Funkcje typu złożonego nie zawsze pasują do definicji funkcji złożonej. Jeśli istnieje funkcja w postaci y = sin x - (2 - 3) · a r do t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11, to nie można jej uważać za złożoną, w przeciwieństwie do y = sin 2 x.

W artykule zostanie zaprezentowane pojęcie funkcji zespolonej oraz jej identyfikacja. Pracujmy ze wzorami na znalezienie pochodnej z przykładami rozwiązań w podsumowaniu. Zastosowanie tabeli pochodnych i zasad różniczkowania znacznie skraca czas znajdowania pochodnej.

Podstawowe definicje

Definicja 1

Funkcja złożona to taka, której argument jest również funkcją.

Oznacza się to w ten sposób: f (g (x)). Mamy, że funkcja g (x) jest uważana za argument f (g (x)).

Definicja 2

Jeśli istnieje funkcja f i jest to funkcja cotangens, to g(x) = ln x jest funkcją logarytmu naturalnego. Stwierdzamy, że funkcja zespolona f (g (x)) zostanie zapisana jako arctg(lnx). Lub funkcję f, która jest funkcją podniesioną do czwartej potęgi, gdzie g (x) = x 2 + 2 x - 3 uważa się za całą funkcję wymierną, otrzymujemy, że f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Oczywiście g(x) może być złożone. Z przykładu y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 widać, że wartość g ma pierwiastek sześcienny ułamka. Wyrażenie to można oznaczyć jako y = f (f 1 (f 2 (x))). Skąd mamy, że f jest funkcją sinusową, a f 1 jest funkcją znajdującą się pod pierwiastkiem kwadratowym, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5 jest ułamkową funkcją wymierną.

Definicja 3

Stopień zagnieżdżenia jest określany przez dowolną liczbę naturalną i zapisywany jako y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Definicja 4

Pojęcie złożenia funkcji odnosi się do liczby funkcji zagnieżdżonych zgodnie z warunkami problemu. Aby rozwiązać, użyj wzoru na znalezienie pochodnej funkcji zespolonej formy

(f (g (x))) " = fa " (g (x)) g " (x)

Przykłady

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji zespolonej postaci y = (2 x + 1) 2.

Rozwiązanie

Warunek pokazuje, że f jest funkcją kwadratową, a g(x) = 2 x + 1 uważa się za funkcję liniową.

Zastosujmy wzór na pochodną dla funkcji zespolonej i napiszmy:

fa " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; sol " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) sol " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Należy znaleźć pochodną z uproszczoną pierwotną postacią funkcji. Otrzymujemy:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Stąd mamy to

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Wyniki były takie same.

Rozwiązując problemy tego typu, ważne jest, aby zrozumieć, gdzie będzie zlokalizowana funkcja postaci f i g (x).

Przykład 2

Powinieneś znaleźć pochodne funkcji zespolonych postaci y = sin 2 x i y = sin x 2.

Rozwiązanie

Pierwszy zapis funkcji mówi, że f jest funkcją podnoszącą kwadrat, a g(x) jest funkcją sinus. Wtedy to zrozumiemy

y " = (grzech 2 x) " = 2 grzech 2 - 1 x (grzech x) " = 2 grzech x cos x

Drugi wpis pokazuje, że f jest funkcją sinusową, a g(x) = x 2 oznacza funkcję potęgową. Wynika z tego, że iloczyn funkcji zespolonej zapisujemy jako

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Wzór na pochodną y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) zostanie zapisany jako y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · . . . fn "(x)

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji y = sin (ln 3 a r do t g (2 x)).

Rozwiązanie

Ten przykład pokazuje trudność zapisu i określenia lokalizacji funkcji. Następnie y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) oznaczają, gdzie f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) jest funkcją sinus, funkcją podnoszenia do 3 stopnia, funkcja logarytmiczna i podstawa e, arcus tangens i funkcja liniowa.

