Na każdy ładunek w polu elektrycznym przypada siła, która może go poruszyć. Wyznacz pracę A przemieszczenia punktowego ładunku dodatniego q z punktu O do punktu n, wykonaną przez siły pole elektryczneładunek ujemny Q. Zgodnie z prawem Coulomba siła poruszająca ładunek jest zmienna i równa
Gdzie r jest zmienną odległością pomiędzy ładunkami.
. Wyrażenie to można uzyskać w następujący sposób:
Wielkość ta reprezentuje energię potencjalną W p ładunku w danym punkcie pola elektrycznego:
Znak (-) wskazuje, że gdy ładunek porusza się w polu, jego energia potencjalna maleje, zamieniając się w pracę ruchu.
Wartość równa energii potencjalnej jednostkowego ładunku dodatniego (q = +1) nazywana jest potencjałem pola elektrycznego.
Następnie 
. Dla q = +1.
Zatem różnica potencjałów między dwoma punktami pola jest równa pracy sił pola, aby przenieść jednostkowy ładunek dodatni z jednego punktu do drugiego.
Potencjał punktu pola elektrycznego jest równy pracy wykonanej podczas przemieszczania jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu do nieskończoności: . Jednostka miary - Volt = J/C.
Praca przemieszczania ładunku w polu elektrycznym nie zależy od kształtu toru, lecz zależy jedynie od różnicy potencjałów pomiędzy punktem początkowym i końcowym toru.
Powierzchnię we wszystkich punktach, której potencjał jest taki sam, nazywamy ekwipotencjalną.
Natężenie pola jest jego charakterystyką mocy, a potencjał jest jego charakterystyką energetyczną.
Zależność pomiędzy natężeniem pola a jego potencjałem wyraża wzór
,
znak (-) wynika z faktu, że natężenie pola jest skierowane w stronę potencjału malejącego i w kierunku potencjału rosnącego.
5. Zastosowanie pól elektrycznych w medycynie.
Franklinizacja, lub „prysznic elektrostatyczny” to metoda terapeutyczna, podczas której ciało pacjenta lub jego określone części poddawane są działaniu stałego pola elektrycznego o wysokim napięciu.
Stałe pole elektryczne podczas ogólnej procedury narażenia może osiągnąć 50 kV, przy lokalnym naświetleniu 15 - 20 kV.
Mechanizm działania terapeutycznego. Zabieg franklinizacji przeprowadza się w taki sposób, że głowa pacjenta lub inna część ciała staje się jedną z płytek kondensatora, natomiast druga jest elektrodą zawieszoną nad głową lub zainstalowaną nad miejscem naświetlania w odległości 6 - 10cm. Pod wpływem wysokiego napięcia pod końcówkami igieł przymocowanych do elektrody następuje jonizacja powietrza z utworzeniem jonów powietrza, ozonu i tlenków azotu.
Wdychanie ozonu i jonów powietrza powoduje reakcję w sieci naczyniowej. Po krótkotrwałym skurczu naczyń krwionośnych naczynia włosowate rozszerzają się nie tylko w tkankach powierzchownych, ale także głębokich. W rezultacie usprawniane są procesy metaboliczne i troficzne, a w przypadku uszkodzenia tkanek pobudzane są procesy regeneracji i przywracania funkcji.
W wyniku poprawy krążenia krwi, normalizacji procesów metabolicznych i funkcji nerwów następuje zmniejszenie bólów głowy, wysokiego ciśnienia krwi, zwiększonego napięcia naczyniowego i zmniejszenia tętna.
Stosowanie franklinizacji jest wskazane w przypadku zaburzeń czynnościowych system nerwowy
Przykłady rozwiązywania problemów
1. Gdy działa aparat franklinizujący, w 1 cm3 powietrza co sekundę powstaje 500 000 lekkich jonów powietrza. Wyznacz pracę jonizacji potrzebną do wytworzenia takiej samej ilości jonów powietrza w 225 cm 3 powietrza podczas jednego zabiegu (15 min). Zakłada się, że potencjał jonizacji cząsteczek powietrza wynosi 13,54 V, a powietrze jest umownie uważane za gaz jednorodny.
- potencjał jonizacji, A - praca jonizacyjna, N - liczba elektronów.
2. Podczas obróbki natryskiem elektrostatycznym na elektrody maszyny elektrycznej przykładana jest różnica potencjałów 100 kV. Określ, ile ładunku przepływa pomiędzy elektrodami podczas jednego zabiegu zabiegowego, jeśli wiadomo, że siły pola elektrycznego wykonują pracę 1800 J.
Stąd 
Dipol elektryczny w medycynie
Według teorii Einthovena leżącej u podstaw elektrokardiografii serce jest dipolem elektrycznym umiejscowionym w środku trójkąt równoboczny(trójkąt Einthovena), którego wierzchołki można umownie rozważać 
znajduje się w prawej ręce, lewej ręce i lewej nodze.
Podczas cyklu pracy serca zmienia się zarówno położenie dipola w przestrzeni, jak i moment dipolowy. Pomiar różnicy potencjałów między wierzchołkami trójkąta Einthovena pozwala nam określić zależność pomiędzy rzutami momentu dipolowego serca na boki trójkąta w następujący sposób:
Znając napięcia U AB, U BC, U AC, można określić, w jaki sposób dipol jest zorientowany względem boków trójkąta.
W elektrokardiografii różnica potencjałów między dwoma punktami na ciele (w tym przypadku między wierzchołkami trójkąta Einthovena) nazywana jest odprowadzeniem.
Rejestracja różnicy potencjałów w odprowadzeniach w zależności od czasu nazywa się elektrokardiogram.
Nazywa się geometryczne położenie punktów końcowych wektora momentu dipolowego podczas cyklu serca kardiogram wektorowy.
Wykład nr 4
Zjawiska kontaktowe
1. Różnica potencjałów kontaktowych. Prawa Volty.
2. Termoelektryczność.
3. Termopara, jej zastosowanie w medycynie.
4. Potencjał spoczynkowy. Potencjał czynnościowy i jego rozkład.
- Kontaktowa różnica potencjałów. Prawa Volty.
Kiedy różne metale wchodzą w bliski kontakt, powstaje między nimi różnica potencjałów, zależna tylko od ich skład chemiczny i temperatura (pierwsze prawo Volty). Ta różnica potencjałów nazywa się kontaktem.
Aby opuścić metal i przedostać się do otoczenia, elektron musi wykonać pracę wbrew siłom przyciągania metalu. Praca ta nazywana jest funkcją pracy elektronu opuszczającego metal.
Zetknijmy dwa różne metale 1 i 2, posiadające funkcję pracy odpowiednio A 1 i A 2 oraz A 1< A 2 . Очевидно, что свободный электрон, попавший в процессе теплового движения на поверхность раздела металлов, будет втянут во второй металл, так как со стороны этого металла на электрон действует большая сила притяжения (A 2 >1). W konsekwencji, poprzez kontakt metali, wolne elektrony są „przepompowywane” z pierwszego metalu do drugiego, w wyniku czego pierwszy metal jest naładowany dodatnio, drugi - ujemnie. Powstała w tym przypadku różnica potencjałów tworzy pole elektryczne o natężeniu E, które utrudnia dalsze „pompowanie” elektronów i całkowicie ustanie, gdy praca przemieszczania elektronu na skutek różnicy potencjałów kontaktowych zrówna się z różnicą potencjałów funkcje pracy:
(1)
Zetknijmy teraz dwa metale z A 1 = A 2, posiadające różne stężenia wolnych elektronów n 01 > n 02. Następnie rozpocznie się preferencyjny transfer wolnych elektronów z pierwszego metalu do drugiego. W rezultacie pierwszy metal zostanie naładowany dodatnio, drugi - ujemnie. Pomiędzy metalami powstanie różnica potencjałów, która zatrzyma dalszy transfer elektronów. Wynikową różnicę potencjałów określa się za pomocą wyrażenia:
, (2)
gdzie k jest stałą Boltzmanna.
W ogólnym przypadku kontaktu metali różniących się zarówno pracą wyjścia, jak i stężeniem wolnych elektronów, cr.r.p. z (1) i (2) będzie równe:
(3)
Łatwo wykazać, że suma różnic potencjałów stykowych przewodów połączonych szeregowo jest równa różnicy potencjałów stykowych utworzonych przez przewody końcowe i nie zależy od przewodów pośrednich:
Stanowisko to nazywa się drugim prawem Volty.
Jeśli teraz bezpośrednio połączymy przewody końcowe, wówczas istniejąca między nimi różnica potencjałów zostanie kompensowana przez równą różnicę potencjałów, która powstaje na stykach 1 i 4. Dlatego c.r.p. nie wytwarza prądu w obwodzie zamkniętym składającym się z metalowych przewodników o tej samej temperaturze.
2. Termoelektryczność jest zależnością różnicy potencjałów stykowych od temperatury.
Zróbmy obwód zamknięty z dwóch różnych metalowych przewodników 1 i 2.
Temperatury styków a i b będą utrzymywane w różnych temperaturach T a > T b . Następnie zgodnie ze wzorem (3) c.r.p. w gorącym złączu więcej niż w zimnym złączu: . W efekcie pomiędzy złączami a i b powstaje różnica potencjałów, zwana siłą termoelektromotoryczną, a w obwodzie zamkniętym będzie płynął prąd I. Korzystając ze wzoru (3) otrzymujemy
Gdzie 
dla każdej pary metali.
- Termopara, jej zastosowanie w medycynie.
Nazywa się obwód zamknięty przewodników, w którym wytwarza się prąd w wyniku różnic temperatur styków między przewodnikami termoelement.
Ze wzoru (4) wynika, że siła termoelektromotoryczna termopary jest proporcjonalna do różnicy temperatur złączy (styków).
Wzór (4) obowiązuje także dla temperatur w skali Celsjusza:
Termopara może mierzyć jedynie różnice temperatur. Zwykle jedno złącze utrzymuje się w temperaturze 0°C. Nazywa się to zimnym złączem. Drugie złącze nazywane jest złączem gorącym lub pomiarowym.
Termopara ma znaczną przewagę nad termometrami rtęciowymi: jest czuła, pozbawiona bezwładności, umożliwia pomiar temperatury małych obiektów oraz umożliwia zdalne pomiary.
Pomiar profilu pola temperatury ciała ludzkiego.
Uważa się, że temperatura ciała człowieka jest stała, ale ta stałość jest względna, ponieważ w różnych częściach ciała temperatura nie jest taka sama i zmienia się w zależności od stanu funkcjonalnego organizmu.
Temperatura skóry ma swoją własną, dobrze określoną topografię. Bardzo niska temperatura(23-30°) mają dystalne części kończyn, czubek nosa i uszy. Najwyższa temperatura występuje pod pachami, kroczem, szyją, ustami, policzkami. Pozostałe obszary mają temperaturę 31 - 33,5 ºС.
U zdrowej osoby rozkład temperatury jest symetryczny względem linia środkowa ciała. Naruszenie tej symetrii służy jako główne kryterium diagnozowania chorób poprzez konstruowanie profilu pola temperaturowego za pomocą urządzeń kontaktowych: termopary i termometru oporowego.
4. Potencjał spoczynkowy. Potencjał czynnościowy i jego rozkład.
Błona powierzchniowa komórki nie jest jednakowo przepuszczalna różne jony. Ponadto stężenie poszczególnych jonów różni się w zależności od różne strony błony wewnątrz komórki utrzymuje się najkorzystniejszy skład jonów. Czynniki te prowadzą do pojawienia się w normalnie funkcjonującej komórce różnicy potencjałów między cytoplazmą a środowisko(potencjał spoczynkowy)
Po wzbudzeniu zmienia się różnica potencjałów między komórką a otoczeniem, powstaje potencjał czynnościowy, który rozprzestrzenia się we włóknach nerwowych.
Mechanizm propagacji potencjału czynnościowego wzdłuż włókna nerwowego rozważa się analogicznie do propagacji fala elektromagnetyczna poprzez linię dwuprzewodową. Jednak wraz z tą analogią istnieją także zasadnicze różnice.
Fala elektromagnetyczna rozchodząca się w ośrodku słabnie wraz z rozproszeniem swojej energii, zamieniając się w energię ruchu molekularno-termicznego. Źródłem energii fali elektromagnetycznej jest jej źródło: generator, iskra itp.
Fala wzbudzenia nie zanika, ponieważ otrzymuje energię z samego ośrodka, w którym się rozchodzi (energia naładowanej membrany).
Zatem propagacja potencjału czynnościowego wzdłuż włókna nerwowego zachodzi w postaci fali automatycznej. Aktywnym środowiskiem są pobudliwe komórki.
Przykłady rozwiązywania problemów
1. Konstruując profil pola temperaturowego powierzchni ciała ludzkiego, stosuje się termoparę o rezystancji r 1 = 4 omów i galwanometr o rezystancji r 2 = 80 omów; I=26 µA przy różnicy temperatur złącza °С. Jaka jest stała termopary?
