Денес ќе анализираме неколку физички проблеми поврзани со пресметување на потенцијалот на сферата. Се случува новите проблеми во физиката да се појавуваат многу поретко отколку, на пример, во математиката. Ова е разбирливо, бидејќи излезе со оригинал физички проблемдалеку од едноставно. Од година во година на различни физички олимпијади, Опции за обединет државен испитпо физика и други дијагностичка работасе појавуваат истите проблеми, а често авторите од различни причини дури и не ги менуваат нумеричките вредности на параметрите вклучени во состојбата. Решението за некои од овие често сретнувани проблеми (примамливо е да ги наречеме „брадести“, но попрво би ги нарекол „популарни“) проблеми е дадено во оваа статија.

Задача 1.истурете во една голема капка nидентични капки жива наполнети со потенцијалот φ . Колкав ќе биде потенцијалот Φ на овој пад? Да претпоставиме дека капките се сферични.

Решение.Потенцијалот на наполнета топка (која, по конвенција, е секоја од капките) се одредува со формулата:

Каде П- полнење на топката, ε 0 = 8,85 10 -12 F/m - диелектрична константа, Р- радиус на топката.

Тогаш потенцијалот на капката формирана по спојувањето може да се одреди на следниов начин:

Вкупно наплата П, според законот за зачувување на надоместокот, се определува со збирот на давачките qсекоја мала капка: П = n·q. Како да поврзете радиус Рдобиениот голем пад со радиус рсекое малечко? Го користиме фактот дека како резултат на спојувањето, волуменот на живата не се менува, односно (се претпоставува дека се сеќавате на формулата за пресметување на волуменот на топката, ако не, погледнете овде):

Значи добиваме:

постои, по дефиниција, потенцијал за една мала капка, па конечно добиваме одговор:

Задача 2.Метална топка со радиус рсместен во течен диелектрик со густина ρ 2. Густината на материјалот од кој е направена топката е ρ 1 (ρ 1 > ρ 2). Колку е полнењето на топката ако во еднообразно електрично поле насочено вертикално нагоре, топката е суспендирана во течност? Електрично поле се создава од две паралелни плочи, чие растојание е г, и потенцијалната разлика У.

Решение.

Бидејќи топката е во рамнотежа, векторскиот збир на сите сили што дејствуваат на него е нула

На топката дејствуваат три сили: гравитација mg = ρ 1 gV (насочен надолу), пловна сила на Архимед Ф A= ρ 2 gV(насочено нагоре), Кулонова сила Ф q = qE(насочено нагоре). Фактот дека Кулоновата сила е насочена нагоре произлегува од фактот дека густината на материјалот на топката е поголема од густината на течниот диелектрик во кој таа плови. Тоа значи дека тој ќе се удавел доколку не бил обвинет. Она што го спасува од ова е дополнителната сила на Кулонот, корежирана со пловната сила на Архимед.

Топката е во рамнотежа, што значи дека векторскиот збир на сите сили што дејствуваат на неа е еднаков на нула:

Или во проекција на вертикалната оска:

Имајќи ги предвид формулите напишани погоре:

Земајќи ја предвид формулата за волуменот на топката ( В = 4/3πr 3) и формула која ја одразува врската помеѓу јачината на полето и напонот помеѓу две точки ( У=Д), го добиваме финалето одговор:

Задача 3.Должина на проводникот лсе движи со постојано забрзување а, насочен по неговата оска. Одреди го напонот што се јавува помеѓу краевите на проводникот; м e е електронската маса, | д| - елементарно полнење.

Решение.Како што се движи прачката, некои од електроните по инерција се поместуваат на еден од неговите краеви (ситуацијата потсетува на воз во метрото - шипката - и патниците кои се возат во неа - електроните).

Процесот на проток ќе продолжи се додека електричното поле создадено во прачката не почне да делува на електроните со сила | д|Е, Каде Е- јачината на ова поле, еднаква по големина мд а. Јачината на полето е поврзана со напонот помеѓу краевите на проводникот со односот: У = Е · л. После сите замени и трансформации добиваме одговор:

Проблемите се преземени од наплатата. Сите задачи во оваа збирка се дадени со одговори, па ако сакате, можете самостојно да ја процените вашата сила во нивното решавање. Испратете ни ги вашите прашања и интересни задачи, а ние дефинитивно ќе ги разгледаме во некоја од следните статии.


