Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu: pojęcie i wzory. Siły odśrodkowe i dośrodkowe. Przyspieszenie dośrodkowe - wyprowadzenie wzoru i zastosowanie praktyczne Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu

Ponieważ prędkość liniowa równomiernie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać ruchem jednostajnym, jest on jednakowo przyspieszany.

Prędkość kątowa

Wybierzmy punkt na okręgu 1 . Zbudujmy promień. W jednostce czasu punkt przesunie się do punktu 2 . W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.

Okres i częstotliwość

Okres rotacji T- to czas, w którym organizm dokonuje jednego obrotu.

Częstotliwość obrotów to liczba obrotów na sekundę.

Częstotliwość i okres są ze sobą powiązane zależnością

Związek z prędkością kątową

Prędkość liniowa

Każdy punkt na okręgu porusza się z określoną prędkością. Prędkość ta nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry spod szlifierki poruszają się, powtarzając kierunek prędkości chwilowej.

Rozważmy punkt na okręgu, który wykonuje jeden obrót, czas spędzony na nim to okres T Droga, którą przebywa punkt, to obwód.

Przyspieszenie dośrodkowe

Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany w stronę środka okręgu.

Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności

Punkty leżące na tej samej linii prostej wychodzącej ze środka okręgu (na przykład mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały te same prędkości kątowe, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej będzie się poruszał.

Prawo dodawania prędkości obowiązuje także w przypadku ruchu obrotowego. Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest równomierny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Przykładowo, prędkość osoby idącej wzdłuż krawędzi obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości człowieka.

Ziemia uczestniczy w dwóch głównych ruchach obrotowych: dobowym (wokół własnej osi) i orbitalnym (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równika a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.

Zgodnie z drugim prawem Newtona przyczyną przyspieszenia jest siła. Jeśli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, wówczas charakter sił powodujących to przyspieszenie może być inny. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, wówczas działającą siłą jest siła sprężystości.

Jeśli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taka siła jest siłą tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało będzie nadal poruszać się po linii prostej

Rozważmy ruch punktu na okręgu z A do B. Prędkość liniowa jest równa

Przejdźmy teraz do systemu stacjonarnego połączonego z ziemią. Całkowite przyspieszenie punktu A pozostanie takie samo zarówno pod względem wielkości, jak i kierunku, ponieważ podczas przemieszczania się z jednego inercjalnego układu odniesienia do drugiego przyspieszenie się nie zmienia. Z punktu widzenia nieruchomego obserwatora trajektoria punktu A nie jest już okręgiem, ale bardziej złożoną krzywą (cykloidą), po której punkt porusza się nierównomiernie.

W naturze ruchy ciała często odbywają się po zakrzywionych liniach. Prawie każdy ruch krzywoliniowy można przedstawić jako sekwencję ruchów po łukach kołowych. Ogólnie rzecz biorąc, podczas poruszania się po okręgu prędkość ciała zmienia się jako W rozmiarze, tak i w kierunku.

Jednolity ruch po okręgu

Ruch po okręgu nazywa się ruchem jednostajnym, jeśli prędkość pozostaje stała.

Zgodnie z trzecim prawem Newtona każde działanie powoduje jednakową i przeciwną reakcję. Siłie dośrodkowej, z jaką połączenie działa na ciało, przeciwdziała siła o równej wielkości i przeciwnie skierowanej sile, z jaką ciało działa na połączenie. Ta moc F 6 zwany odśrodkowy, ponieważ jest skierowany promieniowo od środka okręgu. Siła odśrodkowa jest równa sile dośrodkowej:

Przykłady

Rozważmy przypadek, w którym sportowiec obraca wokół głowy przedmiot przywiązany do końca sznurka. Sportowiec czuje siłę przyłożoną do ramienia i ciągnącą ją na zewnątrz. Aby przytrzymać przedmiot na okręgu, zawodnik (za pomocą nitki) ciągnie go do wewnątrz. Dlatego zgodnie z trzecim prawem Newtona przedmiot (ponownie przez nitkę) działa na rękę z równą i przeciwną siłą i jest to siła odczuwana przez rękę sportowca (ryc. 3.23). Siła działająca na przedmiot to wewnętrzne napięcie nici.

