Tematyka artykułów naukowych na temat logiki. Praca naukowa z zakresu matematyki „rozwiązywanie problemów logicznych”. Sugerowane zadania do egzaminu Unified State Exam

Wstęp. 3

1. Logika matematyczna (logika bezsensowna) i logika „zdroworozsądkowa” 4

2. Sądy i wnioski matematyczne. 6

3. Logika matematyczna i „zdrowy rozsądek” w XXI wieku. jedenaście

4. Logika nienaturalna w podstawach matematyki. 12

Wniosek. 17

Referencje… 18

Poszerzenie obszaru zainteresowań logicznych wiąże się z ogólnymi trendami w rozwoju wiedzy naukowej. Zatem pojawienie się logiki matematycznej w połowie XIX wieku było wynikiem wielowiekowych dążeń matematyków i logików do zbudowania uniwersalnego języka symbolicznego, wolnego od „wad” języka naturalnego (przede wszystkim jego polisemii, czyli polisemii). .

Dalszy rozwój logiki wiąże się z łącznym wykorzystaniem logiki klasycznej i matematycznej w dziedzinach stosowanych. Logiki nieklasyczne (deontyczna, relewantna, prawnicza, logika decyzyjna itp.) często radzą sobie z niepewnością i niejasnością badanych obiektów, z nieliniowym charakterem ich rozwoju. Zatem analizując dość złożone problemy w systemach sztucznej inteligencji pojawia się problem synergii pomiędzy różnymi rodzajami rozumowania przy rozwiązywaniu tego samego problemu. Perspektywy rozwoju logiki na równi z informatyką wiążą się z utworzeniem pewnej hierarchii możliwych modeli rozumowania, obejmujących rozumowanie w języku naturalnym, rozumowanie przekonujące i sformalizowane wnioski dedukcyjne. Można to rozwiązać za pomocą logiki klasycznej, matematycznej i nieklasycznej. Nie mówimy zatem o różnych „logikach”, ale o różnym stopniu formalizacji myślenia i „wymiarze” znaczeń logicznych (logika dwuwartościowa, wielowartościowa itp.).

Identyfikacja głównych kierunków współczesnej logiki:

1. logika ogólna lub klasyczna;

2. logika symboliczna lub matematyczna;

3. Logika nieklasyczna.

Logika matematyczna jest pojęciem dość niejasnym, gdyż istnieje nieskończenie wiele logik matematycznych. Tutaj omówimy niektóre z nich, oddając większy hołd tradycji niż zdrowemu rozsądkowi. Bo całkiem możliwe, że to zdrowy rozsądek... Logiczne?

Logika matematyczna nie uczy logicznego rozumowania bardziej niż jakakolwiek inna dziedzina matematyki. Wynika to z faktu, że „logiczność” rozumowania w logice jest zdeterminowana przez samą logikę i może być poprawnie stosowana tylko w samej logice. W życiu myśląc logicznie, z reguły posługujemy się inną logiką i różnymi metodami logicznego rozumowania, bezwstydnie mieszając dedukcję z indukcją... Co więcej, w życiu budujemy nasze rozumowanie w oparciu o sprzeczne przesłanki, np. „Don „nie odkładaj na jutro tego, co możesz zrobić dzisiaj” i „Szybko rozśmieszysz ludzi”. Często zdarza się, że logiczny wniosek, który nam się nie podoba, prowadzi do rewizji wyjściowych przesłanek (aksjomatów).

Być może nadszedł czas, aby powiedzieć o logice, być może najważniejszej rzeczy: logika klasyczna nie zajmuje się znaczeniem. Ani zdrowy, ani żaden inny! Nawiasem mówiąc, do studiowania zdrowego rozsądku jest psychiatria. Ale w psychiatrii logika jest raczej szkodliwa.

Oczywiście, gdy odróżniamy logikę od sensu, mamy na myśli przede wszystkim logikę klasyczną i codzienne rozumienie zdrowego rozsądku. W matematyce nie ma zakazanych kierunków, dlatego badanie znaczenia za pomocą logiki i odwrotnie, w różnych formach, jest obecne w wielu współczesnych gałęziach nauk logicznych.

(Ostatnie zdanie wyszło dobrze, chociaż nie będę próbował nawet w przybliżeniu definiować terminu „nauka logiczna”). Znaczeniem, czy raczej semantyką, zajmuje się na przykład teoria modeli. Ogólnie rzecz biorąc, termin semantyka jest często zastępowany terminem interpretacja. A jeśli zgodzimy się z filozofami, że interpretacja (pokazanie!) przedmiotu jest jego zrozumieniem w jakimś określonym aspekcie, to graniczne sfery matematyki, którymi można zaatakować sens w logice, stają się niezrozumiałe!

W praktyce programowanie teoretyczne zmuszone jest zainteresować się semantyką. A w nim, oprócz samej semantyki, jest także operacyjna, denotacyjna, proceduralna itp. i tak dalej. semantyka...

Wspomnijmy tylko o apoteozie – TEORII KATEGORII, która sprowadziła semantykę do formalnej, niejasnej składni, gdzie znaczenie jest już tak proste – rozłożone na półkach, że zwykły śmiertelnik nie jest w stanie dosięgnąć jej sedna ... To jest dla elity.

Co więc robi logika? Przynajmniej w najbardziej klasycznej części? Logika robi tylko to, co robi. (I definiuje to niezwykle rygorystycznie). Najważniejsze w logice jest ścisłe zdefiniowanie tego! Ustal aksjomatyki. A wtedy logiczne wnioski powinny być (!) w dużej mierze automatyczne…

Rozumowanie na temat tych wniosków to inna sprawa! Ale te argumenty wykraczają już poza granice logiki! Dlatego wymagają ścisłego zmysłu matematycznego!

Może się wydawać, że jest to prosty werbalny balans. NIE! Jako przykład pewnego układu logicznego (aksjomatycznego) weźmy dobrze znaną grę 15. Ustalmy (wymieszamy) początkowy układ kwadratowych żetonów. Wtedy grę (logiczny wniosek!), a konkretnie przemieszczenie żetonów w pustą przestrzeń, da się sterować jakimś mechanicznym urządzeniem, a ty będziesz mógł cierpliwie patrzeć i cieszyć się, gdy w wyniku możliwych ruchów pojawi się sekwencja od 1 do 15 powstaje w pudełku.Jednak nikt nie zabrania sterowania urządzeniem mechanicznym i namawiania go, W OPARCIU O ZDROWY ROZSĄDEK, o prawidłowe ruchy chipów w celu przyspieszenia procesu. A może nawet udowodnić, wykorzystując do logicznego rozumowania np. taką dziedzinę matematyki jak KOMBINATORIKA, że przy danym początkowym ułożeniu żetonów w ogóle nie da się uzyskać wymaganej kombinacji końcowej!

Nie ma już zdrowego rozsądku w tej części logiki, która nazywa się ALGEBRA LOGICZNA. W tym miejscu przedstawiono OPERACJE LOGICZNE i zdefiniowano ich właściwości. Jak pokazała praktyka, w niektórych przypadkach prawa tej algebry mogą odpowiadać logice życia, ale w innych nie. Z powodu takiej niestałości prawa logiki nie mogą być uważane za prawa z punktu widzenia praktyki życiowej. Ich wiedza i mechaniczne zastosowanie może nie tylko pomóc, ale i zaszkodzić. Zwłaszcza psychologów i prawników. Sytuację komplikuje fakt, że wraz z prawami algebry logiki, które czasami odpowiadają rozumowaniu życiowemu lub nie, istnieją prawa logiczne, których niektórzy logicy kategorycznie nie uznają. Dotyczy to przede wszystkim tzw. praw WYŁĄCZNEGO TRZECIEGO i SPRZECZNOŚCI.

2. Sądy i wnioski matematyczne

W myśleniu pojęcia nie występują oddzielnie, są ze sobą w pewien sposób powiązane. Formą powiązania pojęć ze sobą jest sąd. W każdym sądzie ustala się jakiś związek lub związek między pojęciami, co potwierdza istnienie związku lub stosunku między przedmiotami objętymi odpowiednimi pojęciami. Jeśli sądy prawidłowo odzwierciedlają te obiektywnie istniejące zależności między rzeczami, to sądy takie nazywamy prawdziwymi, w przeciwnym razie sądy będą fałszywe. Na przykład zdanie „każdy romb jest równoległobokiem” jest zdaniem prawdziwym; twierdzenie „każdy równoległobok jest rombem” jest twierdzeniem fałszywym.

Zatem osąd jest formą myślenia, która odzwierciedla obecność lub nieobecność samego przedmiotu (obecność lub brak jakichkolwiek jego cech i powiązań).

Myślenie oznacza wydawanie sądów. Za pomocą sądów myśl i koncepcja otrzymują swój dalszy rozwój.

Ponieważ każde pojęcie odzwierciedla pewną klasę obiektów, zjawisk lub relacji między nimi, każdy osąd można uznać za włączenie lub niewłączenie (częściowe lub całkowite) jednego pojęcia do klasy innego pojęcia. Na przykład zdanie „każdy kwadrat jest rombem” wskazuje, że pojęcie „kwadrat” zawiera się w pojęciu „romb”; Zdanie „przecinające się linie nie są równoległe” wskazuje, że przecinające się linie nie należą do zbioru prostych zwanych równoległymi.

Wyrok ma swoją powłokę językową – zdanie, ale nie każde zdanie jest orzeczeniem.

Cechą charakterystyczną sądu jest obowiązkowa obecność prawdy lub fałszu w wyrażającym go zdaniu.

Na przykład zdanie „trójkąt ABC jest równoramienny” wyraża pewien osąd; zdanie „Czy ABC będzie równoramienne?” nie wyraża wyroku.

Każda nauka reprezentuje w istocie pewien system sądów o przedmiotach będących przedmiotem jej badań. Każdy z sądów jest sformalizowany w formie określonej propozycji, wyrażonej terminami i symbolami właściwymi dla tej nauki. Matematyka reprezentuje także pewien system sądów wyrażonych w zdaniach matematycznych za pomocą terminów matematycznych lub logicznych lub odpowiadających im symboli. Terminy matematyczne (lub symbole) oznaczają te pojęcia, które składają się na treść teorii matematycznej, terminy logiczne (lub symbole) oznaczają operacje logiczne, za pomocą których z pewnych twierdzeń matematycznych konstruowane są inne zdania matematyczne, z jednych sądów powstają inne sądy , którego całość stanowi matematykę jako naukę.

Ogólnie rzecz biorąc, sądy kształtują się w myśleniu na dwa główne sposoby: bezpośrednio i pośrednio. W pierwszym przypadku wynik percepcji wyraża się za pomocą wyroku, na przykład „ta figura to okrąg”. W drugim przypadku osąd powstaje w wyniku szczególnej aktywności umysłowej zwanej wnioskowaniem. Przykładowo „zbiór danych punktów na płaszczyźnie jest taki, że ich odległość od jednego punktu jest taka sama; Oznacza to, że ta figura jest kołem.”

W procesie tej aktywności umysłowej zwykle dokonuje się przejścia od jednego lub większej liczby powiązanych ze sobą sądów do nowego wyroku, który zawiera nową wiedzę na temat przedmiotu badań. To przejście to wnioskowanie, które reprezentuje najwyższą formę myślenia.

Zatem wnioskowanie to proces uzyskiwania nowego wniosku na podstawie jednego lub większej liczby danych sądów. Na przykład przekątna równoległoboku dzieli go na dwa przystające trójkąty (pierwsze twierdzenie).

Suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 2d (twierdzenie drugie).

Suma kątów wewnętrznych równoległoboku jest równa 4d (nowy wniosek).

Wartość poznawcza wniosków matematycznych jest niezwykle duża. Poszerzają granice naszej wiedzy o przedmiotach i zjawiskach świata rzeczywistego, gdyż większość twierdzeń matematycznych jest wnioskiem ze stosunkowo niewielkiej liczby sądów podstawowych, uzyskiwanych z reguły w drodze bezpośredniego doświadczenia i odzwierciedlających nasze najprostsza i najbardziej ogólna wiedza o jej przedmiotach.

Wnioskowanie różni się (jako forma myślenia) od pojęć i sądów tym, że jest logiczną operacją na indywidualnych myślach.

Nie każde połączenie sądów między sobą stanowi wniosek: musi istnieć między sądami pewien logiczny związek, odzwierciedlający obiektywny związek istniejący w rzeczywistości.

Na przykład nie można wyciągnąć wniosku ze zdań „suma kątów wewnętrznych trójkąta wynosi 2d” i „2*2=4”.