Сергеј Валериевич

Илјада идентични сферични капки жива се наполнети со ист потенцијал од 0,1 V. Определете го потенцијалот на големата сферична капка што произлегува од фузија на мали капки.

Задача бр. 6.4.6 од „Збирка проблеми за подготовка за приемните испитипо физика USPTU"

Со оглед на:

\(N=1000\), \(\varphi_0=0,1\) V, \(\varphi-?\)

Решението на проблемот:

Мора да разберете дека волуменот на голема сферична капка \(V\) е еднаков на збирот на волумените \(V_0\) на сите мали капки жива, од кои, според условот, има само \(N \) парчиња. Според тоа, еднаквоста важи:

Нека радиусот на голема капка е еднаков на \(R\), радиусот на мали капки е \(r\), а потоа, потсетувајќи ја формулата од математиката за одредување на волуменот на топката, можеме да ја напишеме формулата (1) во следнава форма:

\[\frac(4)(3)\pi (R^3) = N \cdot \frac(4)(3)\pi (r^3)\]

\[(R^3) = N(r^3)\]

\[\frac(R)(r) = (N^(\frac(1)(3)))\;\;\;(2)\]

Да ги напишеме формулите за одредување на електричните капацитети на големите \(C\) и малите \(C_0\) капки:

\[\лево\( \почеток(собрано)
C = 4\pi (\varepsilon _0)R \hfill \\
(C_0) = 4\pi (\varepsilon _0)r \hfill \\
\крај (собрано) \десно.\]

Ајде да ја поделиме горната еднаквост со долната:

\[\frac(C)(((C_0))) = \frac(R)(r)\]

Ако се земе предвид претходно добиената (2), имаме:

\[\frac(C)(((C_0))) = (N^(\frac(1)(3)))\;\;\;(3)\]

Од законот за зачувување на полнежот произлегува дека постои врска помеѓу полнежот за голем пад \(q\) и обвиненијата \(q_0\) од падовите на бројот на \(N\) парчиња:

\[\frac(q)(((q_0))) = N\;\;\;(4)\]

Дозволете ни да напишеме формули за одредување на потенцијалите на големи \(\varphi\) и мали \(\varphi_0\) капки низ полнежи и електрични капацитети:

\[\лево\( \почеток(собрано)
\varphi = \frac(q)(C) \hfill \\
(\varphi _0) = \frac (((q_0))) (((C_0))) \hfill \\
\крај (собрано) \десно.\]

Ајде да ја поделиме горната еднаквост со долната, тогаш:

\[\frac(\varphi)(((\varphi _0))) = \frac((q \cdot (C_0)))(((q_0) \cdot C))\]

Земајќи ги предвид (3) и (4), добиваме:

\[\frac(\varphi )(((\varphi _0))) = \frac(N)(((N^(\frac(1)(3)))))\]

\[\varphi = (\varphi _0)(N^(\frac(2)(3)))\]

Проблемот е решен во општа форма, го пресметуваме одговорот:

\[\varphi = 0,1 \cdot (1000^(\frac(2)(3)) = 10 \;V\]

Одговор: 10 В.

Ако не го разбирате решението и имате какви било прашања или сте нашле грешка, тогаш слободно оставете коментар подолу.

Основи > Проблеми и одговори > Електрично поле

Потенцијал. Работа на електрични сили.


1 Најдете го потенцијалот на топка со радиус R = 0,1 m, ако на растојание r = 10 m од неговата површина потенцијалот електрично поле
Решение:
Полето надвор од топката се совпаѓа со полето на точка полнење еднакво на полнењето q на топката и поставено во нејзиниот центар. Според тоа, потенцијалот во точка лоцирана на растојание R + r од центарот на топката е j r = kq/(R + r); оттука q = (R + r) j r /к. Потенцијал на површината на топката

2 N идентични сферични капки жива се полни на ист начин до истиот потенцијалј . Колкав ќе биде потенцијалот F на голема капка жива што произлегува од спојувањето на овие капки?

Решение:
Нека полнежот и радиусот на секоја капка жива се еднакви на q ир . Потоа нејзиниот потенцијал j = kq / р. Полнењето на голем пад е Q = Nq, а ако неговиот радиус еР , тогаш неговиот потенцијал Ф = kQ/R = kN q /R = N j r / R. Волумени на мали и големи капкиИ се поврзани со релацијата V=N u. Затоа, потенцијалот

3 Во центарот на метална сфера со радиус R = 1 m, која носи позитивен полнеж Q = 10 nC, има мало топче со позитивен или негативен полнеж |q| = 20 nC. Најдете потенцијалј електрично поле во точка која се наоѓа на растојание r=10R од центарот на сферата.
Решение:
Како резултат на електростатска индукција, полнежи еднакви по големина, но спротивен знак ќе се појават на надворешната и внатрешната површина на сферата (види проблеми оризот 332). Надвор од сферата, потенцијалите на електричните полиња создадени од овие полнежи во која било точка се еднакви по големина и спротивни по знак. Според тоа, потенцијалот на вкупното поле на индуцирани полнежи е нула. Така, остануваат само полињата создадени надвор од сферата од полнежот BQ на неговата површина и полнежот q на топката. Потенцијалот на првото поле во точка оддалечена од центарот на сферата на растојание r, , и потенцијалот на второто поле во истата точка. Целосен потенцијал. На q =+20nC j =27V; при q =-20nC j =-9V.

4 До кој потенцијал може да се наполни нешто во воздухот (диелектрична константад =1) метална топка со радиус R = 3 cm, ако јачината на електричното поле при која се јавува распаѓање во воздухот е E = 3 MV/m?

Решение:
Електричното поле има најголем интензитет на површината на топката:
Потенцијал за топка; оттука j = ER =90 V.

5 Две еднакво наелектризирани топчиња лоцирани на растојание од r = 25 cm една од друга, комуницираат со сила F = 1 μN. До кој потенцијал се наполнети топчињата ако нивните дијаметри се D = 1 cm?

Решение:
Од законот на Кулон ги одредуваме полнежите на топчињата:. Полнење q се наоѓа на топка со радиус R =Д/ 2, создава потенцијал на површината на оваа топка

На местото каде што се наоѓа оваа топка, полнењето на друга топка создава потенцијал. Така, потенцијалот на секоја топка

6 На темињата на квадратот има точкасти полнежи (во nC): q1 = +1, q2=-2, q3= +3, q4=-4 (сл. 71). Најдете го потенцијалот и јачината на електричното поле во центарот на квадратот (во точката А). Квадратна дијагонала 2а = 20 см.

Решение:

Потенцијалот во центарот на квадратот е еднаков на алгебарскиот збирпотенцијали создадени од сите трошоци во овој момент:

Јачината на полето во центарот на плоштадот е векторска суматензии создадени од секое полнење во овој момент:

Модулите на овие тензии

Удобно е прво да се додадат во пар векторите насочени по истата дијагонала во спротивни насоки (сл. 339): E 1 + Е 3 и Е 2 + Е 4 . За дадени давачки, збирот Е 1 + Е 3 модул еднаков на збирот на Е 2 + Д 4 . Затоа, добиената напнатост Е е насочена долж симетралата на аголот помеѓу дијагоналите иправи агли со овие дијагонали a =45°. Неговиот модул Е = 2545 V/m.

7 Најдете ги потенцијалите и јачината на електричното поле во точките a и b, лоцирани од точкаст полнеж q=167 nC на растојанија r a = 5 cm и r b = = 20 cm, како и работата на електричните сили при движење на точкаст полнеж q 0 = 1 nC од точка a до точка b.

Решение: б

Потенцијали во овие точки

Работа на електричните сили при движење на полнежот q0 од точката a до точката b

8 Точка позитивен полнеж q создава полиња со интензитети Ea и Eb во точките a и b (сл. 72). Најдете ја работата направена од електричните сили при поместување на точкаст полнеж q0 од точката a до точката b.

Решение:
Јачина на електричното поле во точките a и b се еднакви
Каде -растојанија на точките a и b одполнење q. Потенцијалите во точките a и b се еднакви

оттука и работата потребна за движењеполнење q 0 од точка а до точкаб,

9 ВО атомска физикаЕнергијата на брзо наелектризираните честички се изразува во електрон волти.Електрон-волт (eV) е енергијата што електронот ја стекнува со летање во електрично поле по патека помеѓу точки, чија потенцијална разлика е 1 V. Електрон-волтот изразете го во џули. Која е брзината на електрон со енергија од 1 eV?

Решение:
Кога електрон минува низ потенцијална разлика V = 1 V електрични силиработи на електрон
Оваа работа е еднаква на кинетичка енергија,добиени од електрон, т.е.
Затоа што

10 Електрон лета од точката a до точката b, чија потенцијална разлика е V = 100 V. Која брзина ја стекнува електронот во точката b, ако во точката a неговата брзина била нула?

Решение:
Работата на електричните сили е еднаква на промената на кинетичката енергија на електронот:

1 1 Каква работа треба да се изврши при пренесување на точкаст полнеж q0=30 nC од бесконечност во точка која се наоѓа на растојание r=10 cm од површината на наполнета метална топка? Потенцијал на површината на топкатај = 200 V, радиус на топката R = 2 cm.

Решение:
Потенцијал на површината на топкатај = kq/R; оттука и неговиот полнеж q =ј R/k. Потенцијал на растојание R + r од центарот на топката
При пренос на полнење q 0 од точка со потенцијалдо бесконечност работата на електричните силиμJ. Истата работа мора да се изврши против електричните сили при пренос на полнеж q 0 од бесконечност до точка на растојаниер од површината на топката.

1 2 При пренесување точкаст полнеж q0 = 10 nC од бесконечност до точка која се наоѓа на растојание r = 20 cm од површината на наполнета метална топка, потребно е да се изврши работа A = 0,5 μJ. Радиус на сферата R=4 cm Најди го потенцијалотј на површината на топката.

Решение:

1 3 Два идентични полнежи q0=q=50 µC се наоѓаат на растојание rА = 1 m едни од други. Колку работа A мора да се направи за да се доближат до растојание r b =0,5 m?

Решение:

1 4 Два полнења qa=2 µC и qb=5 µC се наоѓаат на растојание од r=40 cm едно од друго во точките a и b (сл. 73). По правата cd, паралелно со правата ab на растојание d=30 cm од неа, се движи полнеж q0=100 µC. Најдете ја работата направена од електричните сили при поместување на полнежот q0 од точката c до точката d, ако правата ac и bd се нормални на права линија cd.

Решение:

1 5 Два паралелни тенки прстени со радиус R се наоѓаат на растојание d еден од друг на иста оска. Најдете ја работата направена од електричните сили при поместување на полнежот q0 од центарот на првиот прстен до центарот на вториот, ако полнежот q1 е рамномерно распределен на првиот прстен, а полнежот q2 е рамномерно распределен на вториот.

Решение:


Ајде да го најдеме потенцијалот создаден од полнењето q наоѓа на прстенот, во точката А на оската на прстенот, кој се наоѓа на растојание
x од неговиот центар (Слика 340, а) и, според тоа, на растојанијаод точките што лежат на прстенот. Ајде да го поделиме прстенот на сегменти кои се мали во споредба со растојаниетор. Потоа наполнете , кој се наоѓа на секој сегмент (i е бројот на сегментот), може да се смета како точка еден. Тоа создава потенцијал во точката А. Потенцијалот создаден во точката А од сите сегменти на прстенот (оддалечен од оваа точка на исто растојание r ), ќе биде

Во загради е збирот на полнежите на сите сегменти, т.е. полнењето на целиот прстен q; Затоа

Потенцијалот Ф1 на полето во центарот на првиот прстен е збирот на потенцијалот создаден од полнежот q 1 , кој се наоѓа на првиот прстен, за кој x = 0, и потенцијалот создаден од полнежот q2, кој се наоѓа на вториот прстен, за кој x = d (сл. 340,б). Потенцијалот во центарот на вториот прстен се наоѓа слично:

Конечно, за работа имаме

1 6 Полнењето q е рамномерно распоредено на тенок прстен со радиус R. Која е минималната брзина v што мора да се даде на топка со маса m со полнеж q0 сместена во центарот на прстенот за да може да се оддалечи од прстенот до бесконечност?

Решение:
Ако полнежите q0 и q се со ист знак, тогаш топката може да се отстрани од прстенот до бесконечност со тоа што ќе и се даде бесконечно мала брзина. Ако знаците на обвиненијата се различни, тогаш збирот на кинетичката и потенцијалната енергија на топката во центарот на прстенот треба да биде еднаков на нула, бидејќи е еднаков на нула во бесконечност:, каде што ј =kq/R - потенцијал во центарот на прстенот (види проблем 17); од тука

1 7 На топка со радиус R=2 cm се става полнеж q=4 pC. Со која брзина електрон се приближува до топката, почнувајќи од точка бесконечно оддалечена од неа?

Решение:

1 8 Помеѓу хоризонтално поставените плочи на рамен кондензатор, ненаполнета метална топка со маса m слободно паѓа од висина H. До која висина h, по апсолутно еластичен удар на долната плоча, топката ќе се подигне ако во моментот на ударот полнење q се пренесува на него? Потенцијалната разлика помеѓу плочите на кондензаторот е V, растојанието помеѓу плочите е d.

Решение:
Внатре во кондензаторот има еднообразно електрично поле со интензитет E = V/d, насочено вертикално. По ударот, топката добива полнење со истиот знак како долната плоча на кондензаторот. Според тоа, на него ќе дејствува силата на електричното поле F=qE=qV/ г, насочен нагоре. Според законот за зачувување на енергијата, промената на енергијата е еднаква на работа надворешни сили(во овој случај - електричен). Имајќи предвид дека ударот е апсолутно еластичен и дека во почетните и последните моменти топката има само потенцијална енергијаво гравитационото поле, добиваме
каде

1 9 Две топчиња со идентични полнежи q се наоѓаат на иста вертикала на растојание H една од друга. Долната топка е фиксирана неподвижна, а горната има масам , добива почетна брзина v насочена надолу. На кое минимално растојание h горната топка ќе се приближи до долната?

Решение:
Според законот за зачувување на енергијата

каде што qV е работа на електричните сили, V=kq/H-kq/h е потенцијалната разлика помеѓу точките на почетната и крајната положба на горната топка. За да се одреди h, добиваме квадратна равенка:

Решавајќи го, ќе најдеме

(знакот плус пред коренот би одговарал на максималната висина што ја достигнува топката доколку ја добие истата почетна брзина насочена нагоре).

20 Најдете го максималното растојание h помеѓу топчињата во услови на претходната задача, ако стационарното топче има негативен полнеж q, а почетната брзина v на горната топка е насочена нагоре.

Решение:

2 1 Електрон, кој лета во електрично поле од точка a до точка b, ја зголемува својата брзина со v a =1000 km/s до v b = 3000 km/s. Најдете ја потенцијалната разлика помеѓу точките a и b од електричното поле.

Решение:
Работата извршена на електрон од електрично поле еоди да ја зголеми кинетичката енергија на електронот:

каде
каде што е - специфичен полнеж на електрон. Потенцијалната разлика е негативна. Бидејќи електронот има негативен полнеж, брзината на електронот се зголемува додека се движи кон зголемување на потенцијалот.

2 2 Електрон лета во рамен кондензатор со брзина v = 20.000.000 m/s, насочен паралелно со кондензаторските плочи. На кое растојание h од неговата оригинална насока ќе се движи електронот за време на летот на кондензаторот? Растојанието помеѓу плочите е d=2 cm, должината на кондензаторот е l=5 cm, потенцијалната разлика помеѓу плочите е v=200 V.

Решение:
За време на летот t = l/v електронот се поместуваво насока на силата на растојание

каде што е - специфичен полнеж на електрон.

2 3 Позитивно наелектризирана прачка од масаr е во рамнотежа во кондензатор со паралелна плоча чии плочи се распоредени хоризонтално. Помеѓу плочите се создава потенцијална разлика V 1 =6000 V. Растојание помеѓу плочите d=5cm. За колкава количина треба да се промени потенцијалната разлика за честичката прашина да остане во рамнотежа ако нејзиниот полнеж се намали за q 0 =1000 e?

Решение:
На дамка прашина дејствува гравитацијата mg и силатаод електричното поле, каде-почетно полнење на дамка прашина
и E1 = V 1 /d е јачината на електричното поле во кондензаторот.
За да го одржувате зрното прашина во рамнотежа, горната плочаКондензаторот мора да биде негативно наполнет. Во рамнотежа
mg= F, или ; од тука .
Од намалувањето на полнењето на честичката прашина за q 0= 1000 e е еквивалентно на зголемување на позитивниот полнеж за q0, тогаш новото полнење на зрното прашина q 2 = q1 + q0. Во рамнотежа, каде што V 2 -нова потенцијална разлика помеѓу плочите. Земајќи ги предвид изразите за q2, q1 и q0, наоѓаме

Така, потенцијалната разлика мора да се смени во V2- V1 = - 980 V (знакот минус покажува дека треба да се намали, бидејќи полнењето на честичката прашина е зголемено).

2 4 Решете го претходниот проблем, имајќи предвид дека дамката прашина е негативно наелектризирана.

Решение:
Горната плоча на кондензаторот мора да се наполнипозитивно. Ново полнење на честичката прашина q2 = q 1 -qo, каде што qo= 1000 д.
Затоа (види проблем 23 )

Напонот помеѓу плочите мора да се зголеми за V2- V1 = 1460 V.

2 5 Во електричното поле на рамен кондензатор, чии плочи се наоѓаат хоризонтално, се става капка масло со полнење q = 1 e. Јачината на електричното поле е избрана така што капката е во мирување. Потенцијална разлика помеѓу кондензаторските плочи V = 500 V, растојание помеѓу плочите d = 0,5 cm Густина на маслото. Најдете го радиусот на капката масло.

Решение:
Во рамнотежа
каде

2 6 Внатре во рамен кондензатор, чии плочи се распоредени вертикално, има диелектрична прачка со должина l=1 cm со метални топчиња на краевите кои носат полнења +q и - q(|q|=1 nC). Стапчето може да ротира без триење околу вертикалната оска што минува низ нејзината средина. Потенцијалната разлика помеѓу плочите на кондензаторот е V = 3 V, растојанието помеѓу плочите е d = 10 cm. Колку работа мора да се направи за да се ротира стапот околу својата оска за 180° во однос на положбата што ја зазема на сл. 74?

Решение:
Јачината на електричното поле во кондензаторот е E=V/d.
Потенцијалната разлика помеѓу точките каде што се наоѓаат полнежите е

Каде -потенцијал на местото каде што се наоѓа полнењето + q, и-потенцијал на местото каде што се наоѓа полнењето - q; при што. Кога стапот се ротира, електричните сили работат за да го пренесат полнењето - q од точка a до точкаб и полнење + q од точката b до точката a, еднаква на

Знакот минус значи дека работата мора да ја вршат надворешни сили.

2 7 Диелектрична прачка со должина l=3 cm е поставена во внатрешноста на рамен кондензатор, на чии краеви има две точки полнења + q и -q (|q|=8 nC). Потенцијалната разлика помеѓу плочите на кондензаторот е V = 3 V, растојанието помеѓу плочите е d = 8 cm. Прачката е ориентирана паралелно со плочите. Најдете го моментот на сила што делува на шипката со полнежите.

Решение:

2 8 На краевите на диелектрична прачка со должина l=0,5 cm се закачени две мали топчиња кои носат полнења - q и +q (|q|=10 nC). Прачката се наоѓа помеѓу плочите на кондензаторот, чие растојание е d=10cm (сл. 75). На која минимална потенцијална разлика помеѓу плочите на кондензаторот V ќе пукне шипката ако ја издржи максималната сила на истегнување F = 0,01 N? Занемарете ја гравитацијата.

Решение:

2 9 Метална топка 1 со радиус R1=1 cm се прицврстува со помош на диелектрична шипка за балансниот сноп, по што вагата се балансира со тегови (сл. 76). Наполнета топка 2 со радиус R2 = 2 cm се става под топката 1. Растојанието помеѓу топчињата е h = 20 cm Топчињата 1 и 2 се поврзуваат едни со други со жица, а потоа жицата се отстранува. По ова, излегува дека за да се врати рамнотежата, неопходно е да се отстрани тежина од маса m = 4 mg од вагата. До кој потенцијалј Дали топката 2 беше наполнета пред жицата да ја поврзе со топката 1?

Решение:
Ако пред затворачката топка 2 имала полнење од 0, тогаш збирот на полнежите на топките 1 и 2 по затворањето е q 1 +q2 = q. Нивните потенцијали по затворањето се исти:. Оттука, По затворањето, топката 2 делува на топката 1 со сила
каде
Почетен потенцијал на топката 2