Moc termoelektryczna powstająca w termoparze jest równa , gdzie termopary to różnica temperatur pomiędzy złączami.
Zgodnie z prawem Ohma dla części obwodu, w której U przyjmuje się jako . Następnie
Wykład nr 5
Elektromagnetyzm
1. Natura magnetyzmu.
2. Oddziaływanie magnetyczne prądów w próżni. Prawo Ampera.
4. Substancje dia-, para- i ferromagnetyczne. Przepuszczalność magnetyczna i indukcja magnetyczna.
5. Właściwości magnetyczne tkanek organizmu.
1. Natura magnetyzmu.
Wokół poruszających się ładunków elektrycznych (prądów) powstaje pole magnetyczne, poprzez które ładunki te oddziałują z magnetycznymi lub innymi poruszającymi się ładunkami elektrycznymi.
Pole magnetyczne jest polem siłowym i jest reprezentowane przez linie magnetyczne siły. W przeciwieństwie do linii pola elektrycznego, linie pola magnetycznego są zawsze zamknięte.
Właściwości magnetyczne substancji wynikają z elementarnych prądów kołowych w atomach i cząsteczkach tej substancji.
2 . Oddziaływanie magnetyczne prądów w próżni. Prawo Ampera.
Magnetyczne oddziaływanie prądów badano za pomocą obwodów z ruchomym drutem. Ampere ustalił, że wielkość siły oddziaływania między dwoma małymi odcinkami przewodów 1 i 2 z prądami jest proporcjonalna do długości tych odcinków, mocy prądu I 1 i I 2 w nich i jest odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości r pomiędzy sekcjami:
Okazało się, że siła oddziaływania pierwszego odcinka na drugi zależy od ich względnego położenia i jest proporcjonalna do sinusów kątów i .
gdzie jest kątem pomiędzy i wektorem promienia r 12 łączącym się z, oraz jest kątem pomiędzy i normalną n do płaszczyzny Q zawierającej przekrój i wektor promienia r 12.
Łącząc (1) i (2) oraz wprowadzając współczynnik proporcjonalności k, otrzymujemy matematyczny wyraz prawa Ampera:
(3)
Kierunek siły jest również określony przez regułę świdra: pokrywa się z kierunkiem ruch do przoduświder, którego uchwyt obraca się od normalnego n 1.
Element prądowy to wektor równy iloczynowi Idl nieskończenie małego odcinka długości dl przewodnika i natężenia prądu I w nim i skierowany wzdłuż tego prądu. Następnie przechodząc (3) od małego do nieskończenie małego dl, możemy zapisać prawo Ampera w postaci różniczkowej:
. (4)
Współczynnik k można przedstawić jako
gdzie jest stała magnetyczna (lub przenikalność magnetyczna próżni).
Wartość racjonalizacji uwzględniająca (5) i (4) zostanie zapisana w formularzu
. (6)
3 . Napięcie pole magnetyczne. Wzór Ampera. Prawo Biota-Savarta-Laplace'a.
Ponieważ prądy elektryczne oddziałują ze sobą poprzez swoje pola magnetyczne, na podstawie tego oddziaływania można ustalić ilościową charakterystykę pola magnetycznego - prawo Ampera. W tym celu dzielimy przewodnik l z prądem I na wiele elementarnych odcinków dl. Tworzy pole w przestrzeni.
W punkcie O tego pola, położonym w odległości r od dl, umieszczamy I 0 dl 0. Wtedy zgodnie z prawem Ampera (6) na ten element będzie działać siła
(7)
gdzie jest kątem pomiędzy kierunkiem prądu I w odcinku dl (tworzącym pole) a kierunkiem wektora promienia r oraz jest kątem pomiędzy kierunkiem prądu I 0 dl 0 a normalną n do płaszczyzny Q zawierającej dl i r.
We wzorze (7) wybieramy część niezależną od aktualnego elementu I 0 dl 0, oznaczając ją przez dH:
Prawo Biota-Savarta-Laplace'a (8)
Wartość dH zależy tylko od aktualnego elementu Idl, który wytwarza pole magnetyczne, oraz od położenia punktu O.
Wartość dH jest ilościową charakterystyką pola magnetycznego i nazywana jest natężeniem pola magnetycznego. Podstawiając (8) do (7) otrzymujemy
gdzie jest kątem między kierunkiem prądu I 0 a polem magnetycznym dH. Wzór (9) nazywany jest wzorem Ampera i wyraża zależność siły, z jaką pole magnetyczne działa na znajdujący się w nim element prądowy I 0 dl 0, od siły tego pola. Siła ta leży w płaszczyźnie Q prostopadłej do dl 0. Jego kierunek wyznacza „reguła lewej ręki”.
Zakładając =90° w (9), otrzymujemy:
Te. Natężenie pola magnetycznego jest skierowane stycznie do linii pola i jest równe stosunkowi siły, z jaką pole działa na element prądu jednostkowego, do stałej magnetycznej.
4 . Substancje diamagnetyczne, paramagnetyczne i ferromagnetyczne. Przepuszczalność magnetyczna i indukcja magnetyczna.
Wszystkie substancje umieszczone w polu magnetycznym uzyskują właściwości magnetyczne, tj. są namagnesowane i dlatego zmieniają pole zewnętrzne. W tym przypadku niektóre substancje osłabiają pole zewnętrzne, inne je wzmacniają. Pierwsze z nich to tzw diamagnetyczny, drugi - paramagnetyczny Substancje. Wśród substancji paramagnetycznych ostro wyróżnia się grupa substancji, powodująca bardzo duży zysk pole zewnętrzne. Ten ferromagnetyki.
Diamagnetyki- fosfor, siarka, złoto, srebro, miedź, woda, związki organiczne.
Paramagnetyki- tlen, azot, aluminium, wolfram, platyna, metale alkaliczne i metale ziem alkalicznych.
Ferromagnetyki– żelazo, nikiel, kobalt i ich stopy.
Suma geometryczna orbitalnych i spinowych momentów magnetycznych elektronów oraz wewnętrznego momentu magnetycznego jądra tworzy moment magnetyczny atomu (cząsteczki) substancji.
W materiałach diamagnetycznych całkowity moment magnetyczny atomu (cząsteczki) wynosi zero, ponieważ momenty magnetyczne znoszą się wzajemnie. Jednakże pod wpływem zewnętrznego pola magnetycznego w tych atomach indukowany jest moment magnetyczny, skierowany przeciwnie do pola zewnętrznego. W efekcie ośrodek diamagnetyczny ulega namagnesowaniu i wytwarza własne pole magnetyczne, skierowane przeciwnie do zewnętrznego i osłabiając je.
Indukowane momenty magnetyczne atomów diamagnetycznych zachowują się tak długo, jak długo istnieje zewnętrzne pole magnetyczne. Po wyeliminowaniu pola zewnętrznego indukowane momenty magnetyczne atomów zanikają, a materiał diamagnetyczny ulega rozmagnesowaniu.
W atomach paramagnetycznych momenty orbitalne, spinowe i jądrowe nie kompensują się wzajemnie. Jednak atomowe momenty magnetyczne są ułożone losowo, więc ośrodek paramagnetyczny nie wykazuje właściwości magnetycznych. Pole zewnętrzne wiruje atomy paramagnetyczne w taki sposób, że ich momenty magnetyczne ustalają się głównie w kierunku pola. W rezultacie materiał paramagnetyczny ulega namagnesowaniu i wytwarza własne pole magnetyczne, zbiegając się z polem zewnętrznym i wzmacniając je.
(4), gdzie jest absolutną przenikalnością magnetyczną ośrodka. W próżni =1, , i
W ferromagnetykach występują obszary (~10 -2 cm) o identycznie zorientowanych momentach magnetycznych ich atomów. Jednakże orientacja samych domen jest zróżnicowana. Dlatego przy braku zewnętrznego pola magnetycznego ferromagnes nie jest namagnesowany.
Wraz z pojawieniem się pola zewnętrznego domeny zorientowane w kierunku tego pola zaczynają zwiększać swoją objętość, ponieważ sąsiednie domeny mają różne orientacje momentu magnetycznego; ferromagnetyk zostaje namagnesowany. Przy wystarczająco silnym polu wszystkie domeny zostają przeorientowane wzdłuż pola, a ferromagnes zostaje szybko namagnesowany do stanu nasycenia.
Po wyeliminowaniu pola zewnętrznego ferromagnes nie ulega całkowitemu rozmagnesowaniu, ale zachowuje resztkową indukcję magnetyczną, ponieważ ruch termiczny nie może zdezorientować domen. Rozmagnesowanie można osiągnąć poprzez ogrzewanie, wstrząsanie lub zastosowanie odwróconego pola.
W temperaturze równej punktowi Curie ruch termiczny może dezorientować atomy w domenach, w wyniku czego ferromagnetyk zamienia się w paramagnet.
Strumień indukcji magnetycznej przez pewną powierzchnię S jest równy liczbie linii indukcyjnych przechodzących przez tę powierzchnię:
(5)
Jednostka miary B – Tesla, F-Weber.
F jest siłą oddziaływania dwóch ładunków punktowych
q 1, q 2- wielkość ładunków
ε α – absolutna stała dielektryczna ośrodka
r - odległość pomiędzy ładunkami punktowymi
Konserwatywne oddziaływanie elektrostatyczne.
Obliczmy pracę wykonaną przez pole elektrostatyczne wytworzone przez ładunek Q poprzez ruch ładunku Q od punktu 1 do punktu 2.
Praca w drodze, D l jest równe:
gdzie d R - przyrost wektora promienia podczas poruszania się o d ja; tj.
Następnie całkowita praca podczas ruchu Q od punktu 1 do punktu 2 jest równa całce:
 |
Praca sił elektrostatycznych nie zależy od kształtu toru, a jedynie od współrzędnych punktów początkowego i końcowego ruchu . Stąd, Natężenie pola jest konserwatywne i samo pole – potencjalnie.
Potencjał pola elektrostatycznego.
Potencjał pola elektrostatycznego - wielkość skalarna równa stosunkowi energii potencjalnej ładunku w polu do tego ładunku:
Charakterystyka energetyczna pola w danym punkcie. Potencjał nie zależy od ilości ładunku umieszczonego w tym polu.
Potencjał pola elektrostatycznego ładunku punktowego.
Rozważmy szczególny przypadek, gdy pole elektrostatyczne tworzy ładunek elektryczny Q. Aby zbadać potencjał takiego pola, nie ma potrzeby wprowadzania do niego ładunku q. Można obliczyć potencjał dowolnego punktu takiego pola znajdującego się w odległości r od ładunku Q.
Stała dielektryczna ośrodka ma znaną wartość (tabelaryczną) i charakteryzuje ośrodek, w którym występuje pole. Dla powietrza równa się jedności.
Wzór na działanie pola elektrostatycznego.
Na ładunek q₀ z pola działa siła, która może wykonać pracę i poruszyć ten ładunek w polu.
Praca pola elektrostatycznego nie zależy od trajektorii. Praca wykonana przez pole podczas poruszania się ładunku po zamkniętej drodze wynosi zero. Z tego powodu siły pola elektrostatycznego nazywane są konserwatywnymi, a samo pole nazywane jest potencjalnym.
Zależność natężenia pola elektrostatycznego od potencjału.
Natężenie w dowolnym punkcie pola elektrycznego jest równe gradientowi potencjału w tym punkcie, przyjętemu z przeciwnym znakiem. Znak minus wskazuje, że napięcie E jest skierowane w kierunku malejącego potencjału.
Pojemność elektryczna przewodnika i kondensatora.
Pojemność elektryczna - charakterystyka przewodnika, miara jego zdolności do gromadzenia ładunku elektrycznego
Wzór na pojemność elektryczną kondensatora płaskiego.
Energia pola elektrycznego.
Energia naładowanego kondensatora równa się pracy siły zewnętrzne, który należy wydać na ładowanie kondensatora. 
Elektryczność.
Elektryczność - ukierunkowany (uporządkowany) ruch naładowanych cząstek
Warunki występowania i istnienia prądu elektrycznego.
1. obecność przewoźników bezpłatnych,
2. obecność różnicy potencjałów. są to warunki wystąpienia prądu,
3. obieg zamknięty,
4. źródło sił zewnętrznych utrzymujące różnicę potencjałów.
Siły zewnętrzne.
Siły zewnętrzne- siły o charakterze nieelektrycznym, które powodują ruch ładunków elektrycznych wewnątrz źródła prąd stały. Wszystkie siły inne niż siły Coulomba są uważane za zewnętrzne.
E.m.f. Napięcie.
Siła elektromotoryczna(EMF) - wielkość fizyczna, charakteryzujący pracę sił zewnętrznych (bezpotencjalnych) w źródłach prądu stałego lub przemiennego. W zamkniętym obwodzie przewodzącym pole elektromagnetyczne jest równe pracy tych sił potrzebnej do przemieszczenia pojedynczego ładunku dodatniego wzdłuż obwodu.
Pole elektromagnetyczne można wyrazić w kategoriach natężenia pola elektrycznego sił zewnętrznych
Napięcie (U)
równy stosunkowi pracy pola elektrycznego potrzebnego do przemieszczenia ładunku
do ilości ładunku przemieszczonego w odcinku obwodu.
Jednostka napięcia SI:
Aktualna siła.
Siła prądu (I)- wielkość skalarna równa stosunkowi ładunku q, przez który przepłynął Przekrój przewodnika, do czasu t, w którym płynął prąd. Natężenie prądu pokazuje, ile ładunku przechodzi przez przekrój przewodnika w jednostce czasu.
Gęstość prądu.
Gęstość prądu j - wektor, którego moduł równy stosunkowi siła prądu płynącego przez pewien obszar, prostopadle do kierunku prądu, do wielkości tego obszaru.
Jednostką gęstości prądu w układzie SI jest amper na metr kwadratowy(A/m2).
Na każdy ładunek w polu elektrycznym działa siła, która może go poruszyć. Wyznaczmy pracę A przemieszczania punktowego ładunku dodatniego z punktu O do punktu, wykonaną przez siły pola elektrycznego ładunku ujemnego (ryc. 158). Zgodnie z prawem Coulomba siła poruszająca ładunek jest zmienna i równa
gdzie jest zmienną odległością pomiędzy ładunkami. Należy pamiętać, że zgodnie z tym samym prawem (odwrotnie proporcjonalnym do kwadratu odległości) zmienia się siła poruszająca masę w polu grawitacyjnym masy (patrz § 17).
Zatem pracę przemieszczania ładunku w polu elektrycznym (wykonywaną przez siły elektryczne) wyrazimy wzorem podobnym do wzoru na pracę przemieszczania ładunku w polu grawitacyjnym (wykonywaną przez siły grawitacyjne):
Wzór (19) wyprowadza się dokładnie w taki sam sposób, jak wzór (8) wyprowadzono w § 17.
Wzór (19) można wyprowadzić jeszcze prościej poprzez całkowanie:
Znak minus przed całką wynika z faktu, że dla zbliżających się ładunków wartość jest ujemna, natomiast praca powinna być dodatnia, ponieważ ładunek porusza się w kierunku siły.
Porównując wzór (19) ze wzorem ogólnym (4) z § 17 dochodzimy do wniosku, że wielkość ta reprezentuje energię potencjalną ładunku w danym punkcie pola elektrycznego:
Znak minus pokazuje, że gdy ładunek jest przemieszczany przez siły pola, jego energia potencjalna maleje, zamieniając się w pracę ruchu. Ogrom
równa energii potencjalnej jednostkowego ładunku dodatniego nazywana jest potencjałem pola elektrycznego lub potencjałem elektrycznym. Potencjał elektryczny nie zależy od wielkości przenoszonego ładunku i dlatego może służyć jako charakterystyka pola elektrycznego, podobnie jak potencjał grawitacyjny służy jako charakterystyka pola grawitacyjnego.
Podstawiając potencjalne wyrażenie (21) do wzoru na pracę (19), otrzymujemy
Zakładając, że otrzymamy
Zatem różnica potencjałów między dwoma punktami pola jest równa pracy sił pola, aby przenieść jednostkowy ładunek dodatni z jednego punktu do drugiego.
Przesuńmy teraz ładunek (działający przeciwko siłom pola) od pewnego punktu do nieskończoności, następnie zgodnie ze wzorami (21) i (23) oraz
Kiedy otrzymamy Dlatego potencjał punktu pola elektrycznego jest równy pracy przeniesienia jednostkowego ładunku dodatniego z danego punktu do nieskończoności.
Ze wzoru (24) ustalamy jednostkę miary potencjału zwaną woltem (V):
tj. wolt jest potencjałem takiego punktu w polu, podczas poruszania się, z którego ładunek „i nieskończoność, praca jest wykonywana w Wymiar potencjału
Teraz, biorąc pod uwagę wzór (25), można wykazać, że jednostka miary natężenia pola elektrycznego ustalona w § 75 jest rzeczywiście równa
Jeśli ładunek tworzący pole jest ujemny, wówczas siły pola uniemożliwiają przemieszczanie się pojedynczego ładunku dodatniego do nieskończoności, wykonując w ten sposób ujemną pracę. Dlatego potencjał dowolnego punktu pola utworzonego przez ładunek ujemny jest ujemny (tak jak potencjał grawitacyjny dowolnego punktu pola grawitacyjnego jest ujemny). Jeśli ładunek tworzący pole jest dodatni, wówczas siły pola same przesuwają jednostkowy ładunek dodatni do nieskończoności, wykonując dodatnią pracę. Dlatego potencjał dowolnego punktu w polu ładunku dodatniego jest dodatni. Na podstawie tych rozważań możemy zapisać wyrażenie (21) w bardziej ogólnej formie:
gdzie znak minus odnosi się do przypadku ładunku ujemnego, a znak plus do przypadku ładunku dodatniego
Jeżeli pole tworzy kilka ładunków, to jego potencjał jest równy algebraicznej sumie potencjałów pola wszystkich tych ładunków (potencjał jest wielkością skalarną: stosunkiem pracy do ładunku). Dlatego potencjał pola dowolnego naładowanego układu można obliczyć na podstawie podanych wcześniej wzorów, po wcześniejszym podzieleniu układu na duża liczba opłaty punktowe.
Praca przemieszczania ładunku w polu elektrycznym, podobnie jak praca poruszania się masy w polu grawitacyjnym, nie zależy od kształtu toru, lecz zależy jedynie od różnicy potencjałów pomiędzy punktem początkowym i końcowym toru. W związku z tym siły elektryczne są siłami potencjalnymi (patrz § 17). Powierzchnię we wszystkich punktach, której potencjał jest taki sam, nazywamy ekwipotencjalną. Ze wzoru (22) wynika, że praca przemieszczania ładunku po powierzchni ekwipotencjalnej wynosi zero (oznacza to bowiem, że siły pola elektrycznego są skierowane prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnych, czyli linie pola są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych (rys. 159).
