Diagram Eulera-Venna - wizualne narzędzie do pracy z zestawami. Te diagramy pokazują wszystko możliwe opcje przecięcia zbiorów. Liczbę przecięć (obszarów) n określa się według wzoru:
n=2N,
gdzie N jest liczbą zestawów.
Zatem jeśli w zadaniu występują dwa zbiory, to n=2 2 =4, jeśli są trzy zbiory, to n=2 3 =8, jeśli są cztery zbiory, to n=2 4 =16. Dlatego diagramy Eulera-Venna są używane głównie dla dwóch lub trzech zbiorów.
Zbiory są przedstawiane jako okręgi (w przypadku użycia 2-3 zbiorów) i elipsy (w przypadku użycia 4 zbiorów) umieszczone w prostokącie (wszechświecie).
Zbiór uniwersalny (wszechświat) U (w kontekście problemu) - zbiór zawierający wszystkie elementy rozpatrywanego problemu: elementy wszystkich zbiorów problemu oraz elementy w nich nie zawarte.
Zestaw pusty Ø(w kontekście problemu) - zbiór, który nie zawiera ani jednego elementu rozpatrywanego problemu.
Na schemacie konstruowane są zbiory przecinające się i zamykane we wszechświecie. Identyfikowane są obszary, których liczba jest równa liczbie skrzyżowań.
Diagramy Eulera-Venna są również używane do reprezentacji wizualnej operacje logiczne.
Spójrzmy na przykłady konstruowania diagramów Eulera-Venna dla dwóch i trzech zbiorów.
Przykład 1
Wszechświat U=(0,1,2,3,4,5,6)
Diagramy Eulera-Venna dla dwóch zbiorów A i B:
Przykład 2
Niech będą następujące zbiory liczb:
Wszechświat U=(0,1,2,3,4,5,6,7)
Diagramy Eulera-Venna dla trzech zbiorów A, B, C:
Zdefiniujmy obszary i należące do nich liczby:
| A |
B |
C |
Przeznaczenie region | Liczby |
|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0) | 0 |
| 0 |
0 |
1 |
1) | 7 |
| 0 |
1 |
0 |
2) | 5 |
| 0 |
1 |
1 |
3) | 6 |
| 1 |
0 |
0 |
4) | 2 |
| 1 |
0 |
1 |
5) | 1 |
| 1 |
1 |
0 |
6) | 4 |
| 1 |
1 |
1 |
7) | 3 |
Przykład 3
Niech będą następujące zbiory liczb:
A=(0,1,2,3,4,5,6,7)
B=(3,4,5,7,8,9,10,13)
C=(0,2,3,7,8,10,11,12)
D=(0,3,4,6,9,10,11,14)
Wszechświat U=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)
Diagramy Eulera-Venna dla czterech zbiorów A, B, C, D:
Zdefiniujmy obszary i należące do nich liczby:
| A |
B |
C |
D | Przeznaczenie region | Liczby |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
0 |
0 |
0 | 0) | 15 |
| 0 |
0 |
0 |
1 | 1) | 14 |
| 0 |
0 |
1 |
0 | 2) | 12 |
| 0 |
0 |
1 |
1 | 3) | 11 |
| 0 |
1 |
0 |
0 | 4) | 13 |
| 0 |
1 |
0 |
1 | 5) | 9 |
| 0 |
1 |
1 |
0 | 6) | 8 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 7) | 10 |
| 1 |
0 |
0 |
0 | 8) | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 9) | 6 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 10) | 2 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 11) | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 12) | 5 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 13) | 4 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 14) | 7 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 15) | 3 |
Jeśli chcesz rozwiązać typowe problemy na zestawach, przejdź do artykułu.
Niektóre problemy można wygodnie i przejrzyście rozwiązać za pomocą diagramów Eulera-Venna. Na przykład problemy dotyczące zbiorów. Jeśli nie wiesz, czym są diagramy Eulera-Venna i jak je zbudować, przeczytaj najpierw.
Przyjrzyjmy się teraz typowym problemom dotyczącym zbiorów.
Zadanie 1.
W szkole z dogłębne studium języków obcych przeprowadziło badanie wśród 100 uczniów. Studentom zadano pytanie: „Co języki obce studiujesz?" Okazało się, że 48 uczniów uczy się języka angielskiego, 26 - francuskiego, 28 - niemieckiego. 8 uczniów uczy się angielskiego i niemieckiego, 8 - angielskiego i francuskiego, 13 - francuskiego i niemieckiego. 24 uczniów nie uczy się ani angielskiego, ani francuskiego, ani Niemiecki Ilu uczniów, którzy wypełnili ankietę, uczy się jednocześnie trzech języków: angielskiego, francuskiego i niemieckiego?
Odpowiedź: 3.
Rozwiązanie:
- wiele uczniów uczy się języka angielskiego („A”);
- wiele dzieci w wieku szkolnym uczy się francuskiego („F”);
- wiele uczniów uczy się języka niemieckiego („N”).
Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem.
Oznaczmy żądaną powierzchnię A=1, Ф=1, Н=1 jako „x” (w poniższej tabeli obszar nr 7). Wyraźmy pozostałe obszary za pomocą x.
0) Region A=0, Ф=0, Н=0: 24 uczniów – podano zgodnie z warunkami zadania.
1) Obszar A=0, F=0, H=1: 28-(8-x+x+13-x)=7+x uczniów.
2) Obszar A=0, F=1, H=0: 26-(8-x+x+13-x)=5+x uczniów.
3) Obszar A=0, F=1, N=1: 13 uczniów.
4) Obszar A=1, F=0, H=0: 48-(8-x+x+8-x)=32+x uczniów.
5) Obszar A=1, F=0, H=1: 8 uczniów.
6) Obszar A=1, F=1, H=0: 8 uczniów.
| № region | A |
F |
N |
Ilość uczniowie |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
24 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
7+x |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
5+x |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
13 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
32+x |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
8-te |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
8-te |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
X |
Zdefiniujmy x:
24+7+(x+5)+x+(13-x)+(32+x)+(8-x)+(8-x)+x=100.
x=100-(24+7+5+13+32+8+8)=100-97=3.
Ustaliliśmy, że 3 uczniów uczy się trzech języków jednocześnie: angielskiego, francuskiego i niemieckiego.
Tak będzie wyglądał diagram Eulera-Venna dla znanego x:
Zadanie 2.
Podczas Olimpiady Matematycznej uczniowie zostali poproszeni o rozwiązanie trzech problemów: jednego z algebry, jednego z geometrii i jednego z trygonometrii. W olimpiadzie wzięło udział 1000 uczniów. Wyniki Olimpiady były następujące: 800 uczestników rozwiązało zadanie z algebry, 700 z geometrii, 600 z trygonometrii, 600 uczniów rozwiązało zadania z algebry i geometrii, 500 z algebry i trygonometrii, 400 z geometrii i trygonometrii. 300 osób rozwiązało zadania z algebry, geometrii i trygonometrii. Ilu uczniów nie rozwiązało ani jednego problemu?
Odpowiedź: 100.
Rozwiązanie:
Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:
- wiele problemów z algebrą („A”);
- wiele problemów z geometrii („G”);
- wiele problemów z trygonometrii („T”).
Przedstawmy, co musimy znaleźć:
Określmy liczbę uczniów dla wszystkich możliwych obszarów.
Oznaczmy żądaną powierzchnię A=0, G=0, T=0 jako „x” (w poniższej tabeli obszar nr 0).
Znajdźmy pozostałe obszary:
1) Obszar A=0, G=0, T=1: brak uczniów.
2) Obszar A=0, G=1, T=0: brak uczniów.
3) Obszar A=0, G=1, T=1: 100 uczniów.
4) Obszar A=1, G=0, T=0: brak uczniów.
5) Region A=1, G=0, T=1: 200 uczniów.
6) Obszar A=1, D=1, T=0: 300 uczniów.
7) Region A=1, G=1, T=1: 300 uczniów.
Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:
| № region | A |
G |
T |
Ilość uczniowie |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
X |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
0 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
100 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
200 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
300 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
300 |
Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:
Zdefiniujmy x:
x=U-(A V Г V Т), gdzie U jest wszechświatem.
A V G V T=0+0+0+300+300+200+100=900.
Ustaliliśmy, że 100 uczniów nie rozwiązało ani jednego problemu.
Zadanie 3.
Na Olimpiadzie Fizycznej uczniowie mieli rozwiązać trzy zadania: z kinematyki, termodynamiki i optyki. Wyniki Olimpiady były następujące: 400 uczestników rozwiązało zadanie z kinematyki, 350 z termodynamiki i 300 z optyki, 300 uczniów rozwiązało zadania z kinematyki i termodynamiki, 200 z kinematyki i optyki, 150 z termodynamiki i optyki. 100 osób rozwiązało problemy z kinematyki, termodynamiki i optyki. Ilu uczniów rozwiązało dwa problemy?
Odpowiedź: 350.
Rozwiązanie:
Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:
- wiele problemów z kinematyką („K”);
- wiele problemów z termodynamiki („T”);
- wiele problemów w optyce („O”).
Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem:
Przedstawmy, co musimy znaleźć:
Określmy liczbę uczniów dla wszystkich możliwych obszarów:
0) Region K=0, T=0, O=0: nie określono.
1) Region K=0, T=0, O=1: 50 uczniów.
2) Region K=0, T=1, O=0: brak uczniów.
3) Region K=0, T=1, O=1: 50 uczniów.
4) Obszar K=1, T=0, O=0: brak uczniów.
5) Region K=1, T=0, O=1: 100 uczniów.
6) Region K=1, T=1, O=0: 200 uczniów.
7) Region K=1, T=1, O=1: 100 uczniów.
Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:
| № region | DO |
T |
O |
Ilość uczniowie |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
- |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
50 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
0 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
50 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
0 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
100 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
200 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
100 |
Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:
Zdefiniujmy x.
x=200+100+50=350.
Mamy to, 350 uczniów rozwiązało dwa problemy.
Zadanie 4.
Wśród przechodniów przeprowadzono ankietę. Zadano pytanie: „Jakie masz zwierzę?” Z wyników ankiety wynika, że 150 osób ma kota, 130 psa, a 50 ptaka. 60 osób ma kota i psa, 20 ma kota i ptaszka, 30 ma psa i ptaszka. 70 osób w ogóle nie ma zwierzęcia. 10 osób ma kota, psa i ptaka. Ilu przechodniów wzięło udział w ankiecie?
Odpowiedź: 300.
Rozwiązanie:
Najpierw definiujemy zbiory i wprowadzamy notację. Są trzy z nich:
- wiele osób ma kota („K”);
- wiele osób ma psa („C”);
- wiele osób ma ptaka („P”).
Przedstawmy za pomocą diagramu Eulera-Venna, co jest nam dane zgodnie z warunkiem:
Przedstawmy, co musimy znaleźć:
Ustalmy liczbę osób dla wszystkich możliwych obszarów:
0) Region K=0, S=0, P=0: 70 osób.
1) Powierzchnia K=0, S=0, P=1: 10 osób.
2) Region K=0, S=1, P=0: 50 osób.
3) Powierzchnia K=0, S=1, P=1: 20 osób.
4) Region K=1, S=0, P=0: 80 osób.
5) Powierzchnia K=1, T=0, O=1: 10 osób.
6) Obszar K=1, T=1, O=0: 50 osób.
7) Powierzchnia K=1, T=1, O=1: 10 osób.
Zapiszmy wartości obszarów w tabeli:
| № region | DO |
C |
P |
Ilość Człowiek |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 |
0 |
0 |
70 |
| 1 | 0 |
0 |
1 |
10 |
| 2 | 0 |
1 |
0 |
50 |
| 3 | 0 |
1 |
1 |
20 |
| 4 | 1 |
0 |
0 |
80 |
| 5 | 1 |
0 |
1 |
10 |
| 6 | 1 |
1 |
0 |
50 |
| 7 | 1 |
1 |
1 |
10 |
Wyświetlmy wartości dla wszystkich obszarów za pomocą diagramu:
Zdefiniujmy x:
x=U (wszechświat)
U=70+10+50+20+80+10+50+10=300.
Ustaliliśmy, że w ankiecie wzięło udział 300 osób.
Zadanie 5.
Na jedną specjalizację na jednej z uczelni rozpoczęło się 120 osób. Kandydaci zdawali trzy egzaminy: z matematyki, informatyki i języka rosyjskiego. Matematykę i informatykę zdało 60 osób, 40 - informatykę, 30 kandydatów zdało matematykę i informatykę, 30 - matematykę i język rosyjski, 25 - informatykę i język rosyjski. Wszystkie trzy egzaminy zdało 20 osób, a oblało 50 osób. Ilu kandydatów zdało egzamin z języka rosyjskiego?
Wikispaces zostało założone w 2005 roku i od tego czasu jest używane przez nauczycieli, firmy i osoby prywatne na całym świecie.
Niestety nadszedł czas, w którym musieliśmy podjąć trudną decyzję biznesową o zakończeniu usługi Wikispaces.
Po raz pierwszy o zamknięciu witryny ogłosiliśmy w styczniu 2018 r. poprzez baner obejmujący całą witrynę, który pojawiał się wszystkim zalogowanym użytkownikom i który należało kliknąć, aby zamknąć witrynę.
W okresie zamknięcia użytkownikom wyświetlano różne banery, w tym baner odliczający w ostatnim miesiącu. Dodatkowo strona główna Wikispaces.com stała się blogiem, w którym szczegółowo opisano przyczyny zamknięcia. W sprawie zamknięcia skontaktowano się osobno z administratorami witryny marek własnych
| Poziom Wikispaces | Data zamknięcia |
|---|---|
| Koniec usługi Classroom i Free Wiki | 31 lipca 2018 r |
| Koniec usługi Plus i Super Wiki | 30 września 2018 r |
| Koniec usługi Wiki Private Label | 31 stycznia 2019 r |
Dlaczego Wikispaces zostało zamknięte?
Około 18 miesięcy temu zakończyliśmy przegląd techniczny infrastruktury i oprogramowania, którego używaliśmy do obsługi użytkowników Wikispaces. W ramach przeglądu okazało się, że inwestycje wymagane w celu dostosowania infrastruktury i kodu do nowoczesnych standardów były bardzo znaczne. Rozważaliśmy wszystkie możliwe opcje utrzymania Wikispaces, ale doszliśmy do wniosku, że dalsze utrzymywanie usługi w dłuższej perspektywie nie jest opłacalne. Dlatego niestety musieliśmy zamknąć witrynę, ale poruszyły nas wiadomości od użytkowników z całego świata, którzy zaczęli tworzyć za jej pomocą witryny wiki, a teraz uruchamiają je na nowych platformach.
Chcielibyśmy skorzystać z okazji i podziękować Państwu za wsparcie przez te wszystkie lata.
