A swoje korzenie wywodzili od łacińskiego słowa „ratio”, co oznacza „powód”. Na podstawie dosłownego tłumaczenia:
- Liczba wymierna to „liczba rozsądna”.
- Liczba niewymierna jest zatem „liczbą nierozsądną”.
Ogólne pojęcie liczby wymiernej
Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako:
- Zwykły ułamek dodatni.
- Ujemny ułamek wspólny.
- Jako liczba zero (0).
Innymi słowy, do liczby wymiernej mają zastosowanie następujące definicje:
- Każda liczba naturalna jest z natury racjonalna, ponieważ każdą liczbę naturalną można przedstawić w postaci ułamka zwykłego.
- Dowolna liczba całkowita, łącznie z liczbą zero, ponieważ dowolną liczbę całkowitą można zapisać jako dodatni ułamek zwykły, jako ujemny ułamek zwykły lub jako liczbę zero.
- Dowolny ułamek zwykły, i nie ma znaczenia, czy jest dodatni, czy ujemny, również bezpośrednio zbliża się do definicji liczby wymiernej.
- Definicja może również obejmować liczbę mieszaną, skończony ułamek dziesiętny lub nieskończony ułamek okresowy.
Przykłady liczb wymiernych
Spójrzmy na przykłady liczby wymierne:
- Liczby naturalne - „4”, „202”, „200”.
- Liczby całkowite - „-36”, „0”, „42”.
- Ułamki zwykłe.
Z powyższych przykładów wynika, że jest to dość oczywiste liczby wymierne mogą być zarówno dodatnie, jak i ujemne. Naturalnie liczba 0 (zero), która z kolei jest liczbą wymierną, jednocześnie nie należy do kategorii liczby dodatniej ani ujemnej.
Stąd chciałbym przypomnieć program edukacji ogólnej stosując następującą definicję: „Liczby wymierne” to liczby, które można zapisać w postaci ułamka x/y, gdzie x (licznik) jest liczbą całkowitą, a y (mianownik) jest liczbą naturalną.
Ogólne pojęcie i definicja liczby niewymiernej
Oprócz „liczb wymiernych” znamy także tak zwane „liczby niewymierne”. Spróbujmy pokrótce zdefiniować te liczby.
Nawet starożytni matematycy, chcąc obliczyć przekątną kwadratu wzdłuż jego boków, dowiedzieli się o istnieniu liczby niewymiernej.
Na podstawie definicji liczb wymiernych można zbudować łańcuch logiczny i podać definicję liczby niewymiernej.
Zatem w istocie liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, są po prostu liczbami niewymiernymi.
Ułamki dziesiętne, wyrażające liczby niewymierne, nie są okresowe i nieskończone. 
Przykłady liczb niewymiernych
Dla jasności rozważmy mały przykład liczby niewymiernej. Jak już zrozumieliśmy, nieskończone dziesiętne ułamki nieokresowe nazywane są irracjonalnymi, na przykład:
- Liczba „-5.020020002... (wyraźnie widać, że dwójki oddzielone są ciągiem jednego, dwóch, trzech itd. zer)
- Liczba „7.040044000444... (tutaj jest jasne, że liczba czwórek i liczba zer zwiększa się o jeden za każdym razem w łańcuchu).
- Każdy zna liczbę Pi (3,1415...). Tak, tak – to też jest irracjonalne.
Ogólnie rzecz biorąc, wszystkie liczby rzeczywiste są zarówno wymierne, jak i niewymierne. Mówienie w prostych słowach, liczby niewymiernej nie można przedstawić w postaci ułamka zwykłego x/y.
Wniosek ogólny i krótkie porównanie liczb
Przyjrzeliśmy się każdej liczbie osobno, ale różnica między liczbą wymierną a liczbą niewymierną pozostaje:
- Liczba niewymierna pojawia się podczas wyciągania pierwiastka kwadratowego, dzielenia koła przez jego średnicę itp.
- Liczba wymierna reprezentuje ułamek zwykły.
Zakończmy nasz artykuł kilkoma definicjami:
- Operacja arytmetyczna wykonana na liczbie wymiernej, inna niż dzielenie przez 0 (zero), ostatecznie doprowadzi do liczby wymiernej.
- Końcowy wynik wykonania operacji arytmetycznej na liczbie niewymiernej może prowadzić zarówno do wartości wymiernej, jak i niewymiernej.
- Jeśli obie liczby wezmą udział w operacji arytmetycznej (z wyjątkiem dzielenia lub mnożenia przez zero), wówczas wynikiem będzie liczba niewymierna.
Frakcja m/n uznamy to za nieredukowalne (w końcu ułamek redukowalny zawsze można sprowadzić do postaci nieredukowalnej). Podnosząc obie strony równości do kwadratu, otrzymujemy M^2=2N^2. Stąd wnioskujemy, że m^2, a następnie liczba M- nawet. te. M = 2k. Dlatego M^2 = 4k^2, a zatem 4 k^2 =2N^2 lub 2 k^2 = N^2. Ale potem okazuje się, że N Również Liczba parzysta, ale tak nie może być, ponieważ ułamek m/n nieskracalny. Powstaje sprzeczność. Pozostaje stwierdzić: nasze założenie jest błędne i jest to liczba wymierna m/n równy √2, nie istnieje.”
To cały ich dowód.
Krytyczna ocena świadectw starożytnych Greków
Ale…. Spójrzmy na ten dowód starożytnych Greków nieco krytycznie. A jeśli jesteś bardziej ostrożny w prostej matematyce, możesz zobaczyć w niej, co następuje:
1) W liczbie wymiernej przyjętej przez Greków m/n liczby M I N- cały, ale nieznany(czy oni nawet, czy oni dziwne). I tak jest! Aby w jakiś sposób ustalić między nimi jakąkolwiek zależność, konieczne jest dokładne określenie ich celu;
2) Kiedy starożytni zdecydowali, że liczba M– nawet wtedy w równości akceptowali M = 2k oni (celowo lub z niewiedzy!) nie do końca „poprawnie” scharakteryzowali liczbę „ k " Ale oto numer k- Ten cały(CAŁY!) i całkiem słynny liczba, która dość jasno określa, co zostało znalezione nawet numer M. I nie zachowuj się w ten sposób znaleziony liczby " k„starożytni nie mogli w przyszłości” używać" i numer M ;
3) A kiedy z równości 2 k^2 = N^2 starożytni otrzymali tę liczbę N^2 jest parzyste i jednocześnie N– nawet wtedy musieliby nie spiesz się z wnioskiem o „ powstała sprzeczność”, ale lepiej upewnić się co do maksimum dokładność przez nich akceptowane” wybór" liczby " N ».
Jak mogli to zrobić? Tak, proste!
Spójrz: z równości uzyskali 2 k^2 = N^2 można łatwo uzyskać następującą równość k√2 = N. I nie ma tu nic nagannego – przecież dostali z równości m/n=√2 jest inną adekwatną do niego równością M^2=2N^2! I nikt im nie zaprzeczał!
Ale w nowej równości k√2 = N dla oczywistych CAŁKOWITYCH k I N z tego jasno wynika Zawsze zdobądź liczbę √2 - racjonalny . Zawsze! Ponieważ zawiera liczby k I N- słynne CAŁE!
Ale tak, że z ich równości 2 k^2 = N^2 i w konsekwencji z k√2 = N zdobądź liczbę √2 – irracjonalny (w ten sposób " życzyłem„starożytni Grecy!), to trzeba mieć w nich, najmniej , numer " k" Jak nie cały (!!!) liczby. A tego właśnie NIE mieli starożytni Grecy!
Stąd WNIOSEK: powyższy dowód niewymierności liczby √2, sporządzony przez starożytnych Greków 2400 lat temu, jest szczerze mówiąc błędny i matematycznie niepoprawne, żeby nie powiedzieć niegrzecznie – po prostu podróbka .
W pokazanej powyżej małej broszurze F-6 (patrz zdjęcie powyżej), wydanej w Krasnodarze (Rosja) w 2015 roku w łącznym nakładzie 15 000 egzemplarzy. (oczywiście z inwestycją sponsorską) nowy, niezwykle poprawny z punktu widzenia matematyki i niezwykle poprawny ] podany jest dowód na niewymierność liczby √2, co mogłoby się wydarzyć dawno temu, gdyby nie było twardych „ nauczyciel n” do studiowania starożytności historii.
Samo pojęcie liczby niewymiernej jest skonstruowane w ten sposób, że definiuje się ją poprzez negację własności „bycia wymierną”, dlatego dowód przez sprzeczność jest tutaj jak najbardziej naturalny. Można jednak przedstawić następujące rozumowanie.
Czym zasadniczo różnią się liczby wymierne od liczb niewymiernych? Obydwa można aproksymować liczbami wymiernymi z dowolną dokładnością, ale w przypadku liczb wymiernych istnieje przybliżenie z „zerową” dokładnością (o samą tę liczbę), ale w przypadku liczb niewymiernych już tak nie jest. Spróbujmy się w to „zabawić”.
Przede wszystkim zwróćmy uwagę na ten prosty fakt. Niech $%\alpha$%, $%\beta$% będą dwiema liczbami dodatnimi, które przybliżają się do siebie z dokładnością $%\varepsilon$%, czyli $%|\alpha-\beta|=\varepsilon$% . Co się stanie, jeśli zastąpimy liczby ich odwrotnościami? Jak zmieni się dokładność? Łatwo zauważyć, że $$\left|\frac1\alpha-\frac1\beta\right|=\frac(|\alpha-\beta|)(\alpha\beta)=\frac(\varepsilon)(\ alfa\beta),$$, która będzie dokładnie mniejsza niż $%\varepsilon$% dla $%\alfa\beta>1$%. Twierdzenie to można uznać za niezależny lemat.
Ustawmy teraz $%x=\sqrt(2)$% i niech $%q\in(\mathbb Q)$% będzie wymiernym przybliżeniem liczby $%x$% z dokładnością $%\varepsilon$ %. Wiemy, że $%x>1$%, a ze względu na przybliżenie $%q$% wymagana jest nierówność $%q\ge1$%. Wszystkie liczby mniejsze niż $%1$% będą miały gorszą dokładność aproksymacji niż sama $%1$%, dlatego nie będziemy ich brać pod uwagę.
Do każdej z liczb $%x$%, $%q$% dodajemy $%1$%. Oczywiście dokładność aproksymacji pozostanie taka sama. Teraz mamy liczby $%\alpha=x+1$% i $%\beta=q+1$%. Przejść do liczby wzajemne i stosując „lemat” dochodzimy do wniosku, że dokładność naszej aproksymacji uległa poprawie i wynosi dokładnie mniej niż $%\varepsilon$%. Spełniliśmy wymagany warunek $%\alpha\beta>1$% nawet z marginesem: tak naprawdę wiemy, że $%\alpha>2$% i $%\beta\ge2$%, z czego możemy wywnioskować dokładność ta poprawia się co najmniej $%4$% razy, to znaczy nie przekracza $%\varepsilon/4$%.
I tu jest główna kwestia: zgodnie z warunkiem $%x^2=2$%, czyli $%x^2-1=1$%, co oznacza, że $%(x+1)(x- 1)=1$%, czyli liczby $%x+1$% i $%x-1$% są względem siebie odwrotne. Oznacza to, że $%\alpha^(-1)=x-1$% będzie przybliżeniem liczby (wymiernej) $%\beta^(-1)=1/(q+1)$% z dokładnością dokładnie mniej $%\varepsilon$%. Pozostaje dodać do tych liczb $%1$% i okazuje się, że liczba $%x$%, czyli $%\sqrt(2)$%, ma nowe wymierne przybliżenie równe $%\beta ^(- 1)+1$%, czyli $%(q+2)/(q+1)$%, z „ulepszoną” dokładnością. To kończy dowód, ponieważ dla liczb wymiernych, jak zauważyliśmy powyżej, istnieje „absolutnie dokładne” racjonalne przybliżenie z dokładnością $%\varepsilon=0$%, gdzie w zasadzie nie można zwiększyć dokładności. Udało nam się to jednak zrobić, co świadczy o irracjonalności naszych liczb.
W rzeczywistości to rozumowanie pokazuje, jak konstruować konkretne racjonalne przybliżenia dla $%\sqrt(2)$% ze stale poprawiającą się dokładnością. Musimy najpierw przyjąć przybliżenie $%q=1$%, a następnie zastosować tę samą formułę zastępującą: $%q\mapsto(q+2)/(q+1)$%. W wyniku tego procesu powstają następujące wyniki: $$1,\frac32,\frac75,\frac(17)(12),\frac(41)(29),\frac(99)(70)$$ i tak dalej.
Co to są liczby niewymierne? Dlaczego tak się nazywają? Gdzie się je stosuje i czym są? Niewiele osób jest w stanie odpowiedzieć na te pytania bez zastanowienia. Ale tak naprawdę odpowiedzi na nie są dość proste, choć nie każdy ich potrzebuje i to w bardzo rzadkich sytuacjach
Istota i oznaczenie
Liczby niewymierne to nieskończone liczby nieokresowe. Konieczność wprowadzenia tego pojęcia wynika z faktu, że do rozwiązania pojawiających się nowych problemów dotychczasowe pojęcia liczb rzeczywistych, czyli rzeczywistych, całkowitych, naturalnych i wymiernych przestały wystarczać. Na przykład, aby obliczyć, która wielkość jest kwadratem 2, konieczne jest użycie nieokresowej nieskończoności miejsca dziesiętne. Ponadto wiele prostych równań również nie ma rozwiązania bez wprowadzenia pojęcia liczby niewymiernej.
Zbiór ten jest oznaczony jako I. I, jak już jest jasne, wartości tych nie można przedstawić jako ułamek prosty, którego licznik będzie liczbą całkowitą, a mianownikiem będzie
Po raz pierwszy w taki czy inny sposób indyjscy matematycy zetknęli się z tym zjawiskiem w VII wieku, kiedy odkryto, że pierwiastków kwadratowych niektórych wielkości nie można jednoznacznie wskazać. A pierwszy dowód na istnienie takich liczb przypisuje się Pitagorejczykowi Hippazosowi, który zrobił to w trakcie badania równoramiennych trójkąt prostokątny. Niektórzy inni naukowcy żyjący przed naszą erą wnieśli poważny wkład w badania tego zbioru. Wprowadzenie pojęcia liczb niewymiernych pociągnęło za sobą rewizję istniejącego systemu matematycznego, dlatego są one tak ważne.
pochodzenie imienia
Jeśli stosunek przetłumaczony z łaciny to „ułamek”, „stosunek”, to przedrostek „ir”
daje to słowo przeciwne znaczenie. Zatem nazwa zbioru tych liczb wskazuje, że nie można ich skorelować z liczbą całkowitą ani ułamkiem i mają osobne miejsce. Wynika to z ich istoty.
Miejsce w klasyfikacji generalnej
Liczby niewymierne, wraz z liczbami wymiernymi, należą do grupy liczb rzeczywistych lub rzeczywistych, które z kolei należą do liczb zespolonych. Nie ma podzbiorów, ale istnieją odmiany algebraiczne i przestępne, które zostaną omówione poniżej.
Nieruchomości
Ponieważ liczby niewymierne są częścią zbioru liczb rzeczywistych, odnoszą się do nich wszystkie ich właściwości badane w arytmetyce (zwane także podstawowymi prawami algebraicznymi).
a + b = b + a (przemienność);
(a + b) + c = a + (b + c) (łączność);
a + (-a) = 0 (istnienie liczby przeciwnej);
ab = ba (prawo przemienności);
(ab)c = a(bc) (rozdzielność);
a(b+c) = ab + ac (prawo dystrybucji);
a x 1/a = 1 (istnienie liczby odwrotnej);
Porównanie przeprowadza się również zgodnie z ogólnymi przepisami i zasadami:
Jeśli a > b i b > c, to a > c (przechodniość relacji) i. itp.
Oczywiście wszystkie liczby niewymierne można przeliczyć za pomocą podstawowej arytmetyki. Nie ma na to specjalnych zasad.
Ponadto aksjomat Archimedesa ma zastosowanie do liczb niewymiernych. Stwierdza, że dla dowolnych dwóch wielkości a i b prawdą jest, że jeśli przyjmiemy termin a jako wyraz wystarczającą liczbę razy, można przekroczyć b.