Ze wzoru na definicję funkcji zespolonej mamy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Dostajemy to, co musimy znaleźć

f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) jako pochodna sinusa zgodnie z tabelą pochodnych, a następnie f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 ( x)))) ) = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) .
f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) jako pochodna funkcji potęgowej, a następnie f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 za r do t sol (2 x) = 3 ln 2 za r do t sol (2 x) .
f 2 " (f 3 (f 4 (x))) jako pochodna logarytmiczna, następnie f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 za r do t sol (2 x) .
f 3 " (f 4 (x)) jako pochodna arcustangens, następnie f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
Znajdując pochodną f 4 (x) = 2 x, usuń 2 ze znaku pochodnej, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej o wykładniku równym 1, a następnie f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Łączymy wyniki pośrednie i otrzymujemy to

y " = fa " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4 (x)) fa 3 " (f 4 (x)) fa 4 " (x) = = cos (ln 3 za r do t sol (2 x)) 3 ln 2 za r do t g (2 x) 1 za r do t sol (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 sałata (ln 3 za r do t sol (2 x)) ln 2 za r do t sol (2 x) za r do t sol (2 x) (1 + 4 x 2)

Analiza takich funkcji przypomina gniazdowanie lalek. Reguły różnicowania nie zawsze mogą być stosowane bezpośrednio przy użyciu tabeli pochodnych. Często trzeba użyć wzoru do znalezienia pochodnych funkcji złożonych.

Istnieją pewne różnice między złożonym wyglądem a złożonymi funkcjami. Dzięki wyraźnej umiejętności rozróżnienia, znalezienie instrumentów pochodnych będzie szczególnie łatwe.

Przykład 4

Warto rozważyć podanie takiego przykładu. Jeżeli istnieje funkcja w postaci y = t g 2 x + 3 t g x + 1, to można ją uznać za złożoną funkcję w postaci g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 . Oczywiście konieczne jest skorzystanie ze wzoru na pochodną złożoną:

fa " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = 2 · sol 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 sol 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t sol x + 3 ; sol " (x) = (t g x) " = 1 sałata 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = fa " (g (x)) sol " (x) = (2 t sol x + 3 ) · 1 sałata 2 x = 2 t sol x + 3 sałata 2 x

Funkcja w postaci y = t g x 2 + 3 t g x + 1 nie jest uważana za złożoną, ponieważ ma sumę t g x 2, 3 t g x i 1. Jednakże t g x 2 uważa się za funkcję zespoloną, wówczas otrzymujemy funkcję potęgową w postaci g (x) = x 2 i f, która jest funkcją styczną. Aby to zrobić, różnicuj według kwoty. Rozumiemy to

y " = (t sol x 2 + 3 t g x + 1) " = (t sol x 2) " + (3 t sol x) " + 1 " = = (t sol x 2) " + 3 (t sol x) " + 0 = (t sol x 2) " + 3 razy 2x

Przejdźmy do znalezienia pochodnej funkcji zespolonej (t g x 2)”:

fa " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 sałata 2 g (x) = 1 sałata 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x cos 2 (x 2)

Otrzymujemy, że y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 sałata 2 x = 2 x sałata 2 (x 2) + 3 sałata 2 x

Funkcje typu złożonego mogą być zawarte w funkcjach złożonych, a same funkcje złożone mogą być składnikami funkcji typu złożonego.

Przykład 5

Rozważmy na przykład funkcję złożoną w postaci y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1)

Funkcję tę można przedstawić jako y = f (g (x)), gdzie wartość f jest funkcją logarytmu o podstawie 3, a g (x) uważa się za sumę dwóch funkcji w postaci h (x) = x 2 + 3 sałata 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 i k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Oczywiście y = f (h (x) + k (x)).

Rozważmy funkcję h(x). To jest stosunek l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 do m (x) = e x 2 + 3 3

Mamy, że l (x) = x 2 + 3 cos 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x) jest sumą dwóch funkcji n (x) = x 2 + 7 i p ( x) = 3 cos 3 (2 x + 1) , gdzie p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))) jest funkcją zespoloną o współczynniku liczbowym 3, a p 1 jest funkcją sześcianu, p 2 przez funkcję cosinus, p 3 (x) = 2 x + 1 przez funkcję liniową.

Ustaliliśmy, że m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x) jest sumą dwóch funkcji q (x) = e x 2 i r (x) = 3 3, gdzie q (x) = q 1 (q 2 (x)) jest funkcją zespoloną, q 1 jest funkcją wykładniczą, q 2 (x) = x 2 jest funkcją potęgi.

To pokazuje, że h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3 (x))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

Przechodząc do wyrażenia w postaci k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) = s (x) · t (x), widać wyraźnie, że funkcja jest przedstawiona w postaci zespolonej s ( x) = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) z wymierną liczbą całkowitą t (x) = x 2 + 1, gdzie s 1 jest funkcją kwadratową, a s 2 (x) = ln x jest logarytmiczną z podstawa tj.

Wynika z tego, że wyrażenie będzie miało postać k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x).

Wtedy to zrozumiemy

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 mi x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = fa n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Na podstawie struktur funkcji stało się jasne, jak i jakich formuł należy użyć, aby uprościć wyrażenie podczas jego różnicowania. Aby zapoznać się z takimi problemami i koncepcją ich rozwiązania, należy przejść do punktu różniczkowania funkcji, czyli znalezienia jej pochodnej.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Oraz twierdzenie o pochodnej funkcji zespolonej, którego sformułowanie jest następujące:

Niech 1) funkcja $u=\varphi (x)$ będzie miała w pewnym momencie $x_0$ pochodną $u_(x)"=\varphi"(x_0)$, 2) funkcja $y=f(u)$ mają w odpowiednim punkcie $u_0=\varphi (x_0)$ pochodną $y_(u)"=f"(u)$. Wtedy funkcja zespolona $y=f\left(\varphi (x) \right)$ także będzie miała we wspomnianym punkcie pochodną równą iloczynowi pochodnych funkcji $f(u)$ i $\varphi ( x)$:

$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$

lub w krótszej notacji: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.

W przykładach w tej sekcji wszystkie funkcje mają postać $y=f(x)$ (tzn. rozważamy tylko funkcje jednej zmiennej $x$). Odpowiednio, we wszystkich przykładach pochodną $y"$ bierzemy w odniesieniu do zmiennej $x$. Aby podkreślić, że pochodną bierzemy w odniesieniu do zmiennej $x$, zamiast $y często zapisuje się $y"_x$ „$.

Przykłady nr 1, nr 2 i nr 3 przedstawiają szczegółowy proces znajdowania pochodnej funkcji zespolonych. Przykład nr 4 ma na celu pełniejsze zrozumienie tabeli pochodnych i warto się z nią zapoznać.

Wskazane jest, po przestudiowaniu materiału w przykładach nr 1-3, aby przejść do samodzielnego rozwiązywania przykładów nr 5, nr 6 i nr 7. Przykłady #5, #6 i #7 zawierają krótkie rozwiązanie, dzięki któremu czytelnik może sprawdzić poprawność swojego wyniku.

Przykład nr 1

Znajdź pochodną funkcji $y=e^(\cos x)$.

Musimy znaleźć pochodną funkcji zespolonej $y"$. Ponieważ $y=e^(\cos x)$, to $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$. Aby znajdź pochodną $ \left(e^(\cos x)\right)"$ korzystamy ze wzoru nr 6 z tabeli pochodnych. Aby skorzystać ze wzoru nr 6 należy wziąć pod uwagę, że w naszym przypadku $u=\cos x$. Dalsze rozwiązanie polega po prostu na podstawieniu wyrażenia $\cos x$ zamiast $u$ do wzoru nr 6:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$

Teraz musimy znaleźć wartość wyrażenia $(\cos x)"$. Wracamy ponownie do tabeli pochodnych, wybierając z niej wzór nr 10. Podstawiając $u=x$ do wzoru nr 10, mamy : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$. Teraz kontynuujmy równość (1.1), uzupełniając ją znalezionym wynikiem:

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$

Ponieważ $x"=1$, kontynuujemy równość (1.2):

$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$

Zatem z równości (1.3) mamy: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Oczywiście wyjaśnienia i równości pośrednie zazwyczaj pomijamy, zapisując wynik pochodnej w jednym wierszu, jak w równości ( 1.3) Znaleziono więc pochodną funkcji zespolonej, pozostaje tylko zapisać odpowiedź.

