W przypadku wielu problemów matematyki i jej zastosowań konieczne jest użycie znanej wartości funkcji trygonometrycznej w celu znalezienia odpowiedniej wartości kąta wyrażonego w stopniach lub radianach. Wiadomo, że nieskończona liczba kątów odpowiada tej samej wartości sinusa, np. jeśli $\sin α=1/2,$ to kąt $α$ może wynosić $30°$ i $150°,$ lub w radianach $π /6$ i $5π/6,$ oraz dowolny kąt uzyskany z nich przez dodanie wyrazu w postaci $360°⋅k,$ lub odpowiednio $2πk,$ gdzie $k $ jest dowolną liczbą całkowitą. Staje się to jasne, gdy przyjrzymy się wykresowi funkcji $y=\sin x$ na całej osi liczbowej (patrz rys. $1$): jeśli na osi $Oy$ narysujemy odcinek o długości $1/2$ i narysujemy prosta równoległa do osi $Ox, $ to przetnie sinusoidę w nieskończonej liczbie punktów. Aby uniknąć możliwej różnorodności odpowiedzi, wprowadza się odwrotne funkcje trygonometryczne, zwane inaczej funkcjami kołowymi lub łukowymi (od łacińskiego słowa arcus - „łuk”).
Cztery główne funkcje trygonometryczne $\sin x,$ $\cos x,$ $\mathrm(tg)\,x$ i $\mathrm(ctg)\,x$ odpowiadają czterem funkcjom łuku $\arcsin x,$ $ \arccos x ,$ $\mathrm(arctg)\,x$ i $\mathrm(arcctg)\,x$ (czytaj: arcsine, arccosinus, arctangens, arccotangens). Rozważmy funkcje \arcsin x i \mathrm(arctg)\,x, ponieważ pozostałe dwie wyraża się za ich pośrednictwem za pomocą wzorów:
$\arccos x = \frac(π)(2) − \arcsin x,$ $\mathrm(arcctg)\,x = \frac(π)(2) − \mathrm(arctg)\,x.$
Równość $y = \arcsin x$ z definicji oznacza kąt $y,$ wyrażony w radianach i zawarty w przedziale od $−\frac(π)(2)$ do $\frac(π)(2), $ sinus, który jest równy $x,$ tj. $\sin y = x.$ Funkcja $\arcsin x$ jest funkcją funkcja odwrotna$\sin x,$ rozważany na przedziale $\left[−\frac(π)(2),+\frac(π)(2)\right],$ gdzie funkcja ta rośnie monotonicznie i przyjmuje wszystkie wartości z $−1 $ do $+1.$ Oczywiście argument $y$ funkcji $\arcsin x$ może przyjmować tylko wartości z przedziału $\left[−1,+1\right].$ Zatem, funkcja $y=\arcsin x$ jest zdefiniowana na przedziale $\left[−1,+1\right],$ rośnie monotonicznie, a jej wartości wypełniają przedział $\left[−\frac(π) (2),+\frac(π)(2)\right].$ Wykres funkcji pokazano na ryc. $2.$
Pod warunkiem $−1 ≤ a ≤ 1$ możemy przedstawić wszystkie rozwiązania równania $\sin x = a$ w postaci $x=(−1)^n \arcsin a + πn,$ $n=0 ,±1,± 2, ….$ Na przykład, jeśli
$\sin x = \frac(\sqrt(2))(2)$ wtedy $x = (−1)^n \frac(π)(4)+πn,$ $n = 0, ±1, ±2 ,….$
Relacja $y=\mathrm(arcctg)\,x$ jest zdefiniowana dla wszystkich wartości $x$ i z definicji oznacza, że kąt $y,$ wyrażony w mierze radianowej mieści się w
$−\frac(π)(2)
a tangens tego kąta jest równy x, czyli $\mathrm(tg)\,y = x.$ Funkcja $\mathrm(arctg)\,x$ jest zdefiniowana na całej osi liczbowej i jest funkcją odwrotną funkcja $\mathrm(tg)\,x$, która jest uwzględniana tylko w przedziale
$−\frac(π)(2)
Funkcja $y = \mathrm(arctg)\,x$ jest monotonicznie rosnąca, jej wykres pokazano na rys. 3 $
Wszystkie rozwiązania równania $\mathrm(tg)\,x = a$ można zapisać w postaci $x=\mathrm(arctg)\,a+πn,$ $n=0,±1,±2,… .$
Należy zauważyć, że odwrotne funkcje trygonometryczne są szeroko stosowane w analizie matematycznej. Przykładowo jedną z pierwszych funkcji, dla której uzyskano reprezentację w postaci nieskończonego szeregu potęgowego, była funkcja $\mathrm(arctg)\,x.$ Z tego szeregu G. Leibniz, ze stałą wartością argumentu $x =1$, uzyskał słynną reprezentację liczby do nieskończonej bliskości
Odwrotne funkcje trygonometryczne- są to arcsinus, arcuscosinus, arcus tangens i arccotangens.
Najpierw podamy kilka definicji.
Arcsine Lub możemy powiedzieć, że jest to taki kąt, należący do segmentu, którego sinus jest równy liczbie a.
cosinus łukowy Liczba a nazywana jest liczbą taką, że
Arcus tangens Liczba a nazywana jest liczbą taką, że
Arckotangens Liczba a nazywana jest liczbą taką, że
Porozmawiajmy szczegółowo o tych czterech nowych dla nas funkcjach - odwrotnych funkcjach trygonometrycznych.
Pamiętaj, że już się spotkaliśmy.
Na przykład arytmetyczny pierwiastek kwadratowy z a jest liczbą nieujemną, której kwadrat jest równy a.
Logarytm liczby b mający podstawę a jest liczbą c taką, że
Naraz
Rozumiemy, dlaczego matematycy musieli „wymyślać” nowe funkcje. Na przykład rozwiązania równania są i Nie moglibyśmy ich zapisać bez specjalnego symbolu arytmetycznego pierwiastek kwadratowy.
Pojęcie logarytmu okazało się niezbędne do zapisania rozwiązań np. takiego równania: Rozwiązaniem tego równania jest liczba niewymierna Jest to wykładnik, do którego należy podnieść 2, aby otrzymać 7.
Podobnie jest z równaniami trygonometrycznymi. Na przykład chcemy rozwiązać równanie
Oczywiste jest, że jego rozwiązania odpowiadają punktom na okręgu trygonometrycznym, którego rzędna jest równa. I jasne jest, że nie jest to tabelaryczna wartość sinusa. Jak zapisać rozwiązania?
Tutaj nie możemy obejść się bez nowej funkcji, oznaczającej kąt, którego sinus jest równy podany numer A. Tak, wszyscy już zgadli. To jest arcus sinus.
Kąt należący do odcinka, którego sinus jest równy, jest arcusinusem jednej czwartej. A to oznacza, że ciąg rozwiązań naszego równania odpowiadający właściwemu punktowi na okręgu trygonometrycznym wynosi
Druga seria rozwiązań naszego równania to:
Więcej o rozwiązaniu równania trygonometryczne - .
Pozostaje dowiedzieć się - dlaczego z definicji arcsine wynika, że jest to kąt należący do odcinka?
Faktem jest, że istnieje nieskończenie wiele kątów, których sinus jest równy np. . Musimy wybrać jedno z nich. Wybieramy ten, który leży na segmencie.
Spójrz na okrąg trygonometryczny. Zobaczysz, że w segmencie każdy kąt odpowiada określonej wartości sinusoidalnej i tylko jednej. I odwrotnie, dowolnej wartości sinusa z odcinka odpowiada pojedyncza wartość kąta na odcinku. Oznacza to, że na segmencie można zdefiniować funkcję przyjmującą wartości od do
Powtórzmy definicję jeszcze raz:
Arcsinus liczby to liczba , takie, że
Oznaczenie: Obszar definicji arcsine jest segmentem. Zakres wartości jest segmentem.
Pamiętasz wyrażenie „arcsines żyją po prawej stronie”. Tylko nie zapominaj, że dzieje się to nie tylko po prawej stronie, ale także w segmencie.
Jesteśmy gotowi do wykreślenia funkcji
Jak zwykle wykreślamy wartości x na osi poziomej, a wartości y na osi pionowej.
Ponieważ zatem x leży w przedziale od -1 do 1.
Oznacza to, że dziedziną definicji funkcji y = arcsin x jest odcinek
Powiedzieliśmy, że y należy do segmentu . Oznacza to, że zakres wartości funkcji y = arcsin x jest segmentem.
