Do tej pory skupialiśmy się na najprostszym z wielokątów – trójkącie. W tym rozdziale zajmiemy się bardziej złożonymi wielokątami, głównie różnymi typami czworokątów: równoległobokiem, prostokątem, rombem, kwadratem. Dodatkowo w tym rozdziale omówiona zostanie symetria kształtów geometrycznych, z uwzględnieniem wskazanych czworoboków. Symetria odgrywa ważną rolę nie tylko w geometrii, ale także w sztuce, architekturze i technologii. W otoczeniu widzimy wiele symetrycznych obiektów – fasady budynków, wzory na dywanach i tkaninach, liście drzew.

Rozważmy figurę złożoną z odcinków AB, BC, CD, ..., EF, FG, tak że sąsiednie segmenty(tj. odcinki AB i BC, BC i CD, ..., EF i FG) nie leżą na tej samej linii prostej. Ta liczba nazywa się linia przerywana ABCD...FG (ryc. 150, a). Segmenty tworzące linię przerywaną nazywane są jej spinki do mankietów, a końce tych odcinków są wierzchołki linii łamanej. Nazywa się sumą długości wszystkich ogniw długość linii przerywanej. Końce linii łamanej ABCD… FG, tj. punkty A i G mogą być różne lub pokrywać się (ryc. 150, b). W tym drugim przypadku nazywana jest linia przerywana Zamknięte, a jego połączenia FG i AB są również uważane za sąsiadujące. Jeśli niesąsiadujące ze sobą ogniwa zamkniętej linii łamanej nie mają punktów wspólnych, wówczas nazywa się tę linię łamaną wielokąt, jego połączenia nazywane są bokami wielokąta, a długość linii łamanej nazywa się obwód wielokąta.

Ryż. 150

Wielokąt mający n wierzchołków nazywany jest n-gonem; ma n boków. Przykładem wielokąta jest trójkąt. Rysunek 151 przedstawia czworokąt ABCD i sześciokąt A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6.


Ryż. 151

Figura pokazana na rysunku 152 nie jest wielokątem, ponieważ niesąsiadujące ze sobą odcinki C 1 C 5 i C 2 C 3 (a także C 3 C 4 i C 1 C 5) mają wspólny punkt.


Ryż. 152

Nazywa się dwa wierzchołki wielokąta należące do tego samego boku sąsiedni. Nazywa się odcinek łączący dowolne dwa niesąsiadujące ze sobą wierzchołki przekątna wielokąta.

Dowolny wielokąt dzieli płaszczyznę na dwie części, z których jedna nazywa się wewnętrzny, a drugi - zewnętrzny obszar wielokąta.

Na rysunku 153 wewnętrzne obszary wielokątów są zacienione. Figura składająca się z boków wielokąta i jego obszaru wewnętrznego nazywana jest również wielokątem.


Ryż. 153

Wielokąt wypukły

Wielokąt nazywa się wypukłym, jeśli leży po jednej stronie każdej linii przechodzącej przez dwa sąsiednie wierzchołki.

Na rysunku 154 wielokąt F 1 jest wypukły, a wielokąt F 2 nie jest wypukły.


Ryż. 154

Rozważmy wypukły n-gon pokazany na rysunku 155a. Kąty A n A 1 A 2, A 1 A 2 A 3, ..., A n-1 A n A 1 nazywane są rogi ten wielokąt. Znajdźmy ich sumę.


Ryż. 155

Aby to zrobić, połącz wierzchołek A 1 przekątnymi z innymi wierzchołkami. W rezultacie otrzymujemy n - 2 trójkąty (ryc. 155, b), których suma kątów jest równa sumie kątów n-gonu. Suma kątów każdego trójkąta wynosi 180°, więc suma kątów wielokąta AxAg... An wynosi (n - 2) 180°.

Więc, suma kątów wielokąta wypukłego wynosi (n - 2) 180°.

Narożnik zewnętrzny wielokąta wypukłego Nazywa się kąt sąsiadujący z kątem wielokąta. Jeśli na każdym wierzchołku wielokąta wypukłego A 1 A 2 ... A n weźmiemy jeden kąt zewnętrzny, wówczas suma tych kątów zewnętrznych będzie równa

    180° - A 1 + 180° - A 2 + ... + 180° - A n =
    = n 180° - (A 1 + ZA 2 +... + ZA n) =
    = n 180° - (n - 2) 180° = 360°.

