Podstawowe charakterystyki numeryczne dyskretnych i ciągłych zmiennych losowych: wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe. Ich właściwości i przykłady.

Prawo dystrybucji (funkcja dystrybucji i szeregi dystrybucji lub gęstość prawdopodobieństwa) całkowicie opisuje zachowanie zmienna losowa. Jednak w przypadku wielu problemów wystarczy znać pewne cechy liczbowe badanej wartości (na przykład jej średnią wartość i możliwe odchylenie od niej), aby odpowiedzieć na postawione pytanie. Rozważmy główne cechy liczbowe dyskretnych zmiennych losowych.

Definicja 7.1.Oczekiwanie matematyczne Dyskretna zmienna losowa to suma iloczynów jej możliwych wartości i odpowiadających im prawdopodobieństw:

M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p p str.(7.1)

Jeśli liczba możliwych wartości zmiennej losowej jest nieskończona, to jeśli wynikowy szereg jest zbieżny absolutnie.

Notatka 1. Czasami nazywane jest oczekiwaniem matematycznym Średnia ważona, ponieważ jest w przybliżeniu równy średniej arytmetycznej zaobserwowanych wartości zmiennej losowej w duża liczba eksperymenty.

Uwaga 2. Z definicji oczekiwania matematycznego wynika, że ​​jego wartość jest nie mniejsza niż najmniejsza możliwa wartość zmiennej losowej i nie większa niż największa.

Uwaga 3. Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej wynosi nie losowo(stały. Zobaczymy później, że to samo dotyczy ciągłych zmiennych losowych.

Przykład 1. Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej X- liczbę części standardowych spośród trzech wybranych z partii 10 części, w tym 2 wadliwych. Stwórzmy serię dystrybucyjną dla X. Z warunków problemowych wynika, że X może przyjmować wartości 1, 2, 3. Następnie

Przykład 2. Określ oczekiwanie matematyczne zmiennej losowej X- liczba rzutów monetą przed pierwszym pojawieniem się herbu. Wielkość ta może przyjmować nieskończoną liczbę wartości (zbiór możliwych wartości to zbiór liczby naturalne). Jego szereg dystrybucyjny ma postać:

X … P …
R 0,5 (0,5) 2 … (0,5)P …

+ (przy obliczaniu wzór na sumę nieskończenie malejącą postęp geometryczny: , Gdzie ).

Właściwości oczekiwań matematycznych.

1) Matematyczne oczekiwanie na stałą jest równe samej stałej:

M(Z) = Z.(7.2)

Dowód. Jeśli weźmiemy pod uwagę Z jako dyskretna zmienna losowa przyjmująca tylko jedną wartość Z z prawdopodobieństwem R= 1, zatem M(Z) = Z?1 = Z.

2) Stały współczynnik można wyjąć ze znaku oczekiwania matematycznego:

M(CX) = CM(X). (7.3)

Dowód. Jeśli zmienna losowa X podane przez szeregi dystrybucyjne


Następnie M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p p str = Z(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r str) = CM(X).

Definicja 7.2. Wywoływane są dwie zmienne losowe niezależny, jeśli prawo podziału jednego z nich nie zależy od wartości, jakie przyjął drugi. W przeciwnym razie zmienne losowe zależny.

Definicja 7.3. Zadzwońmy iloczyn niezależnych zmiennych losowych X I Y zmienna losowa XY, których możliwe wartości są równe iloczynom wszystkich możliwych wartości X dla wszystkich możliwych wartości Y, a odpowiadające im prawdopodobieństwa są równe iloczynom prawdopodobieństw czynników.

3) Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:

M(XY) = M(X)M(Y). (7.4)

Dowód. Aby uprościć obliczenia, ograniczamy się do przypadku, gdy X I Y przyjmij tylko dwie możliwe wartości:

Stąd, M(XY) = X 1 y 1 ?P 1 G 1 + X 2 y 1 ?P 2 G 1 + X 1 y 2 ?P 1 G 2 + X 2 y 2 ?P 2 G 2 = y 1 G 1 (X 1 P 1 + X 2 P 2) + + y 2 G 2 (X 1 P 1 + X 2 P 2) = (y 1 G 1 + y 2 G 2) (X 1 P 1 + X 2 P 2) = M(X)?M(Y).

Notatka 1. W podobny sposób możesz udowodnić tę właściwość dla większej liczby możliwych wartości czynników.

Uwaga 2. Właściwość 3 jest prawdziwa dla iloczynu dowolnej liczby niezależnych zmiennych losowych, co udowadnia indukcja matematyczna.

Definicja 7.4. Zdefiniujmy suma zmiennych losowych X I Y jako zmienna losowa X+Y, których możliwe wartości są równe sumie każdej możliwej wartości X z każdą możliwą wartością Y; prawdopodobieństwa takich sum są równe iloczynom prawdopodobieństw wyrazów (w przypadku zależnych zmiennych losowych - iloczynom prawdopodobieństwa jednego składnika przez prawdopodobieństwo warunkowe drugiego).

4) Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych (zależnych lub niezależnych) jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:

M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)

Dowód.

Rozważmy jeszcze raz zmienne losowe określone szeregiem rozkładów podanym w dowodzie własności 3. Następnie możliwe wartości X+Y Czy X 1 + Na 1 , X 1 + Na 2 , X 2 + Na 1 , X 2 + Na 2. Oznaczmy ich prawdopodobieństwa odpowiednio jako R 11 , R 12 , R 21 i R 22. Znajdziemy M(X+Y) = (X 1 + y 1)P 11 + (X 1 + y 2)P 12 + (X 2 + y 1)P 21 + (X 2 + y 2)P 22 =

= X 1 (P 11 + P 12) + X 2 (P 21 + P 22) + y 1 (P 11 + P 21) + y 2 (P 12 + P 22).

Udowodnijmy to R 11 + R 22 = R 1. Rzeczywiście, wydarzenie, które X+Y przyjmie wartości X 1 + Na 1 lub X 1 + Na 2 i którego prawdopodobieństwo wynosi R 11 + R 22 zbiega się z wydarzeniem, które X = X 1 (jego prawdopodobieństwo wynosi R 1). Udowodniono to w podobny sposób P 21 + P 22 = R 2 , P 11 + P 21 = G 1 , P 12 + P 22 = G 2. Oznacza,

M(X+Y) = X 1 P 1 + X 2 P 2 + y 1 G 1 + y 2 G 2 = M (X) + M (Y).

Komentarz. Z własności 4 wynika, że ​​suma dowolnej liczby zmiennych losowych jest równa sumie oczekiwań matematycznych wyrazów.

Przykład. Znajdź matematyczne oczekiwanie sumy punktów uzyskanych w rzucie pięcioma kostkami.

Znajdźmy matematyczne oczekiwanie liczby punktów uzyskanych podczas rzucania jedną kostką:

M(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Ta sama liczba jest równa matematycznemu oczekiwaniu na liczbę punktów zdobytych na dowolnej kostce. Zatem według właściwości 4 M(X)=

Dyspersja.

Aby mieć pojęcie o zachowaniu zmiennej losowej, nie wystarczy znać tylko jej matematyczne oczekiwanie. Rozważ dwie zmienne losowe: X I Y, określone przez szereg dystrybucyjny postaci

X
R 0,1 0,8 0,1
Y
P 0,5 0,5

Znajdziemy M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Jak widać oczekiwania matematyczne obu wielkości są równe, ale jeśli dla HM(X) dobrze opisuje zachowanie zmiennej losowej, będąc jej najbardziej prawdopodobną możliwą wartością (a pozostałe wartości nie różnią się zbytnio od 50), to wartości Y znacznie odsunięty od M(Y). Dlatego wraz z oczekiwaniem matematycznym pożądane jest wiedzieć, jak bardzo wartości zmiennej losowej od niego odbiegają. Aby scharakteryzować ten wskaźnik, stosuje się dyspersję.

Definicja 7.5.Dyspersja (rozpraszanie) zmiennej losowej jest matematycznym oczekiwaniem kwadratu jej odchylenia od jej matematycznego oczekiwania:

D(X) = M (X-M(X))². (7,6)

Znajdźmy wariancję zmiennej losowej X(liczba części standardowych spośród wybranych) w przykładzie 1 tego wykładu. Obliczmy kwadratowe odchylenie każdej możliwej wartości od oczekiwań matematycznych:

(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Stąd,

Notatka 1. Przy określaniu rozproszenia ocenia się nie odchylenie od samej średniej, ale jej kwadrat. Odbywa się to w taki sposób, aby odchylenia różnych znaków nie znosiły się nawzajem.

Uwaga 2. Z definicji dyspersji wynika, że ​​wielkość ta przyjmuje wyłącznie wartości nieujemne.

Uwaga 3. Istnieje wygodniejszy do obliczeń wzór na obliczenie wariancji, którego ważność udowadnia następujące twierdzenie:

Twierdzenie 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)

Dowód.

Używając czego M(X) jest wartością stałą, a własności oczekiwań matematycznych przekształcamy wzór (7.6) do postaci:

D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X? M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =

= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), co należało udowodnić.

Przykład. Obliczmy wariancje zmiennych losowych X I Y omówione na początku tej sekcji. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Zatem wariancja drugiej zmiennej losowej jest kilka tysięcy razy większa niż wariancja pierwszej. Zatem nawet nie znając praw rozkładu tych wielkości, na podstawie znanych wartości dyspersji możemy to stwierdzić X odbiega nieznacznie od oczekiwań matematycznych, natomiast for Y to odchylenie jest dość znaczne.

Właściwości dyspersji.

1) Wariancja wartości stałej Z równe zeru:

D (C) = 0. (7.8)

Dowód. D(C) = M((CM(C))²) = M((CC)²) = M(0) = 0.

2) Stały współczynnik można usunąć ze znaku dyspersji podnosząc go do kwadratu:

D(CX) = C² D(X). (7.9)

Dowód. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =

= C² D(X).

3) Wariancja sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji:

D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)

Dowód. D(X+Y) = M(X² + 2 XY + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +

+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).

Wniosek 1. Wariancja sumy kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji.