Praca elementarna wykonana przez siłę F podczas przesuwania punktu ładunek elektryczny z jednego punktu pola elektrostatycznego do drugiego wzdłuż odcinka ścieżki, z definicji, jest równe
gdzie jest kątem między wektorem siły F a kierunkiem ruchu. Jeżeli pracę wykonują siły zewnętrzne, to dA0. Całkując ostatnie wyrażenie, otrzymujemy, że praca sił pola podczas przemieszczania ładunku próbnego z punktu „a” do punktu „b” będzie równa
gdzie jest siła Coulomba działająca na ładunek próbny w każdym punkcie pola o natężeniu E. Następnie praca
Niech ładunek przemieszcza się w polu ładunku q od punktu „a”, odległego od q na odległość, do punktu „b”, odległego od q na odległość (ryc. 1.12).
Jak widać na rysunku, otrzymujemy
Jak wspomniano powyżej, praca sił pola elektrostatycznego wykonywana przeciwko siłom zewnętrznym jest równa co do wielkości i przeciwna do znaku pracy sił zewnętrznych, zatem
Energia potencjalna ładunku w polu elektrycznym. Praca wykonywana przez siły pola elektrycznego podczas przemieszczania dodatniego ładunku punktowego Q z pozycji 1 do pozycji 2 wyobraźmy sobie to jako zmianę energii potencjalnej tego ładunku: 
,
Gdzie W p1 i W p2 – potencjalne energie ładunków Q w pozycjach 1 i 2. Przy niewielkim ruchu ładunku Q w polu utworzonym przez dodatni ładunek punktowy Q, zmiana energii potencjalnej wynosi
.
Podczas ostatniego ruchu ładowania Q z pozycji 1 do pozycji 2, rozmieszczone w odległościach R 1 i R 2 z opłaty Q,
Jeżeli pole jest tworzone przez system opłat punktowych Q 1 ,Q 2 ¼, Q n , to zmiana energii potencjalnej ładunku Q w tym polu:
.
Podane wzory pozwalają nam znaleźć tylko zmiana energia potencjalna ładunku punktowego Q, a nie sama energia potencjalna. Aby określić energię potencjalną, należy uzgodnić, w którym punkcie pola należy ją uznać za równą zeru. Dla energii potencjalnej ładunku punktowego Q znajduje się w polu elektrycznym wytworzonym przez inny ładunek punktowy Q, otrzymujemy
,
Gdzie C– dowolna stała. Niech energia potencjalna będzie wynosić zero w nieskończenie dużej odległości od ładunku Q(Na R® ¥), następnie stała C= 0 i poprzednie wyrażenie przyjmuje postać
W tym przypadku energię potencjalną definiuje się jako praca polegająca na przeniesieniu ładunku przez siły polowe z danego punktu do nieskończenie odległego.W przypadku pola elektrycznego wytworzonego przez układ ładunków punktowych, energia potencjalna ładunku Q:
.
Energia potencjalna układu ładunków punktowych. W przypadku pola elektrostatycznego energia potencjalna służy jako miara wzajemnego oddziaływania ładunków. Niech w przestrzeni będzie istniał system ładunków punktowych Qi(I = 1, 2, ... ,N). Energia interakcji wszystkich N opłaty będą ustalane na podstawie relacji
,
Gdzie r ij - odległość pomiędzy odpowiednimi ładunkami, a sumowanie przeprowadza się w taki sposób, aby oddziaływanie pomiędzy każdą parą ładunków było brane pod uwagę jednokrotnie.
Potencjał pola elektrostatycznego. Konserwatywne pole siłowe można opisać nie tylko funkcją wektorową, ale równoważny opis tego pola można uzyskać wyznaczając w każdym jego punkcie odpowiednią ilość skalarna. W przypadku pola elektrostatycznego wielkość ta wynosi potencjał pola elektrostatycznego, zdefiniowany jako stosunek energii potencjalnej ładunku próbnego Q do wielkości tego ładunku, j = W P / Q, z czego wynika, że potencjał jest liczbowo równy energii potencjalnej, jaką posiada jednostkowy ładunek dodatni w danym punkcie pola. Jednostką miary potencjału jest wolt (1 V).
Potencjał pola ładunku punktowego Q w jednorodnym ośrodku izotropowym o stałej dielektrycznej e:
Zasada superpozycji. Potencjał jest funkcją skalarną i obowiązuje dla niej zasada superpozycji. Tak więc dla potencjału pola układu ładunków punktowych Q 1, Q 2 ¼, Q rz mamy
,
Gdzie r ja- odległość punktu pola o potencjale j od ładunku Qi. Jeśli ładunek jest arbitralnie rozłożony w przestrzeni, to
,
Gdzie R- odległość od objętości elementarnej d X,D y,D z wskazać ( X, y, z), gdzie określa się potencjał; V- objętość przestrzeni, w której rozmieszczony jest ładunek.
Potencjał i praca sił pola elektrycznego. Na podstawie definicji potencjału można wykazać, że praca wykonana przez pole elektryczne działa podczas przemieszczania ładunku punktowego Q z jednego punktu pola do drugiego jest równy iloczynowi wielkości tego ładunku i różnicy potencjałów w początkowym i końcowym punkcie ścieżki, A = q(j 1 - jot 2).
Jeżeli przez analogię do energia potencjalna załóżmy, że w punktach nieskończenie odległych od ładunków elektrycznych – źródeł pola potencjał wynosi zero, wówczas praca sił pola elektrycznego podczas przemieszczania ładunku Q od punktu 1 do nieskończoności można przedstawić jako A ¥ = Q j 1 .
Zatem potencjał w danym punkcie pola elektrostatycznego wynosi wielkość fizyczna liczbowo równa pracy wykonanej przez siły pola elektrycznego podczas przemieszczania jednostkowego dodatniego ładunku punktowego z danego punktu pola do nieskończenie odległego: j = A ¥ / Q.
W niektórych przypadkach potencjał pola elektrycznego jest jaśniej zdefiniowany jako wielkość fizyczna liczbowo równa działaniu sił zewnętrznych na siły pola elektrycznego podczas przemieszczania jednostkowego dodatniego ładunku punktowego od nieskończoności do ten punkt
. Wygodnie jest zapisać ostatnią definicję w następujący sposób:
W nowoczesna nauka i technologii, zwłaszcza przy opisie zjawisk zachodzących w mikrokosmosie, jednostce pracy i energii zwanej elektronowolt(eV). Jest to praca wykonana podczas przemieszczania ładunku równego ładunkowi elektronu między dwoma punktami o różnicy potencjałów 1 V: 1 eV = 1,60 × 10 -19 C × 1 V = 1,60 × 10 -19 J.
Metoda ładowania punktowego.
Przykłady zastosowania metody obliczania natężenia i potencjału pola elektrostatycznego.
Będziemy szukać siły pola elektrostatycznego, jakie jest jego natężenie charakterystyka mocy i jaki to jest potencjał charakterystyka energetyczna pola.
Praca przeniesienia pojedynczego punktu dodatniego ładunku elektrycznego z jednego punktu pola do drugiego wzdłuż osi x, pod warunkiem, że punkty są położone odpowiednio blisko siebie i x 2 -x 1 = dx, jest równa E x dx. Ta sama praca jest równa φ 1 -φ 2 =dφ. Przyrównując oba wzory, piszemy 
(1)
gdzie symbol pochodnej cząstkowej podkreśla, że różniczkowanie przeprowadza się tylko względem x. Powtarzając te argumenty dla osi y i z, znajdujemy wektor mi: 
Gdzie I, J, k- wektory jednostkowe osie współrzędnych x, y, z.
Z definicji gradientu wynika, że
lub 2)
czyli napięcie mi pole jest równe gradientowi potencjału ze znakiem minus. Znak minus wskazuje, że wektor napięcia mi pola skierowane do stronie malejącego potencjału.
Aby graficznie przedstawić rozkład potencjału pola elektrostatycznego, podobnie jak w przypadku pola grawitacyjnego, należy zastosować powierzchnie ekwipotencjalne- powierzchnie we wszystkich punktach, których potencjał φ ma tę samą wartość.
Jeżeli pole jest utworzone przez ładunek punktowy, to jego potencjał, zgodnie ze wzorem na potencjał pola ładunku punktowego, wynosi φ=(1/4πε 0)Q/r. Zatem powierzchnie ekwipotencjalne w tym przypadku są koncentryczne kule o środku w punkcie ładunku. Należy również zauważyć, że linie napięcia w przypadku ładunku punktowego są promieniowymi liniami prostymi. Oznacza to, że linie napięcia w przypadku ładunku punktowego prostopadły powierzchnie ekwipotencjalne.
Linie naprężenia są zawsze prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych. W rzeczywistości wszystkie punkty powierzchni ekwipotencjalnej mają ten sam potencjał dlatego praca przemieszczania ładunku wzdłuż tej powierzchni wynosi zero, tj. siły elektrostatyczne działające na ładunek są zawsze skierowane prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnych. Zatem wektor mi zawsze prostopadle do powierzchni ekwipotencjalnych, a zatem linie wektorów mi prostopadle do tych powierzchni.
Wokół każdego ładunku i każdego układu ładunków można narysować nieskończoną liczbę powierzchni ekwipotencjalnych. Ale zwykle przeprowadza się je w taki sposób, aby różnice potencjałów między dowolnymi dwiema sąsiednimi powierzchniami ekwipotencjalnymi były sobie równe. Wówczas gęstość powierzchni ekwipotencjalnych wyraźnie charakteryzuje natężenie pola w różnych punktach. Tam, gdzie te powierzchnie są gęstsze, natężenie pola jest większe.
Oznacza to, że znając położenie linii natężenia pola elektrostatycznego, możemy narysować powierzchnie ekwipotencjalne i odwrotnie, korzystając z położenia znanych nam powierzchni ekwipotencjalnych, możemy znaleźć kierunek i wielkość natężenia pola w każdym punkcie pole. Na ryc. Na rysunku 1 przedstawiono przykładowo postać linii napięcia (linie przerywane) i powierzchni ekwipotencjalnych (linie ciągłe) pól dodatniego ładunku elektrycznego (a) oraz naładowanego metalowego cylindra, który na jednym końcu ma występ i depresja z drugiej strony (b).
Twierdzenie Gaussa.
Przepływ wektora napięcia. Twierdzenie Gaussa. Zastosowanie twierdzenia Gaussa do obliczania pól elektrostatycznych.
Przepływ wektora napięcia.
Liczba linii wektora E przechodzących przez jakąś powierzchnię S nazywana jest strumieniem wektora natężenia N E .
Aby obliczyć strumień wektora E, należy podzielić obszar S na elementarne obszary dS, w obrębie których pole będzie jednorodne (rys. 13.4).
Przepływ napięcia przez taki elementarny obszar będzie z definicji równy (rys. 13.5).
gdzie jest kątem między linią pola a normalną do miejsca dS; - rzut pola dS na płaszczyznę prostopadłą do linii sił. Wtedy strumień natężenia pola przez całą powierzchnię miejsca S będzie równy
Rozwiń całą objętość zawartą w powierzchni S na elementarne kostki typu pokazanego na ryc. 2.7. Ściany wszystkich sześcianów można podzielić na zewnętrzne, pokrywające się z powierzchnią S i wewnętrzne, graniczące tylko z sąsiednimi kostkami. Zróbmy kostki tak małe, aby zewnętrzne krawędzie dokładnie odwzorowywały kształt powierzchni. Wektor przepływu A przez powierzchnię każdego elementarnego sześcianu jest równa
,
i całkowity przepływ przez wszystkie kostki wypełniające objętość V, Jest
 | (2.16) |
Rozważmy sumę przepływów uwzględnioną w ostatnim wyrażeniu D F przez każdą z elementarnych kostek. Oczywiście w tej sumie przepływ wektora A przejdzie dwukrotnie przez każdą z wewnętrznych krawędzi.
Następnie całkowity strumień przez powierzchnię S=S 1 +S 2 będzie równa sumie strumieni tylko przez zewnętrzne krawędzie, ponieważ suma strumieni przez wewnętrzną krawędź da zero. Przez analogię możemy stwierdzić, że wszystkie wyrazy sumy związane ze ścianami wewnętrznymi po lewej stronie wyrażenia (2.16) zostaną anulowane. Następnie przechodząc od sumowania do całkowania, ze względu na elementarną wielkość sześcianów, otrzymujemy wyrażenie (2.15), gdzie całkowanie odbywa się po powierzchni ograniczającej objętość.
Zgodnie z twierdzeniem Ostrogradskiego-Gaussa zastąpmy całkę powierzchniową w (2.12) całką objętościową
i wyobraź sobie całkowity ładunek jako całkę gęstości objętościowej przez objętość
Otrzymujemy wówczas następujące wyrażenie
Otrzymana zależność musi być spełniona dla dowolnej dowolnie wybranej objętości V. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy wartości funkcji całkowych w każdym punkcie objętości są takie same. Wtedy będziemy mogli pisać
 | (2.17) |
Ostatnim wyrażeniem jest twierdzenie Gaussa w postaci różniczkowej.
1. Pole równomiernie naładowanej nieskończonej płaszczyzny. Nieskończona płaszczyzna jest naładowana stałą gęstość powierzchniowa+σ (σ = dQ/dS - ładunek na jednostkę powierzchni). Linie napięcia są prostopadłe do tej płaszczyzny i skierowane od niej w każdym kierunku. Za zamkniętą powierzchnię weźmy walec, którego podstawy są równoległe do płaszczyzny naładowanej, a oś jest do niej prostopadła. Ponieważ tworzące cylindra są równoległe do linii natężenia pola (cosα = 0), strumień wektora natężenia przez powierzchnię boczną cylindra wynosi zero, a całkowity strumień przez cylinder jest równy sumie strumienie przez jego podstawy (pola podstaw są równe, a dla podstawy E n pokrywa się z E), tj. równe 2ES. Ładunek zawarty wewnątrz zbudowanej powierzchni cylindrycznej jest równy σS. Zgodnie z twierdzeniem Gaussa, 2ES=σS/ε 0, skąd
Ze wzoru (1) wynika, że E nie zależy od długości cylindra, tj. natężenie pola w dowolnej odległości jest równe co do wielkości, innymi słowy pole płaszczyzny naładowanej równomiernie jednorodnie.
2. Pole dwóch nieskończonych równoległych, przeciwnie naładowanych płaszczyzn(ryc. 2). Niech płaszczyzny będą naładowane równomiernie ładunkami o różnych znakach i gęstościach powierzchniowych +σ i –σ. Pola takich płaszczyzn będziemy szukać jako superpozycji pól, które tworzy każda z płaszczyzn z osobna. Na rysunku górne strzałki odpowiadają polu z płaszczyzny naładowanej dodatnio, dolne - z płaszczyzny naładowanej ujemnie. Po lewej i prawej stronie pola pola odejmuje się płaszczyzny (ponieważ linie natężenia są skierowane ku sobie), co oznacza, że tutaj natężenie pola wynosi E = 0. W obszarze pomiędzy płaszczyznami E = E + + E - (E + i E - znajdują się według wzoru (1)), stąd powstałe napięcie
Oznacza to, że wynikowe natężenie pola w obszarze pomiędzy płaszczyznami opisuje zależność (2), a poza objętością ograniczoną płaszczyznami jest równe zeru.
3. Pole równomiernie naładowanej powierzchni kulistej. Kulista powierzchnia o promieniu R z całkowitym ładunkiem Q jest naładowana równomiernie gęstość powierzchniowa+σ. Ponieważ Ładunek rozkłada się równomiernie na powierzchni, a wytwarzane przez niego pole ma symetrię kulistą. Oznacza to, że linie naprężenia są skierowane promieniowo (rys. 3). Narysujmy w myślach kulę o promieniu r, która ma wspólny środek z naładowaną kulą. Jeżeli r>R,ro cały ładunek Q przedostaje się do powierzchni, co tworzy rozpatrywane pole i zgodnie z twierdzeniem Gaussa 4πr 2 E = Q/ε 0, skąd
(3)
Dla r>R pole maleje wraz z odległością r zgodnie z tym samym prawem, co w przypadku ładunku punktowego. Zależność E od r pokazano na ryc. 4. Jeśli r” Oznacza to, że natężenie pola na zewnątrz równomiernie naładowanej kuli opisuje wzór (3), a wewnątrz zmienia się liniowo wraz z odległością r” zgodnie z zależnością (4). Wykres zależności E od r dla rozpatrywanego przypadku pokazano na rys. 5. Jeśli R Dipole elektryczne. Charakterystyka dipola elektrycznego. Pole dipolowe. Dipol w polu elektrycznym. Zbiór dwóch jednakowych co do wielkości przeciwnych ładunków punktowych q, znajdujących się w pewnej odległości od siebie, małej w porównaniu z odległością do rozpatrywanego punktu pola, nazywany jest dipolem elektrycznym (ryc. 13.1). Produkt nazywa się momentem dipolowym. Linię prostą łączącą ładunki nazywamy osią dipola. Zwykle uważa się, że moment dipolowy jest skierowany wzdłuż osi dipola w kierunku ładunku dodatniego. Kiedy ładunek porusza się w polu elektrostatycznym, działając Przy elementarnym ruchu ładunku d l, ta siła działa, gdzie a jest kątem między wektorami i. Wartość re l cosa=dr jest rzutem wektora na kierunek siły. Zatem dA=Fdr, . Całkowitą pracę przeniesienia ładunku z punktu C do B wyznacza całka, gdzie r 1 i r 2 to odległości ładunku q do punktów C i B. Z otrzymanego wzoru wynika, że praca wykonana podczas przemieszczania ładunku ładunek elektryczny q 0 w polu ładunku punktowego q, nie zależy od kształtu ścieżki ruchu, ale zależy jedynie od początkowych i końcowych punktów ruchu.
Pole spełniające ten warunek jest potencjałem. Dlatego pole elektrostatyczne ładunku punktowego wynosi potencjał, a działające w nim siły są konserwatywny. Jeżeli ładunki q i q 0 mają ten sam znak, to działanie sił odpychających będzie dodatnie, gdy się oddalą, i ujemne, gdy się zbliżą. Jeżeli ładunki q i q 0 są przeciwne, to działanie sił przyciągających będzie dodatnie, gdy się one zbliżą, i ujemne, gdy się od siebie oddalą. Niech pole elektrostatyczne, w którym porusza się ładunek q 0, będzie tworzone przez układ ładunków q 1, q 2,...,q n. W rezultacie na q 0 działają niezależne siły ,
których wynik jest równy ich sumie wektorów. Praca A siły wypadkowej jest równa sumie algebraicznej pracy sił składowych, gdzie ri 1 i ri 2 są początkową i końcową odległością ładunków q i oraz q 0.
5. Pole równomiernie naładowanego nieskończonego cylindra (nici). Nieskończony walec o promieniu R (rys. 6) jest równomiernie naładowany gęstość liniowaτ (τ = –dQ/dt ładunek na jednostkę długości). Z rozważań na temat symetrii widzimy, że linie naprężenia będą skierowane wzdłuż promieni okrągłych odcinków cylindra z jednakową gęstością we wszystkich kierunkach względem osi cylindra. Skonstruujmy w myślach współosiowy walec o promieniu r i wysokości jako zamkniętą powierzchnię l. Wektor przepływu mi przez końce współosiowego walca jest równe zeru (końce i linie naprężenia są równoległe), a przez powierzchnię boczną jest równe 2πr l E. Korzystając z twierdzenia Gaussa, dla r>R 2πr l mi = τ l/ε 0, skąd
