Równanie każdego stopnia pierwszego stopnia względem współrzędnych x, y, z

Topór + By + Cz +D = 0 (3.1)

definiuje płaszczyznę i odwrotnie: dowolną płaszczyznę można przedstawić za pomocą równania (3.1), które nazywa się równanie płaszczyzny.

Wektor N Nazywa się (A, B, C) prostopadłym do płaszczyzny wektor normalny samolot. W równaniu (3.1) współczynniki A, B, C nie są jednocześnie równe 0.

Szczególne przypadki równania (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do osi Oz.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - płaszczyzna przechodzi przez oś Oz.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny Oyz.

Równania płaszczyzny współrzędnych: x = 0, y = 0, z = 0.

Można określić linię prostą w przestrzeni:

1) jako linia przecięcia dwóch płaszczyzn, tj. układ równań:

ZA 1 x + b 1 y + do 1 z + re 1 = 0, ZA 2 x + b 2 y + do 2 z + re 2 = 0; (3.2)

2) przez jego dwa punkty M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), to przechodząca przez nie linia prosta jest dana równaniami:

= ; (3.3)

3) należący do niego punkt M 1 (x 1, y 1, z 1) oraz wektor A(m, n, p), współliniowy z nim. Następnie linię prostą wyznaczają równania:

. (3.4)

Równania (3.4) są wywoływane równania kanoniczne prostej.

Wektor A zwany wektor kierunku prosty.

Parametryczne otrzymujemy przyrównując każdą z zależności (3.4) do parametru t:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3,5)

Rozwiązywanie układu (3.2) jako układu równania liniowe stosunkowo nieznany X I y, dochodzimy do równań prostej in projekcje lub dane równania prostej:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Z równań (3.6) możemy przejść do równań kanonicznych, znajdując z z każdego równania i przyrównując otrzymane wartości:

.

Z równań ogólnych (3.2) możemy przejść do równań kanonicznych w inny sposób, jeśli znajdziemy dowolny punkt tej prostej i jej linii kierującej N= [N 1 , N 2], gdzie N 1 (A 1, B 1, C 1) i N 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - wektory normalne danych płaszczyzn. Jeśli jeden z mianowników m, rz Lub R w równaniach (3.4) okazuje się równy zero, wówczas licznik odpowiedniego ułamka należy ustawić na zero, tj. system

jest równoważny systemowi ; taka linia prosta jest prostopadła do osi Wołu.

System jest równoważne systemowi x = x 1, y = y 1; linia prosta jest równoległa do osi Oz.

Przykład 1.15. Napisz równanie płaszczyzny, wiedząc, że punkt A(1,-1,3) jest podstawą prostopadłej poprowadzonej od początku układu współrzędnych do tej płaszczyzny.

Rozwiązanie. Zgodnie z warunkami problemu, wektor OA(1,-1,3) jest wektorem normalnym płaszczyzny, wówczas jego równanie można zapisać jako
x-y+3z+D=0. Podstawiając współrzędne punktu A(1,-1,3), należący do samolotu, znajdźmy D: 1-(-1)+3×3+D = 0, D = -11. Zatem x-y+3z-11=0.

Przykład 1.16. Napisz równanie na płaszczyznę przechodzącą przez oś Oz i tworzącą z płaszczyzną kąt 60° 2x+y-z-7=0.

Rozwiązanie. Płaszczyzna przechodząca przez oś Oz jest dana równaniem Ax+By=0, gdzie A i B nie znikają jednocześnie. Niech B nie
równa się 0, A/Bx+y=0. Skorzystaj ze wzoru cosinusa na kąt między dwiema płaszczyznami

.

Decydowanie równanie kwadratowe 3m 2 + 8m - 3 = 0, znajdź jego pierwiastki
m 1 = 1/3, m 2 = -3, skąd otrzymujemy dwie płaszczyzny 1/3x+y = 0 i -3x+y = 0.

Przykład 1.17. Ułóż równania kanoniczne prostej:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Rozwiązanie. Równania kanoniczne prostej mają postać:

Gdzie m, n, s- współrzędne wektora kierującego linii prostej, x 1 , y 1 , z 1- współrzędne dowolnego punktu należącego do linii. Linię prostą definiuje się jako linię przecięcia dwóch płaszczyzn. Aby znaleźć punkt należący do prostej, ustala się jedną ze współrzędnych (najłatwiej jest ustawić np. x=0) i powstały układ rozwiązuje się jako układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi. Zatem niech x=0, następnie y + z = 0, 3y - 2z+ 5 = 0, stąd y=-1, z=1. Znaleziono współrzędne punktu M(x 1, y 1, z 1) należącego do tej prostej: M (0,-1,1). Znając wektory normalne pierwotnych płaszczyzn, łatwo jest znaleźć wektor kierunkowy linii prostej N 1 (5,1,1) i N 2 (2,3,-2). Następnie

Równania kanoniczne prostej mają postać: x/(-5) = (y + 1)/12 =
= (z - 1)/13.

