Rozwinięcie na potęgi liczb pierwszych. Czynnik. Faktoryzacja liczby Faktoryzacja. Rozkładanie liczby na czynniki pierwsze

Rozłóżmy liczbę 120 na czynniki pierwsze

120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

Rozwiązanie
Rozwińmy liczbę 120

120: 2 = 60
60: 2 = 30 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
30: 2 = 15 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
15: 3 = 5
Kończymy dzielenie, ponieważ 5 jest liczbą pierwszą

Odpowiedź: 120 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​​​∙ 5

Rozłóżmy liczbę 246 na czynniki pierwsze

246 = 2 ∙ 3 ∙ 41

Rozwiązanie
Rozłóżmy liczbę 246 na czynniki pierwsze i zaznacz je na zielono. Zaczynamy wybierać dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej liczby pierwszej 2, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą

246: 2 = 123 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
123: 3 = 41 - podzielna przez liczbę pierwszą 3.
Kończymy dzielenie, ponieważ 41 jest liczbą pierwszą

Odpowiedź: 246 = 2 ∙ 3 ​​​​∙ 41

Rozłóżmy liczbę 1463 na czynniki pierwsze

1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Rozwiązanie
Rozwińmy liczbę 1463 na czynniki pierwsze i zaznacz je na zielono. Zaczynamy wybierać dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej liczby pierwszej 2, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą

1463: 7 = 209 - podzielna przez liczbę pierwszą 7
209: 11 = 19
Kończymy dzielenie, ponieważ 19 jest liczbą pierwszą

Odpowiedź: 1463 = 7 ∙ 11 ∙ 19

Rozłóżmy liczbę 1268 na czynniki pierwsze

1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Rozwiązanie
Rozwińmy liczbę 1268 na czynniki pierwsze i zaznacz je na zielono. Zaczynamy wybierać dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej liczby pierwszej 2, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą

1268: 2 = 634 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
634: 2 = 317 - podzielna przez liczbę pierwszą 2.
Kończymy dzielenie, ponieważ 317 jest liczbą pierwszą

Odpowiedź: 1268 = 2 ∙ 2 ∙ 317

Rozłóżmy liczbę 442464 na czynniki pierwsze

442464

Rozwiązanie
Rozwińmy liczbę 442464 na czynniki pierwsze i zaznacz je na zielono. Zaczynamy wybierać dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej liczby pierwszej 2, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą

442464: 2 = 221232 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
221232: 2 = 110616 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
110616: 2 = 55308 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
55308: 2 = 27654 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
27654: 2 = 13827 - podzielna przez liczbę pierwszą 2
13827: 3 = 4609 - podzielna przez liczbę pierwszą 3
4609: 11 = 419 - podzielna przez liczbę pierwszą 11.
Kończymy dzielenie, ponieważ 419 jest liczbą pierwszą

Odpowiedź: 442464 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 11 ∙ 419

W tym artykule znajdują się odpowiedzi na pytanie, jak rozłożyć liczbę na arkuszu. Spójrzmy na ogólną ideę rozkładu z przykładami. Przeanalizujmy postać kanoniczną rozwinięcia i jej algorytm. Wszystkie alternatywne metody zostaną rozważone przy użyciu znaków podzielności i tabliczki mnożenia.

Co to znaczy rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze?

Przyjrzyjmy się pojęciu czynników pierwszych. Wiadomo, że każdy czynnik pierwszy jest liczbą pierwszą. W iloczynie postaci 2 · 7 · 7 · 23 mamy 4 czynniki pierwsze w postaci 2, 7, 7, 23.

Faktoryzacja polega na jej reprezentacji w postaci iloczynów liczb pierwszych. Jeśli musimy rozłożyć liczbę 30, otrzymamy 2, 3, 5. Wpis będzie miał postać 30 = 2 · 3 · 5. Możliwe jest powtórzenie mnożników. Liczba taka jak 144 ma 144 = 2 2 2 2 3 3.