Inny przykład: na sprzęt sportowy typu „młotek” oddziałuje linka trzymana przez sportowca (ryc. 3.24).

Przypomnijmy, że siła odśrodkowa działa nie na obracający się korpus, ale na nić. Jeśli zadziałała siła odśrodkowa na ciele wówczas, jeśli nić się zerwie, odleci promieniowo od środka, jak pokazano na ryc. 3.25, a. Jednak w rzeczywistości, gdy nić się zrywa, ciało zaczyna poruszać się stycznie (ryc. 3.25, b) w kierunku prędkości, jaką miał w momencie zerwania nici.

Siły odśrodkowe są szeroko stosowane.

Wirówka to urządzenie przeznaczone do szkolenia i testowania pilotów, sportowców i astronautów. Duży promień (do 15 m) i duża moc silnika (kilka MW) pozwalają na wytworzenie przyspieszenia dośrodkowego dochodzącego do 400 m/s 2 . Siła odśrodkowa naciska na ciała z siłą przekraczającą normalną siłę grawitacji na Ziemi ponad 40 razy. Osoba może wytrzymać chwilowe przeciążenie 20-30 razy, jeśli leży prostopadle do kierunku siły odśrodkowej i 6 razy, jeśli leży wzdłuż kierunku tej siły.

3.8. Elementy opisu ruchu człowieka

Ruchy człowieka są złożone i trudne do opisania. Jednak w wielu przypadkach możliwe jest zidentyfikowanie znaczących punktów, które odróżniają jeden rodzaj ruchu od drugiego. Rozważmy na przykład różnicę między bieganiem a chodzeniem.

Elementy ruchów krokowych podczas chodzenia pokazano na ryc. 3.26. Podczas chodzenia każda noga na zmianę podtrzymuje i niesie. Okres podparcia obejmuje amortyzację (hamowanie ruchu ciała w kierunku podpory) i odpychanie, natomiast okres przeniesienia obejmuje przyspieszanie i hamowanie.

Kolejność ruchów ciała człowieka i jego nóg podczas chodzenia pokazano na ryc. 3,27.

Linie A i B zapewniają wysokiej jakości obraz ruchu stóp podczas chodzenia. Górna linia A odnosi się do jednej nogi, dolna linia B do drugiej. Sekcje proste odpowiadają momentom podparcia stopy na podłożu, odcinki łukowe odpowiadają momentom ruchu stóp. Przez pewien czas: a) obie stopy spoczywają na ziemi; Następnie (B)- noga A jest w powietrzu, noga B nadal się opiera; i wtedy (Z)- ponownie obie nogi spoczywają na ziemi. Im szybciej idziesz, tym krótsze stają się interwały. (A I Z).

Na ryc. Rysunek 3.28 przedstawia sekwencyjne ruchy ciała człowieka podczas biegu oraz graficzną reprezentację ruchów stóp. Jak widać na rysunku, podczas biegu występują interwały czasowe { B, D, /), gdy obie nogi są w powietrzu i nie ma przerw pomiędzy nogami jednocześnie dotykającymi ziemi. Na tym polega różnica pomiędzy bieganiem a chodzeniem.

Innym powszechnym rodzajem ruchu jest odpychanie podpory podczas różnych skoków. Odpychanie się odbywa się poprzez wyprostowanie nogi pchającej oraz ruchy wahadłowe ramion i tułowia. Zadaniem odpychania jest zapewnienie maksymalnej wartości wektora prędkości początkowej ogólnego środka masy sportowca i jego optymalnego kierunku. Na ryc. Pokazano 3,29 faz

\ Rozdział 4

DYNAMIKA JAZDYPUNKT MATERIAŁOWY

Dynamika to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu ciała z uwzględnieniem jego interakcji z innymi ciałami.

W części „Kinematyka” zostały wprowadzone pojęcia prędkość I przyśpieszenie punkt materialny. W przypadku ciał rzeczywistych pojęcia te wymagają wyjaśnienia, ponieważ dla różnych prawdziwe punkty ciała te cechy ruchu mogą się różnić. Na przykład zakrzywiona piłka nożna nie tylko porusza się do przodu, ale także się obraca. Punkty obracającego się ciała poruszają się z różnymi prędkościami. Z tego powodu w pierwszej kolejności rozważana jest dynamika punktu materialnego, a następnie uzyskane wyniki przekładane są na ciała rzeczywiste.

Ponieważ prędkość liniowa równomiernie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać ruchem jednostajnym, jest on jednakowo przyspieszany.

Prędkość kątowa

Okres i częstotliwość

Okres rotacji T- to czas, w którym organizm dokonuje jednego obrotu.

Częstotliwość obrotów to liczba obrotów na sekundę.

Częstotliwość i okres są ze sobą powiązane zależnością

Związek z prędkością kątową

Prędkość liniowa

Rozważmy punkt na okręgu, który wykonuje jeden obrót, czas spędzony na nim to okres T. Droga, którą przebywa punkt, to obwód.

Przyspieszenie dośrodkowe

Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do wektora prędkości i skierowany w stronę środka okręgu.

Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności

Rozważmy ruch punktu na okręgu z A do B. Prędkość liniowa jest równa w A I przeciwko B odpowiednio. Przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Znajdźmy różnicę między wektorami.

Źródło pracy: Decyzja 3553.-20. OGE 2016 Matematyka, I.V. Jaszczenko. 36 opcji.

Zadanie 18. Schemat przedstawia rozkład gruntów według kategorii w okręgach federalnych Uralu, Wołgi, Południa i Dalekiego Wschodu. Na podstawie diagramu określ, w której gminie jest najmniejszy udział użytków rolnych.

1) Uralski Okręg Federalny

2) Okręg Federalny Wołgi

3) Południowy Okręg Federalny

4) Dalekowschodni Okręg Federalny

Rozwiązanie.

Grunty rolne są oznaczone sektorem w postaci poziomych linii (patrz rysunek). Musisz wybrać dzielnicę, w której powierzchnia takiego sektora jest minimalna. Analiza rysunku pokazuje, że jest to Dalekowschodni Okręg Federalny.

Odpowiedź: 4.

Zadanie 19. Babcia ma 20 filiżanek: 10 z czerwonymi kwiatami, reszta z niebieskimi. Babcia nalewa herbatę do losowo wybranej filiżanki. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie to kubek z niebieskimi kwiatami.

Rozwiązanie.

Ponieważ jest dokładnie 20-10 = 10 filiżanek z niebieskimi kwiatami, a w sumie jest 20 filiżanek, to prawdopodobieństwo wybrania losowo kubka z niebieskimi kwiatami będzie równe

Odpowiedź: 0,5.

Zadanie 20. Przyspieszenie dośrodkowe podczas poruszania się po okręgu (w m/s2) można obliczyć ze wzoru a=w^2*R gdzie w to prędkość kątowa (w s-1), a R to promień okręgu. Korzystając z tego wzoru, znajdź promień R (w metrach), jeśli prędkość kątowa wynosi 7,5 s-1, a przyspieszenie dośrodkowe wynosi 337,5 m/s2.

Rozwiązanie.

Ze wzoru wyrażamy promień okręgu, otrzymujemy:

i obliczyć to, podstawiając dane , , do wzoru, który mamy.

Pozwala nam istnieć na tej planecie. Jak możemy zrozumieć, czym jest przyspieszenie dośrodkowe? Poniżej przedstawiono definicję tej wielkości fizycznej.

Obserwacje

Najprostszy przykład przyspieszenia ciała poruszającego się po okręgu można zaobserwować obracając kamień na linie. Ciągniesz linę, a lina ciągnie kamień w stronę środka. W każdym momencie lina powoduje pewien ruch kamienia i za każdym razem w innym kierunku. Możesz sobie wyobrazić ruch liny jako serię słabych szarpnięć. Szarpnięcie - i lina zmienia kierunek, kolejne szarpnięcie - kolejna zmiana i tak dalej w kółko. Jeśli nagle puścisz linę, szarpnięcie ustanie, a wraz z nim ustanie zmiana kierunku prędkości. Kamień przesunie się w kierunku stycznym do okręgu. Powstaje pytanie: „Z jakim przyspieszeniem będzie się poruszać ciało w tej chwili?”

Wzór na przyspieszenie dośrodkowe

Przede wszystkim warto zauważyć, że ruch ciała po okręgu jest złożony. Kamień uczestniczy jednocześnie w dwóch rodzajach ruchu: pod wpływem siły porusza się w kierunku środka obrotu i jednocześnie po stycznej do okręgu oddalając się od tego środka. Zgodnie z Drugim Prawem Newtona siła utrzymująca kamień na linie jest skierowana w stronę środka obrotu wzdłuż liny. Tam również będzie skierowany wektor przyspieszenia.

Załóżmy, że po pewnym czasie t nasz kamień, poruszając się ruchem jednostajnym z prędkością V, przemieszcza się z punktu A do punktu B. Załóżmy, że w chwili, gdy ciało przekroczyło punkt B, siła dośrodkowa przestała na niego działać. Następnie po pewnym czasie dotarłby do punktu K. Leży na stycznej. Gdyby w tym samym momencie na ciało działały tylko siły dośrodkowe, to w czasie t, poruszając się z tym samym przyspieszeniem, znalazłoby się ono w punkcie O, który leży na prostej odpowiadającej średnicy koła. Obydwa odcinki są wektorami i podlegają zasadzie dodawania wektorów. W wyniku zsumowania tych dwóch ruchów w czasie t otrzymujemy wynikowy ruch po łuku AB.

Jeśli przyjmiemy, że przedział czasu t jest pomijalnie mały, to łuk AB będzie niewiele różnił się od cięciwy AB. W ten sposób możliwe jest zastąpienie ruchu po łuku ruchem po cięciwie. W takim przypadku ruch kamienia wzdłuż cięciwy będzie zgodny z prawami ruchu prostoliniowego, to znaczy przebyta odległość AB będzie równa iloczynowi prędkości kamienia i czasu jego ruchu. AB = V x t.

Oznaczmy pożądane przyspieszenie dośrodkowe literą a. Wówczas drogę przebytą wyłącznie pod wpływem przyspieszenia dośrodkowego można obliczyć korzystając ze wzoru na ruch jednostajnie przyspieszony:

Odległość AB jest równa iloczynowi prędkości i czasu, czyli AB = V x t,

AO – obliczone wcześniej ze wzoru na ruch jednostajnie przyspieszony dla ruchu po linii prostej: AO = przy 2/2.

Podstawiając te dane do wzoru i przekształcając go, otrzymujemy prosty i elegancki wzór na przyspieszenie dośrodkowe:

Słownie można to wyrazić w następujący sposób: przyspieszenie dośrodkowe ciała poruszającego się po okręgu jest równe ilorazowi prędkości liniowej do kwadratu przez promień okręgu, wzdłuż którego ciało się obraca. Siła dośrodkowa w tym przypadku będzie wyglądać jak na obrazku poniżej.

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa jest równa prędkości liniowej podzielonej przez promień okręgu. Prawdziwe jest również stwierdzenie odwrotne: V = ωR, gdzie ω jest prędkością kątową

Jeśli podstawimy tę wartość do wzoru, możemy otrzymać wyrażenie na przyspieszenie odśrodkowe dla prędkości kątowej. Będzie to wyglądać tak:

Przyspieszenie bez zmiany prędkości

A jednak dlaczego ciało z przyspieszeniem skierowanym do środka nie porusza się szybciej i nie zbliża się do środka obrotu? Odpowiedź leży w samym sformułowaniu przyspieszenia. Fakty pokazują, że ruch po okręgu jest rzeczywisty, jednak aby go utrzymać potrzebne jest przyspieszenie skierowane w stronę środka. Pod wpływem siły wywołanej tym przyspieszeniem następuje zmiana wielkości ruchu, w wyniku czego trajektoria ruchu jest stale zakrzywiona, cały czas zmieniając kierunek wektora prędkości, ale bez zmiany jego wartości bezwzględnej . Poruszając się po okręgu, nasz cierpliwy kamień wpada do środka, w przeciwnym razie nadal poruszałby się stycznie. W każdej chwili, poruszając się stycznie, kamień przyciągany jest do środka, ale nie wpada w niego. Innym przykładem przyspieszenia dośrodkowego może być narciarz wodny wykonujący małe kółka na wodzie. Postać sportowca jest pochylona; wydaje się, że spada, kontynuując ruch i pochylając się do przodu.

Możemy zatem stwierdzić, że przyspieszenie nie zwiększa prędkości ciała, ponieważ wektory prędkości i przyspieszenia są do siebie prostopadłe. Dodane do wektora prędkości przyspieszenie zmienia jedynie kierunek ruchu i utrzymuje ciało na orbicie.

Przekroczenie współczynnika bezpieczeństwa

W poprzednim eksperymencie mieliśmy do czynienia z liną idealną, która nie pękła. Ale powiedzmy, że nasza lina jest najzwyklejsza i można nawet obliczyć siłę, po której po prostu się zerwie. Aby obliczyć tę siłę, wystarczy porównać wytrzymałość liny z obciążeniem, któremu podlega podczas obrotu kamienia. Obracając kamień z większą prędkością, nadajesz mu większy ruch, a co za tym idzie, większe przyspieszenie.

Przy średnicy liny jutowej około 20 mm jej wytrzymałość na rozciąganie wynosi około 26 kN. Warto zauważyć, że długość liny nie pojawia się nigdzie. Obracając ładunek o masie 1 kg na linie o promieniu 1 m, możemy obliczyć, że prędkość liniowa potrzebna do jej zerwania wynosi 26 x 10 3 = 1 kg x V 2 / 1 m. Zatem prędkość, która jest niebezpieczna dla przekroczenie będzie równe √ 26 x 10 3 = 161 m/s.

Powaga

Rozważając eksperyment, pominęliśmy wpływ grawitacji, gdyż przy tak dużych prędkościach jego wpływ jest znikomy. Można jednak zauważyć, że podczas rozwijania długiej liny ciało porusza się po bardziej złożonej trajektorii i stopniowo zbliża się do ziemi.

Ciała niebieskie

Jeśli przeniesiemy prawa ruchu kołowego w przestrzeń i zastosujemy je do ruchu ciał niebieskich, możemy na nowo odkryć kilka dobrze znanych wzorów. Na przykład siłę, z jaką ciało przyciągane jest do Ziemi, opisujemy ze wzoru:

W naszym przypadku współczynnik g jest tym samym przyspieszeniem dośrodkowym, które obliczono z poprzedniego wzoru. Tylko w tym przypadku rolę kamienia będzie pełnić ciało niebieskie przyciągane do Ziemi, a rolę liny będzie pełnić siła grawitacji. Współczynnik g będzie wyrażony jako promień naszej planety i jej prędkość obrotowa.

Wyniki

Istotą przyspieszenia dośrodkowego jest ciężka i niewdzięczna praca polegająca na utrzymaniu poruszającego się ciała na orbicie. Paradoksalny przypadek występuje, gdy ciało przy stałym przyspieszeniu nie zmienia wartości swojej prędkości. Dla niewytrenowanego umysłu takie stwierdzenie jest dość paradoksalne. Niemniej jednak zarówno przy obliczaniu ruchu elektronu wokół jądra, jak i przy obliczaniu prędkości obrotu gwiazdy wokół czarnej dziury, przyspieszenie dośrodkowe odgrywa ważną rolę.