Funkcja pierwotna k(x) pomiędzy (a; b) nazywa się ta funkcja F(x), że równość obowiązuje dla każdego X z danego interwału.

Jeśli weźmiemy pod uwagę fakt, że pochodna stałej Z jest równe zeru, to równość jest prawdziwa. Zatem funkcja k(x) ma wiele prymitywów F(x)+C, dla dowolnej stałej Z, a te funkcje pierwotne różnią się od siebie dowolną stałą wartością.

Definicja Całka nieoznaczona.

Cały zbiór funkcji pierwotnych k(x) nazywa się całką nieoznaczoną tej funkcji i jest oznaczona .

Wyrażenie nazywa się całka, A k(x) – funkcja całkowa. Całka reprezentuje różniczkę funkcji k(x).

Nazywa się czynność polegającą na znalezieniu nieznanej funkcji ze względu na jej różniczkę niepewny całkowanie, ponieważ wynikiem całkowania jest więcej niż jedna funkcja F(x) i zbiór jego elementów podstawowych F(x)+C.

Znaczenie geometryczne całki nieoznaczonej. Wykres funkcji pierwotnej D(x) nazywany jest krzywą całkową. W układzie współrzędnych x0y wykresy wszystkich funkcji pierwotnych danej funkcji reprezentują rodzinę krzywych zależnych od wartości stałej C i uzyskiwanych od siebie poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi 0y. Dla przykładu omówionego powyżej mamy:

J2 x^x = x2 + C.

Rodzina funkcji pierwotnych (x + C) jest interpretowana geometrycznie za pomocą zestawu paraboli.

Jeśli trzeba znaleźć taką z rodziny funkcji pierwotnych, wówczas ustawia się dodatkowe warunki, które pozwalają wyznaczyć stałą C. Zwykle w tym celu ustawia się warunki początkowe: gdy argument x = x0, funkcja ma wartość D (x0) = y0.

Przykład. Należy znaleźć, że jedna z funkcji pierwotnych funkcji y = 2 x przyjmuje wartość 3 przy x0 = 1.

Wymagana funkcja pierwotna: D(x) = x2 + 2.

Rozwiązanie. ^2x^x = x2 + C; 12 + C = 3; C = 2.

2. Podstawowe własności całki nieoznaczonej

1. Pochodna całki nieoznaczonej jest równa funkcji całkowej:

2. Różniczka całki nieoznaczonej jest równa wyrażeniu całkowemu:

3. Całka nieoznaczona różniczki pewnej funkcji jest równa sumie samej tej funkcji i dowolnej stałej:

4. Ze znaku całki można wyjąć stały współczynnik:

5. Całka sumy (różnicy) jest równa sumie (różnicy) całek:

6. Właściwość jest kombinacją właściwości 4 i 5:

7. Własność niezmienności całki nieoznaczonej:

Jeśli , To

8. Własność:

Jeśli , To

W rzeczywistości ta właściwość jest szczególnym przypadkiem integracji z wykorzystaniem metody zmiany zmiennej, co zostanie omówione bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Spójrzmy na przykład:

3. Metoda integracji w którym dana całka jest zredukowana do jednej lub większej liczby całek tablicowych za pomocą identycznych przekształceń całki (lub wyrażenia) i zastosowania właściwości całki nieoznaczonej, nazywa się integracja bezpośrednia. Redukując tę całkę do całki tabelarycznej, często stosuje się następujące przekształcenia różniczkowe (operacja „ subskrybowanie znaku różniczkowego»):

W ogóle, f’(u)du = d(f(u)). Ten (wzór jest bardzo często używany przy obliczaniu całek.

Znajdź całkę

Rozwiązanie. Skorzystajmy z właściwości całki i sprowadźmy tę całkę do kilku tabelarycznych.

4. Całkowanie metodą podstawieniową.

Istota metody polega na tym, że wprowadzamy nową zmienną, wyrażamy całkę poprzez tę zmienną i w rezultacie dochodzimy do tabelarycznej (lub prostszej) postaci całki.

Bardzo często metoda podstawieniowa przychodzi na ratunek przy całkowaniu funkcji trygonometrycznych i funkcji z pierwiastkami.

Przykład.

Znajdź całkę nieoznaczoną .

Rozwiązanie.

Wprowadźmy nową zmienną. Wyraźmy X Poprzez z:

Otrzymane wyrażenia zastępujemy całką pierwotną:

Z tabeli funkcji pierwotnych, którą mamy .

Pozostaje wrócić do pierwotnej zmiennej X:

Odpowiedź:

Cel:

Znać definicję funkcji pierwotnej, główną właściwość funkcji pierwotnej, zasady znajdowania funkcji pierwotnej;
Potrafić znaleźć ogólną postać funkcji pierwotnej;
Rozwijanie umiejętności samokontroli i zainteresowania tematem;
Pielęgnuj wolę i wytrwałość, aby osiągnąć końcowe rezultaty podczas wykonywania zadań.

Podczas zajęć

I. Organizowanie czasu.

II. Sprawdzenie przyswojenia badanego materiału.

1. Ankieta za pomocą kart:

A) Sformułuj definicję funkcji pierwotnej?
B) Sformułuj znak stałości funkcji?
P) Sformułuj główną właściwość funkcji pierwotnych?
D) Kontynuuj zdanie „Zróżnicowanie to…”
D) Integracja to…..
E) Wykresy dowolnych dwóch funkcji pierwotnych funkcji f otrzymuje się od siebie….
G) Co to jest?...

2. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji:

A) f(x) = 1
B) g(x) = x +1
B) fa (x) = cos (3x + 4)
D) g (x) = 2 cosx + 4
D) g (x) = grzech x + cos x
E) F (x) = (x + 1)³

3. Wśród określone funkcje wybierz funkcję pierwotną dla funkcji y = - 7x ³

III. Praca grupowa

I grupa – gra w pasjansa. Na stołach leżą pocięte karty. Ułóż wszystkie znane Ci wzory. Ile razy miałeś szczęście?

Grupa 2 i 3 - praca z lotto. Zapisz wynikowe słowo kluczowe.

		fa (x) = (x + 1)4	f(x) = 2x5- 3x2	f(x) = cos (3x +4)
f(x) = (7x – 2)8	f(x) = x4-x2+x-1			f(x) = 1 – cos3x

(słowo kluczowe – funkcja pierwotna)

Grupa IV – pracuje z krzyżówką.

Krzyżówka.

Pytania:

2. Jaki jest wykres funkcji y = ax + b.

4. Jaka lekcja zwykle odbywa się przed sprawdzianem.

5. Synonim słowa tuzin.

6. Jest w każdym słowie, w równaniach i może być w równaniach.

7. Co można obliczyć za pomocą wzoru a b.

8. Jedno z najważniejszych pojęć w matematyce.

9. Forma lekcji, na której przeprowadzany jest sprawdzian wiedzy.

10. Niemiecki naukowiec, twórca rachunku całkowego.

11. Zbiór punktów płaszczyzny o współrzędnych (x; y), gdzie x przebiega przez dziedzinę definicji funkcji f.

12. Zgodności pomiędzy zbiorami X i Y, w których każda wartość ze zbioru X jest powiązana z pojedynczą wartością ze zbioru Y, nazywamy...

Podczas prawidłowego rozwiązywania krzyżówki pod numerem 1 w pionie przeczytaj słowo kluczowe.

IV. Analiza zadania egzaminu Unified State Exam na ten temat z lat ubiegłych.

Wskaż funkcję pierwotną F funkcji f(x) = 3sin x, jeśli wiadomo, że F(П) = 1.

V. Samodzielna praca.

Grupa 1 i 2 – wykonaj test.

Część A

A1. Spośród tych funkcji wybierz tę, której pochodna wynosi f(x) = 20x4.

1). F(x) = 4x5
2). F(x) =5x5
3).F(x) = x5
4). F(x) = 80x3

A2. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = 4x3 – 6

1). F(x) = x4 -6x + 5
2).F(x) = x4 - 6x + C
3).F(x) = 12x2 + C
4). F(x) = 12x2 – 6

A3.Dla funkcji f(x) =8x – 3 znajdź funkcję pierwotną, której wykres przechodzi przez punkt M (1; 4).

1) F(x) = 4x2 – 3x
2) F(x) = 4x2 – 3x -51
3) F(x) = 4x2 – 3x + 4
4) F(x) = 4x2 - 3x +3

A4. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = 2/x3

1) F(x) = 1/x +C
2) F(x) = - 2/x + C
3) F(x) = - 1/x2 + C
4) F(x) = 2/x2+ C

A5. Funkcja pierwotna funkcji f(x) = sin x + 3x2 jest funkcją

1) F(x) = grzech x +x3 – 5
2) F(x) = -cos x – x2 -1
3) F(x) = -cos x + x3 -2
4) F(x) = -x3cos x -3

A6. Funkcja pierwotna funkcji f(x) = 3sin x jest tą funkcją

1) F(x) = - 3xcos 3x
2) F(x) = - cos 3x
3) F(x) = - 3cos 3x
4) F(x) = - 3cos x

A7. Funkcja pierwotna funkcji f(x) = cos 2x jest funkcją

1) F(x) = 0,5 sin 2x
2) F(x) = 0,5 sin x
3) F(x) = 2 grzech 2x
4) F(x) = 2sin x

A8. Funkcja pierwotna funkcji f(x) = 2 sinx cosx dla tej funkcji

1) F(x) = 0,5 sin2x
2) F(x) = 0,5sinx
3) F(x) = 2 sin2x
4) F(x) = 2 grzech x

A9. Dla funkcji f(x) = 6/cos23x + 1 znajdź funkcję pierwotną, której wykres przechodzi przez punkt M (P/3; P/3).

1) F(x) = 2 tan 3x + x +P/3
2) F(x) = 2 tan 3x + x
3) F(x) = - 6tg 3x + x + P/3
4) F(x) = 6 tan 3x + x

Część B

W 1. Funkcja F(x) jest funkcją pierwotną f(x) = x5 – 3x2 – 2. Znajdź F(1) jeśli F(- 1) = 0.

Grupa 3 i 4 - popraw błąd.

a) F(x) = x5, a f(x) = 1/6x6
b) F(x) = 4x – x3, a f(x) = 1/6x6
c) F(x) = grzech x, a f(x) = - cos x
d) F(x) = 15 cos x, a f(x) = - 15 cos x
e) F(x) = x/3 + 6/x – 1, a f(x) = 1/3 – 6/x2 na (0 ; +)
g) Dla funkcji f(x) = 10 sin 2x znajdź funkcję pierwotną, której wykres przechodzi przez punkt M (-3/2P; 0)

VI. Podsumowanie lekcji.

D/Z nr 348, zadanie indywidualne: Wykonaj prezentację na temat.

Podsumowanie lekcji algebry i podstawowej analizy dla uczniów 11. klasy instytucje edukacyjne

Na temat: „Zasady wyszukiwania funkcji pierwotnych”

Cel lekcji:

Edukacyjny: wprowadzić zasady wyszukiwania funkcji pierwotnych na podstawie ich wartości tabelarycznych i wykorzystywać je przy rozwiązywaniu problemów.

Zadania:

wprowadzić definicję operacji całkowania;

zapoznanie uczniów z tabelą funkcji pierwotnych;

zapoznanie uczniów z zasadami integracji;

nauczyć studentów korzystania z tabeli funkcji pierwotnych i zasad całkowania przy rozwiązywaniu problemów.

Rozwojowy: przyczyniają się do rozwoju umiejętności uczniów w zakresie analizowania, porównywania danych i wyciągania wniosków.

Edukacyjny: przyczyniają się do tworzenia zbiorowych i niezależna praca, rozwijać umiejętność dokładnego i kompetentnego wykonywania zapisów matematycznych.

Metody nauczania: indukcyjno-reprodukcyjne, dedukcyjno-reprodukcyjne

tywny.

Typ lekcji: opanowanie nowej wiedzy.

Wymagania dla ZUNa:

Studenci powinni wiedzieć:

- definicja operacji integracji;

Tabela funkcji pierwotnych;

uczniowie powinni potrafić:

Przy rozwiązywaniu problemów stosuj tabelę funkcji pierwotnych;

Rozwiązuj zadania, w których konieczne jest znalezienie funkcji pierwotnych.

Sprzęt: komputer, ekran, projektor multimedialny, prezentacja.

Literatura:

1. A.G. Mordkovich i wsp. „Algebra i początki analizy. Zeszyt zadań dla klas 10-11" M.: Mnemosyne, 2001.

2. Sh.A. Alimov „Algebra i początki analizy. klasa 10-11. Podręcznik" M.: Edukacja, 2004. - 384 s.

3. Metody i technologia nauczania matematyki. M.: Drop, 2005. – 416 s.

Struktura lekcji:

I. Chwila organizacyjna (2 min.)

II. Aktualizacja wiedzy (7 min.)

III. Nauka nowego materiału (15 min.)

VI. Utrwalenie poznanego materiału (17 min.)

V. Podsumowanie i D/Z (4 min.)

Podczas zajęć

I . Organizowanie czasu

Przywitanie uczniów, sprawdzenie nieobecności i gotowości sali na lekcję.

II . Aktualizowanie wiedzy

Pisanie na tablicy (w zeszytach)

Data.

Praca klasowa

Zasady znajdowania funkcji pierwotnych.

Nauczyciel: Temat dzisiejszej lekcji: „Zasady znajdowania funkcji pierwotnych” (slajd 1). Ale zanim zaczniemy się uczyć nowy temat Pamiętajmy o omawianym materiale.

Do tablicy zostaje powołanych dwóch uczniów, każdy otrzymuje indywidualne zadanie (jeżeli uczeń wykonał zadanie bez błędów, otrzymuje ocenę „5”).

Karty zadań

№ 1

y = 6x – 2x 3 .

F ( X )=3 X 2 +4 X –1 w tym punkcie X =3.

№ 2

2) Znajdź wartość pochodnej funkcjiF ( X )=5 X 2 +5 X – 5 w punkcie X =1.

Rozwiązanie

Karta nr 1

1) Znajdź przedziały funkcji rosnącej i malejącejy = 6x – 2x 3 .

; Niech tak będzie na pewno; X 1 I X 2 punkty stacjonarne;

2. Punkty stacjonarne dzielą linię współrzędnych na trzy przedziały. W tych przedziałach, w których pochodna funkcji jest dodatnia, sama funkcja rośnie, a gdy jest ujemna, maleje.

- + -

Na -1 1

Stąd Na maleje o godz X (- ;-1) (1; ) i rośnie wraz zX (-1;1).

2) F ( X )=3 X 2 +4 X –1 ; ; .

Karta nr 2

1) Znajdź ekstrema funkcji .

1. Znajdźmy punkty stacjonarne, w tym celu znajdziemy pochodną tej funkcji, następnie przyrównamy ją do zera i rozwiążemy powstałe równanie, którego pierwiastkami będą punkty stacjonarne.

; Niech zatem , i .

2. Punkty stacjonarne dzielą linię współrzędnych na cztery przedziały. Punktami ekstremalnymi są te punkty, przez które pochodna funkcji zmienia znak.

+ - - +

Na -3 0 3

Oznacza - punkty ekstremalne i jest punktem maksymalnym, oraz - minimalny punkt.

2) F ( X )=5 X 2 +5 X – 5; ; .

Podczas gdy uczniowie wezwani do tablicy rozwiązują przykłady, reszta klasy zadaje pytania teoretyczne. Podczas zadawania pytań nauczyciel monitoruje, czy uczniowie wykonali zadanie, czy nie.

Nauczyciel: Odpowiedzmy więc na kilka pytań. Przypomnijmy, jaką funkcję nazywamy funkcją pierwotną? (slajd 2)

Student: Funkcjonować F ( X ) nazywamy funkcją pierwotnąF ( X ) w pewnym odstępie czasu, jeśli na zawszeX z tej luki .

(slajd 2).

Nauczyciel: Prawidłowy. Jak nazywa się proces znajdowania pochodnej funkcji? (slajd 3)

Student: Różnicowanie.

Po udzieleniu odpowiedzi przez ucznia poprawna odpowiedź jest powielana na slajdzie (slajd 3).

Nauczyciel: Jak pokazać, że jest to funkcjaF ( X ) jest funkcją pierwotnąF ( X ) ? (slajd 4).

Student: Znajdź pochodną funkcjiF ( X ) .

Po udzieleniu odpowiedzi przez ucznia poprawna odpowiedź jest powielana na slajdzie (slajd 4).

Nauczyciel: Cienki. Powiedz mi zatem, czy jest to funkcjaF ( X )=3 X 2 +11 X funkcja pierwotna funkcjiF ( X )=6x+10? (slajd 5)

Student: Nie poniewaź pochodna funkcjiF ( X )=3 X 2 +11 X równy 6x+11, ale nie 6x+10 .

Po udzieleniu odpowiedzi przez ucznia poprawna odpowiedź jest powielana na slajdzie (slajd 5).

Nauczyciel: Ile funkcji pierwotnych można znaleźć dla danej funkcji?F ( X ) ? Uzasadnij swoją odpowiedź. (slajd 6)

Student: Nieskończenie wiele, ponieważ Do wynikowej funkcji zawsze dodajemy stałą, która może być dowolną liczbą rzeczywistą.

Po udzieleniu odpowiedzi przez ucznia poprawna odpowiedź jest powielana na slajdzie (slajd 6).

Nauczyciel: Prawidłowy. Sprawdźmy teraz wspólnie rozwiązania uczniów pracujących przy tablicy.

Uczniowie wspólnie z nauczycielem sprawdzają rozwiązanie.

III . Nauka nowego materiału

Nauczyciel: Odwrotna operacja znajdowania funkcji pierwotnej dla danej funkcji nazywa się całkowaniem (od łacińskiego słowaintegrować - przywrócić). Tablicę funkcji pierwotnych dla niektórych funkcji można sporządzić za pomocą tabeli pochodnych. Na przykład wiedząc o tym, otrzymujemy , z czego wynika, że wszystkie funkcje funkcji pierwotnej są zapisane w formie, Gdzie C – dowolna stała.

Pisanie na tablicy (w zeszytach)

dostajemy,

skąd wynika, że wszystkie funkcje pierwotne są zapisane w formie, Gdzie C – dowolna stała.

Nauczyciel: Otwórz swoje podręczniki na stronie 290. Oto tabela funkcji pierwotnych. Jest ona również prezentowana na slajdzie. (slajd 7)

Nauczyciel: Reguły całkowania można otrzymać korzystając z reguł różniczkowania. Rozważmy następujące zasady integracja: niechF ( X ) I G ( X ) – odpowiednio funkcje pierwotneF ( X ) I G ( X ) w pewnym odstępie. Następnie:

1) Funkcja ;

2) Funkcja jest funkcją pierwotną. (slajd 8)

Pisanie na tablicy (w zeszytach)

1) Funkcja jest funkcją pierwotną ;

2) Funkcja jest funkcją pierwotną .

VI . Utrwalenie poznanego materiału

Nauczyciel: Przejdźmy do praktycznej części lekcji. Znajdź jedną z funkcji pierwotnych Decydujemy na zarządzie.

Student: Aby znaleźć funkcję pierwotną tej funkcji, należy skorzystać z reguły całkowania: funkcja jest funkcją pierwotną .

Nauczyciel: Zgadza się, co jeszcze trzeba wiedzieć, żeby znaleźć funkcję pierwotną danej funkcji?

Student: Będziemy także korzystać z tabeli funkcji pierwotnych dla funkcji, Na P =2 i for jest funkcją ;

2) Funkcja jest funkcją pierwotną .

Nauczyciel: Wszystko jest poprawne.

Praca domowa

§55, nr 988 (2, 4, 6), nr 989 (2, 4, 6, 8), nr 990 (2, 4, 6), nr 991 (2, 4, 6, 8) . (slajd 9)

Robienie znaków.

Nauczyciel: Lekcja dobiegła końca. Możesz być wolny.

Istnieją trzy podstawowe zasady znajdowania funkcje pierwotne. Są one bardzo podobne do odpowiednich reguł różnicowania.

Zasada nr 1

Jeśli F jest funkcją pierwotną pewnej funkcji f i G jest funkcją pierwotną jakiejś funkcji g, to F + G będzie funkcją pierwotną f + g.