Jasne jest, jakie znaczenie w systemie naszej wiedzy matematycznej ma umiejętność prawidłowego konstruowania różnych zdań matematycznych czy wyciągania wniosków w procesie rozumowania. Język mówiony słabo nadaje się do wyrażania pewnych sądów, a tym bardziej do identyfikowania logicznej struktury rozumowania. Dlatego naturalne jest, że zaistniała potrzeba udoskonalenia języka używanego w procesie rozumowania. Najbardziej odpowiedni do tego okazał się język matematyczny (a raczej symboliczny). Specjalna dziedzina nauki, która pojawiła się w XIX wieku, logika matematyczna, nie tylko całkowicie rozwiązała problem stworzenia teorii dowodu matematycznego, ale także wywarła ogromny wpływ na rozwój matematyki jako całości.

Logiki formalnej (która powstała w starożytności w dziełach Arystotelesa) nie utożsamia się z logiką matematyczną (która powstała w XIX wieku w dziełach angielskiego matematyka J. Boole’a). Przedmiotem logiki formalnej jest badanie praw relacji sądów i pojęć we wnioskach i regułach dowodowych. Logika matematyczna różni się od logiki formalnej tym, że w oparciu o podstawowe prawa logiki formalnej bada wzorce procesów logicznych w oparciu o metody matematyczne: „Logiczne powiązania istniejące pomiędzy sądami, pojęciami itp. wyrażają się w formuły, których interpretacja jest wolna od dwuznaczności, które mogłyby łatwo wyniknąć z wyrażeń werbalnych. Zatem logikę matematyczną charakteryzuje formalizacja operacji logicznych, pełniejsza abstrakcja od określonej treści zdań (wyrażających dowolny sąd).

Zilustrujmy to jednym przykładem. Rozważ następujący wniosek: „Jeśli wszystkie rośliny są czerwone i wszystkie psy są roślinami, to wszystkie psy są czerwone”.

Każdy z przytoczonych tu sądów oraz ten, który otrzymaliśmy w wyniku powściągliwego wnioskowania, wydaje się jawną bzdurą. Jednak z punktu widzenia logiki matematycznej mamy tu do czynienia ze zdaniem prawdziwym, gdyż w logice matematycznej prawdziwość lub fałszywość wniosku zależy jedynie od prawdziwości lub fałszywości jego przesłanek składowych, a nie od ich konkretnej treści. Jeśli więc jednym z podstawowych pojęć logiki formalnej jest sąd, to analogicznym pojęciem logiki matematycznej jest pojęcie zdania-zdania, dla którego sensowne jest jedynie stwierdzenie, czy jest ono prawdziwe, czy fałszywe. Nie należy sądzić, że każde stwierdzenie charakteryzuje się brakiem „zdrowego rozsądku” w swojej treści. Po prostu znacząca część zdania, która składa się na to czy tamto stwierdzenie, w logice matematycznej schodzi na dalszy plan i jest nieistotna dla logicznej konstrukcji lub analizy tego czy innego wniosku. (Chociaż jest to oczywiście istotne dla zrozumienia treści omawianego zagadnienia przy rozpatrywaniu tej kwestii.)

Jest oczywiste, że w samej matematyce brane są pod uwagę stwierdzenia znaczące. Sądy matematyczne, ustanawiając różnorodne powiązania i relacje między pojęciami, potwierdzają lub zaprzeczają wszelkim związkom między przedmiotami i zjawiskami rzeczywistości.

3. Logika matematyczna i „zdrowy rozsądek” w XXI wieku.

Logika jest nie tylko nauką czysto matematyczną, ale także filozoficzną. W XX wieku te dwie powiązane ze sobą hipostazy logiki okazały się rozdzielone w różnych kierunkach. Z jednej strony logika rozumiana jest jako nauka o prawach prawidłowego myślenia, z drugiej strony przedstawiana jest jako zbiór luźno powiązanych sztucznych języków, które nazywane są formalnymi systemami logicznymi.

Dla wielu jest oczywiste, że myślenie jest złożonym procesem, za pomocą którego rozwiązuje się codzienne, naukowe czy filozoficzne problemy i rodzą się genialne pomysły lub fatalne złudzenia. Język jest przez wielu rozumiany po prostu jako środek, za pomocą którego wyniki myślenia można przekazać współczesnym lub pozostawić potomkom. Jednak łącząc w świadomości myślenie z pojęciem „procesu”, a język z pojęciem „środków”, w zasadzie przestajemy zauważać niezmienny fakt, że w tym przypadku „środki” nie są całkowicie podporządkowane „procesowi”. , ale w zależności od naszego celowego lub nieświadomego wyboru pewnych lub werbalnych klisz ma silny wpływ na przebieg i wynik samego „procesu”. Co więcej, nierzadko zdarza się, że taki „odwrotny wpływ” okazuje się nie tylko przeszkodą w prawidłowym myśleniu, ale czasami wręcz jego niszczycielem.

Z filozoficznego punktu widzenia zadanie postawione w ramach pozytywizmu logicznego nigdy nie zostało ukończone. Zwłaszcza w późniejszych badaniach jeden z twórców tego nurtu, Ludwig Wittgenstein, doszedł do wniosku, że języka naturalnego nie można zreformować zgodnie z programem opracowanym przez pozytywistów. Nawet język matematyki jako całość oparł się potężnemu naciskowi „logizmu”, choć wiele terminów i struktur języka zaproponowanych przez pozytywistów weszło do niektórych działów matematyki dyskretnej i znacząco je uzupełniło. Popularność pozytywizmu logicznego jako nurtu filozoficznego w drugiej połowie XX wieku zauważalnie spadła – wielu filozofów doszło do wniosku, że odrzucenie wielu „nielogiczności” języka naturalnego, próba wciśnięcia go w ramy podstawowych zasad pozytywizmu logicznego pociąga za sobą dehumanizację procesu poznania, a zarazem dehumanizację kultury ludzkiej jako całości.

Wiele metod rozumowania stosowanych w języku naturalnym jest często bardzo trudnych do jednoznacznego odwzorowania na języku logiki matematycznej. W niektórych przypadkach takie odwzorowanie prowadzi do znacznego zniekształcenia istoty naturalnego rozumowania. I są podstawy sądzić, że problemy te są konsekwencją początkowego stanowiska metodologicznego filozofii analitycznej i pozytywizmu dotyczącego nielogiczności języka naturalnego i konieczności jego radykalnej reformy. Krytyce nie wytrzymuje także bardzo oryginalne założenie metodologiczne pozytywizmu. Zarzucanie językowi mówionemu, że jest nielogiczny, jest po prostu absurdalne. Tak naprawdę nielogiczność nie charakteryzuje samego języka, ale wielu użytkowników tego języka, którzy po prostu nie umieją lub nie chcą posługiwać się logiką i kompensują tę wadę psychologicznymi lub retorycznymi technikami oddziaływania na opinię publiczną, albo w swoim rozumowaniu posługują się jako logika system, który nazywa się logiką tylko przez nieporozumienie. Jednocześnie jest wielu ludzi, których mowa wyróżnia się jasnością i logiką, a cech tych nie determinuje znajomość lub nieznajomość podstaw logiki matematycznej.

W rozumowaniu tych, których można zaliczyć do prawodawców lub zwolenników języka formalnego logiki matematycznej, często ujawnia się swego rodzaju „ślepota” na elementarne błędy logiczne. Na tę ślepotę zwrócił uwagę jeden z wielkich matematyków, Henri Poincaré, w podstawowych dziełach G. Cantora, D. Hilberta, B. Russella, J. Peano i innych na początku naszego stulecia.

Jednym z przykładów takiego nielogicznego podejścia do rozumowania jest sformułowanie słynnego paradoksu Russella, w którym dwa czysto heterogeniczne pojęcia „element” i „zbiór” są w nieuzasadniony sposób mylone. W wielu współczesnych pracach z zakresu logiki i matematyki, w których zauważalny jest wpływ programu Hilberta, nie wyjaśnia się wielu twierdzeń wyraźnie absurdalnych z punktu widzenia logiki naturalnej. Najprostszym przykładem tego rodzaju jest relacja pomiędzy „elementem” i „zbiorem”. Wiele prac zmierzających w tym kierunku twierdzi, że pewien zbiór (nazwijmy go A) może być elementem innego zbioru (nazwijmy go B).

Na przykład w znanym podręczniku logiki matematycznej znajdziemy następujące zdanie: „Zbiory same w sobie mogą być elementami zbiorów, więc na przykład zbiór wszystkich zbiorów liczb całkowitych ma zbiory jako swoje elementy”. Należy pamiętać, że to oświadczenie nie jest jedynie zastrzeżeniem. Zawarty jest on jako „ukryty” aksjomat w formalnej teorii mnogości, którą wielu ekspertów uważa za podstawę współczesnej matematyki, a także w systemie formalnym, który zbudował matematyk K. Gödel, dowodząc swojego słynnego twierdzenia o niekompletności systemów formalnych. Twierdzenie to odnosi się do dość wąskiej klasy systemów formalnych (obejmują formalną teorię mnogości i formalną arytmetykę), których struktura logiczna wyraźnie nie odpowiada strukturze logicznej naturalnego rozumowania i uzasadniania.

Jednak od ponad pół wieku jest ona przedmiotem gorącej dyskusji logików i filozofów w kontekście ogólnej teorii poznania. Przy tak szerokim uogólnieniu tego twierdzenia okazuje się, że wiele pojęć elementarnych jest zasadniczo niepoznawalnych. Jednak przy bardziej trzeźwym podejściu okazuje się, że twierdzenie Gödla pokazało jedynie niespójność programu formalnego uzasadnienia matematyki zaproponowanego przez D. Hilberta i podjętego przez wielu matematyków, logików i filozofów. Szerszy metodologiczny aspekt twierdzenia Gödla trudno uznać za akceptowalny, dopóki nie zostanie udzielona odpowiedź na następujące pytanie: czy program Hilberta uzasadniający matematykę jest jedynym możliwym? Aby zrozumieć dwuznaczność stwierdzenia „zbiór A jest elementem zbioru B”, wystarczy zadać proste pytanie: „Z jakich elementów zbudowany jest w tym przypadku zbiór B?” Z punktu widzenia logiki naturalnej możliwe są tylko dwa wzajemnie wykluczające się wyjaśnienia. Wyjaśnienie pierwsze. Elementami zbioru B są nazwy niektórych zbiorów, a w szczególności nazwa lub oznaczenie zbioru A. Przykładowo zbiór wszystkich liczb parzystych zawarty jest jako element w zbiorze wszystkich nazw (lub oznaczeń) zbiorów oddzielonych pewnymi cechami od zbioru wszystkich liczb całkowitych. Aby dać jaśniejszy przykład: zbiór wszystkich żyraf jest zawarty jako element zbioru wszystkich znanych gatunków zwierząt. W szerszym kontekście zbiór B można również utworzyć z pojęciowych definicji zbiorów lub odniesień do zbiorów. Wyjaśnienie drugie. Elementy zbioru B są elementami jakichś innych zbiorów, a w szczególności wszystkimi elementami zbioru A. Przykładowo każda liczba parzysta jest elementem zbioru wszystkich liczb całkowitych, albo każda żyrafa jest elementem zbioru zestaw wszystkich zwierząt. Ale potem okazuje się, że w obu przypadkach wyrażenie „zbiór A jest elementem zbioru B” nie ma sensu. W pierwszym przypadku okazuje się, że elementem zbioru B nie jest sam zbiór A, ale jego nazwa (albo oznaczenie, albo odniesienie do niego). W tym przypadku między zbiorem a jego oznaczeniem w sposób dorozumiany ustanawia się relacja równoważności, co jest niedopuszczalne ani z punktu widzenia zwykłego zdrowego rozsądku, ani z punktu widzenia intuicji matematycznej, co jest niezgodne z nadmiernym formalizmem. W drugim przypadku okazuje się, że zbiór A zawiera się w zbiorze B, tj. jest jego podzbiorem, ale nie elementem. Tutaj także następuje oczywista substytucja pojęć, gdyż relacja włączenia zbiorów i relacja przynależności (bycia elementem zbioru) w matematyce mają zasadniczo różne znaczenia. Na tym absurdzie opiera się słynny paradoks Russella, który podważył zaufanie logików do koncepcji zbioru – paradoks opiera się na dwuznacznym założeniu, że zbiór może być elementem innego zbioru.

Możliwe jest inne możliwe wyjaśnienie. Niech zbiór A będzie zdefiniowany przez proste wyliczenie jego elementów, na przykład A = (a, b). Zbiór B określa się z kolei poprzez wyliczenie niektórych zbiorów, np. B = ((a, b), (a, c)). W tym przypadku wydaje się oczywiste, że elementem B nie jest nazwa zbioru A, ale sam zbiór A. Jednak nawet w tym przypadku elementy zbioru A nie są elementami zbioru B i zbiór A jest tu traktowane jako nierozłączny zbiór, który z powodzeniem można zastąpić jego nazwą. Gdybyśmy jednak wszystkie elementy zawartych w nim zbiorów uznali za elementy zbioru B, to w tym przypadku zbiór B byłby równy zbiorowi (a, b, c), a zbiór A w tym przypadku nie byłby zbiorem element B, ale jego podzbiór. Okazuje się zatem, że ta wersja wyjaśnienia, w zależności od naszego wyboru, sprowadza się do wcześniej wymienionych opcji. A jeśli nie ma wyboru, powstaje elementarna niejednoznaczność, która często prowadzi do „niewytłumaczalnych” paradoksów.

Można by nie zwracać szczególnej uwagi na te niuanse terminologiczne, gdyby nie jedna okoliczność. Okazuje się, że wiele paradoksów i niespójności współczesnej logiki i matematyki dyskretnej jest bezpośrednią konsekwencją lub imitacją tej dwuznaczności.

Na przykład we współczesnym rozumowaniu matematycznym często używa się koncepcji „samozastosowalności”, co leży u podstaw paradoksu Russella. Formułując ten paradoks, samozastosowalność implikuje istnienie zbiorów, które są elementami samymi w sobie. To stwierdzenie od razu prowadzi do paradoksu. Jeśli weźmiemy pod uwagę zbiór wszystkich zbiorów „niesamostosowalnych”, okaże się, że jest on zarówno „samostosowalny”, jak i „niesamostosowalny”.

Logika matematyczna wniosła ogromny wkład w szybki rozwój technologii informatycznych w XX wieku, jednak koncepcja „sądu”, która pojawiła się w logice już za czasów Arystotelesa i na której opiera się logiczna podstawa języka naturalnego, , wypadł z pola widzenia. Takie zaniedbanie wcale nie przyczyniło się do rozwoju kultury logicznej w społeczeństwie, a nawet wzbudziło wśród wielu złudzenie, że komputery są w stanie myśleć nie gorzej niż sami ludzie. Wielu nie wstydzi się nawet faktu, że na tle powszechnej komputeryzacji u progu trzeciego tysiąclecia absurdy logiczne w samej nauce (nie mówiąc już o polityce, stanowieniu prawa i pseudonauce) są jeszcze częstsze niż pod koniec XIX wieku . Aby zrozumieć istotę tych absurdów, nie trzeba odwoływać się do skomplikowanych struktur matematycznych z relacjami wielomiejscowymi i funkcjami rekurencyjnymi stosowanymi w logice matematycznej. Okazuje się, że aby zrozumieć i przeanalizować te absurdy, wystarczy zastosować znacznie prostszą matematyczną strukturę sądu, która nie tylko nie zaprzecza matematycznym podstawom współczesnej logiki, ale w jakiś sposób je uzupełnia i poszerza.

Bibliografia

1. Wasiliew N. A. Logika wyobrażeniowa. Wybrane prace. - M.: Nauka. 1989; - s. 94-123.

2. Kulik B.A. Podstawowe zasady filozofii zdroworozsądkowej (aspekt poznawczy) // Sztuczna Inteligencja News, 1996, nr 3, s. 10-10. 7-92.

3. Kulik B.A. Logiczne podstawy zdrowego rozsądku / Pod redakcją D.A. Pospelow. - Petersburg, Politechnika, 1997. 131 s.

4. Kulik B.A. Logika zdrowego rozsądku. - Zdrowy Rozsądek, 1997, nr 1(5), s. 25. 44 - 48.

5. Styazhkin N.I. Tworzenie logiki matematycznej. M.: Nauka, 1967.

6. Soloviev A. Matematyka dyskretna bez wzorów. 2001//http://soloviev.nevod.ru/2001/dm/index.html

XI REGIONALNA KONFERENCJA NAUKowo-PRAKTYCZNA „CZYTANIKI KOLMOGOROWA”

Sekcja „Matematyka”

Temat

„Rozwiązywanie problemów logicznych”

Miejskie budżetowe kształcenie ogólne

szkoła nr 2 ul. Arkhońska,

7. klasa.

Dyrektor naukowy

nauczyciel matematyki MBOU Liceum nr 2 st. Arkhońska

Trimasova N.I.

„Rozwiązywanie problemów logicznych”

7. klasa

szkoła średnia

szkoła nr 2, ul. Arkhońska.

adnotacja

W pracy omówiono różne sposoby rozwiązywania problemów logicznych oraz różnorodne techniki. Każdy z nich ma swój własny obszar zastosowania. Ponadto w pracy można zapoznać się z podstawowymi pojęciami kierunku „matematyki bez wzorów” - logiką matematyczną oraz poznać twórców tej nauki. Można także zapoznać się z wynikami diagnozy „Rozwiązywanie problemów logicznych wśród uczniów szkół średnich”.

Treść

1. Wstęp_____________________________________________________ 4

2. Twórcy nauki „logiki”____________________________ 6

3.Jak nauczyć się rozwiązywać problemy logiczne?______________________ _8

4. Rodzaje i metody rozwiązywania problemów logicznych______________________ 9

4.1 Problemy typu „Kto jest kim?” 9

a) Metoda graficzna____________________________________________ 9

b) Metoda tabelaryczna__________________________________________ 11

4.2 Zadania taktyczne______________________________________________ 13

a) sposób rozumowania______________________________________________ 13

4.3 Problemy ze znalezieniem przecięcia lub sumy zbiorów__________________________________________________ 14

a) Koła Eulera____________________________________________ 14

4.5 Problemy z prawdą____________________________________________ 17

4.6 Problemy typu „kapelusz”____________________________________________ 18

5. Część praktyczna__________________________________________________________ 19

5.1 Badanie poziomu logicznego myślenia uczniów szkół średnich__________________________________________________________ 19

6. Wniosek__________________________________________________________ 23

7. Literatura__________________________________________________________ 24

„Rozwiązywanie problemów logicznych”

Krutogołowa Diana Aleksandrowna

7. klasa

Miejskie budżetowe kształcenie ogólne

szkoła średnia

szkoła nr 2, ul. Arkhońska.

1. Wstęp

Rozwijaniu aktywności twórczej, inicjatywy, ciekawości i pomysłowości sprzyja rozwiązywanie niestandardowych problemów.Pomimo tego, że szkolny kurs matematyki zawiera wiele interesujących problemów, wiele przydatnych problemów nie jest omawianych. Zadania te obejmują zadania logiczne.

Rozwiązywanie problemów logicznych jest bardzo ekscytujące. Wydaje się, że nie ma w nich matematyki - nie ma liczb, nie ma funkcji, nie ma trójkątów, nie ma wektorów, ale są tylko kłamcy i mędrcy, prawda i kłamstwo. Jednocześnie najwyraźniej wyczuwa się w nich ducha matematyki - połowa rozwiązania każdego problemu matematycznego (a czasem znacznie więcej niż połowa) polega na właściwym zrozumieniu warunku, rozwikłaniu wszystkich powiązań między uczestniczącymi obiektami.

Problem matematyczny niezmiennie pomaga w opracowaniu poprawnych koncepcji matematycznych, lepszym zrozumieniu różnych aspektów zależności w otaczającym życiu i umożliwia zastosowanie studiowanych zasad teoretycznych. Jednocześnie rozwiązywanie problemów przyczynia się do rozwoju logicznego myślenia.

Przygotowując tę pracę postawiłemcel - rozwijaj umiejętność rozumowania i wyciągania właściwych wniosków. Dopiero rozwiązanie trudnego, niestandardowego problemu przynosi radość zwycięstwa. Rozwiązując problemy logiczne, masz okazję pomyśleć o nietypowym stanie i przyczynie. To budzi i podtrzymuje moje zainteresowanie matematyką. Logiczna decyzja to najlepszy sposób na uwolnienie swojej kreatywności.

Znaczenie. W dzisiejszych czasach bardzo często sukces człowieka zależy od jego umiejętności jasnego myślenia, logicznego rozumowania i jasnego wyrażania swoich myśli.

Zadania: 1) zapoznanie się z pojęciami „logika” i „logika matematyczna”; 2) nauka podstawowych metod rozwiązywania problemów logicznych; 3) przeprowadzenie diagnostyki mającej na celu określenie poziomu logicznego myślenia uczniów klas 5-8.

Metody badawcze: gromadzenie, badanie, uogólnianie materiału doświadczalnego i teoretycznego

2. Twórcy nauki „logiki”

Logika jest jedną z najstarszych nauk. Nie da się obecnie dokładnie ustalić, kto, kiedy i gdzie po raz pierwszy zajął się tymi aspektami myślenia, które stanowią przedmiot logiki. Niektóre początki nauczania logicznego można znaleźć w Indiach pod koniec drugiego tysiąclecia p.n.e. mi. Jeśli jednak mówimy o pojawieniu się logiki jako nauki, czyli o mniej lub bardziej usystematyzowanym zasobie wiedzy, wówczas za kolebkę logiki należałoby uznać wielką cywilizację starożytnej Grecji. Było tu już w V-IV wieku p.n.e. mi. W okresie szybkiego rozwoju demokracji i związanego z nim bezprecedensowego odrodzenia życia społeczno-politycznego, podwaliny tej nauki położyły dzieła Demokryta, Sokratesa i Platona.

Założycielem logiki jako nauki jest starożytny grecki filozof i naukowiec Arystoteles (384-322 p.n.e.). Jako pierwszy rozwinął teorię dedukcji, czyli teorię wnioskowania logicznego. To on zwrócił uwagę na fakt, że w rozumowaniu inne wyprowadzamy z pewnych zdań, opierając się nie na konkretnej treści zdań, lecz na pewnym związku pomiędzy ich formami i strukturami.

Już wtedy w starożytnej Grecji powstały szkoły, w których ludzie uczyli się debatować. Uczniowie tych szkół nauczyli się sztuki poszukiwania prawdy i przekonywania innych do swojej racji. Nauczyli się wybierać te niezbędne z różnorodnych faktów, budować łańcuchy rozumowania łączące ze sobą poszczególne fakty i wyciągać właściwe wnioski.
Już od tamtych czasów powszechnie przyjęto, że logika jest nauką o myśleniu, a nie o przedmiotach prawdy obiektywnej.

Starożytny grecki matematyk Euklides (330-275 p.n.e.) jako pierwszy podjął próbę uporządkowania zgromadzonych do tego czasu obszernych informacji na temat geometrii. Położył podwaliny pod zrozumienie geometrii jako teorii aksjomatycznej i całej matematyki jako zbioru teorii aksjomatycznych.
Na przestrzeni wielu stuleci różni filozofowie i całe szkoły filozoficzne uzupełniały, ulepszały i zmieniały logikę Arystotelesa. Był to pierwszy, przedmatematyczny etap rozwoju logiki formalnej. Drugi etap wiąże się ze stosowaniem metod matematycznych w logice, co zapoczątkował niemiecki filozof i matematyk G. W. Leibniz (1646-1716). Próbował zbudować uniwersalny język, za pomocą którego rozstrzygałyby się spory między ludźmi, a następnie całkowicie „zastąpić wszelkie idee kalkulacjami”.
Ważny okres w kształtowaniu logiki matematycznej rozpoczyna się od prac angielskiego matematyka i logika George'a Boole'a (1815–1864) „Matematyczna analiza logiki” (1847) i „Badania nad prawami myśli” (1854). Zastosował do logiki metody współczesnej algebry - język symboli i wzorów, składanie i rozwiązywanie równań. Stworzył rodzaj algebry – algebry logiki. W tym okresie ukształtowała się ona jako algebra zdań i została znacznie rozwinięta w pracach szkockiego logika A. de Morgana (1806-1871), angielskiego – W. Jevonsa (1835-1882), amerykańskiego – C. Pierce i in. Stworzenie algebry logiki było ostatnim ogniwem w rozwoju logiki formalnej.

Znaczący impuls do nowego okresu w rozwoju logiki matematycznej dało stworzenie w pierwszej połowie XIX wieku przez wielkiego rosyjskiego matematyka N. I. Łobaczewskiego (1792-1856) i niezależnie przez węgierskiego matematyka J. Bolyai (1802-1802-1802). 1860) o geometrii nieeuklidesowej. Ponadto powstanie analizy nieskończenie małych doprowadziło do konieczności uzasadnienia pojęcia liczby jako podstawowego pojęcia wszelkiej matematyki. Paradoksy odkryte pod koniec XIX wieku w teorii mnogości dopełniły obrazu: wyraźnie pokazały, że trudności w uzasadnianiu matematyki mają charakter logiczny i metodologiczny. Tym samym logika matematyczna stanęła przed problemami, które nie występowały przed logiką Arystotelesa. W rozwoju logiki matematycznej ukształtowały się trzy kierunki uzasadnienia matematyki, w których twórcy na różne sposoby próbowali przezwyciężyć powstałe trudności.

