4.3.1 Definicja przestrzeni liniowej

Pozwalać ā , , - elementy jakiegoś zestawu ā , , Grunt λ , μ - liczby rzeczywiste, λ , μ R..

Zbiór L nazywa sięliniowy LubPrzestrzeń wektorowa, jeśli zdefiniowano dwie operacje:

1 0 . Dodatek. Każda para elementów tego zbioru jest powiązana z elementem tego samego zbioru, zwanym ich sumą

ā + =

2°.Mnożenie przez liczbę. Dowolna liczba rzeczywista λ i element ā L pasuje do elementu tego samego zestawu λ ā L i spełnione są następujące właściwości:

1. ā+= + ā;

2. ā+(+ )=(ā+ )+ ;

3. istnieje element zerowy
, takie że ā +=ā ;

4. istnieje element przeciwny -
takie, że ā +(-ā )=.

Jeśli λ , μ - liczby rzeczywiste, wówczas:

5. λ(μ , ā)= λ μ ā ;

6. 1ā= ā;

7. λ(ā +)= λ ā+λ ;

8. (λ+ μ ) ā=λ ā + μ ā

Elementy przestrzeni liniowej ā, , ... nazywane są wektorami.

Ćwiczenia. Pokaż sobie, że zbiory te tworzą przestrzenie liniowe:

1) Zbiór wektorów geometrycznych na płaszczyźnie;

2) Wiele wektorów geometrycznych w przestrzeni trójwymiarowej;

3) Zbiór wielomianów pewnego stopnia;

4) Zbiór macierzy tego samego wymiaru.

4.3.2 Wektory liniowo zależne i niezależne. Wymiar i podstawa przestrzeni

Kombinacja liniowa wektory ā 1 , ā 2 , …, ā N Lnazywa się wektorem tej samej przestrzeni postaci:

,

Gdzie λ jestem prawdziwymi liczbami.

Wektory ā 1 , .. , ā N są nazywaneliniowo niezależny, jeśli ich kombinacja liniowa jest wektorem zerowym wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie λ I są równe zeru, to jest

λ ja =0

Jeśli kombinacja liniowa jest wektorem zerowym i co najmniej jednym z λ I jest różny od zera, wówczas wektory te nazywane są liniowo zależnymi. To ostatnie oznacza, że ​​co najmniej jeden z wektorów można przedstawić jako kombinację liniową innych wektorów. Rzeczywiście, nawet jeśli np.
. Następnie,
, Gdzie

.

Maksymalnie liniowo niezależny uporządkowany układ wektorów nazywa się podstawa przestrzeń L. Nazywa się liczbą wektorów bazowych wymiar przestrzeń.

Załóżmy, że istnieje N wektory liniowo niezależne, wówczas nazywa się przestrzeń N-wymiarowy. Inne wektory przestrzenne można przedstawić jako kombinację liniową N wektory bazowe. Na podstawie N- można przyjąć przestrzeń wymiarową każdy N liniowo niezależne wektory tej przestrzeni.

Przykład 17. Znajdź bazę i wymiar tych przestrzeni liniowych:

a) zbiór wektorów leżących na prostej (współliniowej z jakąś prostą)

b) zbiór wektorów należących do płaszczyzny

c) zbiór wektorów przestrzeni trójwymiarowej

d) zbiór wielomianów stopnia nie wyższego niż dwa.

Rozwiązanie.

A) Każde dwa wektory leżące na linii prostej będą zależne liniowo, ponieważ wektory są współliniowe
, To
, λ - skalar. W konsekwencji podstawą danej przestrzeni jest tylko jeden (dowolny) wektor różny od zera.

Zwykle ta przestrzeń jest wyznaczona R, jego wymiar wynosi 1.

B) dowolne dwa niewspółliniowe wektory
będzie liniowo niezależny, a dowolne trzy wektory na płaszczyźnie będą liniowo niezależne. Dla dowolnego wektora , są liczby I takie, że
. Przestrzeń nazywa się dwuwymiarową, oznaczoną przez R 2 .

Podstawą przestrzeni dwuwymiarowej są dowolne dwa niewspółliniowe wektory.

V) Dowolne trzy niewspółpłaszczyznowe wektory będą liniowo niezależne, stanowią podstawę przestrzeni trójwymiarowej R 3 .

G) Jako bazę przestrzeni wielomianów stopnia nie większego niż dwa możemy wybrać trzy wektory: ē 1 = X 2 ; ē 2 = X; ē 3 =1 .

(1 jest wielomianem identycznym z jednością). Przestrzeń ta będzie trójwymiarowa.

Liniowy (wektor) Przestrzeń to zbiór V dowolnych elementów zwanych wektorami, w którym określone są operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, tj. dowolnym dwóm wektorom \mathbf(u) i (\mathbf(v)) przypisany jest wektor \mathbf(u)+\mathbf(v), zwana sumą wektorów \mathbf(u) i (\mathbf(v)), dowolny wektor (\mathbf(v)) i dowolna liczba \lambda z zakresu liczb rzeczywistych \mathbb(R) jest powiązana z wektorem \lambda\mathbf(v), zwany iloczynem wektora \mathbf(v) przez liczbę \lambda ; zatem spełnione są następujące warunki:


1. \mathbf(u)+ \mathbf(v)=\mathbf(v)+\mathbf(u)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V(przemienność dodawania);
2. \mathbf(u)+(\mathbf(v)+\mathbf(w))=(\mathbf(u)+\mathbf(v))+\mathbf(w)\,~\forall \mathbf(u), \mathbf(v),\mathbf(w)\in V(łączność dodawania);
3. istnieje element \mathbf(o)\w V, zwany wektorem zerowym, taki, że \mathbf(v)+\mathbf(o)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V;
4. dla każdego wektora (\mathbf(v)) istnieje wektor nazywany przeciwieństwem wektora \mathbf(v) taki, że \mathbf(v)+(-\mathbf(v))=\mathbf(o);
5. \lambda(\mathbf(u)+\mathbf(v))=\lambda \mathbf(u)+\lambda \mathbf(v)\,~\forall \mathbf(u),\mathbf(v)\in V ,~\forall \lambda\in \mathbb(R);
6. (\lambda+\mu)\mathbf(v)=\lambda \mathbf(v)+\mu \mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\ w\mathbb(R);
7. \lambda(\mu \mathbf(v))=(\lambda\mu)\mathbf(v)\,~ \forall \mathbf(v)\in V,~\forall \lambda,\mu\in \mathbb( R);
8. 1\cdot \mathbf(v)=\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.


Warunki 1-8 nazywane są aksjomaty przestrzeni liniowej. Znak równości umieszczony pomiędzy wektorami oznacza, że ​​lewa i prawa strona równości reprezentują ten sam element zbioru V; wektory takie nazywane są równymi.


W definicji przestrzeni liniowej wprowadzono operację mnożenia wektora przez liczbę dla liczb rzeczywistych. Taka przestrzeń nazywa się przestrzeń liniowa nad ciałem liczb rzeczywistych lub, w skrócie, rzeczywistą przestrzeń liniową. Jeżeli w definicji zamiast pola \mathbb(R) liczb rzeczywistych przyjmiemy pole liczb zespolonych \mathbb(C) , to otrzymamy przestrzeń liniowa nad ciałem liczb zespolonych lub, w skrócie, złożona przestrzeń liniowa. Jako pole liczbowe możemy wybrać także pole \mathbb(Q) liczb wymiernych i w tym przypadku otrzymamy przestrzeń liniową nad ciałem liczb wymiernych. W dalszej części, jeśli nie zaznaczono inaczej, rozważone zostaną rzeczywiste przestrzenie liniowe. W niektórych przypadkach dla zwięzłości będziemy mówić o przestrzeni, pomijając słowo liniowy, ponieważ wszystkie omówione poniżej przestrzenie są liniowe.

Uwagi 8.1


1. Aksjomaty 1-4 pokazują, że przestrzeń liniowa jest grupą przemienną ze względu na operację dodawania.


2. Aksjomaty 5 i 6 określają rozdzielność operacji mnożenia wektora przez liczbę w odniesieniu do operacji dodawania wektorów (aksjomat 5) lub operacji dodawania liczb (aksjomat 6). Aksjomat 7, czasami nazywany prawem łączenia mnożenia przez liczbę, wyraża związek między dwiema różnymi operacjami: mnożeniem wektora przez liczbę i mnożeniem liczb. Właściwość zdefiniowana przez Aksjomat 8 nazywa się jednością operacji mnożenia wektora przez liczbę.


3. Przestrzeń liniowa jest zbiorem niepustym, ponieważ koniecznie zawiera wektor zerowy.


4. Operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę nazywane są operacjami liniowymi na wektorach.


5. Różnica między wektorami \mathbf(u) i \mathbf(v) jest sumą wektora \mathbf(u) z wektorem przeciwnym (-\mathbf(v)) i jest oznaczana: \mathbf(u)-\mathbf(v)=\mathbf(u)+(-\mathbf(v)).


6. Dwa niezerowe wektory \mathbf(u) i \mathbf(v) nazywamy współliniowymi (proporcjonalnymi), jeśli istnieje liczba \lambda taka, że \mathbf(v)=\lambda \mathbf(u). Pojęcie kolinearności rozciąga się na dowolną skończoną liczbę wektorów. Wektor zerowy \mathbf(o) uważa się za współliniowy z dowolnym wektorem.

Konsekwencje aksjomatów przestrzeni liniowej

1. W przestrzeni liniowej istnieje tylko jeden wektor zerowy.


2. W przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora \mathbf(v)\w V istnieje unikalny wektor przeciwny (-\mathbf(v))\w V.


3. Iloczyn dowolnego wektora przestrzennego i liczby zero jest równy wektorowi zerowemu, tj. 0\cdot \mathbf(v)=\mathbf(o)\,~\forall \mathbf(v)\in V.


4. Iloczyn wektora zerowego przez dowolną liczbę jest równy wektorowi zerowemu, czyli dla dowolnej liczby \lambda.


5. Wektor przeciwny do danego wektora jest równy iloczynowi tego wektora przez liczbę (-1), tj. (-\mathbf(v))=(-1)\mathbf(v)\,~\forall \mathbf(v)\in V.


6. W wyrażeniach postaci \mathbf(a+b+\ldots+z)(suma skończonej liczby wektorów) lub \alfa\cdot\beta\cdot\ldots\cdot\omega\cdot \mathbf(v)(iloczyn wektora i skończonej liczby czynników) możesz umieścić nawiasy w dowolnej kolejności lub w ogóle ich nie określać.


Udowodnimy na przykład dwie pierwsze właściwości. Wyjątkowość wektora zerowego. Jeżeli \mathbf(o) i \mathbf(o)" są dwoma wektorami zerowymi, to na podstawie Aksjomatu 3 otrzymujemy dwie równości: \mathbf(o)"+\mathbf(o)=\mathbf(o)" Lub \mathbf(o)+\mathbf(o)"=\mathbf(o), którego lewe strony są równe zgodnie z Aksjomatem 1. W związku z tym prawe strony również są równe, tj. \mathbf(o)=\mathbf(o)". Wyjątkowość przeciwnego wektora. Jeżeli wektor \mathbf(v)\in V ma dwa przeciwne wektory (-\mathbf(v)) i (-\mathbf(v))", to z aksjomatów 2, 3,4 otrzymujemy ich równość:


(-\mathbf(v))"=(-\mathbf(v))"+\underbrace(\mathbf(v)+(-\mathbf(v)))_(\mathbf(o))= \underbrace( (-\mathbf(v))"+\mathbf(v))_(\mathbf(o))+(-\mathbf(v))=(-\mathbf(v)).


Pozostałe własności dowodzi się w podobny sposób.

Przykłady przestrzeni liniowych

1. Oznaczmy \(\mathbf(o)\) - zbiór zawierający jeden wektor zerowy, z działaniami \mathbf(o)+ \mathbf(o)=\mathbf(o) I \lambda \mathbf(o)=\mathbf(o). Dla wskazanych operacji spełnione są aksjomaty 1-8. W konsekwencji zbiór \(\mathbf(o)\) jest przestrzenią liniową nad dowolnym polem liczbowym. Ta przestrzeń liniowa nazywa się zerem.


2. Oznaczmy V_1,\,V_2,\,V_3 - zbiory wektorów (odcinki skierowane) odpowiednio na linii prostej, na płaszczyźnie, w przestrzeni, stosując zwykłe operacje dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczbę. Spełnienie aksjomatów 1-8 przestrzeni liniowej wynika z przebiegu geometrii elementarnej. W konsekwencji zbiory V_1,\,V_2,\,V_3 są rzeczywistymi przestrzeniami liniowymi. Zamiast wektorów swobodnych możemy rozważyć odpowiednie zbiory wektorów promieniowych. Na przykład zbiór wektorów na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, tj. wykreślona z jednego stałego punktu płaszczyzny jest rzeczywistą przestrzenią liniową. Zbiór wektorów promieniowych o jednostkowej długości nie tworzy przestrzeni liniowej, ponieważ dla każdego z tych wektorów suma \mathbf(v)+\mathbf(v) nie należy do rozważanego zbioru.


3. Oznaczmy \mathbb(R)^n - zbiór kolumn macierzy o rozmiarach n\times1 z operacjami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę. Dla tego zbioru spełnione są aksjomaty 1-8 przestrzeni liniowej. Wektor zerowy w tym zestawie jest kolumną zerową o=\begin(pmatrix)0&\cdots&0\end(pmatrix)^T. W konsekwencji zbiór \mathbb(R)^n jest rzeczywistą przestrzenią liniową. Podobnie zbiór \mathbb(C)^n kolumn o rozmiarze n\times1 zawierający elementy zespolone jest złożoną przestrzenią liniową. Przeciwnie, zbiór macierzy kolumnowych z nieujemnymi elementami rzeczywistymi nie jest przestrzenią liniową, ponieważ nie zawiera przeciwnych wektorów.


4. Oznaczmy \(Ax=o\) - zbiór rozwiązań układu jednorodnego Ax=o liniowych równań algebraicznych z niewiadomymi i niewiadomymi (gdzie A jest rzeczywistą macierzą układu), rozpatrywany jako zbiór kolumn rozmiary n\times1 z operacjami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę . Zauważ, że te operacje są rzeczywiście zdefiniowane na zbiorze \(Ax=o\) . Z własności 1 rozwiązań układu jednorodnego (patrz podrozdział 5.5) wynika, że ​​suma dwóch rozwiązań układu jednorodnego i iloczyn jego rozwiązania przez liczbę są również rozwiązaniami układu jednorodnego, tj. należą do zbioru \(Ax=o\) . Spełnione są aksjomaty przestrzeni liniowej dla słupów (patrz punkt 3 na przykładach przestrzeni liniowych). Zatem zbiór rozwiązań układu jednorodnego jest rzeczywistą przestrzenią liniową.


Zbiór \(Ax=b\) rozwiązań układu niejednorodnego Ax=b,~b\ne o , przeciwnie, nie jest przestrzenią liniową, choćby dlatego, że nie zawiera elementu zerowego (x=o jest nie jest rozwiązaniem układu niejednorodnego).


5. Oznaczmy M_(m\times n) - zbiór macierzy o rozmiarze m\times n z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy przez liczbę. Dla tego zbioru spełnione są aksjomaty 1-8 przestrzeni liniowej. Wektor zerowy jest macierzą zerową O o odpowiednich rozmiarach. Zatem zbiór M_(m\times n) jest przestrzenią liniową.


6. Oznaczmy P(\mathbb(C)) - zbiór wielomianów jednej zmiennej o zespolonych współczynnikach. Operacje dodawania wielu wyrazów i mnożenia wielomianu przez liczbę uważaną za wielomian stopnia zerowego są zdefiniowane i spełniają aksjomaty 1-8 (w szczególności wektor zerowy to wielomian identycznie równy zero). Zatem zbiór P(\mathbb(C)) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb zespolonych. Zbiór P(\mathbb(R)) wielomianów o współczynnikach rzeczywistych jest również przestrzenią liniową (ale oczywiście nad ciałem liczb rzeczywistych). Zbiór P_n(\mathbb(R)) wielomianów stopnia co najwyżej n o współczynnikach rzeczywistych jest również rzeczywistą przestrzenią liniową. Należy zauważyć, że na tym zbiorze zdefiniowana jest operacja dodawania wielu wyrazów, gdyż stopień sumy wielomianów nie przekracza stopni wyrazów.


Zbiór wielomianów stopnia n nie jest przestrzenią liniową, gdyż suma takich wielomianów może okazać się wielomianem niższego stopnia, który nie należy do rozpatrywanego zbioru. Zbiór wszystkich wielomianów stopnia nie większego niż n o współczynnikach dodatnich również nie jest przestrzenią liniową, gdyż pomnożenie takiego wielomianu przez liczbę ujemną da wielomian nie należący do tego zbioru.


7. Oznaczmy C(\mathbb(R)) - zbiór funkcji rzeczywistych zdefiniowanych i ciągłych na \mathbb(R) . Sumę (f+g) funkcji f,g i iloczyn \lambda f funkcji f i liczbę rzeczywistą \lambda określają równości:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x) dla wszystkich x\in \mathbb(R)


Te operacje są rzeczywiście zdefiniowane na C(\mathbb(R)), ponieważ suma funkcji ciągłych i iloczyn funkcji ciągłej i liczby są funkcjami ciągłymi, tj. elementy C(\mathbb(R)) . Sprawdźmy spełnienie aksjomatów przestrzeni liniowej. Ponieważ dodawanie liczb rzeczywistych jest przemienne, wynika z tego równość f(x)+g(x)=g(x)+f(x) dla dowolnego x\in \mathbb(R) . Zatem f+g=g+f, tj. aksjomat 1 jest spełniony. Aksjomat 2 wynika podobnie z łączności dodawania. Wektor zerowy jest funkcją o(x), identycznie równą zero, która oczywiście jest ciągła. Dla dowolnej funkcji f zachodzi równość f(x)+o(x)=f(x), tj. Prawdziwy jest aksjomat 3. Przeciwnym wektorem wektora f będzie funkcja (-f)(x)=-f(x) . Wtedy f+(-f)=o (aksjomat 4 jest prawdziwy). Aksjomaty 5, 6 wynikają z rozdzielności operacji dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych, a aksjomat 7 - z łączności mnożenia liczb. Ostatni aksjomat jest spełniony, gdyż mnożenie przez jeden nie zmienia funkcji: 1\cdot f(x)=f(x) dla dowolnego x\in \mathbb(R), tj. 1\cdot f=f . Zatem rozważany zbiór C(\mathbb(R)) z wprowadzonymi operacjami jest rzeczywistą przestrzenią liniową. Podobnie zostało to udowodnione C^1(\mathbb(R)),C^2(\mathbb(R)), \ldots, C^m(\mathbb(R))- zbiory funkcji, które mają ciągłe pochodne pierwszej, drugiej itd. porządki są odpowiednio również przestrzeniami liniowymi.


Oznaczmy zbiór dwumianów trygonometrycznych (często \omega\ne0 ) współczynnikami rzeczywistymi, tj. wiele funkcji formularza f(t)=a\sin\omega t+b\cos\omega t, Gdzie a\in \mathbb(R), ~b\in \mathbb(R). Suma takich dwumianów i iloczyn dwumianu przez liczbę rzeczywistą to dwumiany trygonometryczne. Aksjomaty przestrzeni liniowej dla rozpatrywanego zbioru są spełnione (ponieważ T_(\omega)(\mathbb(R))\podzbiór C(\mathbb(R))). Dlatego wielu T_(\omega)(\mathbb(R)) przy zwykłych operacjach dodawania i mnożenia przez liczbę dla funkcji jest to rzeczywista przestrzeń liniowa. Element zerowy to dwumian o(t)=0\cdot\sin\omega t+0\cdot\cos\omega t, identycznie równy zeru.


Zbiór zdefiniowanych funkcji rzeczywistych i monotonicznych na \mathbb(R) nie jest przestrzenią liniową, gdyż różnica dwóch funkcji monotonicznych może okazać się funkcją niemonotoniczną.


8. Oznaczmy \mathbb(R)^X - zbiór funkcji rzeczywistych zdefiniowanych na zbiorze X za pomocą działań:


(f+g)(x)=f(x)+g(x),\quad (\lambda f)(x)=\lambda\cdot f(x)\quad \forall x\in X


Jest to rzeczywista przestrzeń liniowa (dowód taki sam jak w poprzednim przykładzie). W tym przypadku zbiór X można wybrać dowolnie. W szczególności, jeśli X=\(1,2,\ldkropki,n\), to f(X) jest uporządkowanym zbiorem liczb f_1,f_2,\ldots,f_n, Gdzie f_i=f(i),~i=1,\ldots,n Zbiór taki można uznać za macierz-kolumnę o wymiarach n\times1 , tj. pęczek \mathbb(R)^(\(1,2,\ldots,n\)) pokrywa się ze zbiorem \mathbb(R)^n (patrz punkt 3, aby zapoznać się z przykładami przestrzeni liniowych). Jeżeli X=\mathbb(N) (przypomnijmy, że \mathbb(N) jest zbiorem liczb naturalnych), to otrzymujemy przestrzeń liniową \mathbb(R)^(\mathbb(N))- wiele sekwencji liczbowych \(f(i)\)_(i=1)^(\infty). W szczególności zbiór zbieżnych ciągów liczbowych również tworzy przestrzeń liniową, ponieważ suma dwóch zbieżnych ciągów jest zbieżna, a gdy wszystkie wyrazy zbieżnego ciągu zostaną pomnożone przez liczbę, otrzymamy ciąg zbieżny. Natomiast zbiór ciągów rozbieżnych nie jest przestrzenią liniową, gdyż np. suma ciągów rozbieżnych może mieć granicę.


9. Oznaczmy \mathbb(R)^(+) - zbiór dodatnich liczb rzeczywistych, w którym suma a\oplus b i iloczyn \lambda\ast a (oznaczenia w tym przykładzie różnią się od zwyczajowych) wynoszą określone przez równości: a\oplus b=ab,~ \lambda\ast a=a^(\lambda) innymi słowy przez sumę elementów rozumie się iloczyn liczb, a pomnożenie elementu przez liczbę rozumie się jako podniesienie do potęgi. Obie operacje są rzeczywiście zdefiniowane na zbiorze \mathbb(R)^(+), ponieważ iloczyn liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, a każda potęga rzeczywista liczby dodatniej jest liczbą dodatnią. Sprawdźmy ważność aksjomatów. Równości


a\oplus b=ab=ba=b\oplus a,\quad a\oplus(b\oplus c)=a(bc)=(ab)c=(a\oplus b)\oplus c


pokazać, że aksjomaty 1 i 2 są spełnione. Wektor zerowy tego zbioru wynosi jeden, ponieważ a\oplus1=a\cdot1=a, tj. o=1. Przeciwnym wektorem a jest wektor \frac(1)(a) , który jest zdefiniowany, ponieważ a\ne o . Rzeczywiście, a\oplus\frac(1)(a)=a\cdot\frac(1)(a)=1=o. Sprawdźmy spełnienie aksjomatów 5, 6,7,8:


\begin(gathered) \mathsf(5))\quad \lambda\ast(a\oplus b)=(a\cdot b)^(\lambda)= a^(\lambda)\cdot b^(\lambda) = \lambda\ast a\oplus \lambda\ast b\,;\hfill\\ \mathsf(6))\quad (\lambda+ \mu)\ast a=a^(\lambda+\mu)=a^( \lambda)\cdot a^(\mu)=\lambda\ast a\oplus\mu\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(7)) \quad \lambda\ast(\mu\ast a) =(a^(\mu))^(\lambda)=a^(\lambda\mu)=(\lambda\cdot \mu)\ast a\,;\hfill\\ \mathsf(8))\quad 1\ast a=a^1=a\,.\hfill \end(zebrane)


Wszystkie aksjomaty są spełnione. Zatem rozpatrywany zbiór jest rzeczywistą przestrzenią liniową.

10. Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową. Rozważmy zbiór liniowych funkcji skalarnych zdefiniowanych na V, tj. Funkcje f\dwukropek V\to \mathbb(R), przyjmując wartości rzeczywiste i spełniając warunki:


f(\mathbf(u)+\mathbf(v))=f(u)+f(v)~~ \forall u,v\in V(addytywność);


f(\lambda v)=\lambda\cdot f(v)~~ \forall v\in V,~ \forall \lambda\in \mathbb(R)(jednorodność).


Operacje liniowe na funkcjach liniowych określa się analogicznie jak w paragrafie 8 przykładów przestrzeni liniowych. Sumę f+g i iloczyn \lambda\cdot f wyznaczają równości:


(f+g)(v)=f(v)+g(v)\quad \forall v\in V;\qquad (\lambda f)(v)=\lambda f(v)\quad \forall v\ w V, ~ \forall \lambda\in \mathbb(R).


Spełnienie aksjomatów przestrzeni liniowej potwierdza się w sposób analogiczny jak w paragrafie 8. Zatem zbiór funkcji liniowych zdefiniowanych na przestrzeni liniowej V jest przestrzenią liniową. Przestrzeń ta nazywana jest sprzężoną z przestrzenią V i jest oznaczona przez V^(\ast) . Jego elementy nazywane są kowektorami.


Na przykład zbiór postaci liniowych n zmiennych, uważany za zbiór funkcji skalarnych argumentu wektorowego, jest sprzężeniem przestrzeni liniowej z przestrzenią \mathbb(R)^n.

Jeśli zauważysz błąd, literówkę lub masz jakieś sugestie, napisz w komentarzach.

Wykład 6. Przestrzeń wektorowa.

Główne pytania.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

2. Podstawa i wymiar przestrzeni.

3. Orientacja przestrzenna.

4. Rozkład wektora ze względu na bazę.

5. Współrzędne wektora.

1. Wektorowa przestrzeń liniowa.

Zbiór składający się z elementów dowolnego rodzaju, w którym zdefiniowane są operacje liniowe: dodanie dwóch elementów i pomnożenie elementu przez liczbę, nazywane są spacje, a ich elementy są wektory tej przestrzeni i są oznaczane w taki sam sposób, jak wielkości wektorowe w geometrii: . Wektory Takie abstrakcyjne przestrzenie z reguły nie mają nic wspólnego ze zwykłymi wektorami geometrycznymi. Elementami przestrzeni abstrakcyjnych mogą być funkcje, układy liczb, macierze itp., a w konkretnym przypadku zwykłe wektory. Dlatego takie przestrzenie są zwykle nazywane przestrzenie wektorowe .

Przestrzenie wektorowe to, Na przykład, zbiór wektorów współliniowych, oznaczony V1 , zbiór wektorów współpłaszczyznowych V2 , zbiór wektorów zwyczajnych (przestrzeni rzeczywistej) V3 .

Dla tego konkretnego przypadku możemy podać następującą definicję przestrzeni wektorowej.

Definicja 1. Zbiór wektorów nazywa się Przestrzeń wektorowa, jeśli kombinacja liniowa dowolnych wektorów zbioru jest również wektorem tego zbioru. Nazywa się same wektory elementy Przestrzeń wektorowa.

Ważniejsze, zarówno teoretycznie, jak iw praktyce, jest ogólne (abstrakcyjne) pojęcie przestrzeni wektorowej.


Definicja 2. Pęczek R elementy, w którym określana jest suma dla dowolnych dwóch elementów i dla dowolnego elementu https://pandia.ru/text/80/142/images/image006_75.gif" szerokość="68" wysokość="20"> o nazwie wektor(lub liniowy) przestrzeń, a jego elementy są wektorami, jeżeli operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę spełniają następujące warunki ( aksjomaty) :

1) dodawanie jest przemienne, tj. gif" szerokość="184" wysokość="25">;

3) istnieje taki element (wektor zerowy), że dla dowolnego https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" szerokość="45" wysokość="20">.gif" szerokość= " 99" wysokość="27">;

5) dla dowolnych wektorów i dowolnej liczby λ zachodzi równość;

6) dla dowolnych wektorów i dowolnych liczb λ I µ równość jest prawdziwa: https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" szerokość="45 wysokość=20" wysokość="20"> i dowolne liczby λ I µ sprawiedliwy ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" szerokość="45" wysokość="20">.

Najprostsze aksjomaty definiujące przestrzeń wektorową to: konsekwencje :

1. W przestrzeni wektorowej jest tylko jedno zero – element – ​​wektor zerowy.

2. W przestrzeni wektorowej każdy wektor ma jeden przeciwny wektor.

3. Dla każdego elementu równość jest spełniona.

4. Dla dowolnej liczby rzeczywistej λ i wektor zerowy https://pandia.ru/text/80/142/images/image017_45.gif" szerokość="68" wysokość="25">.

5..gif" szerokość="145" wysokość="28">

6..gif" szerokość="15" wysokość="19 src=">.gif" szerokość="71" wysokość="24 src="> to wektor spełniający równość https://pandia.ru/text /80 /142/images/image026_26.gif" szerokość="73" wysokość="24">.

Zatem rzeczywiście zbiór wszystkich wektorów geometrycznych jest przestrzenią liniową (wektorową), ponieważ dla elementów tego zbioru określone są działania dodawania i mnożenia przez liczbę, które spełniają sformułowane aksjomaty.

2. Podstawa i wymiar przestrzeni.

Podstawowymi pojęciami przestrzeni wektorowej są pojęcia podstawy i wymiaru.

Definicja. Zbiór liniowo niezależnych wektorów, wziętych w określonej kolejności, za pomocą których można liniowo wyrazić dowolny wektor przestrzeni, nazywa się podstawa tę przestrzeń. Wektory. Nazywa się składniki podstawy przestrzeni podstawowy .

Bazę zbioru wektorów znajdujących się na dowolnej linii można uznać za jeden wektor współliniowy do tej linii.

Podstawa w samolocie nazwijmy dwa niewspółliniowe wektory na tej płaszczyźnie, wzięte w określonej kolejności https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" szerokość="61" wysokość="24">.

Jeśli wektory bazowe są parami prostopadłe (ortogonalne), wówczas nazywa się bazę prostokątny, a jeśli te wektory mają długość równą jeden, wówczas nazywa się bazę ortonormalny .

Nazywa się największą liczbę liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni wymiar tej przestrzeni, czyli wymiar przestrzeni pokrywa się z liczbą wektorów bazowych tej przestrzeni.

Zatem zgodnie z tymi definicjami:

1. Przestrzeń jednowymiarowa V1 jest linią prostą, a podstawa składa się z jedna współliniowa wektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" szerokość="39" wysokość="23 src="> .

3. Przestrzeń zwykła jest przestrzenią trójwymiarową V3 , którego podstawa składa się z trzy niewspółpłaszczyznowe wektory

Widzimy stąd, że liczba wektorów bazowych na linii, na płaszczyźnie, w przestrzeni rzeczywistej pokrywa się z tym, co w geometrii zwykle nazywa się liczbą wymiarów (wymiarów) linii, płaszczyzny, przestrzeni. Dlatego naturalnym jest wprowadzenie definicji bardziej ogólnej.


Definicja. Przestrzeń wektorowa R zwany N– wymiarowe, jeśli nie ma ich więcej niż N liniowo niezależne wektory i jest oznaczane R N. Numer N zwany wymiar przestrzeń.

Zgodnie z wymiarem przestrzeń dzieli się na skończenie wymiarowy I nieskończenie wymiarowy. Z definicji wymiar przestrzeni zerowej jest uważany za równy zeru.

Notatka 1. W każdej przestrzeni możesz podać dowolną liczbę baz, ale wszystkie podstawy danej przestrzeni składają się z tej samej liczby wektorów.

Uwaga 2. W N– w wymiarowej przestrzeni wektorowej podstawą jest dowolny uporządkowany zbiór N wektory liniowo niezależne.

3. Orientacja przestrzenna.

Niech wektory bazowe będą w przestrzeni V3 Posiadać ogólny początek I zamówione, tj. wskazano, który wektor jest uważany za pierwszy, który za drugi, a który za trzeci. Na przykład w bazie wektory są uporządkowane według indeksacji.

Za to aby orientować przestrzeń, należy ustalić jakąś podstawę i uznać ją za pozytywną .

Można wykazać, że zbiór wszystkich baz przestrzeni dzieli się na dwie klasy, to znaczy na dwa rozłączne podzbiory.

a) mają wszystkie zasady należące do jednego podzbioru (klasy). ten sam orientacja (bazy o tej samej nazwie);

b) dowolne dwie bazy należące do różny podzbiory (klasy), mają przeciwieństwo orientacja, ( różne nazwy bazy).

Jeśli jedną z dwóch klas podstaw przestrzeni uznamy za dodatnią, a drugą za ujemną, wówczas mówimy, że jest to przestrzeń zorientowany .

Często podczas orientowania przestrzeni wywoływane są niektóre bazy Prawidłowy, i inni - lewy .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" szerokość="61" wysokość="24 src="> są nazywane Prawidłowy, jeśli obserwując od końca trzeciego wektora najkrótszy obrót pierwszego wektora https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" szerokość="16" wysokość="23" > jest przeprowadzane przeciwnie do ruchu wskazówek zegara(ryc. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" szerokość="16" wysokość="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" szerokość="15" wysokość="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" szerokość="13" wysokość="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" szerokość="16" wysokość="23">

Ryż. 1.8. Prawa podstawa (a) i lewa podstawa (b)

Zazwyczaj właściwą podstawę przestrzeni określa się jako podstawę dodatnią

Prawą (lewą) podstawę przestrzeni można również wyznaczyć korzystając z reguły „prawej” („lewej”) śruby lub świdra.

Przez analogię wprowadzono pojęcie prawej i lewej strony trójki wektory niewspółpłaszczyznowe, które należy uporządkować (ryc. 1.8).

Zatem w ogólnym przypadku dwie uporządkowane trójki wektorów niewspółpłaszczyznowych mają tę samą orientację (tą samą nazwę) w przestrzeni V3 jeśli obaj są prawi lub obaj lewi, oraz - przeciwna orientacja (przeciwna), jeśli jeden z nich jest prawy, a drugi lewy.

Podobnie jest w przypadku przestrzeni V2 (samolot).

4. Rozkład wektora ze względu na bazę.

Dla uproszczenia rozumowania rozważmy to pytanie na przykładzie trójwymiarowej przestrzeni wektorowej R3 .

Niech https://pandia.ru/text/80/142/images/image021_36.gif" szerokość="15" wysokość="19"> będzie dowolnym wektorem tej przestrzeni.

Przestrzeń wektorowa (liniowa) to zbiór wektorów (elementów) o składowych rzeczywistych, w którym określone są operacje dodawania wektorów i mnożenia wektora przez liczbę, spełniający określone aksjomaty (właściwości)

1)x+Na=Na+X(przemienność dodawania);

2)(X+Na)+z=X+(y+z) (łączność dodawania);

3) istnieje wektor zerowy 0 (lub wektor zerowy) spełniający warunek X+ 0 =X: dla dowolnego wektora X;

4) dla dowolnego wektora X istnieje wektor przeciwny Na takie, że X+Na = 0 ,

5) 1 x=X,

6) A(bx)=(ok)X(łączność mnożenia);

7) (A+B)X=ach+bx(właściwość rozdzielcza w stosunku do czynnika liczbowego);

8) A(X+Na)=ach+tak(właściwość rozdzielcza względem mnożnika wektora).

Przestrzeń liniowa (wektorowa) V(P) nad ciałem P jest niepustym zbiorem V. Elementy zbioru V nazywane są wektorami, a elementy ciała P skalarami.

Najprostsze właściwości.

1. Przestrzeń wektorowa to grupa abelowa (grupa, w której działanie na grupach jest przemienne. Działanie na grupach na grupach abelowych nazywa się zwykle „dodawaniem” i oznacza się je znakiem +)

2. Element neutralny jest jedynym, który wynika z właściwości grupy dla dowolnego elementu.

3. Dla każdego element przeciwny jest jedynym, który wynika z właściwości grupy.

4.(–1) x = – x dla dowolnego x є V.

5.(–α) x = α(–x) = – (αx) dla dowolnego α є P i x є V.

Wyrażenie a 1 e 1+za 2 i 2+ … +an n e n(1) nazywa się liniową kombinacją wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi n z szansami 1, 2,..., jakiś . Kombinację liniową (1) nazywamy nietrywialną, jeżeli występuje co najmniej jeden ze współczynników za 1 , za 2 , ..., za n różny od zera. Wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi n nazywane są liniowo zależnymi, jeśli istnieje nietrywialna kombinacja (1), którą jest wektor zerowy. W przeciwnym razie (to znaczy, gdyby była to tylko trywialna kombinacja wektorów mi 1 , mi 2 ,..., mi n równe wektorowi zerowemu) wektory mi 1 , mi 2 ,..., mi n nazywane są liniowo niezależnymi.

Wymiarem przestrzeni jest maksymalna liczba zawartych w niej wektorów LZ.

Przestrzeń wektorowa nazywa się n-wymiarowym (lub ma „wymiar N"), jeśli istnieje N elementy liniowo niezależne mi 1 , mi 2 ,..., mi n , i jakikolwiek N+ 1 elementy są liniowo zależne (uogólniony warunek B). Przestrzeń wektorowa nazywane są nieskończonymi wymiarami, jeśli są w nim jakiekolwiek naturalne N istnieje N wektory liniowo niezależne. Każdy N liniowo niezależne wektory n-wymiarowe Przestrzeń wektorowa stanowią podstawę tej przestrzeni. Jeśli mi 1 , mi 2 ,..., mi n- podstawa Przestrzeń wektorowa, to dowolny wektor X przestrzeń tę można jednoznacznie przedstawić jako liniową kombinację wektorów bazowych: X=a 1 i 1+za 2 i 2+... +an n e n.
Jednocześnie liczby za 1, za 2, ..., za n nazywane są współrzędnymi wektorowymi X na tej podstawie.