Z definicji funkcji pierwotnej F’ = f. G' = g. A skoro te warunki są spełnione, to zgodnie z regułą obliczania pochodnej sumy funkcji będziemy mieli:

(F + G)’ = F’ + G’ = f + g.

Zasada 2

Jeśli F jest funkcją pierwotną pewnej funkcji f, a k jest pewną stałą. Wtedy k*F jest funkcją pierwotną funkcji k*f. Zasada ta wynika z reguły obliczania pochodnej funkcji zespolonej.

Mamy: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Zasada 3

Jeśli F(x) jest jakąś funkcją pierwotną funkcji f(x), a k i b są pewnymi stałymi, a k nie jest równe zeru, to (1/k)*F*(k*x+b) będzie wynosić funkcja pierwotna funkcji f (k*x+b).

Zasada ta wynika z zasady obliczania pochodnej funkcji zespolonej:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Przyjrzyjmy się kilku przykładom zastosowania tych zasad:

Przykład 1. Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = x^3 +1/x^2. Dla funkcji x^3 jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja (x^4)/4, a dla funkcji 1/x^2 jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -1/x. Korzystając z pierwszej reguły mamy:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Przykład 2. Znajdźmy ogólną postać funkcji pierwotnych dla funkcji f(x) = 5*cos(x). Dla funkcji cos(x) jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja sin(x). Jeśli teraz zastosujemy drugą regułę, otrzymamy:

F(x) = 5*sin(x).

Przykład 3. Znajdź jedną z funkcji pierwotnych funkcji y = sin(3*x-2). Dla funkcji sin(x) jedną z funkcji pierwotnych będzie funkcja -cos(x). Jeśli teraz skorzystamy z trzeciej reguły, otrzymamy wyrażenie na funkcję pierwotną:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Przykład 4. Znajdź funkcję pierwotną funkcji f(x) = 1/(7-3*x)^5

Funkcja pierwotna funkcji 1/x^5 będzie funkcją (-1/(4*x^4)). Teraz, korzystając z trzeciej reguły, otrzymujemy.

Pojęcie funkcji pierwotnej. Tabela funkcji pierwotnych. Zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Gimnazjum MBOU w Murmańsku 3 Shakhova Tatyana Aleksandrovna http://aida.ucoz.ru

Http://aida.ucoz.ru Należy znać i umieć: -znać i umieć stosować wzory i reguły różniczkowania; - potrafi dokonać przekształceń wyrażeń algebraicznych i trygonometrycznych.

Wzory różniczkowe Reguły różniczkowania Powrót

Http://aida.ucoz.ru Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału Skorzystajmy z definicji 1) Zadanie 1. Udowodnij, że funkcja F (x) jest funkcją pierwotną f(x). Znajdźmy F”(x) If Wzory i reguły różniczkowania

Http://aida.ucoz.ru Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału 2)2) Zadanie 1. Udowodnij, że funkcja F( x) jest funkcją pierwotną f(x). Wzory i reguły różniczkowania

Http://aida.ucoz.ru Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną funkcji f(x) w pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x w tym przedziale 3)3) Zadanie 1. Udowodnij, że funkcja F( x) jest funkcją pierwotną f(x). Wzory i reguły różniczkowania

Http://aida.ucoz.ru Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału. Zadanie 1. Udowodnić, że funkcja F(x) jest funkcją funkcja pierwotna dla funkcji f( x). 4)4) Wzory i reguły różniczkowania

10 Funkcja F(x) nazywana jest funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału. Wzory i reguły różniczkowania Korzystając ze wzorów na różniczkowanie i definicji funkcji pierwotnej, można łatwo skompilować tabela funkcji pierwotnych dla niektórych funkcji. Upewnij się, że tabela jest poprawna. Znajdź F”(x).