Nie wszystkie liczby są podatne na zanik. Liczby większe od 1 i będące liczbami całkowitymi można rozkładać na czynniki. Liczby pierwsze po rozłożeniu na czynniki dzielą się tylko przez 1 i same siebie, dlatego nie można przedstawić tych liczb jako iloczynu.

Kiedy z odnosi się do liczb całkowitych, jest reprezentowane jako iloczyn aib, gdzie z jest dzielone przez aib. Liczby złożone rozkłada się na czynniki pierwsze, korzystając z podstawowego twierdzenia arytmetyki. Jeśli liczba jest większa niż 1, wówczas jej rozkład na czynniki p 1, p 2, ..., p n przyjmuje postać a = p 1 , p 2 , … , p n . Zakłada się, że rozkład zachodzi w jednym wariancie.

Kanoniczna faktoryzacja liczby na czynniki pierwsze

Podczas ekspansji czynniki mogą się powtarzać. Są pisane zwięźle, używając stopni. Jeśli rozkładając liczbę a, mamy współczynnik p 1, który występuje s 1 razy i tak dalej p n – s n razy. W ten sposób ekspansja przybierze formę a=p 1 s 1 · za = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n. Zapis ten nazywany jest kanonicznym rozkładem liczby na czynniki pierwsze.

Rozwijając liczbę 609840, otrzymamy, że 609 840 = 2 2 2 2 3 3 5 7 11 11, a jej forma kanoniczna będzie wynosić 609 840 = 2 4 3 2 5 7 11 2. Korzystając z rozwinięcia kanonicznego, możesz znaleźć wszystkie dzielniki liczby i ich liczbę.

Aby poprawnie rozkładać na czynniki, musisz znać liczby pierwsze i złożone. Chodzi o otrzymanie kolejnej liczby dzielników postaci p 1, p 2, ..., p n liczby a , za 1 , za 2 , … , za n - 1, to pozwala uzyskać a = p 1 za 1, gdzie za 1 = za: p 1 , za = p 1 · za 1 = p 1 · p 2 · za 2 , gdzie a 2 = za 1: p 2 , … , za = p 1 · p 2 · … · p n · n, gdzie za n = za n - 1: p n. Po otrzymaniu n = 1, to równość za = p 1 · p 2 · … · p n otrzymujemy wymagany rozkład liczby a na czynniki pierwsze. Zauważ, że p 1 ≤ p 2 ≤ p 3 ≤ … ≤ p n.

Aby znaleźć najmniej wspólne czynniki, musisz skorzystać z tabeli liczb pierwszych. Odbywa się to na przykładzie znalezienia najmniejszego dzielnika pierwszego liczby z. Biorąc liczby pierwsze 2, 3, 5, 11 itd. i dzieląc przez nie liczbę z. Ponieważ z nie jest liczbą pierwszą, należy wziąć pod uwagę, że najmniejszy dzielnik pierwszy nie będzie większy od z. Można zauważyć, że z nie ma dzielników, to jest jasne, że z jest liczbą pierwszą.

Przykład 1

Spójrzmy na przykład liczby 87. Dzieląc przez 2, otrzymujemy 87: 2 = 43 z resztą 1. Wynika z tego, że 2 nie może być dzielnikiem; dzielenie musi zostać wykonane w całości. Dzieląc przez 3, otrzymujemy 87: 3 = 29. Stąd wniosek jest taki, że 3 jest najmniejszym pierwszym dzielnikiem liczby 87.

Rozkładając czynniki pierwsze, należy skorzystać z tabeli liczb pierwszych, gdzie a. Rozkładając na czynniki liczbę 95, należy użyć około 10 liczb pierwszych, a przy liczbie 846653 około 1000.

Rozważmy algorytm rozkładu na czynniki pierwsze:

• znalezienie najmniejszego dzielnika dzielnika p 1 liczby A według wzoru a 1 = a: p 1, gdy a 1 = 1, to a jest liczbą pierwszą i jest uwzględniane w faktoryzacji, gdy nie jest równe 1, to a = p 1 · a 1 i przejdź do punktu poniżej;
• znalezienie pierwszego dzielnika p 2 liczby a 1 poprzez kolejne wyliczenie liczb pierwszych za pomocą a 2 = a 1: p 2 , gdy a 2 = 1 , wówczas rozwinięcie przybierze postać a = p 1 p 2 , gdy a 2 = 1, to a = p 1 p 2 za 2 , i przechodzimy do następnego kroku;
• przeszukiwanie liczb pierwszych i znajdowanie dzielnika pierwszego str. 3 liczby 2 zgodnie ze wzorem a 3 = a 2: p 3, gdy a 3 = 1 , wtedy otrzymujemy, że a = p 1 p 2 p 3 , gdy nie jest równe 1, to a = p 1 p 2 p 3 a 3 i przejdź do następnego kroku;
• znaleziono główny dzielnik p.n liczby n - 1 wyliczając liczby pierwsze za pomocą pn - 1, I za n = za n - 1: p n, gdzie a n = 1, krok jest końcowy, w rezultacie otrzymujemy, że a = p 1 · p 2 · … · p n .

Wynik algorytmu zapisuje się w postaci tabeli z rozłożonymi współczynnikami z pionową kreską kolejno w kolumnie. Rozważ poniższy rysunek.

Powstały algorytm można zastosować, rozkładając liczby na czynniki pierwsze.

Rozkładając czynniki pierwsze, należy postępować zgodnie z podstawowym algorytmem.

Przykład 2

Rozłóż liczbę 78 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Aby znaleźć najmniejszy dzielnik pierwszy, musisz przejść przez wszystkie liczby pierwsze w liczbie 78. Czyli 78:2 = 39. Dzielenie bez reszty oznacza, że ​​jest to pierwszy prosty dzielnik, który oznaczamy jako p 1. Otrzymujemy, że a 1 = a: p 1 = 78: 2 = 39. Doszliśmy do równości postaci a = p 1 · a 1 , gdzie 78 = 2 39. Następnie a 1 = 39, czyli powinniśmy przejść do kolejnego kroku.

Skupmy się na znalezieniu głównego dzielnika p2 liczby 1 = 39. Powinieneś przejść przez liczby pierwsze, czyli 39: 2 = 19 (pozostałe 1). Ponieważ dzielenie z resztą, 2 nie jest dzielnikiem. Wybierając liczbę 3, otrzymujemy, że 39: 3 = 13. Oznacza to, że p 2 = 3 jest najmniejszym pierwszym dzielnikiem liczby 39 przez a 2 = a 1: p 2 = 39: 3 = 13. Otrzymujemy równość formy za = p 1 p 2 za 2 w postaci 78 = 2 3 13. Mamy, że a 2 = 13 nie jest równe 1, więc powinniśmy iść dalej.

Najmniejszy dzielnik pierwszy liczby a 2 = 13 można znaleźć, przeszukując liczby, zaczynając od 3. Otrzymujemy, że 13: 3 = 4 (pozostałe 1). Z tego widzimy, że 13 nie jest podzielne przez 5, 7, 11, ponieważ 13:5 = 2 (reszta 3), 13:7 = 1 (reszta 6) i 13:11 = 1 (reszta 2) . Można zauważyć, że 13 jest liczbą pierwszą. Według wzoru wygląda to tak: a 3 = a 2: p 3 = 13: 13 = 1. Ustaliliśmy, że a 3 = 1, co oznacza zakończenie algorytmu. Teraz czynniki są zapisywane jako 78 = 2 · 3 · 13 (a = p 1 · p 2 · p 3) .

Odpowiedź: 78 = 2 3 13.

Przykład 3

Rozłóż liczbę 83 006 na czynniki pierwsze.

Rozwiązanie

Pierwszym krokiem jest faktoring p 1 = 2 I za 1 = za: p 1 = 83 006: 2 = 41 503, gdzie 83 006 = 2 · 41 503.

W drugim kroku zakładamy, że 2, 3 i 5 nie są pierwszymi dzielnikami liczby a 1 = 41503, ale 7 jest pierwszym dzielnikiem, ponieważ 41503:7 = 5929. Otrzymujemy, że p 2 = 7, a 2 = a 1: p 2 = 41503: 7 = 5929. Oczywiście 83 006 = 2 7 5 929.

Znalezienie najmniejszego dzielnika pierwszego p 4 do liczby a 3 = 847 wynosi 7. Można zauważyć, że a 4 = a 3: p 4 = 847: 7 = 121, więc 83 006 = 2 7 7 7 121.

Aby znaleźć główny dzielnik liczby a 4 = 121, używamy liczby 11, czyli p 5 = 11. Następnie otrzymujemy wyrażenie formy za 5 = za 4: p 5 = 121: 11 = 11 i 83 006 = 2 7 7 7 11 11.

Dla numeru za 5 = 11 numer p 6 = 11 jest najmniejszym dzielnikiem pierwszym. Stąd a 6 = za 5: p 6 = 11: 11 = 1. Wtedy 6 = 1. Oznacza to zakończenie algorytmu. Czynniki zostaną zapisane jako 83 006 = 2 · 7 · 7 · 7 · 11 · 11.

Zapis kanoniczny odpowiedzi będzie miał postać 83 006 = 2 · 7 3 · 11 2.

Odpowiedź: 83 006 = 2 7 7 7 11 11 = 2 7 3 11 2.

Przykład 4

Uwzględnij liczbę 897 924 289.

Rozwiązanie

Aby znaleźć pierwszy czynnik pierwszy, przeszukaj liczby pierwsze, zaczynając od 2. Zakończenie poszukiwań następuje pod numerem 937. Następnie p 1 = 937, a 1 = a: p 1 = 897 924 289: 937 = 958 297 i 897 924 289 = 937 958 297.

Drugim krokiem algorytmu jest iteracja po mniejszych liczbach pierwszych. Oznacza to, że zaczynamy od liczby 937. Liczbę 967 można uznać za pierwszą, ponieważ jest ona pierwszym dzielnikiem liczby a 1 = 958,297. Stąd otrzymujemy, że p 2 = 967, następnie a 2 = a 1: p 1 = 958 297: 967 = 991 i 897 924 289 = 937 967 991.

Trzeci krok mówi, że 991 jest liczbą pierwszą, ponieważ nie ma ani jednego czynnika pierwszego, który nie przekraczałby 991. Przybliżona wartość wyrażenia radykalnego wynosi 991< 40 2 . Иначе запишем как 991 < 40 2 . To pokazuje, że p 3 = 991 i a 3 = a 2: p 3 = 991: 991 = 1. Stwierdzamy, że rozkład liczby 897 924 289 na czynniki pierwsze otrzymuje się jako 897 924 289 = 937 967 991.

Odpowiedź: 897 924 289 = 937 967 991.

Stosowanie testów podzielności do rozkładu na czynniki pierwsze

Aby rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze, należy postępować zgodnie z algorytmem. W przypadku małych liczb dopuszczalne jest użycie tabliczki mnożenia i znaków podzielności. Spójrzmy na to na przykładach.

Przykład 5

Jeśli konieczne jest rozłożenie na czynniki 10, wówczas tabela pokazuje: 2 · 5 = 10. Otrzymane liczby 2 i 5 są liczbami pierwszymi, więc są czynnikami pierwszymi liczby 10.

Przykład 6

Jeśli konieczne jest rozłożenie liczby 48, tabela pokazuje: 48 = 6 8. Ale 6 i 8 nie są czynnikami pierwszymi, ponieważ można je również rozwinąć jako 6 = 2 3 i 8 = 2 4. Następnie całkowite rozwinięcie stąd otrzymujemy jako 48 = 6 8 = 2 3 2 4. Zapis kanoniczny przyjmie postać 48 = 2 4 · 3.

Przykład 7

Rozkładając liczbę 3400, możesz użyć znaków podzielności. W tym przypadku istotne są znaki podzielności przez 10 i 100. Stąd otrzymujemy 3400 = 34 · 100, gdzie 100 można podzielić przez 10, to znaczy zapisać jako 100 = 10 · 10, co oznacza, że ​​3400 = 34 · 10 · 10. Na podstawie testu podzielności stwierdzamy, że 3 400 = 34 10 10 = 2 17 2 5 2 5. Wszystkie czynniki są pierwsze. Rozszerzenie kanoniczne przybiera formę 3 400 = 2 3 5 2 17.

Kiedy znajdujemy czynniki pierwsze, musimy skorzystać z testów podzielności i tabliczki mnożenia. Jeśli wyobrażasz sobie liczbę 75 jako iloczyn czynników, musisz wziąć pod uwagę zasadę podzielności przez 5. Otrzymujemy, że 75 = 5 15 i 15 = 3 5. Oznacza to, że pożądane rozwinięcie jest przykładem postaci iloczynu 75 = 5 · 3 · 5.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

(z wyjątkiem 0 i 1) mają co najmniej dwa dzielniki: 1 i siebie. Nazywa się liczby, które nie mają innych dzielników prosty liczby. Nazywa się liczby, które mają inne dzielniki złożony(Lub złożony) liczby. Istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. Poniżej znajdują się liczby pierwsze nieprzekraczające 200:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

Mnożenie- jedna z czterech podstawowych operacji arytmetycznych, binarna operacja matematyczna, w której jeden argument jest dodawany tyle razy, co drugi. W arytmetyce mnożenie jest krótką formą dodawania określonej liczby identycznych wyrazów.

Na przykład zapis 5*3 oznacza „dodaj trzy piątki”, czyli 5+5+5. Wynik mnożenia nazywa się praca, a liczby do pomnożenia to mnożniki Lub czynniki. Pierwszy czynnik jest czasami nazywany „ mnożna».

Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Dowolną metodą uzyskuje się to samo rozwinięcie, jeśli nie weźmie się pod uwagę kolejności zapisywania czynników.

Faktoryzacja liczby (Faktoryzacja).

Faktoryzacja (faktoryzacja)- wyliczanie dzielników - algorytm faktoryzacji, czyli testowania pierwszości liczby poprzez całkowite wyliczenie wszystkich możliwych potencjalnych dzielników.

Oznacza to, że w uproszczeniu faktoryzacja to nazwa procesu rozkładu liczb na czynniki, wyrażona w języku naukowym.

Kolejność działań przy rozkładaniu na czynniki pierwsze:

1. Sprawdź, czy proponowana liczba jest pierwsza.

2. Jeśli nie, to kierując się znakami dzielenia, wybieramy dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej (2, 3, 5…).

3. Powtarzamy tę czynność, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą.

Co znaczy faktoring? Jak to zrobić? Czego możesz się nauczyć rozkładając liczbę na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

Definicje:

Liczbę, która ma dokładnie dwa różne dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą.

Liczbę, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb naturalnych.

Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

Uwagi:

• Podczas rozkładu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jeden, a drugi jest równy samej liczbie.
• Nie ma sensu mówić o jedności faktoringu.
• Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy jest różny od 1.

Rozkładając duże liczby na czynniki pierwsze, użyj zapisu kolumnowego:

	Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2. Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.
	Wynikową liczbę 108 dzieli się przez 2. Zróbmy podział. Wynik to 54.
	Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2. Po podzieleniu otrzymujemy 27.
	Liczba 27 kończy się nieparzystą cyfrą 7. To Nie jest podzielna przez 2. Następną liczbą pierwszą jest 3. Podziel 27 przez 3. Otrzymamy 9. Najmniejsza liczba pierwsza Liczba, przez którą dzieli się 9, to 3. Trzy sama w sobie jest liczbą pierwszą i dzieli się przez samą siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. Ostatecznie zdobyliśmy 1.

• Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które wchodzą w skład jej rozkładu.
• Liczba jest podzielna tylko na te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

Spójrzmy na przykłady:

Znajdź iloraz podzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli liczby te zostaną rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

Bibliografia

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Gimnazjum. 2006.
3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Edukacja, 1989.
4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. - M.: Oświata, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.

1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

Praca domowa

1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr 127, Nr 129, Nr 141.
2. Inne zadania: nr 133, nr 144.