Stosowanie
Mimo że w życiu codziennym nie spotyka się ich zbyt często, liczb niewymiernych nie da się policzyć. Jest ich ogromna liczba, ale są prawie niewidoczne. Liczby niewymierne są wszędzie wokół nas. Przykłady znane każdemu to pi, które wynosi 3,1415926... lub e, które jest w zasadzie podstawą naturalny logarytm, 2.718281828... W algebrze, trygonometrii i geometrii trzeba ich stale używać. Nawiasem mówiąc, słynne znaczenie „złotego podziału”, czyli stosunku zarówno większej części do mniejszej, jak i odwrotnie, również
należy do tego zestawu. I ten mniej znany, „srebrny”.
Na osi liczbowej są one rozmieszczone bardzo gęsto, tak że pomiędzy dowolnymi dwiema wielkościami zaliczanymi do wymiernych z pewnością wystąpi niewymierna.
Z tym zestawem nadal pozostaje wiele nierozwiązanych problemów. Istnieją kryteria, takie jak miara irracjonalności i normalności liczby. Matematycy nadal badają najważniejsze przykłady, aby ustalić, czy należą one do tej, czy innej grupy. Na przykład uważa się, że e jest liczbą normalną, czyli prawdopodobieństwo pojawienia się różnych cyfr w jej zapisie jest takie samo. Jeśli chodzi o liczbę pi, badania na jej temat wciąż trwają. Miarą niewymierności jest wartość, która pokazuje, jak dobrze daną liczbę można przybliżyć za pomocą liczb wymiernych.
Algebraiczne i transcendentalne
Jak już wspomniano, liczby niewymierne są tradycyjnie podzielone na algebraiczne i przestępne. Warunkowo, gdyż ściśle rzecz biorąc, klasyfikacja ta służy do podziału zbioru C.
To oznaczenie ukrywa liczby zespolone, które obejmują liczby rzeczywiste lub rzeczywiste.
Zatem algebraika jest wartością będącą pierwiastkiem wielomianu, który nie jest identycznie równy zero. Na przykład, Pierwiastek kwadratowy liczba 2 należy do tej kategorii, ponieważ jest rozwiązaniem równania x 2 - 2 = 0.
Wszystkie inne liczby rzeczywiste, które nie spełniają tego warunku, nazywane są przestępnymi. W tej odmianie znajdują się najbardziej znane i już wspomniane przykłady - liczba pi i podstawa logarytmu naturalnego e.
Co ciekawe, ani jedno, ani drugie nie zostało pierwotnie opracowane przez matematyków w tym charakterze; ich irracjonalność i transcendencja zostały udowodnione wiele lat po ich odkryciu. Dla liczby pi dowód przedstawiono w 1882 r. i uproszczono w 1894 r., kończąc trwającą 2500 lat debatę na temat problemu kwadratury koła. Nie zostało to jeszcze w pełni zbadane, więc współcześni matematycy mają nad czym pracować. Nawiasem mówiąc, pierwsze dość dokładne obliczenie tej wartości przeprowadził Archimedes. Przed nim wszystkie obliczenia były zbyt przybliżone.
Dla e (liczba Eulera lub Napiera) dowód na jej transcendencję znaleziono w 1873 roku. Służy do rozwiązywania równań logarytmicznych.
Inne przykłady obejmują wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla dowolnej algebraicznej wartości niezerowej.
Zwłaszcza zrozumienie liczb liczby naturalne, jest jedną z najstarszych „umiejętności” matematycznych. Wiele cywilizacji, nawet współczesnych, przypisało liczbom pewne mistyczne właściwości ze względu na ich ogromne znaczenie w opisie przyrody. Chociaż nowoczesna nauka i matematyka nie potwierdzają tych „magicznych” właściwości, znaczenie teorii liczb jest niezaprzeczalne.
Historycznie rzecz biorąc, najpierw pojawiały się różne liczby naturalne, a następnie dość szybko dodawano do nich ułamki i dodatnie liczby niewymierne. Po tych podzbiorach zbioru wprowadzono liczby zerowe i ujemne liczby rzeczywiste. Ostatni set, set Liczby zespolone, pojawił się dopiero wraz z rozwojem współczesnej nauki.
W współczesna matematyka liczby nie są wpisane w porządku historycznym, chociaż dość do niego zbliżonym.
Liczby naturalne $\mathbb(N)$
Zbiór liczb naturalnych jest często oznaczany jako $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ i często jest uzupełniany zerem w celu oznaczenia $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definiuje operacje dodawania (+) i mnożenia ($\cdot$) z następującymi właściwościami dla dowolnego $a,b,c\in \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ zbiór $\mathbb(N)$ jest domknięty w wyniku operacji dodawania i mnożenia
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ przemienność
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ łączność
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ rozdzielność
5. $a\cdot 1=a$ jest elementem neutralnym przy mnożeniu
Ponieważ zbiór $\mathbb(N)$ zawiera element neutralny do mnożenia, ale nie do dodawania, dodanie zera do tego zbioru gwarantuje, że będzie zawierał element neutralny do dodawania.
Oprócz tych dwóch operacji, relacje „mniej niż” ($
1. Trichotomia $a b$
2. jeśli $a\leq b$ i $b\leq a$, to antysymetria $a=b$
3. jeśli $a\leq b$ i $b\leq c$, to $a\leq c$ jest przechodnie
4. jeśli $a\leq b$ to $a+c\leq b+c$
5. jeśli $a\leq b$ to $a\cdot c\leq b\cdot c$
Liczby całkowite $\mathbb(Z)$
Przykłady liczb całkowitych:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rozwiązanie równania $a+x=b$, gdzie $a$ i $b$ są znanymi liczbami naturalnymi, a $x$ jest nieznaną liczbą naturalną, wymaga wprowadzenia nowej operacji - odejmowania(-). Jeśli istnieje liczba naturalna $x$ spełniająca to równanie, to $x=b-a$. Jednak to konkretne równanie niekoniecznie ma rozwiązanie na zbiorze $\mathbb(N)$, dlatego względy praktyczne wymagają rozszerzenia zbioru liczb naturalnych o rozwiązania takiego równania. Prowadzi to do wprowadzenia zbioru liczb całkowitych: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Ponieważ $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, logiczne jest założenie, że wprowadzone wcześniej operacje $+$ i $\cdot$ oraz relacje $ 1. $0+a=a+0=a$ istnieje element neutralny do dodania
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ istnieje przeciwny numer$-a$ za $a$
Właściwość 5.:
5. jeśli $0\leq a$ i $0\leq b$, to $0\leq a\cdot b$
Zbiór $\mathbb(Z)$ jest również domknięty w ramach operacji odejmowania, czyli $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Liczby wymierne $\mathbb(Q)$
Przykłady liczb wymiernych:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Rozważmy teraz równania w postaci $a\cdot x=b$, gdzie $a$ i $b$ są znanymi liczbami całkowitymi, a $x$ jest niewiadomą. Aby rozwiązanie było możliwe należy wprowadzić operację dzielenia ($:$), a rozwiązanie przyjmuje postać $x=b:a$, czyli $x=\frac(b)(a)$ . Ponownie pojawia się problem, że $x$ nie zawsze należy do $\mathbb(Z)$, więc zbiór liczb całkowitych wymaga rozwinięcia. To wprowadza zbiór liczb wymiernych $\mathbb(Q)$ z elementami $\frac(p)(q)$, gdzie $p\in \mathbb(Z)$ i $q\in \mathbb(N)$. Zbiór $\mathbb(Z)$ jest podzbiorem, w którym każdy element $q=1$, zatem $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ oraz operacje dodawania i mnożenia rozciągają się na ten zbiór zgodnie z następujące zasady, które zachowują wszystkie powyższe właściwości na zbiorze $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Podział wprowadza się w następujący sposób:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Na zbiorze $\mathbb(Q)$ równanie $a\cdot x=b$ ma jedyna decyzja dla każdego $a\neq 0$ (dzielenie przez zero jest nieokreślone). Oznacza to, że istnieje element odwrotny $\frac(1)(a)$ lub $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\istnieje \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Porządek zbioru $\mathbb(Q)$ można rozwinąć w następujący sposób:
$\frac(p_1)(q_1)
Zbiór $\mathbb(Q)$ ma jedną ważną właściwość: pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi znajduje się nieskończenie wiele innych liczb wymiernych, zatem nie ma dwóch sąsiadujących ze sobą liczb wymiernych, w przeciwieństwie do zbiorów liczb naturalnych i całkowitych.
Liczby niewymierne $\mathbb(I)$
Przykłady liczb niewymiernych:
$\sqrt(2) \około 1,41422135...$
$\pi\około 3,1415926535...$
Ponieważ pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi znajduje się nieskończenie wiele innych liczb wymiernych, łatwo jest błędnie stwierdzić, że zbiór liczb wymiernych jest na tyle gęsty, że nie ma potrzeby go dalej rozszerzać. Nawet Pitagoras popełnił w swoich czasach taki błąd. Jednak jego współcześni obalili już ten wniosek, badając rozwiązania równania $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) na zbiorze liczb wymiernych. Aby rozwiązać takie równanie należy wprowadzić pojęcie pierwiastka kwadratowego i wówczas rozwiązanie tego równania ma postać $x=\sqrt(2)$. Równanie takie jak $x^2=a$, gdzie $a$ jest znaną liczbą wymierną, a $x$ jest nieznaną, nie zawsze ma rozwiązanie na zbiorze liczb wymiernych i ponownie pojawia się potrzeba rozszerzenia równania ustawić. Powstaje zbiór liczb niewymiernych i liczby takie jak $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... należą do tego zbioru.
Liczby rzeczywiste $\mathbb(R)$
Suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych jest zbiorem liczb rzeczywistych. Ponieważ $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, ponownie logiczne jest założenie, że wprowadzone operacje arytmetyczne i relacje zachowują swoje właściwości na nowym zbiorze. Formalny dowód tego jest bardzo trudny, dlatego powyższe własności operacji arytmetycznych i relacji na zbiorze liczb rzeczywistych wprowadza się w formie aksjomatów. W algebrze taki obiekt nazywa się ciałem, zatem zbiór liczb rzeczywistych nazywa się ciałem uporządkowanym.
Aby definicja zbioru liczb rzeczywistych była kompletna, należy wprowadzić dodatkowy aksjomat rozróżniający zbiory $\mathbb(Q)$ i $\mathbb(R)$. Załóżmy, że $S$ jest niepustym podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych. Element $b\in \mathbb(R)$ nazywany jest górną granicą zbioru $S$, jeśli $\forall x\in S$ zawiera $x\leq b$. Mówimy wtedy, że zbiór $S$ jest ograniczony powyżej. Najmniejsza górna granica zbioru $S$ nazywana jest supremum i oznaczana jest jako $\sup S$. Pojęcia dolnej granicy, zbioru ograniczonego poniżej i infinum $\inf S$ są wprowadzane w podobny sposób. Teraz brakujący aksjomat jest sformułowany w następujący sposób:
Każdy niepusty i ograniczony od góry podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ma supremum.
Można także wykazać, że pole liczb rzeczywistych określone w powyższy sposób jest jednoznaczne.
Liczby zespolone$\mathbb(C)$
Przykłady liczb zespolonych:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ gdzie $i = \sqrt(-1)$ lub $i^2 = -1$
Zbiór liczb zespolonych reprezentuje wszystkie uporządkowane pary liczb rzeczywistych, czyli $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, na którym wykonywane są operacje dodawanie i mnożenie definiuje się w następujący sposób:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Istnieje kilka form zapisu liczb zespolonych, z których najczęstszą jest $z=a+ib$, gdzie $(a,b)$ to para liczb rzeczywistych, a liczba $i=(0,1)$ nazywa się jednostką urojoną.
Łatwo pokazać, że $i^2=-1$. Rozszerzenie zbioru $\mathbb(R)$ do zbioru $\mathbb(C)$ pozwala nam wyznaczyć pierwiastek kwadratowy z liczby ujemne, co było powodem wprowadzenia zbioru liczb zespolonych. Łatwo jest także pokazać, że podzbiór zbioru $\mathbb(C)$, dany przez $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, spełnia wszystkie aksjomaty liczb rzeczywistych, zatem $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$ lub $R\subset\mathbb(C)$.
Struktura algebraiczna zbioru $\mathbb(C)$ ze względu na operacje dodawania i mnożenia ma następujące własności:
1. przemienność dodawania i mnożenia
2. łączność dodawania i mnożenia
3. $0+i0$ - element neutralny do dodania
4. $1+i0$ - element neutralny do mnożenia
5. Mnożenie jest rozdzielne w stosunku do dodawania
6. Istnieje jedna odwrotność zarówno dodawania, jak i mnożenia.
