Obliczanie całki Mohra z wykorzystaniem reguły Wierieszczagina. Wyznaczanie przemieszczeń metodą Wierieszczagina. Diagramy mnożenia

W przypadkach, gdy schemat Mz 1 (Lub Mz) ogranicza się do linii prostych. Zasadniczo jest to technika graficznego analitycznego obliczania całki oznaczonej iloczynu dwóch funkcji F(X) I φ (X), z których np φ (X), liniowy, tj. ma postać

Rozważmy odcinek belki, w którym wykres momentów zginających od obciążenia jednostkowego ogranicza się do jednej prostej Mz 1 = kx+ B, a moment zginający od danego obciążenia zmienia się zgodnie z pewnym arbitralnym prawem Mz. Następnie w tym obszarze

Druga całka reprezentuje obszar ω diagramy Mz w rozpatrywanym obszarze, a pierwszy to moment statyczny tego obszaru względem osi y a zatem równy iloczynowi powierzchni ω do współrzędnej jego środka ciężkości XC. Zatem,

.

Tutaj kxC+ B- ordynować yC diagramy Mz 1 poniżej środka ciężkości obszaru ω . Stąd,

.

Praca ω yC będzie pozytywny, kiedy ω I yC umieszczone po jednej stronie osi diagramu oraz ujemne, jeżeli znajdują się po przeciwnych stronach tej osi.

Zatem według Metoda Vereshchagina operację całkowania zastępuje się mnożeniem obszaru ω jedna działka na rzędną yC drugi (koniecznie liniowy) wykres wykonany pod środkiem ciężkości obszaru ω .

Należy zawsze pamiętać, że takie „mnożenie” diagramów możliwe jest tylko w obszarze ograniczonym jedną prostą diagramu, z którego pobierana jest rzędna yC. Dlatego przy obliczaniu przemieszczeń odcinków belki metodą Vereshchagina całkę Mohra na całej długości belki należy zastąpić sumą całek po odcinkach, w których wykres momentów od obciążenia jednostkowego nie ma załamań. Następnie

.

Aby skutecznie zastosować metodę Vereshchagina, konieczne jest posiadanie wzorów, za pomocą których można obliczyć pola ω i współrzędne XC ich środki ciężkości. Podane w tabeli. Dane 8.1 dotyczą tylko najprostszych przypadków obciążenia belki. Jednak bardziej złożone wykresy momentów zginających można rozbić na proste figury, obszary ω I i współrzędne yci które są znane, a następnie znajdź pracę ω yC dla tak złożonego diagramu poprzez zsumowanie iloczynów pól ω I jego części do odpowiednich współrzędnych yci. Wyjaśnia to fakt, że rozkład diagramu mnożenia na części jest równoznaczny z przedstawieniem funkcji Mz(X) w całce (8.46) jako suma całek. W niektórych przypadkach konstrukcja diagramów warstwowych, tj. z każdej z sił zewnętrznych i par z osobna, upraszcza obliczenia.

Jeśli oba diagramy Mz I Mz 1 liniowy, ostateczny wynik ich mnożenia nie zależy od tego, czy pole pierwszego diagramu zostanie pomnożone przez rzędną drugiego, czy odwrotnie, pole drugiego przez rzędną pierwszego.

Aby praktycznie obliczyć przemieszczenia metodą Vereshchagina, należy:

1) skonstruować wykres momentów zginających od danego obciążenia (wykres główny);

3) skonstruować wykres momentów zginających z obciążenia jednostkowego (wykres jednostkowy);

4) podzielić wykresy danych obciążeń na osobne obszary ω I i obliczyć współrzędne yCi pojedynczy diagram pod środkami ciężkości tych obszarów;

5) skomponować utwór ω IyCi i podsumuj je.

Tabela 8.1.

Rodzaj diagramu Mz	Kwadrat ω	Współrzędna środka ciężkości XC
(*) - Te wzory nie obowiązują dla tego przypadku obciążenia

EE „BSUIR”

Katedra Grafiki Inżynierskiej

ABSTRAKCYJNY

na temat:

„OZNACZANIE PRZEMIESZCZEŃ METODĄ MOR. Reguła Wiereszczagina”

Mińsk, 2008

Rozważmy teraz ogólną metodę wyznaczania przemieszczeń, odpowiednią dla każdego układu odkształcalnego liniowo pod dowolnym obciążeniem. Metodę tę zaproponował wybitny niemiecki naukowiec O. Mohr.

Załóżmy, że chcemy wyznaczyć przemieszczenie pionowe punktu A belki pokazanej na rys. 7.13, o. Stan zadany (obciążenia) oznaczamy literą k. Wybierzmy stan pomocniczy tej samej belki z jednostką

siła działająca w punkcie A i w kierunku pożądanego przemieszczenia. Stan pomocniczy oznaczamy literą i (ryc. 7.13,6).

Obliczmy pracę sił zewnętrznych i wewnętrznych stanu pomocniczego na przemieszczenia spowodowane działaniem sił stanu obciążenia.

Praca sił zewnętrznych będzie równa iloczynowi siły jednostkowej i pożądanego przemieszczenia ya

a praca sił wewnętrznych w wartości bezwzględnej jest równa całce

(1)

Wzór (7.33) jest wzorem Mohra (całką Mohra), pozwalającym wyznaczyć przemieszczenie w dowolnym punkcie układu odkształcalnego liniowo.

We wzorze tym całka MiMk jest dodatnia, jeśli oba momenty zginające mają ten sam znak, i ujemna, jeśli Mi i Mk mają różne znaki.

Gdybyśmy mieli wyznaczyć przemieszczenie kątowe w punkcie A, to w stanie i musielibyśmy przyłożyć moment równy jedności (bez wymiaru) w punkcie A.

Oznaczając literą Δ dowolny ruch (liniowy lub kątowy), zapisujemy wzór Mohra (całkę) w postaci

(2)

W ogólnym przypadku wyrażenia analityczne Mi i Mk mogą być różne w różnych przekrojach belki lub ogólnie układu sprężystego. Dlatego zamiast wzoru (2) należy zastosować wzór bardziej ogólny

(3)

Jeżeli pręty układu nie pracują przy zginaniu, ale przy rozciąganiu (ściskaniu), jak np. w kratownicach, to wzór Mohra ma postać

(4)

W tym wzorze iloczyn NiNK jest dodatni, jeśli obie siły są rozciągające lub obie są ściskające. Jeżeli pręty pracują jednocześnie przy zginaniu i rozciąganiu (ściskaniu), to w zwykłych przypadkach, jak pokazują obliczenia porównawcze, przemieszczenia można określić uwzględniając jedynie momenty zginające, ponieważ wpływ sił wzdłużnych jest bardzo mały.

Z tych samych powodów, jak wspomniano wcześniej, w zwykłych przypadkach wpływ sił ścinających można pominąć.

Zamiast bezpośrednio obliczać całkę Mohra, można zastosować technikę grafoanalityczną „metodę mnożenia diagramów” lub regułę Vereshchagina.

Rozważmy dwa wykresy momentów zginających, z których jeden Mk ma dowolny zarys, a drugi Mi jest prostoliniowy (ryc. 7.14, aib).

(5)

Wartość MKdz jest obszarem elementarnym dωk diagramu Mk (zacienionym na rysunku). Zatem,

(6)

stąd,

(8)

Ale reprezentuje moment statyczny obszaru diagramu Mk względem pewnej osi y przechodzącej przez punkt O, równy ωkzc, gdzie ωk jest obszarem diagramu momentu; zc to odległość od osi Y do środka ciężkości diagramu Mk. Z rysunku wynika, że

gdzie Msi jest rzędną wykresu Mi, znajdującą się pod środkiem ciężkości wykresu Mk (pod punktem C). Stąd,

(10)

tj. wymagana całka jest równa iloczynowi pola powierzchni diagramu Mk (dowolny kształt) przez rzędną prostoliniowego diagramu Msi znajdującego się pod jego środkiem ciężkości. Wartość ωкМсi uważa się za dodatnią, jeśli oba wykresy znajdują się po tej samej stronie pręta, i ujemną, jeśli znajdują się po różnych stronach pręta. Dodatni wynik mnożenia wykresów oznacza, że ​​kierunek ruchu pokrywa się z kierunkiem jednostkowej siły (lub momentu).

Należy pamiętać, że rzędną Msi należy przyjmować na wykresie liniowym. W szczególnym przypadku, gdy oba diagramy są prostoliniowe, można pomnożyć pole dowolnego z nich przez odpowiednią rzędną drugiego.

W przypadku prętów o zmiennym przekroju zasada mnożenia diagramów Vereshchagina nie ma zastosowania, ponieważ w tym przypadku nie jest już możliwe usunięcie wartości EJ spod znaku całki. W tym przypadku należy wyrazić EJ jako funkcję odciętej przekroju i następnie obliczyć całkę Mohra (1).

Przy stopniowej zmianie sztywności pręta całkowanie (lub mnożenie wykresów) przeprowadza się dla każdego przekroju oddzielnie (z własną wartością EJ), a następnie wyniki sumuje się.

W tabeli 1 pokazuje pola niektórych prostych diagramów i współrzędne ich środka ciężkości.

Tabela 1

Rodzaj diagramu	Obszar diagramu	Odległość od środka ciężkości

Aby przyspieszyć obliczenia, możesz skorzystać z gotowych diagramów tabliczki mnożenia (tabela 2).

W tej tabeli, w komórkach na przecięciu odpowiednich diagramów elementarnych, podane są wyniki mnożenia tych diagramów.

Przy rozbiciu złożonego diagramu na elementarne, przedstawione w tabeli. 1 i 7.2 należy pamiętać, że wykresy paraboliczne uzyskano na podstawie działania tylko jednego obciążenia rozłożonego.

W przypadkach, gdy na złożonym schemacie przekroje zakrzywione uzyskuje się w wyniku jednoczesnego działania skupionych momentów, sił i równomiernie rozłożonego obciążenia, aby uniknąć błędów, złożony schemat należy najpierw „ułożyć warstwowo”, tj. podzielić na pewną liczbę niezależne wykresy: od działania skupionych momentów, sił i od działania równomiernie rozłożonego obciążenia.

Można także zastosować inną technikę, która nie wymaga stratyfikacji diagramów, a jedynie wymaga wybrania krzywoliniowej części diagramu wzdłuż cięciwy łączącej jego skrajne punkty.

Obie metody zademonstrujemy na konkretnym przykładzie.

Załóżmy, że chcesz określić przemieszczenie pionowe lewego końca belki (rys. 7.15).

Całkowity schemat obciążenia przedstawiono na rys. 7.15, o.

Tabela 7.2

Schemat działania siły jednostkowej w punkcie A pokazano na ryc. 7.15, miasto

Aby wyznaczyć przemieszczenie pionowe w punkcie A, należy pomnożyć wykres obciążenia przez wykres siły jednostkowej. Zauważamy jednak, że w przekroju BC schematu całkowitego wykres krzywoliniowy uzyskuje się nie tylko w wyniku działania równomiernie rozłożonego obciążenia, ale także w wyniku działania siły skupionej P. W rezultacie w przekroju BC jest nie będzie już elementarnym diagramem parabolicznym podanym w tabelach 7.1 i 7.2, ale według zasadniczo złożonego diagramu, dla którego dane w tych tablicach są nieaktualne.

Dlatego konieczne jest rozwarstwienie złożonego diagramu zgodnie z ryc. 7.15 oraz do schematów elementarnych przedstawionych na ryc. 7,15, b i 7,15, c.

Schemat wg rys. 7.15, b uzyskano wyłącznie z siły skupionej, wykres według ryc. 7.15, c - tylko od działania równomiernie rozłożonego obciążenia.

Teraz możesz pomnożyć diagramy za pomocą tabeli. 1 lub 2.

Aby to zrobić, należy pomnożyć diagram trójkątny zgodnie z ryc. 7.15, b do schematu trójkątnego zgodnie z ryc. 7.15, d i dodaj do tego wynik pomnożenia diagramu parabolicznego na ryc. 7.15, na schemacie trapezowym przekroju BC wg ryc. 7.15, d, ponieważ w przekroju AB rzędne diagramu zgodnie z ryc. 7,15, in są równe zeru.

Pokażemy teraz drugi sposób mnożenia diagramów. Spójrzmy jeszcze raz na diagram na ryc. 7.15, o. Weźmy początek odniesienia w części B. Pokazujemy, że w granicach krzywej LMN momenty zginające można otrzymać jako sumę algebraiczną momentów zginających odpowiadających prostej LN i momentów zginających wykresu parabolicznego LNML , takie same jak dla belki prostej o długości a obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem q:

Największa rzędna w środku będzie równa .

Aby to udowodnić, zapiszmy rzeczywiste wyrażenie na moment zginający w przekroju w odległości z od punktu B

(A)

Zapiszmy teraz w tym samym dziale wyrażenie na moment zginający, otrzymany jako suma algebraiczna rzędnych prostej LN i paraboli LNML.

Równanie prostej LN

gdzie k jest tangensem kąta nachylenia tej linii

W konsekwencji równanie momentów zginających otrzymane jako suma algebraiczna równania prostej LN i paraboli LNMN ma postać

co pokrywa się z wyrażeniem (A).

Mnożąc diagramy zgodnie z regułą Vereshchagina, należy pomnożyć trapez BLNC przez trapez ze diagramu jednostkowego w sekcji BC (patrz ryc. 7.15, d) i odjąć wynik mnożenia diagramu parabolicznego LNML (powierzchnia ) przez ten sam trapez ze schematu jednostkowego. Ten sposób układania diagramów warstw jest szczególnie korzystny, gdy zakrzywiona część diagramu znajduje się w jednym ze środkowych odcinków belki.

Przykład 7.7. Wyznaczyć przemieszczenia pionowe i kątowe belki wspornikowej w miejscu przyłożenia obciążenia (rys. 7.16).

Rozwiązanie. Konstruujemy wykres momentów zginających dla stanu obciążenia (ryc. 7.16, a).

Aby określić przemieszczenie pionowe, wybieramy stan pomocniczy belki z siłą jednostkową w miejscu przyłożenia obciążenia.

Z tej siły konstruujemy wykres momentów zginających (ryc. 7.16, b). Wyznaczanie przemieszczeń pionowych metodą Mohra

Wartość momentu zginającego pod wpływem obciążenia

Wartość momentu zginającego od siły jednostkowej

Zastępujemy te wartości МР i Mi pod znakiem całki i całkujemy

Ten sam wynik uzyskano wcześniej inną metodą.

Dodatnia wartość ugięcia wskazuje, że punkt przyłożenia obciążenia P przesuwa się w dół (w kierunku siły jednostkowej). Gdybyśmy skierowali siłę jednostkową od dołu do góry, mielibyśmy Mi = 1z i w wyniku całkowania otrzymalibyśmy ugięcie ze znakiem minus. Znak minus wskazywałby, że ruch nie jest w górę, ale w dół, jak ma to miejsce w rzeczywistości.

Obliczmy teraz całkę Mohra, mnożąc diagramy zgodnie z regułą Vereshchagina.

Ponieważ oba diagramy są prostoliniowe, nie ma znaczenia, z którego diagramu wziąć pole, a z którego rzędną.

Obszar diagramu obciążenia jest równy

Środek ciężkości na tym schemacie znajduje się w odległości 1/3l od osadzania. Wyznaczamy rzędną wykresu momentów z siły jednostkowej, znajdującej się pod

środek ciężkości wykresu obciążenia. Łatwo sprawdzić, że jest ona równa 1/3l.

Stąd.

Ten sam wynik uzyskuje się z tabeli całek. Wynik mnożenia diagramów jest dodatni, ponieważ oba diagramy znajdują się na dole pręta. W konsekwencji punkt przyłożenia obciążenia przesuwa się w dół, czyli wzdłuż przyjętego kierunku siły jednostkowej.

Aby wyznaczyć przemieszczenie kątowe (kąt obrotu), wybieramy stan pomocniczy belki, w którym na końcu belki działa moment skupiony równy jedności.

Dla tego przypadku konstruujemy wykres momentów zginających (ryc. 7.16, c). Przemieszczenie kątowe określamy mnożąc wykresy. Załaduj obszar diagramu

Współrzędne diagramu z jednego momentu są wszędzie równe jedności, dlatego pożądany kąt obrotu przekroju jest równy

Ponieważ oba wykresy znajdują się poniżej, wynik pomnożenia wykresów jest dodatni. W ten sposób końcowy odcinek belki obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara (w kierunku momentu jednostkowego).

Przykład: Metodą Mohra-Vereshchagina wyznacz ugięcie w punkcie D belki pokazanej na rys. 7.17..

Rozwiązanie. Budujemy warstwowy wykres momentów z obciążenia, czyli budujemy osobne wykresy z działania każdego obciążenia. W takim przypadku dla wygody mnożenia diagramów wskazane jest zbudowanie warstwowych (elementarnych) diagramów względem przekroju, którego ugięcie określa się w tym przypadku względem przekroju D.

Na ryc. 7.17 a przedstawia wykres momentów zginających od reakcji A (przekrój AD) i od obciążenia P = 4 T (przekrój DC). Schematy zbudowane są na sprasowanym włóknie.

Na ryc. 7.17, b pokazuje wykresy momentów z reakcji B (przekrój BD), z lewej strony równomiernie rozłożonego obciążenia (przekrój AD) i z równomiernie rozłożonego obciążenia działającego na przekrój BC. Schemat ten pokazano na ryc. 7.17, b w obszarze DC poniżej.

Następnie wybieramy stan pomocniczy belki, dla którego przykładamy siłę jednostkową w punkcie D, w którym określa się ugięcie (ryc. 7.17, c). Wykres momentów siły jednostkowej pokazano na ryc. 7.17, d. Pomnóżmy teraz diagramy od 1 do 7 przez diagramy 8 i 9, korzystając z tabliczki mnożenia diagramów, biorąc pod uwagę znaki.

W tym przypadku wykresy znajdujące się po jednej stronie belki mnoży się ze znakiem plus, a diagramy znajdujące się po przeciwnych stronach belki ze znakiem minus.

Mnożąc diagram 1 i diagram 8 otrzymujemy

Mnożąc wykres 5 przez wykres 8, otrzymujemy

Mnożenie diagramów 2 i 9 daje

Pomnóż diagramy 4 i 9

Pomnóż wykresy 6 i 9

Podsumowując wyniki mnożenia diagramów, otrzymujemy

Znak minus wskazuje, że punkt D nie przemieszcza się w dół, gdyż siła jednostkowa jest skierowana, ale w górę.

Ten sam wynik uzyskano wcześniej stosując równanie uniwersalne.

Oczywiście w tym przykładzie możliwe było stratyfikację diagramu tylko w przekroju AD, ponieważ w przekroju DB całkowity diagram jest prostoliniowy i nie ma potrzeby jego stratyfikacji. W sekcji BC rozwarstwienie nie jest wymagane, ponieważ z siły jednostkowej w tej sekcji wykres jest równy zeru. Aby wyznaczyć ugięcie w punkcie C, konieczne jest rozwarstwienie wykresu na przekroju BC.

Przykład. Wyznaczyć przemieszczenia pionowe, poziome i kątowe przekroju A złamanego pręta pokazanego na rys. 7.18, o. Sztywność przekroju poprzecznego przekroju pionowego pręta wynosi EJ1, sztywność przekroju poprzecznego przekroju poziomego wynosi EJ2.

Rozwiązanie. Konstruujemy wykres momentów zginających od obciążenia. Pokazano to na ryc. 7.18, b (patrz przykład 6.9). Aby określić przemieszczenie pionowe przekroju A, wybieramy stan pomocniczy układu pokazany na rys. 7.18, ok. W punkcie A przykładana jest jednostkowa siła pionowa skierowana w dół.

Wykres momentów zginających dla tego stanu pokazano na rys. 7.18, ok.

Przemieszczenia pionowe wyznaczamy metodą Mohra, stosując metodę mnożenia wykresów. Ponieważ na pręcie pionowym w stanie pomocniczym nie ma wykresu M1, mnożymy tylko wykresy odnoszące się do pręta poziomego. Pole diagramu bierzemy ze stanu obciążenia, a rzędną ze stanu pomocniczego. Przemieszczenie pionowe jest

Ponieważ oba diagramy znajdują się poniżej, wynik mnożenia przyjmujemy ze znakiem plus. W konsekwencji punkt A przesuwa się w dół, czyli w kierunku jednostkowej siły pionowej.

Aby określić poziomy ruch punktu A, wybieramy stan pomocniczy z poziomą siłą jednostkową skierowaną w lewo (ryc. 7.18, d). Zaprezentowano tam wykres momentów dla tego przypadku.

Mnożymy diagramy MP i M2 i otrzymujemy

Wynik mnożenia diagramów jest dodatni, ponieważ pomnożone diagramy znajdują się po tej samej stronie prętów.

Aby wyznaczyć przemieszczenie kątowe, wybieramy stan pomocniczy układu zgodnie z rys. 7.18.5 i skonstruuj wykres momentów zginających dla tego stanu (na tym samym rysunku). Mnożymy diagramy MP i M3:

Wynik mnożenia jest dodatni, ponieważ pomnożone diagramy znajdują się po jednej stronie.

W rezultacie sekcja A obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara

Te same wyniki można uzyskać stosując tabele
mnożenie diagramów.

Widok zdeformowanego pręta pokazano na ryc. 7.18, e, podczas gdy przemieszczenia są znacznie zwiększone.

LITERATURA

Feodosiew V.I. Wytrzymałość materiałów. 1986

Belyaev N.M. Wytrzymałość materiałów. 1976

Kraskovsky E.Ya., Druzhinin Yu.A., Filatova E.M. Obliczanie i projektowanie mechanizmów przyrządów i systemów komputerowych. 1991

Rabotnov Yu.N. Mechanika ciał odkształcalnych. 1988

Stepin PA Wytrzymałość materiałów. 1990

Wykład 13 (ciąg dalszy). Przykłady rozwiązań obliczania przemieszczeń metodą Mohra-Vereshchagina i problemy do samodzielnego rozwiązania

Definiowanie przemieszczeń w belkach

Przykład 1.

Wyznaczanie ruchu punktu DO belki (patrz rysunek) przy użyciu całki Mohra.

Rozwiązanie.

1) Tworzymy równanie na moment zginający z siły zewnętrznej M F .

2) Zastosuj w punkcie DO siła jednostkowa F = 1.

3) Zapisujemy równanie momentu zginającego z siły jednostkowej.

4) Określ ruchy

Przykład 2.

Wyznaczanie ruchu punktu DO belki według metody Vereshchagina.

Rozwiązanie.

1) Budujemy diagram ładunku.

2) Przykładamy siłę jednostkową w punkcie K.

3) Budujemy pojedynczy diagram.

4) Określ ugięcie

Przykład 3.

Wyznacz kąty obrotu na podporach A I W

Rozwiązanie.

Wykresy budujemy z zadanego obciążenia oraz z poszczególnych momentów zastosowanych w przekrojach A I W(widzieć zdjęcie). Wymagane przemieszczenia wyznaczamy za pomocą całek Mohra

,

, które obliczamy korzystając z reguły Vereshchagina.

Znalezienie parametrów działki

C 1 = 2/3, C 2 = 1/3,

a następnie kąty obrotu na podporach A I W

Przykład 4.

Określ kąt obrotu przekroju Z dla danej belki (patrz rysunek).

Rozwiązanie.

Wyznaczanie reakcji podporowych R A =R B ,

, , R A = R B = tak.

Konstruujemy wykresy momentu zginającego od zadanego obciążenia i od pojedynczego momentu zastosowanego w przekroju Z, gdzie szukany jest kąt obrotu. Całkę Mohra obliczamy korzystając z reguły Vereshchagina. Znalezienie parametrów działki

C 2 = -C 1 = -1/4,

a wzdłuż nich pożądany ruch

Przykład 5.

Określ ugięcie w przekroju Z dla danej belki (patrz rysunek).

Rozwiązanie.

Diagram M F(ryc. b)

Reakcje pomocnicze:

BYĆ: , ,

, R B + R mi = F, R mi = 0;

AB: , R A = R W = F; , .

obliczamy momenty w punktach charakterystycznych, M B = 0, M C = Fa i zbudować wykres momentu zginającego od danego obciążenia.

Diagram(ryc. c).

W przekroju Z, gdzie szukamy ugięcia, przykładamy siłę jednostkową i konstruujemy z niej wykres momentu zginającego, obliczając najpierw reakcje podporowe BYĆ - , , = 2/3; , , = 1/3, a następnie momenty w punktach charakterystycznych , , .

2. Wyznaczanie pożądanego ugięcia. Skorzystajmy z reguły Vereshchagina i obliczmy najpierw parametry diagramów oraz:

,

Ugięcie przekroju Z

Przykład 6.

Określ ugięcie w przekroju Z dla danej belki (patrz rysunek).

Rozwiązanie.

Z. Korzystając z reguły Vereshchagina, obliczamy parametry diagramów ,

i znajdź żądane ugięcie

Przykład 7.

Określ ugięcie w przekroju Z dla danej belki (patrz rysunek).

Rozwiązanie.

1. Konstruowanie wykresów momentów zginających.

Reakcje pomocnicze:

, , R A = 2tak,

, R A + R D = 3tak, R D = tak.

Konstruujemy wykresy momentów zginających z zadanego obciążenia i jednostkowej siły przyłożonej w punkcie Z.

2. Wyznaczanie ruchów. Do obliczenia całki Mohra korzystamy ze wzoru Simpsona, stosując go sekwencyjnie do każdego z trzech odcinków, na które podzielona jest belka.

DziałkaAB :

DziałkaSłońce :

DziałkaZ D :

Wymagany ruch

Przykład 8.

Określ ugięcie przekroju A i kąt obrotu sekcji mi dla danej belki (rys. A).

Rozwiązanie.

1. Konstruowanie wykresów momentów zginających.

Diagram M F(Ryż. V). Po określeniu reakcji podporowych

, , R B = 19tak/8,

, R D = 13tak/8 budujemy wykresy siły poprzecznej Q i moment zginający M F od danego obciążenia.

Diagram(ryc. d). W przekroju A, gdzie szukamy ugięcia, przykładamy siłę jednostkową i konstruujemy z niej wykres momentu zginającego.

Diagram(ryc. e). Ten diagram jest zbudowany z pojedynczego momentu zastosowanego w przekroju mi, gdzie szukany jest kąt obrotu.

2. Wyznaczanie ruchów. Ugięcie przekroju A znajdujemy, korzystając z reguły Vereshchagina. czysty M F na stronach Słońce I płyta CD Dzielimy go na proste części (ryc. d). Niezbędne obliczenia przedstawiamy w formie tabeli.

	-tak 3 /6	2tak 3 /3	-tak 3 /2				-tak 3 /2
C I
		-tak 4 /2	5tak 4 /12	-tak 4 /6	-tak 4 /12			-tak 4 /24

Dostajemy.

Znak minus w wyniku oznacza, że ​​punkt A nie porusza się w dół, jak skierowano siłę jednostki, ale w górę.

Kąt obrotu sekcji mi znajdujemy na dwa sposoby: według reguły Wierieszczagina i według wzoru Simpsona.

Zgodnie z zasadą Vereshchagina mnożenie diagramów M F i analogicznie do poprzedniego otrzymujemy

,

Aby znaleźć kąt obrotu za pomocą wzoru Simpsona, obliczamy wstępne momenty zginające w środku kształtowników:

Wymagane przemieszczenie powiększone o EI X raz,

Przykład 9.

Określ, przy jakiej wartości współczynnika k ugięcie sekcji Z będzie równa zeru. Kiedy wartość zostanie znaleziona k sporządzić wykres momentu zginającego i przedstawić przybliżony widok linii sprężystej belki (patrz rysunek).

Rozwiązanie.

Konstruujemy wykresy momentów zginających od zadanego obciążenia i od siły jednostkowej przyłożonej w przekroju Z, gdzie szukane jest ugięcie.

Zgodnie z warunkami problemu V C= 0. Z drugiej strony . Integralny z działką AB obliczamy za pomocą wzoru Simpsona i w przekroju Słońce– zgodnie z regułą Wierieszczagina.

Znajdujemy z wyprzedzeniem

Przenoszenie sekcji Z ,

Stąd , .

Kiedy wartość zostanie znaleziona k określić wartość reakcji podporowej w tym punkcie A: , , , z którego wyznaczamy położenie ekstremum na wykresie M zgodnie z warunkiem .

Na podstawie wartości momentów w charakterystycznych punktach

Budujemy wykres momentu zginającego (ryc. d).

Przykład 10.

W belka wspornikowa pokazana na rysunku.

Rozwiązanie.

M w wyniku działania zewnętrznej siły skupionej F: M W = 0, M A = –F 2l(wykres liniowy).

Zgodnie z warunkami problemu konieczne jest określenie przemieszczenia pionowego Na W zwrotnica W belkę wspornikową, dlatego budujemy diagram jednostkowy działania pionowej siły jednostkowej F I = 1 zastosowany w punkcie W.

Biorąc pod uwagę, że belka wspornikowa składa się z dwóch sekcji o różnych sztywnościach zginania, schematach i M Mnożymy osobno według reguły Vereshchagina przez sekcje. Schematy M i pomnóż pierwszą sekcję, korzystając ze wzoru , a diagramy drugiej sekcji - jako obszar diagramu M druga sekcja Fl 2 / 2 do współrzędnej 2 l/3 diagramy drugiej sekcji pod środkiem ciężkości diagramu trójkątnego M ten sam obszar.

W tym przypadku formuła daje:

Przykład 11.

Wyznaczanie ruchu pionowego punktu W belka jednoprzęsłowa pokazana na rysunku. Belka ma stałą sztywność zginania na całej swojej długości. EI.

Rozwiązanie.

Budujemy wykres momentów zginających M od działania zewnętrznego obciążenia rozproszonego: M A = 0; M D = 0;

Zastosuj w punkcie W jednostkowa siła pionowa F I = 1 i zbuduj diagram (patrz rysunek):

Gdzie R A = 2/3;

Gdzie R D = 1/3, więc M A = 0; M D = 0; .

Podzielmy omawianą belkę na 3 sekcje. Mnożenie diagramów pierwszej i trzeciej części nie sprawia trudności, ponieważ mnożymy diagramy trójkątne. Aby zastosować regułę Vereshchagina do drugiej części, podzielmy diagram M 2. przekrój na dwie części diagramu: prostokątny i paraboliczny o polu (patrz tabela).

Środek ciężkości parabolicznej części diagramu M leży w środku drugiej części.

Zatem formuła użycie reguły Vereshchagina daje:

Przykład 12.

Wyznaczyć maksymalne ugięcie belki dwupodporowej obciążonej obciążeniem równomiernie rozłożonym Q(widzieć zdjęcie).

Rozwiązanie.

Znajdowanie momentów zginających:

Z danego obciążenia

Z siły jednostkowej przyłożonej w punkcie Z gdzie szukane jest ugięcie.

Obliczamy wymagane maksymalne ugięcie występujące w środkowej części belki

Przykład 13.

Określ ugięcie w punkcie W belka pokazana na rysunku.

Rozwiązanie.

Konstruujemy wykresy momentów zginających z zadanego obciążenia i jednostkowej siły przyłożonej w punkcie W. Aby pomnożyć te diagramy, belkę należy podzielić na trzy sekcje, ponieważ pojedynczy diagram ogranicza się do trzech różnych linii prostych.

Operacja mnożenia diagramów w drugiej i trzeciej części jest przeprowadzana w prosty sposób. Trudności pojawiają się przy obliczaniu pola i współrzędnych środka ciężkości diagramu głównego w pierwszej części. W takich przypadkach konstruowanie diagramów warstwowych znacznie upraszcza rozwiązanie problemu. W takim przypadku wygodnie jest przyjąć jedną z sekcji warunkowo jako stacjonarną i skonstruować diagramy dla każdego z obciążeń, podchodząc do tej sekcji od prawej i lewej strony. Wskazane jest przyjęcie przekroju w miejscu złamania jako stacjonarnego na wykresie obciążeń jednostkowych.

Schemat warstwowy, w którym przekrój jest traktowany jako stacjonarny W, pokazano na rysunku. Po obliczeniu pól części składowych diagramu warstwowego i odpowiednich rzędnych diagramu jednostkowego otrzymujemy

Przykład 14.

Wyznacz przemieszczenia w punktach 1 i 2 belki (rys. a).

Rozwiązanie.

Oto diagramy M I Q dla belek przy A=2 m; Q=10 kN/m; Z=1,5A; M=0,5tak 2 ; R=0,8tak; M 0 =M; =200 MPa (ryc. B I V).

Wyznaczmy przemieszczenie pionowe środka przekroju, w którym przyłożony jest moment skupiony. W tym celu należy rozważyć belkę w stanie pod wpływem jedynie siły skupionej przyłożonej w punkcie 1 prostopadłym do osi belki (w kierunku pożądanego przemieszczenia) (rys. d).

Obliczmy reakcje podporowe, tworząc trzy równania równowagi

Badanie

Reakcje zostały znalezione prawidłowo.

Aby skonstruować diagram, rozważ trzy sekcje (ryc. d).

1 działka

2. sekcja

Sekcja 3

Korzystając z tych danych, konstruujemy diagram (ryc. e) od strony rozciągniętych włókien.

Ustalmy za pomocą wzoru Mohra, korzystając z reguły Vereshchagina. W tym przypadku zakrzywiony diagram w obszarze pomiędzy podporami można przedstawić jako dodanie trzech diagramów. Strzałka

Znak minus oznacza, że ​​punkt 1 przesuwa się w górę (w przeciwnym kierunku).

Wyznaczmy przemieszczenie pionowe punktu 2, w którym przyłożona jest siła skupiona. W tym celu należy rozważyć belkę w stanie pod wpływem jedynie siły skupionej przyłożonej w punkcie 2 prostopadłym do osi belki (w kierunku pożądanego przemieszczenia) (rys. e).

Schemat jest skonstruowany podobnie jak poprzedni.

Punkt 2 przesuwa się w górę.

Wyznaczmy kąt obrotu przekroju, w którym przyłożony jest moment skupiony.

Oprócz omówionej powyżej metody analitycznej służącej do wyznaczania przemieszczenia belki, istnieją inne metody analityczne i graficzno-analityczne mające zastosowanie w przypadku bardziej złożonych układów, na przykład konstrukcji o złamanej osi i układów statycznie niewyznaczalnych.

Jedna z takich metod opiera się na Całka Mohra I Reguła Wierieszczagina. Istota metody polega na przyłożeniu obciążenia jednostkowego (siły lub momentu obrotowego) w interesującym nas kierunku ruchu i obliczeniu całki Mohra. Wyrażenie na całkę Mohra wyprowadzono na podstawie twierdzenia Castigliano, które podano tutaj bez dowodu.

Twierdzenie Castigliano. Pochodna potencjalnej energii odkształcenia względem uogólnionej siły i uogólnionego przemieszczenia.

Potencjalną energię odkształcenia zakrzywionej belki wyraża wzór

Na podstawie twierdzenia Castigliano uogólnione (liniowe lub kątowe) przemieszczenie D definiuje się jako

Jeśli uogólniona siła Q 06 równe jedności, wówczas pochodna cząstkowa będzie liczbowo równa momentowi M° obciążenie jednostkowe

w przekroju r belki (pochodne cząstkowe momentów pozostałych sił są równe zero, gdyż momenty te nie zależą od obciążenia jednostkowego). Wynikiem jest wzór zwany całką Mohra.

Dla osobnej części konstrukcji całka Mohra jest zapisana w formie

gdzie D jest ruchem uogólnionym (liniowym lub kątowym); / - długość odcinka; M - równanie momentów sił zewnętrznych; M° - równanie momentów obciążenia jednostkowego; ?7 to sztywność przekroju konstrukcji.

Aby określić przemieszczenie liniowe, do przekroju przykładana jest jednostkowa siła bezwymiarowa, a do określenia przemieszczenia kątowego przykładany jest jednostkowy bezwymiarowy moment. Dla konstrukcji o stałej sztywności można to wówczas wyjąć ze znaku całki

Dla przykładu obliczmy całkę Mohra dla belki pokazanej na ryc. 6.27

Ryż. 6.27

Ponieważ funkcje momentów zginających są wyrażone graficznie za pomocą wykresów momentów, wydaje się możliwe wyrażenie całki Mohra za pomocą pól i rzędnych wykresów wzdłuż Reguła Wierieszczagina , inaczej tzw poprzez mnożenie diagramów. Zasada ta jest sformułowana w następujący sposób: wymagana całka jest równa iloczynowi powierzchni wykresu obciążenia M i rzędnej schematu jednostkowego znajdującej się pod jego środkiem ciężkości.Ładunek nazwano wykres momentów zginających sił zewnętrznych.

Pola i współrzędne wykresów przyjmuje się ze znakami plus lub minus, a wynik dodatni oznacza, że ​​kierunek żądanego przemieszczenia pokrywa się z kierunkiem obciążenia jednostkowego. Jeżeli rozważana konstrukcja ma kilka sekcji, obliczenia przeprowadza się dla każdej sekcji osobno, a wynik sumuje się.

Dla przykładu wyznaczmy, korzystając z reguły Wierieszczagina, przemieszczenie liniowe i kąt obrotu końcowego odcinka belki pokazanego na ryc. 6.24.

Aby wyznaczyć przemieszczenie liniowe wolnego końca belki, przykładamy do jej końca pionową siłę jednostkową i uwzględniamy wykres obciążeń oraz wykres momentów siły jednostkowej. Następnie

co pokrywa się z wyrażeniem dla y V, otrzymane w przykładzie 6.8.

Aby określić kąt obrotu końcowego odcinka belki, przykładamy do jego końca moment jednostkowy i konstruujemy wykres. Następnie

Odpowiedzi pozytywne oznaczają, że kierunki obciążeń jednostkowych i przemieszczeń są zbieżne. Ten sam wynik otrzymamy, jeśli pomnożymy powierzchnię diagramu jednostkowego przez rzędną diagramu obciążenia znajdującą się nad środkiem ciężkości obszaru diagramu jednostkowego.

Aby ukazać statyczną nieokreśloność układu, należy odrzucić jedną z podpór, zastąpić ją reakcjami, przyłożyć obciążenie jednostkowe, a następnie skonstruować obciążenie i wykresy jednostkowe. Mnożąc wykresy zgodnie z regułą Wierieszczagina i przyrównując powstałe przemieszczenie do zera, otrzymujemy dodatkowe równanie niezbędne do ujawnienia statycznej niewyznaczalności układu.

Przykład 6.11

Rozwiń niewyznaczenie statyczne dwupodporowej ramy kwadratowej o boku / pokazanym na ryc. 6,28, A.

Rozwiązanie. Porzućmy podpory i zastąpmy je reakcjami Хь Y u Х 2, Y 2. Po ułożeniu równań momentów względem podpór i rozwiązaniu ich otrzymujemy Y2-P , Y x = -P . Równanie rzutu na oś poziomą P-X x + X 2 = 0 ma dwie niewiadome. Przyłóżmy siłę jednostkową do prawego końca ramy, jak pokazano na ryc. 6,28, D i skonstruuj diagram poszczególnych momentów. Na ryc. 6,28, wig Skonstruowano wykresy obciążeń momentów zginających. Mnożenie zgodnie z regułą

Ryż. 6.28

Vereshchagin obciążenia i diagramy jednostkowe, otrzymujemy dodatkowe równanie niezbędne do ujawnienia statycznej niewyznaczalności ramy.

Znak minus w trzecim członie wynika z wykresów siły czynnej R i siła jednostkowa znajdują się po przeciwnych stronach osi pręta.

Po przeprowadzeniu obliczeń otrzymujemy , Gdzie. Minus w odpowiedzi oznacza reakcję X2 skierowane w przeciwnym kierunku. Dalej znajdujemy

W ogólnym przypadku (pręt o zmiennym przekroju, złożony układ obciążeń) całkę Mohra wyznacza się całkowaniem numerycznym. W wielu praktycznych przypadkach, gdy sztywność przekroju jest stała na długości pręta, całkę Mohra można obliczyć, korzystając z reguły Vereshchagina. Rozważmy definicję całki Mohra w przekroju od a do 6 (ryc. 9.18).

Ryż. 9.18. Reguła Wierieszczagina do obliczania całki Mohra

Wykresy momentu z pojedynczego współczynnika siły składają się z odcinków prostych. Bez utraty ogólności zakładamy, że w obrębie obszaru

gdzie A i B to parametry linii:

Całka Mohra na rozpatrywanym przekroju stałym ma postać

gdzie F jest obszarem pod krzywą (obszar wykresu momentów zginających od sił zewnętrznych w przekroju z).

gdzie jest odcięta środka ciężkości obszaru.

Równość (109) obowiązuje, gdy znak nie zmienia się w obrębie obszaru i można go uznać za element obszaru diagramu. Teraz z relacji (107) -(109) otrzymujemy

Moment od obciążenia jednostkowego w przekroju

Tabela pomocnicza dotycząca stosowania reguły Vereshchagina znajduje się na ryc. 9.19.

Notatki. 1. Jeśli diagram działania sił zewnętrznych na odcinek jest liniowy (na przykład pod działaniem sił i momentów skupionych), wówczas regułę można zastosować w odwrotnej formie: pomnóż obszar diagramu przez pojedynczy współczynnik siły według rzędnej wykresu odpowiadającej środkowi ciężkości obszaru. Wynika to z powyższego dowodu.

2. Regułę Wierieszczagina można rozszerzyć na całkę Mohra w postaci ogólnej (równanie (103)).

Ryż. 9.19. Pola i położenie środków ciężkości na wykresach momentów

Ryż. 9.20. Przykłady wyznaczania kątów odchylenia i obrotu z wykorzystaniem reguły Wierieszczagina

Główny wymóg jest następujący: w przekroju współczynniki siły wewnętrznej obciążenia jednostkowego muszą być funkcjami liniowymi wzdłuż osi pręta (wykresy liniowe!).

Przykłady. 1. Określ ugięcie w punkcie A pręta wspornikowego pod działaniem skupionego momentu M (ryc. 9.20, a).

Ugięcie w punkcie A określa się ze wzoru (dla uproszczenia indeks pominięto)

Znak minus wynika z faktu, że mają różne znaki.

2. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A pręta wspornika pod działaniem rozłożonego obciążenia.

Ugięcie określa się ze wzoru

Wykresy momentu zginającego M i siły ścinającej Q od obciążenia zewnętrznego pokazano na rys. 9.20, b, poniżej na tym rysunku znajdują się diagramy pod działaniem siły jednostkowej. Dalej znajdujemy

3. Wyznaczyć ugięcie w punkcie A i kąt obrotu w punkcie B dla belki dwupodporowej obciążonej momentem skupionym (rys. 9.20.).

Ugięcie określa się ze wzoru (zaniedbujemy odkształcenie przy ścinaniu)

Ponieważ wykres momentu z siły jednostkowej nie jest przedstawiony jedną linią; następnie dzielimy całkę na dwie części:

Kąt obrotu w punkcie B jest równy

Komentarz. Z powyższych przykładów jasno wynika, że ​​metoda Vereshchagina w prostych przypadkach pozwala szybko określić ugięcia i kąty obrotu. Ważne jest jedynie zastosowanie jednej zasady znaków. Jeśli przy zginaniu pręta zgodzimy się na skonstruowanie wykresów momentów zginających na „rozciągniętym włóknie” (patrz rys. 9.20), to od razu łatwo dostrzec dodatnie i ujemne wartości momentów.

Szczególną zaletą reguły Vereshchagina jest to, że można ją stosować nie tylko do wędek, ale także do ram (rozdział 17).

Ograniczenia w stosowaniu reguły Wierieszczagina.

Ograniczenia te wynikają z wyprowadzenia wzoru (110), ale zwróćmy na nie uwagę jeszcze raz.

1. Wykres momentu zginającego od obciążenia jednostkowego powinien mieć postać jednej linii prostej. Na ryc. 9.21 i pokazuje przypadek, gdy warunek ten nie jest spełniony. Całkę Mohra należy obliczyć oddzielnie dla odcinków I i II.

2. Moment zginający od obciążenia zewnętrznego w przekroju musi mieć ten sam znak. Na ryc. Rysunek 9.21, b pokazuje przypadek, w którym regułę Vereshchagina należy zastosować dla każdego odcinka osobno. To ograniczenie nie dotyczy momentu od pojedynczego obciążenia.

Ryż. 9.21. Ograniczenia w stosowaniu reguły Vereshchagina: a - diagram ma przerwę; b - schemat ma różne znaki; c - pręt ma różne przekroje

3. Sztywność pręta w obrębie przekroju musi być stała, w przeciwnym razie integrację należy rozszerzyć oddzielnie na odcinki o stałej sztywności. Ograniczeń stałej sztywności można uniknąć, sporządzając wykresy.