Przykład 1.18. W belce wyznaczonej przez płaszczyzny 2x-y+5z-3=0 i x+y+2z+1=0 znajdź dwie prostopadłe płaszczyzny, z których jedna przechodzi przez punkt M(1,0,1).

Rozwiązanie. Równanie belki wyznaczonej przez te płaszczyzny ma postać u(2x-y+5z-3) + v(x+y+2z+1)=0, gdzie u i v nie znikają jednocześnie. Przepiszmy równanie belki w następujący sposób:

(2u +v)x + (- u + v)y + (5u +2v)z - 3u + v = 0.

Aby wybrać płaszczyznę z belki przechodzącej przez punkt M, podstawiamy współrzędne punktu M do równania belki. Otrzymujemy:

(2u+v)×1 + (-u + v) ×0 + (5u + 2v)×1 -3u + v =0 lub v = - u.

Następnie znajdujemy równanie płaszczyzny zawierającej M, podstawiając v = - u do równania belki:

u(2x-y +5z - 3) - u (x + y +2z +1) = 0.

Ponieważ ty ¹0 (w przeciwnym razie v=0, co jest sprzeczne z definicją belki), wówczas mamy równanie płaszczyzny x-2y+3z-4=0. Druga płaszczyzna należąca do belki musi być do niej prostopadła. Zapiszmy warunek ortogonalności płaszczyzn:

(2u+ v) ×1 + (v - u) ×(-2) + (5u +2v)×3 = 0 lub v = - 19/5u.

Oznacza to, że równanie drugiej płaszczyzny ma postać:

u(2x -y+5z - 3) - 19/5 u(x + y +2z +1) = 0 lub 9x +24y + 13z + 34 = 0.

Równania kanoniczne linii w przestrzeni to równania określające linię przechodzącą dany punkt współliniowy z wektorem kierunku.

Niech będzie dany punkt i wektor kierunkowy. Dowolny punkt leży na prostej l tylko wtedy, gdy wektory i są współliniowe, czyli jest dla nich spełniony warunek:

.

Powyższe równania są równaniami kanonicznymi prostej.

Liczby M , N I P są rzutami wektora kierunku na osie współrzędnych. Ponieważ wektor jest różny od zera, to wszystkie liczby M , N I P nie może być jednocześnie równa zeru. Ale jeden lub dwa z nich mogą okazać się zerowe. Na przykład w geometrii analitycznej dozwolony jest następujący zapis:

,

co oznacza, że ​​rzuty wektora na oś Oj I Oz są równe zeru. Dlatego zarówno wektor, jak i prosta określona równaniami kanonicznymi są prostopadłe do osi Oj I Oz, czyli samoloty yOz .

Przykład 1. Napisz równania prostej w przestrzeni prostopadłej do płaszczyzny i przechodzący przez punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz .

Rozwiązanie. Znajdźmy punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz. Ponieważ dowolny punkt leży na osi Oz, ma wówczas współrzędne , zakładając, że in dane równanie samolot x = y = 0, otrzymujemy 4 z- 8 = 0 lub z= 2 . Dlatego punkt przecięcia tej płaszczyzny z osią Oz ma współrzędne (0; 0; 2) . Ponieważ pożądana linia jest prostopadła do płaszczyzny, jest równoległa do jej wektora normalnego. Dlatego wektor kierunkowy linii prostej może być wektorem normalnym dany samolot.

Zapiszmy teraz potrzebne równania prostej przechodzącej przez punkt A= (0; 0; 2) w kierunku wektora:

Równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty

Linię prostą można wyznaczyć przez dwa leżące na niej punkty I W tym przypadku wektorem kierującym prostej może być wektor . Wtedy równania kanoniczne prostej przyjmują postać

.

Powyższe równania wyznaczają prostą przechodzącą przez dwa dane punkty.

Przykład 2. Napisz równanie prostej w przestrzeni przechodzącej przez punkty i .

Rozwiązanie. Zapiszmy wymagane równania prostej w postaci podanej powyżej w podręczniku teoretycznym:

.