Zatem, suma kątów zewnętrznych wielokąta wypukłego wynosi 360°.

Czworobok

Każdy czworokąt ma cztery wierzchołki, cztery boki i dwie przekątne (ryc. 156). Nazywa się dwa niesąsiadujące ze sobą boki czworoboku naprzeciwko. Nazywa się również dwa wierzchołki, które nie sąsiadują ze sobą naprzeciwko.


Ryż. 156

Czworokąty mogą być wypukłe lub niewypukłe. Rysunek 156, o pokazuje czworokąt wypukły, a rysunek 156, b - niewypukły.

Każda przekątna czworokąta wypukłego dzieli go na dwa trójkąty. Jedna z przekątnych niewypukłego czworoboku dzieli go również na dwa trójkąty (patrz ryc. 156, b).

Ponieważ suma kątów wypukłego n-kąta wynosi (n - 2) 180°, to suma kątów czworokąta wypukłego wynosi 360°.

Zadania

363. Narysuj pięciokąt wypukły i sześciokąt. W każdym wielokącie narysuj wszystkie przekątne z jakiegoś wierzchołka. Na ile trójkątów narysowane przekątne dzielą każdy wielokąt?

364. Znajdź sumę kątów wypukłych:

    a) pięciokąt;
    b) sześciokąt;
    c) dziesięciokąt.

365. Ile boków ma wielokąt wypukły, którego każdy kąt jest równy:

    a) 90°;
    b) 60°;
    c) 120°;
    d) 108°?

366. Znajdź boki czworokąta, jeśli jego obwód wynosi 8 cm, a jeden bok jest większy od pozostałych boków odpowiednio o 3 mm, 4 mm i 5 mm.

367. Znajdź boki czworokąta, jeśli jego obwód wynosi 66 cm, pierwszy bok jest o 8 cm większy od drugiego i tyle samo mniejszy od trzeciego boku, a czwarty jest trzy razy większy od drugiego.

368. Znajdź kąty czworokąta wypukłego, jeśli są sobie równe.

369. Znajdź kąty A, B i C wypukłego czworoboku ABCD, jeśli ∠A = ∠B = ∠C i AD = 135°.

370. Znajdź kąty czworokąta wypukłego, jeśli są proporcjonalne do liczb 1, 2, 4, 5.

Odpowiedzi na problemy

    364. a) 540°; b) 720°; c) 1440°.

    365. a) Cztery; b) trzy; c) sześć; d) pięć.

    366. 23 mm, 20 mm, 19 mm, 18 mm.

    367. 15 cm, 7 cm, 23 cm, 21 cm.

    368. 90°. 369,75°. 370. 30°, 60°, 120°, 150°.

Cele:

  • nauczyć rysować, wyznaczać i nazywać kąty, zapisywać nazwy kątów ze znakiem „? ” i litery;
  • rozwijać mowę matematyczną uczniów i umiejętność ustalania wzorców;
  • doskonalenie umiejętności posługiwania się narzędziem rysunkowym – linijką, umiejętnością odmierzania i rysowania odcinka o zadanej długości;
  • rozwijać zainteresowanie nauką matematyki.

Sprzęt: zastosowania kształtów geometrycznych, tabele.

Postęp lekcji

1. Aktualizowanie wiedzy. - Obejrzyj aplikacje i powiedz mi, z jakich geometrycznych kształtów zbudowani są mali ludzie? (Koło, owal, kwadrat, prostokąt, trójkąt, czworokąt.)

Na jakie grupy można podzielić te liczby? (Kształty z narożnikami i kształty bez narożników.)

Kształty geometryczne nazywaj „bez narożników”, tj. figury ograniczone zakrzywionymi, zamkniętymi liniami. (Owal i okrąg.)

Nazwij figury z grupy „z narożnikami”. (Kwadrat, prostokąt, trójkąt, sześciokąt.)

Jak inaczej nazywa się kwadrat i prostokąt? (Czworokąty.)

Jak jednym słowem nazwać kształty geometryczne „z narożnikami”? (Wielokąty.)

Nazwij rodzaje wielokątów. (Czworokąt, trójkąt, pięciokąt, sześciokąt.)

Od czego zależy nazwa wielokąta? (W zależności od liczby kątów.)

Zatem kąt jest elementem wielokąta, ale nadal musisz wyjaśnić, która figura nazywa się wielokątem. Czy kształty przedstawiające ludzkie kapelusze są wielokątami?

2. Poziomowanie wiedzy.

Nie wiem przygotował zadanie, jakie linie narysował. Nazwij je po imieniu. (Prosta a, odcinek AB, półprosty OM.)

Jaką linię nazywamy linią prostą, odcinkiem, półprostą? (Linia prosta to linia, która nie ma początku ani końca, którą należy narysować za pomocą linijki. Odcinek to część linii, która ma początek i koniec. Półprosta to część linii, która ma początek .)

Co mają ze sobą wspólnego prosta, półprosta, odcinek? (Promień i odcinek są częścią linii.)

Czym się różnią? (Można zmierzyć odcinek, ale nie można zmierzyć linii prostej i promienia, są one nieskończone.)

Jaka jest różnica między linią prostą a belką? (Prostą można przedłużyć w dwóch kierunkach, ale półprostą można przedłużyć tylko w jednym kierunku. Przecież z drugiej strony jest ona ograniczona punktem. To jest początek półprostej.)

3. Budowa kątów.

Jakie kształty: prosta, półprosta czy odcinek – wybrać konstrukcję kąta? (Musisz wybrać dwie belki.)

Dunno wybrał dwie belki.

Czy on zbudował narożnik? (NIE.)

Dlaczego? (Nie wiem, nie pasował do początku promieni.)

Jak powinny być ustawione promienie? (Promienie muszą wychodzić z jednego punktu.)

Jak nazywa się ten punkt? (Na górze rogu.)

Jak nazywają się promienie? (Boki narożnika.)

Co więc wybrać, aby zbudować kąt? (Musisz wybrać punkt i narysować z niego dwa promienie.)

Teraz każdy z Was zbuduje kącik w swoim notatniku.

Jakiego narzędzia użyjesz? (Z linijką.)

Zaznacz górę czerwonym ołówkiem, boki kolorem niebieskim i zielonym.

Spróbujmy sformułować kąt. Co to jest kąt? (Kąt jest figurą geometryczną, aby ją zbudować, należy wybrać punkt i wyciągnąć z niego dwie półproste.)

4. Sformułowanie problemu edukacyjnego i jego rozwiązania.

Bardzo się cieszę, że dzisiaj na lekcji jest obecnych wszystkich 27 uczniów naszej klasy. Ile narożników zbudowałeś? (Ten sam numer, 27.)

Jak odróżnić od siebie taką liczbę kątów? (Musisz podać nazwy narożników.)

Jak myślisz, jak można wyznaczyć kąt? (Możesz to nazwać szczytem.)

Nazwij kąt (kąt A)

A jeśli narysuję kilka kątów z wierzchołkiem w punkcie A, jak mogę je rozróżnić? (Musimy w jakiś sposób „pełniej wyznaczyć kąty.)

Czy ktoś ma inną możliwość oznaczenia? (Promienie można oznaczyć: promień AB i promień AC.)

Zaznaczyliśmy więc róg, spróbuj go nazwać, przeczytaj nazwę. (Kąt BAC, kąt CAB, kąt ACB, kąt ABC, kąt A.)

Musimy wybrać prawidłowe nazwy z danych z Waszych sugestii. W tym celu proponuję podejść do tablicy i pokazać kąt.

(Dzieci pokazują kąty na różne sposoby.)

Chłopaki, w matematyce zwyczajowo pokazuje się kąt od jednej ze stron do wierzchołka i od wierzchołka do boku. Jak myślisz, która z podanych przez Ciebie nazw kątów będzie poprawna? (Kąt BAC, Kąt CAB, Kąt A.)

Prawidłowy. Musimy pamiętać, że literę, za pomocą której oznaczamy wierzchołek kąta, należy nazwać drugą.

Słowo „kąt” w matematyce oznacza się znakiem „? "

Ile liter może zawierać nazwa kąta? (Jedna litera lub trzy.)

Zapisz w zeszycie nazwę narysowanego kąta. Zapiszę na tablicy nazwy rogów, a ty mi powiesz. (Kąt BAC, kąt CAB lub po prostu kąt A.)

Jak zapisać nazwy kątów, gdy jeden punkt jest początkiem kilku półprostych? (Najpierw musisz wyznaczyć promienie, ułożyć litery M, K, S, D.)

Ile kątów otrzymaliśmy? (Dwa, trzy, a nawet więcej.)

Aby pokazać, które kąty należy nazwać, oznaczono je łukami. Nazwij i zapisz kąty, które wyznaczam. (Kąt MAC, kąt SAD, kąt MAC.)

Czy na tym rysunku są jakieś inne kąty? (Tak, kąt MAD, kąt KAD, kąt CAM.)

Jeśli pojawia się trudność, nauczyciel pokazuje kąt, a dzieci go nazywają. To zadanie jest dla „silnych” uczniów, dla ich rozwoju. Inni uczą się po nich.

5. Uogólnienie. Pogłębianie wiedzy o wielokątach.

O czym należy pamiętać podczas nazywania i zapisywania kątów? (Nazywamy literę oznaczającą wierzchołek pośrodku.)

Jak pokazać kąt? (Musisz użyć wskaźnika, aby „przejść” wzdłuż belki - z boku na górę, a następnie z góry na drugą stronę.)

6. Ćwiczenia fizyczne.

Pokażę Ci karty z geometrycznymi kształtami. Kiedy zobaczysz wielokąt, musisz usiąść. Kiedy zobaczysz figurę, która nie jest wielokątem, musisz wstać.

Raz, dwa, trzy, cztery, pięć,
Wszyscy potrafimy liczyć
Wiemy też, jak się zrelaksować -
Ręce załóżmy za plecy
Podnieśmy nasze głowy wyżej
I oddychajmy swobodnie.

7. Konsolidacja zgodnie z podręcznikiem.

Strona 29 nr 68. Zapisz nazwy kątów za pomocą znaku „? " To zadanie jest realizowane z komentarzami.

Ile nazw może mieć jeden róg? (Trzy nazwiska.)

8. Utrwalanie nowego materiału w grupach. (Siedem grup).

Każda grupa proszona jest o podanie trzech opcji nazwy kąta.

Po wykonaniu zadania dowódca grupy melduje się. Na przykład:

9. Doskonalenie umiejętności obliczeń werbalnych.

Gra „Odszyfruj słowo”. Każda wartość wyrażenia odpowiada określonej literze. 4 - G, 5 - L, 6 - U, 7 - O.

10-8 + 4 = 6 U
2+7-5=4 G
8-3+2=7 O
1+9-5=5 L

Przeczytaj słowo. (Narożnik.)

10. Poszukiwanie zakątków w otaczającej rzeczywistości.

Rozejrzyj się uważnie i nazwij obiekty, które mają narożniki. (Tablica, notatnik, biurko, okno itp.)

11. Konkluzja.

Jakich nowych rzeczy nauczyłeś się na lekcji? (Nauczyłem się wyznaczać kąty.)

Ile nazw może mieć kąt? (Trzy.)

Co oznacza druga litera? (Ta litera reprezentuje wierzchołek kąta.)

Czy podczas lekcji wszystko było jasne? Czy każdy z Was potrafi podać nazwę kąta i poprawnie odczytać nazwę kąta? Jeśli tak, podnieś kartę z wykrzyknikiem; jeśli nie, podnieś kartę ze znakiem zapytania.

Dziś na lekcji wszyscy aktywnie pomagali Dunno w nauce nowego tematu „Kąt”, ale także udoskonalali jego wiedzę o wielokątach. Czego każdy z Was dowiedział się o nich nowego? (Jak najwygodniej narysować granicę narożnika? Jak pokazać kąt. Aby pokazać wielokąt, należy go zamalować.)

W domu narysuj 3 rogi i nadaj im nazwy. Zbuduj także wielokąt i pokaż w nim kąty, nadaj mu nazwę.

Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.

Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych

Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.

Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.

Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.

Jakie dane osobowe zbieramy:

  • Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres e-mail itp.

Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:

  • Gromadzone przez nas dane osobowe pozwalają nam kontaktować się z Tobą w sprawie wyjątkowych ofert, promocji i innych wydarzeń oraz nadchodzących wydarzeń.
  • Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
  • Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
  • Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.

Ujawnianie informacji osobom trzecim

Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.

Wyjątki:

  • Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, w postępowaniu sądowym i/lub na podstawie publicznych żądań lub wniosków organów rządowych Federacji Rosyjskiej – do ujawnienia Twoich danych osobowych. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
  • W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.

Ochrona danych osobowych

Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.

Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy

Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.

Te geometryczne kształty otaczają nas wszędzie. Wielokąty wypukłe mogą być naturalne, np. plaster miodu, lub sztuczne (sztuczne). Figury te wykorzystywane są przy produkcji różnego rodzaju powłok, malarstwie, architekturze, biżuterii itp. Wielokąty wypukłe mają tę właściwość, że wszystkie ich punkty znajdują się po jednej stronie linii prostej przechodzącej przez parę sąsiednich wierzchołków tej figury geometrycznej. Istnieją inne definicje. Wielokąt wypukły to taki, który znajduje się w pojedynczej półpłaszczyźnie względem dowolnej linii prostej zawierającej jeden z jego boków.

Na kursie geometrii podstawowej uwzględniane są zawsze tylko proste wielokąty. Aby zrozumieć wszystkie ich właściwości, konieczne jest zrozumienie ich natury. Po pierwsze, powinieneś zrozumieć, że każda linia, której końce się pokrywają, nazywa się zamkniętą. Co więcej, utworzona przez nią figura może mieć różne konfiguracje. Wielokąt to prosta, zamknięta linia przerywana, w której sąsiednie ogniwa nie znajdują się na tej samej linii prostej. Jego ogniwa i wierzchołki są odpowiednio bokami i wierzchołkami tej figury geometrycznej. Prosta polilinia nie powinna mieć samoprzecięć.

Wierzchołki wielokąta nazywane są sąsiadującymi, jeśli reprezentują końce jednego z jego boków. Figurę geometryczną, która ma n-tą liczbę wierzchołków, a zatem i n-tą liczbę boków, nazywa się n-gonem. Sama linia przerywana nazywana jest granicą lub konturem tej figury geometrycznej. Płaszczyzna wielokątna lub płaski wielokąt to skończona część dowolnej płaszczyzny przez nią ograniczonej. Sąsiednie boki tej figury geometrycznej to odcinki linii przerywanej wychodzącej z jednego wierzchołka. Nie będą sąsiadować ze sobą, jeśli pochodzą z różnych wierzchołków wielokąta.

Inne definicje wielokątów wypukłych

W geometrii elementarnej istnieje jeszcze kilka definicji o równoważnym znaczeniu, wskazujących, który wielokąt nazywa się wypukłym. Co więcej, wszystkie te sformułowania są równie poprawne. Wielokąt uważa się za wypukły, jeśli:

Każdy odcinek łączący dowolne dwa punkty w nim leży całkowicie w nim;

Wszystkie jego przekątne leżą w nim;

Kąt wewnętrzny nie przekracza 180°.

Wielokąt zawsze dzieli płaszczyznę na 2 części. Jedna z nich jest ograniczona (można ją ująć w okrąg), druga zaś jest nieograniczona. Pierwszy nazywa się obszarem wewnętrznym, a drugi obszarem zewnętrznym tej figury geometrycznej. Ten wielokąt jest przecięciem (innymi słowy wspólnym składnikiem) kilku półpłaszczyzn. Co więcej, każdy odcinek, który kończy się w punktach należących do wielokąta, całkowicie do niego należy.

Odmiany wielokątów wypukłych

Definicja wielokąta wypukłego nie wskazuje, że istnieje wiele typów. Co więcej, każdy z nich ma określone kryteria. Zatem wielokąty wypukłe, które mają kąt wewnętrzny równy 180°, nazywane są słabo wypukłymi. Wypukłą figurę geometryczną, która ma trzy wierzchołki, nazywamy trójkątem, cztery - czworokątem, pięć - pięciokątem itd. Każdy z wypukłych n-kątów spełnia następujący najważniejszy warunek: n musi być równe lub większe od 3. Każdy z n-kątów wypukłych trójkątów jest wypukła. Figurę geometryczną tego typu, w której wszystkie wierzchołki znajdują się na tym samym okręgu, nazywamy wpisaną w okrąg. Wielokąt wypukły nazywa się opisanym, jeśli dotykają go wszystkie jego boki w pobliżu koła. Mówi się, że dwa wielokąty są przystające tylko wtedy, gdy można je połączyć przez superpozycję. Płaski wielokąt to wielokątna płaszczyzna (część płaszczyzny), która jest ograniczona tą figurą geometryczną.

Regularne wielokąty wypukłe

Wielokąty foremne to figury geometryczne o równych kątach i bokach. Wewnątrz nich znajduje się punkt 0, który znajduje się w tej samej odległości od każdego z jego wierzchołków. Nazywa się to środkiem tej figury geometrycznej. Odcinki łączące środek z wierzchołkami tej figury geometrycznej nazywane są apotemami, a te, które łączą punkt 0 z bokami, są promieniami.

Regularny czworokąt jest kwadratem. Regularny trójkąt nazywa się równobocznym. Dla takich figur obowiązuje następująca zasada: każdy kąt wielokąta wypukłego jest równy 180°*(n-2)/n,

gdzie n jest liczbą wierzchołków tej wypukłej figury geometrycznej.

Obszar dowolnego wielokąta foremnego określa się według wzoru:

gdzie p jest równe połowie sumy wszystkich boków danego wielokąta, a h jest równe długości apotema.

Właściwości wielokątów wypukłych

Wielokąty wypukłe mają pewne właściwości. Zatem odcinek łączący dowolne 2 punkty takiej figury geometrycznej koniecznie znajduje się w nim. Dowód:

Załóżmy, że P jest danym wielokątem wypukłym. Bierzemy 2 dowolne punkty, na przykład A, B, które należą do P. Zgodnie z istniejącą definicją wielokąta wypukłego punkty te znajdują się po jednej stronie prostej, która zawiera dowolny bok P. Dlatego też AB również ma tę właściwość i jest zawarty w P. Wielokąt wypukły zawsze można podzielić na kilka trójkątów wykorzystując absolutnie wszystkie przekątne wyprowadzone z jednego z jego wierzchołków.

Kąty wypukłych kształtów geometrycznych

Kąty wielokąta wypukłego to kąty utworzone przez jego boki. Kąty wewnętrzne znajdują się w obszarze wewnętrznym danej figury geometrycznej. Kąt utworzony przez jego boki stykające się w jednym wierzchołku nazywany jest kątem wielokąta wypukłego. z kątami wewnętrznymi danej figury geometrycznej nazywane są zewnętrznymi. Każdy kąt wielokąta wypukłego znajdującego się w jego wnętrzu jest równy:

gdzie x jest wielkością kąta zewnętrznego. Ten prosty wzór dotyczy dowolnych kształtów geometrycznych tego typu.

Ogólnie rzecz biorąc, dla kątów zewnętrznych obowiązuje następująca zasada: każdy kąt wielokąta wypukłego jest równy różnicy między 180° a wielkością kąta wewnętrznego. Może przyjmować wartości z zakresu od -180° do 180°. Dlatego też, gdy kąt wewnętrzny wynosi 120°, kąt zewnętrzny będzie wynosił 60°.

Suma kątów wielokątów wypukłych

Sumę kątów wewnętrznych wielokąta wypukłego określa się ze wzoru:

gdzie n jest liczbą wierzchołków n-kąta.

Sumę kątów wielokąta wypukłego oblicza się po prostu. Rozważ dowolną taką figurę geometryczną. Aby wyznaczyć sumę kątów wewnątrz wielokąta wypukłego, należy połączyć jeden z jego wierzchołków z innymi wierzchołkami. W wyniku tego działania otrzymuje się trójkąty (n-2). Wiadomo, że suma kątów dowolnego trójkąta jest zawsze równa 180°. Ponieważ ich liczba w dowolnym wielokącie wynosi (n-2), suma kątów wewnętrznych takiej figury wynosi 180° x (n-2).

Suma kątów wielokąta wypukłego, czyli dowolnych dwóch kątów wewnętrznych i sąsiadujących ze sobą kątów zewnętrznych, dla danej wypukłej figury geometrycznej będzie zawsze równa 180°. Na tej podstawie możemy wyznaczyć sumę wszystkich jego kątów:

Suma kątów wewnętrznych wynosi 180° * (n-2). Na tej podstawie sumę wszystkich kątów zewnętrznych danej figury wyznacza się ze wzoru:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Suma kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego będzie zawsze wynosić 360° (niezależnie od liczby boków).

Kąt zewnętrzny wielokąta wypukłego jest zwykle reprezentowany przez różnicę między 180° a wartością kąta wewnętrznego.

Inne właściwości wielokąta wypukłego

Oprócz podstawowych właściwości tych kształtów geometrycznych, mają one także inne, które powstają podczas manipulacji nimi. Zatem dowolny z wielokątów można podzielić na kilka wypukłych n-kątów. Aby to zrobić, musisz kontynuować każdy z jego boków i wyciąć tę figurę geometryczną wzdłuż tych prostych linii. Można także podzielić dowolny wielokąt na kilka części wypukłych w taki sposób, aby wierzchołki każdego elementu pokrywały się ze wszystkimi jego wierzchołkami. Z takiej figury geometrycznej można w bardzo prosty sposób tworzyć trójkąty, rysując wszystkie przekątne z jednego wierzchołka. Zatem dowolny wielokąt można ostatecznie podzielić na pewną liczbę trójkątów, co okazuje się bardzo przydatne w rozwiązywaniu różnych problemów związanych z takimi figurami geometrycznymi.

Obwód wielokąta wypukłego

Odcinki linii łamanej, zwane bokami wielokąta, oznacza się najczęściej literami: ab, bc, cd, de, ea. Są to boki figury geometrycznej o wierzchołkach a, b, c, d, e. Suma długości wszystkich boków tego wypukłego wielokąta nazywa się jego obwodem.

Okrąg wielokąta

Wielokąty wypukłe mogą być wpisane lub opisane. Okrąg dotykający wszystkich boków tej figury geometrycznej nazywa się wpisanym w nią. Taki wielokąt nazywa się ograniczonym. Środek okręgu wpisanego w wielokąt to punkt przecięcia dwusiecznych wszystkich kątów danej figury geometrycznej. Pole takiego wielokąta jest równe:

gdzie r jest promieniem okręgu wpisanego, a p jest półobwodem danego wielokąta.

Okrąg zawierający wierzchołki wielokąta nazywa się opisanym na nim. W tym przypadku tę wypukłą figurę geometryczną nazywa się wpisaną. Środek okręgu opisanego wokół takiego wielokąta jest punktem przecięcia tzw. dwusiecznych prostopadłych wszystkich boków.

Przekątne wypukłych kształtów geometrycznych

Przekątne wielokąta wypukłego to odcinki łączące niesąsiadujące ze sobą wierzchołki. Każdy z nich leży wewnątrz tej figury geometrycznej. Liczbę przekątnych takiego n-kąta określa wzór:

N = n (n - 3)/ 2.

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego odgrywa ważną rolę w geometrii elementarnej. Liczbę trójkątów (K), na które można podzielić każdy wielokąt wypukły, oblicza się za pomocą następującego wzoru:

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego zawsze zależy od liczby jego wierzchołków.

Podział wielokąta wypukłego

W niektórych przypadkach, aby rozwiązać problemy geometryczne, konieczne jest podzielenie wielokąta wypukłego na kilka trójkątów o nieprzecinających się przekątnych. Problem ten można rozwiązać wyprowadzając pewien wzór.

Definicja problemu: nazwijmy poprawnym pewien podział wypukłego n-gonu na kilka trójkątów, których przekątne przecinają się tylko w wierzchołkach tej figury geometrycznej.

Rozwiązanie: Załóżmy, że P1, P2, P3..., Pn są wierzchołkami tego n-kąta. Liczba Xn jest liczbą jej przegród. Rozważmy dokładnie otrzymaną przekątną figury geometrycznej Pi Pn. W którymkolwiek z regularnych przegród P1 Pn należy do pewnego trójkąta P1 Pi Pn, który ma 1

Niech i = 2 będzie jedną grupą przegród regularnych, zawsze zawierającą przekątną P2 Pn. Liczba przegród w nim zawartych pokrywa się z liczbą przegród (n-1)-gon P2 P3 P4... Pn. Innymi słowy, jest równy Xn-1.

Jeśli i = 3, to ta druga grupa przegród będzie zawsze zawierać przekątne P3 P1 i P3 Pn. W tym przypadku liczba przegród regularnych zawartych w tej grupie będzie się pokrywać z liczbą przegród (n-2)-gon P3 P4... Pn. Innymi słowy, będzie równy Xn-2.

Niech i = 4, to wśród trójkątów prawidłowy podział z pewnością będzie zawierał trójkąt P1 P4 Pn, który będzie sąsiadował z czworokątem P1 P2 P3 P4, (n-3)-gonem P4 P5... Pn. Liczba regularnych podziałów takiego czworoboku wynosi X4, a liczba podziałów (n-3)-gonu wynosi Xn-3. Na podstawie powyższego możemy powiedzieć, że całkowita liczba regularnych partycji zawartych w tej grupie jest równa Xn-3 X4. Pozostałe grupy, dla których i = 4, 5, 6, 7... będą zawierać partycje regularne Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7....

Niech i = n-2, to liczba prawidłowych przegród w tej grupie będzie się pokrywać z liczbą przegród w grupie, dla której i=2 (czyli równej Xn-1).

Ponieważ X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2..., to liczba wszystkich przegród wielokąta wypukłego jest równa:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Liczba przegród regularnych przecinających się wewnątrz jedną przekątną

Sprawdzając przypadki szczególne, można dojść do założenia, że ​​liczba przekątnych n-kątów wypukłych jest równa iloczynowi wszystkich podziałów tej figury na (n-3).

Dowód tego założenia: wyobraźmy sobie, że P1n = Xn * (n-3), wówczas dowolny n-kąt można podzielić na (n-2)-trójkąty. Ponadto można z nich utworzyć czworokąt (n-3). Oprócz tego każdy czworokąt będzie miał przekątną. Ponieważ na tej wypukłej figurze geometrycznej można narysować dwie przekątne, oznacza to, że w dowolnym (n-3)-czworokącie można narysować dodatkowe (n-3) przekątne. Na tej podstawie możemy stwierdzić, że w dowolnym podziale regularnym można narysować (n-3)-przekątne spełniające warunki tego problemu.

Obszar wielokątów wypukłych

Często przy rozwiązywaniu różnych problemów geometrii elementarnej konieczne staje się określenie obszaru wypukłego wielokąta. Załóżmy, że (Xi. Yi), i = 1,2,3... n jest ciągiem współrzędnych wszystkich sąsiednich wierzchołków wielokąta, który nie ma samoprzecięć. W takim przypadku jego powierzchnię oblicza się za pomocą następującego wzoru:

S = ½ (∑ (X ja + X ja + 1) (Y ja + Y ja + 1)),

gdzie (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Wielokąt – Matematyka 1. klasa (Moro)

Krótki opis:

Wiesz już dużo o geometrii, ale prawdopodobnie chcesz wiedzieć jeszcze więcej. Dlatego nasza podróż do niesamowitej krainy Geometrii trwa. Bardzo dobrze znasz taką figurę jak segment. Co się stanie, jeśli trzy segmenty zostaną ze sobą połączone? Zgadza się, okaże się, że jest to linia przerywana. Oczywiście pamiętasz, że linie przerywane mogą być zamknięte lub otwarte. Jeśli połączysz trzy segmenty w zamkniętą polilinię, otrzymasz... Zgadłeś? Otrzymasz trójkąt. Czy można uzyskać inne kształty z linii przerywanej? Oczywiście, że możesz! Wszystko zależy od liczby ogniw linii przerywanej. Na przykład, jeśli są cztery ogniwa, otrzymasz czworokąt, pięć ogniw – pięciokąt i tak dalej. Zastanów się teraz, jak jednym słowem możemy nazwać figury utworzone przez zamkniętą linię przerywaną? Skorzystaj z podpowiedzi: wszystkie te figury mają połączenia tworzące różną liczbę kątów. Takie figury nazywamy wielokątami. Wielokąty spotykają Cię na każdym kroku. Tak więc pokrywa biurka jest czworokątem, niektóre znaki drogowe są trójkątami, kwietniki mogą być pięciokątami lub sześciokątami. Temat „Wielokąty” jest niewyczerpany. Poznasz ją nie tylko w pierwszej klasie, ale będziesz się z nią spotykać przez cały czas nauki w szkole. Zaprzyjaźnij się z wielokątami!