Przed tobą leży kartka papieru z wizerunkiem: a) trójkąta, b) pięcioramiennej gwiazdy, c) wielokąta w kształcie pływającego łabędzia. W każdym przypadku wymyślić, jak złożyć kartkę papieru, aby następnie można było wyciąć nożyczkami odpowiedni kształt w jednym, prostym cięciu.
Wskazówka
We wszystkich przypadkach rozwiązanie prawie w całości składa się z kroków dwojakiego rodzaju: należy dodać wzdłuż dwusiecznej niektóre kąty powiązane z figurą (w celu „zmniejszenia” liczby odcinków pozostających nie na tej samej linii) , lub wzdłuż prostopadłej do jednego z odcinków (w celu „dopasowania” jego długości do żądanej długości).
Rozwiązanie
Poniższe rysunki pokazują, jak złożyć kształty z opisu problemu, aby następnie wyciąć każdy z nich jednym cięciem.
W trójkącie wszystko jest mniej więcej jasne: dodajemy wzdłuż jednej dwusiecznej, potem drugiej (ryc. 1).
Z gwiazdą też dość łatwo sobie poradzić. Najpierw musisz złożyć go na pół wzdłuż osi symetrii (jest to całkowicie naturalne działanie - możesz bowiem „przedzielić” figurę za jednym zamachem). Następnie - połącz ze sobą dwa promienie gwiazdy, dodając wzdłuż dwusiecznej jej „zewnętrznego” kąta. Następnie z konturu pozostaną tylko trzy segmenty, które można łatwo połączyć (ryc. 2).
Łabędź jest najtrudniejszą rzeczą. Jest to zrozumiałe: figura bez symetrii, z duża liczba imprezy; dlatego będzie to konieczne duża liczba marszczenie Schemat składania pokazano na ryc. 3. Proste linie kropkowane przedstawiają fałdy w dół, a linie kropkowo-kreskowe przedstawiają fałdy w górę. Najpierw musisz osobno zaznaczyć te fałdy, aby arkusz przyjął kształt dachu domu, a dopiero potem złóż arkusz w płaski kształt.
Seria zdjęć przedstawia cały proces składania:
O tym, skąd wziął się tak pomysłowy system fałd, przeczytacie w posłowiu.
Posłowie
Wszystkie opcje zaproponowane w warunku to tylko przypadki szczególne kwestia ogólna, co brzmi tak:
Czy mając wielokąt na płaskiej kartce papieru, można złożyć tę kartkę tak, aby wielokąt można było wyciąć jednym prostym cięciem?
Okazuje się, że niezależnie od kształtu wielokąta odpowiedź na to pytanie jest zawsze pozytywna: tak, można. (Oczywiście, teraz omawiamy ten problem z punktu widzenia matematyki i nie dotykamy „fizycznej” strony sprawy: nie da się zbyt wiele razy złożyć kartki papieru. Uważa się, że tak jest niemożliwe jest złożenie nawet bardzo cienkiego papieru więcej niż 7-8 razy. To prawie tak: z pewnym wysiłkiem możesz wykonać 12 zagięć, ale jest mało prawdopodobne, że będziesz w stanie zrobić więcej.)
Co więcej, jeśli narysowanych zostanie kilka wielokątów, arkusz można nadal złożyć, aby wszystkie można było wyciąć jednym cięciem (i nic dodatkowego nie zostanie wycięte). Rzecz w tym, że prawdą jest, co następuje twierdzenie:
Niech dowolny wykres zostanie narysowany na kartce papieru. Następnie arkusz ten można złożyć tak, aby jednym cięciem można było wyciąć ten wykres i nic niepotrzebnego nie zostanie wycięte.
Twierdzenie to ma dowód algorytmiczny. Oznacza to, że jego dowód daje wyraźny przepis na skonstruowanie wymaganego systemu fałd.
W skrócie istota jest taka. Najpierw musimy zbudować prosty szkielet. Jest to zestaw linii - trajektorii wierzchołków pierwotnego wielokąta - wzdłuż których poruszają się podczas jego specjalnej kompresji. Kompresja działa w ten sposób: przesuwamy boki wielokąta „do wewnątrz” za pomocą stała prędkość tak, aby każda strona poruszała się bez zmiany kierunku. Jak łatwo zauważyć, początkowo wierzchołki będą pełzać wzdłuż dwusiecznych narożników wielokąta. Oznacza to, że ta dziwna konstrukcja na pierwszy rzut oka po prostu uogólnia ideę zaproponowaną w podpowiedzi: należy spróbować dodać wzdłuż dwusiecznych narożników wielokąta. Należy pamiętać, że podczas procesu kompresji wielokąt może „rozpaść się” na kawałki, jak miało to miejsce na ryc. 5.
