Образовно-методолошки прирачник
да се подготви за Единствен државен испит по математика

ТРИГОНОМЕТРИЈАТА ВО УПОТРЕБА ВО МАТЕМАТИКАТА

Целта на ова упатство е да помош на ученици во подготовка за обединет државен испит по математика во делот „Тригонометрија“.

ВО тетраткасе врши анализа и се даваат решенија за типични проблеми во тригонометријата што ги нуди Московскиот институт отворено образованиево различни контролни, дијагностички, тренинзи, демонстрации и испитни трудовипо математика за ученици од 10 и 11 одделение.

По анализата на секој типичен проблем, дадени се слични проблеми за самостојно решавање.

Со потребните теоретски информации, што се користи при решавање проблеми, може да се најде во делот „Тригонометрија“ на нашиот „Прирачник по математика за ученици“.

Со главната методи на решение тригонометриски равенки можете да не запознаете во нашата едукативен прирачник„Решавање тригонометриски равенки“.

За ученици од 10 и 11 одделение кои сакаат добро да се подготват и да положат Единствен државен испит по математика или руски јазикна висок резултат, Едукативниот центар„Резолвента“ спроведува курсеви за подготовка за Единствениот државен испит.

Организираме и за ученици

Со демо Опции за обединет државен испит , објавено на официјалната информативен порталЕден Државен испит, може да се најде на

\(\црн триаголник\) Размислете за правоаголен координатен систем и во него круг со единица радиус и центар на почетокот.

Агол во \(1^\circ\)- таков е централен агол, кој лежи на лак чија должина е еднаква на \(\dfrac1(360)\) должината на целиот круг.

\(\црн триаголник\) Ќе ги разгледаме аглите на кругот во кој темето е во центарот на кругот, а едната страна секогаш се совпаѓа со позитивната насока на оската \(Ox\) (означена со црвено на сликата) .
Аглите се означени на овој начин \(45^\circ,\ 180^\circ,\ 240^\circ\):

Забележете дека аголот \(0^\circ\) е агол чии двете страни се совпаѓаат со позитивната насока на оската \(Ox\) .

Точката во која втората страна на таков агол \(\алфа\) ја пресекува кружницата ќе се вика \(P_(\alpha)\) .
Позицијата на точката \(P_(0)\) ќе се нарече почетна позиција.

Така, можеме да кажеме дека ротираме во круг од почетната позиција \(P_0\) до позицијата \(P_(\alpha)\) за агол \(\alpha\) .

\(\црн триаголник\) Вртење спротивно од стрелките на часовникот во круг е позитивна ротација. Вртењето во насока на стрелките на часовникот е негативна ротација.

На пример, на сликата се означени аглите \(-45^\circ, -90^\circ, -160^\circ\):

\(\црн триаголник\) Размислете за точката \(P_(30^\circ)\) на круг. За да ротирате во круг од почетната позиција до точката \(P_(30^\circ)\), треба да ротирате низ аголот \(30^\circ\) (портокалова). Ако направиме целосна револуција (т.е. за \(360^\circ\) ) и уште едно вртење за \(30^\circ\) , тогаш повторно ќе дојдеме до оваа точка, иако веќе направивме пресврт до агол \(390^\circ=360^\circ+30^\circ\)(сина). До оваа точка можеме да дојдеме и со вртење кон \(-330^\circ\) (зелено), до \(750^\circ=360^\circ+360^\circ+30^\circ\)итн.

Така, секоја точка на кругот одговара на бесконечен број агли, а овие агли се разликуваат еден од друг со цел број на целосни вртежи ( \(n\cdot360^\circ, n\in\mathbb(Z)\)).
На пример, аголот \(30^\circ\) е \(360^\circ\) поголем од аголот \(-330^\circ\) и \(2\cdot 360^\circ\) помал од аголот \(750^\circ\) .

Сите агли лоцирани во точката \(P_(30^\circ)\) може да се напишат во форма: \(\алфа=30^\circ+n\cdot 360^\circ, \n\in\mathbb(Z)\).

\(\црн триаголник\) Агол во \(1\) радијани- ова е централниот агол што лежи на лак чија должина е еднаква на радиусот на кругот:

Бидејќи должината на целиот круг со радиус \(R\) е еднаква на \(2\pi R\), а во степен мерка - \(360^\circ\), тогаш имаме \(360^\circ=2\pi \cdot 1\textbf(rad)\), каде \ Ова е основната формула со која можете да конвертирате степени во радијани и обратно.

Пример 1.Најдете ја радијанската мерка на аголот \(60^\circ\) .

Бидејќи \(180^\circ = \pi \Dightarrow 1^\circ = \dfrac(\pi)(180) \Rightarrow 60^\circ=\dfrac(\pi)3\)

Пример 2.Најдете степен меркаагол \(\dfrac34 \pi\) .

Бидејќи \(\pi=180^\circ \Десна стрелка \dfrac34 \pi=\dfrac34 \cdot 180^\circ=135^\circ\).

Обично тие пишуваат, на пример, не \(\dfrac(\pi)4 \text(rad)\), но едноставно \(\dfrac(\pi)4\) (т.е. мерната единица „rad“ е испуштена). Ве молиме имајте предвид дека означувањето на степени при пишување агол не спуштај. Така, со пишување „аголот е еднаков на \(1\)“ мислиме дека „аголот е еднаков на \(1\) радијани“, а не „аголот е еднаков на \(1\) степени“.

Бидејќи \(\pi \дебела приближно 3,14 \Десна стрелка 180^\circ \дебелоприближно 3,14 \textbf(rad) \Десна стрелка 1 \textbf(rad) \дебело приближно 57^\circ\).
Таква приближна замена не може да се направи во проблеми, но знаејќи колку \(1\) радијани во степени е приближно еднакво на често помага во решавањето на некои проблеми. На пример, на овој начин е полесно да се најде агол од \(5\) радијани на круг: тој е приближно еднаков на \(285^\circ\) .

\(\црн триаголник\) Од текот на планиметријата (геометрија на рамнина) знаеме дека за агли \(0<\alpha< 90^\circ\) определены синус, косинус, тангенс и котангенс следующим образом:
ако е даден правоаголен триаголник со страни \(a, b, c\) и агол \(\алфа\), тогаш:

Бидејќи сите агли се дефинирани на единечниот круг \(\алфа\ин(-\infty;+\infty)\), тогаш треба да одредите синус, косинус, тангента и котангента за кој било агол.
Размислете за единечниот круг и на него аголот \(\алфа\) и соодветната точка \(P_(\alpha)\) :

Да ја спуштиме нормалната \(P_(\alpha)K\) од точката \(P_(\alpha)\) до оската \(Ox\) . Добиваме правоаголен триаголник \(\триаголник OP_(\алфа)К\) од кој имаме: \[\sin\alpha=\dfrac(P_(\alpha)K)(P_(\alpha)O) \qquad \cos \alpha=\dfrac(OK)(P_(\alpha)O)\]Забележете дека отсечката \(OK\) не е ништо повеќе од апсцисата \(x_(\alpha)\) на точката \(P_(\alpha)\) и отсечката \(P_(\alpha)K\) е ординатата \(y_(\алфа)\) . Забележете исто така дека бидејќи го зедовме единечниот круг, тогаш \(P_(\alpha)O=1\) е неговиот радиус.
Така, \[\sin\alpha=y_(\алфа), \qquad \cos \alpha=x_(\алфа)\]

Така, ако точката \(P_(\alpha)\) имала координати \((x_(\alpha)\,;y_(\alpha))\), тогаш преку соодветниот агол нејзините координати може да се препишат како \(( \ cos\alpha\,;\sin\alpha)\) .

Дефиниција: 1. Синус на аголот \(\алфа\) е ордината на точката \(P_(\alpha)\) што одговара на овој агол на единечната кружница.

2. Косинусот на аголот \(\алфа\) е апсциса на точката \(P_(\alpha)\) што одговара на овој агол на единечната кружница.

Затоа, оската \(Oy\) се нарекува оска на синуси, оската \(Ox\) се нарекува оска на косинуси.

\(\црн триаголник\) Кругот може да се подели на \(4\) четвртини, како што е прикажано на сликата.

Бидејќи во \(I\) четвртина и апсцисата и ординатите на сите точки се позитивни, тогаш косинусите и синусите на сите агли од оваа четвртина се исто така позитивни.
Бидејќи во \(II\) четвртина, ординатите на сите точки се позитивни, а апсцисите се негативни, потоа косинусите на сите агли од оваа четвртина се негативни, а синусите се позитивни.
Слично на тоа, можете да го одредите знакот на синус и косинус за останатите четвртини.

Пример 3.Бидејќи, на пример, точките \(P_(\frac(\pi)(6))\) и \(P_(-\frac(11\pi)6)\) се совпаѓаат, тогаш нивните координати се еднакви, т.е. \(\sin\dfrac(\pi)6=\sin \left(-\dfrac(11\pi)6\десно),\ \cos \dfrac(\pi)6=\cos \left(-\dfrac( 11\pi)6\десно)\).

Пример 4.Размислете за точките \(P_(\alpha)\) и \(P_(\pi-\alpha)\) . Дозволете за погодност нека \(0<\alpha<\dfrac{\pi}2\) .

Ајде да нацртаме перпендикулари на оската \(Ox\) : \(OK\) и \(OK_1\) . Триаголниците \(OKP_(\alpha)\) и \(OK_1P_(\pi-\alpha)\) се еднакви во хипотенузата и аголот ( \(\агол P_(\алфа)OK=\агол P_(\pi-\алфа)OK_1=\алфа\)). Оттука, \(OK=OK_1, KP_(\alpha)=K_1P_(\pi-\alpha)\). Бидејќи координати на точки \(P_(\алфа)=(OK;KP_(\алфа))=(\cos\алфа\,;\sin\алфа)\), и точките \(P_(\pi-\алфа)=(-OK_1;K_1P_(\pi-\алфа))=(\cos(\pi-\алфа)\,;\sin(\pi-\алфа))\), оттука, \[\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha, \qquad \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\]

На овој начин се нарекуваат други формули формули за намалување: \[(\large(\begin(array)(l|r) \hline \sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha & \cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha & \cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\\ \sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha & \cos (2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\\ \sin \left(\dfrac(\pi)2\pm\alpha\right)=\cos\alpha & \cos\left(\dfrac (\pi)2\pm\алфа\десно)=\pm\sin\alpha\\ \hline \end (низа)))\]

Користејќи ги овие формули, можете да го најдете синусот или косинусот на кој било агол, намалувајќи ја оваа вредност на синусот или косинусот на аголот од четвртината \(I\).

Табела на синуси, косинуси, тангенти и котангенти на агли од прва четвртина:
\[(\large(\begin(низа)(|c|c|c|c|c|c|) \hline &&&&&\\[-17pt] & \quad 0 \quad (0^ \circ)& \quad \dfrac(\pi)6 \quad (30^\circ) & \quad \dfrac(\pi)4 \quad (45^\circ) & \quad \dfrac(\pi)3 \quad (60^\circ )& \quad \dfrac(\pi)2 \quad (90^\circ) \\ &&&&&\\[-17pt] \hline \sin & 0 &\frac12&\frac(\sqrt2)2&\frac(\sqrt3) 2&1\\ \hline \cos &1&\frac(\sqrt3)2&\frac(\sqrt2)2&\frac12&0\\ \hline \mathrm(tg) &0 &\frac(\sqrt3)3&1&\sqrt3&\infty\\ \hline \mathrm(ctg) &\infty &\sqrt3&1&\frac(\sqrt3)3&0\\ \hline \end(низа)))\]

Забележете дека овие вредности се прикажани во делот „Геометрија на рамнина (планиметрија). Дел II“ во темата „Почетни информации за синус, косинус, тангента и котангента“.

Пример 5.Најдете \(\sin(\dfrac(3\pi)4)\) .

Ајде да го трансформираме аголот: \(\dfrac(3\pi)4=\dfrac(4\pi-\pi)(4)=\pi-\dfrac(\pi)4\)

Така, \(\sin(\dfrac(3\pi)4)=\sin\left(\pi-\dfrac(\pi)4\десно)=\sin\dfrac(\pi)4=\dfrac(\sqrt2) 2\).

\(\blacktriangleright\) За полесно запомнување и користење на формулите за намалување, можете да го следите следново правило.

Случај 1.\(n\cdot \pi\pm \алфа\) \[\sin(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\] \[\cos(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]

Знакот на агол може да се најде со одредување во кој квадрант се наоѓа. Користејќи го ова правило, претпоставуваме дека аголот \(\алфа\) е во квадрантот \(I\).

Случај 2.Ако аголот може да се претстави во форма , каде \(n\in\mathbb(N)\) , тогаш \[\sin(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \cos\alpha\]каде што на местото на \(\bigodot\) е знакот на синусот на аголот \(n\cdot \pi\pm \alpha\) . \[\cos(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \sin\alpha\]каде што на местото на \(\bigodot\) е знакот на косинус на аголот \(n\cdot \pi\pm \alpha\) .

Знакот се одредува на ист начин како и во случајот \(1\) .

Забележете дека во првиот случај функцијата останува непроменета, а во вториот случај се менува (велат дека функцијата се менува во кофункција).

Пример 6.Најдете \(\sin \dfrac(13\pi)(3)\) .

Ајде да го трансформираме аголот: \(\dfrac(13\pi)(3)=\dfrac(12\pi+\pi)(3)=4\pi+\dfrac(\pi)3\), оттука, \(\sin \dfrac(13\pi)(3)=\sin \left(4\pi+\dfrac(\pi)3\десно)=\sin\dfrac(\pi)3=\dfrac(\sqrt3) 2\)

Пример 7.Најдете \(\cos \dfrac(17\pi)(6)\) .

Ајде да го трансформираме аголот: \(\dfrac(17\pi)(6)=\dfrac(18\pi-\pi)(6)=3\pi-\dfrac(\pi)6\), оттука, \(\cos \dfrac(17\pi)(6)=\cos \left(3\pi-\dfrac(\pi)6\десно)=-\cos\dfrac(\pi)6=-\dfrac( \sqrt3)2\)

\(\црн триаголник\) Опсег на вредности на синус и косинус.
Бидејќи координатите \(x_(\alpha)\) и \(y_(\alpha)\) на која било точка \(P_(\alpha)\) на единечниот круг се во опсег од \(-1\) до \ (1\) , и \(\cos\alpha\) и \(\sin\alpha\) се апсциса и ордината, соодветно, на оваа точка, тогаш \[(\large(-1\leq \cos\alpha\leq 1 ,\qquad -1\leq\sin\alpha\leq 1))\]

Од правоаголен триаголник според Питагоровата теорема имаме: \(x^2_(\алфа)+y^2_(\алфа)=1^2\)
Бидејќи \(x_(\алфа)=\cos\алфа,\ y_(\алфа)=\sin\алфа \Десна стрелка\) \[(\large(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)) - \textbf(основен тригонометриски идентитет (GTT))\]

\(\црн триаголник\) Тангента и котангента.

Бидејќи \(\mathrm(tg)\,\alpha=\dfrac(\sin\alpha)(\cos\alpha), \cos\alpha\ne 0\)

\(\mathrm(ctg)\,\alpha=\dfrac(\cos\alpha)(\sin\alpha), \sin\alpha\ne 0\), Тоа:

1) \((\large(\mathrm(tg)\,\alpha\cdot \mathrm(ctg)\,\alpha=1, \cos\alpha\ne 0, \sin\alpha \ne 0))\)

2) тангентата и котангентата се позитивни во \(I\) и \(III\) четвртини и негативни во \(II\) и \(IV\) четвртини.

3) опсегот на вредности на тангента и котангента - сите реални броеви, т.е. \(\mathrm(tg)\,\alpha\in\mathbb(R), \ \mathrm(ctg)\,\alpha\in\mathbb(R)\)

4) формули за редукција се дефинирани и за тангента и котангента.

Случај 1. \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]каде што на местото на \(\bigodot\) е знакот на тангентата на аголот \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]каде што на местото на \(\bigodot\) е знакот на аголната котангента \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ).

Случај 2.Ако аголот може да се претстави како \(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm\алфа\), каде \(n\in\mathbb(N)\) , тогаш \[\mathrm(tg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(ctg)\,\alpha\]каде што на местото \(\bigodot\) има знак за тангента на аголот \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\sin\alpha\ne 0\) ). \[\mathrm(ctg)\,(n\cdot \pi+\dfrac(\pi)2\pm \alpha)=\bigodot \mathrm(tg)\,\alpha\]каде што на местото на \(\bigodot\) е знакот на аголната котангента \(n\cdot \pi\pm \alpha\) (\(\cos\alpha\ne 0\) ).

5) тангентната оска поминува низ точката \((1;0)\) паралелно со синусната оска, а позитивната насока на тангентната оска се совпаѓа со позитивната насока на синусната оска;
оската котангента е низ точката \((0;1)\) паралелна со косинусната оска, а позитивната насока на котангентната оска се совпаѓа со позитивната насока на косинусната оска.

Ќе дадеме доказ за овој факт користејќи го примерот на тангентата оска.

\(\триаголник OP_(\алфа)K \sim \триаголник AOB \Десна стрелка \dfrac(P_(\алфа)K)(OK)=\dfrac(BA)(OB) \Десна стрелка \dfrac(\sin\алфа)( \cos\alpha)=\dfrac(BA)1 \Десна стрелка BA=\mathrm(tg)\,\alpha\).

Така, ако точката \(P_(\alpha)\) е поврзана со права линија со центарот на кругот, тогаш оваа права линија ќе ја пресече тангентата линија во точка чија вредност е \(\mathrm(tg)\ ,\алфа\) .

6) од главниот тригонометриски идентитет произлегуваат следните формули: \ Првата формула се добива со делење на десната и левата страна на OTT со \(\cos^2\alpha\), втората со делење со \(\sin^2\alpha\) .

Ве молиме имајте предвид дека тангентата не е дефинирана под агли каде што косинус е нула (ова е \(\алфа=\dfrac(\pi)2+\pi n, n\in\mathbb(Z)\));
котангенсот не е дефиниран под агли каде што синусот е нула (ова е \(\алфа=\pi+\pi n, n\in\mathbb(Z)\)).

\(\црн триаголник\) Равномерност на косинус и необичност на синус, тангента, котангента.

Потсетиме дека функцијата \(f(x)\) се повикува дури и ако \(f(-x)=f(x)\) .

Функцијата се нарекува непарна ако \(f(-x)=-f(x)\) .

Од кругот може да се види дека косинусот на аголот \(\алфа\) е еднаков на косинусот на аголот \(-\alpha\) за сите вредности на \(\alpha\):

Така, косинус е парна функција, што значи дека формулата \[(\Large(\cos(-x)=\cos x))\] е точно

Од кругот е јасно дека синусот на аголот \(\алфа\) е спротивен на синусот на аголот \(-\alpha\) за сите вредности на \(\alpha\):

Така, синусот е непарна функција, што значи дека формулата е точна \[(\Големи(\sin(-x)=-\sin x))\]

Тангента и котангента се исто така непарни функции: \[(\Големи(\mathrm(tg)\,(-x)=-\mathrm(tg)\,x))\] \[(\Големи(\mathrm(ctg)\,(-x)=-\mathrm(ctg)\,x))\]

Бидејќи \(\mathrm(tg)\,(-x)=\dfrac(\sin (-x))(\cos(-x))=\dfrac(-\sin x)(\cos x)=-\mathrm (tg)\,x \qquad \mathrm(ctg)\,(-x)=\dfrac(\cos(-x))(\sin(-x))=-\mathrm(ctg)\,x\))

Како што покажува практиката, еден од најтешките делови од математиката со кој се среќаваат учениците на обединетиот државен испит е тригонометријата. Науката за односот на страните во триаголниците започнува да се учи во 8-мо одделение. Равенките од овој тип содржат променлива под знакот на тригонометриски функции. И покрај фактот дека наједноставните од нив: \(sin x = a\) , \(cos x = a\) , \(tg x = a\) , \(ctg x = a\) - се познати на речиси секој ученик, нивното спроведување е често тешко.

На Единствениот државен испит по математика на ниво на профил, правилно решената задача од тригонометрија е многу високо оценета. Ученикот може да добие до 4 основни поени за правилно извршување на задача од овој дел. За да го направите ова, барањето мамечки листови за тригонометрија за обединетиот државен испит е речиси бесмислено. Најразумно решение е добро да се подготвите за испитот.

Како да се направи тоа?

За да се осигурате дека тригонометријата во Обединетиот државен испит по математика не ве плаши, користете го нашиот портал кога се подготвувате. Удобно е, едноставно и ефикасно. Во овој дел од нашиот образовен портал, отворен за студенти и во Москва и во другите градови, теоретскиот материјал и формулите за тригонометријата за обединет државен испит се претставени на достапен начин. Исто така, за сите математички дефиниции избравме примери со детален опис на процесот на нивно решавање.

По проучувањето на теоријата во делот „Тригонометрија“ во подготовка за Единствениот државен испит, препорачуваме да отидете во „Каталози“ за да се асимилира стекнатото знаење подобро. Овде можете да изберете проблеми на тема од интерес и да ги видите нивните решенија. Така, повторувањето на теоријата на тригонометријата во обединетиот државен испит ќе биде што е можно поефективно.

Што треба да знаете?

Пред сè, треба да ги научите вредностите на \(sin\) , \(cos\) , \(tg\) , \(ctg\) акутните агли од \(0°\) до \(90° \) . Исто така, при подготовката за обединет државен испит во Москва, вреди да се потсетиме на основните методи за решавање на проблеми со тригонометрија. Треба да се напомене дека кога ги завршувате задачите, мора да ја намалите равенката до наједноставната форма. Можете да го направите ова на следниов начин:

факторинг на равенката;
замена на променлива (сведување на алгебарски равенки);
што доведува до хомогена равенка;
се движи кон половина агол;
претворање на производите во суми;
со внесување на помошен агол;
користејќи го универзалниот метод на замена.

Во овој случај, најчесто ученикот при решавањето треба да употреби неколку од наведените методи.

Назад напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Доколку сте заинтересирани за оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

„Кажи ми и ќе заборавам,
Покажи ми и ќе се сетам
Вклучете ме и ќе научам“.
(кинеска поговорка)

Математиката одамна стана јазик на науката и технологијата, а сега сè повеќе навлегува во секојдневниот живот и секојдневниот јазик и се повеќе се воведува во области кои традиционално изгледаат оддалечени од неа. Интензивната математизација на различни области на човековата активност особено се засили со брзиот развој на компјутерите. Компјутеризацијата на општеството и воведувањето на современи информатички технологии бараат математичка писменост на човекот на секое работно место. Ова претпоставува и специфично математичко знаење и одреден стил на размислување. Особено, учењето тригонометрија е важен аспект. Проучувањето на тригонометриските функции е широко користено во практиката, во проучувањето на многу физички процеси, во индустријата, па дури и во медицината. На учениците кои во иднина ќе ја користат математиката во своите професионални активности мора да им се обезбеди висока математичка подготовка.

Тригонометријата е составен дел од училишниот курс по математика. Доброто знаење и силните вештини во тригонометријата се доказ за доволно ниво на математичка култура, неопходен услов за успешно изучување на математика, физика и голем број технички дисциплини на универзитет. Сепак, значителен дел од матурантите откриваат од година во година многу слаба подготовка во овој важен дел од математиката, за што сведочат резултатите од изминатите години, бидејќи анализата на обединетиот државен испит покажа дека учениците прават многу грешки при завршувањето на задачите во овој конкретен дел или воопшто не ги земајте за такви задачи.

Но, дури и Грците, во зората на човештвото, ја сметале тригонометријата за најважна од науките, бидејќи геометријата е кралица на математиката, а тригонометријата е кралица на геометријата. Затоа, ние, без да ги оспоруваме старите Грци, тригонометријата ќе ја сметаме за еден од најважните делови на училишниот курс и воопшто на целата математичка наука.

Физиката и геометријата не можат без тригонометријата. Единствениот државен испит не може без тригонометрија. Само во делот Б, прашањата за тригонометријата се наоѓаат во речиси третина од видовите задачи. Ова вклучува решавање на наједноставните тригонометриски равенки во задачата Б5 и работа со тригонометриски изрази во задачата Б7 и проучување на тригонометриските функции во задачата Б14, како и задачите Б12, кои содржат формули кои опишуваат физички феномени и содржат тригонометриски функции. Невозможно е да не се забележат геометриски задачи, во чие решение се користат дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента на остар агол на правоаголен триаголник и основни тригонометриски идентитети. И ова е само дел Б! Но, има и омилени тригонометриски равенки со избор на корени C1 и „не толку омилени“ геометриски задачи C2 и C4.

Како може студентите да се обучуваат за овие теми? Може да се понудат голем број методи, но најважно е децата да немаат чувство на страв и непотребна вознемиреност, поради огромната разновидност на различни задачи и формули. И за ова е неопходно да се создаде позитивно расположение при решавање на овие задачи. Оваа презентација може да се користи за одржување на часови со студенти и за говор на семинари за математичари во подготовка за обединет државен испит. Нуди некои видови задачи и ги дискутира нивните решенија.

Добрата обука може да биде не само едноставно решение на овие задачи, туку и нивна компилација од страна на учениците. Во зависност од подготовката, тоа може да бидат тестови за разработување на ограничувања во решавањето на тригонометриските равенки C1, па дури и на самите равенки.

Друг активен метод е да се спроведуваат часови во форма на интелектуални игри. Една од најзгодните опции, мислам, е форматот „Прилагодена игра“. Оваа форма на игра, особено сега со употреба на компјутерски презентации, може да се користи за време на тест лекции, по изучување на темите и во подготовка за обединет државен испит. Предложеното дело содржи „Ваша сопствена игра. Решавање на тригонометриски равенки и неравенки“.

Резултатот од предложената работа треба да биде успешно решавање на задачите од Обединетиот државен испит на тема „Тригонометрија“.

Видео курсот „Земи А“ ги вклучува сите теми неопходни за успешно полагање на Единствениот државен испит по математика со 60-65 поени. Целосно сите задачи 1-13 од Профил унифициран државен испит по математика. Погоден е и за полагање на Основен унифициран државен испит по математика. Ако сакате да го положите обединетиот државен испит со 90-100 поени, првиот дел треба да го решите за 30 минути и без грешки!

Подготвителен курс за Единствен државен испит за 10-11 одделение, како и за наставници. Сè што ви треба за да го решите Дел 1 од Единствениот државен испит по математика (првите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрија). И ова се повеќе од 70 поени на обединет државен испит и без нив не може ниту студент од 100, ниту студент на хуманитарни науки.

Целата потребна теорија. Брзи решенија, замки и тајни на Единствениот државен испит. Анализирани се сите тековни задачи од дел 1 од FIPI Task Bank. Курсот целосно е во согласност со барањата на Единствениот државен испит 2018 година.

Курсот содржи 5 големи теми, по 2,5 часа. Секоја тема е дадена од нула, едноставно и јасно.

Стотици задачи за обединет државен испит. Проблеми со зборови и теорија на веројатност. Едноставни и лесни за паметење алгоритми за решавање проблеми. Геометрија. Теорија, референтен материјал, анализа на сите видови задачи за унифициран државен испит. Стереометрија. Слабо решенија, корисни мамечки листови, развој на просторна имагинација. Тригонометрија од почеток до проблем 13. Разбирање наместо набивање. Јасни објаснувања на сложените концепти. Алгебра. Корени, моќи и логаритми, функција и извод. Основа за решавање на сложени проблеми од Дел 2 од Единствениот државен испит.

А)Решете ја равенката 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.

б) \лево[ \frac(3\pi )2;\,3\pi \десно].

Прикажи решение

Решение

А)Отворајќи ги заградите и поместувајќи ги сите членови на левата страна, ја добиваме равенката 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Имајќи предвид дека \cos x \neq 0, терминот 2 \sin x може да се замени со 2 tan x \cos x, ја добиваме равенката 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0,кој со групирање може да се сведе на формата (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.

1) 1-tg x=0, тен x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;

2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.

б)Користејќи го кругот со броеви, изберете ги корените што припаѓаат на интервалот \лево[ \frac(3\pi )2;\, 3\pi \десно].

x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac(9\pi)4,

x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac(7\pi)3,

x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac(5\pi )3.

Одговори

А) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;

б) \frac(5\pi)3, \frac(7\pi)3, \frac(9\pi)4.

Состојба

А)Решете ја равенката (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt (tgx)=0.

б)Наведете ги корените на оваа равенка кои припаѓаат на интервалот \left(0;\,\frac(3\pi )2\десно] ;

Прикажи решение

Решение

А)ОДЗ: \begin(случаи) tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end(случаи)

Оригиналната равенка на ODZ е еквивалентна на множество равенки

\left[\!\!\begin(array)(l) 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \крај (низа)\десно.

Да ја решиме првата равенка. За да го направите ова, ќе направиме замена \cos 4x=t, t \in [-1; 1].Потоа \sin^24x=1-t^2. Добиваме:

2(1-t^2)-3t=0,

2t^2+3t-2=0,

t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\не [-1; 1].

\cos 4x=\frac12,

4x=\pm\frac\pi 3+2\pi n,

x=\pm \frac\pi (12)+\frac(\pi n)2, n \in \mathbb Z.

Да ја решиме втората равенка.

tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.

Користејќи го единечниот круг, наоѓаме решенија кои го задоволуваат ODZ.

Знакот „+“ ги означува 1-та и 3-та четвртина, во кои tg x>0.

Добиваме: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б)Ајде да ги најдеме корените кои припаѓаат на интервалот \left(0;\,\frac(3\pi)2\десно].

x=\frac\pi (12), x=\frac(5\pi)(12); x=\pi ; x=\frac(13\pi)(12); x=\frac(17\pi)(12).

Одговори

А) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi (12)+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac(5\pi )(12)+\pi m, m \in \mathbb Z.

б) \pi; \frac\pi (12); \frac(5\pi)(12); \frac(13\pi)(12); \frac(17\pi)(12).

Извор: „Математика. Подготовка за Единствен државен испит 2017 година. Ниво на профил." Ед. Ф. Ф. Лисенко, С. Ју. Кулабухова.

Состојба

А)Реши ја равенката: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;

б)Наведете ги сите корени кои припаѓаат на интервалот \left(\frac(7\pi)2;\,\frac(9\pi)2\десно].

Прикажи решение

Решение

А)Бидејќи \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6,Тоа \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6,Тоа значи дека дадената равенка е еквивалентна на равенката \cos^2x=\cos ^22x, која, пак, е еквивалентна на равенката \cos^2x-\cos ^2 2x=0.

Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x)И

\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, па равенката станува

(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot(\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,

(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.

Тогаш или 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, или 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.

Решавајќи ја првата равенка како квадратна равенка за \cos x, добиваме:

(\cos x)_(1,2)=\frac(1\pm\sqrt 9)4=\frac(1\pm3)4.Затоа или \cos x=1 или \cos x=-\frac12.Ако \cos x=1, тогаш x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Ако \cos x=-\frac12,Тоа x=\pm \frac(2\pi)3+2s\pi, s \in \mathbb Z.

Слично, решавајќи ја втората равенка, добиваме или \cos x=-1 или \cos x=\frac12.Ако \cos x=-1, тогаш корените x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z.Ако \cos x=\frac12,Тоа x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.

Ајде да ги комбинираме добиените решенија:

x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.

б)Ајде да ги избереме корените што спаѓаат во даден интервал користејќи круг со број.

Добиваме: x_1 =\frac(11\pi)3, x_2=4\pi, x_3 =\frac(13\pi)3.

Одговори

А) m\pi, m\in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;

б) \frac(11\pi)3, 4\pi, \frac(13\pi)3.

Состојба

А)Решете ја равенката 10\cos ^2\frac x2=\frac(11+5ctg\лево(\dfrac(3\pi)2-x\десно) )(1+tgx).

б)Наведете ги корените на оваа равенка кои припаѓаат на интервалот \left(-2\pi ; -\frac(3\pi)2\десно).

Прикажи решение

Решение

А) 1. Според формулата за намалување, ctg\left(\frac(3\pi)2-x\десно) =tgx.Доменот на дефиниција на равенката ќе биде такви вредности на x такви што \cos x \neq 0 и tan x \neq -1. Ајде да ја трансформираме равенката користејќи ја косинусната формула со двоен агол 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x.Ја добиваме равенката: 5(1+\cos x) =\frac(11+5tgx)(1+tgx).

забележи, тоа \frac(11+5tgx)(1+tgx)= \frac(5(1+tgx)+6)(1+tgx)= 5+\frac(6)(1+tgx),па равенката станува: 5+5 \cos x=5 +\frac(6)(1+tgx).Од тука \cos x =\frac(\dfrac65)(1+tgx), \cos x+\sin x =\frac65.

2. Трансформирајте \sin x+\cos x користејќи ја формулата за редукција и формулата за збир на косинуси: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\десно), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\десно)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\десно)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\десно) = \frac65.

Од тука \cos \left(x-\frac\pi 4\десно) =\frac(3\sqrt 2)5.Средства, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k, k \in \mathbb Z,

или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t, t \in \mathbb Z.

Затоа x=\frac\pi 4+arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi k,k \in \mathbb Z,

или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac(3\sqrt 2)5+2\pi t,t \in \mathbb Z.

Пронајдените вредности на x припаѓаат на доменот на дефиниција.

б)Прво да откриеме каде корените на равенката паѓаат при k=0 и t=0. Тоа ќе бидат бројки соодветно a=\frac\pi 4+arccos \frac(3\sqrt 2)5И b=\frac\pi 4-arccos \frac(3\sqrt 2)5.

1. Да ја докажеме помошната неравенка:

\frac(\sqrt 2)(2)<\frac{3\sqrt 2}2<1.

Навистина, \frac(\sqrt 2)(2)=\frac(5\sqrt 2)(10)<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.

Забележете го и тоа \left(\frac(3\sqrt 2)5\десно) ^2=\frac(18)(25)<1^2=1, Средства \frac(3\sqrt 2)5<1.

2. Од нееднаквости (1) Според косинусното својство на лакот добиваме:

лак 1

Од тука \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,

0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,

Исто така, -\frac\pi 4

0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5< \frac\pi 4<\frac\pi 2,

За k=-1 и t=-1 ги добиваме корените на равенката a-2\pi и b-2\pi.

\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac(3\sqrt 2)5,\, b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac(3\sqrt 2)5\Bigg).При што -2\pi

2\pi Тоа значи дека овие корени припаѓаат на дадениот интервал \left(-2\pi, -\frac(3\pi)2\десно).

За другите вредности на k и t, корените на равенката не припаѓаат на дадениот интервал.

Навистина, ако k\geqslant 1 и t\geqslant 1, тогаш корените се поголеми од 2\pi. Ако k\leqslant -2 и t\leqslant -2, тогаш корените се помали -\frac(7\pi)2.

Одговори

А) \frac\pi4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5+2\pi k, k\in\mathbb Z;

б) -\frac(7\pi)4\pm arccos\frac(3\sqrt2)5.

Состојба

А)Решете ја равенката \sin \left(\frac\pi 2+x\десно) =\sin (-2x).

б)Најди ги сите корени на оваа равенка што припаѓаат на интервалот ;

Прикажи решение

Решение

А)Ајде да ја трансформираме равенката:

\cos x =-\sin 2x,

\cos x+2 \sin x \cos x=0,

\cos x(1+2 \sin x)=0,

\cos x=0,

x =\frac\pi 2+\pi n, n\in \mathbb Z;

1+2 \sin x=0,

\sin x=-\frac12,

x=(-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Корените кои припаѓаат на отсечката ги наоѓаме користејќи го единечниот круг.

Посочениот интервал содржи еден број \frac\pi 2.

Одговори

А) \frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z; (-1)^(k+1)\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;

б) \frac\pi 2.

Состојба

не е вклучен во ДЗ.

Средства, \sin x \neq 1.

Поделете ги двете страни на равенката со фактор (\sin x-1),различен од нула. Ја добиваме равенката \frac 1(1+\cos 2x)=\frac 1(1+\cos (\pi +x)),или равенка 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).Применувајќи ја формулата за намалување на левата страна и формулата за намалување на десната страна, ја добиваме равенката 2 \cos ^2 x=1-\cos x.Оваа равенка е со замена \cos x=t,Каде -1 \leqslant t \leqslant 1намалете го на квадрат: 2t^2+t-1=0,чии корени t_1=-1И t_2=\frac12.Враќајќи се на променливата x, добиваме \cos x = \frac12или \cos x=-1,каде x=\frac \pi 3+2\pi m, m \in \mathbb Z, x=-\frac \pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z, x=\pi +2\pi k, k \in \mathbb Z.

б)Ајде да ги решиме нееднаквостите

1) -\frac(3\pi)2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2,

2) -\frac(3\pi )2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi (2,)

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2, m, n, k \in \mathbb Z.

1) -\frac(3\pi )2 \leqslant \frac(\pi)3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2, -\frac32\leqslant \frac13+2m \leqslant -\frac12 -\frac(11)6 \leqslant 2m\leqslant -\frac56, -\frac(11)(12) \leqslant m \leqslant -\frac5(12).

\лево [-\frac(11)(12);-\frac5(12)\десно].

2) -\frac (3\pi) 2 \leqslant -\frac(\pi )3+2\pi n \leqslant -\frac(\pi )(2), -\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12, -\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1(6), -\frac7(12) \leqslant n \leqslant -\frac1(12).

Нема цели броеви во опсегот \left[ -\frac7(12) ; -\frac1(12)\десно].

3) -\frac(3\pi )2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac(\pi)2, -\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12, -\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32, -\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.

Оваа неравенка се задоволува со k=-1, потоа x=-\pi.