Odczytywanie wykresu pochodnej funkcji. Lekcja ogólna na temat: „Wykorzystanie pochodnej i jej wykresu do odczytania właściwości funkcji” Cele lekcji: Rozwiń konkretne umiejętności do pracy. Wyjaśnienie pojęcia grafika, technika czytania

Powrót do przodu

Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.

Cele Lekcji:

Edukacyjne: Wzmocnienie umiejętności uczniów w zakresie pracy z wykresami funkcji w ramach przygotowań do egzaminu Unified State Exam.

Rozwojowe: rozwijanie zainteresowań poznawczych uczniów dyscyplinami akademickimi, umiejętności zastosowania wiedzy w praktyce.

Edukacyjne: pielęgnuj uwagę, dokładność, poszerzaj horyzonty uczniów.

Sprzęt i materiały: komputer, ekran, projektor, prezentacja „Czytanie wykresów. Ujednolicony egzamin państwowy”

Podczas zajęć

1. Badanie czołowe.

1) <Презентация. Слайды 3,4>.

Jak nazywa się wykres funkcji, dziedzina definicji i zakres wartości funkcji? Określ dziedzinę definicji i zakres wartości funkcji.\

2) <Презентация. Слайды 5,6>.

Która funkcja nazywana jest parzystą, nieparzystą właściwością wykresów tych funkcji?

2. Rozwiązanie ćwiczeń

1) <Презентация. Слайд 7>.

Funkcja okresowa. Definicja.

Rozwiąż zadanie: Mając dany wykres funkcji okresowej, x należy do przedziału [-2;1]. Oblicz f(-4)-f(-6)*f(12), T=3.

f(-4)=f(-4+T)=f(-4+3)= f(-1)=-1

f(-6)=f(-6+T)= f(-6+3*2)=f(0)=1

f(12)=f(12-4T)= =f(12-3*4)=f(0)=1

f(-4)-f(-6)*f(12)=-1-1*1=-2

2) <Презентация. Слайды 8,9,10>.

Rozwiązywanie nierówności z wykorzystaniem wykresów funkcyjnych.

a) Rozwiąż nierówność f(x) 0, jeżeli na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x) danej na przedziale [-7;6]. Opcje odpowiedzi: 1) (-4;-3) (-1;1) (3;6], 2) [-7;-4) (-3;-1) (1;3), 3) , 4 ) (-6;0) (2;4) +

b) Na rysunku przedstawiono wykres funkcji y=f(x) określonej na odcinku [-4;7] Wskaż wszystkie wartości X, dla których zachodzi nierówność f(x) -1.

[-0,5;3], 2) [-0,5;3] U , 3) [-4;0,5] U +, 4) [-4;0,5]

c) Rysunek przedstawia wykresy funkcji y=f(x) i y=g(x), określonych na przedziale [-3;6]. Wypisz wszystkie wartości X, dla których zachodzi nierówność f(x) g(x).

[-1;2], 2) [-2;3], 3) [-3;-2] U+, 4) [-3;-1] U

3) <Презентация. Слайд 11>.

Funkcje rosnące i malejące

Jedna z figur przedstawia wykres funkcji rosnącej na odcinku , a druga malejącej na odcinku [-2;0]. Proszę wskazać te rysunki.

4) <Презентация. Слайды 12,13,14>.

Funkcje wykładnicze i logarytmiczne

a) Podaj warunek zwiększania i zmniejszania funkcji wykładniczej i logarytmicznej. Przez jaki punkt przechodzą wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, jakie właściwości mają wykresy tych funkcji?

b) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=2 -x.Wskaż ten obrazek .

Wykres funkcji wykładniczej przechodzi przez punkt 0, 1. Ponieważ podstawa stopnia jest mniejsza niż 1, funkcja ta musi być malejąca. (Nr 3)

c) Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji y=log 5 (x-4). Podaj numer tego harmonogramu.

Wykres funkcji logarytmicznej y=log 5 x przechodzi przez punkt (1;0) , wówczas, jeśli x -4 = 1, to y = 0, x = 1 + 4, x=5. (5;0) – punkt przecięcia wykresu z osią OX. Jeśli x -4 = 5 , wtedy y=1, x=5+4, x=9,

5) <Презентация. Слайды 15, 16, 17>.

Wyznaczanie liczby stycznych do wykresu funkcji na podstawie wykresu jej pochodnej

a) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-6;7). Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej tej funkcji. Wszystkie styczne równoległe do prostej y=5-2x (lub zbiegające się z nią) rysujemy na wykresie funkcji. Wskaż liczbę punktów na wykresie funkcji, w których narysowane są te styczne.

K = tga = f’(x o). Według warunku k=-2, zatem f’(x o) =-2. Rysujemy linię prostą y=-2. Przecina wykres w dwóch punktach, co oznacza, że styczne do funkcji są poprowadzone w dwóch punktach.

b) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są równoległe do osi x lub z nią pokrywają się.

Współczynnik kątowy linii prostych równoległych do osi odciętej lub pokrywających się z nią wynosi zero. Dlatego K=tg a = f `(x o)=0. Oś OX przecina ten wykres w czterech punktach.

c) Funkcja y=f(x) zdefiniowany w przedziale (-6;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji y=f(x), w których styczne do wykresu są nachylone pod kątem 135° do dodatniego kierunku osi x.

6) <Презентация. Слайды 18, 19>.

Wyznaczanie nachylenia stycznej z wykresu pochodnej funkcji

a) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-2;6]. Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej tej funkcji. Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie.

k=tga=f’(x o). Pochodna funkcji przyjmuje najmniejszą wartość y=-3 w punkcie x=2. Zatem styczna do wykresu ma najmniejsze nachylenie w punkcie x=2

b) Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-7;3]. Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej tej funkcji. Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największą wartość współczynnik kątowy.

7) <Презентация. Слайд 20>.

Znajdowanie wartości pochodnej z wykresu funkcji

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) i styczną do niej w punkcie z odciętą xo. Znajdź wartość pochodnej f `(x)w punkcie x o

f’(x o) =tga. Ponieważ na rysunku a jest kątem rozwartym, wówczas tg a< 0.Из прямоугольного треугольника tg (180 0 -a)=3:2. tg (180 0 -a)= 1,5. Следовательно, tg a= -1,5.Отсюда f `(x o)=-1,5

8) <Презентация. Слайд 21>.

Znalezienie minimum (maksimum) funkcji z wykresu jej pochodnej

W punkcie x=4 pochodna zmienia znak z minus na plus. Oznacza to, że x=4 jest punktem minimalnym funkcji y=f(x)

W punkcie x=1 pochodna zmienia znak z plusa na minus . Oznacza to, że x=1 jest punktem maksymalny funkcja=f(x))

3. Samodzielna praca

<Презентация. Слайд 22>.

1 Opcja

1) Znajdź dziedzinę definicji funkcji.

2) Rozwiąż nierówność f(x) 0

3) Wyznacz przedziały zmniejszania się funkcji.

4) Znajdź punkty minimalne funkcji.

5) Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma największe nachylenie.

Opcja 2

1) Znajdź zakres wartości funkcji.

2) Rozwiąż nierówność f(x) 0

3) Wyznacz przedziały narastania funkcji.

Wykres pochodnej funkcji y=f(x)

4) Znajdź maksymalne punkty funkcji.

5) Wskaż odciętą punktu, w którym styczna do wykresu funkcji y=f(x) ma najmniejsze nachylenie.

4. Podsumowanie lekcji

Temat: Ogólny przegląd kursu matematyki. Przygotowanie do egzaminów

Lekcja: Czytanie wykresu funkcji. Rozwiązywanie problemów B2

W naszym życiu wykresy spotyka się dość często, weźmy na przykład prognozę pogody, która jest przedstawiana w formie wykresu zmian niektórych wskaźników, na przykład temperatury czy siły wiatru w czasie. Czytając ten wykres, nie zastanawiamy się dwa razy, nawet jeśli czytamy go po raz pierwszy w życiu. Możesz także podać przykład wykresu zmian kursów walut w czasie i wiele innych przykładów.

Zatem pierwszy wykres, któremu się przyjrzymy.

Ryż. 1. Ilustracja wykresu 1

Jak widać wykres ma 2 osie. Oś skierowana w prawo (poziomo) nazywana jest osią . Oś skierowana w górę (pionowo) nazywana jest osią .

Najpierw spójrzmy na oś. Na tym wykresie wzdłuż tej osi przedstawiono liczbę obrotów na minutę określonego silnika samochodowego. Może być równa itp. Na tej osi są też podziały, niektóre są oznaczone liczbami, inne są pośrednie i nie są oznaczone. Łatwo zgadnąć, że pierwsze dzielenie od zera to , trzecie itd.

Teraz spójrzmy na oś. Na tym wykresie wzdłuż tej osi naniesione są wartości liczbowe Newtona na metr (), wartości momentu obrotowego, które są równe itp. W tym przypadku cena podziału jest równa .

Przejdźmy teraz do samej funkcji (do linii przedstawionej na wykresie). Jak widać, ta linia odzwierciedla liczbę niutonów na metr, czyli jaki moment obrotowy będzie przy określonej prędkości obrotowej silnika na minutę. Jeśli przyjmiemy wartość 1000 obr./min. i od tego miejsca na wykresie idziemy w lewo, zobaczymy, że prosta przechodzi przez punkt 20, czyli wartość momentu obrotowego przy 1000 obr/min będzie równa (rysunek 2.2).

Jeśli przyjmiemy wartość 2000 obr/min, to linia przejdzie już w punkcie (rysunek 2.2).

Ryż. 2. Wyznaczanie momentu obrotowego na podstawie liczby obrotów na minutę

Teraz wyobraźmy sobie, że naszym zadaniem jest znalezienie największej wartości z tego wykresu. Szukamy najwyższego punktu (), odpowiednio, za najniższą wartość momentu obrotowego na tym wykresie zostanie przyjęta wartość 0. Aby znaleźć najwyższą wartość funkcji na wykresie, należy wziąć pod uwagę najwyższą wartość, jaką funkcja osiąga na pionie oś. Sprawdzamy, która wartość jest najwyższa i wzdłuż osi pionowej sprawdzamy, jaka będzie najwyższa osiągnięta liczba. Jeśli mówimy o najmniejszej wartości, to przeciwnie, bierzemy najniższy punkt i patrzymy na jego wartość wzdłuż osi pionowej.

Ryż. 3. Największa i najmniejsza wartość funkcji według wykresu

Największą wartością w tym przypadku jest odpowiednio , a najmniejszą odpowiednio 0. Ważne żeby nie pomylić i poprawnie wskazać wartość maksymalną, niektórzy wskazują maksymalną wartość 4000 obr/min, to nie jest wartość maksymalna, ale sedno przy którym pobierana jest wartość maksymalna (maksimum punktowe), największa wartość wynosi dokładnie .

Należy także zwrócić uwagę na oś pionową, jej jednostki miary, czyli gdyby np. zamiast Newtonów na metr () wskazano setki Newtonów na metr (), to wartość maksymalną należałoby pomnożyć przez sto itp.

Największe i najmniejsze wartości funkcji są bardzo ściśle powiązane z pochodną funkcji.

Jeśli na rozpatrywanym odcinku funkcja rośnie, to pochodna funkcji na tym odcinku jest dodatnia lub równa zeru w skończonej liczbie punktów, najczęściej jest po prostu dodatnia. Podobnie, jeśli funkcja na rozpatrywanym odcinku maleje, to pochodna funkcji na tym odcinku jest ujemna lub równa zeru w skończonej liczbie punktów. W obu przypadkach jest odwrotnie.

Poniższy przykład stwarza pewne trudności ze względu na ograniczenie osi poziomej. Konieczne jest znalezienie największej i najmniejszej wartości w określonym segmencie.

Wykres przedstawia zmianę temperatury w czasie. Na osi poziomej widzimy czas i dni, a na osi pionowej temperaturę. Należy wyznaczyć najwyższą temperaturę powietrza w dniu 22 stycznia, czyli uwzględnić nie cały wykres, ale część dotyczącą 22 stycznia, czyli od godziny 00:00 22 stycznia do godziny 00:00 23 stycznia.

Ryż. 4. Wykres zmian temperatury

Ograniczając wykres staje się dla nas oczywiste, że maksymalna temperatura odpowiada punktowi .

Podano wykres zmian temperatury w ciągu trzech dni. Na osi wołu – pora dnia i dzień miesiąca, na osi oy – temperatura powietrza w stopniach Celsjusza.

Musimy wziąć pod uwagę nie cały harmonogram, ale część dotyczącą 13 lipca, czyli od 00:00 13 lipca do 00:00 14 lipca.

Ryż. 5. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

Jeśli nie wpiszesz ograniczeń opisanych powyżej, możesz otrzymać błędną odpowiedź, ale w danym przedziale maksymalna wartość jest oczywista: , i została osiągnięta o godzinie 12:00 w dniu 13 lipca.

Przykład 3: ustal, kiedy po raz pierwszy spadło pięć milimetrów deszczu:

Wykres przedstawia dzienne opady w Kazaniu od 3 do 15 lutego 1909 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, a ilość opadów w milimetrach jest wyświetlana pionowo.

Ryż. 6. Opady dzienne

Zacznijmy od porządku. Na trzecim widzimy, że spadło nieco więcej niż 0, ale mniej niż 1 mm. opadów, 4 mm opadów spadło 4 itd. Liczba 5 pojawia się po raz pierwszy 11 dnia. Dla wygody można wirtualnie narysować linię prostą naprzeciw tej piątki; po raz pierwszy przetnie ona wykres 11 lutego – to jest prawidłowa odpowiedź.

Przykład 4: ustal, w jakim dniu cena uncji złota była najniższa

Wykres przedstawia cenę złota na koniec notowań giełdowych w każdym dniu od 5 do 28 marca 1996 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, pionowo,

w związku z tym cena uncji złota w dolarach amerykańskich.

Linie pomiędzy punktami są narysowane wyłącznie dla przejrzystości; informacje niosą wyłącznie same punkty.

Ryż. 7. Wykres zmian ceny złota na giełdzie

Dodatkowy przykład: określ, w którym punkcie odcinka funkcja przyjmuje największą wartość:

Pochodna pewnej funkcji jest podana na wykresie.

Ryż. 8. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

Pochodną definiuje się na przedziale

Jak widać pochodna funkcji na danym odcinku jest ujemna i równa zero w lewym punkcie brzegowym. Jak wiemy, jeśli pochodna funkcji jest ujemna, to funkcja na rozpatrywanym przedziale maleje, zatem nasza funkcja maleje na całym rozpatrywanym przedziale, w tym przypadku przyjmuje największą wartość w skrajnej lewej granicy. Odpowiedź: okres.

Przyjrzeliśmy się więc pojęciu wykresu funkcji, zbadaliśmy, jakie są osie na wykresie, jak znaleźć wartość funkcji na wykresie, jak znaleźć największą i najmniejszą wartość.

Mordkovich A.G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne.
Muravin G.K., Muravin O.V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop.
Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Ujednolicony egzamin państwowy ().
Festiwal Idei Pedagogicznych ().
Nauka jest łatwa.RF ().

Wykres (ryc. 9) przedstawia średnią miesięczną temperaturę powietrza w Jekaterynburgu (Swierdłowsku) w każdym miesiącu 1973 r. Oś pozioma wskazuje miesiące, a oś pionowa wskazuje temperaturę w stopniach Celsjusza. Na podstawie wykresu określ najniższą średnią miesięczną temperaturę w okresie od maja do grudnia 1973 r. włącznie. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza.

Ryż. 9. Wykres temperatur

Korzystając z tego samego wykresu (ryc. 9), określ różnicę pomiędzy najwyższą i najniższą średnią miesięczną temperaturą w roku 1973. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza.
Wykres (ryc. 10) przedstawia proces nagrzewania silnika spalinowego w temperaturze otoczenia 15 stopni. Oś odciętych pokazuje czas w minutach, jaki upłynął od uruchomienia silnika, a oś y pokazuje temperaturę silnika w stopniach Celsjusza. Obciążenie można podłączyć do silnika, gdy temperatura silnika osiągnie 45 stopni. Jaka jest minimalna liczba minut, którą należy odczekać przed podłączeniem obciążenia do silnika?

Ryż. 10. Harmonogram rozgrzewania silnika

Następnie na zajęciach warto rozważyć kluczowe zadanie: korzystając z podanego wykresu pochodnej, uczniowie muszą wymyślić (oczywiście przy pomocy nauczyciela) różne pytania związane z właściwościami samej funkcji. Naturalnie kwestie te są omawiane, w razie potrzeby poprawiane, podsumowywane, zapisywane w notatniku, po czym rozpoczyna się etap rozwiązywania tych zadań. W tym miejscu należy zadbać o to, aby uczniowie nie tylko podali poprawną odpowiedź, ale potrafili ją uzasadnić (udowodnić), korzystając z odpowiednich definicji, właściwości i reguł.
Podajmy przykład takiego zadania: na tablicy (np. za pomocą rzutnika) przedstawiany jest uczniom wykres pochodnej, na jego podstawie sformułowano 10 zadań (odrzucano pytania nie do końca poprawne lub powielane).
Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 6].
Korzystając z wykresu pochodnej y = f”(x), wyznacz:

1) liczba przedziałów funkcji rosnącej y = f(x);
2) długość przedziału malejącej funkcji y = f(x);
3) liczba punktów ekstremalnych funkcji y = f(x);
4) maksymalny punkt funkcji y = f(x);
5) punkt krytyczny (stacjonarny) funkcji y = f(x), który nie jest punktem ekstremalnym;
6) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje największą wartość na odcinku;
7) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje najmniejszą wartość na odcinku [–2; 2];
8) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest prostopadła do osi Oy;
9) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna tworzy kąt 60° z dodatnim kierunkiem osi Ox;
10) odcięta punktu wykresu funkcji y = f(x), przy którym nachylenie stycznej przyjmuje najmniejszą wartość.
Odpowiedź: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.
Aby utrwalić umiejętność badania właściwości funkcji, uczniowie mogą zabrać do domu zadanie polegające na czytaniu tego samego wykresu, tyle że w jednym przypadku jest to wykres funkcji, a w drugim wykres jej pochodnej.

Artykuł powstał dzięki wsparciu forum administratorów systemów i programistów. Na „CyberForum.ru” znajdziesz fora na takie tematy jak programowanie, komputery, dyskusja o oprogramowaniu, programowanie stron internetowych, nauka, elektronika i sprzęt AGD, kariera i biznes, rekreacja, ludzie i społeczeństwo, kultura i sztuka, dom i gospodarka, samochody , motocykle i wiele innych. Na forum możesz uzyskać bezpłatną pomoc. Więcej informacji można znaleźć na stronie internetowej, która znajduje się pod adresem: http://www.cyberforum.ru/ Differential-equations/.

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 5]. Obrazek przedstawia:
a) wykres funkcji y = f(x);
b) wykres pochodnej y = f”(x).
Ustal z harmonogramu:
1) minimalne punkty funkcji y = f(x);
2) liczba przedziałów malejącej funkcji y = f(x);
3) odciętą punktu wykresu funkcji y = f(x), w którym przyjmuje ona największą wartość na odcinku;
4) liczba punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest równoległa do osi Ox (lub pokrywa się z nią).
Odpowiedzi:
a) 1) –3; 2; 4; 2) 3; 3) 3; 4) 4;
b) 1) –2; 4,6;2) 2; 3) 2; 4) 5.
Aby przeprowadzić kontrolę, możesz zorganizować pracę w parach: każdy uczeń przygotowuje wcześniej dla swojego partnera wykres pochodnej na karcie, a poniżej zadaje 4-5 pytań w celu ustalenia właściwości funkcji. Na lekcjach wymieniają się kartkami, wykonują zaproponowane zadania, po czym każdy sprawdza i ocenia pracę swojego partnera.

Temat: Ogólny przegląd kursu matematyki. Przygotowanie do egzaminów

Lekcja: Czytanie wykresu funkcji. Rozwiązywanie problemów B2

1. Wyjaśnienie pojęcia wykresu, technika czytania

Zatem pierwszy wykres, któremu się przyjrzymy.

Ryż. 1. Ilustracja wykresu 1

Jak widać wykres ma 2 osie. Oś skierowana w prawo (poziomo) nazywana jest osią . Oś skierowana w górę (pionowo) nazywana jest osią .

Jeśli przyjmiemy wartość 2000 obr/min, to linia przejdzie już w punkcie (rysunek 2.2).

Ryż. 2. Wyznaczanie momentu obrotowego na podstawie liczby obrotów na minutę

2. Pojęcie wartości maksymalnych i minimalnych, metoda znajdowania wartości maksymalnych i minimalnych funkcji z wykresu

Ryż. 3. Największa i najmniejsza wartość funkcji według wykresu

Największe i najmniejsze wartości funkcji są bardzo ściśle powiązane z pochodną funkcji.

3. Dodatkowe informacje o funkcji pochodnej

4. Rozwiązywanie przykładów z ograniczeniem wzdłuż osi OX

Poniższy przykład stwarza pewne trudności ze względu na ograniczenie osi poziomej. Konieczne jest znalezienie największej i najmniejszej wartości w określonym segmencie.

Ryż. 4. Wykres zmian temperatury

Ograniczając wykres staje się dla nas oczywiste, że maksymalna temperatura odpowiada punktowi .

5. Dodatkowy przykład, zadanie z egzaminu Unified State Exam

Podano wykres zmian temperatury w ciągu trzech dni. Na osi wołu – pora dnia i dzień miesiąca, na osi oy – temperatura powietrza w stopniach Celsjusza.

Musimy wziąć pod uwagę nie cały harmonogram, ale część dotyczącą 13 lipca, czyli od 00:00 13 lipca do 00:00 14 lipca.

Ryż. 5. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

6. Rozwiązywanie innych przykładów czytania wykresu funkcji

Przykład 3: ustal, kiedy po raz pierwszy spadło pięć milimetrów deszczu:

Wykres przedstawia dzienne opady w Kazaniu od 3 do 15 lutego 1909 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, a ilość opadów w milimetrach jest wyświetlana pionowo.

Ryż. 6. Opady dzienne

Przykład 4: ustal, w jakim dniu cena uncji złota była najniższa

Wykres przedstawia cenę złota na koniec notowań giełdowych w każdym dniu od 5 do 28 marca 1996 r. Dni miesiąca są wyświetlane poziomo, pionowo,

w związku z tym cena uncji złota w dolarach amerykańskich.

Linie pomiędzy punktami są narysowane wyłącznie dla przejrzystości; informacje niosą wyłącznie same punkty.

Ryż. 7. Wykres zmian ceny złota na giełdzie

7. Rozwiązanie dodatkowego przykładu

Dodatkowy przykład: określ, w którym punkcie odcinka funkcja przyjmuje największą wartość:

Pochodna pewnej funkcji jest podana na wykresie.

Ryż. 8. Ilustracja przedstawiająca dodatkowy przykład

Pochodną definiuje się na przedziale

Przyjrzeliśmy się więc pojęciu wykresu funkcji, zbadaliśmy, jakie są osie na wykresie, jak znaleźć wartość funkcji na wykresie, jak znaleźć największą i najmniejszą wartość.

Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Drop. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. i wsp. Algebra i początki analizy matematycznej. - M.: Oświecenie.

Ujednolicony egzamin państwowy. Festiwal Pomysłów Pedagogicznych. Studia są łatwe. RF.

Wykres (ryc. 9) przedstawia średnią miesięczną temperaturę powietrza w Jekaterynburgu (Swierdłowsku) w każdym miesiącu 1973 r. Oś pozioma wskazuje miesiące, a oś pionowa wskazuje temperaturę w stopniach Celsjusza. Na podstawie wykresu określ najniższą średnią miesięczną temperaturę w okresie od maja do grudnia 1973 r. włącznie. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza.

Ryż. 9. Wykres temperatur

Korzystając z tego samego wykresu (ryc. 9), określ różnicę pomiędzy najwyższą i najniższą średnią miesięczną temperaturą w roku 1973. Podaj odpowiedź w stopniach Celsjusza. Wykres (ryc. 10) przedstawia proces nagrzewania silnika spalinowego w temperaturze otoczenia 15 stopni. Oś odciętych pokazuje czas w minutach, jaki upłynął od uruchomienia silnika, a oś y pokazuje temperaturę silnika w stopniach Celsjusza. Obciążenie można podłączyć do silnika, gdy temperatura silnika osiągnie 45 stopni. Jaka jest minimalna liczba minut, którą należy odczekać przed podłączeniem obciążenia do silnika?

Ryż. 10. Harmonogram rozgrzewania silnika

Lekcja ogólna na temat: „Korzystanie z pochodnej i jej wykresu do odczytywania właściwości funkcji” Cele lekcji: Rozwinięcie konkretnych umiejętności pracy z wykresem funkcji pochodnej do wykorzystania podczas zdania egzaminu Unified State Exam; Rozwiń umiejętność odczytywania własności funkcji z wykresu jej pochodnej. Przygotuj się do testu

Aktualizacja wiedzy podstawowej 3. Zależność pomiędzy wartościami pochodnej, nachyleniem stycznej, kątem pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi OX. Pochodna funkcji w punkcie styczności jest równa nachyleniu stycznej narysowanej w tym punkcie do wykresu funkcji, czyli tangensa kąta nachylenia stycznej do dodatniego kierunku osi odciętych. Jeżeli pochodna jest dodatnia, to współczynnik kątowy jest dodatni, wówczas kąt nachylenia stycznej do osi OX jest ostry. Jeżeli pochodna jest ujemna, to współczynnik kątowy jest ujemny, to kąt nachylenia stycznej do osi OX jest rozwarty. Jeśli pochodna wynosi zero, to nachylenie wynosi zero, a następnie styczna jest równoległa do osi OX

0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeżeli f (x) 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeśli f(x) 7 Aktualizacja wiedzy podstawowej Wystarczające znaki monotoniczności funkcji. Jeżeli f (x) > 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeżeli f (x) 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeżeli f (x) 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeżeli f (x) 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeżeli f (x) 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) zwiększa m na tym przedziale. Jeśli f (x) title="Aktualizacja wiedzy podstawowej Wystarczające znaki monotoniczności funkcji. Jeśli f (x) > 0 w każdym punkcie przedziału (a, b), to funkcja f (x) rośnie m w tym przedziale. Jeśli f(x)

Aktualizacja wiedzy referencyjnej Punkty wewnętrzne dziedziny definicji funkcji, w których pochodna jest równa zeru lub nie istnieje, nazywane są punktami krytycznymi tej funkcji. Tylko w tych punktach funkcja może mieć ekstremum (minimum lub maksimum, rys. 5a, b). W punktach x 1, x 2 (rys. 5a) i x 3 (rys. 5b) pochodna wynosi 0; w punktach x 1, x 2 (rys. 5b) pochodna nie istnieje. Ale to wszystko są skrajne punkty. 5. Zastosowanie pochodnej do wyznaczania punktów krytycznych i ekstremów

Aktualizacja wiedzy podstawowej. Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli x 0 jest ekstremum funkcji f(x) i w tym punkcie istnieje pochodna f, to f(x 0)=0. Twierdzenie to jest warunkiem koniecznym ekstremum. Jeżeli pochodna funkcji w pewnym punkcie jest równa 0, nie oznacza to, że funkcja ma w tym punkcie ekstremum. Przykładowo pochodna funkcji f(x) = x 3 jest równa 0 przy x = 0, ale funkcja ta nie ma w tym punkcie ekstremum.Z kolei funkcja y = | x | ma minimum w x = 0, ale pochodna w tym punkcie nie istnieje. Warunki wystarczające na ekstremum. Jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia swój znak z plusa na minus, to x 0 jest punktem maksymalnym. Jeżeli pochodna przechodząc przez punkt x 0 zmienia swój znak z minus na plus, to x 0 jest punktem minimalnym. 6. Warunki konieczne i wystarczające na ekstremum

Aktualizacja wiedzy referencyjnej Wartości minimalne i maksymalne funkcji ciągłej f(x) można osiągnąć zarówno w punktach wewnętrznych odcinka [a; c] i na jego końcach. Jeżeli wartości te zostaną osiągnięte w wewnętrznych punktach segmentu, wówczas punkty te są punktami ekstremalnymi. Dlatego konieczne jest znalezienie wartości funkcji w ekstremalnych punktach odcinka [a; c], na końcach segmentu i porównaj je. 7. Wykorzystanie pochodnej do znalezienia największej i najmniejszej wartości funkcji

1. Rozwój wiedzy, umiejętności i zdolności na dany temat Korzystając z poniższych danych podanych w tabeli, scharakteryzuj zachowanie funkcji. Ściągawka do ćwiczeń praktycznych x(-3;0)0(0;4)4(4;8)8(8;+) f΄(x) f(x)

Charakterystyka zachowania funkcji 1.ODZ: x należy do przedziału od -3 do +; 2.Rośnie w odstępach (-3;0) i (8;+); 3. Zmniejszenia w przedziałach (0;8); 4.Х=0 – punkt maksymalny; 5.Х=4 – punkt przegięcia; 6.Х=8 – punkt minimalny; 7.f(0) =-3; f(0) =-5; f(0) = 8;

5. Rozwój wiedzy, umiejętności i zdolności na ten temat. Funkcja y = f(x) jest określona i ciągła na przedziale [–6; 6]. Sformułuj 10 pytań w celu ustalenia własności funkcji z wykresu pochodnej y = f"(x). Twoim zadaniem jest nie tylko udzielenie poprawnej odpowiedzi, ale umiejętne jej argumentowanie (udowodnienie), korzystając z odpowiednich definicji, właściwości i zasady.

Lista pytań (poprawiona) 1) liczba przedziałów funkcji rosnącej y = f(x); 2) długość przedziału malejącej funkcji y = f(x); 3) liczba punktów ekstremalnych funkcji y = f(x); 4) maksymalny punkt funkcji y = f(x); 5) punkt krytyczny (stacjonarny) funkcji y = f(x), który nie jest punktem ekstremalnym; 6) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje największą wartość na odcinku; 7) odciętą punktu wykresu, w którym funkcja y = f(x) przyjmuje najmniejszą wartość na odcinku [–2; 2]; 8) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna jest prostopadła do osi OU; 9) liczbę punktów na wykresie funkcji y = f(x), w których styczna tworzy kąt 60° z dodatnim kierunkiem osi OX; 10) odcięta punktu wykresu funkcji y = f(x), w którym nachylenie wynosi Odpowiedź: 1) 2; 2) 2; 3) 2; 4) –3; 5) –5; 6) 4; 7) –1; 8) 3; 9) 4; 10) –2.

Testowanie (B8 z egzaminu Unified State Exam) 1. Zadania testowe prezentowane są na slajdach. 2. Wpisz swoje odpowiedzi do tabeli. 3. Po zakończeniu testu wymieńcie się arkuszami odpowiedzi i sprawdźcie pracę sąsiada na podstawie gotowych wyników; oceniać. 4.Wspólnie rozważamy i omawiamy zadania problemowe.

Do wykresu funkcji y = f(x) rysuje się styczną w jej punkcie z odciętą x 0 =2. Określ nachylenie stycznej, jeśli rysunek przedstawia wykres pochodnej tej funkcji. Funkcja y=f(x) jest zdefiniowana na przedziale (-5;5). Na rysunku przedstawiono wykres pochodnej tej funkcji. Znajdź liczbę punktów na wykresie funkcji, w których styczne są równoległe do osi x. 1

Funkcja jest zdefiniowana na przedziale (-5;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Wskaż liczbę punktów, w których styczne są nachylone pod kątem 135° do dodatniego kierunku osi x. Funkcja jest zdefiniowana na przedziale (-6;6). Rysunek przedstawia wykres jego pochodnej. Wskaż liczbę punktów, których styczne są nachylone pod kątem 45° do dodatniego kierunku osi x.

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-6;6]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Wskaż liczbę przedziałów funkcji rosnącej y = f(x) na odcinku [-6;6]. Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-5;5]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Wskaż liczbę punktów maksymalnych funkcji y = f(x) na odcinku [-5;5].

Na przedziale jest zdefiniowana funkcja y = f(x). Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Wskaż liczbę punktów minimalnych funkcji y =f(x) na odcinku. Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-6;6]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Wskaż liczbę przedziałów malejącej funkcji y=f(x) na odcinku [-6;6]. ok

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-6;6]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Znajdź przedziały wzrostu funkcji y = f(x) na odcinku [-6;6]. W swojej odpowiedzi wskaż najkrótszą z długości tych przedziałów. Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-5;5]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Znajdź przedziały spadku funkcji y = f(x) na odcinku [-5;5]. W swojej odpowiedzi wskaż największą z długości tych przedziałów.

Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-5;4]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Określ najmniejszą z tych wartości X, przy której funkcja ma maksimum. Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana na przedziale [-5;5]. Wykres jego pochodnej pokazano na rysunku. Określ najmniejszą z tych wartości X, przy której funkcja ma minimum.

Na przedziale (-6,6) zdefiniowana jest funkcja y = f(x), na rysunku przedstawiono pochodną tej funkcji. Znajdź punkt minimalny funkcji. Na przedziale (-6,7) zdefiniowana jest funkcja y = f(x) Na rysunku przedstawiono pochodną tej funkcji. Znajdź maksymalny punkt funkcji.

Rozwiązanie zadania 19 Korzystając z wykresu pochodnej funkcji y = f(x), znajdź wartość funkcji w punkcie x = 5, jeśli f(6) = 8 Dla x 3 f (x) =k=3, zatem na tym przedziale tangens wyraża się wzorem y =3x+b. Wartość funkcji w punkcie styku pokrywa się z wartością stycznej. Według warunku f(6) = 8 8=3,6 + b b = -10 f(5) =3,5 -10 = 5 Odpowiedź: 5

Podsumowanie lekcji Zbadaliśmy związek pomiędzy monotonicznością funkcji i znakiem jej pochodnej, a warunkami wystarczającymi na istnienie ekstremum. Przeanalizowaliśmy różne zadania czytania wykresu funkcji pochodnej, które można znaleźć w tekstach jednolitego egzaminu państwowego. Wszystkie zadania, które rozważaliśmy, są dobre, ponieważ ich wykonanie nie zajmuje dużo czasu. Podczas jednolitego egzaminu państwowego jest to bardzo ważne: szybko i poprawnie zapisz odpowiedź.

Zadanie domowe: zadanie polegające na przeczytaniu tego samego wykresu, tyle że w jednym przypadku jest to wykres funkcji, a w drugim wykres jej pochodnej. Funkcja y = f(x) jest zdefiniowana i ciągła na przedziale [–6; 5]. Rysunek przedstawia: a) wykres funkcji y = f(x); b) wykres pochodnej y = f"(x). Z wykresu wyznacz: 1) minimalny punkt funkcji y = f(x); 2) liczbę przedziałów malejącej funkcji y = f(x) ; 3) odcięta punktu wykresu funkcji y = f (x), w którym przyjmuje ona największą wartość na odcinku; 4) liczba punktów na wykresie funkcji y = f(x) , w którym styczna jest równoległa do osi OX (lub pokrywa się z nią).

Literatura 1. Podręcznik Algebra i początek analizy, klasa 11. CM. Nikolski, M.K. Potapow i inni Moskwa. „Oświecenie” Ujednolicony egzamin państwowy z matematyki. Typowe zadania testowe. 3. Poradnik intensywnego przygotowania do egzaminu z matematyki. Ukończenie szkoły, wejście, ujednolicony egzamin państwowy na poziomie +5. Zasoby internetowe M. "VAKO".