3. Jak nauczyć się rozwiązywać problemy logiczne?

Wiele osób myśli tylko to, co myślą.

Uważają, że proces myślowy jest nieprzyjemny:

wymaga to umiejętności i pewnego wysiłku,

Po co się męczyć, skoro można to zrobić bez tego.

Ogdena Nasha

Logiczne lubnienumeryczne problemy stanowią szeroką klasę problemów niestandardowych. Dotyczy to przede wszystkim zadań tekstowych, w których konieczne jest rozpoznanie obiektów lub ułożenie ich w określonej kolejności, zgodnie z istniejącymi właściwościami. W takim przypadku niektóre stwierdzenia warunków problemowych mogą mieć różne wartości logiczne (być prawdziwe lub fałszywe).

Problemy z logiką tekstu można podzielić na następujące typy:

Wskazane jest, aby ćwiczyć rozwiązywanie każdego rodzaju problemu stopniowo, krok po kroku.

Dowiemy się więc, jak problemy logiczne można rozwiązywać na różne sposoby. Okazuje się, że takich technik jest kilka, są one różnorodne i każda z nich ma swój własny obszar zastosowania. Po szczegółowym zapoznaniu się dowiemy się, w jakich przypadkach wygodniej jest zastosować tę lub inną metodę.

4. Rodzaje i metody rozwiązywania problemów logicznych

4.1 Problemy typu „Kto jest kim?”

Problemy typu „Kto jest kim?” bardzo zróżnicowane pod względem złożoności, treści i możliwości rozwiązania. Z pewnością są interesujące.

a) Metoda grafowa

Jednym ze sposobów jest rozwiązanie za pomocą wykresów. Wykres to kilka punktów, z których niektóre są połączone ze sobą segmentami lub strzałkami (w tym przypadku wykres nazywa się zorientowanym). Musimy ustalić zgodność między dwoma typami obiektów (zbiorów). Kropki oznaczają elementy zbiorów, a zgodność między nimi - segmenty. Linia przerywana połączy dwa elementy, które sobie nie odpowiadają.

Problem 1 . Spotkało się trzech przyjaciół Belova, Krasnova i Chernova. Jedna z nich była ubrana w czarną sukienkę, druga w czerwoną, a trzecia w białą. Dziewczyna w białej sukni mówi do Czernowej: „Musimy zmienić sukienki, bo inaczej kolor naszych sukienek nie będzie odpowiadał naszym nazwiskom”. Kto miał na sobie jaką sukienkę?

Rozwiązanie. Rozwiązanie problemu jest proste, jeśli weźmie się pod uwagę, że:

Każdy element jednego zbioru koniecznie odpowiada elementowi innego zbioru, ale tylko jednemu

Jeżeli element każdego zbioru jest połączony segmentami przerywanymi ze wszystkimi elementami (z wyjątkiem jednego) innego zbioru, to jest on połączony z tym ostatnim segmentem pełnym.

Zamiast odcinków linii ciągłych można zastosować kolorowe, wtedy rozwiązanie będzie bardziej kolorowe,

Oznaczmy nazwiska dziewcząt na zdjęciu literami B, Ch, K i połączmy literę B z białą sukienką linią przerywaną, co będzie oznaczać: „Belova nie jest w białej sukience”. Następnie otrzymujemy trzy kolejne przerywane linie odpowiadające minusom w tabeli. Białą sukienkę może nosić tylko Krasnova - literę K i białą sukienkę połączymy ciągłą linią, co będzie oznaczać „Krasnova w białej sukience” itp.

W ten sam sposób możesz znaleźć zgodność między trzema zestawami.

Zadanie 2. W kawiarni spotkało się trzech przyjaciół: rzeźbiarz Biełow, skrzypek Czernow i artysta Ryżow. „To wspaniale, że jedno z nas ma białe włosy, drugie czarne, a trzecie rude, a żaden z naszych włosów nie pasuje do naszego nazwiska” – zauważył czarnowłosy mężczyzna. „Masz rację” – powiedział Biełow. Jakiego koloru są włosy artysty?

Rozwiązanie. Najpierw wszystkie warunki są naniesione na diagram. Rozwiązanie sprowadza się do znalezienia trzech trójkątów bryłowych o wierzchołkach znajdujących się w różnych zbiorach (rys. 2.).

Biełow Czernow Ryżow

rzeźbiarz skrzypek artysta

biały czarny czerwony

Artysta jest czarnowłosy

Rozwiązując, możemy otrzymać trójkąty trzech typów:

a) wszystkie boki są ciągłymi segmentami (rozwiązanie problemu);

b) jedna strona jest segmentem pełnym, a pozostałe są przerywane;

c) wszystkie boki są segmentami przerywanymi.

Niemożliwe jest zatem otrzymanie trójkąta, w którym dwa boki są segmentami pełnymi, a trzeci jest segmentem przerywanym.

Zadanie 3. Kto gdzie?

Dąb,klon, sosna, brzoza, pień!

Kryjąc się za nimi, czają się

Bóbr, zając, wiewiórka, ryś, jeleń.

Kto gdzie? Spróbuj to rozgryźć.

Gdzie jest ryś, ani zając, ani bóbr

Ani po lewej, ani po prawej stronie – to jasne.

Iobok wiewiórki - to przebiegłe -

Nie szukaj ich też na próżno.

Obok jelenia nie ma rysia.

I nie ma zająca ani po prawej, ani po lewej stronie.

A wiewiórka po prawej jest tam, gdzie jest jeleń!

Teraz rozpocznij poszukiwania bez obaw.

I chce ci doradzić

Wysoki pień porośnięty mchem:

- Kto gdzie? Znajdź właściwy szlak

Pomogą w tym wiewiórka i jeleń.

Rozwiązanie. Znajdźmy odpowiedź za pomocą wykresów, oznaczając każde zwierzę kropką i jego umiejscowienie strzałkami. Pozostaje tylko policzyć strzałki (ryc.)

Ryś Zając

Wiewiórka Zając Bóbr Jeleń Wiewiórka Ryś

Jeleń Dąb Klon Sosna Brzoza Kikut

bóbr

b) Metoda tabelaryczna

Drugi sposób rozwiązywania problemów logicznych - wykorzystanie tabel - jest również prosty i intuicyjny, ale można go zastosować tylko wtedy, gdy konieczne jest ustalenie zgodności między dwoma zbiorami. Wygodniej jest, gdy zbiory mają pięć lub sześć elementów.

Zadanie 4. Pewnego dnia siedem małżeństw zebrało się na rodzinnej uroczystości. Nazwiska mężczyzn: Władimirow, Fiodorow, Nazarow, Wiktorow, Stiepanow, Matwiejew i Tarasow. Imiona kobiet to: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masza, Olya i Galya.

Rozwiązanie. Rozwiązując problem wiemy, że każdy mężczyzna ma jedno nazwisko i jedną żonę.

Zasada nr 1: Każdy wiersz i każda kolumna tabeli może zawierać tylko jeden pasujący znak (na przykład „+”).

Zasada 2: Jeśli w rzędzie (lub kolumnie) wszystkie „miejsca”, z wyjątkiem jednego, są zajęte przez elementarny zakaz (znak rozbieżności, na przykład „-”), należy umieścić znak „+” na wolnym miejscu; jeżeli w rzędzie (lub kolumnie) znajduje się już znak „+”, to pozostałe miejsca należy zastąpić znakiem „-”.

Po narysowaniu tabeli musisz umieścić w niej znane zakazy w oparciu o warunki problemu. Po wypełnieniu tabeli zgodnie z warunkami problemu natychmiast otrzymujemy rozwiązania: (ryc. 3).

Tonya

Lucy

Lena

Swieta

Masza

Ola

Galia

Władimirow

Fiodorow

Nazarow

Wiktorow

Stiepanow

Matwiejew

Tarasow

4.2 Zadania taktyczne

Rozwiązywanie problemów taktycznych i teorii mnogości polega na sporządzeniu planu działania, który doprowadzi do prawidłowej odpowiedzi. Trudność polega na tym, że wyboru trzeba dokonać spośród bardzo dużej liczby opcji, tj. możliwości te nie są znane, trzeba je wymyślić.

a) Problemy z przesuwaniem lub prawidłowym ustawieniem bierek można rozwiązać na dwa sposoby: praktyczny (działania przy przesuwaniu bierek, wybieranie) i mentalny (myślenie o ruchu, przewidywanie wyniku, odgadywanie rozwiązania -sposób rozumowania ).

W sposobie rozumowania przy rozwiązywaniu pomocne są: diagramy, rysunki, krótkie notatki, umiejętność selekcji informacji, umiejętność stosowania reguły wyliczania.

Metodę tę zwykle stosuje się do rozwiązywania prostych problemów logicznych.

Problem 5 . Lena, Olya, Tanya wzięły udział w biegu na 100 m. Lena pobiegła 2 sekundy wcześniej niż Olya, Olya pobiegła 1 sekundę później niż Tanya. Kto przyszedł wcześniej: Tanya czy Lena i o ile sekund?

Rozwiązanie. Zróbmy diagram:

Lena Ola Tanya

Odpowiedź. Wcześniej Lena dotarła na 1. miejsce.

Rozważmy prosty problem.

Problem 6 . Pamiętając o jesiennym krzyżu, Wiewiórki kłócą się przez dwie godziny:

Zając wygrał wyścig.Adrugi był lisem!

- Nie, mówi inna wiewiórka,

- Ty do mnieżarty

Pamiętam, że pierwszym był łoś!

- „Ja”, powiedziała ważna sowa,

- Nie będę się wtrącać w czyjeś spory.

Ale w każdym Twoim słowie

Jest jeden błąd.

Wiewiórki prychnęły ze złością.

Stało się to dla nich nieprzyjemne.

Po zważeniu wszystkiego podejmujesz decyzję

Kto był pierwszy, kto drugi.

Rozwiązanie.

Zając - 1 2

Lis - 2

Łoś - 1

Jeśli założymy, że poprawnym stwierdzeniem jest zając przyszedł 1, to lis 2 nie jest prawdziwy, tj. w drugiej grupie twierdzeń obie opcje pozostają niepoprawne, ale jest to sprzeczne z warunkiem. Odpowiedź: Łoś - 1, Lis - 2, Zając - 3.

4.3 Problemy znalezienia przecięcia lub sumy zbiorów (okręgów Eulera)

Innym typem problemu jest problem, w którym należy znaleźć jakieś przecięcie zbiorów lub ich sumę, przestrzegając warunków zadania.

Rozwiążmy problem 7:

Spośród 52 uczniów 23 zbiera odznaki, 35 pieczątki, a 16 zarówno odznaki, jak i pieczątki. Reszta nie jest zainteresowana zbieraniem. Ilu uczniów nie jest zainteresowanych kolekcjonowaniem?

Rozwiązanie. Warunki tego problemu nie są łatwe do zrozumienia. Jeśli dodamy 23 i 35, otrzymamy więcej niż 52. Wyjaśnia to fakt, że część uczniów policzyliśmy tutaj dwukrotnie, a mianowicie tych, którzy zbierają zarówno odznaki, jak i pieczątki.Aby ułatwić dyskusję, skorzystajmy z kręgów Eulera

Na obrazku jest duże kołooznacza 52 uczniów, o których mowa; okrąg 3 przedstawia uczniów zbierających odznaki, a okrąg M przedstawia uczniów zbierających znaczki.

Duży okrąg jest podzielony przez okręgi 3 i M na kilka obszarów. Przecięcie okręgów 3 i M odpowiada uczniom zbierającym zarówno odznaki, jak i pieczątki (ryc.). Część koła 3 nie należąca do koła M odpowiada uczniom zbierającym wyłącznie odznaki, a część koła M nienależąca do koła 3 odpowiada uczniom zbierającym wyłącznie pieczątki. Wolna część dużego koła reprezentuje uczniów, którzy nie są zainteresowani kolekcjonowaniem.

Będziemy sekwencyjnie wypełniać nasz diagram, wpisując odpowiednią liczbę w każdym obszarze. Zgodnie z warunkiem zarówno odznaki, jak i pieczątki zbiera 16 osób, zatem na przecięciu okręgów 3 i M napiszemy liczbę 16 (ryc.).

Ponieważ 23 uczniów zbiera odznaki, a 16 uczniów zbiera zarówno odznaki, jak i pieczątki, to 23 - 16 = 7 osób zbiera samo odznaki. W ten sam sposób jedynie znaczki zbiera 35 – 16 = 19 osób. Napiszmy liczby 7 i 19 w odpowiednich obszarach diagramu.

Na zdjęciu wyraźnie widać, ile osób jest zaangażowanych w zbieranie. Aby się tego dowiedziećmusisz dodać liczby 7, 9 i 16. Otrzymujemy 42 osoby. Oznacza to, że 52 - 42 = 10 uczniów w dalszym ciągu nie jest zainteresowanych kolekcjonowaniem. To jest odpowiedź na zadanie, można je wpisać w wolne pole dużego koła.

Metoda Eulera jest niezbędna do rozwiązania niektórych problemów, a także znacznie upraszcza rozumowanie.

4.4 Zagadki i zadania z gwiazdkami

Zagadki z literami i przykłady z gwiazdkami rozwiązuje się, wybierając i rozważając różne opcje.

Takie problemy różnią się złożonością i schematem rozwiązania. Spójrzmy na jeden taki przykład.

Problem 8 Rozwiąż zagadkę liczbową

WNP

KSI

ISK

Rozwiązanie. Kwota ORAZ+ C (w miejscu dziesiątek) kończy się na C, ale I ≠ 0 (patrz miejsce jednostek). Oznacza to, że zapamiętane zostanie I = 9 i 1 dziesięć w miejscu jednostek. Teraz łatwo jest znaleźć K na miejscu setek: K = 4. Dla C pozostaje tylko jedna możliwość: C = 5.

4.5 Problemy z prawdą

Problemy, w których konieczne jest ustalenie prawdziwości lub fałszywości twierdzeń, będziemy nazywać problemami prawdziwości.

Problem 9 . Trzej przyjaciele Kolya, Oleg i Petya bawili się na podwórku, a jeden z nich przypadkowo rozbił piłką szybę okienną. Kola powiedział: „To nie ja stłukłem szybę”. Oleg powiedział: „Petya rozbił szybę”. Później odkryto, że jedno z tych stwierdzeń było prawdziwe, a drugie fałszywe. Który chłopiec rozbił szybę?

Rozwiązanie. Załóżmy, że Oleg powiedział prawdę, wtedy Kola również powiedział prawdę, a to jest sprzeczne z warunkami problemu. W rezultacie Oleg skłamał, a Kola powiedział prawdę. Z ich zeznań wynika, że Oleg rozbił szybę.

Problem 10 Czterech uczniów - Vitya, Petya, Yura i Sergei - zajęło cztery pierwsze miejsca na Olimpiadzie Matematycznej. Na pytanie, jakie miejsca zajęli, udzielano następujących odpowiedzi:

a) Petya - druga, Vitya - trzecia;

b) Siergiej - drugi, Petya - pierwszy;

c) Yura - druga, Vitya - czwarta.

Wskaż, kto zajął jakie miejsce, jeśli tylko jedna część każdej odpowiedzi jest prawidłowa.

Rozwiązanie. Załóżmy, że stwierdzenie „Piotr - II” jest prawdziwe, wówczas oba stwierdzenia drugiej osoby są nieprawidłowe, co jest sprzeczne z warunkami problemu.

Załóżmy, że stwierdzenie „Siergiej - II” jest prawdziwe, wówczas oba stwierdzenia pierwszej osoby są nieprawidłowe, co jest sprzeczne z warunkami problemu.

Załóżmy, że stwierdzenie „Jura – II” jest prawdziwe, to pierwsze stwierdzenie pierwszej osoby jest fałszywe, a drugie prawdziwe. A pierwsze stwierdzenie drugiej osoby jest błędne, ale drugie jest poprawne.

Odpowiedź: pierwsze miejsce - Petya, drugie miejsce - Yura, trzecie miejsce - Vitya, czwarte miejsce Siergiej.

4.6 Problemy typu „kapelusze”.

Najbardziej znany problem dotyczy mędrców, którzy muszą określić kolor kapelusza na głowie. Aby rozwiązać taki problem, musisz przywrócić łańcuch logicznego rozumowania.

Problem 11 . „Jakiego koloru są berety?”

Trójka przyjaciół: Anya, Shura i Sonya, siedziała jedna po drugiej w amfiteatrze bez biretów. Sonya i Shura nie mogą patrzeć wstecz. Shura widzi tylko głowę Sonyi siedzącej pod nią, a Anya widzi głowy obu przyjaciół. Z pudełka zawierającego 2 białe i 3 czarne berety (wszyscy trzej znajomi o tym wiedzą) wyjęli trzy i włożyli je na głowy, nie mówiąc już o kolorze beretu; w pudełku pozostały dwa berety. Kiedy Anya została zapytana o kolor beretu, który ją założyli, nie była w stanie odpowiedzieć. Shura usłyszała odpowiedź Anyi i powiedziała, że ona również nie potrafi określić koloru swojego beretu. Czy na podstawie odpowiedzi znajomych Sonya potrafi określić kolor swojego beretu?

Rozwiązanie. Można rozumować w ten sposób. Z odpowiedzi Anyi obie dziewczyny doszły do wniosku, że obie nie mogą mieć na głowie dwóch białych beretów. (W przeciwnym razie Anya od razu powiedziałaby, że ma na głowie czarny beret). Mają albo dwa czarne, albo białe i czarne. Jeśli jednak Sonya miała na głowie biały beret, Shura powiedziała również, że nie wie, który beret ma na głowie, zatem Sonya miała na głowie czarny beret.

5. Część praktyczna

1. Badanie poziomu logicznego myślenia uczniów gimnazjów.

W praktycznej części pracy badawczej wybrałem problemy logiczne takie jak:Kto jest kim?

Zadania odpowiadały poziomowi wiedzy odpowiednio klas V i VI, VII i VIII. Studenci rozwiązali te problemy, a ja przeanalizowałem wyniki. Rozważmy uzyskane wyniki bardziej szczegółowo.

Dla klas V i VI zaproponowano następujące zadania:

Problem 1. Pamiętając o jesiennym krzyżu, Wiewiórki kłócą się przez dwie godziny:

Zając wygrał wyścig.Adrugi był lisem!

- Nie, mówi inna wiewiórka,

- Ty do mnieżartywyrzuć je. Zając był oczywiście drugi

Pamiętam, że pierwszym był łoś!

- „Ja”, powiedziała ważna sowa,

- Nie będę się wtrącać w czyjeś spory.

Ale w każdym Twoim słowie

Jest jeden błąd.

Wiewiórki prychnęły ze złością.

Stało się to dla nich nieprzyjemne.

Po zważeniu wszystkiego podejmujesz decyzję

Kto był pierwszy, kto drugi.

Zadanie 2. Spotkało się trzech przyjaciół Biełowej, Krasnowej i Czernowej. Jedna z nich była ubrana w czarną sukienkę, druga w czerwoną, a trzecia w białą. Dziewczyna w białej sukni mówi do Czernowej: „Musimy zmienić sukienki, bo inaczej kolor naszych sukienek nie będzie odpowiadał naszym nazwiskom”. Kto miał na sobie jaką sukienkę?

Wśród uczniów klas V i VI znalazło się 25 osób z zaproponowanymi zadaniami typu „Kto jest kim?” Ukończyło go 11 osób, w tym 5 dziewcząt i 6 chłopców. Wyniki rozwiązywania problemów logicznych przez uczniów klas V i VI przedstawia rysunek:

Z wykresu wynika, że 44% z powodzeniem rozwiązało oba problemy „Kto jest kim?”. Prawie wszyscy uczniowie poradzili sobie z pierwszym zadaniem, drugie zadanie, z wykorzystaniem wykresów lub tabel, sprawiło dzieciom trudności.

Podsumowując, możemy stwierdzić, że generalnie uczniowie klas V i VI radzą sobie z prostszymi zadaniami, jednak jeśli do rozumowania doda się nieco więcej elementów, to nie wszyscy radzą sobie z takimi zadaniami.

Dla klas VII i VIII zaproponowano następujące zadania:

Zadanie 1. Lena, Olya, Tanya wzięły udział w biegu na 100 m. Lena pobiegła 2 sekundy wcześniej niż Olya, Olya pobiegła 1 sekundę później niż Tanya. Kto przyszedł wcześniej: Tanya czy Lena i o ile sekund?

Problem 3. Dawno, dawno temu siedem małżeństw zebrało się na rodzinnym święcie. Nazwiska mężczyzn: Władimirow, Fiodorow, Nazarow, Wiktorow, Stiepanow, Matwiejew i Tarasow. Imiona kobiet to: Tonya, Lyusya, Lena, Sveta, Masza, Olya i Galya.Wieczorem Władimirow tańczył z Leną i Swietą, Nazarow - z Maszą i Swietą, Tarasow - z Leną i Olyą, Wiktorow - z Leną, Stiepanow - ze Swietą, Matwiejew - z Olyą. Potem zaczęli grać w karty. Najpierw Wiktorow i Władimirow grali z Olą i Galią, następnie Stiepanow i Nazarow zastąpili mężczyzn, a kobiety kontynuowały grę. I na koniec Stiepanow i Nazarow rozegrali jedną grę z Tonyą i Leną.

Spróbuj ustalić, kto jest z kim żonaty, jeśli wiadomo, że wieczorem ani jeden mężczyzna nie tańczył z żoną i ani jedno małżeństwo nie usiadło jednocześnie przy stole podczas gry.

W 7. i 8. klasie wśród 33 osób ze wszystkimi problemami typu „Kto jest kim?” Ukończyło go 18 osób, w tym 8 dziewcząt i 10 chłopców.

Wyniki rozwiązywania problemów logicznych przez uczniów klas 7 i 8 przedstawia rysunek:

Z wykresu wynika, że 55% uczniów poradziło sobie ze wszystkimi zadaniami, 91% wykonało zadanie pierwsze, 67% pomyślnie rozwiązało zadanie drugie, a ostatnie zadanie okazało się dla dzieci najtrudniejsze i jedynie 58% je wykonało.

Analizując uzyskane wyniki, ogólnie rzecz biorąc, można stwierdzić, że uczniowie klas VII i VIII lepiej radzili sobie z rozwiązywaniem problemów logicznych. Gorzej wypadli uczniowie klas V i VI, być może wynika to z faktu, że rozwiązywanie tego typu zadań wymaga dobrej znajomości matematyki, a uczniowie klas V nie mają jeszcze doświadczenia w rozwiązywaniu tego typu problemów.

Prowadziłam także zajęcia społeczne. ankieta wśród uczniów klas 5-8. Zadawałem wszystkim pytanie: „Które problemy są łatwiejsze do rozwiązania: matematyczne czy logiczne? W badaniu wzięło udział 15 osób. Odpowiedziało 10 osób - matematyczne, 3-logiczne, 2 - nie potrafią niczego rozwiązać. Wyniki ankiety przedstawiono na rysunku:

Z wykresu wynika, że problemy matematyczne są łatwiejsze do rozwiązania dla 67% respondentów, problemy logiczne dla 20%, a 13% nie będzie w stanie rozwiązać żadnego problemu.

6.Wniosek

W tej pracy zapoznałeś się z problemami logicznymi. Z czym jest logika. Zwróciliśmy uwagę na różne zadania logiczne, które pomagają rozwijać logiczne i twórcze myślenie.

Każde normalne dziecko ma pragnienie wiedzy, chęć sprawdzenia się. Najczęściej zdolności uczniów pozostają dla siebie nieodkryte, nie są pewni swoich umiejętności, są obojętni na matematykę.

Dla takich uczniów proponuję zastosować zadania logiczne. Zadania te można rozpatrywać na zajęciach klubowych i fakultatywnych.

Muszą być przystępne, budzić inteligencję, przykuwać uwagę, zaskakiwać, budzić do aktywnej wyobraźni i samodzielnych decyzji.

Wierzę również, że logika pomaga nam radzić sobie z wszelkimi trudnościami w życiu, a wszystko, co robimy, powinno być logicznie rozumiane i uporządkowane.

Z logiką i problemami logicznymi spotykamy się nie tylko w szkole na lekcjach matematyki, ale także na innych przedmiotach.

7. Literatura

Dorofeev G.V. Matematyka kl.6.-Oświecenie,: 2013.

Matveeva G. Problemy logiczne // Matematyka. - 1999. Nr 25. - s. 4-8.

Orlova E. Metody rozwiązania problemy logiczne i problemy liczbowe //

Matematyka. - 1999. Nr 26. - s. 27-29.

4. Sharygin I.F. , Szewkin E.A. Zadania dla pomysłowości.-Moskwa,: Edukacja, 1996.-65 s.

Uwaga studenci! Zajęcia realizowane są samodzielnie, ściśle według wybranego tematu. Duplikowanie tematów jest niedozwolone! Prosimy o poinformowanie prowadzącego o wybranym temacie w dogodny dla siebie sposób, indywidualnie lub w formie listy, podając imię i nazwisko, numer grupy oraz tytuł pracy kursowej.

Przykładowe tematy zajęć z danej dyscypliny
„Logika matematyczna”

1. Metoda rozwiązywania i jej zastosowanie w algebrze zdań i algebrze predykatów.

2. Systemy aksjomatyczne.

3. Minimalne i najkrótsze CNF i DNF.

4. Zastosowanie metod logiki matematycznej w teorii języków formalnych.

5. Gramatyki formalne jako rachunki logiczne.

6. Metody rozwiązywania problemów logiki tekstu.

7. Systemy programowania logicznego.

8. Gra logiczna.

9. Nierozstrzygalność logiki pierwszego rzędu.

10. Niestandardowe modele arytmetyki.

11. Metoda diagonalizacji w logice matematycznej.

12. Maszyny Turinga i teza Churcha.

13. Obliczalność na liczydle i funkcjach rekurencyjnych.

14. Reprezentowalność funkcji rekurencyjnych i ujemne wyniki logiki matematycznej.

15. Rozwiązywalność arytmetyki dodawania.

16. Logika drugiego rzędu i definiowalność w arytmetyce.

17. Metoda ultraproduktów w teorii modeli.

18. Twierdzenie Gödla o niezupełności arytmetyki formalnej.

19. Rozwiązalne i nierozstrzygalne teorie aksjomatyczne.

20. Lemat interpolacyjny Craiga i jego zastosowania.

21. Najprostsze konwertery informacji.

22. Obwody przełączające.

24. Struktury kontaktowe.

25. Zastosowanie funkcji boolowskich w obwodach styków przekaźników.

26. Zastosowanie funkcji boolowskich w teorii rozpoznawania wzorców.

27. Logika matematyczna i systemy sztucznej inteligencji.

Praca kursowa musi składać się z 2 części: treści teoretycznej tematu oraz zestawu problemów na ten temat (co najmniej 10) wraz z rozwiązaniami. Dopuszczalne jest także napisanie pracy semestralnej o charakterze badawczym, zastępując drugą część (rozwiązywanie problemów) samodzielnym opracowaniem (np. działającym algorytmem, programem, próbką itp.) stworzoną na podstawie omawianego materiału teoretycznego w pierwszej części pracy.

1) Barwise J. (red.) Podręcznik logiki matematycznej. - M.: Nauka, 1982.

2) Bracia języków programowania. - M.: Nauka, 1975.

3) Boulos J., obliczalność i logika. - M.: Mir, 1994.

4) Logika hindikinowska w problemach. - M., 1972.

5), logika Palutina. - M.: Nauka, 1979.

6) Rozwiązywalność i modele konstrukcyjne Erszowa. - M.: Nauka, 1980.

7), teoria Taitslina // Uspekhi Mat. Nauk, 1965, 20, nr 4, s. 20. 37-108.

8) Igoshin – warsztaty z logiki matematycznej. - M.: Edukacja, 1986.

9) Logika Igoshina i teoria algorytmów. - Saratów: Wydawnictwo Sarat. Uniwersytet, 1991.

10) W Ts., używając Turbo Prolog. - M.: Mir, 1993.

11) wprowadzenie do metamatematyki. - M., 1957.

12) logika atematyczna. - M.: Mir, 1973.

13) ogika w rozwiązywaniu problemów. - M.: Nauka, 1990.

14) Logika Kołmogorowa: podręcznik matematyki dla uniwersytetów. specjalności /, - M.: Wydawnictwo URSS, 2004. - 238 s.

15) opowieść z węzłami / tłum. z angielskiego - M., 1973.

16) gra otyczna / przeł. z angielskiego - M., 1991.

17), Maksimov o teorii mnogości, logice matematycznej i teorii algorytmów. - 4. wyd. - M., 2001.

18), logika Sukachevy. Kurs wykładowy. Praktyczny podręcznik problemów i rozwiązań: Podręcznik do nauki. Wydanie 3, wyd. - Petersburgu.

19) Wydawnictwo „Lan”, 2008. - 288 s.

20) Lyskova w informatyce / , . - M.: Laboratorium Wiedzy Podstawowej, 2001. - 160 s.

21) Logika matematyczna / Pod redakcją generalną i in. – Mińsk: Szkoła Wyższa, 1991.

22) wprowadzenie do logiki matematycznej. - M.: Nauka, 1984.

23) Moszczenski o logice matematycznej. - Mińsk, 1973.

24) Nikolska z logiką matematyczną. - M .: Moskiewski Instytut Psychologiczno-Społeczny: Flint, 1998. - 128 s.

25) Logika Nikolska. - M., 1981.

26) Logika matematyczna Nowikowa. - M.: Nauka, 1973.

27) Teoria Rabina. W książce: Podręcznik logiki matematycznej, część 3. Teoria rekurencji. - M.: Nauka, 1982. - s. 23. 77-111.

28) Tey A., Gribomon P. i wsp. Logiczne podejście do sztucznej inteligencji. T. 1. - M.: Mir, 1990.

29) Tey A., Gribomon P. i wsp. Logiczne podejście do sztucznej inteligencji. T. 2. - M.: Mir, 1998.

30) Chen Ch., Li R. Logika matematyczna i automatyczny dowód twierdzeń. - M.: Nauka, 1983.

31) wprowadzenie do logiki matematycznej. - M.: Mir, 1960.

32) Logika Shabunina. Logika zdań i logika predykatów: podręcznik /, rep. wyd. ; Stan Czuwaski Uniwersytet nazwany na cześć . - Czeboksary: Wydawnictwo Czuwasz. Uniwersytet, 2003. - 56 s.

MINISTERSTWO EDUKACJI I NAUKI REPUBLIKI BURIACJI

INSTYTUCJA EDUKACYJNA BUDŻETU KOMUNALNEGO

„SZKOŁA ŚREDNIA MALOKUDARIŃSKA”

BADANIA

Temat: „Zadania logiczne

Ukończono pracę:

Igumnov Matvey, uczeń trzeciej klasy

MBOU „Szkoła średnia Malokudarinskaya”

Kierownik: Serebrennikova M.D.

1. WSTĘP …………………………………………………………..3-4

2. CZĘŚĆ GŁÓWNA

Co to jest logika…………………………………………………. …5

Rodzaje problemów logicznych………………………………………………………6

Rozwiązanie problemu logicznego………………………………………………….10

Część praktyczna …………………………………………………….. 10-12

3. WNIOSEK……………………………………………………… 14

4. WYKAZ BIBLIOGRAFII I ŹRÓDEŁ INTERNETOWYCH………. 15

5. ZASTOSOWANIA

Wstęp

Rozwijaniu aktywności twórczej, inicjatywy, ciekawości i pomysłowości sprzyja rozwiązywanie niestandardowych i logicznych problemów.

Rozwiązywanie problemów logicznych jest bardzo ekscytujące. Wydaje się, że nie ma w nich matematyki - nie ma liczb, nie ma figur geometrycznych, są tylko kłamcy i mędrcy, prawda i kłamstwo. Jednocześnie najwyraźniej wyczuwa się w nich ducha matematyki - połowa rozwiązania każdego problemu matematycznego (a czasem znacznie więcej niż połowa) polega na właściwym zrozumieniu warunku, rozwikłaniu wszystkich powiązań między przedmiotami problemu .

Przygotowując tę pracę postawiłem cel- rozwiń umiejętność rozumowania i wyciągania właściwych wniosków. Dopiero rozwiązanie trudnego, niestandardowego problemu przynosi radość zwycięstwa. Rozwiązując problemy logiczne, masz okazję pomyśleć o nietypowym stanie i przyczynie. To budzi i podtrzymuje moje zainteresowanie matematyką. Znaczenie. W dzisiejszych czasach bardzo często sukces człowieka zależy od jego umiejętności jasnego myślenia, logicznego rozumowania i jasnego wyrażania swoich myśli.

Cel badania: czy zadanie logiczne może mieć wiele poprawnych odpowiedzi?

Zadania: 1) zapoznanie się z pojęciami „logika” i rodzajami problemów logicznych; 2) rozwiązanie problemu logicznego, określenie zależności zmiany odpowiedzi na problem od wielkości nakrętek

Metody badawcze: zbieranie, badanie materiału, porównywanie, analiza

Hipoteza Czy jeśli zmienimy rozmiar nakrętek, zmieni się odpowiedź na problem?
Kierunek studiów: problem logiczny.

Co to jest logika?

W literaturze naukowej można spotkać następujące definicje logiki:

Logika jest nauką o akceptowalnych metodach rozumowania.

Logika jest nauką o formach, metodach i prawach intelektualnej aktywności poznawczej, sformalizowaną za pomocą języka logicznego.

Logika jest nauką o prawidłowym myśleniu.

Logika jest jedną z najstarszych nauk. Niektóre początki nauczania logicznego można znaleźć w Indiach pod koniec drugiego tysiąclecia p.n.e. Założycielem logiki jako nauki jest starożytny grecki filozof i naukowiec Arystoteles. To on zwrócił uwagę na fakt, że w rozumowaniu inne wyprowadzamy z pewnych zdań, opierając się nie na konkretnej treści zdań, lecz na pewnym związku pomiędzy ich formami i strukturami.

Jak nauczyć się rozwiązywać problemy logiczne? Logiczne lub nienumeryczne problemy stanowią szeroką klasę problemów niestandardowych. Dotyczy to przede wszystkim zadań tekstowych, w których konieczne jest rozpoznanie obiektów lub ułożenie ich w określonej kolejności, zgodnie z istniejącymi właściwościami. W takim przypadku niektóre stwierdzenia warunków problemowych mogą mieć różne wartości logiczne (być prawdziwe lub fałszywe). Dowiemy się więc, jak problemy logiczne można rozwiązywać na różne sposoby. Okazuje się, że takich technik jest kilka, są one różnorodne i każda z nich ma swój własny obszar zastosowania.

Rodzaje problemów logicznych

1 „Kto jest kim?”

2 Zadania taktyczne Rozwiązywanie problemów taktycznych i teorii mnogości polega na sporządzeniu planu działania, który doprowadzi do prawidłowej odpowiedzi. Trudność polega na tym, że wyboru trzeba dokonać spośród bardzo dużej liczby opcji, tj. możliwości te nie są znane, trzeba je wymyślić.

3 Problemy ze znalezieniem przecięcia lub sumy zbiorów

4 Zagadki z literami i cyframi oraz problemy z gwiazdami

Zagadki z literami i przykłady z gwiazdkami rozwiązuje się, wybierając i rozważając różne opcje.

5 Zadania wymagające ustalenia prawdziwości lub fałszywości twierdzeń

6 Problemy typu „kapelusze”.

Najbardziej znany problem dotyczy mędrców, którzy muszą określić kolor kapelusza na głowie. Aby rozwiązać taki problem, musisz przywrócić łańcuch logicznego rozumowania.

ROZWIĄZANIE PROBLEMU LOGICZNEGO

Istnieje wiele rodzajów orzechów. Przekonajmy się, czy odpowiedź na ten problem zależy od wielkości orzechów?
Przyjrzyjmy się niektórym z nich.

ORZECH WŁOSKI

Średnica 2-3 cm

Żółtobrązowe orzechy mają kształt prawie kulisty, długość 15-25 mm i szerokość 12-20 mm.

NAKRĘTKA WODNA

o wielkości 2-2,5 centymetra

Mają wielkość od 1,5 do 1,7 cm.

średnica od 4 do 6 cm

GAŁKA MUSZKATOŁOWA

Gotowa nakrętka ma owalny kształt, długość 2-3 cm i szerokość 1,5-2 cm.

MAKADAMIA

Dojrzały orzech ma kulisty kształt i średnicę 1,5-2 cm.

Owoce są dość duże i mogą osiągać długość około 5 cm.

ORZECH BRAZYLIJSKI

Owoce osiągają średnicę 10-15 cm i wagę 1-2 kg.

ORZECHY SOSNOWE

Orzeszki piniowe są uważane za najmniejsze. Ponadto ich rozmiary zależą od rodzaju. Orzechy cedru europejskiego, cedru karłowatego syberyjskiego i cedru koreańskiego różnią się wielkością. Wśród nich najmniejsze są orzeszki piniowe karłowate. Ich długość wynosi 5 mm.

Wniosek: Istnieje wiele rodzajów orzechów. Mają różne rozmiary: średnicę. Dlatego do problemu zastępujemy orzechy o różnych rozmiarach.

CZĘŚĆ PRAKTYCZNA

Praktyczna praca.
Zadanie nr 1. Praktyczna praca z orzechami włoskimi.
Narzędzia i materiały: linijka, kreda, kolorowe miarki, 10 sztuk orzechów włoskich.
Praca przygotowawcza. Z kolorowej tektury wycinamy wymiary: 3 miarki z zielonej tektury o długości 2 cm i szerokości 2 cm dla pierwszego rzędu oraz 5 wymiarów z żółtej tektury o długości 1 cm i szerokości 2 cm dla drugiego rzędu.
Opis pracy. Zaznacz punkt na stole kredą. Na to nakładamy orzech. Umieść miarę 2 cm i drugą nakrętkę, miarę 2 cm i trzecią nakrętkę, miarę 2 cm i czwartą nakrętkę. Kredą zaznaczamy początek i koniec długości pierwszego rzędu. Początek drugiego rzędu jest wyraźnie zaznaczony kredą pod początkiem

najpierw włóż nakrętkę, miarę 1 cm i drugą nakrętkę, miarę 1 cm i trzecią, miarę i czwartą, miarę i piątą, miarę i szóstą. Kredą zaznaczamy koniec długości drugiego rzędu. Porównaj długości rzędów.
Odpowiedź: drugi rząd jest dłuższy.
2. Praktyczna praca z orzeszkami pinii. (Patrz opis stanowiska nr 1.)

Odpowiedź: drugi rząd jest dłuższy.

3. Praktyczna praca z orzechami laskowymi (orzechy laskowe).

(Patrz opis stanowiska nr 1.)
Odpowiedź: drugi rząd jest dłuższy.
4. Praktyczna praca z orzeszkami ziemnymi. (ryc. 4)

(Patrz opis stanowiska nr 1.)
Odpowiedź: : drugi rząd jest dłuższy.
Wniosek: odpowiedź na problem nie zmienia się w zależności od wielkości tych nakrętek.

Wszystkie orzechy więcej niż 5 mm.
PLANY
Sprawdźmy to na rysunkach za pomocą skali.
Skala 1. Stosunek długości linii na mapie lub rysunku do długości rzeczywistej.

WNIOSEK
Moja hipoteza została potwierdzona: gdy zmienia się rozmiar orzechów, zmienia się odpowiedź na problem
Wniosek: w przypadku nakrętek o wielkości do 5 mm pierwszy rząd jest dłuższy.
Gdy rozmiar nakrętki wynosi 5 mm, długość rzędów jest taka sama.
W przypadku nakrętek większych niż 5 mm drugi rząd jest dłuższy.

Praktyczne znaczenie. Rozwiązania zaproponowane w pracy są bardzo proste, każdy uczeń może z nich skorzystać. Pokazałem je znajomym. Wielu uczniów zainteresowało się tym zadaniem. Teraz, rozwiązując problemy logiczne, każdy pomyśli o odpowiedzi.
Horyzont: Bardzo podobało mi się eksperymentowanie z orzechami, układanie ich i szukanie odpowiedzi. Podzieliłem się wszystkimi moimi odkryciami z przyjaciółmi i kolegami z klasy. Zainteresowały mnie problemy logiczne: w przyszłości chcę spróbować stworzyć własny problem, równie interesujący, z różnymi opcjami odpowiedzi.

Próbowałem zmienić stan problemu. Wziąłem metry na odstępy między nakrętkami. Zastępując orzechy o różnych rozmiarach, otrzymałem tę samą odpowiedź: pierwszy rząd jest dłuższy. Dlaczego tak jest? Zacząłem wszystko mierzyć jeszcze raz: wszystko było takie samo. Jeśli zwiększyłbym odstępy 100 razy, to wielkość nakrętek również powinna zostać zwiększona 100 razy. Teraz zdałem sobie sprawę, że nie mam tak dużej nakrętki 50 cm i większej. Wszystkie nakrętki są mniejsze niż 50 cm.Według mojego wniosku, aby długości były równe, nakrętka musi wynosić 50 cm, a jeśli jest większa niż 50 cm, to drugi rząd będzie dłuższy. Oznacza to, że mój wniosek nadaje się również do tego zadania.

6.Wniosek

W tej pracy zapoznałeś się z problemami logicznymi. Zwrócono uwagę na różne możliwości rozwiązania problemu logicznego.

Dla takich uczniów proponuję zastosować zadania logiczne.

Muszą być przystępne, budzić inteligencję, przykuwać uwagę, zaskakiwać, budzić do aktywnej wyobraźni i samodzielnych decyzji.

Wierzę również, że logika pomaga nam radzić sobie z wszelkimi trudnościami w życiu, a wszystko, co robimy, powinno być logicznie rozumiane i uporządkowane.

Literatura
1. Ozhegov S.I. i Shvedova N.Yu Słownik objaśniający języka rosyjskiego: 80 000 słów i wyrażeń frazeologicznych / Rosyjska Akademia Nauk. Instytut Języka Rosyjskiego im. W. Winogradowa – wyd. 4, uzupełnione. – M.: Azbukovnik, 1999. – 944 s.

2. Encyklopedia dla dzieci. Biologia. Tom 2. „Avanta+”, M. Aksenov, S. Ismailova,

M.: „Avanta+”, 1995

3. Odkrywam świat: Det.Entsik.: Plants / Comp. L.A. Bagrova; Khud.A.V.Kardashuk, O.M.Voitenko;

Pod generałem wyd. OG Hinn. – M.: Wydawnictwo AST LLC, 2000. – 512 s.

4. Encyklopedia przyrody żywej - M.: AST-PRESS, 2000. - 328 s.

5. Ricka Morrisa. Tajemnice żywej natury (tłumaczenie z języka angielskiego A.M. Golova), M.: „Rosman”, 1996.

6. David Burney. Duża ilustrowana encyklopedia żywej przyrody (tłumaczenie z języka angielskiego) M.: „Swallowtail”, 2006

MINISTERSTWO EDUKACJI

REPUBLIKA BIAŁORUSI

Obwód miński Rejon borysowski

Państwowa instytucja edukacyjna

„Gimnazjum rejonowe Loshnitsa”

Badania

matematyka

Karpovich Anna Igorevna, uczennica 11. klasy,

Melech Aleksiej Władimirowicz, uczeń 9. klasy,

Demidchik Artem Aleksiejewicz, uczeń 9. klasy

Kierownik:

Jakimenko Iwan Wiktorowicz, nauczyciel matematyki

Loshnitsa, 2006-2008

Wprowadzenie 3

Adekwatność wybranego tematu 3

Przegląd literatury na temat 4

Tworzenie pojęć 4

Poziom rozwoju problemu 4

Przedmiot badań 5

Wyznaczanie celów 5

Część główna 6

Podstawa empiryczna badania 6

Opis ścieżek i metod badawczych 6

1. Studium bibliografii 6

2. Próba i błąd 6

3. Odmiana 7

Wyniki badań 8

Wiarygodność uzyskanych wyników 8

Wniosek 9

Zreasumowanie. Wnioski 9

Praktyczne znaczenie uzyskanych wyników 9

Nowość naukowa uzyskanych wyników 9

Aplikacje 10

Załącznik 1. Klasyfikacja gier logicznych 10

Załącznik nr 2. Zasady gry „Tunastka” 10

Załącznik nr 3. Zasady gry „Diabelska Dwunastka” 10

Załącznik nr 4. Klasyfikacja figurek w grze „Tunastka” 11

Załącznik nr 5. Dodatkowe elementy gry „Tunastka” 12

Załącznik nr 6. Figury do gry „Diabelska dwunastka” 17

Literatura 18

Wstęp

Adekwatność wybranego tematu

Żadne dziecko, od pierwszej klasy do absolwenta, nie odmówiło nigdy zwykłej zabawy, szczególnie zamiast lub w trakcie lekcji.

Nie potrzebujesz do tego żadnego specjalnego sprzętu, wystarczą kartka zeszytu i długopis. Gry szkolne są łatwe do grania, zawsze mają zakończenie i gwarantują wszystkie trzy wyniki: wygraną, przegraną i remis.

Jednak większość gier, w które grają dzieci w wieku szkolnym, jest od dawna znana, a zatem badana i nieciekawa. Na przykład dwóch silnych graczy nigdy nie przegra ze sobą w kółko i krzyżyk. Ta „próżnia w grze” nieuchronnie prowadzi do poszukiwania nowości w jednym z następujących kierunków:

- w zasadach gry ry („Kółko i krzyżyk” do pięciu),

- w wielkości pola gry(bezwymiarowe „Kąty”),

- w liczbie graczy(crossover „Pancernik”).

W tym kontekście uważamy, że istotne jest wymyślanie, testowanie i odkrywanie nowych gier dla dzieci w wieku szkolnym.

Trafność tematu badawczego potwierdza niesłabnące zainteresowanie szaradami, rebusami i łamigłówkami, które służą uczniom jako poligon doświadczalny do sprawdzania swoich umiejętności w rozwiązywaniu problemów i zadań o dowolnej złożoności. Innymi słowy, rozwijając logikę, uczymy się przetrwać.

Gottfried-Wilhelm Leibniz zauważył w liście do swojego kolegi: „...nawet gry, zarówno te wymagające zręczności, jak i te oparte na przypadku, dostarczają ogromnego materiału do badań naukowych. Co więcej, najzwyklejsza dziecięca zabawa potrafiła przyciągnąć uwagę największego matematyka.”(, s. 19-20).

I wreszcie nie mogliśmy się doczekać laurów Erne Rubika, twórcy najsłynniejszej (i najbardziej komercyjnej!) układanki – kostki Rubika.

W zeszłym roku stworzyliśmy grę „Tunastka” (patrz. Załącznik 2). Prace nad grą były kontynuowane w tym roku, a ich celem było udoskonalenie, badanie kombinacji gier i rozwój nowych opcji gry.

Przegląd literatury na ten temat

Tworzenie pojęć

Logika. 1. Nauka o prawach myślenia i jego formach. 2. Tok rozumowania, wnioski. 3. Rozsądek, wewnętrzna prawidłowość.(, s. 167)

Gra. Robienie czegoś, co służy rozrywce, relaksowi lub udział w zawodach w czymś.(, s. 127)

Już przy pierwszym porównaniu uderzająca jest niespójność tych dwóch pojęć, a nawet samego wyrażenia „gry logiczne” ogólnie brzmi jak werbalny nonsens.

Bazując na powyższych definicjach, grę logiczną można uznać za aktywność dla rozrywki i rozwoju myślenia.

W tej pracy używane będą następujące terminy:

„Gra w papier” to gra dla dwóch lub więcej graczy, w której wykorzystuje się kartkę papieru i długopis.

Pod "gra komputerowa" będziemy rozumieć papierową lub inną grę logiczną, dla której istnieje lub można stworzyć wersję komputerową.

Termin „gra inwentarzowa” rozumiana jest jako gra wymagająca dodatkowego, specjalnie wykonanego sprzętu.

„Gra matematyczna”- gra wymagająca wiedzy matematycznej z różnych działów algebry czy geometrii.

„Zwycięska strategia” jest interpretowany w potocznym znaczeniu, to znaczy jako sposób prowadzenia gry, która nieuchronnie prowadzi do zwycięstwa.

„Wynik gry”- koniec gry. Istnieją trzy możliwe wyniki gry: zwycięstwo, porażka, remis.

Stopień rozwoju problemu

Studiując literaturę dotyczącą badanego zagadnienia, zauważyliśmy, że po zwróceniu uwagi matematyków każdy fakt, zależność, zjawisko jest natychmiast mierzone, obliczane, klasyfikowane i tak dalej.

„Problem królowej”(, s. 100) jest szczegółowo opisane w teorii i dla n=8 ma ewidentnie 92 rozwiązania (tamże).

Starożytna zabawa matematyczna „Gra Bashe’a”, „Jianshizi” I „Nim” nazywane są ogólnie grami, „których teoria została opracowana w sposób wyczerpujący” (s. 59).

Jednak w badanych źródłach nie było nawet wzmianki o tak znanej grze jak „Kropki”.

Powszechny problem wypełnienia pola szachowego ruchem skoczka szachowego (, s. 104) rozpatrywany jest zarówno dla pola nxn, jak i pola mxn. Jednak w literaturze problem ma tylko jedną odmianę dla obciętego pola 9x9 bez narożników (, s. 20), co oznacza, że może mieć inne, niezbadane warunki początkowe.

Pytanie, czy istnieją rozwiązania dla „Magiczne kwadraty” dowolnej wielkości pozostaje otwarta (, s. 25, , s. 89).

Zatem zapoznanie się z literaturą gier logicznych, zadań pomysłowych, gier i zadań rozrywkowych nie wyczerpuje całej gamy warunków i rozwiązań, co oznacza, że stopień rozwoju problemu można określić jako niewystarczający.

Przedmiot badań

Przedmiotem badania jest edukacyjny I twórcze zainteresowania uczniów 8-11 klas.

Przedmiot badań

Przedmiotem badań jest stworzona przez autorów gra "Tuzin" i jej kontynuacja - gra "Tuzin piekarza".

Ustalać cele

Celem tego badania jest rozwój, testowanie i badanie nowych gier logicznych.

Ustalać cele

Realizacja tego celu wymaga rozwiązania następujących zadań szczegółowych:

Zapoznaj się z literaturą dotyczącą interesującego Cię tematu.
Klasyfikuj zwycięskie wyniki gry (części).
Ulepszaj i rozwijaj swoją własną grę.
Wyjaśnij znaczenie i zapotrzebowanie stworzonych gier.
Formułuj rekomendacje dotyczące tworzenia gier.

Głównym elementem

Empiryczna podstawa badania

Podstawą empiryczną naszych badań są wyniki po przetestowaniu gry "Tuzin".

To także liczne, ręcznie pisane wersje samej gry, przetestowane przez autorów i respondentów, a także miniturniej organizowany w ramach tygodnia nauk ścisłych.

Opis ścieżek i metod badawczych

W trakcie pracy zastosowano następujące metody:

1. Studiowanie bibliografii

Na tym etapie, studiując literaturę przedmiotu (głównie książki o matematyce rozrywkowej), szukaliśmy gier logicznych i klasyfikowaliśmy je według określonych kryteriów (patrz dodatek 3).

Okazało się, że żadna z gier nie jest specyficzna, tj. nie może odnosić się tylko do jednego gatunku.

Na przykład gra „Pentamino”(, s. 13) polega na użyciu dowolnych figur pentomino (płaskiej figury złożonej z pięciu równych kwadratów) w celu uformowania dużej figury - kwadratu, prostokąta itp. Rysujemy pentomino na papierze w kratkę - gra papierowa, wycinamy je z tektury - gra inwentarzowa. Ale bardziej znamy tę grę jako kontynuację gry komputerowej. „Tetrisa” – „Pentix”.

Ponadto po raz kolejny utwierdziliśmy się w przekonaniu, że wszystkie gry w mniejszym lub większym stopniu mają charakter edukacyjny i rozwijają zdolności myślenia graczy.

2. Próba i błąd

Krótko opisz zasady gry "Tuzin" Wygrywa ten, kto jako pierwszy zdobędzie jeden z wcześniej uzgodnionych elementów (patrz załączniki 2,4,5).

Na pierwszy rzut oka przy takich zasadach gra nie może zakończyć się remisem, ponieważ ostatni ruch wykonuje tylko jeden gracz, a przy takiej różnorodności po prostu nie da się nie wylosować przynajmniej jednej figury. Jednak obaj gracze powinni mieć równe szanse, więc pozwólmy im wykonać równą liczbę ruchów, a wtedy mogą „obaj wygrać”.

Pamiętajmy, że nazwa gry wzięła się od liczby ryzyk, które składają się na zwycięską liczbę.

Rozwinięciem tematu była interpretacja komputerowa. Gra ma trzy wersje elektroniczne: jedną w programie Microsoft Word i dwie w programie Microsoft Excel. Aby zagrać "Tuzin", musisz dostosować interfejs pakietu Office, dla którego wygodnie jest utworzyć nowy panel roboczy.

3. Odmiana

Metoda wariacji polega na rozpatrywaniu (przeglądaniu, przemyśleniu) różnych opcji sytuacji. Odmiana jest praca logicznego myślenia. W naszym przypadku jest to:

Sformułowanie najłatwiejszych i najszybciej zapamiętywanych reguł gry,

Określenie optymalnych rozmiarów pól,

Zwiększanie liczby możliwych cyfr.

Próbując postawić się w sytuacji lidera lub outsidera, szukaliśmy sposobów na wyjście z dotychczasowej pozycji na boisku. Najważniejszą rzeczą w tej pracy było poszukiwanie tego, co możliwe zwycięska strategia, bo jeśli coś takiego zostanie znalezione, to po pewnym czasie nasza gra stanie się tak samo oklepana jak inne.

Pole gry to zbiór ryzyk:

Poziomo – 6x7=42,

Pionowe – 6x7=42,

Przekątna – 2x36=72,

Razem – 2x42+72=156.

Elementarne obliczenie - 156:12 = 13 pokazuje, że na polu można jednocześnie zbudować 13 figurek, składających się z wymaganych 12 znaków. Wielość całkowitej liczby ryzyk wobec liczby 13 stała się pierwszą wskazówką do zmiany reguł gry.

^ Wskazówki ogólne Zróżnicowano następujące zmiany zasad:

zakaz rysowania drugiej przekątnej (znacznie przyspiesza rozgrywkę i daje dodatkowe możliwości na remis);
zakaz wykorzystywania ryzyka innych osób (sprawia, że gra jest zbyt „przejrzysta” dla przeciwnika);
zmiana rozmiaru pola (zwiększanie miało negatywny wpływ; przy zmniejszaniu tracone są niektóre podstawowe wartości);
dodatek do podstawowego zestawu zwycięskich elementów (wielokąty asymetryczne, niewypukłe, figury otwarte);
zwiększenie liczby znaków w liczbach podstawowych .

Winiki wyszukiwania

To właśnie dwa ostatnie kierunki zmienności dały najbardziej zachęcające rezultaty. Po pierwsze, różnorodność uzyskanych figur była tak wielka, że trzeba było wymyślić dla nich specjalną klasyfikację (por. Dodatek 4). Ponadto większość figur uzyskanych zgodnie z regułami gry to wielokąty osiowo-symetryczne niewypukłe.

Po drugie, czuliśmy, że przechodzimy do figur asymetrycznych nagła potrzeba dodaj kolejne ryzyko do tych liczb! Po dodaniu 13. znaku osiągnięcie symetrii stało się trudne. Dzięki temu gra była jeszcze bardziej ekscytująca. Nazwa nowej gry pojawiła się sama: "Tuzin piekarza».

Badania nad zmodernizowaną grą prawdopodobnie doprowadzą do znaczących zmian w zasadach. Na przykład, jeśli dopuścisz do gry różne figury, w jednej grze możesz „zdobyć” tyle punktów, ile zwycięska figura wiąże się z ryzykiem. Na kawałki różne kształty(patrz Klasyfikacja) możesz także wprowadzić punkty bonusowe itp.

Wiarygodność uzyskanych wyników

Wiarygodność wyników badań zapewniają:

praktyczne potwierdzenie głównych założeń opracowania (stworzona gra to ogromne pole do badań dla uczniów w każdym wieku);
staranne przetwarzanie danych uzyskanych w trakcie badania (przy zmianie reguł gry uwzględniane są wszystkie ogólne kierunki zmian wyników gry i strategii wygrywającej).

Wniosek

Zreasumowanie. wnioski

Gra "Tuzin„można wykorzystać w nauce matematyki na wszystkich poziomach edukacji.
Gra "Tuzin piekarza„jest kontynuacją, logicznym rozwinięciem gry "Tuzin».
"Tuzin piekarza» w pełni spełnia wymagania stawiane przy wyznaczaniu celów.
Temat wymaga rozwinięcia w postaci opracowania gier logicznych.

Praktyczne znaczenie uzyskanych wyników

Zmodernizowana gra ma wartość praktyczną

Jak narzędzie edukacyjne Dla:

Matematycy (rozwój logicznego myślenia, znajomość figur geometrycznych).
Informatycy (znajomość programów Microsoft Office, umiejętność obsługi myszy, praca ze schowkiem pakietu Office).
Uczniowie szkół podstawowych i gimnazjów (modernizacja gier w ramach prac badawczych).

- Jak narzędzie rekreacyjne Dla:

Gracze w każdym wieku (konkursy, turnieje).

Nowość naukowa uzyskanych wyników

Oryginalna gra „12” i unowocześniona „13” zdaniem autora, menadżera i respondentów nie mają odpowiedników i stanowią własność intelektualną ich twórców.

Aplikacje

Załącznik 1. Klasyfikacja gier logicznych

Spis

(szachy, warcaby, backgammon, domino, karty, jianshizi itp.)

Papier

(kropki, kółko i krzyżyk w różnych wersjach, bitwa morska itp.)

Edukacyjne (matematyczne)

(magiczne kwadraty, magiczne sztuczki, szarady, problemy z rozmieszczeniem)

Lingwistyczny

(„wisielec”, „krokodyl”, „scrabble”, słowa skanujące, krzyżykowe, łańcuchowe itp.)

Komputer

(elektroniczne interpretacje powyższych gier + nowości: Tetris, węże, Pac-Man i inne dynamiczne)

Załącznik nr 2. Zasady gry „Tunastka”

Gra „Dozen” („Dwanaście”) przeznaczona jest dla uczniów w wieku 6-16 lat.

Zadaniem gracza jest wyciągnięcie przed przeciwnikiem wcześniej ustalonej figury składającej się z 12 linii. Aby zdobyć figurę, możesz wykorzystać zarówno własne, jak i ryzyko poniesione przez przeciwnika.

Załącznik nr 3. Zasady gry „Diabelska dwunastka”

Gra „Diabelska dwunastka” („Trzynastka”) przeznaczona jest dla uczniów w wieku 10-17 lat.

Pole gry to kwadrat 6x6. Grają dwie osoby. Za ruch uważa się narysowanie jednej z 4 linii: poziomej strony komórki, pionowej strony komórki lub dowolnej przekątnej komórki. Ruch można wykonać wyłącznie w oparciu o już pobrane ryzyko. Znaki ukośne mogą się przecinać.

Zadaniem gracza jest wyciągnięcie przed przeciwnikiem wcześniej ustalonej figury składającej się z 13 linii. Aby zdobyć figurę, możesz wykorzystać zarówno własne, jak i ryzyko poniesione przez przeciwnika.

Za premię uważa się otrzymanie nowego egzemplarza (za obopólną zgodą graczy).

Dodatek 4. Klasyfikacja figurek w grze „Tunastka”

Przez symetrię:

1) symetria osiowa:

symetria boczna (oś symetrii przebiega wzdłuż boku komórki);
symetria diagonalna (oś symetrii przebiega wzdłuż przekątnej ogniwa);
wtórne (oś symetrii przechodzi wewnątrz komórki).

2) symetria centralna;

3) uniwersalna symetria (jednocześnie boczna, ukośna i centralna);

4) asymetria.

Przez wypukłość:

wypukły;
nie wypukły.

Według kształtu:

figury geometryczne;
animować obiekty;
obiekty nieożywione.

Załącznik nr 5. Dodatkowe elementy gry „Tunastka”

serce

spodenki

Wilk

bumerang

motyl

szybki

Dodatek 6. Figurki do gry „Diabelska dwunastka”

wąż

Wilk

jeż

samolot

Literatura

Barabanow E.A. i inne Międzynarodowy konkurs matematyczny „Kangur” na Białorusi - Mn.: Organizacja pozarządowa „Bel. doc. „Konkurs”, 2005. – 96 s.; chory.
Bakhankov A.E.; Słownik objaśniający języka rosyjskiego. Mn.: Organizacja pozarządowa „Bel. doc. „Konkurs”, 2006. – 416 s.
Bondareva, Los Angeles itd.; zadania oznaczone gwiazdką. Mn.: Organizacja pozarządowa „Bel. doc. „Konkurs”, 2006. – 159 s.
Germanovich P.Yu.; Zbiór problemów matematycznych dla inteligencji. M.: „Uchpedgiz”, 1960. – 224 s.
Domoryad A.P.; Gry i zabawy matematyczne. M.: Państwowe Wydawnictwo Literatury Fizycznej i Matematycznej, 1961. – 264 s.
Zhikalkina T.K.; Zadania zabawowo-rozrywkowe z matematyki, klasa 2. M.: „Oświecenie”, 1987. – 62 s.
Kordemsky BA; Eseje o problemach matematycznych dla pomysłowości. M.: „Uchpedgiz”, 1958. – 116 s.
Leman Johannes, tłumaczenie z języka niemieckiego: Danilov; Ch. redaktor L.A. Erlykin. Fascynująca matematyka. M.: Wydawnictwo „Wiedza”, 1985. - 270 s.
Lehmana Johannesa; redaktor E.K. Vakulina; 2x2 = żart. M.: „Oświecenie” 1974. – 192 s.
Minskin EM; Od zabawy do wiedzy: Gry rozwojowe i edukacyjne dla uczniów szkół podstawowych. M.: Edukacja, 1982. – 192 s.; chory.
Mikhailova Z.A.; redaktor: L.G. Fronina. Zadania rozrywkowe dla przedszkolaków; M.: „Oświecenie”, 1990. – 95 s.
Petrakov I.S.; Kluby matematyczne w klasach 8-10; M.: Edukacja, 1987. – 224 s.
Repkin V.V.; Słownik edukacyjny języka rosyjskiego. M.: Infolinia, 1999. – 656 s.: il.
Sobolevsky R.F.; Gry logiczne i matematyczne. Mn., „Nar. Asweta”, 1977. – 96 s.
wyd. Hinn OG; Odkrywam świat: Encyklopedia dla dzieci: Matematyka / M.: LLC „Firm Publishing House AST”, 1999. - 480 s.