Odpowiedź: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.

Przykład nr 2

Znajdź pochodną funkcji $y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$.

Musimy obliczyć pochodną $y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Na początek zauważamy, że stałą (czyli liczbę 9) można wyjąć ze znaku pochodnej:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$

Przejdźmy teraz do wyrażenia $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$. Aby ułatwić wybór żądanego wzoru z tabeli pochodnych, przedstawię wyrażenie o którym mowa, w tej postaci: $\left( \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Teraz jest już jasne, że należy zastosować wzór nr 2, tj. $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Podstawmy $u=\arctg(4\cdot \ln x)$ i $\alpha=12$ do tej formuły:

Uzupełniając równość (2.1) uzyskanym wynikiem, mamy:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$

W tej sytuacji często popełniany jest błąd, gdy Solver w pierwszym kroku wybiera formułę $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ zamiast formuły $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Rzecz w tym, że na pierwszym miejscu musi być pochodna funkcji zewnętrznej. Aby zrozumieć, która funkcja będzie zewnętrzna w stosunku do wyrażenia $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$, wyobraź sobie, że obliczasz wartość wyrażenia $\arctg^(12)(4\cdot 5^ x)$ o pewnej wartości $x$. Najpierw obliczysz wartość $5^x$, a następnie pomnożysz wynik przez 4, otrzymując $4\cdot 5^x$. Teraz bierzemy arcus tangens z tego wyniku i otrzymujemy $\arctg(4\cdot 5^x)$. Następnie podnosimy wynikową liczbę do potęgi dwunastej, otrzymując $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$. Ostatnia akcja, tj. podniesienie do potęgi 12 będzie funkcją zewnętrzną. I od tego musimy zacząć znajdować pochodną, co zostało zrobione w równości (2.2).

Teraz musimy znaleźć $(\arctg(4\cdot \ln x))"$. Korzystamy ze wzoru nr 19 z tabeli instrumentów pochodnych, podstawiając do niego $u=4\cdot \ln x$:

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Uprośćmy nieco otrzymane wyrażenie, biorąc pod uwagę $(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$.

$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$

Równość (2.2) stanie się teraz:

Pozostaje znaleźć $(4\cdot \ln x)"$. Odejmijmy stałą (tj. 4) od znaku pochodnej: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $ Dla Aby znaleźć $(\ln x)"$ korzystamy ze wzoru nr 8, podstawiając do niego $u=x$: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x „$. Ponieważ $x"=1$, to $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Podstawiając uzyskany wynik do wzoru (2.3) otrzymujemy:

$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).$ $

Przypomnę, że pochodną funkcji zespolonej najczęściej spotyka się w jednym wierszu, tak jak zapisano w ostatniej równości. Dlatego przygotowując standardowe obliczenia lub prace kontrolne, wcale nie jest konieczne tak szczegółowe opisywanie rozwiązania.

Odpowiedź: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.

Przykład nr 3

Znajdź $y"$ funkcji $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$.

Najpierw przekształćmy nieco funkcję $y$, wyrażając pierwiastek (pierwiastek) jako potęgę: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9 ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Teraz zacznijmy znajdować pochodną. Ponieważ $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$, to:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$

Skorzystajmy ze wzoru nr 2 z tabeli pochodnych, podstawiając do niego $u=\sin(5\cdot 9^x)$ i $\alpha=\frac(3)(7)$:

$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$

Kontynuujmy równość (3.1) korzystając z otrzymanego wyniku:

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$

Teraz musimy znaleźć $(\sin(5\cdot 9^x))"$. W tym celu korzystamy ze wzoru nr 9 z tabeli pochodnych, podstawiając do niego $u=5\cdot 9^x$:

$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$

Uzupełniając równość (3.2) uzyskanym wynikiem, mamy:

Pozostaje znaleźć $(5\cdot 9^x)"$. Najpierw weźmy stałą (liczbę $5$) poza znakiem pochodnej, czyli $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9 ^x) "$. Aby znaleźć pochodną $(9^x)"$, zastosuj wzór nr 5 tabeli pochodnych, podstawiając do niej $a=9$ i $u=x$: $(9^x )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. Ponieważ $x"=1$, to $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$. Teraz możemy kontynuować równość (3.3):

$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9 ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9 ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$

Możemy ponownie powrócić od potęg do pierwiastków (tj. pierwiastków), zapisując $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ w postaci $\ frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Wtedy pochodną zapiszemy w postaci:

$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).$$

Odpowiedź: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.

Przykład nr 4

Pokaż, że wzory nr 3 i nr 4 tabeli pochodnych są szczególnym przypadkiem wzoru nr 2 tej tabeli.

Wzór nr 2 tabeli pochodnych zawiera pochodną funkcji $u^\alfa$. Podstawiając $\alpha=-1$ do wzoru nr 2 otrzymujemy:

$$(u^(-1))"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$

Ponieważ $u^(-1)=\frac(1)(u)$ i $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$, to równość (4.1) można przepisać w następujący sposób: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Jest to wzór nr 3 tabeli instrumentów pochodnych.

Wróćmy jeszcze raz do wzoru nr 2 tabeli instrumentów pochodnych. Podstawmy do niego $\alpha=\frac(1)(2)$:

$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$

Ponieważ $u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ i $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1 )(2)))=\frac(1)(\sqrt(u))$, wówczas równość (4.2) można przepisać w następujący sposób:

$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$

Wynikowa równość $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ to wzór nr 4 tabeli pochodnych. Jak widać, wzory nr 3 i nr 4 tabeli pochodnych otrzymuje się ze wzoru nr 2 poprzez podstawienie odpowiedniej wartości $\alfa$.

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna logarytmu naturalnego jest również bardzo prosta:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ jest to funkcja liniowa, pamiętasz?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

W tym celu zastosujemy prostą regułę: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której nie da się obliczyć bez kalkulatora, czyli nie da się jej zapisać w prostszej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład funkcji złożonej: gdy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Na którym zbadaliśmy najprostsze pochodne, a także zapoznaliśmy się z zasadami różniczkowania i niektórymi technicznymi technikami znajdowania pochodnych. Tak więc, jeśli nie jesteś zbyt dobry w pochodnych funkcji lub niektóre punkty tego artykułu nie są do końca jasne, najpierw przeczytaj powyższą lekcję. Proszę o poważny nastrój – materiał nie jest prosty, ale mimo to postaram się go przedstawić prosto i przejrzyście.

W praktyce z pochodną funkcji złożonej mamy do czynienia bardzo często, powiedziałbym nawet, że prawie zawsze, gdy dostaje się zadanie znalezienia pochodnych.

Patrzymy na tabelę z zasadą (nr 5) różniczkowania funkcji zespolonej:

Rozwiążmy to. Przede wszystkim zwróćmy uwagę na wpis. Tutaj mamy dwie funkcje - i , a funkcja, mówiąc w przenośni, jest zagnieżdżona w funkcji . Funkcja tego typu (kiedy jedna funkcja jest zagnieżdżona w drugiej) nazywana jest funkcją złożoną.

Wywołam funkcję funkcja zewnętrzna i funkcja – funkcja wewnętrzna (lub zagnieżdżona)..

! Definicje te nie mają charakteru teoretycznego i nie powinny pojawiać się w ostatecznym projekcie zadań. Używam nieformalnych wyrażeń „funkcja zewnętrzna”, „funkcja wewnętrzna” tylko po to, aby ułatwić Państwu zrozumienie materiału.

Aby wyjaśnić sytuację, rozważ:

Przykład 1

Znajdź pochodną funkcji

Pod sinusem mamy nie samą literę „X”, ale całe wyrażenie, dlatego znalezienie pochodnej od razu z tabeli nie będzie działać. Zauważamy też, że tutaj nie da się zastosować pierwszych czterech zasad, wydaje się, że jest różnica, ale faktem jest, że sinusa nie da się „rozerwać na kawałki”:

W tym przykładzie z moich wyjaśnień wynika już intuicyjnie, że funkcja jest funkcją zespoloną, a wielomian jest funkcją wewnętrzną (osadzeniem) i funkcją zewnętrzną.

Pierwszy krok co musisz zrobić, gdy znajdujesz pochodną funkcji zespolonej zrozumieć, która funkcja jest wewnętrzna, a która zewnętrzna.

W przypadku prostych przykładów wydaje się jasne, że pod sinusem osadzony jest wielomian. A co jeśli nie wszystko jest oczywiste? Jak dokładnie określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna? Aby to zrobić, sugeruję zastosowanie następującej techniki, którą można wykonać mentalnie lub w przeciągu.

Wyobraźmy sobie, że musimy obliczyć wartość wyrażenia w na kalkulatorze (zamiast jedynki może być dowolna liczba).

Co obliczymy najpierw? Przede wszystkim będziesz musiał wykonać następującą czynność: , dlatego wielomian będzie funkcją wewnętrzną:

Po drugie trzeba będzie znaleźć, więc sinus – będzie funkcją zewnętrzną:

Po tym, jak my WYPRZEDANE przy funkcjach wewnętrznych i zewnętrznych czas zastosować zasadę różniczkowania funkcji złożonych .

Zacznijmy decydować. Z lekcji Jak znaleźć pochodną? pamiętamy, że projektowanie rozwiązania dowolnej pochodnej zawsze zaczyna się w ten sposób - wyrażenie zamykamy w nawiasach i stawiamy kreskę w prawym górnym rogu:

Najpierw znajdujemy pochodną funkcji zewnętrznej (sinus), spójrzmy na tabelę pochodnych funkcji elementarnych i zauważmy, że . Wszystkie formuły tabelaryczne mają również zastosowanie, jeśli „x” zostanie zastąpione wyrażeniem złożonym, w tym przypadku:

Należy pamiętać, że funkcja wewnętrzna nie uległo zmianie, nie dotykamy tego.

Cóż, to całkiem oczywiste

Wynik zastosowania formuły w ostatecznej formie wygląda to tak:

Stały czynnik zwykle umieszcza się na początku wyrażenia:

W razie nieporozumień zapisz rozwiązanie na papierze i ponownie przeczytaj wyjaśnienia.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Jak zwykle zapisujemy:

Zastanówmy się, gdzie mamy funkcję zewnętrzną, a gdzie wewnętrzną. Aby to zrobić, próbujemy (w pamięci lub w wersji roboczej) obliczyć wartość wyrażenia w . Co powinieneś zrobić najpierw? Przede wszystkim musisz obliczyć, ile wynosi podstawa: dlatego wielomian jest funkcją wewnętrzną:

I dopiero wtedy przeprowadzane jest potęgowanie, zatem funkcja potęgowa jest funkcją zewnętrzną:

Według formuły , najpierw musisz znaleźć pochodną funkcji zewnętrznej, w tym przypadku stopień. Wymaganego wzoru szukamy w tabeli: . Powtarzamy ponownie: dowolna formuła tabelaryczna obowiązuje nie tylko dla „X”, ale także dla wyrażenia złożonego. Zatem wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej Następny:

Jeszcze raz podkreślam, że gdy weźmiemy pochodną funkcji zewnętrznej, nasza funkcja wewnętrzna nie ulegnie zmianie:

Teraz pozostaje tylko znaleźć bardzo prostą pochodną funkcji wewnętrznej i nieco zmodyfikować wynik:

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Aby utrwalić zrozumienie pochodnej funkcji złożonej, podam przykład bez komentarzy, spróbuj sam to rozgryźć, uzasadnij, gdzie jest funkcja zewnętrzna, a gdzie funkcja wewnętrzna, dlaczego zadania są rozwiązywane w ten sposób?

Przykład 5

a) Znajdź pochodną funkcji

b) Znajdź pochodną funkcji

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj mamy pierwiastek i aby go rozróżnić, należy go przedstawić jako potęgę. Zatem najpierw doprowadzamy funkcję do postaci odpowiedniej do różniczkowania:

Analizując funkcję dochodzimy do wniosku, że suma trzech wyrazów jest funkcją wewnętrzną, a podniesienie do potęgi funkcją zewnętrzną. Stosujemy zasadę różniczkowania funkcji zespolonych :

Ponownie przedstawiamy stopień jako pierwiastek, a dla pochodnej funkcji wewnętrznej stosujemy prostą zasadę różniczkowania sumy:

Gotowy. Możesz także sprowadzić wyrażenie do wspólnego mianownika w nawiasach i zapisać wszystko jako jeden ułamek. To oczywiście piękne, ale gdy otrzymasz kłopotliwe długie pochodne, lepiej tego nie robić (łatwo się pomylić, popełnić niepotrzebny błąd, a sprawdzanie będzie niewygodne dla nauczyciela).

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Warto zauważyć, że czasami zamiast reguły różniczkowania funkcji złożonej można zastosować regułę różniczkowania ilorazu , ale takie rozwiązanie będzie wyglądało na niecodzienną perwersję. Oto typowy przykład:

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz skorzystać z reguły różniczkowania ilorazu , ale znacznie bardziej opłacalne jest znalezienie pochodnej poprzez regułę różniczkowania funkcji zespolonej:

Przygotowujemy funkcję do różniczkowania - usuwamy minus ze znaku pochodnej, a cosinus podnosimy do licznika:

Cosinus jest funkcją wewnętrzną, potęgowanie jest funkcją zewnętrzną.
Skorzystajmy z naszej reguły :

Znajdujemy pochodną funkcji wewnętrznej i cofamy cosinus w dół:

Gotowy. W rozważanym przykładzie ważne jest, aby nie pomylić znaków. Nawiasem mówiąc, spróbuj rozwiązać to za pomocą reguły , odpowiedzi muszą się zgadzać.

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie (odpowiedź na końcu lekcji).

Do tej pory przyglądaliśmy się przypadkom, w których mieliśmy tylko jedno zagnieżdżenie w funkcji zespolonej. W zadaniach praktycznych często można spotkać pochodne, gdzie niczym zagnieżdżanie lalek jedna w drugiej, zagnieżdżonych jest jednocześnie 3, a nawet 4-5 funkcji.

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Rozumiemy załączniki tej funkcji. Spróbujmy obliczyć wyrażenie, korzystając z wartości eksperymentalnej. Jak liczylibyśmy na kalkulatorze?

Najpierw musisz znaleźć , co oznacza, że arcsinus jest najgłębszym osadzeniem:

Ten arcsinus jedności należy następnie podnieść do kwadratu:

I na koniec podnosimy siedem do potęgi:

Oznacza to, że w tym przykładzie mamy trzy różne funkcje i dwa osadzania, podczas gdy najbardziej wewnętrzną funkcją jest arcsinus, a najbardziej zewnętrzną funkcją jest funkcja wykładnicza.

Zacznijmy decydować

Zgodnie z zasadą Najpierw musisz wziąć pochodną funkcji zewnętrznej. Patrzymy na tabelę pochodnych i znajdujemy pochodną funkcji wykładniczej: Jedyną różnicą jest to, że zamiast „x” mamy wyrażenie złożone, co nie neguje ważności tego wzoru. A więc wynik zastosowania reguły różniczkowania funkcji zespolonej Następny.

Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Czytelnicy o niskim poziomie przygotowania powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? To wystarczy!”, gdyż wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistych testów i często spotykane są w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych gałęzi analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często dokonywać różnicowania i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) opisywanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o trzeciej w nocy zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzną funkcją jest pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : ponieważ funkcja może przyjmować wartości ujemne, wówczas ogólnie rzecz biorąc należy użyć modułów: , które zanikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, jeśli domyślnie jest brany pod uwagę złożony znaczenia. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy poczynić zastrzeżenie.

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki, mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy projekt przykładu tego typu znajduje się na końcu lekcji.

Stosując pochodną logarytmiczną udało się rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będziemy różniczkować według wzoru standardowego .

Znajdujemy pochodną, w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, prosimy o ponowne dokładne przeczytanie wyjaśnień do Przykładu nr 11.

W zadaniach praktycznych funkcja potęgowo-wykładnicza będzie zawsze bardziej skomplikowana niż rozważany przykład z wykładu.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :