Wskazanie związku znaku pochodnej z naturą monotoniczności funkcji.

Prosimy o zachowanie szczególnej ostrożności w następujących kwestiach. Spójrz, harmonogram CO jest ci dane! Funkcja lub jej pochodna

Jeśli podano wykres pochodnej, wówczas będą nas interesować tylko znaki funkcji i zera. W zasadzie nie interesują nas żadne „wzgórza” czy „dziuple”!

Zadanie 1.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Określ liczbę punktów całkowitych, w których pochodna funkcji jest ujemna.


Rozwiązanie:

Na rysunku kolorem zaznaczono obszary malejącej funkcji:


Te malejące obszary funkcji zawierają 4 wartości całkowite.


Zadanie 2.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.


Rozwiązanie:

Gdy styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią prostą (lub, co jest tym samym), mając nachylenie równy zero, to tangens ma współczynnik kątowy .

To z kolei oznacza, że ​​styczna jest równoległa do osi, gdyż nachylenie jest styczną kąta nachylenia stycznej do osi.

Dlatego na wykresie znajdujemy punkty ekstremalne (punkty maksymalne i minimalne) - to właśnie w tych punktach funkcje styczne do wykresu będą równoległe do osi.


Są 4 takie punkty.

Zadanie 3.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa lub pokrywa się z prostą.

Rozwiązanie:

Ponieważ styczna do wykresu funkcji jest równoległa (lub pokrywa się) z linią, która ma nachylenie, to styczna również ma nachylenie.

To z kolei oznacza, że ​​w punktach dotykowych.

Dlatego sprawdzamy, ile punktów na wykresie ma rzędną równą .

Jak widać, są cztery takie punkty.

Zadanie 4.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź liczbę punktów, w których pochodna funkcji wynosi 0.


Rozwiązanie:

Pochodna jest równa zero w punktach ekstremalnych. Mamy ich 4:


Zadanie 5.

Rysunek przedstawia wykres funkcji i jedenaście punktów na osi x: W ilu z tych punktów pochodna funkcji jest ujemna?


Rozwiązanie:

Na przedziałach funkcji malejącej przyjmuje się jej pochodną wartości ujemne. Funkcja maleje w punktach. Są 4 takie punkty.

Zadanie 6.

Rysunek przedstawia wykres funkcji określonej na przedziale. Znajdź sumę ekstremów funkcji.


Rozwiązanie:

Punkty ekstremalne– są to punkty maksymalne (-3, -1, 1) i minimalne (-2, 0, 3).

Suma punktów ekstremalnych: -3-1+1-2+0+3=-2.

Zadanie 7.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj sumę punktów całkowitych wchodzących w skład tych przedziałów.

Rozwiązanie:

Na rysunku zaznaczono przedziały, w których pochodna funkcji jest nieujemna.

Na małym rosnącym przedziale nie ma punktów całkowitych; na rosnącym przedziale znajdują się cztery wartości całkowite: , i .


Ich suma:

Zadanie 8.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. Znajdź przedziały wzrostu funkcji. W swojej odpowiedzi podaj długość największego z nich.


Rozwiązanie:

Na rysunku kolorem zaznaczono wszystkie przedziały, w których pochodna jest dodatnia, co oznacza, że ​​sama funkcja rośnie w tych przedziałach.


Długość największego z nich wynosi 6.

Zadanie 9.

Rysunek przedstawia wykres pochodnej funkcji określonej na przedziale. W którym punkcie segmentu przyjmuje największą wartość?


Rozwiązanie:

Zobaczmy jak wykres zachowuje się na segmencie, a to nas interesuje tylko znak pochodnej .


Znak pochodnej wynosi minus, ponieważ wykres tego odcinka znajduje się poniżej osi.

Cześć przyjaciele! W tym artykule przyjrzymy się zadaniom dla funkcji pierwotnych. Zadania te wchodzą w skład Jednolitego Egzaminu Państwowego z matematyki. Pomimo tego, że same sekcje - różniczkowanie i całkowanie - są dość pojemne na kursie algebry i wymagają odpowiedzialnego podejścia do zrozumienia, same zadania, które wchodzą w otwarty bank zadań z matematyki i będą niezwykle proste na Unified Egzamin państwowy, który można rozwiązać w jednym lub dwóch etapach.

Ważne jest dokładne zrozumienie istoty funkcji pierwotnej, a w szczególności geometrycznego znaczenia całki. Przyjrzyjmy się pokrótce podstawom teoretycznym.

Geometryczne znaczenie całki

Krótko o całce możemy powiedzieć tak: całka to pole.

Definicja: Daj spokój płaszczyzna współrzędnych podany jest wykres funkcji dodatniej f określonej na odcinku. Podgraf (lub zakrzywiony trapez) jest figurą ograniczoną wykresem funkcji f, liniami x = a i x = b oraz osią x.

Definicja: Niech będzie dana funkcja dodatnia f, określona na skończonym odcinku. Całką funkcji f na segmencie jest obszar jej podgrafu.

Jak już powiedziano F′(x) = f(x).Co możemy stwierdzić?

To proste. Musimy wyznaczyć, ile jest na tym wykresie punktów, w których F′(x) = 0. Wiemy, że w tych punktach, w których styczna do wykresu funkcji jest równoległa do osi x. Pokażmy te punkty na przedziale [–2;4]:

Są to ekstrema danej funkcji F(x). Jest ich dziesięć.

Odpowiedź: 10

323078. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x) (dwa promienie o wspólnym punkcie początkowym). Korzystając z rysunku, oblicz F (8) – F (2), gdzie F (x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f (x).


Zapiszmy jeszcze raz twierdzenie Newtona-Leibniza:Niech f będzie daną funkcją, F jej dowolną funkcją pierwotną. Następnie

A to, jak już powiedziano, jest obszarem podgrafu funkcji.

Zatem problem sprowadza się do znalezienia pola trapezu (przedział od 2 do 8):


Obliczenie tego za pomocą komórek nie jest trudne. Otrzymujemy 7. Znak jest dodatni, ponieważ liczba znajduje się powyżej osi x (lub w dodatniej półpłaszczyźnie osi y).

Nawet w tym przypadku można powiedzieć tak: różnica wartości funkcji pierwotnych w punktach to obszar figury.

Odpowiedź: 7

323079. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x). Funkcja F (x) = x 3 +30x 2 +302x–1,875 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji y = f (x). Znajdź obszar zacienionej figury.


Jak już powiedziano o zmysł geometryczny Całką jest obszar figury ograniczony wykresem funkcji f (x), liniami prostymi x = a i x = b oraz osią wołu.

Twierdzenie (Newtona – Leibniza):

Zatem problem sprowadza się do obliczeń określona całka tej funkcji w przedziale od –11 do –9, czyli innymi słowy musimy znaleźć różnicę wartości funkcji pierwotnych obliczonych we wskazanych punktach:


Odpowiedź: 6

323080. Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y = f (x).

Funkcja F (x) = –x 3 –27x 2 –240x– 8 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f (x). Znajdź obszar zacienionej figury.


Twierdzenie (Newtona – Leibniza):

Problem sprowadza się do obliczenia całki oznaczonej danej funkcji w przedziale od –10 do –8:


Odpowiedź: 4

Inne rozwiązanie tego problemu ze strony.

Instrumenty pochodne i zasady różnicowania są również dostępne w . Trzeba je znać, nie tylko po to, żeby rozwiązywać takie zadania.

Możesz też popatrzeć informacje podstawowe na stronie internetowej i.

Obejrzyj krótki film, to fragment filmu „Ślepa strona”. Można powiedzieć, że to film o wychowaniu, o miłosierdziu, o znaczeniu rzekomo „przypadkowych” spotkań w naszym życiu… Ale te słowa nie wystarczą, sam film polecam obejrzeć, gorąco polecam.

Życzę Ci sukcesu!

Z poważaniem, Aleksander Krutitskikh

P.S: Byłbym wdzięczny, gdybyś powiedział mi o tej stronie w sieciach społecznościowych.


Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=\frac(2)(3)x^3-20x^2+201x-\frac(5)(9)\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x )\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323383. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(4)(9)x^3-\frac(34)(3)x^2-\frac(280)(3)x-\frac(18)(5 )\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323385. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(1)(6)x^3-\frac(17)(4)x^2-35x-\frac(5)(11)\) jest jedną z funkcje pierwotne funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323387. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(1)(5)x^3-\frac(9)(2)x^2-30x-\frac(11)(8)\) jest jedną z funkcje pierwotne funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323389. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(11)(30)x^3-\frac(33)(4)x^2-\frac(297)(5)x-\frac(1)(2 )\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323391. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(7)(27)x^3-\frac(35)(6)x^2-42x-\frac(7)(4)\) jest jedną z funkcje pierwotne funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323393. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(1)(4)x^3-\frac(21)(4)x^2-\frac(135)(4)x-\frac(13)(2 )\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323395. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-x^3-21x^2-144x-\frac(11)(4)\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323397. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(5)(8)x^3-\frac(105)(8)x^2-90x-\frac(1)(2)\) jest jedną z funkcje pierwotne funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Zadanie nr: 323399. Nr prototypu:
Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji \(y=f(x)\). Funkcja \(F(x)=-\frac(1)(10)x^3-\frac(21)(10)x^2-\frac(72)(5)x-\frac(4)(3 )\) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji \(f(x)\). Znajdź obszar zacienionej figury.

Odpowiedź:

Przejdź do strony: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 4 3 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 12 8 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(9)-F(5), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa polu ograniczonego trapezu krzywoliniowego poprzez wykres funkcji y=f(x), proste y=0 , x=9 i x=5. Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 4 i 3 oraz wysokości 3.

Jego pole jest równe \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Odpowiedź

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x) - jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x) określonej na przedziale (-5; 5). Korzystając z rysunku, wyznacz liczbę rozwiązań równania f(x)=0 na odcinku [-3; 4].

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją funkcji pierwotnej zachodzi równość: F"(x)=f(x). Zatem równanie f(x)=0 można zapisać jako F"(x)=0. Ponieważ rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x), musimy znaleźć te punkty w przedziale [-3; 4], w którym pochodna funkcji F(x) jest równa zeru. Z rysunku jasno wynika, że ​​będą to odcięte punktów skrajnych (maksimum lub minimum) wykresu F(x). We wskazanym przedziale jest ich dokładnie 7 (cztery punkty minimalne i trzy punkty maksymalne).

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=f(x) (która jest linią łamaną złożoną z trzech prostych odcinków). Korzystając z rysunku, oblicz F(5)-F(0), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza różnica F(5)-F(0), gdzie F(x) jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x), jest równa polu ograniczonego trapezu krzywoliniowego za pomocą wykresu funkcji y=f(x), prostych y=0 , x=5 i x=0. Z wykresu stwierdzamy, że wskazany zakrzywiony trapez jest trapezem o podstawach równych 5 i 3 oraz wysokości 3.

Jego pole jest równe \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x) - jednej z funkcji pierwotnych pewnej funkcji f(x), określonej na przedziale (-5; 4). Korzystając z rysunku, określ liczbę rozwiązań równania f (x) = 0 na odcinku (-3; 3).

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zgodnie z definicją funkcji pierwotnej zachodzi równość: F"(x)=f(x). Zatem równanie f(x)=0 można zapisać jako F"(x)=0. Ponieważ rysunek przedstawia wykres funkcji y=F(x), musimy znaleźć te punkty w przedziale [-3; 3], w którym pochodna funkcji F(x) jest równa zeru.

Z rysunku jasno wynika, że ​​będą to odcięte punktów skrajnych (maksimum lub minimum) wykresu F(x). We wskazanym przedziale jest ich dokładnie 5 (dwa punkty minimalne i trzy punkty maksymalne).

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=-x^3+4,5x^2-7 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x).

Znajdź obszar zacienionej figury.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie

Zacieniowana figura to trapez krzywoliniowy ograniczony od góry wykresem funkcji y=f(x), liniami prostymi y=0, x=1 i x=3. Zgodnie ze wzorem Newtona-Leibniza jego pole S jest równe różnicy F(3)-F(1), gdzie F(x) jest funkcją pierwotną f(x) określoną w warunku. Dlatego S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Odpowiedź

Źródło: „Matematyka. Przygotowanie do egzaminu państwowego Unified State Exam 2017. Poziom profilu.” wyd. F. F. Łysenko, S. Yu Kulabukhova.

Rodzaj pracy: 7
Temat: Funkcja pierwotna funkcji

Stan

Rysunek przedstawia wykres pewnej funkcji y=f(x). Funkcja F(x)=x^3+6x^2+13x-5 jest jedną z funkcji pierwotnych funkcji f(x). Znajdź obszar zacienionej figury.