Tabela wartości równań trygonometrycznych. Podstawowe wzory trygonometrii. Podstawianie zmiennej i metoda podstawienia

Podczas rozwiązywania wielu problemy matematyczne zwłaszcza te, które mają miejsce przed klasą 10, jasno określona jest kolejność wykonywanych działań, które doprowadzą do celu. Takie problemy obejmują na przykład równania liniowe i kwadratowe, liniowe i nierówności kwadratowe, równania ułamkowe i równania redukujące do równań kwadratowych. Zasada pomyślnego rozwiązania każdego z wymienionych problemów jest następująca: należy ustalić, jaki rodzaj problemu jest rozwiązywany, pamiętać o niezbędnej sekwencji działań, które doprowadzą do pożądany rezultat, tj. odpowiedz i wykonaj poniższe kroki.

Oczywiste jest, że sukces lub porażka w rozwiązaniu konkretnego problemu zależy głównie od tego, jak poprawnie zostanie określony rodzaj rozwiązywanego równania, jak poprawnie zostanie odtworzona kolejność wszystkich etapów jego rozwiązania. Oczywiście do wykonania wymagane są umiejętności przemiany tożsamości i informatyka.

Inaczej jest z równania trygonometryczne. Ustalenie faktu, że równanie jest trygonometryczne, wcale nie jest trudne. Trudności pojawiają się przy ustaleniu sekwencji działań, które doprowadziłyby do prawidłowej odpowiedzi.

Przez wygląd równaniu, czasami trudno określić jego rodzaj. A nie znając rodzaju równania, prawie niemożliwe jest wybranie właściwego spośród kilkudziesięciu wzorów trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, musisz spróbować:

1. sprowadzić wszystkie funkcje zawarte w równaniu pod „te same kąty”;
2. doprowadzić równanie do „funkcji identycznych”;
3. uwzględnij lewą stronę równania itp.

Rozważmy podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

I. Sprowadzenie do najprostszych równań trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Wyraź funkcję trygonometryczną za pomocą znanych składników.

Krok 2. Znajdź argument funkcji, korzystając ze wzorów:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

grzech x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

Krok 3. Znajdź nieznaną zmienną.

Przykład.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Rozwiązanie.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Odpowiedź: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Zmienna wymiana

Schemat rozwiązania

Krok 1. Sprowadź równanie do postaci algebraicznej w odniesieniu do jednej z funkcji trygonometrycznych.

Krok 2. Oznacz wynikową funkcję przez zmienną t (jeśli to konieczne, wprowadź ograniczenia na t).

Krok 3. Zapisz i rozwiąż wynik równanie algebraiczne.

Krok 4. Dokonaj odwrotnej wymiany.

Krok 5. Rozwiąż najprostsze równanie trygonometryczne.

Przykład.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Rozwiązanie.

1) 2(1 – grzech 2 (x/2)) – 5 grzech (x/2) – 5 = 0;

2 grzech 2 (x/2) + 5 grzech (x/2) + 3 = 0.

2) Niech grzech (x/2) = t, gdzie |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 lub e = -3/2, nie spełnia warunku |t| ≤ 1.

4) grzech(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Metoda redukcji rzędu równań

Schemat rozwiązania

Krok 1. Zamień to równanie na liniowe, korzystając ze wzoru na stopień redukcji:

grzech 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

sałata 2 x = 1/2 · (1 + sałata 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, stosując metody I i II.

Przykład.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Rozwiązanie.

1) sałata 2x + 1/2 · (1 + sałata 2x) = 5/4.

2) sałata 2x + 1/2 + 1/2 · sałata 2x = 5/4;

3/2 sałata 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Odpowiedź: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Równania jednorodne

Schemat rozwiązania

Krok 1. Sprowadź to równanie do postaci

a) a sin x + b cos x = 0 (równanie jednorodne pierwszego stopnia)

lub do widoku

b) a grzech 2 x + b grzech x · cos x + c cos 2 x = 0 (równanie jednorodne drugiego stopnia).

Krok 2. Podziel obie strony równania przez

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i uzyskaj równanie na tan x:

a) opalenizna x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

Krok 3. Rozwiąż równanie znanymi metodami.

Przykład.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Rozwiązanie.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

grzech 2 x + 3 grzech x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Niech więc tg x = t

t 2 + 3 t – 4 = 0;

t = 1 lub t = -4, co oznacza

tg x = 1 lub tg x = -4.

Z pierwszego równania x = π/4 + πn, n Є Z; z drugiego równania x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

Odpowiedź: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Metoda przekształcenia równania za pomocą wzorów trygonometrycznych

Schemat rozwiązania

Krok 1. Używanie wszelkiego rodzaju wzory trygonometryczne sprowadź to równanie do równania rozwiązanego metodami I, II, III, IV.

Krok 2. Rozwiąż powstałe równanie, korzystając ze znanych metod.

Przykład.

grzech x + grzech 2x + grzech 3x = 0.

Rozwiązanie.

1) (grzech x + grzech 3x) + grzech 2x = 0;

2sin 2x cos x + grzech 2x = 0.

2) grzech 2x (2cos x + 1) = 0;

grzech 2x = 0 lub 2cos x + 1 = 0;

Z pierwszego równania 2x = π/2 + πn, n Є Z; z drugiego równania cos x = -1/2.

Mamy x = π/4 + πn/2, n Є Z; z drugiego równania x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

W rezultacie x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Odpowiedź: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Rozwiązywanie umiejętności i zdolności równania trygonometryczne są bardzo Co ważne, ich rozwój wymaga dużego wysiłku, zarówno ze strony ucznia, jak i nauczyciela.

Z rozwiązywaniem równań trygonometrycznych wiąże się wiele problemów stereometrii, fizyki itp. Proces rozwiązywania takich problemów obejmuje wiele wiedzy i umiejętności, które można zdobyć studiując elementy trygonometrii.

Równania trygonometryczne zajmują ważne miejsce w procesie uczenia się matematyki i rozwoju osobistego w ogóle.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania trygonometryczne?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest darmowa!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

Głównymi metodami rozwiązywania równań trygonometrycznych są: sprowadzanie równań do najprostszych (za pomocą wzorów trygonometrycznych), wprowadzanie nowych zmiennych i rozkład na czynniki. Przyjrzyjmy się ich zastosowaniu na przykładach. Zwróć uwagę na format zapisywania rozwiązań równań trygonometrycznych.

Warunkiem koniecznym pomyślnego rozwiązywania równań trygonometrycznych jest znajomość wzorów trygonometrycznych (temat 13 pracy 6).

Przykłady.

1. Równania zredukowane do najprostszych.

1) Rozwiąż równanie

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

2) Znajdź pierwiastki równania

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, należący do segmentu.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

2. Równania redukujące do kwadratu.

1) Rozwiąż równanie 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Rozwiązanie: Za pomocą formuła grzechu 2 x = 1 – cos 2 x, otrzymujemy

Odpowiedź:

2) Rozwiąż równanie cos 2x = 1 + 4 cosx.

Rozwiązanie: Korzystając ze wzoru cos 2x = 2 cos 2 x – 1, otrzymujemy

Odpowiedź:

3) Rozwiąż równanie tgx – 2ctgx + 1 = 0

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

3. Równania jednorodne

1) Rozwiąż równanie 2sinx – 3cosx = 0

Rozwiązanie: Niech cosx = 0, wtedy 2sinx = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1. Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cosx. Dostajemy

Odpowiedź:

2) Rozwiąż równanie 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Rozwiązanie:

Używamy wzorów 1 = sin 2 x + cos 2 x i sin 2x = 2 sinxcosx, otrzymujemy

grzech 2 x + sałata 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
grzech 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Niech cosx = 0, następnie sin 2 x = 0 i sinx = 0 – sprzeczność z faktem, że sin 2 x + cos 2 x = 1.
Oznacza to, że cosx ≠ 0 i możemy podzielić równanie przez cos 2 x . Dostajemy

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Oznaczmy tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x= arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x= arctan2 + 2 k, k .

Odpowiedź: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Równania postaci A grzech + B cosx = SS≠ 0.

1) Rozwiąż równanie.

Rozwiązanie:

Odpowiedź:

5. Równania rozwiązywane metodą faktoryzacji.

1) Rozwiąż równanie sin2x – sinx = 0.

Pierwiastek równania F (X) = φ ( X) może służyć tylko jako liczba 0. Sprawdźmy to:

cos 0 = 0 + 1 – równość jest prawdziwa.

Liczba 0 jest jedynym pierwiastkiem tego równania.

Odpowiedź: 0.

Pojęcie rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Aby rozwiązać równanie trygonometryczne, przekształć je w jedno lub więcej podstawowych równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego ostatecznie sprowadza się do rozwiązania czterech podstawowych równań trygonometrycznych.

Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych.

Istnieją 4 typy podstawowych równań trygonometrycznych:
grzech x = a; ponieważ x = a
tan x = a; ctg x = a
Rozwiązywanie podstawowych równań trygonometrycznych polega na uwzględnieniu różnych pozycji „x”. okrąg jednostkowy i korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora).
Przykład 1. grzech x = 0,866. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: 2π/3. Zapamiętaj wszystko funkcje trygonometryczne są okresowe, to znaczy ich wartości się powtarzają. Na przykład okresowość sin x i cos x wynosi 2πn, a okresowość tg x i ctg x wynosi πn. Dlatego odpowiedź jest zapisana w następujący sposób:
x1 = π/3 + 2πn; x2 = 2π/3 + 2πn.
Przykład 2. cos x = -1/2. Korzystając z tabeli przeliczeniowej (lub kalkulatora) otrzymasz odpowiedź: x = 2π/3. Okrąg jednostkowy daje inną odpowiedź: -2π/3.
x1 = 2π/3 + 2π; x2 = -2π/3 + 2π.
Przykład 3. tg (x - π/4) = 0.
Odpowiedź: x = π/4 + πn.
Przykład 4. ctg 2x = 1,732.
Odpowiedź: x = π/12 + πn.

Przekształcenia stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

Do transformacji równań trygonometrycznych stosuje się przekształcenia algebraiczne (faktoryzacja, redukcja członkowie jednorodni itp.) i tożsamości trygonometryczne.
Przykład 5: Używając tożsamości trygonometrycznych, równanie sin x + sin 2x + sin 3x = 0 jest konwertowane do równania 4cos x*sin (3x/2)*cos (x/2) = 0. Zatem następujące podstawowe równania trygonometryczne należy rozwiązać: cos x = 0; grzech(3x/2) = 0; cos(x/2) = 0.
Znajdowanie kątów na podstawie znanych wartości funkcji.
- Zanim nauczysz się rozwiązywać równania trygonometryczne, musisz nauczyć się znajdować kąty, korzystając ze znanych wartości funkcji. Można to zrobić za pomocą tabeli przeliczeniowej lub kalkulatora.
- Przykład: cos x = 0,732. Kalkulator poda odpowiedź x = 42,95 stopnia. Okrąg jednostkowy da dodatkowe kąty, których cosinus również wynosi 0,732.
Odłóż roztwór na okręgu jednostkowym.
- Można nakreślić rozwiązania równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym. Rozwiązaniami równania trygonometrycznego na okręgu jednostkowym są wierzchołki wielokąta foremnego.
- Przykład: Rozwiązania x = π/3 + πn/2 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki kwadratu.
- Przykład: Rozwiązania x = π/4 + πn/3 na okręgu jednostkowym reprezentują wierzchołki sześciokąta foremnego.
Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.
- Jeżeli dane równanie trygonometryczne zawiera tylko jedną funkcję trygonometryczną, rozwiąż to równanie jako podstawowe równanie trygonometryczne. Jeżeli w danym równaniu znajdują się dwie lub więcej funkcji trygonometrycznych, wówczas istnieją 2 metody rozwiązania takiego równania (w zależności od możliwości jego przekształcenia).
  - Metoda 1.
- Przekształć to równanie na równanie postaci: f(x)*g(x)*h(x) = 0, gdzie f(x), g(x), h(x) są podstawowymi równaniami trygonometrycznymi.
- Przykład 6. 2cos x + sin 2x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie. Używając wzoru na podwójny kąt sin 2x = 2*sin x*cos x, zamień sin 2x.
- 2cos x + 2*sin x*cos x = 2cos x*(sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos x = 0 i (sin x + 1) = 0.
- Przykład 7. cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: cos 2x(2cos x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2cos x + 1) = 0.
- Przykład 8. grzech x - grzech 3x = cos 2x. (0< x < 2π)
- Rozwiązanie: Korzystając z tożsamości trygonometrycznych, przekształć to równanie na równanie postaci: -cos 2x*(2sin x + 1) = 0. Teraz rozwiąż dwa podstawowe równania trygonometryczne: cos 2x = 0 i (2sin x + 1) = 0 .
  - Metoda 2.
- Przekształć podane równanie trygonometryczne na równanie zawierające tylko jedną funkcję trygonometryczną. Następnie zamień tę funkcję trygonometryczną na jakąś nieznaną, na przykład t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t; tg (x/2) = t, itd.).
- Przykład 9. 3sin^2 x - 2cos^2 x = 4sin x + 7 (0< x < 2π).
- Rozwiązanie. W tym równaniu zamień (cos^2 x) na (1 - sin^2 x) (zgodnie z tożsamością). Przekształcone równanie to:
- 3sin^2 x - 2 + 2sin^2 x - 4sin x - 7 = 0. Zamień sin x na t. Teraz równanie wygląda następująco: 5t^2 - 4t - 9 = 0. To jest równanie kwadratowe, mający dwa pierwiastki: t1 = -1 i t2 = 9/5. Drugi pierwiastek t2 nie spełnia zakresu funkcji (-1< sin x < 1). Теперь решите: t = sin х = -1; х = 3π/2.
- Przykład 10. tg x + 2 tg^2 x = ctg x + 2
- Rozwiązanie. Zamień tg x na t. Przepisz pierwotne równanie w następujący sposób: (2t + 1)(t^2 - 1) = 0. Teraz znajdź t, a następnie znajdź x dla t = tan x.

Podano zależności pomiędzy podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi - sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem wzory trygonometryczne. A ponieważ istnieje wiele powiązań między funkcjami trygonometrycznymi, wyjaśnia to obfitość wzorów trygonometrycznych. Niektóre wzory łączą funkcje trygonometryczne tego samego kąta, inne - funkcje wielokrotnego kąta, inne - pozwalają na zmniejszenie stopnia, czwarte - wyrażają wszystkie funkcje poprzez tangens połowy kąta itp.

W tym artykule wymienimy w kolejności wszystkie podstawowe wzory trygonometryczne, które wystarczą do rozwiązania zdecydowanej większości problemów trygonometrycznych. Dla ułatwienia zapamiętywania i wykorzystania pogrupujemy je według przeznaczenia i wpiszemy do tabel.

Nawigacja strony.

Podstawowe tożsamości trygonometryczne

Podstawowe tożsamości trygonometryczne zdefiniować zależność pomiędzy sinusem, cosinusem, tangensem i cotangensem jednego kąta. Wynikają one z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa oraz z koncepcji okręgu jednostkowego. Pozwalają wyrazić jedną funkcję trygonometryczną w kategoriach dowolnej innej.

Szczegółowy opis tych wzorów trygonometrycznych, ich wyprowadzenie i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Formuły redukcyjne

Formuły redukcyjne wynikają z właściwości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangens, czyli odzwierciedlają właściwość okresowości funkcji trygonometrycznych, właściwość symetrii, a także właściwość przesunięcia o zadany kąt. Te wzory trygonometryczne pozwalają przejść od pracy z dowolnymi kątami do pracy z kątami w zakresie od zera do 90 stopni.

W artykule można zapoznać się z uzasadnieniem tych formuł, mnemoniczną zasadą ich zapamiętywania oraz przykładami ich zastosowania.

Formuły dodawania

Wzory na dodawanie trygonometryczne pokazać, jak funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy dwóch kątów wyrażają się w postaci funkcji trygonometrycznych tych kątów. Wzory te służą jako podstawa do wyprowadzenia następujących wzorów trygonometrycznych.

Wzory na liczbę podwójną, potrójną itp. kąt

Wzory na liczbę podwójną, potrójną itp. kąt (nazywane są również wzorami na wiele kątów) pokazują, jak funkcje trygonometryczne liczby podwójnej, potrójnej itp. kąty () wyrażane są w postaci funkcji trygonometrycznych pojedynczego kąta. Ich wyprowadzenie opiera się na wzorach dodawania.

Bardziej szczegółowe informacje znajdują się we wzorach artykułu na podwójne, potrójne itp. kąt

Wzory na półkąta

Wzory na półkąty pokaż, jak funkcje trygonometryczne połowy kąta wyrażają się w postaci cosinusa całego kąta. Te wzory trygonometryczne wynikają ze wzorów na podwójny kąt.

Ich wnioski i przykłady zastosowania można znaleźć w artykule.

Wzory na redukcję stopni

Wzory trygonometryczne na zmniejszanie stopni mają na celu ułatwienie przejścia od naturalnych potęg funkcji trygonometrycznych do sinusów i cosinusów pierwszego stopnia, ale pod wieloma kątami. Innymi słowy, pozwalają one zredukować potęgi funkcji trygonometrycznych do pierwszej.

Wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych

Główny cel wzory na sumę i różnicę funkcji trygonometrycznych jest przejście do iloczynu funkcji, co jest bardzo przydatne przy upraszczaniu wyrażenia trygonometryczne. Wzory te są również szeroko stosowane w rozwiązywaniu równań trygonometrycznych, ponieważ pozwalają na rozłożenie na czynniki sumy i różnicy sinusów i cosinusów.

Wzory na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa przez cosinus

Przejście od iloczynu funkcji trygonometrycznych do sumy lub różnicy odbywa się za pomocą wzorów na iloczyn sinusów, cosinusów i sinusa przez cosinus.

Uniwersalne podstawienie trygonometryczne

Nasz przegląd podstawowych wzorów trygonometrycznych uzupełniamy wzorami wyrażającymi funkcje trygonometryczne w postaci tangensa kąta połówkowego. Wezwano tę wymianę uniwersalne podstawienie trygonometryczne. Jego wygoda polega na tym, że wszystkie funkcje trygonometryczne są wyrażane racjonalnie w postaci tangensa półkąta bez pierwiastków.

Bibliografia.

Algebra: Podręcznik dla 9 klasy. średnio szkoła/Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; wyd. S. A. Telyakovsky - M.: Edukacja, 1990. - 272 s.: chory - ISBN 5-09-002727-7
Bashmakov M. I. Algebra i początki analizy: Podręcznik. dla klas 10-11. średnio szkoła - wyd. 3. - M.: Edukacja, 1993. - 351 s.: il. - ISBN 5-09-004617-4.
Algebra i początek analizy: Proc. dla klas 10-11. ogólne wykształcenie instytucje / A. N. Kołmogorow, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i inni; wyd. A. N. Kołmogorowa - wyd. 14 - M.: Edukacja, 2004. - 384 s.: chory - ISBN 5-09-013651-3.
Gusiew V. A., Mordkovich A. G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach): Proc. zasiłek.- M.; Wyższy szkoła, 1984.-351 s., il.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i wygląd, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.

Równania trygonometryczne .

Najprostsze równania trygonometryczne .

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

Równania trygonometryczne. Równanie zawierające nieznaną wartość poniżej nazywa się znak funkcji trygonometrycznej trygonometryczny.

Najprostsze równania trygonometryczne.

Metody rozwiązywania równań trygonometrycznych. Rozwiązanie równania trygonometrycznego składa się z dwóch etapów: transformacja równaniażeby było najprościej wpisz (patrz wyżej) i rozwiązaniewynikowy najprostszy równanie trygonometryczne. Tam jest siedem podstawowe metody rozwiązywania równań trygonometrycznych.

1. Metoda algebraiczna. Metoda ta jest nam dobrze znana z algebry.

(zastępowanie zmiennych i metoda podstawienia).

2. Faktoryzacja. Spójrzmy na tę metodę na przykładach.

Przykład 1. Rozwiąż równanie: grzech X+bo X = 1 .

Rozwiązanie Przesuńmy wszystkie wyrazy równania w lewo:

Grzech X+bo X – 1 = 0 ,

Przekształćmy i rozłóżmy wyrażenie na czynniki

Lewa strona równania:

Przykład 2. Rozwiąż równanie: sałata 2 X+ grzech X sałata X = 1.

Rozwiązanie: cos 2 X+ grzech X sałata X– grzech 2 X– co 2 X = 0 ,

Grzech X sałata X– grzech 2 X = 0 ,

Grzech X· (kos X– grzech X ) = 0 ,

Przykład 3. Rozwiąż równanie: co 2 X–cos 8 X+ co 6 X = 1.

Rozwiązanie: cos 2 X+ co 6 X= 1 + sałata 8 X,

2 co 4 X co 2 X= 2cos² 4 X ,

Cos 4 X · (co 2 X– co 4 X) = 0 ,

Cos 4 X · 2 grzech 3 X grzech X = 0 ,

1). co 4 X= 0, 2). grzech 3 X= 0, 3). grzech X = 0 ,

Prowadzący do równanie jednorodne. Równanie zwany jednorodne od w sprawie grzech I sałata , Jeśli wszystko terminy w tym samym stopniu w stosunku do grzech I sałata ten sam kąt. Aby rozwiązać równanie jednorodne, potrzebujesz: