
• хипотезата на Поенкаре;
• проблемот на еднаквост на класите P и NP;
• Римановата хипотеза;
• за постоењето и мазноста на неговите решенија;
• Проблем Бреза-Свинертон-Дајер.

Овие отворени математички проблеми се од голем интерес бидејќи можат да имаат многу практични имплементации.

Што докажа Григориј Перелман

Во 1900 година, познатиот филозоф Анри Поенкаре сугерираше дека секој едноставно поврзан компактен 3-колектор без граница е хомеоморфен на 3-сфера. Неговиот доказ во општиот случај не беше пронајден цел век. Само во 2002-2003 година, математичарот од Санкт Петербург Г. Перелман објави голем број написи со решение за проблемот на Поенкаре. Тие имаа ефект на експлозија на бомба. Во 2010 година, хипотезата на Поенкаре беше исклучена од списокот на „Нерешени проблеми“ на Институтот Клеј, а на самиот Перелман му беше понудено да добие значителен надоместок поради него, што вториот го одби без да ги објасни причините за неговата одлука.

Најразбирливото објаснување за тоа што рускиот математичар успеал да го докаже може да се даде со замислување дека гумен диск е навлечен на крофна (торус), а потоа се обидуваат да ги повлечат рабовите на неговиот обем во една точка. Очигледно ова не е можно. Друга работа, ако го направите овој експеримент со топка. Во овој случај, навидум тродимензионална сфера, која произлегува од диск, чиј обем е повлечен до точка со хипотетички кабел, ќе биде тродимензионална во разбирањето обичен човек, но математички дводимензионален.

Поенкаре сугерираше дека тродимензионалната сфера е единствениот тродимензионален „објект“ чија површина може да се стегне до една точка, а Перелман можеше да го докаже тоа. Така, листата на „Нерешливи проблеми“ денес се состои од 6 проблеми.

Теорија на Јанг-Милс

Овој математички проблем беше предложен од неговите автори во 1954 година. Научната формулација на теоријата е следна: за која било едноставна група на компактен мерач, квантната просторна теорија создадена од Јанг и Милс постои, а во исто време има дефект на масата нулта.

Зборувајќи на јазик разбирлив за просечниот човек, интеракциите помеѓу природни предмети(честички, тела, бранови и сл.) се делат на 4 вида: електромагнетни, гравитациски, слаби и силни. Долги години физичарите се обидуваат да создадат општа теоријаполиња. Тоа треба да стане алатка за објаснување на сите овие интеракции. Теоријата Јанг-Милс е математички јазик, со чија помош стана можно да се опишат 3 од 4-те главни сили на природата. Тоа не се однесува на гравитацијата. Затоа, не може да се смета дека Јанг и Милс успеале да создадат теорија на теренот.

Покрај тоа, нелинеарноста на предложените равенки ги прави исклучително тешки за решавање. За малите константи на спојување, тие можат приближно да се решат во форма на серија на теорија на пертурбации. Сепак, сè уште не е јасно како овие равенки може да се решат со силна спојка.

Навиер-Стоукс равенки

Овие изрази опишуваат процеси како што се проток на воздух, проток на течност и турбуленција. За некои посебни случаи, веќе се пронајдени аналитички решенија на равенката Навиер-Стоукс, но досега никој не успеал да го стори тоа за општата. Во исто време, нумеричките симулации за специфични вредности на брзина, густина, притисок, време и така натаму можат да постигнат одлични резултати. Останува да се надеваме дека некој ќе може да ги примени равенките Навиер-Стоукс во обратна насокат.е., пресметајте ги параметрите користејќи ги или докажете дека не постои метод на решение.

Проблем Бреза-Свинертон-Дајер

Во категоријата „Нерешени проблеми“ спаѓа и хипотезата предложена од англиските научници од Универзитетот во Кембриџ. Дури и пред 2300 години, античкиот грчки научник Евклид дал Целосен описрешенија на равенката x2 + y2 = z2.

Ако секој од простите броеви го брои бројот на точки на кривата модулирајте го, добивате бесконечно множество цели броеви. Ако конкретно го „залепите“ во 1 функција од сложена променлива, тогаш ќе ја добиете функцијата Hasse-Weil зета за крива од трет ред, означена со буквата L. Таа содржи информации за однесувањето на модулите на сите прости броеви одеднаш .

Брајан Бурч и Питер Свинертон-Дајер претпоставуваа за елипсовидни кривини. Според него, структурата и бројот на множеството од неговите рационални решенија се поврзани со однесувањето на L-функцијата на идентитетот. Недокажано на овој моментпретпоставката Бирч-Свинертон-Дајер зависи од описот на алгебарските равенки од третиот степен и е единствениот релативно едноставен општ начин за пресметување на ранг на елиптични криви.

За да се разбере практичната важност на оваа задача, доволно е да се каже дека во современата криптографија цела класа на асиметрични системи се заснова на елиптични криви, а домашните стандарди за дигитален потпис се засноваат на нивната примена.

Еднаквост на класите p и np

Ако остатокот од Милениумските предизвици се чисто математички, тогаш овој е поврзан со вистинската теорија на алгоритми. Проблемот во врска со еднаквоста на класите p и np, исто така познат како проблем Кук-Левин, може да се формулира на разбирлив јазик на следниов начин. Да претпоставиме дека позитивен одговор на одредено прашање може да се провери доволно брзо, т.е. во полиномско време (PT). Тогаш дали е точна изјавата дека одговорот на него може да се најде прилично брзо? Уште поедноставно звучи вака: дали навистина не е потешко да се провери решението на проблемот отколку да се најде? Ако некогаш се докаже еднаквоста на класите p и np, тогаш сите проблеми со селекција може да се решат за PV. Во моментов, многу експерти се сомневаат во вистинитоста на оваа изјава, иако не можат да го докажат спротивното.

Риманова хипотеза

До 1859 година, не беше идентификуван образец кој би опишувал како простите броеви се распределуваат меѓу природните броеви. Можеби ова се должеше на фактот дека науката се занимаваше со други прашања. Меѓутоа, до средината на 19 век, ситуацијата се променила и тие станале едни од најрелевантните со кои почнала да се занимава математиката.

Римановата хипотеза, која се појави во овој период, е претпоставката дека постои одредена шема во распределбата на простите броеви.

Денес, многу современи научници веруваат дека ако тоа се докаже, тогаш многу од основните принципи на модерната криптографија, кои ја формираат основата на значителен дел од механизмите за е-трговија, ќе треба да се ревидираат.

Според Римановата хипотеза, природата на распределбата на простите броеви може значително да се разликува од она што моментално се претпоставува. Факт е дека досега не е откриен систем во распределбата на простите броеви. На пример, тука е проблемот со „близнаци“, чија разлика е 2. Овие броеви се 11 и 13, 29. Другите прости броеви формираат кластери. Тоа се 101, 103, 107 итн. Научниците долго време се сомневаа дека такви кластери постојат меѓу многу големи прости броеви. Доколку се најдат, тогаш стабилноста на модерните крипто клучеви ќе биде доведена во прашање.

Хипотеза за циклус на Хоџ

Овој досега нерешен проблем е формулиран во 1941 година. Хипотезата на Хоџ сугерира можност за приближување на обликот на кој било предмет со „лепење“ на едноставни тела со повисоки димензии. Овој метод е познат и успешно се користи долго време. Сепак, не е познато до кој степен може да се направи поедноставување.

Сега знаете кои нерешливи проблеми постојат во моментот. Тие се предмет на истражување на илјадници научници ширум светот. Останува да се надеваме дека тие ќе бидат решени во блиска иднина, а нивните практична употребаќе му помогне на човештвото да влезе во нова рунда на технолошки развој.

Значи, последната теорема на Ферма (често наречена последна теорема на Ферма), формулирана во 1637 година од брилијантниот француски математичар Пјер Ферма, е многу едноставна по својата суштина и разбирлива за секој човек со средно образование. Таа вели дека формулата a со јачина од n + b со јачина од n \u003d c до моќ од n нема природни (односно, нефракционо) решенија за n> 2. Се чини дека сè е едноставно и јасно , но најдобрите математичари и обичните аматери се бореа за барање решение повеќе од три и пол века.

Нема многу луѓе во светот кои никогаш не слушнале за Последната теорема на Ферма - можеби ова е единствената математички проблем, која доби толку широка популарност и стана вистинска легенда. Се споменува во многу книги и филмови, додека главниот контекст на речиси сите споменувања е неможноста да се докаже теоремата.