Ponieważ , to pożądana linia prosta jest prostopadła do osi Oj .

Prosta jak linia przecięcia płaszczyzn

Linię prostą w przestrzeni można zdefiniować jako linię przecięcia dwóch nierównoległych płaszczyzn oraz jako zbiór punktów spełniający układ dwóch równań liniowych

Równania układu nazywane są również ogólnymi równaniami linii prostej w przestrzeni.

Przykład 3. Ułóż równania kanoniczne prostej w przestrzeni podane równaniami ogólnymi

Rozwiązanie. Aby zapisać równania kanoniczne prostej, czyli równania prostej przechodzącej przez dwa dane punkty, należy znaleźć współrzędne dowolnych dwóch punktów na tej prostej. Mogą to być na przykład punkty przecięcia prostej z dowolnymi dwiema płaszczyznami współrzędnych yOz I xOz .

Punkt przecięcia prostej i płaszczyzny yOz ma odciętą X= 0 . Dlatego zakładając w tym układzie równań X= 0, otrzymujemy układ z dwiema zmiennymi:

Jej decyzja y = 2 , z= 6 razem z X= 0 definiuje punkt A(0; 2; 6) żądana linia. Następnie zakładając w zadanym układzie równań y= 0, otrzymujemy system

Jej decyzja X = -2 , z= 0 razem z y= 0 definiuje punkt B(-2; 0; 0) przecięcie prostej z płaszczyzną xOz .

Zapiszmy teraz równania prostej przechodzącej przez punkty A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

lub po podzieleniu mianowników przez -2:

,


Wszystkie równania płaszczyzny omówione w poniższych akapitach można uzyskać z równanie ogólne płaszczyźnie, a także sprowadzają się do ogólnego równania płaszczyzny. Zatem, gdy mówią o równaniu płaszczyzny, mają na myśli ogólne równanie płaszczyzny, chyba że zaznaczono inaczej.

Równanie płaszczyzny w odcinkach.

Zobacz równanie płaszczyzny , gdzie a, b i c są niezerowe liczby rzeczywiste, zwany równanie płaszczyzny w odcinkach.

Nazwa ta nie jest przypadkowa. Wartości bezwzględne liczby a, b i c są równe długościom odcinków, które płaszczyzna odcina odpowiednio na osiach współrzędnych Ox, Oy i Oz, licząc od początku układu współrzędnych. Znak liczb a, b i c wskazuje, w jakim kierunku (dodatnim lub ujemnym) należy wykreślić segmenty na osiach współrzędnych.

Przykładowo skonstruujmy płaszczyznę w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz, zdefiniowanym przez równanie płaszczyzny w odcinkach . Aby to zrobić, zaznacz punkt oddalony o 5 jednostek od początku układu współrzędnych w kierunku ujemnym osi odciętych, 4 jednostki w kierunku ujemnym osi rzędnych i 4 jednostki w kierunku dodatnim osi zastosowania. Pozostaje tylko połączyć te punkty liniami prostymi. Płaszczyzną powstałego trójkąta jest płaszczyzna odpowiadająca równaniu płaszczyzny w odcinkach formy .

Aby uzyskać więcej pełna informacja zobacz artykuł równanie płaszczyzny w odcinkach, pokazuje on redukcję równania płaszczyzny w odcinkach do ogólnego równania płaszczyzny, tam też znajdziesz szczegółowe rozwiązania typowe przykłady i zadania.

Równanie płaszczyzny normalnej.

Nazywa się ogólne równanie płaskie postaci normalne równanie samolot, Jeśli równy jeden, tzn. , I .

Często można zobaczyć, że równanie normalne płaszczyzny jest zapisane jako . Oto cosinusy kierunku wektora normalnego danej płaszczyzny o jednostkowej długości, to znaczy, a p jest liczbą nieujemną, równa odległości od początku do płaszczyzny.

Równanie normalne płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz definiuje płaszczyznę oddaloną od początku o odległość p w kierunku dodatnim wektora normalnego tej płaszczyzny . Jeśli p=0, to płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Podajmy przykład równania płaszczyzny normalnej.

Niech płaszczyzna będzie określona w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz za pomocą ogólnego równania płaszczyzny postaci . To ogólne równanie płaszczyzny jest równaniem normalnym płaszczyzny. Rzeczywiście, wektor normalny tej płaszczyzny to ma długość równą jedności, ponieważ .

Równanie płaszczyzny w postaci normalnej pozwala znaleźć odległość punktu od płaszczyzny.

Zalecamy bardziej szczegółowe zrozumienie tego typu równań płaskich, przyjrzenie się szczegółowym rozwiązaniom typowych przykładów i problemów, a także nauczenie się, jak sprowadzić ogólne równanie płaskie do postaci normalnej. Możesz to zrobić, odwołując się do artykułu.

Bibliografia.

  • Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometria. Podręcznik dla klas 10-11 szkoły średniej.
  • Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Wyższa matematyka. Tom pierwszy: Elementy algebra liniowa i geometrii analitycznej.
  • Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometria analityczna.

Aby otrzymać ogólne równanie płaszczyzny, przeanalizujmy płaszczyznę przechodzącą przez dany punkt.

Niech będą trzy osie współrzędnych znane nam już w przestrzeni - Wół, Oj I Oz. Przytrzymaj kartkę papieru tak, aby pozostała płaska. Płaszczyzną będzie sam arkusz i jego kontynuacja we wszystkich kierunkach.

Pozwalać P dowolną płaszczyznę w przestrzeni. Każdy wektor prostopadły do ​​niego nazywa się wektor normalny do tego samolotu. Oczywiście mówimy o wektorze niezerowym.

Jeśli znany jest jakikolwiek punkt na płaszczyźnie P i jakiś wektor normalny, wówczas przez te dwa warunki płaszczyzna w przestrzeni jest całkowicie zdefiniowana(przez dany punkt można poprowadzić pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do zadanego wektora). Ogólne równanie płaszczyzny będzie wyglądało następująco:

Zatem warunki definiujące równanie płaszczyzny to: Aby zdobyć siebie równanie płaszczyzny, mając powyższą formę, wsiądź do samolotu P arbitralny punkt M ze zmiennymi współrzędnymi X, y, z. Punkt ten należy do płaszczyzny tylko wtedy, gdy wektor prostopadle do wektora(ryc. 1). W tym celu, zgodnie z warunkiem prostopadłości wektorów, konieczne i wystarczające jest, aby iloczyn skalarny tych wektorów był równy zeru, czyli

Wektor jest określony przez warunek. Współrzędne wektora znajdujemy za pomocą wzoru :

.

Teraz korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów , wyrażamy iloczyn skalarny w formie współrzędnych:

Od tego momentu M(x; y; z) jest wybierany dowolnie na płaszczyźnie, to ostatnie równanie spełniają współrzędne dowolnego punktu leżącego na płaszczyźnie P. Za punkt N, a nie leżące na danej płaszczyźnie, tj. równość (1) zostaje naruszona.

Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt i prostopadłej do wektora.

Rozwiązanie. Skorzystajmy ze wzoru (1) i spójrzmy na to jeszcze raz:

W tym wzorze liczby A , B I C współrzędne wektorów i liczby X0 , y0 I z0 - współrzędne punktu.

Obliczenia są bardzo proste: podstawiamy te liczby do wzoru i otrzymujemy

Mnożymy wszystko, co należy pomnożyć i dodajemy tylko liczby (które nie mają liter). Wynik:

.

Wymagane równanie płaszczyzny w tym przykładzie okazało się wyrażone ogólnym równaniem pierwszego stopnia w odniesieniu do zmiennych współrzędnych x, y, z dowolny punkt płaszczyzny.

Zatem równanie postaci

zwany ogólne równanie płaszczyzny .

Przykład 2. Skonstruuj w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych płaszczyznę określoną równaniem .

Rozwiązanie. Aby zbudować płaszczyznę, trzeba i wystarczy znać trzy dowolne jej punkty, które nie leżą na tej samej prostej, np. punkty przecięcia płaszczyzny z osiami współrzędnych.

Jak znaleźć te punkty? Aby znaleźć punkt przecięcia z osią Oz, musisz zastąpić zera X i Y w równaniu podanym w opisie problemu: X = y= 0 . Dlatego otrzymujemy z= 6. Zatem, dany samolot przecina oś Oz w tym punkcie A(0; 0; 6) .

W ten sam sposób znajdujemy punkt przecięcia płaszczyzny z osią Oj. Na X = z= 0 otrzymujemy y= −3, czyli punkt B(0; −3; 0) .

I wreszcie znajdujemy punkt przecięcia naszej płaszczyzny z osią Wół. Na y = z= 0 otrzymujemy X= 2, czyli punkt C(2; 0; 0) . Na podstawie trzech punktów uzyskanych w naszym rozwiązaniu A(0; 0; 6) , B(0; -3; 0) i C(2; 0; 0) skonstruuj daną płaszczyznę.

Rozważmy teraz szczególne przypadki ogólnego równania płaszczyzny. Są to przypadki, gdy pewne współczynniki równania (2) stają się zerowe.

1. Kiedy D= 0 równanie definiuje płaszczyznę przechodzącą przez początek, ponieważ współrzędne punktu 0 (0; 0; 0) spełniają to równanie.

2. Kiedy A= 0 równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi Wół, ponieważ wektor normalny tej płaszczyzny jest prostopadły do ​​osi Wół(jego rzut na oś Wół równe zeru). Podobnie kiedy B= 0 samolot równolegle do osi Oj, i kiedy C= 0 samolot równolegle do osi Oz.

3. Kiedy A=D= Równanie 0 definiuje płaszczyznę przechodzącą przez oś Wół, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A=D= 0). Podobnie płaszczyzna przechodzi przez oś Oj i płaszczyzna przechodząca przez oś Oz.

4. Kiedy A=B= Równanie 0 definiuje płaszczyznę równoległą do płaszczyzny współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​osi Wół (A= 0) i Oj (B= 0). Podobnie płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny yOz, a płaszczyzna jest płaszczyzną xOz.

5. Kiedy A=B=D= 0 równanie (lub z = 0) definiuje płaszczyznę współrzędnych xOj, ponieważ jest równoległy do ​​płaszczyzny xOj (A=B= 0) i przechodzi przez początek ( D= 0). Podobnie, Równ. y = 0 w przestrzeni definiuje płaszczyznę współrzędnych xOz i równanie x = 0 - płaszczyzna współrzędnych yOz.

Przykład 3. Utwórz równanie płaszczyzny P, przechodząc przez oś Oj i okres.

Rozwiązanie. Zatem samolot przechodzi przez oś Oj. Dlatego w jej równaniu y= 0 i to równanie ma postać . Aby wyznaczyć współczynniki A I C skorzystajmy z faktu, że punkt należy do płaszczyzny P .

Dlatego wśród jego współrzędnych znajdują się takie, które można podstawić do równania płaszczyzny, które już wyprowadziliśmy (). Spójrzmy jeszcze raz na współrzędne punktu:

M0 (2; −4; 3) .

Pomiędzy nimi X = 2 , z= 3 . Podstawiamy je do równania ogólnego i otrzymujemy równanie dla naszego konkretnego przypadku:

2A + 3C = 0 .

Zostaw 2 A po lewej stronie równania przesuń się o 3 C w prawą stronę i mamy

A = −1,5C .

Zastępowanie znalezionej wartości A do równania, otrzymujemy

Lub .

Jest to równanie wymagane w przykładowym warunku.

Rozwiąż samodzielnie zadanie równania płaszczyzny, a następnie spójrz na rozwiązanie

Przykład 4. Zdefiniuj płaszczyznę (lub płaszczyzny, jeśli jest więcej niż jedna) w odniesieniu do osi współrzędnych lub płaszczyzn współrzędnych, jeśli płaszczyzna(y) jest dana równaniem.

Rozwiązania typowych problemów występujących w testy- w instrukcji „Zagadnienia płaszczyznowe: równoległość, prostopadłość, przecięcie trzech płaszczyzn w jednym punkcie”.

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty

Jak już wspomniano, warunkiem koniecznym i wystarczającym zbudowania płaszczyzny, oprócz jednego punktu i wektora normalnego, są także trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej.

Niech zostaną dane trzy różne punkty , i , nie leżące na tej samej prostej. Ponieważ wskazane trzy punkty nie leżą na tej samej prostej, wektory nie są współliniowe, a zatem dowolny punkt na płaszczyźnie leży w tej samej płaszczyźnie z punktami, i wtedy i tylko wtedy, gdy wektory , i współpłaszczyznowe, tj. wtedy i tylko kiedy mieszany produkt tych wektorów równa się zeru.

Używając wyrażenia produkt mieszany we współrzędnych otrzymujemy równanie płaszczyzny

(3)

Po ujawnieniu wyznacznika równanie to staje się równaniem postaci (2), tj. ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład 5. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty, które nie leżą na tej samej prostej:

i określić szczególny przypadek ogólne równanie prostej, jeśli takie istnieje.

Rozwiązanie. Zgodnie ze wzorem (3) mamy:

Równanie płaszczyzny normalnej. Odległość punktu od płaszczyzny

Równanie normalne płaszczyzny to jej równanie zapisane w postaci