Przejdźmy do rozważenia zastosowań rachunku całkowego. W tej lekcji przeanalizujemy typowe i najczęstsze zadania obliczanie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej. Wreszcie wszystko poszukiwanie sensu w wyższej matematyce - niech go znajdą. Nigdy nie wiesz. W prawdziwym życiu będziesz musiał przybliżyć działkę daczy za pomocą funkcji elementarnych i znaleźć jej pole za pomocą całki oznaczonej.
Aby pomyślnie opanować materiał, musisz:
1) Zrozumieć całkę nieoznaczoną przynajmniej na poziomie średniozaawansowanym. Dlatego manekiny powinny najpierw przeczytać lekcję Nie.
2) Potrafić zastosować wzór Newtona-Leibniza i obliczyć całkę oznaczoną. Z pewnymi całkami na stronie możesz nawiązać ciepłe przyjazne relacje Określona całka. Przykłady rozwiązań. Zadanie „obliczyć pole za pomocą całki oznaczonej” zawsze wiąże się z wykonaniem rysunku, więc Twoja wiedza i umiejętności rysunkowe również będą istotne. Musisz przynajmniej umieć skonstruować linię prostą, parabolę i hiperbolę.
Zacznijmy zakrzywiony trapez. Zakrzywiony trapez to płaska figura ograniczona wykresem jakiejś funkcji y = F(X), oś WÓŁ i linie X = A; X = B.
Pole trapezu krzywoliniowego jest liczbowo równe całce oznaczonej
Każda całka oznaczona (która istnieje) ma bardzo dobre znaczenie geometryczne. Na lekcji Określona całka. Przykłady rozwiązań powiedzieliśmy, że całka oznaczona jest liczbą. A teraz czas podać kolejny przydatny fakt. Z punktu widzenia geometrii całką oznaczoną jest POLE. To jest, całka oznaczona (jeśli istnieje) geometrycznie odpowiada obszarowi określonej figury. Rozważmy całkę oznaczoną
Integrand
definiuje krzywą na płaszczyźnie (można ją narysować w razie potrzeby), a sama całka oznaczona jest numeryczna równa powierzchni odpowiedni zakrzywiony trapez.
Przykład 1
, , , .
Jest to typowa instrukcja przypisania. Najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku. Ponadto rysunek musi zostać skonstruowany PRAWIDŁOWY.
Podczas konstruowania rysunku zalecam następującą kolejność: najpierw lepiej jest konstruować wszystkie linie proste (jeśli istnieją) i tylko Następnie– parabole, hiperbole, wykresy innych funkcji. Technikę konstrukcji punkt po punkcie można znaleźć w materiale referencyjnym Wykresy i własności funkcji elementarnych. Znajdziesz tam również bardzo przydatny materiał do naszej lekcji - jak szybko zbudować parabolę.
W przypadku tego problemu rozwiązanie może wyglądać następująco.
Zróbmy rysunek (zwróć uwagę, że równanie y= 0 określa oś WÓŁ):
Nie będziemy cieniować zakrzywionego trapezu, tutaj jest oczywiste, o jakim obszarze mówimy. Rozwiązanie jest kontynuowane w następujący sposób:
Na odcinku [-2; 1] wykres funkcji y = X 2 + 2 zlokalizowane nad osiąWÓŁ, Dlatego:
Odpowiedź: .
Kto ma trudności z obliczeniem całki oznaczonej i zastosowaniem wzoru Newtona-Leibniza
,
odsyłam do wykładu Określona całka. Przykłady rozwiązań. Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku liczbę komórek na rysunku liczymy „na oko” - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostki kwadratowe, to widać, że gdzieś popełniono błąd – 20 komórek wyraźnie nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Przykład 2
Oblicz pole figury, ograniczone liniami xy = 4, X = 2, X= 4 i oś WÓŁ.
To jest przykład dla niezależna decyzja. Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.
Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osiąWÓŁ?
Przykład 3
Oblicz pole figury ograniczone liniami y = były, X= 1 i osie współrzędnych.
Rozwiązanie: Zróbmy rysunek:
Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią WÓŁ , to jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
W tym przypadku:
.
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnej znaczenie geometryczne, wtedy może być negatywny.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie, dlatego od najprostszych problemów szkolnych przechodzimy do bardziej znaczących przykładów.
Przykład 4
Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y = 2X – X 2 , y = -X.
Rozwiązanie: Najpierw musisz zrobić rysunek. Konstruując rysunek w problemach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia linii. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli y = 2X – X 2 i prosto y = -X. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny. Rozwiązujemy równanie:
Oznacza to, że dolna granica całkowania A= 0, górna granica całkowania B= 3. Często bardziej opłaca się i szybciej jest konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne). Wróćmy do naszego zadania: bardziej racjonalnie jest najpierw skonstruować linię prostą, a dopiero potem parabolę. Zróbmy rysunek:
Powtórzmy, że przy konstruowaniu punktowym granice całkowania wyznaczane są najczęściej „automatycznie”.
I teraz działająca formuła:
Jeśli w segmencie [ A; B] jakaś funkcja ciągła F(X) większe bądź równe Niektóre funkcja ciągła G(X), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru:
Tutaj nie musisz już myśleć o tym, gdzie znajduje się figura - nad osią lub pod osią, ale ważne jest, który wykres jest WYŻSZY(w stosunku do innego wykresu), i który jest PONIŻEJ.
W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, a zatem od 2 X – X 2 należy odjąć – X.
Gotowe rozwiązanie może wyglądać następująco:
Pożądana liczba jest ograniczona parabolą y = 2X – X 2 na górze i prosto y = -X poniżej.
W segmencie 2 X – X 2 ≥ -X. Zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiedź: .
W rzeczywistości szkolny wzór na pole krzywoliniowego trapezu w dolnej półpłaszczyźnie (patrz przykład nr 3) to szczególny przypadek formuły
.
Ponieważ oś WÓŁ dane równaniem y= 0 i wykres funkcji G(X) umieszczonego poniżej osi WÓŁ, To
.
A teraz kilka przykładów własnego rozwiązania
Przykład 5
Przykład 6
Znajdź obszar figury ograniczony liniami
Podczas rozwiązywania problemów związanych z obliczaniem pola za pomocą całki oznaczonej czasami zdarza się zabawny incydent. Rysunek został wykonany poprawnie, obliczenia były prawidłowe, ale przez nieostrożność... Znaleziono obszar niewłaściwej figury.
Przykład 7
Najpierw zróbmy rysunek:
Figura, której obszar musimy znaleźć, jest zacieniowana na niebiesko(przyjrzyj się uważnie stanowi - jak liczba jest ograniczona!). Ale w praktyce z powodu nieuwagi często decydują, że muszą znaleźć zacieniony obszar figury zielony!
Ten przykład jest również przydatny, ponieważ oblicza pole figury za pomocą dwóch całek oznaczonych. Naprawdę:
1) Na odcinku [-1; 1] powyżej osi WÓŁ wykres leży prosto y = X+1;
2) Na odcinku powyżej osi WÓŁ znajduje się wykres hiperboli y = (2/X).
Jest rzeczą oczywistą, że obszary można (i należy) dodać, zatem:
Odpowiedź:
Przykład 8
Oblicz pole figury ograniczone liniami
Przedstawmy równania w formie „szkolnej”.
i wykonaj rysunek punkt po punkcie:
Z rysunku jasno wynika, że nasza górna granica jest „dobra”: B = 1.
Ale jaka jest dolna granica?! Oczywiste jest, że nie jest to liczba całkowita, ale co to jest?
Może, A=(-1/3)? Ale gdzie jest gwarancja, że rysunek zostanie wykonany z doskonałą dokładnością, może się to okazać A=(-1/4). A co jeśli nieprawidłowo zbudowaliśmy wykres?
W takich przypadkach trzeba poświęcić dodatkowy czas i analitycznie wyjaśnić granice integracji.
Znajdźmy punkty przecięcia wykresów
W tym celu rozwiązujemy równanie:
.
Stąd, A=(-1/3).
Dalsze rozwiązanie jest banalne. Najważniejsze, aby nie pomylić się z podstawieniami i znakami. Obliczenia w tym przypadku nie należą do najprostszych. Na segmencie
, 
,
według odpowiedniego wzoru:
Odpowiedź: 
Na zakończenie lekcji spójrzmy na dwa trudniejsze zadania.
Przykład 9
Oblicz pole figury ograniczone liniami
Rozwiązanie: Przedstawmy tę figurę na rysunku.
Aby narysować rysunek punkt po punkcie, musisz wiedzieć wygląd sinusoidy. Ogólnie rzecz biorąc, przydatna jest znajomość wykresów wszystkich funkcji elementarnych, a także niektórych wartości sinusoidalnych. Można je znaleźć w tabeli wartości funkcje trygonometryczne . W niektórych przypadkach (na przykład w tym przypadku) możliwe jest zbudowanie schematycznego rysunku, na którym powinny być zasadniczo poprawnie wyświetlane wykresy i granice całkowania.
Nie ma tu problemów z granicami całkowania, wynikają one wprost z warunku:
– „x” zmienia się z zera na „pi”. Podejmijmy dalszą decyzję:
Na segmencie wykres funkcji y= grzech 3 X umieszczony nad osią WÓŁ, Dlatego:
(1) Na lekcji możesz zobaczyć, jak sinusy i cosinusy są całkowane do potęg nieparzystych Całki funkcji trygonometrycznych. Uszczypujemy jedną zatokę.
(2) W formie używamy głównej tożsamości trygonometrycznej
(3) Zmieńmy zmienną T=co X, to: znajduje się powyżej osi, zatem:
.
.
Notatka: zwróć uwagę, jak obliczana jest całka ze stycznej do sześcianu; tutaj użyto następstwa całki głównej tożsamość trygonometryczna
.
Oblicz pole figury ograniczone liniami.
Rozwiązanie.
Znajdujemy punkty przecięcia danych prostych. W tym celu rozwiązujemy układ równań:
Aby znaleźć odciętą punktów przecięcia danych prostych, rozwiązujemy równanie:
Znaleźliśmy: X 1 = -2, X 2 = 4.
Zatem te linie, które są parabolą i linią prostą, przecinają się w punktach A(-2; 0), B(4; 6).
Linie te tworzą zamkniętą figurę, której obszar oblicza się za pomocą powyższego wzoru:
Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza znajdujemy:
Znajdź obszar regionu ograniczony elipsą.
Rozwiązanie.
Z równania elipsy dla pierwszej ćwiartki mamy. Stąd, korzystając ze wzoru, otrzymujemy
Zastosujmy podstawienie X = A grzech T, dx = A sałata T dt. Nowe granice integracji T = α I T = β wyznaczane są z równań 0 = A grzech T, A = A grzech T. Można umieścić α = 0 i β = π /2.
Znajdź jedną czwartą wymaganego obszaru
Stąd S = πab.
Znajdź obszar figury ograniczony liniamiy = - X 2 + X + 4 iy = - X + 1.
Rozwiązanie.
Znajdźmy punkty przecięcia linii y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, zrównując rzędne linii: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 lub X 2 - 2X- 3 = 0. Znajdowanie pierwiastków X 1 = -1, X 2 = 3 i odpowiadające im rzędne y 1 = 2, y 2 = -2.
Korzystając ze wzoru na pole figury, otrzymujemy
Wyznacz obszar ograniczony paraboląy = X 2 + 1 i prostoX + y = 3.
Rozwiązanie.
Rozwiązywanie układu równań
znajdź odciętą punktów przecięcia X 1 = -2 i X 2 = 1.
Wierzyć y 2 = 3 - X I y 1 = X 2 + 1, na podstawie otrzymanego wzoru
Oblicz pole zawarte w lemniskacie BernoulliegoR 2 = A 2 sałata 2 φ .
Rozwiązanie.
W biegunowym układzie współrzędnych obszar figury ograniczony łukiem krzywej R = F(φ ) i dwa promienie biegunowe φ 1 = ʅ I φ 2 = ʆ , zostanie wyrażona całką
Ze względu na symetrię krzywej najpierw określamy jedną czwartą wymaganej powierzchni
Dlatego całe pole jest równe S = A 2 .
Oblicz długość łuku asteroidyX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .
Rozwiązanie.
Zapiszmy równanie asteroidy w postaci
(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .
Włóżmy X 1/3 = A 1/3 kosztu T, y 1/3 = A 1/3 grzechu T.
Stąd otrzymujemy równania parametryczne asteroidy
X = A bo 3 T, y = A grzech 3 T, (*)
gdzie 0 ≤ T ≤ 2π .
Ze względu na symetrię krzywej (*) wystarczy znaleźć jedną czwartą długości łuku L, odpowiadający zmianie parametru T od 0 do π /2.
Dostajemy
dx = -3A co 2 T grzech t dt, dy = 3A grzech 2 T sałata t dt.
Stąd znajdziemy
Całkowanie powstałego wyrażenia od 0 do π /2, otrzymujemy
Stąd L = 6A.
Znajdź obszar ograniczony spiralą ArchimedesaR = aφ oraz dwa wektory promieni odpowiadające kątom biegunowymφ 1 Iφ 2 (φ 1 < φ 2 ).
Rozwiązanie.
Obszar ograniczony krzywą R = F(φ ) oblicza się ze wzoru, gdzie α I β - granice zmiany kąta biegunowego.
W ten sposób otrzymujemy
(*)
Z (*) wynika, że obszar ograniczony osią biegunową i pierwszym zwojem spirali Archimedesa ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):
Podobnie znajdujemy obszar ograniczony osią biegunową i drugim zwojem spirali Archimedesa ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):
Wymagana powierzchnia jest równa różnicy tych obszarów
Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osiWół figury ograniczone parabolamiy = X 2 IX = y 2 .
Rozwiązanie.
Rozwiążmy układ równań
i otrzymujemy X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, skąd punkty przecięcia krzywych O(0; 0), B(jedenaście). Jak widać na rysunku, wymagana objętość ciała obrotowego jest równa różnicy między dwiema objętościami powstałymi w wyniku obrotu wokół osi Wół krzywoliniowe trapezy OCBA I ODBA:
Oblicz pole ograniczone osiąWół i sinusoiday = grzechX na odcinkach: a) ; B) .
Rozwiązanie.
a) Na segmencie funkcja grzechu X zachowuje znak, a zatem zgodnie ze wzorem, zakładając y= grzech X, znaleźliśmy
b) W segmencie funkcja sin X zmienia znak. Aby poprawnie rozwiązać problem, należy podzielić segment na dwa i [ π , 2π ], w każdym z których funkcja zachowuje swój znak.
Zgodnie z zasadą znaków, na odcinku [ π , 2π ] obszar jest opisywany ze znakiem minus.
W rezultacie wymagany obszar jest równy
Wyznacz objętość ciała ograniczoną powierzchnią uzyskaną z obrotu elipsywokół głównej osiA .
Rozwiązanie.
Biorąc pod uwagę, że elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych, wystarczy znaleźć objętość utworzoną przez obrót wokół osi Wół obszar OAB równy jednej czwartej powierzchni elipsy i podwojony wynik.
Oznaczmy objętość ciała obrotowego przez V X; następnie w oparciu o wzór, który mamy , gdzie 0 i A- odcięte punktów B I A. Z równania elipsy znajdujemy . Stąd
Zatem wymagana objętość jest równa. (Kiedy elipsa obraca się wokół małej osi B, objętość ciała jest równa )
Znajdź obszar ograniczony parabolamiy 2 = 2 pikseli IX 2 = 2 py .
Rozwiązanie.
Najpierw znajdujemy współrzędne punktów przecięcia paraboli, aby określić odcinek całkowania. Przekształcając pierwotne równania, otrzymujemy i . Przyrównując te wartości, otrzymujemy lub X 4 - 8P 3 X = 0.
X 4 - 8P 3 X = X(X 3 - 8P 3) = X(X - 2P)(X 2 + 2pikseli + 4P 2) = 0.
Znajdowanie pierwiastków równań:
Biorąc pod uwagę fakt, że o A przecięcie paraboli znajduje się w pierwszej ćwiartce, potem granice całkowania X= 0 i X = 2P.
Wymagany obszar znajdujemy za pomocą wzoru
A)
Rozwiązanie.
Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku.
Zróbmy rysunek:
Równanie y=0 ustawia oś „x”;
- x=-2 I x=1 - proste, równoległe do osi jednostka organizacyjna;
- y=x 2 +2 - parabola, której ramiona są skierowane w górę, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).
Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia z osiami współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią Jednostka organizacyjna i odpowiednio podjąć decyzję równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .
Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:
Można także budować linie punkt po punkcie.
Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , Dlatego:
Odpowiedź: S =9 jednostek kwadratowych
Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy odpowiedź powiedzmy: 20 jednostek kwadratowych, to oczywiste jest, że gdzieś popełniono błąd - 20 komórek oczywiście nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.
Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią Oh?
B) Oblicz pole figury ograniczone liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.
Rozwiązanie.
Zróbmy rysunek.
Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią Oh , wówczas jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:
Odpowiedź: S=(e-1) jednostki kwadratowe" 1,72 jednostki kwadratowe
Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:
1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnego znaczenia geometrycznego, wówczas może ona być ujemna.
2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.
W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.
Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y=2x-x 2, y=-x.
Rozwiązanie.
Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny.
Rozwiązujemy równanie:
Oznacza to, że dolna granica całkowania a=0 , górna granica całkowania b=3 .
|
Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Prosta - dwusieczna drugiego i czwartego kąta współrzędnych. A teraz uwaga! Jeśli w segmencie [ a;b] jakaś funkcja ciągła k(x) większy lub równy jakiejś funkcji ciągłej g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru: . I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej |
Można konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne).
Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.
Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:
Odpowiedź: S =4,5 jednostek kwadratowych
Powrót do przodu
Uwaga! Podglądy slajdów służą wyłącznie celom informacyjnym i mogą nie odzwierciedlać wszystkich funkcji prezentacji. Jeśli jesteś zainteresowany tą pracą, pobierz pełną wersję.
Słowa kluczowe: integralny, krzywoliniowy trapez, obszar figur ograniczony liliami
Sprzęt: tablica markerowa, komputer, projektor multimedialny
Typ lekcji: lekcja-wykład
Cele Lekcji:
- edukacyjny: stworzyć kulturę pracy umysłowej, stworzyć każdemu uczniowi sytuację sukcesu i stworzyć pozytywną motywację do nauki; rozwijać umiejętność mówienia i słuchania innych.
- rozwijanie: kształtowanie samodzielnego myślenia ucznia w stosowaniu wiedzy w różnych sytuacjach, umiejętność analizowania i wyciągania wniosków, rozwój logiki, rozwój umiejętności prawidłowego stawiania pytań i znajdowania na nie odpowiedzi. Doskonalenie kształtowania umiejętności obliczeniowych, rozwijanie myślenia uczniów w trakcie realizacji proponowanych zadań, rozwijanie kultury algorytmicznej.
- edukacyjny: formułować pojęcia o trapezie krzywoliniowym, o całce, opanować umiejętność obliczania pól figur płaskich
Metoda nauczania: wyjaśniające i ilustrujące.
Podczas zajęć
Na poprzednich zajęciach uczyliśmy się obliczać pola figur, których brzegi wyznaczają linie przerywane. W matematyce istnieją metody, które pozwalają obliczyć pola figur ograniczonych krzywymi. Takie figury nazywane są trapezami krzywoliniowymi, a ich pole oblicza się za pomocą funkcji pierwotnych.
Trapez krzywoliniowy ( slajd 1)
Zakrzywiony trapez to figura ograniczona wykresem funkcji ( sh.m.), prosty x = a I x = b i oś x
Różne typy zakrzywionych trapezów ( slajd 2)
Rozważamy różne typy trapezów krzywoliniowych i zauważamy: jedna z prostych jest zdegenerowana do punktu, rolę ograniczającą pełni prosta
Powierzchnia zakrzywionego trapezu (slajd 3)
Napraw lewy koniec interwału A, i ten właściwy X zmienimy, czyli przesuniemy prawą ścianę trapezu krzywoliniowego i otrzymamy zmieniającą się figurę. Pole zmiennego trapezu krzywoliniowego ograniczone wykresem funkcji jest funkcją pierwotną F dla funkcji F
A w segmencie [ A; B] obszar zakrzywionego trapezu, utworzone przez funkcję F, jest równy przyrostowi funkcji pierwotnej tej funkcji:
Ćwiczenie 1:
Znajdź obszar trapezu krzywoliniowego ograniczony wykresem funkcji: f(x) = x 2 i proste y = 0, x = 1, x = 2.
Rozwiązanie: ( zgodnie z algorytmem slajd 3)
Narysujmy wykres funkcji i linii
Znajdźmy jedną z funkcji pierwotnych f(x) = x 2 :
Autotest na slajdzie
Całka
Rozważmy trapez krzywoliniowy zdefiniowany przez funkcję F w segmencie [ A; B] Podzielmy ten segment na kilka części. Pole całego trapezu zostanie podzielone na sumę pól mniejszych zakrzywionych trapezów. ( slajd 5). Każdy taki trapez można w przybliżeniu uznać za prostokąt. Suma obszarów tych prostokątów daje przybliżone wyobrażenie o całym obszarze zakrzywionego trapezu. Im mniejszy dzielimy odcinek [ A; B], tym dokładniej obliczymy pole.
Zapiszmy te argumenty w formie wzorów.
Podziel odcinek [ A; B] na n części za pomocą kropek x 0 =a, x1,...,xn = b. Długość k- t oznaczać przez xk = xk – xk-1. Zróbmy sumę
Geometrycznie suma ta reprezentuje obszar figury zacienionej na rysunku ( sh.m.)
Sumy postaci nazywane są sumami całkowitymi funkcji F. (sh.m.)
Sumy całkowite dają przybliżoną wartość pola. Dokładną wartość uzyskuje się przechodząc do granicy. Wyobraźmy sobie, że udoskonalamy podział segmentu [ A; B] tak, że długości wszystkich małych segmentów dążą do zera. Wtedy obszar skomponowanej figury zbliży się do obszaru zakrzywionego trapezu. Można powiedzieć, że pole zakrzywionego trapezu jest równe granicy sum całkowitych, sc.t. (sh.m.) lub integralny, tj.
Definicja:
Całka funkcji k(x) z A zanim B nazywaną granicą sum całkowitych
= (sh.m.)
Wzór Newtona-Leibniza.
Pamiętamy, że granica sum całkowitych jest równa polu trapezu krzywoliniowego, co oznacza, że możemy napisać:
sc.t. = (sh.m.)
Z drugiej strony obszar zakrzywionego trapezu oblicza się za pomocą wzoru
S k.t. (sh.m.)
Porównując te wzory otrzymujemy:
= (sh.m.)Równość ta nazywa się wzorem Newtona-Leibniza.
Dla ułatwienia obliczeń wzór zapisuje się w postaci:
= = (sh.m.)Zadania: (sh.m.)
1. Oblicz całkę, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza: ( sprawdź na slajdzie 5)
2. Skomponuj całki zgodnie z rysunkiem ( sprawdź na slajdzie 6)
3. Znajdź obszar figury ograniczony liniami: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)
Znajdowanie pól figur płaskich ( slajd 8)
Jak znaleźć obszar figur, które nie są zakrzywionymi trapezami?
Niech zostaną podane dwie funkcje, których wykresy widzisz na slajdzie . (sh.m.) Znajdź obszar zacienionej figury . (sh.m.). Czy figura, o której mowa, jest zakrzywionym trapezem? Jak obliczyć jego pole korzystając z własności addytywności pola? Rozważ dwa zakrzywione trapezy i odejmij obszar drugiego od obszaru jednego z nich ( sh.m.)
Stwórzmy algorytm wyszukiwania obszaru za pomocą animacji na slajdzie:
- Funkcje wykresu
- Rzuć punkty przecięcia wykresów na oś x
- Zacieniuj figurę uzyskaną w momencie przecięcia wykresów
- Znajdź trapezy krzywoliniowe, których przecięciem lub sumą jest podana figura.
- Oblicz pole każdego z nich
- Znajdź różnicę lub sumę obszarów
Zadanie ustne: Jak uzyskać pole zacienionej figury (opowiedz za pomocą animacji, slajd 8 i 9)
Praca domowa: Przejrzyj notatki nr 353 (a), nr 364 (a).
Bibliografia
- Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 9-11 szkoły wieczorowej (zmianowej) / wyd. G.D. Glasera. - M: Oświecenie, 1983.
- Bashmakov M.I. Algebra i początki analizy: podręcznik dla 10-11 klas szkoły średniej / Bashmakov M.I. - M: Oświecenie, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematyka: podręcznik dla szkół podstawowych. i środa prof. edukacja / M.I. Baszmakow. - M: Akademia, 2010.
- Kołmogorow A.N. Algebra i początki analizy: podręcznik dla klas 10-11. instytucje edukacyjne / A.N. Kołmogorow. - M: Edukacja, 2010.
- Ostrovsky S.L. Jak zrobić prezentację na lekcję?/S.L. Ostrowski. – M.: 1 września 2010 r.
Zaczynamy rozważać faktyczny proces obliczania całki podwójnej i zapoznawać się z jej znaczeniem geometrycznym.
Całka podwójna jest liczbowo równa powierzchni figury płaskiej (obszarowi integracji). Ten najprostsza forma całka podwójna, gdy funkcja dwóch zmiennych jest równa jeden: .
Najpierw spójrzmy na problem w ogólnej formie. Teraz będziesz zaskoczony, jak wszystko jest naprawdę proste! Obliczmy obszar płaskiej figury ograniczony liniami. Dla pewności zakładamy, że na odcinku . Pole tej figury jest liczbowo równe:
Przedstawmy obszar na rysunku:
Wybierzmy pierwszy sposób przemierzania terenu:
Zatem:
I od razu ważna technika techniczna: iterowane całki można obliczyć osobno. Najpierw całka wewnętrzna, potem całka zewnętrzna. Ta metoda Gorąco polecam początkującym w temacie.
1) Obliczamy całkę wewnętrzną i całkowanie przeprowadzamy po zmiennej „y”:
Całka nieoznaczona tutaj jest najprościej i wtedy stosuje się banalny wzór Newtona-Leibniza, z tą tylko różnicą, że granicami całkowania nie są liczby, ale funkcje. Najpierw umieścili to w „Y” ( funkcja pierwotna) górna granica, potem dolna granica
2) Wynik uzyskany w akapicie pierwszym należy podstawić do całki zewnętrznej:
Bardziej zwarta reprezentacja całego rozwiązania wygląda następująco:
Wynikowa formuła jest dokładnie roboczą formułą do obliczania powierzchni płaskiej figury za pomocą „zwykłego” określona całka! Obejrzyj lekcję Obliczanie powierzchni za pomocą całki oznaczonej, ona jest na każdym kroku!
To jest, problem obliczania pola za pomocą całki podwójnej niewiele się różni z problemu wyznaczania pola za pomocą całki oznaczonej! Właściwie to to samo!
W związku z tym nie powinny pojawić się żadne trudności! Nie będę patrzeć na bardzo wiele przykładów, ponieważ w rzeczywistości wielokrotnie spotykałeś się z tym zadaniem.
Przykład 9
Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:
Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:
Tutaj i dalej nie będę się rozwodzić nad tym, jak przemierzać ten obszar, ponieważ bardzo szczegółowe wyjaśnienia podano w pierwszym akapicie.
Zatem:
Jak już wspomniałem, dla początkujących lepiej jest obliczać całki iterowane osobno i ja będę się trzymał tej samej metody:
1) Najpierw, korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza, zajmujemy się całką wewnętrzną:
2) Wynik uzyskany w pierwszym kroku podstawiamy do całki zewnętrznej:
Punkt 2 to tak naprawdę znalezienie pola figury płaskiej za pomocą całki oznaczonej.
Odpowiedź:
To takie głupie i naiwne zadanie.
Ciekawy przykład samodzielnego rozwiązania:
Przykład 10
Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami , ,
Przybliżony przykład ostatecznego rozwiązania na koniec lekcji.
W przykładach 9-10 znacznie bardziej opłaca się zastosować pierwszy sposób przemierzania terenu, ciekawscy czytelnicy, nawiasem mówiąc, mogą zmienić kolejność przemierzania i obliczyć pola drugim sposobem. Jeśli się nie pomylisz, otrzymasz oczywiście te same wartości powierzchni.
Ale w niektórych przypadkach druga metoda przemierzania terenu jest skuteczniejsza i na koniec kursu młodego kujona przyjrzyjmy się jeszcze kilku przykładom na ten temat:
Przykład 11
Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami,
Rozwiązanie: Z niecierpliwością czekamy na dwie parabole z dziwactwem, które leżą po bokach. Nie ma co się uśmiechać, podobne rzeczy zdarzają się dość często w całkach wielokrotnych.
Jak najłatwiej zrobić rysunek?
Wyobraźmy sobie parabolę w postaci dwóch funkcji:
– gałąź górna i – gałąź dolna.
Podobnie wyobraźmy sobie parabolę w postaci górnych i dolnych gałęzi.
Pole figury obliczamy za pomocą całki podwójnej według wzoru:
Co się stanie jeśli wybierzemy pierwszą metodę przemierzania terenu? Po pierwsze, obszar ten będzie musiał zostać podzielony na dwie części. A po drugie, będziemy obserwować ten smutny obraz: . Całki oczywiście nie są bardzo skomplikowane, ale… jest stare matematyczne powiedzenie: ci, którzy są blisko swoich korzeni, nie potrzebują testu.
Dlatego na podstawie nieporozumienia podanego w warunku wyrażamy funkcje odwrotne:
Funkcje odwrotne V w tym przykładzie mają tę zaletę, że określają całą parabolę na raz, bez żadnych liści, żołędzi, gałęzi i korzeni.
Według drugiej metody przemieszczanie się po obszarze będzie wyglądać następująco:
Zatem:
Jak to mówią, poczuj różnicę.
1) Zajmujemy się całką wewnętrzną:
Wynik podstawiamy do całki zewnętrznej:
Całkowanie po zmiennej „y” nie powinno być mylące, gdyby była litera „zy”, świetnie byłoby ją całkować. Chociaż kto przeczytał drugi akapit lekcji Jak obliczyć objętość ciała wirującego, nie odczuwa już najmniejszej niezręczności przy integracji metodą „Y”.
Zwróć także uwagę na pierwszy krok: całka jest parzysta, a przedział całkowania jest symetryczny względem zera. Dlatego segment można podzielić na połowę, a wynik można podwoić. Technika ta została szczegółowo omówiona na lekcji. Skuteczne metody obliczanie całki oznaczonej.
Co dodać…. Wszystko!
Odpowiedź:
Aby przetestować technikę integracji, możesz spróbować obliczyć. Odpowiedź powinna być dokładnie taka sama.
Przykład 12
Korzystając z całki podwójnej, oblicz pole figury płaskiej ograniczone liniami
To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Co ciekawe, jeśli spróbujesz skorzystać z pierwszej metody przemierzania obszaru, figura nie będzie już musiała być podzielona na dwie, ale na trzy części! I odpowiednio otrzymujemy trzy pary powtarzających się całek. Czasami tak bywa.
Klasa mistrzowska dobiegła końca i czas przejść na poziom arcymistrzowski - Jak obliczyć całkę podwójną? Przykłady rozwiązań. Postaram się nie być takim maniakiem w drugim artykule =)
Życzę Ci sukcesu!
Rozwiązania i odpowiedzi:
Przykład 2:Rozwiązanie:
Przedstawmy obszar na rysunku:
Wybierzmy następującą kolejność przechodzenia przez obszar:
Zatem:
Przejdźmy do funkcji odwrotnych:
Zatem:
Odpowiedź:
Przykład 4:Rozwiązanie:
Przejdźmy do funkcji bezpośrednich:
Zróbmy rysunek:
Zmieńmy kolejność przemierzania terenu:
Odpowiedź:
Kolejność zwiedzania okolicy:
Zatem:
1)
2)
Odpowiedź:
