Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Metod rozkładu może być kilka. Każda metoda daje ten sam wynik.

Jak najwygodniej rozłożyć liczbę na czynniki pierwsze? Przyjrzyjmy się, jak najlepiej to zrobić na konkretnych przykładach.

Przykłady. 1) Rozłóż liczbę 1400 na czynniki pierwsze.

1400 dzieli się przez 2. 2 jest liczbą pierwszą, nie ma potrzeby jej rozkładania na czynniki. Otrzymujemy 700. Dzielimy to przez 2. Otrzymujemy 350. Dzielimy także 350 przez 2. Otrzymaną liczbę 175 można podzielić przez 5. Wynik to 35 - dzielimy ją ponownie przez 5. Razem wynosi 7. Można to tylko podzielone przez 7. Otrzymujemy 1, dzielenie dalej.

Tę samą liczbę można rozłożyć na czynniki w inny sposób:

Wygodnie jest podzielić 1400 przez 10. 10 nie jest liczbą pierwszą, dlatego należy ją rozłożyć na czynniki pierwsze: 10=2∙5. Wynik wynosi 140. Dzielimy to ponownie przez 10=2∙5. Otrzymujemy 14. Jeżeli 14 dzielimy przez 14, to należy je również rozłożyć na iloczyn czynników pierwszych: 14=2∙7.

Tym samym ponownie doszliśmy do tego samego rozkładu, co w pierwszym przypadku, ale szybciej.

Wniosek: rozkładając liczbę, nie trzeba jej dzielić tylko na czynniki pierwsze. Dzielimy przez to, co jest wygodniejsze, np. przez 10. Trzeba tylko pamiętać o rozłożeniu dzielników złożonych na proste czynniki.

2) Rozłóż liczbę 1620 na czynniki pierwsze.

Najwygodniejszym sposobem podzielenia liczby 1620 jest przez 10. Ponieważ 10 nie jest liczbą pierwszą, przedstawiamy ją jako iloczyn czynników pierwszych: 10=2∙5. Mamy 162. Wygodnie jest podzielić to przez 2. Wynik to 81. Liczbę 81 można podzielić przez 3, ale przez 9 jest to wygodniejsze. Ponieważ 9 nie jest liczbą pierwszą, rozwijamy ją jako 9=3∙3. Otrzymujemy 9. Dzielimy to również przez 9 i rozwijamy do iloczynu czynników pierwszych.

Faktoring dużej liczby nie jest łatwym zadaniem. Większość ludzi ma problemy ze znalezieniem liczb cztero- lub pięciocyfrowych. Aby ułatwić ten proces, wpisz liczbę nad obiema kolumnami.

  • Rozłóżmy na czynniki liczbę 6552.

  • Podziel podaną liczbę przez najmniejszy dzielnik pierwszy (inny niż 1), który dzieli daną liczbę bez pozostawiania reszty. Wpisz ten dzielnik w lewej kolumnie, a wynik dzielenia w prawej kolumnie. Jak zauważono powyżej, liczby parzyste można łatwo rozłożyć na czynniki, ponieważ ich najmniejszy czynnik pierwszy zawsze będzie wynosić 2 (liczby nieparzyste mają różne najmniejsze czynniki pierwsze).

    • W naszym przykładzie 6552 jest liczbą parzystą, więc 2 jest jej najmniejszym czynnikiem pierwszym. 6552 ÷ 2 = 3276. Wpisz 2 w lewej kolumnie i 3276 w prawej kolumnie.

  • Następnie podziel liczbę w prawej kolumnie przez najmniejszy czynnik pierwszy (inny niż 1), który dzieli liczbę bez reszty. Wpisz ten dzielnik w lewej kolumnie, a w prawej kolumnie wynik dzielenia (kontynuuj ten proces, aż w prawej kolumnie nie pozostanie już 1).

    • W naszym przykładzie: 3276 ÷ 2 = 1638. W lewej kolumnie wpisz 2, a w prawej 1638. Dalej: 1638 ÷ 2 = 819. Wpisz 2 w lewej kolumnie, a 819 w prawej kolumnie.

  • Masz nieparzystą liczbę; W przypadku takich liczb znalezienie najmniejszego dzielnika pierwszego jest trudniejsze. Jeśli otrzymasz liczbę nieparzystą, spróbuj podzielić ją przez najmniejsze liczby pierwsze nieparzyste: 3, 5, 7, 11.

    • W naszym przykładzie otrzymałeś nieparzystą liczbę 819. Podziel ją przez 3: 819 ÷ 3 = 273. Wpisz 3 w lewej kolumnie i 273 w prawej kolumnie.
    • Szukając czynników, wypróbuj wszystkie liczby pierwsze aż do pierwiastka kwadratowego z największego znalezionego czynnika. Jeśli żaden dzielnik nie dzieli liczby przez całość, najprawdopodobniej masz liczbę pierwszą i możesz przerwać obliczenia.

  • Kontynuuj proces dzielenia liczb przez czynniki pierwsze, aż w prawej kolumnie pozostanie liczba 1 (jeśli w prawej kolumnie otrzymasz liczbę pierwszą, podziel ją przez siebie, aby otrzymać 1).

    • Kontynuujmy obliczenia w naszym przykładzie:
      • Podziel przez 3: 273 ÷ 3 = 91. Nie ma reszty. Zapisz 3 w lewej kolumnie i 91 w prawej kolumnie.
      • Dzielenie przez 3, 91 dzieli się przez 3 z resztą, więc dzielenie przez 5. 91 dzieli się przez 5 z resztą, więc dzieli się przez 7: 91 ÷ 7 = 13. Brak reszty. Zapisz 7 w lewej kolumnie i 13 w prawej kolumnie.
      • Dzielenie przez 7. 13 dzieli się przez 7 z resztą, więc dzielenie przez 11. 13 dzieli się przez 11 z resztą, zatem dzieli się przez 13: 13 ÷ 13 = 1. Nie ma reszty. Wpisz 13 w lewej kolumnie i 1 w prawej kolumnie. Twoje obliczenia są zakończone.

  • Lewa kolumna pokazuje czynniki pierwsze pierwotnej liczby. Innymi słowy, gdy pomnożysz wszystkie liczby w lewej kolumnie, otrzymasz liczbę zapisaną nad kolumnami. Jeżeli ten sam współczynnik pojawia się więcej niż raz na liście czynników, należy to wskazać za pomocą wykładników. W naszym przykładzie liczba 2 pojawia się 4 razy na liście mnożników; zapisz te współczynniki jako 2 4 zamiast 2*2*2*2.

    • W naszym przykładzie 6552 = 2 3 × 3 2 × 7 × 13. Rozłożyłeś 6552 na czynniki pierwsze (kolejność czynników w tym zapisie nie ma znaczenia).

    • Co znaczy faktoring? Jak to zrobić? Czego możesz się nauczyć rozkładając liczbę na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

    Definicje:

    Liczbę, która ma dokładnie dwa różne dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą.

    Liczbę, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.

    Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb naturalnych.

    Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

    Uwagi:

    • Podczas rozkładu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jeden, a drugi jest równy samej liczbie.
    • Nie ma sensu mówić o jedności faktoringu.
    • Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy jest różny od 1.

    Weźmy pod uwagę liczbę 150. Na przykład 150 to 15 razy 10.

    15 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 3.

    10 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2.

    Zapisując ich rozkład na czynniki pierwsze zamiast na 15 i 10, otrzymaliśmy rozkład liczby 150.

    Liczbę 150 można rozłożyć na czynniki w inny sposób. Na przykład 150 jest iloczynem liczb 5 i 30.

    5 to liczba pierwsza.

    30 to liczba złożona. Można to traktować jako iloczyn 10 i 3.

    10 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2.

    Otrzymaliśmy rozkład liczby 150 na czynniki pierwsze w inny sposób.

    Należy pamiętać, że pierwsze i drugie rozwinięcie jest takie samo. Różnią się jedynie kolejnością czynników.

    Zwyczajowo zapisuje się czynniki w kolejności rosnącej.

    Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze w unikalny sposób, zgodnie z kolejnością czynników.

    Rozkładając duże liczby na czynniki pierwsze, użyj zapisu kolumnowego:

    Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2.

    Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.

    Wynikową liczbę 108 dzieli się przez 2.

    Zróbmy podział. Wynik to 54.

    Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2.

    Po podzieleniu otrzymujemy 27.

    Liczba 27 kończy się nieparzystą cyfrą 7. To

    Nie jest podzielna przez 2. Następną liczbą pierwszą jest 3.

    Podziel 27 przez 3. Otrzymamy 9. Najmniejsza liczba pierwsza

    Liczba, przez którą dzieli się 9, to 3. Trzy sama w sobie jest liczbą pierwszą i dzieli się przez samą siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. Ostatecznie zdobyliśmy 1.

    • Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które wchodzą w skład jej rozkładu.
    • Liczba jest podzielna tylko na te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

    Spójrzmy na przykłady:

    Liczba 4900 jest podzielna przez liczby pierwsze 2, 5 i 7 (są one uwzględnione w rozwinięciu liczby 4900), ale nie jest podzielna przez np. 13.

    11 550 75. Dzieje się tak dlatego, że rozkład liczby 75 zawiera się całkowicie w rozkładzie liczby 11550.

    Wynik dzielenia będzie iloczynem czynników 2, 7 i 11.

    Liczba 11550 nie jest podzielna przez 4, ponieważ w rozwinięciu liczby cztery znajdują się dodatkowe dwa.

    Znajdź iloraz podzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli liczby te zostaną rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

    Rozkład liczby b zawiera się całkowicie w rozkładzie liczby a.

    Wynik dzielenia a przez b jest iloczynem trzech liczb pozostałych w rozwinięciu a.

    Zatem odpowiedź brzmi: 30.

    Bibliografia

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
    2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Gimnazjum. 2006.
    3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Edukacja, 1989.
    4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
    5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
    6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. - M.: Oświata, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.
    1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
    2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

    Praca domowa

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr 127, Nr 129, Nr 141.
    2. Inne zadania: nr 133, nr 144.

    Co znaczy faktoring? Jak to zrobić? Czego możesz się nauczyć rozkładając liczbę na czynniki pierwsze? Odpowiedzi na te pytania zilustrowano konkretnymi przykładami.

    Definicje:

    Liczbę, która ma dokładnie dwa różne dzielniki, nazywamy liczbą pierwszą.

    Liczbę, która ma więcej niż dwa dzielniki, nazywamy złożoną.

    Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb naturalnych.

    Rozłożenie liczby naturalnej na czynniki pierwsze oznacza przedstawienie jej jako iloczynu liczb pierwszych.

    Uwagi:

    • Podczas rozkładu liczby pierwszej jeden z czynników jest równy jeden, a drugi jest równy samej liczbie.
    • Nie ma sensu mówić o jedności faktoringu.
    • Liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki, z których każdy jest różny od 1.

    Weźmy pod uwagę liczbę 150. Na przykład 150 to 15 razy 10.

    15 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 3.

    10 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2.

    Zapisując ich rozkład na czynniki pierwsze zamiast na 15 i 10, otrzymaliśmy rozkład liczby 150.

    Liczbę 150 można rozłożyć na czynniki w inny sposób. Na przykład 150 jest iloczynem liczb 5 i 30.

    5 to liczba pierwsza.

    30 to liczba złożona. Można to traktować jako iloczyn 10 i 3.

    10 to liczba złożona. Można to rozłożyć na czynniki pierwsze 5 i 2.

    Otrzymaliśmy rozkład liczby 150 na czynniki pierwsze w inny sposób.

    Należy pamiętać, że pierwsze i drugie rozwinięcie jest takie samo. Różnią się jedynie kolejnością czynników.

    Zwyczajowo zapisuje się czynniki w kolejności rosnącej.

    Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze w unikalny sposób, zgodnie z kolejnością czynników.

    Rozkładając duże liczby na czynniki pierwsze, użyj zapisu kolumnowego:

    Najmniejsza liczba pierwsza podzielna przez 216 to 2.

    Podziel 216 przez 2. Otrzymujemy 108.

    Wynikową liczbę 108 dzieli się przez 2.

    Zróbmy podział. Wynik to 54.

    Zgodnie z testem podzielności przez 2 liczba 54 jest podzielna przez 2.

    Po podzieleniu otrzymujemy 27.

    Liczba 27 kończy się nieparzystą cyfrą 7. To

    Nie jest podzielna przez 2. Następną liczbą pierwszą jest 3.

    Podziel 27 przez 3. Otrzymamy 9. Najmniejsza liczba pierwsza

    Liczba, przez którą dzieli się 9, to 3. Trzy sama w sobie jest liczbą pierwszą i dzieli się przez samą siebie i przez jeden. Podzielmy 3 przez siebie. Ostatecznie zdobyliśmy 1.

    • Liczba jest podzielna tylko przez te liczby pierwsze, które wchodzą w skład jej rozkładu.
    • Liczba jest podzielna tylko na te liczby złożone, których rozkład na czynniki pierwsze jest w niej całkowicie zawarty.

    Spójrzmy na przykłady:

    Liczba 4900 jest podzielna przez liczby pierwsze 2, 5 i 7 (są one uwzględnione w rozwinięciu liczby 4900), ale nie jest podzielna przez np. 13.

    11 550 75. Dzieje się tak dlatego, że rozkład liczby 75 zawiera się całkowicie w rozkładzie liczby 11550.

    Wynik dzielenia będzie iloczynem czynników 2, 7 i 11.

    Liczba 11550 nie jest podzielna przez 4, ponieważ w rozwinięciu liczby cztery znajdują się dodatkowe dwa.

    Znajdź iloraz podzielenia liczby a przez liczbę b, jeśli liczby te zostaną rozłożone na czynniki pierwsze w następujący sposób: a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

    Rozkład liczby b zawiera się całkowicie w rozkładzie liczby a.

    Wynik dzielenia a przez b jest iloczynem trzech liczb pozostałych w rozwinięciu a.

    Zatem odpowiedź brzmi: 30.

    Bibliografia

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012.
    2. Merzlyak A.G., Polonsky V.V., Yakir M.S. Matematyka w klasie 6. - Gimnazjum. 2006.
    3. Depman I.Ya., Vilenkin N.Ya. Za stronami podręcznika do matematyki. - M.: Edukacja, 1989.
    4. Rurukin A.N., Czajkowski I.V. Zadania do zajęć z matematyki dla klas 5-6. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
    5. Rurukin A.N., Sochilov S.V., Czajkowski K.G. Matematyka 5-6. Podręcznik dla uczniów klasy 6 szkoły korespondencyjnej MEPhI. - M.: ZSz MEPhI, 2011.
    6. Shevrin L.N., Gein A.G., Koryakov I.O., Volkov M.V. Matematyka: Podręcznik-rozmówca dla klas 5-6 szkoły średniej. - M.: Oświata, Biblioteka Nauczyciela Matematyki, 1989.
    1. Portal internetowy Matematika-na.ru ().
    2. Portal internetowy Math-portal.ru ().

    Praca domowa

    1. Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematyka 6. - M.: Mnemosyne, 2012. Nr 127, Nr 129, Nr 141.
    2. Inne zadania: nr 133, nr 144.

    (z wyjątkiem 0 i 1) mają co najmniej dwa dzielniki: 1 i siebie. Nazywa się liczby, które nie mają innych dzielników prosty liczby. Nazywa się liczby, które mają inne dzielniki złożony(Lub złożony) liczby. Istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych. Poniżej znajdują się liczby pierwsze nieprzekraczające 200:

    2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,

    47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,

    103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,

    157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.

    Mnożenie- jedna z czterech podstawowych operacji arytmetycznych, binarna operacja matematyczna, w której jeden argument jest dodawany tyle razy, co drugi. W arytmetyce mnożenie jest krótką formą dodawania określonej liczby identycznych wyrazów.

    Na przykład zapis 5*3 oznacza „dodaj trzy piątki”, czyli 5+5+5. Wynik mnożenia nazywa się praca, a liczby do pomnożenia to mnożniki Lub czynniki. Pierwszy czynnik jest czasami nazywany „ mnożna».

    Każdą liczbę złożoną można rozłożyć na czynniki pierwsze. Dowolną metodą uzyskuje się to samo rozwinięcie, jeśli nie weźmie się pod uwagę kolejności zapisywania czynników.

    Faktoryzacja liczby (Faktoryzacja).

    Faktoryzacja (faktoryzacja)- wyliczanie dzielników - algorytm faktoryzacji, czyli testowania pierwszości liczby poprzez całkowite wyliczenie wszystkich możliwych potencjalnych dzielników.

    Oznacza to, że w uproszczeniu faktoryzacja to nazwa procesu rozkładu liczb na czynniki, wyrażona w języku naukowym.

    Kolejność działań przy rozkładaniu na czynniki pierwsze:

    1. Sprawdź, czy proponowana liczba jest pierwsza.

    2. Jeśli nie, to kierując się znakami dzielenia, wybieramy dzielnik z liczb pierwszych, zaczynając od najmniejszej (2, 3, 5…).

    3. Powtarzamy tę czynność, aż iloraz okaże się liczbą pierwszą.