Należy zauważyć, że wykres funkcji y=arcsinx pasuje całkowicie do obszaru ograniczone liniami I
Jak zawsze przy rysowaniu wykresu nieznanej funkcji, zacznijmy od tabeli.
Z definicji arcsinus zera jest liczbą z odcinka, którego sinus jest równy zero. Co to za numer? - Jasne jest, że to zero.
Podobnie arcsinus jednego jest liczbą z odcinka, którego sinus jest równy jeden. Oczywiście to
Kontynuujemy: - jest to liczba z odcinka, którego sinus jest równy . Tak, to prawda
| 0 | |||||
| 0 |
Budowa wykresu funkcji
Właściwości funkcji
1. Zakres definicji
2. Zakres wartości
3., czyli ta funkcja jest nieparzysta. Jego wykres jest symetryczny względem początku.
4. Funkcja rośnie monotonicznie. Jego minimalną wartość, równą -, osiąga się w , a największą wartość równą , w
5. Co robią wykresy funkcji i ? Czy nie sądzicie, że są one „robione według tego samego schematu” – tak jak prawa gałąź funkcji i wykres funkcji, albo jak wykresy funkcji wykładniczej i logarytmicznej?
Wyobraźmy sobie, że ze zwykłej fali sinusoidalnej wycięliśmy mały fragment od do do, a następnie obróciliśmy go do pionu - i otrzymamy wykres łuku sinusoidalnego.
Jakie dla funkcji w tym przedziale są wartości argumentu, to dla arcsine będą wartości funkcji. Tak właśnie powinno być! W końcu sinus i arcsine - funkcje wzajemne. Innymi przykładami par wzajemnie odwrotnych funkcji są at i , a także funkcje wykładnicze i logarytmiczne.
Przypomnijmy, że wykresy funkcji wzajemnie odwrotnych są symetryczne względem prostej
Podobnie definiujemy funkcję. Potrzebujemy tylko odcinka, w którym każda wartość kąta odpowiada własnej wartości cosinus, a znając cosinus, możemy jednoznacznie znaleźć kąt. Segment będzie nam odpowiadał
Cosinus liczby jest liczbą , takie że
Łatwo zapamiętać: „cosinusy łuku żyją z góry” i nie tylko z góry, ale na segmencie
Oznaczenie: Obszar definicji arccosinus jest segmentem. Zakres wartości jest segmentem.
Oczywiście wybrano segment, ponieważ na nim każda wartość cosinus jest brana tylko raz. Innymi słowy, każda wartość cosinusa od -1 do 1 odpowiada pojedynczej wartości kąta z przedziału
Arc cosinus nie jest ani parzysty, ani dziwna funkcja. Możemy jednak skorzystać z następującej oczywistej zależności:
Narysujmy funkcję
Potrzebujemy części funkcji, w której jest ona monotoniczna, to znaczy przyjmuje każdą wartość dokładnie raz.
Wybierzmy segment. W tym segmencie funkcja maleje monotonicznie, to znaczy zgodność między zbiorami jest jeden do jednego. Każdej wartości x odpowiada wartość y. Na tym segmencie znajduje się funkcja odwrotna do cosinusa, czyli funkcja y = arccosx.
Wypełnijmy tabelę, korzystając z definicji arc cosinusa.
Arcus cosinus liczby x należącej do przedziału będzie liczbą y należącą do tego przedziału w taki sposób, że
Oznacza to, że;
Ponieważ ;
Ponieważ ,
Ponieważ ,
| 0 | |||||
| 0 |
Oto wykres arcus cosinus:
Właściwości funkcji
1. Zakres definicji
2. Zakres wartości
Ta funkcja widok ogólny- to nie jest ani parzyste, ani nieparzyste.
4. Funkcja jest ściśle malejąca. Najwyższa wartość, równa , funkcja y = arccosx przyjmuje w , a najmniejsza wartość, równa zero, przyjmuje w
5. Funkcje i są wzajemnie odwrotne.
Kolejne to arcustangens i arccotangens.
Arcus tangens liczby to liczba , takie że
Oznaczenie: . Obszar definicji arcustangens to przedział.
Dlaczego końce przedziału - punkty - są wyłączone z definicji arcus tangens? Oczywiście, ponieważ styczna w tych punktach nie jest zdefiniowana. Nie ma liczby równej tangensowi któregokolwiek z tych kątów.
Zbudujmy wykres arcustangens. Zgodnie z definicją arcus tangens liczby x to liczba y należąca do takiego przedziału, że
Sposób zbudowania wykresu jest już jasny. Ponieważ arcustangens jest odwrotną funkcją tangensa, postępujemy w następujący sposób:
Wybieramy sekcję wykresu funkcji, w której zgodność między x i y jest jeden do jednego. Jest to przedział C. W tej sekcji funkcja przyjmuje wartości od do
Wtedy funkcja odwrotna, czyli funkcja, ma dziedzinę definicji, która będzie całą osią liczbową, od do, a zakresem wartości będzie przedział
Oznacza,
Oznacza,
Oznacza,
Ale co się dzieje w przypadku nieskończenie dużych wartości x? Innymi słowy, jak zachowuje się ta funkcja, gdy x dąży do plus nieskończoności?
Możemy zadać sobie pytanie: dla jakiej liczby w przedziale tangens dąży do nieskończoności? - Jasne, że to
Oznacza to, że dla nieskończenie dużych wartości x wykres arcustangens zbliża się do asymptoty poziomej
Podobnie, jeśli x zbliża się do minus nieskończoności, wykres arcustangens zbliża się do asymptoty poziomej
Rysunek przedstawia wykres funkcji
Właściwości funkcji
1. Zakres definicji
2. Zakres wartości
3. Funkcja jest nieparzysta.
4. Funkcja jest ściśle rosnąca.
6. Funkcje i są wzajemnie odwrotne - oczywiście gdy funkcję rozważamy na przedziale
Podobnie definiujemy odwrotną funkcję styczną i rysujemy jej wykres.
Arccotangens liczby to liczba , takie że
Wykres funkcji:
Właściwości funkcji
1. Zakres definicji
2. Zakres wartości
3. Funkcja ma postać ogólną, to znaczy nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
4. Funkcja jest ściśle malejąca.
5. Asymptoty bezpośrednie i - poziome tej funkcji.
6. Funkcje i są wzajemnie odwrotne, jeśli rozpatrywać je na przedziale
Definicja i notacja
Arcsine (y = Arcsin x) jest odwrotną funkcją sinusa (x = grzech -1 ≤ x ≤ 1 i zbiór wartości -π /2 ≤ y ≤ π/2.grzech(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .
Arcsine jest czasami oznaczany w następujący sposób:
.
Wykres funkcji arcsine
Wykres funkcji y = Arcsin x
Wykres arcus sinus uzyskuje się z wykresu sinusoidalnego, jeśli zamienione zostaną osie odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości ogranicza się do przedziału, w którym funkcja jest monotoniczna. Definicja ta nazywana jest wartością główną łuku sinusoidalnego.
Arcosinus, arccos
Definicja i notacja
Cosinus łukowy (y = Arcos x) jest odwrotną funkcją cosinusa (x = przytulny). Ma zakres -1 ≤ x ≤ 1 i wiele znaczeń 0 ≤ y ≤ π.cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .
Arccosine jest czasami oznaczany w następujący sposób:
.
Wykres funkcji arc cosinus
Wykres funkcji y = Arcos x
Wykres łuku cosinus jest uzyskiwany z wykresu cosinus, jeśli zamienione zostaną osie odciętych i rzędnych. Aby wyeliminować niejednoznaczność, zakres wartości ogranicza się do przedziału, w którym funkcja jest monotoniczna. Definicja ta nazywana jest wartością główną łuku cosinus.
Parytet
Funkcja arcsine jest nieparzysta:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x
Funkcja arc cosinus nie jest parzysta ani nieparzysta:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Właściwości - ekstrema, wzrost, spadek
Funkcje arcsine i arccosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji (patrz dowód ciągłości). Główne właściwości arcsine i arccosine przedstawiono w tabeli.
| y = Arcsin x | y = Arcos x | |
| Zakres i ciągłość | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Zakres wartości | ||
| Rosnąco, malejąco | monotonicznie wzrasta | monotonicznie maleje |
| Wzloty | ||
| Minimalne wartości | ||
| Zera, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Punkty przecięcia z osią współrzędnych, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tabela arcusinusów i arcusinusów
Ta tabela przedstawia wartości arcusinusów i arccosinusów, w stopniach i radianach, dla określonych wartości argumentu.
| X | Arcsin x | Arcos x | ||
| grad | zadowolony. | grad | zadowolony. | |
| - 1 | - 90° | - | 180° | π |
| - | - 60° | - | 150° | |
| - | - 45° | - | 135° | |
| - | - 30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formuły
Zobacz także: Wyprowadzanie wzorów na odwrotne funkcje trygonometryczneWzory na sumę i różnicę
w lub
w i
w i
w lub
w i
w i
Na
Na
Na
Na
Wyrażenia poprzez logarytmy, liczby zespolone
Zobacz także: Wyprowadzanie formułWyrażenia poprzez funkcje hiperboliczne
Instrumenty pochodne
;
.
Zobacz Wyprowadzanie pochodnych arcsinusa i arccosinusa > > >
Instrumenty pochodne wyższego rzędu:
,
gdzie jest wielomianem stopnia .
;
;
.
Określają to wzory:
Zobacz Wyprowadzanie pochodnych wyższego rzędu arcsinusa i arccosinusa > > >
Całki Dokonujemy podstawienia x = grzech .,
Całkujemy przez części, biorąc pod uwagę, że -π/:
.
2 ≤ t ≤ π/2
.
cos t ≥ 0
Wyraźmy arc cosinus poprzez arc sinus:< 1
Rozszerzenie serii
;
.
Kiedy |x|
następuje następujący rozkład:
Funkcje odwrotne
grzech(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .
Odwrotnościami arcsinus i arccosinus są odpowiednio sinus i cosinus.
arcsin(sin x) = x W całej dziedzinie definicji obowiązują następujące wzory:
arccos(cos x) = x Poniższe wzory obowiązują tylko na zbiorze wartości arcsinus i arcus cosinus:
Na
Na .
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009. Zobacz także: W tej lekcji przyjrzymy się funkcjom funkcje odwrotne i powtórz odwrotne funkcje trygonometryczne. Właściwości wszystkich podstawowych odwrotności zostaną rozważone osobno.
Ta lekcja pomoże Ci przygotować się do jednego z typów zadań B7 I C1.
Przygotowanie do jednolitego egzaminu państwowego z matematyki
Eksperyment
Lekcja 9. Odwrotne funkcje trygonometryczne.
Teoria
Podsumowanie lekcji
Pamiętajmy, kiedy spotykamy się z takim pojęciem jak funkcja odwrotna. Rozważmy na przykład funkcję kwadratową. Załóżmy, że mamy kwadratowy pokój o boku 2 metrów i chcemy obliczyć jego pole. Aby to zrobić, korzystając ze wzoru na kwadrat, podnosimy dwa do kwadratu i w rezultacie otrzymujemy 4 m2. Teraz wyobraźmy sobie problem odwrotny: znamy powierzchnię kwadratowego pokoju i chcemy znaleźć długości jego boków. Jeżeli wiemy, że powierzchnia nadal wynosi 4 m2, to wykonamy czynność odwrotną do kwadratury - wyciągając pierwiastek arytmetyczny, który da nam wartość 2 m.
Zatem w przypadku funkcji podniesienia liczby do kwadratu funkcją odwrotną jest pobranie arytmetycznego pierwiastka kwadratowego.
Konkretnie w powyższym przykładzie nie mieliśmy żadnych problemów z obliczeniem boku pomieszczenia, bo rozumiemy, że jest to liczba dodatnia. Jeśli jednak oderwiemy się od tego przypadku i spojrzymy na problem bardziej ogólnie: „Oblicz liczbę, której kwadrat jest równy cztery”, stajemy przed problemem – są dwie takie liczby. To są 2 i -2, ponieważ jest również równe cztery. Okazuje się, że zadanie odwrotne w przypadku ogólnym można rozwiązać niejednoznacznie, a działanie polegające na wyznaczeniu liczby do kwadratu dało liczbę, którą znamy? ma dwa wyniki. Wygodnie jest pokazać to na wykresie:
 |
Oznacza to, że takiego prawa zgodności liczb nie możemy nazwać funkcją, ponieważ dla funkcji jedna wartość argumentu odpowiada ściśle jedno wartość funkcji.
Aby dokładnie wprowadzić funkcję odwrotną do kwadratu, zaproponowano koncepcję arytmetycznego pierwiastka kwadratowego, który daje tylko wartości nieujemne. Te. w przypadku funkcji uważa się, że funkcja odwrotna to .
Podobnie istnieją funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych, nazywa się je odwrotne funkcje trygonometryczne. Każda z rozważanych przez nas funkcji ma swoją odwrotność, nazywa się je: arcsinus, arccosinus, arcustangens i arccotangens.
Funkcje te rozwiązują problem obliczania kątów ze znanej wartości funkcji trygonometrycznej. Na przykład, korzystając z tabeli wartości podstawowych funkcji trygonometrycznych, możesz obliczyć sinus, którego kąt jest równy. Znajdujemy tę wartość w linii sinusów i określamy, któremu kątowi odpowiada. Pierwszą rzeczą, na którą chcesz odpowiedzieć, jest to, że jest to kąt lub, ale jeśli masz do dyspozycji tabelę wartości, od razu zauważysz innego pretendenta do odpowiedzi - jest to kąt lub. A jeśli przypomnimy sobie okres sinusa, zrozumiemy, że istnieje nieskończona liczba kątów, pod którymi sinus jest równy. I taki zbiór wartości kątów odpowiadających danej wartości funkcji trygonometrycznej będzie obserwowany także dla cosinusów, stycznych i cotangensów, ponieważ wszystkie mają okresowość.
Te. stajemy przed tym samym problemem, który mieliśmy przy obliczaniu wartości argumentu na podstawie wartości funkcji działania podnoszącego do kwadratu. I w tym przypadku dla odwrotnych funkcji trygonometrycznych wprowadzono ograniczenie zakresu wartości, jakie dają one podczas obliczeń. Ta właściwość takich funkcji odwrotnych nazywa się zawężenie zakresu wartości, i jest to konieczne, aby można je było nazwać funkcjami.
Dla każdej z odwrotnych funkcji trygonometrycznych zakres kątów, które zwraca, jest inny i rozważymy je osobno. Przykładowo arcsine zwraca wartości kąta z zakresu od do.
Umiejętność pracy z odwrotnymi funkcjami trygonometrycznymi przyda się nam przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.
Wskażemy teraz podstawowe własności każdej z odwrotnych funkcji trygonometrycznych. Kto chce zapoznać się z nimi bardziej szczegółowo, odsyła do rozdziału „Rozwiązywanie równań trygonometrycznych” w programie klasy 10.
Rozważmy właściwości funkcji arcsine i zbudujmy jej wykres.
Definicja.Arcsine liczbyX
Podstawowe właściwości arcsine:
1) 
Na ,
2) 
Na .
Podstawowe własności funkcji arcsine:
1) Zakres definicji 
;
2) Zakres wartości 
;
3) Funkcja jest nieparzysta Wskazane jest zapamiętanie tej formuły osobno, ponieważ jest przydatny do transformacji. Zauważamy również, że osobliwość implikuje symetrię wykresu funkcji względem początku;
Zbudujmy wykres funkcji:
Należy pamiętać, że żaden z odcinków wykresu funkcji się nie powtarza, co oznacza, że arcsinus nie jest funkcja okresowa w przeciwieństwie do sinusa. To samo dotyczy wszystkich innych funkcji łuku.
Rozważmy właściwości funkcji arc cosinus i zbudujmy jej wykres.
Definicja.cosinus liczbyX jest wartością kąta y, dla którego . Co więcej, zarówno jako ograniczenia wartości sinusa, jak i jako wybrany zakres kątów.
Podstawowe własności arcus cosinus:
1) 
Na ,
2) 
Na .
Podstawowe własności funkcji arc cosinus:
1) Zakres definicji ;
2) Zakres wartości;
3) Funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta, tj. widok ogólny 
. Wskazane jest również zapamiętanie tej formuły, przyda się nam później;
4) Funkcja maleje monotonicznie.
Zbudujmy wykres funkcji:
Rozważmy właściwości funkcji arcustangens i zbudujmy jej wykres.
Definicja.Arcus tangens liczbyX jest wartością kąta y, dla którego . Co więcej, ponieważ Nie ma ograniczeń co do wartości stycznych, ale raczej co do wybranego zakresu kątów.
Podstawowe właściwości arcustangens:
1) 
Na ,
2) 
Na .
Podstawowe własności funkcji arcus tangens:
1) Zakres definicji;
2) Zakres wartości 
;
3) Funkcja jest nieparzysta 
. Ta formuła jest również przydatna, podobnie jak inne podobne do niej. Podobnie jak w przypadku arcsinusa, osobliwość oznacza, że wykres funkcji jest symetryczny względem początku;
4) Funkcja rośnie monotonicznie.
Zbudujmy wykres funkcji:
Odwrotna funkcja cosinus
Zakres wartości funkcji y=cos x (patrz ryc. 2) jest segmentem. Na odcinku funkcja jest ciągła i monotonicznie malejąca.
Ryż. 2
Oznacza to, że na odcinku zdefiniowana jest funkcja odwrotna do funkcji y=cos x. Ta funkcja odwrotna nazywa się arc cosinus i jest oznaczana y=arccos x.
Definicja
Arcuscosinus liczby a, jeśli |a|1, jest kątem, którego cosinus należy do odcinka; jest oznaczony przez arccos a.
Zatem arccos a jest kątem spełniającym dwa warunki: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a?р.
Na przykład arccos, ponieważ cos i; arccos, ponieważ cos i.
Funkcja y = arccos x (ryc. 3) jest zdefiniowana na segmencie; jej zakresem wartości jest segment. Na odcinku funkcja y=arccos x jest ciągła i monotonicznie maleje od p do 0 (ponieważ y=cos x jest funkcją ciągłą i monotonicznie malejącą na odcinku); na końcach segmentu osiąga wartości ekstremalne: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Zauważ, że arccos 0 = . Wykres funkcji y = arccos x (patrz rys. 3) jest symetryczny do wykresu funkcji y = cos x względem prostej y=x.
Ryż. 3
Pokażmy, że zachodzi równość arccos(-x) = p-arccos x.
Właściwie z definicji 0? arccos x? R. Mnożąc przez (-1) wszystkie części ostatniej podwójnej nierówności, otrzymujemy - p? arccos x? 0. Dodając p do wszystkich części ostatniej nierówności, otrzymujemy 0? p-arccos x? R.
Zatem wartości kątów arccos(-x) i p - arccos x należą do tego samego odcinka. Ponieważ cosinus maleje na odcinku monotonicznie, nie mogą istnieć na nim dwa różne kąty, które by to powodowały równe cosinusy. Znajdźmy cosinusy kątów arccos(-x) i p-arccos x. Z definicji cos (arccos x) = - x, zgodnie ze wzorami redukcyjnymi i z definicji mamy: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Zatem cosinusy kątów są równe, co oznacza, że same kąty są równe.
Odwrotna funkcja sinus
Rozważmy funkcję y=sin x (ryc. 6), która na odcinku [-р/2;р/2] jest rosnąca, ciągła i przyjmuje wartości z odcinka [-1; 1]. Oznacza to, że na odcinku [- p/2; đ/2] zdefiniowano funkcję odwrotną funkcji y=sin x.
Ryż. 6
Ta funkcja odwrotna nazywana jest arcsinusem i oznaczana jest jako y=arcsin x. Wprowadźmy definicję arcsinusa liczby.
Arcsinus liczby to kąt (lub łuk), którego sinus jest równy liczbie a i który należy do odcinka [-р/2; p/2]; jest to oznaczone przez arcsin a.
Zatem arcsin a jest kątem spełniającym warunki: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? Arcsin, co? r/2. Na przykład, ponieważ grzech i [- p/2; p/2]; arcsin, ponieważ sin = u [- p/2; str./2].
Na odcinku [- 1; 1], zakres jego wartości to segment [-р/2;р/2]. W segmencie [- 1; 1] funkcja y=arcsin x jest ciągła i rośnie monotonicznie od -p/2 do p/2 (wynika to z faktu, że funkcja y=sin x na odcinku [-p/2; p/2] jest ciągła i rośnie monotonicznie). Przyjmuje największą wartość przy x = 1: arcsin 1 = p/2, a najmniejszą przy x = -1: arcsin (-1) = -p/2. Przy x = 0 funkcja wynosi zero: arcsin 0 = 0.
Pokażmy, że funkcja y = arcsin x jest nieparzysta, tj. arcsin(-x) = - arcsin x dla dowolnego x [ - 1; 1].
Rzeczywiście, z definicji, jeśli |x| ?1, mamy: - p/2 ? Arcsin x? ? r/2. Zatem kąty arcsin(-x) i - arcsin x należą do tego samego segmentu [ - p/2; str./2].
Znajdźmy ich sinusy kąty: sin (arcsin(-x)) = - x (z definicji); ponieważ funkcja y=sin x jest nieparzysta, to sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Zatem sinusy kątów należących do tego samego przedziału [-р/2; p/2], są równe, co oznacza, że same kąty są równe, tj. arcsin (-x)= - arcsin x. Oznacza to, że funkcja y=arcsin x jest nieparzysta. Wykres funkcji y=arcsin x jest symetryczny względem początku.
Pokażmy, że arcsin (sin x) = x dla dowolnego x [-р/2; str./2].
Rzeczywiście, z definicji -p/2? arcsin (sin x)? p/2 i według warunku -p/2? X? r/2. Oznacza to, że kąty x i arcsin (sin x) należą do tego samego przedziału monotoniczności funkcji y=sin x. Jeśli sinusy takich kątów są równe, to same kąty są równe. Znajdźmy sinusy tych kątów: dla kąta x mamy sin x, dla kąta arcsin (sin x) mamy sin (arcsin(sin x)) = sin x. Odkryliśmy, że sinusy kątów są równe, dlatego kąty są równe, tj. arcsin(sin x) = x. .
Ryż. 7
Ryż. 8
Wykres funkcji arcsin (sin|x|) otrzymujemy poprzez zwykłe przekształcenia związane z modułem z wykresu y=arcsin (sin x) (pokazanego linią przerywaną na rys. 8). Pożądany wykres y=arcsin (sin |x-/4|) otrzymuje się z niego poprzez przesunięcie o /4 w prawo wzdłuż osi x (pokazane jako linia ciągła na rys. 8)
Odwrotna funkcja tangensa
Funkcja y=tg x na przedziale przyjmuje wszystkie wartości liczbowe: E (tg x)=. W tym przedziale jest ciągły i rośnie monotonicznie. Oznacza to, że na przedziale jest zdefiniowana funkcja odwrotna do funkcji y = tan x. Ta funkcja odwrotna nazywana jest arcus tangensem i jest oznaczana y = arctan x.
Arcus tangens a jest kątem należącym do przedziału, którego tangens jest równy a. Zatem arctg a jest kątem spełniającym następujące warunki: tg (arctg a) = a i 0? arctg a? R.
Zatem dowolna liczba x zawsze odpowiada pojedynczej wartości funkcji y = arctan x (ryc. 9).
Jest oczywiste, że D (arctg x) = , E (arctg x) = .
Funkcja y = arctan x rośnie, ponieważ funkcja y = tg x rośnie na przedziale. Nie jest trudno udowodnić, że arctg(-x) = - arctgx, tj. ten arcus tangens jest funkcją nieparzystą.
Ryż. 9
Wykres funkcji y = arctan x jest symetryczny do wykresu funkcji y = tg x względem prostej y = x, wykres y = arctan x przechodzi przez początek współrzędnych (ponieważ arctan 0 = 0) i jest symetryczny względem początku (jak wykres funkcji nieparzystej).
Można udowodnić, że arctan (tan x) = x jeśli x.
Cotangens funkcja odwrotna
Funkcja y = ctg x na przedziale pobiera wszystkie wartości liczbowe z przedziału. Zakres jego wartości pokrywa się ze zbiorem wszystkich liczby rzeczywiste. W przedziale funkcja y = cot x jest ciągła i rośnie monotonicznie. Oznacza to, że na tym przedziale zdefiniowana jest funkcja odwrotna do funkcji y = cot x. Odwrotna funkcja cotangens nazywana jest arccotangens i jest oznaczana y = arcctg x.
Cotangens łuku a jest kątem należącym do przedziału, którego cotangens jest równy a.
Zatem arcctg a jest kątem spełniającym następujące warunki: ctg (arcctg a)=a i 0? arcctg a? R.
Z definicji funkcji odwrotnej i definicji arcustangens wynika, że D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . Cotangens łuku jest funkcją malejącą, ponieważ funkcja y = ctg x maleje w przedziale.
Wykres funkcji y = arcctg x nie przecina osi Wół, gdyż y > 0 R. Dla x = 0 y = arcctg 0 =.
Wykres funkcji y = arcctg x pokazano na rysunku 11.
Ryż. 11
Zauważ, że dla wszystkich rzeczywistych wartości x tożsamość jest prawdziwa: arcctg(-x) = p-arcctg x.