Konsekwencja 2. Wariancja sumy stałej i zmiennej losowej jest równa wariancji zmiennej losowej.

4) Wariancja różnicy między dwiema niezależnymi zmiennymi losowymi jest równa sumie ich wariancji:

D(X-Y) = D(X) + D(Y). (7.11)

Dowód. D(X-Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).

Wariancja podaje średnią wartość kwadratu odchylenia zmiennej losowej od średniej; Do oceny samego odchylenia używana jest wartość zwana odchyleniem standardowym.

Definicja 7.6.Odchylenie standardoweσ zmienna losowa X zwany Pierwiastek kwadratowy z dyspersji:

Przykład. W poprzednim przykładzie odchylenia standardowe X I Y są odpowiednio równe

Jak już wiadomo, prawo dystrybucji całkowicie charakteryzuje zmienną losową. Często jednak prawo dystrybucji jest nieznane i trzeba ograniczyć się do mniejszej ilości informacji. Czasem jeszcze bardziej opłaca się zastosować liczby opisujące w sumie zmienną losową; takie liczby się nazywają charakterystyka liczbowa zmiennej losowej.

Jedną z ważnych cech liczbowych jest oczekiwanie matematyczne.

Oczekiwanie matematyczne jest w przybliżeniu równe średniej wartości zmiennej losowej.

Oczekiwanie matematyczne dyskretnej zmiennej losowej jest sumą iloczynów wszystkich możliwych wartości i ich prawdopodobieństw.

Jeżeli zmienna losowa charakteryzuje się skończonym szeregiem rozkładów:

X x 1 x 2 x 3 … x rz
R str. 1 str. 2 str. 3 … r str

następnie oczekiwanie matematyczne M(X) określone wzorem:

Matematyczne oczekiwanie ciągłej zmiennej losowej jest określone przez równość:

gdzie jest gęstością prawdopodobieństwa zmiennej losowej X.

Przykład 4.7. Znajdź matematyczne oczekiwanie liczby punktów, które pojawią się podczas rzucania kostką.

Rozwiązanie:

Losowa wartość X przyjmuje wartości 1, 2, 3, 4, 5, 6. Stwórzmy prawo jego rozkładu:

X
R

Zatem oczekiwanie matematyczne wynosi:

Właściwości oczekiwań matematycznych:

1. Matematyczne oczekiwanie na stałą wartość jest równe samej stałej:

M (S) = S.

2. Stały współczynnik można wyjąć z matematycznego znaku oczekiwania:

M (CX) = CM (X).

3. Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych:

M(XY) = M(X)M(Y).

Przykład 4.8. Niezależne zmienne losowe X I Y wynikają z następujących praw dystrybucji:

X Y
R 0,6 0,1 0,3 R 0,8 0,2

Znajdź matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej XY.

Rozwiązanie.

Znajdźmy matematyczne oczekiwania każdej z tych wielkości:

Zmienne losowe X I Y niezależne, dlatego wymagane oczekiwanie matematyczne wynosi:

M(XY) = M(X)M(Y)=

Konsekwencja. Oczekiwanie matematyczne iloczynu kilku wzajemnie niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych.

4. Oczekiwanie matematyczne sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych wyrazów:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Konsekwencja. Oczekiwanie matematyczne sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie oczekiwań matematycznych tych terminów.

Przykład 4.9. Oddaje się 3 strzały z prawdopodobieństwem trafienia w cel równym str. 1 = 0,4; p2= 0,3 i str. 3= 0,6. Znajdź matematyczne oczekiwanie całkowitej liczby trafień.

Rozwiązanie.

Liczba trafień przy pierwszym strzale jest zmienną losową X 1, które może przyjmować tylko dwie wartości: 1 (trafienie) z prawdopodobieństwem str. 1= 0,4 i 0 (chyba) z prawdopodobieństwem q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Matematyczne oczekiwanie liczby trafień przy pierwszym strzale jest równe prawdopodobieństwu trafienia:

Podobnie znajdujemy matematyczne oczekiwania dotyczące liczby trafień przy drugim i trzecim strzale:

M(X 2)= 0,3 i M(X 3)= 0,6.

Całkowita liczba trafień jest również zmienną losową składającą się z sumy trafień w każdym z trzech strzałów:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Wymagane oczekiwanie matematyczne X Znajdujemy to korzystając z twierdzenia o matematycznym oczekiwaniu sumy.

Wartość oczekiwana- średnia wartość zmiennej losowej (rozkład prawdopodobieństwa stacjonarnej zmiennej losowej), gdy liczba próbek lub liczba pomiarów (czasami nazywana liczbą testów) dąży do nieskończoności.

Średnia arytmetyczna jednowymiarowej zmiennej losowej skończoną liczbą zwykle nazywa się testy matematyczne oszacowanie oczekiwań. Ponieważ liczba prób stacjonarnego procesu losowego dąży do nieskończoności, oszacowanie oczekiwań matematycznych zmierza do oczekiwań matematycznych.

Oczekiwanie matematyczne jest jednym z podstawowych pojęć teorii prawdopodobieństwa).

Encyklopedyczny YouTube

    1 / 5

    ✪ Oczekiwanie i wariancja - bezbotvy

    ✪ Teoria prawdopodobieństwa 15: Oczekiwanie

    ✪ Oczekiwanie matematyczne

    ✪ Oczekiwanie i wariancja. Teoria

    ✪ Oczekiwania matematyczne w handlu

    Napisy na filmie obcojęzycznym

Definicja

Niech będzie dana przestrzeń prawdopodobieństwa (Ω, ZA, P) (\ Displaystyle (\ Omega, (\ mathfrak (A)), \ mathbb (P)}) i zdefiniowaną na nim zmienną losową X (\ displaystyle X). Czyli z definicji X: Ω → R (\ Displaystyle X \ dwukropek \ Omega \ do \ mathbb (R))- funkcja mierzalna. Jeśli istnieje całka Lebesgue’a z X (\ displaystyle X) przez przestrzeń Ω (\ displaystyle \ Omega), wówczas nazywa się to oczekiwaniem matematycznym lub wartością średnią (oczekiwaną) i jest oznaczane M [ X ] (\ displaystyle M [X]) Lub mi [ X ] (\ Displaystyle \ mathbb (E) [X]).

M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limity _ (\ Omega) \! X (\ omega) \, \ mathbb (P) (d \ omega).)

Podstawowe wzory na oczekiwania matematyczne

M [ X ] = ∫ - ∞ ∞ x re fa X (x) ; x ∈ R (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! x \, dF_ (X) (x); x \ in \ mathbb (R) ).

Matematyczne oczekiwanie na rozkład dyskretny

P. (X = x ja) = p ja , ∑ ja = 1 ∞ p ja = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = x_ (i)) = p_ (i), \; \ suma \ limity _ (i = 1 )^(\infty)p_(i)=1),

to wynika bezpośrednio z definicji całki Lebesgue’a, że

M [ X ] = ∑ ja = 1 ∞ x ja p ja (\ Displaystyle M [X] = \ suma \ limity _ (i = 1) ^ (\ infty) x_ (i) \, p_ (i)).

Oczekiwanie wartości całkowitej

P. (X = jot) = p jot, jot = 0, 1, . . . ; ∑ jot = 0 ∞ p jot = 1 (\ Displaystyle \ mathbb (P) (X = j) = p_ (j), \; j = 0,1, ...; \ quad \ suma \ limity _ (j = 0 )^(\infty)p_(j)=1)

wówczas jego matematyczne oczekiwanie można wyrazić poprzez funkcję generującą ciągu ( p ja ) (\ Displaystyle \ (p_ (i) \))

P. (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\ Displaystyle P (s) = \ suma _ (k = 0) ^ (\ infty) \; p_ (k) s ^ (k))

jako wartość pierwszej pochodnej w jedności: M [ X ] = P. ′ (1) (\ displaystyle M [X] = P" (1)). Jeśli oczekiwanie matematyczne X (\ displaystyle X) w nieskończoność lim s → 1 P. ′ (s) = ∞ (\ Displaystyle \ lim _ (s \ do 1) P" (s) = \ infty) i napiszemy P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\ Displaystyle P" (1) = M [X] = \ infty)

Weźmy teraz funkcję generującą Q (s) (\ displaystyle Q (s)) sekwencje ogonów dystrybucyjnych ( q k ) (\ displaystyle \ (q_ (k) \))

q k = P (X > k) = ∑ jot = k + 1 ∞ p jot ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\ Displaystyle q_ (k) = \ mathbb (P) (X> k) = \ suma _ (j = k + 1) ^ (\ infty) (p_ (j)); \ quad Q (s) = \ suma _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)

Ta funkcja generująca jest powiązana z wcześniej zdefiniowaną funkcją P (s) (\ displaystyle P (s)) nieruchomość: Q (s) = 1 - P. (s) 1 - s (\ Displaystyle Q (s) = (\ Frac (1-P (s)) (1-s)}} Na | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Z twierdzenia o wartości średniej wynika, że ​​oczekiwanie matematyczne jest po prostu równe wartości tej funkcji w jedności:

M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\ displaystyle M [X] = P"(1) = Q (1))

Matematyczne oczekiwanie rozkładu absolutnie ciągłego

M [ X ] = ∫ - ∞ ∞ x fa X (x) re x (\ Displaystyle M [X] = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (\ infty) \!xf_ (X) (x) \, dx ).

Matematyczne oczekiwanie wektora losowego

Pozwalać X = (X 1,…, X n) ⊤: Ω → R n (\ Displaystyle X = (X_ (1), \ kropki, X_ (n)) ^ (\ góra) \ dwukropek \ Omega \ do \ mathbb ( R)^(n))- wektor losowy. Wtedy z definicji

M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\ Displaystyle M [X] = (M, \ kropki, M) ^ (\ góra)),

to znaczy matematyczne oczekiwanie wektora jest określane składnik po składniku.

Oczekiwanie transformacji zmiennej losowej

Pozwalać g: R → R (\ Displaystyle g \ dwukropek \ mathbb (R) \ do \ mathbb (R) ) jest funkcją borelową taką, że zmienna losowa Y = sol (X) (\ displaystyle Y = g (X)) ma skończone oczekiwanie matematyczne. Wtedy formuła jest dla niego ważna

M [ sol (X) ] = ∑ ja = 1 ∞ sol (x ja) p ja , (\ Displaystyle M \ lewo = \ suma \ limity _ (i = 1) ^ (\ infty) g (x_ (i)) p_ ( I),)

Jeśli X (\ displaystyle X) ma dyskretny rozkład;

M [ sol (X) ] = ∫ - ∞ ∞ sol (x) fa X (x) re x , (\ Displaystyle M \ lewo = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! g (x )f_(X)(x)\,dx,)

Jeśli X (\ displaystyle X) ma rozkład absolutnie ciągły.

Jeśli dystrybucja P X (\ Displaystyle \ mathbb (P) ^ (X)) zmienna losowa X (\ displaystyle X) w takim razie widok ogólny

M [ sol (X) ] = ∫ - ∞ ∞ sol (x) P. X (re x) . (\ Displaystyle M \ lewo = \ int \ limity _ (- \ infty) ^ (\ infty) \! G (x) \, \ mathbb (P) ^ (X) (dx).)

W szczególnym przypadku, kiedy sol (X) = X k (\ Displaystyle g (X) = X ^ (k)), wartość oczekiwana M [ sol (X) ] = M [ X k ] (\ displaystyle M = M) zwany k (\ displaystyle k)-m moment zmiennej losowej.

Najprostsze własności oczekiwań matematycznych

  • Matematycznym oczekiwaniem liczby jest sama liczba.
M [ za ] ​​= za (\ displaystyle M [a] = a) za ∈ R (\ displaystyle a \ in \ mathbb (R) )- stała;
  • To znaczy, że oczekiwanie matematyczne jest liniowe
M [ za X + b Y ] = za M [ X ] + b M [ Y ] (\ displaystyle M = aM [X] + bM [Y]), Gdzie X , Y (\ displaystyle X, Y) są zmiennymi losowymi o skończonych oczekiwaniach matematycznych, oraz za , b ∈ R (\ Displaystyle a, b \ in \ mathbb (R) )- dowolne stałe; 0 ⩽ M [ X ] ⩽ M [ Y ] (\ Displaystyle 0 \ leqslant M [X] \ leqslant M [Y]); M [ X ] = M [ Y ] (\ displaystyle M [X] = M [Y]). M [ X Y ] = M [ X ] M [ Y ] (\ displaystyle M = M [X] M [Y]).

W poprzednim przedstawiliśmy szereg wzorów, które pozwalają znaleźć charakterystyki liczbowe funkcji, gdy znane są prawa rozkładu argumentów. Jednak w wielu przypadkach, aby znaleźć numeryczne charakterystyki funkcji, nie jest konieczna nawet znajomość praw rozkładu argumentów, wystarczy znać tylko niektóre ich charakterystyki liczbowe; jednocześnie zasadniczo obejdziemy się bez żadnych praw podziału. Wyznaczanie cech liczbowych funkcji na podstawie zadanych cech liczbowych argumentów jest szeroko stosowane w teorii prawdopodobieństwa i może znacznie uprościć rozwiązanie szeregu problemów. Większość tych uproszczonych metod dotyczy funkcji liniowych; jednakże niektóre elementarne funkcje nieliniowe również pozwalają na podobne podejście.

W niniejszym artykule przedstawimy szereg twierdzeń o numerycznych charakterystykach funkcji, które razem reprezentują bardzo prosty aparat do obliczania tych charakterystyk, mający zastosowanie w szerokim zakresie warunków.

1. Matematyczne oczekiwanie wartości nielosowej

Sformułowana właściwość jest dość oczywista; można to udowodnić, uznając zmienną nielosową za specjalny rodzaj losowości, mający jedną możliwą wartość z prawdopodobieństwem jedno; wówczas zgodnie z ogólnym wzorem na oczekiwanie matematyczne:

.

2. Wariancja wielkości nielosowej

Jeśli jest to wartość nielosowa, to

3. Podstawienie znaku oczekiwania matematycznego wartością nielosową

, (10.2.1)

oznacza to, że wartość nielosową można przyjąć jako znak oczekiwań matematycznych.

Dowód.

a) Dla ilości nieciągłych

b) Dla ilości ciągłych

.

4. Podstawienie znaku rozproszenia i odchylenia standardowego wartością nielosową

Jeśli jest wielkością nielosową i jest losowa, to

, (10.2.2)

to znaczy, że nielosową wartość można usunąć ze znaku rozproszenia, podnosząc go do kwadratu.

Dowód. Z definicji wariancji

Konsekwencja

,

to znaczy, że wartość nielosową można usunąć ze znaku odchylenia standardowego przez jego wartość bezwzględną. Dowód uzyskujemy wyciągając pierwiastek kwadratowy ze wzoru (10.2.2) i biorąc pod uwagę, że r.s.o. - wartość znacząco dodatnia.

5. Matematyczne oczekiwanie sumy zmiennych losowych

Udowodnijmy, że dla dowolnych dwóch zmiennych losowych i

to znaczy, że matematyczne oczekiwanie sumy dwóch zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań.

Właściwość ta znana jest jako twierdzenie o dodawaniu oczekiwań matematycznych.

Dowód.

a) Niech będzie układem nieciągłych zmiennych losowych. Zastosujmy ogólny wzór (10.1.6) do sumy zmiennych losowych na matematyczne oczekiwanie funkcji dwóch argumentów:

.

Ho reprezentuje nic innego jak całkowite prawdopodobieństwo, że ilość przyjmie wartość:

;

stąd,

.

Udowodnimy to podobnie

,

i twierdzenie zostało udowodnione.

b) Niech będzie układem ciągłych zmiennych losowych. Według wzoru (10.1.7)

. (10.2.4)

Przekształćmy pierwszą z całek (10.2.4):

;

podobnie

,

i twierdzenie zostało udowodnione.

Należy szczególnie zaznaczyć, że twierdzenie o dodawaniu oczekiwań matematycznych obowiązuje dla dowolnych zmiennych losowych – zarówno zależnych, jak i niezależnych.

Twierdzenie o dodawaniu oczekiwań matematycznych jest uogólniane na dowolną liczbę terminów:

, (10.2.5)

to znaczy, że matematyczne oczekiwanie sumy kilku zmiennych losowych jest równe sumie ich matematycznych oczekiwań.

Aby to udowodnić, wystarczy zastosować metodę indukcji zupełnej.

6. Oczekiwanie matematyczne funkcji liniowej

Rozważmy funkcję liniową kilku losowych argumentów:

gdzie są współczynnikami nielosowymi. Udowodnijmy to

, (10.2.6)

tj. matematyczne oczekiwanie funkcji liniowej jest równe tej samej funkcji liniowej oczekiwań matematycznych argumentów.

Dowód. Korzystając z twierdzenia o dodawaniu m.o. oraz zasadę umieszczania nielosowej wielkości poza znakiem m.o, otrzymujemy:

.

7. Wyśwodctę sumę zmiennych losowych

Wariancja sumy dwóch zmiennych losowych jest równa sumie ich wariancji plus dwukrotność momentu korelacji:

Dowód. Oznaczmy

Zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu oczekiwań matematycznych

Przejdźmy od zmiennych losowych do odpowiednich zmiennych wyśrodkowanych. Odejmując równość (10.2.9) wyraz po wyrazie od równości (10.2.8), otrzymujemy:

Z definicji wariancji

co było do okazania

Wzór (10.2.7) na wariancję sumy można uogólnić na dowolną liczbę wyrazów:

, (10.2.10)

gdzie jest momentem korelacji wielkości, znak pod sumą oznacza, że ​​sumowanie rozciąga się na wszystkie możliwe kombinacje parami zmiennych losowych .

Dowód jest podobny do poprzedniego i wynika ze wzoru na kwadrat wielomianu.

Wzór (10.2.10) można zapisać w innej formie:

, (10.2.11)

gdzie podwójna suma rozciąga się na wszystkie elementy macierzy korelacji układu wielkości , zawierający zarówno momenty korelacji, jak i wariancje.

Jeśli wszystkie zmienne losowe , zawarte w systemie, są nieskorelowane (tzn. gdy ), wzór (10.2.10) przyjmuje postać:

, (10.2.12)

to znaczy wariancja sumy nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa sumie wariancji składników.

Stanowisko to znane jest jako twierdzenie o dodawaniu wariancji.

8. Wariancja funkcji liniowej

Rozważmy funkcję liniową kilku zmiennych losowych.

gdzie są ilościami nielosowymi.

Udowodnijmy, że dyspersja tej funkcji liniowej wyraża się wzorem

, (10.2.13)

gdzie jest momentem korelacji wielkości , .

Dowód. Wprowadźmy oznaczenie:

. (10.2.14)

Stosując wzór (10.2.10) na rozproszenie sumy na prawą stronę wyrażenia (10.2.14) i biorąc pod uwagę, że , otrzymujemy:

gdzie jest moment korelacji wielkości:

.

Obliczmy ten moment. Mamy:

;

podobnie

Podstawiając to wyrażenie do (10.2.15) otrzymujemy wzór (10.2.13).

W szczególnym przypadku, gdy wszystkie ilości są nieskorelowane, wzór (10.2.13) przyjmuje postać:

, (10.2.16)

to znaczy wariancja funkcji liniowej nieskorelowanych zmiennych losowych jest równa sumie iloczynów kwadratów współczynników i wariancji odpowiednich argumentów.

9. Matematyczne oczekiwanie iloczynu zmiennych losowych

Oczekiwanie matematyczne iloczynu dwóch zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich oczekiwań matematycznych plus moment korelacji:

Dowód. Zaczniemy od definicji momentu korelacji:

Przekształćmy to wyrażenie, korzystając z właściwości oczekiwań matematycznych:

co jest oczywiście równoważne formule (10.2.17).

Jeżeli zmienne losowe nie są ze sobą skorelowane, wówczas wzór (10.2.17) przyjmuje postać:

to znaczy, że matematyczne oczekiwanie iloczynu dwóch nieskorelowanych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Stanowisko to znane jest jako twierdzenie o mnożeniu oczekiwań matematycznych.

Wzór (10.2.17) to nic innego jak wyrażenie drugiego mieszanego momentu centralnego układu poprzez drugi mieszany moment początkowy i oczekiwania matematyczne:

. (10.2.19)

Wyrażenie to jest często używane w praktyce przy obliczaniu momentu korelacji w taki sam sposób, w jaki dla jednej zmiennej losowej wariancję często oblicza się na podstawie drugiego momentu początkowego i oczekiwania matematycznego.

Twierdzenie o mnożeniu oczekiwań matematycznych uogólnia się na dowolną liczbę czynników, tylko w tym przypadku do jego zastosowania nie wystarczy, że wielkości są nieskorelowane, ale wymagane jest, aby pewne wyższe momenty mieszane, których liczba zależy na liczbie terminów w produkcie znikają. Warunki te są z pewnością spełnione, jeśli zmienne losowe zawarte w iloczynie są niezależne. W tym przypadku

, (10.2.20)

to znaczy matematyczne oczekiwanie iloczynu niezależnych zmiennych losowych jest równe iloczynowi ich matematycznych oczekiwań.

Twierdzenie to można łatwo udowodnić poprzez indukcję zupełną.

10. Wariancja iloczynu niezależnych zmiennych losowych

Udowodnimy to dla wielkości niezależnych

Dowód. Oznaczmy . Z definicji wariancji

Ponieważ ilości są niezależne i

Gdy są niezależne, ilości są również niezależne; stąd,

,

Ale nie ma nic więcej niż drugi początkowy moment wielkości i dlatego wyraża się poprzez rozproszenie:

;

podobnie

.

Podstawiając te wyrażenia do wzoru (10.2.22) i sprowadzając podobne wyrazy, dochodzimy do wzoru (10.2.21).

W przypadku mnożenia wyśrodkowanych zmiennych losowych (zmiennych z oczekiwaniami matematycznymi równymi zero) wzór (10.2.21) przyjmuje postać:

, (10.2.23)

to znaczy wariancja iloczynu niezależnych wyśrodkowanych zmiennych losowych jest równa iloczynowi ich wariancji.

11. Wyższe momenty sumy zmiennych losowych

W niektórych przypadkach konieczne jest obliczenie największych momentów sumy niezależnych zmiennych losowych. Udowodnimy pewne powiązane tu zależności.

1) Jeżeli wielkości są niezależne, to

Dowód.

skąd, zgodnie z twierdzeniem o mnożeniu oczekiwań matematycznych

Ale pierwszym centralnym momentem dowolnej wielkości jest zero; dwa środkowe człony znikają, a wzór (10.2.24) zostaje udowodniony.

Relację (10.2.24) można łatwo uogólnić poprzez indukcję do dowolnej liczby niezależnych terminów:

. (10.2.25)

2) Czwarty moment centralny sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych wyraża się wzorem

gdzie są wariancje ilości i .

Dowód jest całkowicie podobny do poprzedniego.

Stosując metodę indukcji zupełnej łatwo udowodnić uogólnienie wzoru (10.2.26) na dowolną liczbę niezależnych wyrazów.

– liczba chłopców na 10 noworodków.

Jest rzeczą oczywistą, że liczba ta nie jest z góry znana, a wśród kolejnych dziesięciorga urodzonych dzieci mogą znajdować się:

Albo chłopcy - jeden i tylko jeden z wymienionych opcji.

A żeby utrzymać formę, trochę wychowania fizycznego:

– odległość skoku w dal (w niektórych jednostkach).

Nawet mistrz sportu nie jest w stanie tego przewidzieć :)

Jednak Twoje hipotezy?

2) Ciągła zmienna losowa – akceptuje Wszystko wartości liczbowe z jakiegoś skończonego lub nieskończonego przedziału.

Notatka : skróty DSV i NSV są popularne w literaturze edukacyjnej

Najpierw przeanalizujmy dyskretną zmienną losową, a następnie - ciągły.

Prawo rozkładu dyskretnej zmiennej losowej

- Ten korespondencja między możliwymi wartościami tej wielkości a ich prawdopodobieństwami. Najczęściej prawo jest zapisane w tabeli:

Termin ten pojawia się dość często wiersz dystrybucja, ale w niektórych sytuacjach brzmi to dwuznacznie, dlatego będę się trzymał „prawa”.

I teraz bardzo ważny punkt: od zmiennej losowej Koniecznie zaakceptuje jedna z wartości, następnie tworzą się odpowiednie zdarzenia pełna grupa a suma prawdopodobieństw ich wystąpienia jest równa jeden:

lub, jeśli napisano w formie skróconej:

I tak na przykład prawo rozkładu prawdopodobieństwa punktów wyrzuconych na kostce ma następującą postać:

Bez komentarza.

Możesz mieć wrażenie, że dyskretna zmienna losowa może przyjmować tylko „dobre” wartości całkowite. Rozwiejmy złudzenia – mogą być dowolne:

Przykład 1

W niektórych grach obowiązuje następujące prawo dotyczące zwycięskiej dystrybucji:

...o takich zadaniach pewnie marzyłeś już od dawna :) Zdradzę Ci sekret - ja też. Zwłaszcza po zakończeniu pracy nad teoria pola.

Rozwiązanie: ponieważ zmienna losowa może przyjmować tylko jedną z trzech wartości, powstają odpowiednie zdarzenia pełna grupa, co oznacza, że ​​suma ich prawdopodobieństw jest równa jedności:

Demaskowanie „partyzanta”:

– zatem prawdopodobieństwo wygrania jednostek konwencjonalnych wynosi 0,4.

Kontrola: tego właśnie musieliśmy się upewnić.

Odpowiedź:

Nierzadko zdarza się, że musisz samodzielnie sporządzić prawo dystrybucyjne. Do tego używają klasyczna definicja prawdopodobieństwa, twierdzenia o mnożeniu/dodawaniu dotyczące prawdopodobieństw zdarzeń i inne chipsy tervera:

Przykład 2

Pudełko zawiera 50 losów na loterię, spośród których 12 wygrywa, a 2 z nich wygrywają po 1000 rubli, a pozostałe po 100 rubli. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – wielkości wygranej, jeśli z pudełka zostanie wylosowany jeden kupon.

Rozwiązanie: jak zauważyłeś, zwykle umieszczane są wartości zmiennej losowej w kolejności rosnącej. Dlatego zaczynamy od najmniejszych wygranych, czyli rubli.

Takich biletów jest w sumie 50 – 12 = 38 i wg klasyczna definicja:
– prawdopodobieństwo, że losowo wylosowany los okaże się przegrany.

W innych przypadkach wszystko jest proste. Prawdopodobieństwo wygrania rubli wynosi:

Sprawdź: – i to jest szczególnie przyjemny moment takich zadań!

Odpowiedź: pożądane prawo podziału wygranych:

Poniższe zadanie należy rozwiązać samodzielnie:

Przykład 3

Prawdopodobieństwo, że strzelec trafi w cel wynosi . Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – liczby trafień po 2 strzałach.

...Wiedziałem, że za nim tęskniliście :) Pamiętajmy Twierdzenia o mnożeniu i dodawaniu. Rozwiązanie i odpowiedź znajdują się na końcu lekcji.

Prawo dystrybucji całkowicie opisuje zmienną losową, ale w praktyce może być przydatne (a czasem bardziej przydatne) poznanie tylko części z niej charakterystyki numeryczne .

Oczekiwanie dyskretnej zmiennej losowej

W prostych słowach tak jest średnia wartość oczekiwana gdy testowanie jest powtarzane wiele razy. Niech zmienna losowa przyjmuje wartości z prawdopodobieństwem odpowiednio. Wtedy matematyczne oczekiwanie tej zmiennej losowej jest równe suma produktów wszystkie jego wartości do odpowiednich prawdopodobieństw:

lub upadł:

Obliczmy na przykład matematyczne oczekiwanie zmiennej losowej – liczby punktów wyrzuconych na kostce:

Przypomnijmy sobie teraz naszą hipotetyczną grę:

Powstaje pytanie: czy w ogóle opłaca się grać w tę grę? ...kto ma jakieś wrażenia? Nie można więc tego powiedzieć „od ręki”! Ale na to pytanie można łatwo odpowiedzieć, obliczając oczekiwanie matematyczne, zasadniczo - Średnia ważona według prawdopodobieństwa wygranej:

Zatem matematyczne oczekiwanie na tę grę przegrywający.

Nie ufaj swoim wrażeniom – zaufaj liczbom!

Tak, tutaj można wygrać 10, a nawet 20-30 razy z rzędu, ale na dłuższą metę czeka nas nieunikniona ruina. I nie radzę Ci grać w takie gry :) No, może tylko dla zabawy.

Z powyższego wynika, że ​​oczekiwanie matematyczne nie jest już wartością LOSOWĄ.

Zadanie twórcze do niezależnych badań:

Przykład 4

Pan X gra w europejską ruletkę według następującego systemu: stale stawia 100 rubli na „czerwone”. Narysuj prawo rozkładu zmiennej losowej – jej wygranej. Oblicz matematyczne oczekiwanie wygranej i zaokrąglij je do najbliższej kopiejki. Ile przeciętny Czy gracz przegrywa za każdą postawioną setkę?

Odniesienie : Ruletka europejska zawiera 18 czerwonych, 18 czarnych i 1 zielony sektor („zero”). Jeśli pojawi się „czerwony”, gracz otrzymuje podwójną stawkę, w przeciwnym razie trafia ona do dochodu kasyna

Istnieje wiele innych systemów ruletki, dla których możesz tworzyć własne tabele prawdopodobieństwa. Dzieje się tak jednak w przypadku, gdy nie potrzebujemy żadnych praw podziału ani tabel, ponieważ ustalono z całą pewnością, że oczekiwania matematyczne gracza będą dokładnie takie same. Jedyną rzeczą, która zmienia się z systemu na system, jest