11 Funkcję F(x) nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f(x) na pewnym przedziale, jeśli dla wszystkich x z tego przedziału. Korzystając ze wzorów różniczkowych i definicji funkcji pierwotnej, można łatwo sporządzić tabelę funkcji pierwotnych dla niektóre funkcje. Z powrotem

3) Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f(x), a k i b są stałymi, a k0, to jest funkcją pierwotną funkcji 2) Jeśli F(x) jest funkcją pierwotną f( x), a a jest stałą, wówczas аF(x) jest funkcją pierwotną funkcji аf(x) http://aida.ucoz.ru Aby znaleźć funkcje pierwotne, oprócz tabeli będziemy potrzebować reguł znalezienie funkcji pierwotnych. 1) Jeżeli F(x) jest funkcją pierwotną f(x), a G(x) jest funkcją pierwotną g(x), to F(x)+G(x) jest funkcją pierwotną f(x)+g(x). Funkcja pierwotna sumy jest równa sumie funkcji pierwotnych. Czynnik stały można przyjąć poza znak funkcji pierwotnej. Powrót

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej i sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1). W tabeli nie ma takiej funkcji. 1) Sprawdź: Przekształć f(x): Tabela funkcji pierwotnych Wzory i reguły różniczkowania Korzystamy z tabeli i drugiej reguły. Reguły Funkcja tabelaryczna Współczynnik

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej i sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1). W tabeli nie ma takiej funkcji. 2)2) Sprawdź: Przekształć f(x): Wzory i reguły różniczkowania Korzystamy z tabeli i drugiej reguły. Funkcja tabelaryczna Współczynnik Tabela funkcji pierwotnych Zasady

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 3)3) Sprawdź: Wzory i reguły różniczkowania Korzystamy z tabeli i pierwszej reguły. Funkcja tabelaryczna Tabela funkcji pierwotnych Zasady

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 4)4) Sprawdź: Wzory i reguły różniczkowania Korzystamy z tabeli, pierwszej i drugiej reguły. Funkcja tabelaryczna Współczynnik Tabela funkcji pierwotnych Zasady

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej i sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1). W tabeli nie ma takich funkcji. 5)5) Sprawdź: Przekształć f(x): Wzory i reguły różniczkowania Korzystamy z tabeli, pierwszej i drugiej reguły. Funkcja tabelaryczna Współczynnik Funkcja tabelaryczna Tabela funkcji pierwotnych Reguły Współczynnik

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 6)6) Sprawdź: Wzory i zasady różniczkowania Sinus jest funkcją tabelaryczną. Funkcja tabelaryczna Argument – funkcja liniowa Korzystamy z tabeli i trzeciej reguły. Tabela reguł funkcji pierwotnych (k=3).

Zadanie 2. Biorąc pod uwagę funkcję f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 7)7) Wzory i reguły różniczkowania W tabeli nie ma takiej funkcji. Przekształćmy f(x): Funkcja liniowa Współczynnik Korzystamy z tabeli, pierwszej i trzeciej reguły. Tabela funkcji pierwotnych Funkcja tabeli reguł

Zadanie 2. Biorąc pod uwagę funkcję f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 8)8) Wzory i reguły różniczkowania W tabeli nie ma takiej funkcji. Przekształćmy f(x): Funkcja liniowa Współczynnik Korzystamy z pierwszej i trzeciej reguły. Tabela funkcji pierwotnych Funkcja tabeli reguł

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 9)9) Sprawdź: Wzory i reguły różniczkowania W tabeli nie ma takich funkcji. Transformacja współczynników f(x): Skorzystaj z tabeli i drugiej reguły: Tabela funkcji pierwotnych Reguły Funkcja tabelaryczna

Http://aida.ucoz.ru Problem 2. Dana funkcja f(x). Znajdź jej funkcję pierwotną korzystając z tabeli funkcji pierwotnych i zasad znajdowania funkcji pierwotnej oraz sprawdź korzystając z definicji (zadanie 1) 9)9) Wzory i reguły różniczkowania W tabeli nie ma takiej funkcji. Przekształćmy f(x), skorzystajmy ze wzoru na redukcję stopnia: Funkcja tabelaryczna Korzystamy z tabeli i wszystkich trzech reguł: Funkcja tabelaryczna Współczynnik Tabela funkcji pierwotnych Reguły Funkcja liniowa

Http://aida.ucoz.ru Do szkolenia użyj podobnych ćwiczeń z książki problemów.

Sformułuj trzy zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Trzy zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Badamy pojęcie „integry”

2. Podstawowe własności całki nieoznaczonej

Praca domowa

Zasada nr 1

Zasada 2

Zasada 3