Да, оваа теорема е многу позната и во извесна смисла стана „идол“ кој го обожаваат аматерски и професионални математичари, но малкумина знаат дека нејзиниот доказ е пронајден, а тоа се случи во 1995 година. Но, прво прво.

Значи, последната теорема на Ферма (често наречена последна теорема на Ферма), формулирана во 1637 година од брилијантниот француски математичар Пјер Ферма, е многу едноставна по природа и разбирлива за секој човек со средно образование. Таа вели дека формулата a со јачина од n + b со јачина од n \u003d c до моќ од n нема природни (односно, нефракционо) решенија за n> 2. Се чини дека сè е едноставно и јасно , но најдобрите математичари и обичните аматери се бореа за барање решение повеќе од три и пол века.

Зошто е толку позната? Сега да дознаеме...

Дали има малку докажани, недокажани, а сепак недокажани теореми? Работата е во тоа што Последната теорема на Ферма е најголемиот контраст помеѓу едноставноста на формулацијата и сложеноста на докажувањето. Последната теорема на Ферма е неверојатно тешка задача, а сепак нејзината формулација може да ја разбере секој со 5 одделенија во средно училиште, но доказот е далеку дури и од секој професионален математичар. Ниту во физиката, ниту во хемијата, ниту во биологијата, ниту во истата математика нема ниту еден проблем што би бил формулиран толку едноставно, но останал нерешен толку долго. 2. Од што се состои?

Да почнеме со Питагорови панталони Формулацијата е навистина едноставна - на прв поглед. Како што знаеме од детството, „Питагорејските панталони се еднакви од сите страни“. Проблемот изгледа толку едноставен затоа што се засноваше на математичка изјава што секој ја знае - Питагоровата теорема: во кој било правоаголен триаголник, квадратот изграден на хипотенузата е еднаков на збирот на квадратите изградени на катетите.

Во 5 век п.н.е. Питагора го основал Питагорејското братство. Питагорејците, меѓу другото, проучувале тројки со цели броеви кои ја задоволуваат равенката x²+y²=z². Тие докажаа дека има бесконечно многу Питагорови тројки и добија општи формули за нивно пронаоѓање. Веројатно се обиделе да бараат тројки и повисоки степени. Убедени дека тоа не функционира, Питагорејците ги напуштиле своите залудни обиди. Членовите на братството биле повеќе филозофи и естети отколку математичари.

Односно, лесно е да се подигне збир на броеви кои совршено ја задоволуваат еднаквоста x² + y² = z²

Почнувајќи од 3, 4, 5 - навистина, основецот разбира дека 9 + 16 = 25.

Или 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Одлично.

Па, излегува дека не го прават тоа. Тука започнува трикот. Едноставноста е очигледна, бидејќи е тешко да се докаже не присуството на нешто, туку, напротив, отсуството. Кога е потребно да се докаже дека има решение, може и треба едноставно да се презентира ова решение.

Потешко е да се докаже отсуството: на пример, некој вели: таква и таква равенка нема решенија. Го стави во локва? лесно: бам - и еве го, решението! (дадете решение). И тоа е тоа, противникот е поразен. Како да се докаже отсуството?

Да се ​​каже: „Не најдов такви решенија“? Или можеби не сте барале добро? А што ако се, само многу големи, добро, такви што дури и супермоќниот компјутер сè уште нема доволно сила? Ова е она што е тешко.

Во визуелна форма, тоа може да се прикаже на следниов начин: ако земеме два квадрати со соодветни големини и ги расклопиме на единечни квадрати, тогаш од овој куп единечни квадрати се добива трет квадрат (сл. 2):


И да го сториме истото со третата димензија (слика 3) - не функционира. Нема доволно коцки или остануваат дополнителни:

Но, математичарот од 17 век, Французинот Пјер де Ферма, ентузијастички ја проучувал општата равенка x n + y n \u003d z n. И, конечно, тој заклучи: за n>2 цели броеви не постојат решенија. Доказот на Ферма е неповратно изгубен. Ракописите се во пламен! Останува само неговата забелешка во Аритметика на Диофант: „Најдов навистина неверојатен доказ за овој предлог, но маргините овде се премногу тесни за да го содржат“.

Всушност, теорема без доказ се нарекува хипотеза. Но, Фермат има репутација дека никогаш не погрешил. Дури и да не оставил доказ за каква било изјава, тоа потоа било потврдено. Дополнително, Фермат ја докажа својата теза за n=4. Така, хипотезата на францускиот математичар влезе во историјата како последна теорема на Ферма.

По Фермат, таквите големи умови како Леонхард Ојлер работеа на барање доказ (во 1770 година тој предложи решение за n = 3),

Адриен Лежандре и Јохан Дирихле (овие научници заеднички пронајдоа доказ за n = 5 во 1825 година), Габриел Ламе (кој најде доказ за n = 7) и многу други. До средината на 80-тите години на минатиот век, стана јасно дека научниот свет е на пат кон конечното решение на Последната теорема на Ферма, но дури во 1993 година математичарите видоа и веруваа дека тривековната сага за пронаоѓање доказ за Последната теорема на Ферма беше речиси завршена.

Лесно е да се покаже дека е доволно да се докаже теоремата на Ферма само за простите n: 3, 5, 7, 11, 13, 17, … За композитното n, доказот останува валиден. Но, има бесконечно многу прости броеви...

Во 1825 година, користејќи го методот на Софи Жермен, жените математичари Дирихле и Лежандре независно ја докажаа теоремата за n=5. Во 1839 година, Французинот Габриел Ламе ја покажал вистинитоста на теоремата за n=7 користејќи го истиот метод. Постепено, теоремата беше докажана за скоро сите n помалку од сто.

Конечно, германскиот математичар Ернст Кумер во една брилијантна студија покажа дека методите на математиката во 19 век не можат да ја докажат теоремата во општи рамки. Наградата на Француската академија на науките, основана во 1847 година за докажување на теоремата на Ферма, остана неодредена.

Во 1907 година, богатиот германски индустријалец Пол Волфскел решил да си го одземе животот поради невозвратена љубов. Како вистински Германец, тој го постави датумот и времето на самоубиството: точно на полноќ. Последниот ден направи тестамент и напиша писма до пријателите и роднините. Работата заврши пред полноќ. Морам да кажам дека Пол се интересираше за математиката. Немајќи што да прави, отишол во библиотеката и почнал да ја чита познатата статија на Кумер. Одеднаш му се чинеше дека Кумер направил грешка во расудувањето. Волфскел, со молив во раката, почна да го анализира овој дел од статијата. Помина полноќ, дојде утро. Празнината во доказот беше пополнета. А самата причина за самоубиството сега изгледаше сосема смешно. Павле ги искинал прошталните писма и го препишал тестаментот.

Набрзо починал од природна смрт. Наследниците беа прилично изненадени: 100.000 марки (повеќе од 1.000.000 тековни фунти) беа префрлени на сметката на Кралското научно друштво од Гетинген, кое истата година објави конкурс за наградата Волфскел. 100.000 марки се потпираа на докажувачот на теоремата на Ферма. За побивање на теоремата не требаше да се плати ни фениг...

Повеќето професионални математичари сметаа дека потрагата по доказ за последната теорема на Ферма е изгубена причина и решително одбиле да губат време на таква залудна вежба. Но, аматерите веселат до слава. Неколку недели по објавувањето, лавина од „докази“ го погоди Универзитетот во Гетинген. Професорот Е. М. Ландау, чија должност беше да ги анализира испратените докази, им подели картички на своите студенти:

Почитувани (и). . . . . . . .

Ви благодариме за ракописот што го испративте со доказ за последната теорема на Ферма. Првата грешка е на страницата ... на линијата ... . Поради тоа, целиот доказ ја губи својата важност.
Професорот Е. М. Ландау

Во 1963 година, Пол Коен, потпирајќи се на наодите на Гедел, ја докажал нерешливоста на еден од дваесет и трите проблеми на Хилберт, хипотезата за континуум. Што ако и последната теорема на Ферма е нерешлива?! Но, вистинските фанатици на Големата теорема воопшто не разочараа. Појавата на компјутерите неочекувано им даде на математичарите нов метод на докажување. По Втората светска војна, групи на програмери и математичари ја докажаа Последната теорема на Ферма за сите вредности од n до 500, потоа до 1.000, а подоцна и до 10.000.

Во 80-тите, Семјуел Вагстаф ја подигна границата на 25.000, а во 90-тите, математичарите тврдеа дека последната теорема на Ферма е точна за сите вредности од n до 4 милиони. Но, ако дури и трилион трилион се одземе од бесконечноста, таа не станува помала. Математичарите не се убедени во статистиката. Докажувањето на Големата теорема значеше докажување за СИТЕ n одење до бесконечност.

Во 1954 година, двајца млади јапонски пријатели математичари почнаа да проучуваат модуларни форми. Овие форми генерираат серии на броеви, секој - своја серија. Случајно, Тањама ги спореди овие серии со серии генерирани од елиптични равенки. Се поклопија! Но, модуларните форми се геометриски објекти, додека елиптичните равенки се алгебарски. Помеѓу толку различни предмети никогаш не нашол врска.

Сепак, по внимателно тестирање, пријателите изнесоа хипотеза: секоја елиптична равенка има близнак - модуларна форма, и обратно. Токму оваа хипотеза стана основа на цел тренд во математиката, но додека не се докаже хипотезата Тањама-Шимура, целата зграда може да се урне во секој момент.

Во 1984 година, Герхард Фреј покажа дека решението на Ферматовата равенка, доколку постои, може да се вклучи во некоја елиптична равенка. Две години подоцна, професорот Кен Рибет докажа дека оваа хипотетичка равенка не може да има пандан во модуларниот свет. Оттука натаму, Последната теорема на Ферма беше нераскинливо поврзана со хипотезата Тањама-Шимура. Откако докажавме дека која било елиптична крива е модуларна, заклучуваме дека не постои елиптична равенка со решение на Ферматовата равенка, а последната теорема на Ферма веднаш ќе се докаже. Но, триесет години не беше можно да се докаже хипотезата Тањама-Шимура, а надежите за успех имаше се помалку.

Во 1963 година, кога имал само десет години, Ендрју Вајлс веќе бил фасциниран од математиката. Кога дознал за Големата теорема, сфатил дека не може да отстапи од неа. Како ученик, студент, дипломиран студент, тој се подготвил за оваа задача.

Откако дознал за наодите на Кен Рибет, Вајлс се фрлил на докажување на претпоставката Тањама-Шимура. Решил да работи во целосна изолација и тајност. „Разбрав дека сè што има врска со последната теорема на Ферма е од премногу интерес... Премногу гледачи намерно се мешаат во постигнувањето на целта“. Седум години напорна работа се исплатеше, Вајлс конечно го заврши доказот за претпоставката Тањама-Шимура.

Во 1993 година, англискиот математичар Ендрју Вајлс на светот му го претстави својот доказ за Последната теорема на Ферма (Вајлс го прочита својот сензационален извештај на конференција во Институтот Сер Исак Њутн во Кембриџ.), ​​работа на која траеше повеќе од седум години.

Додека возбудата продолжи во печатот, започна сериозна работа на проверка на доказите. Секој доказ мора внимателно да се испита пред доказот да се смета за ригорозен и точен. Вајлс помина бурно лето чекајќи повратни информации од рецензентите, надевајќи се дека ќе го добие нивното одобрување. На крајот на август експертите констатираа недоволно поткрепена пресуда.

Се покажа дека оваа одлука содржи груба грешка, иако генерално е вистина. Вајлс не се откажа, побара помош од познатиот специјалист за теорија на броеви Ричард Тејлор и веќе во 1994 година објавија поправен и дополнет доказ за теоремата. Најневеројатно е што ова дело зазема дури 130 (!) страници во математичкото списание Annals of Mathematics. Но, приказната не заврши ниту тука - последната точка беше истакната дури следната година, 1995 година, кога беше објавена конечната и „идеална“, од математичка гледна точка, верзија на доказот.

„...половина минута по почетокот на празничната вечера по повод нејзиниот роденден, на Надја и го дадов ракописот на целосниот доказ“ (Ендрју Велс). Спомнав дека математичарите се чудни луѓе?

Овој пат немаше сомнеж за доказот. Два написи беа подложени на највнимателна анализа и во мај 1995 година беа објавени во Annals of Mathematics.

Помина многу време од тој момент, но во општеството сè уште постои мислење за нерешливоста на Последната теорема на Ферма. Но, дури и оние кои знаат за пронајдениот доказ продолжуваат да работат во оваа насока - малку луѓе се задоволни што Големата теорема бара решение од 130 страници!

Затоа, сега силите на толку многу математичари (најчесто аматери, а не професионални научници) се фрлаат во потрага по едноставен и концизен доказ, но овој пат, најверојатно, нема да води никаде ...

извор

1. 1 Мурад:

   Равенството Zn = Xn + Yn го сметавме за Диофантова равенка или Големата теорема на Ферма, и ова е решението на равенката (Zn- Xn) Xn = (Zn - Yn) Yn. Тогаш Zn =-(Xn + Yn) е решение на равенката (Zn + Xn) Xn = (Zn + Yn) Yn. Овие равенки и решенија се поврзани со својствата на цели броеви и операциите на нив. Значи не ги знаеме својствата на цели броеви?! Со толку ограничено знаење, нема да ја откриеме вистината.
   Размислете за решенијата Zn = +(Xn + Yn) и Zn =-(Xn + Yn) кога n = 1. Цели броеви + Z се формираат со помош на 10 цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Се делат со 2 цели броеви+X - парни, последни десни цифри: 0, 2, 4, 6, 8 и +Y - непарни, последните десни цифри: 1, 3, 5, 7, 9, т.е. + X = + Y. Бројот на Y = 5 - непарни и X = 5 - парни броеви е: Z = 10. Ја задоволува равенката: (Z - X) X = (Z - Y) Y, а решението + Z = + X + Y= +(X + Y).
   Целите броеви -Z се состојат од унија на -X за парни и -Y за непарни и ја задоволуваат равенката:
   (Z + X) X = (Z + Y) Y, а растворот -Z = - X - Y = - (X + Y).
   Ако Z/X = Y или Z / Y = X, тогаш Z = XY; Z / -X = -Y или Z / -Y = -X, потоа Z = (-X) (-Y). Поделбата се проверува со множење.
   Едноцифрените позитивни и негативни броеви се состојат од 5 непарни и 5 непарни броеви.
   Да го разгледаме случајот n = 2. Тогаш Z2 = X2 + Y2 е решение на равенката (Z2 – X2) X2 = (Z2 – Y2) Y2 и Z2 = -(X2 + Y2) е решение на равенката (Z2 + X2) X2 = (Z2 + Y2) Y2. Сметавме дека Z2 = X2 + Y2 е Питагоровата теорема, а потоа решението Z2 = -(X2 + Y2) е истата теорема. Знаеме дека дијагоналата на квадрат го дели на 2 дела, каде што дијагоналата е хипотенузата. Тогаш важат равенствата: Z2 = X2 + Y2, и Z2 = -(X2 + Y2) каде што X и Y се краци. И повеќе решенија R2 = X2 + Y2 и R2 =- (X2 + Y2) се кругови, центри се потеклото на квадратниот координатен систем и со радиус R. Тие можат да се напишат како (5n)2 = (3n)2 + ( 4n)2 , каде што n се позитивни и негативни цели броеви и се 3 последователни броеви. Исто така, решенијата се 2 -битни броеви XY што започнува во 00 и завршува на 99 е 102 = 10x10 и брои 1 век = 100 години.
   Разгледајте решенија кога n = 3. Тогаш Z3 = X3 + Y3 се решенија на равенката (Z3 – X3) X3 = (Z3 – Y3) Y3.
   3-битни броеви XYZ започнува на 000 и завршува на 999 и е 103 = 10x10x10 = 1000 години = 10 века
   Од 1000 коцки со иста големина и боја, можете да направите рубик од околу 10. Размислете за рубик од редот +103=+1000 - црвен и -103=-1000 - син. Тие се состојат од 103 = 1000 коцки. Ако ги разложиме и ги ставиме коцките во еден ред или една врз друга, без празнини, добиваме хоризонтална или вертикална отсечка со должина 2000. Рубик е голема коцка, покриена со мали коцки, почнувајќи од големината 1butto = 10st. -21, а не можете да му додадете или одземете една коцка.
   - (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10); + (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9+10);
   - (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102); + (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82 + 92+102);
   - (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103); + (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73 + 83 + 93+103).
   Секој цел број е 1. Додадете 1(едени) 9 + 9 =18, 10 + 9 =19, 10 +10 =20, 11 +10 =21 и производите:
   111111111 x 111111111 = 12345678987654321; 1111111111 x 111111111 = 123456789987654321.
   0111111111x1111111110= 0123456789876543210; 01111111111x1111111110= 01234567899876543210.
   Овие операции може да се вршат на 20-битни калкулатори.
   Познато е дека +(n3 - n) секогаш се дели со +6, а - (n3 - n) се дели со -6. Знаеме дека n3 - n = (n-1)n(n+1). Ова е 3 последователни броеви (n-1)n(n+1), каде што n е парен, потоа се дели со 2, (n-1) и (n+1) непарни, деливи со 3. Тогаш (n-1) n(n+1) секогаш се дели со 6. Ако n=0, тогаш (n-1)n(n+1)=(-1)0(+1), n=20, тогаш (n-1) n (n+1) = (19) (20) (21).
   Знаеме дека 19 x 19 = 361. Тоа значи дека еден квадрат е опкружен со 360 квадрати, а потоа една коцка е опкружена со 360 коцки. Еднаквоста е исполнета: 6 n - 1 + 6n. Ако n=60, тогаш 360 - 1 + 360 и n=61, тогаш 366 - 1 + 366.
   Следниве генерализации произлегуваат од горенаведените изјави:
   n5 - 4n = (n2-4) n (n2+4); n7 - 9n = (n3-9) n (n3+9); n9 –16 n= (n4-16) n (n4+16);
   0… (n-9) (n-8) (n-7) (n-6) (n-5) (n-4) (n-3) (n-2) (n-1) n(n +1) (n+2) (n+3) (n+4) (n+5) (n+6) (n+7) (n+8) (n+9)…2n
   (n+1) x (n+1) = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3 )…3210
   n! = 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n; n! = n (n-1) (n-2) (n-3)…3210; (n+1)! =n! (n+1).
   0 +1 +2+3+…+ (n-3) + (n-2) + (n-1) +n=n (n+1)/2; n + (n-1) + (n-2) + (n-3) +…+3+2+1+0=n (n+1)/2;
   n (n+1)/2 + (n+1) + n (n+1)/2 = n (n+1) + (n+1) = (n+1) (n+1) = (n +1)2.
   Ако 0123… (n-3) (n-2) (n-1) n (n+1) n (n-1) (n-2) (n-3)…3210 x 11=
   = 013… (2n-5) (2n-3) (2n-1) (2n+1) (2n+1) (2n-1) (2n-3) (2n-5)…310.
   Секој цел број n е моќност од 10, има: – n и +n, +1/ n и -1/ n, непарни и парни:
   - (n + n +…+ n) = -n2; – (n x n x…x n) = -nn; – (1/n + 1/n +…+ 1/n) = – 1; – (1/n x 1/n x…x1/n) = -n-n;
   + (n + n +…+ n) =+n2; + (n x n x…x n) = + nn; + (1/n +…+1/n) = + 1; + (1/n x 1/n x…x1/n) = + n-n.
   Јасно е дека ако некој цел број се додаде на себе, тогаш тој ќе се зголеми за 2 пати, а производот ќе биде квадрат: X = a, Y = a, X + Y = a + a = 2a; XY = a x a = a2. Ова се сметаше за теорема на Виета - грешка!
   Доколку во даден бројдодадете го и одземете го бројот b, тогаш збирот не се менува, но производот се менува, на пример:
   X \u003d a + b, Y \u003d a - b, X + Y \u003d a + b + a - b \u003d 2a; XY \u003d (a + b) x (a -b) \u003d a2-b2.
   X = a +√b, Y = a -√b, X+Y = a +√b + a – √b = 2a; XY \u003d (a + √b) x (a - √b) \u003d a2- b.
   X = a + bi, Y = a - bi, X + Y = a + bi + a - bi = 2a; XY \u003d (a + bi) x (a -bi) \u003d a2 + b2.
   X = a + √b i, Y = a - √bi, X+Y = a + √bi+ a - √bi =2a, XY = (a -√bi) x (a -√bi) = a2+b.
   Ако ставиме цели броеви наместо буквите a и b, тогаш добиваме парадокси, апсурди и недоверба во математиката.