Po uzyskaniu szkieletu z każdego jego wierzchołka należy narysować promienie prostopadłe do tych boków oryginalnej figury, do których można je narysować. Jeżeli promień natrafia na linię wychodzącą ze szkieletu, to po jej przekroczeniu powinien biec nie prosto, ale wzdłuż swojego lustrzanego odbicia względem tej linii. System składania składa się z narysowanych linii.
Więcej informacji na ten temat oraz sposób określenia kierunku zagięcia („w górę” lub „w dół”) można znaleźć w artykule E. D. Demaine, M. L. Demaine, A. Lubiw, 1998. Składanie i cięcie papieru. Krótka historia a inne podejście do rozwiązania problemu można znaleźć na stronie Erica Demaina, jednego z autorów dowodu twierdzenia. Można też przeczytać nieco bardziej popularną opowieść na temat tego twierdzenia (niestety także w języku angielskim). Na koniec radzę obejrzeć kreskówkę „Etiudy matematyczne”, w której wyraźnie widać, jak złożyć trójkąt i gwiazdę, a następnie wyciąć je jednym cięciem.
Na koniec pragnę zauważyć, że pytania podobne do tych omówionych powyżej pojawiają się już od dłuższego czasu. Na przykład w japońskiej książce z 1721 r. jako jedno z zadań czytelnicy zostali poproszeni o wycięcie figury z trzech zjednoczonych rombów za pomocą jednego cięcia (ryc. 6). Później słynny iluzjonista Harry Houdini wyjaśnił w swojej książce metodę wycinania gwiazdy. Swoją drogą, według legendy, właśnie dlatego, że taką gwiazdę można szybko wyciąć z papieru lub tkaniny, teraz na fladze USA widzimy pięcioramienne gwiazdy: krawcowa Betsy Ross, która według legendy uszyła pierwszą flagę, był w stanie przekonać Jerzego Waszyngtona, że lepiej nadają się one do flagi niż sześcioramienne, których Waszyngton pierwotnie chciał użyć.
Photoshop oferuje niemal nieograniczone możliwości twórcze. Jednak użytkownicy, którzy dopiero zaczynają pracę z programem, mogą napotkać trudności w najbardziej podstawowych sprawach, np. rysowaniu kształtów geometrycznych. Najczęściej trudności pojawiają się właśnie wtedy, gdy trzeba narysować trójkąt. W rzeczywistości wszystko jest tutaj proste i zastanowimy się, jak to zrobić.
Jak narysować trójkąt w Photoshopie
Po przestudiowaniu lewego panelu z narzędziami, a zwłaszcza narzędziami umożliwiającymi rysowanie figury geometryczne, użytkownik nie znajdzie ikony trójkąta. Istnieją kwadraty, elipsy, wielokąty itp., ale nie ma trójkątów. A rysowanie trójkąta odbywa się za pomocą narzędzia Wielokąt.
Trójkąt można również narysować za pomocą narzędzia Lasso linii prostych, choć ta opcja tworzenia kształtów geometrycznych nie jest już tak oczywista. Odbywa się to w następujący sposób:
Jak widać, nie ma nic trudnego w stworzeniu trójkąta. Używając podobnych wzorów, możesz tworzyć inne kształty geometryczne, które zawierają kilka kątów. Jeśli ten artykuł był dla Ciebie przydatny, udostępnij go innym osobom, może im też się przyda.
W tym artykule dowiesz się, jak rysować w Photoshopie różne rodzaje trójkąty: równoboczny, równoramienny, różnoboczny i prostokątny.
Jak narysować trójkąt równoboczny
Trójkąt równoboczny ma wszystkie trzy boki równe.
Najłatwiejszym sposobem narysowania takiego trójkąta w Photoshopie jest użycie Narzędzie Wielokąt.
Wybierz to narzędzie i w panelu ustawień od razu określ liczbę boków - 3.
Następnym krokiem jest podjęcie decyzji, jaki powinien być przyszły trójkąt: potrzebny jest kształt wektorowy, rastrowy z pełnym wypełnieniem lub po prostu kontur. Rozważ wszystkie opcje.
Trójkąt wektorowy
Na pasku opcji wybierz opcję Warstwa kształtu.
Teraz możesz narysować sam trójkąt. Podczas tworzenia zobaczysz jego granice. Jest to konieczne, aby obliczyć jego wymiary. Możesz także obracać go, dopóki nie zwolnisz przycisku myszy.
Zaletą trójkąta wektorowego jest to, że można szybko zmienić jego kolor, a także bezboleśnie zmienić jego rozmiar bez utraty jakości. Aby to zrobić, wywołaj polecenie - Ctrl+T.
Aby później zamienić go w trójkąt rastrowy, użyj polecenia.
Trójkąt rastrowy z pełnym wypełnieniem
Otrzymasz ten sam trójkąt, co w powyższym przykładzie, ale będzie on od razu w rastrze.
Aby to zrobić, na pasku opcji musisz wybrać ustawienie Wypełnij piksele.
Zanim utworzysz taki trójkąt, musisz najpierw.
Teraz narysuj kształt, który będzie przypominał najzwyklejszy element bitmapy.
Jak narysować zarys trójkąta równobocznego
Dla takiego kształtu wybierz opcję na pasku opcji Wytyczne.
Narysuj trójkąt. Naturalnie otrzymasz jedynie jego zarys. Następnie, wybierając to samo narzędzie, kliknij prawym przyciskiem myszy wewnątrz ścieżki. Pojawi się menu kontekstowe. Wybierz zespół Utwórz obszar zaznaczenia.
Otworzy się okno dialogowe. Pozostaw promień wtapiania na poziomie 0. Kliknij OK.
W rezultacie zrobiliśmy to z konturu.
Aby to zrobić, uruchom polecenie Edycja — udar. Pojawi się okno, w którym określisz grubość linii obrysu, a także sposób jej przejścia względem kropkowanej linii zaznaczenia: wewnątrz, pośrodku, na zewnątrz.
Photoshop wykonał pociągnięcie, teraz usuń kropkowaną linię zaznaczenia, aby nie przeszkadzała - Ctrl+D. Wynik:
Jak narysować trójkąt równoramienny
Trójkąt równoramienny ma dwa równe boki.
Spójrzmy na przykład, kiedy trzeba rysować Trójkąt równoramienny określone rozmiary. Załóżmy, że podstawa ma 300 pikseli, a wysokość 400 pikseli.
Gotowy
Rysujemy trójkąt równoramienny według podanych wymiarów!
W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ma miarę 90 stopni.
Jeśli potrzebujesz trójkąta prostokątnego o znanych wymiarach, na przykład wymiary nóg wynoszą 200 i 300 pikseli, najłatwiej to zrobić w następujący sposób:
Krok 1
Utwórz nowy dokument w Photoshopie o wysokości i szerokości równej wymiarom nóg: na przykład niech szerokość będzie wynosić 300 pikseli, a wysokość 200 pikseli.
Obszar roboczy w Photoshopie jest zawsze prostokątny, więc kąt 90 stopni będzie już zapewniony. Dwa boki prostokąta to jego nogi. Pozostaje tylko narysować przekątną - będzie to przeciwprostokątna.
Krok 2
Będziemy postępować analogicznie do powyższego przykładu. Weź narzędzie Linia i ustaw opcję Warstwa kształtu.
Teraz narysuj linię wokół krawędzi i połącz dwa punkty po przekątnej:
Krok 3
W palecie warstw ponownie znajdują się trzy warstwy kształtów. Można je połączyć w jedną warstwę (polecenie Połącz warstwy).
Gotowy
Prawy trójkąt jest gotowy, możesz go pomalować na dowolny kolor:
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl + Enter. Dziękuję!
Wymyślono kilka niemożliwych figur - drabinę, trójkąt i x-prong. Liczby te są w rzeczywistości całkiem realne na trójwymiarowym obrazie. Ale kiedy artysta przenosi objętość na papier, obiekty wydają się niemożliwe. Trójkąt, zwany także „tribarem”, stał się wspaniałym przykładem tego, jak niemożliwe staje się możliwe, jeśli włożysz wysiłek.
Wszystkie te postacie są pięknymi iluzjami. Dorobek ludzkiego geniuszu wykorzystują artyści malujący w stylu imp-art.
Nic nie jest niemożliwe. Można to powiedzieć o trójkącie Penrose'a. Jest to figura niemożliwa geometrycznie, której elementów nie da się połączyć. W końcu niemożliwy trójkąt stał się możliwy. Szwedzki malarz Oscar Reutersvärd przedstawił światu niemożliwy trójkąt wykonany z sześcianów w 1934 roku. Za odkrywcę tej iluzji wizualnej uważany jest O. Reutersvard. Na cześć tego wydarzenia rysunek ten został później wydrukowany na szwedzkim znaczku pocztowym.
W 1958 roku matematyk Roger Penrose opublikował publikację w Magazyn angielski o liczbach niemożliwych. To on stworzył naukowy model iluzji. Roger Penrose był niesamowitym naukowcem. Prowadził badania z zakresu teorii względności, a także fascynujące teoria kwantowa. Został uhonorowany Nagrodą Wolfa wraz z S. Hawkingiem.
Wiadomo, że artysta Maurits Escher pod wrażeniem tego artykułu namalował swoje niesamowite dzieło - litografię „Wodospad”. Ale czy możliwe jest utworzenie trójkąta Penrose'a? Jak to zrobić, jeśli to możliwe?
Plemię i rzeczywistość
Chociaż figura jest uważana za niemożliwą, wykonanie trójkąta Penrose'a własnymi rękami jest tak proste, jak łuskanie gruszek. Można go wykonać z papieru. Miłośnicy origami po prostu nie mogli zignorować plemienia, a mimo to znaleźli sposób na stworzenie i trzymanie w rękach rzeczy, która wcześniej wydawała się poza wyobraźnią naukowca.
Jednak oszukujemy się na własne oczy, gdy patrzymy na rzut trójwymiarowego obiektu z trzech prostopadłych linii. Obserwatorowi wydaje się, że widzi trójkąt, choć w rzeczywistości tak nie jest.
Rękodzieło z geometrii
Jak stwierdzono, trójkąt plemienny nie jest w rzeczywistości trójkątem. Trójkąt Penrose'a jest iluzją. Tylko pod pewnym kątem obiekt wygląda trójkąt równoboczny. Jednak obiekt w swojej naturalnej postaci to 3 ściany sześcianu. W takim rzucie izometrycznym na płaszczyźnie pokrywają się 2 kąty: najbliższy widzowi i najdalszy.
Złudzenie optyczne oczywiście szybko ujawnia się, gdy tylko podniesiesz ten przedmiot. Cień ujawnia także iluzję, ponieważ cień trybuny wyraźnie pokazuje, że kąty w rzeczywistości nie pokrywają się.
Tribar wykonany z papieru. Schemat
Jak zrobić trójkąt Penrose'a własnymi rękami z papieru? Czy są jakieś schematy do tego modelu? Dzisiaj wynaleziono 2 układy, aby złożyć tak niemożliwy trójkąt. Podstawowa geometria mówi dokładnie, jak złożyć obiekt.
Aby złożyć trójkąt Penrose'a własnymi rękami, będziesz musiał przeznaczyć tylko 10-20 minut. Musisz przygotować klej, nożyczki do kilku cięć i papier, na którym wydrukowany jest schemat.
Z takiego półfabrykatu uzyskuje się najpopularniejszy niemożliwy trójkąt. Wykonanie rękodzieła origami nie jest zbyt trudne. Dlatego na pewno sprawdzi się za pierwszym razem, nawet dla ucznia, który dopiero zaczął uczyć się geometrii.
Jak widać, okazuje się, że jest to bardzo ładne rzemiosło. Drugi element wygląda inaczej i składa się inaczej, ale sam trójkąt Penrose’a wygląda tak samo.
Kroki, aby utworzyć trójkąt Penrose'a z papieru.
Wybierz jedno z 2 dogodnych dla Ciebie pustych miejsc, skopiuj plik i wydrukuj. Tutaj podajemy przykład drugiego modelu układu, który jest nieco prostszy.
Sam blankiet origami „Tribar” zawiera już wszystkie niezbędne wskazówki. W rzeczywistości instrukcje dotyczące obwodu nie są wymagane. Wystarczy pobrać go na gruby papierowy nośnik, w przeciwnym razie praca będzie niewygodna i figura nie wyjdzie. Jeśli nie możesz od razu wydrukować na tekturze, musisz dołączyć szkic do nowego materiału i wyciąć rysunek wzdłuż konturu. Dla wygody można zapiąć spinaczami do papieru.
Co zrobic nastepnie? Jak krok po kroku złożyć trójkąt Penrose własnymi rękami? Musisz postępować zgodnie z tym planem działania:
- Kierujmy Odwrotna strona nożyczkami te linie, w których należy zgiąć, zgodnie z instrukcją. Zegnij wszystkie linie
- W razie potrzeby wykonujemy cięcia.
- Za pomocą PVA sklejamy te skrawki, które mają połączyć część w jedną całość.
Gotowy model można przemalować na dowolny kolor lub wcześniej zabrać kolorowy karton do pracy. Ale nawet jeśli przedmiot jest wykonany z białego papieru, to i tak każdego, kto po raz pierwszy wejdzie do Twojego salonu, z pewnością zniechęci takie rzemiosło.
Rysunek trójkąta
Jak narysować trójkąt Penrose'a? Nie każdy lubi robić origami, ale wiele osób uwielbia rysować.
Na początek narysuj zwykły kwadrat o dowolnym rozmiarze. Następnie wewnątrz rysowany jest trójkąt, którego podstawą jest dolna strona kwadratu. W każdym rogu umieszcza się mały prostokąt, którego wszystkie boki są usuwane; Pozostają tylko te boki, które przylegają do trójkąta. Jest to konieczne, aby linie były proste. Rezultatem jest trójkąt ze ściętymi narożnikami.
Kolejnym etapem jest obraz drugiego wymiaru. Od lewej strony górnego dolnego rogu rysowana jest ściśle prosta linia. Ta sama linia jest rysowana zaczynając od lewego dolnego rogu i nieznacznie nie jest doprowadzana do pierwszej linii drugiego wymiaru. Kolejna linia jest rysowana od prawego rogu równolegle do dolnej części głównej figury.
Ostatnim etapem jest narysowanie trzeciego wewnątrz drugiego wymiaru za pomocą kolejnych trzech małych linii. Małe linie zaczynają się od linii drugiego wymiaru i uzupełniają obraz trójwymiarowej objętości.
Inne figurki Penrose'a
Korzystając z tej samej analogii, możesz narysować inne kształty - kwadrat lub sześciokąt. Iluzja zostanie utrzymana. Ale liczby te nie są już tak niesamowite. Takie wielokąty po prostu wydają się bardzo skręcone. Nowoczesna grafika umożliwia stworzenie ciekawszych wersji słynnego trójkąta.
Oprócz trójkąta, schody Penrose'a są również znane na całym świecie. Chodzi o to, aby oszukać oko i sprawić wrażenie, że osoba stale unosi się w górę, poruszając się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, i w dół, poruszając się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.
Ciągłe schody najbardziej znane są ze skojarzeń z obrazem M. Eschera „Wejście i zejście”. Interesujące jest to, że gdy ktoś przejdzie wszystkie 4 piętra tych iluzorycznych schodów, niezmiennie kończy tam, gdzie zaczął.
Znane są również inne obiekty, które wprowadzają w błąd ludzki umysł, jak na przykład niemożliwy blok. Lub pudełko wykonane według tych samych praw iluzji z przecinającymi się krawędziami. Ale wszystkie te obiekty zostały już wynalezione na podstawie artykułu wybitnego naukowca – Rogera Penrose’a.
Niemożliwy trójkąt w Perth
Postać nazwana imieniem matematyka jest honorowana. Postawiono jej pomnik. W 1999 roku został zainstalowany w jednym z miast Australii (Perth). duży trójkąt Penrose wykonany z aluminium, który ma 13 metrów wysokości. Turyści lubią robić zdjęcia obok aluminiowego giganta. Ale jeśli wybierzesz inny kąt fotografowania, oszustwo stanie się oczywiste.
Kiedy byłem „czajniczkiem”, stanąłem przed koniecznością narysowania trójkąta w Photoshopie. Wtedy nie byłem w stanie poradzić sobie z tym zadaniem bez pomocy z zewnątrz.
Okazało się, że wszystko nie jest tak skomplikowane, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. W tej lekcji podzielę się z Wami moim doświadczeniem w rysowaniu trójkątów.
Są dwa (znane mi) sposoby.
Pierwsza metoda pozwala narysować trójkąt równoboczny. W tym celu potrzebujemy narzędzia o nazwie "Wielokąt". Znajduje się w sekcji kształtów na prawym pasku narzędzi.
Narzędzie to umożliwia rysowanie wielokątów foremnych o określonej liczbie boków. W naszym przypadku będą ich trzy (boki).
Po ustawieniu koloru wypełnienia
Umieść kursor na płótnie, przytrzymaj lewy przycisk myszy i narysuj naszą postać. Podczas procesu tworzenia trójkąt można obracać bez zwalniania przycisku myszy.
Wynik:
Ponadto możesz narysować kształt bez wypełnienia, ale z konturem. Linie konturowe konfiguruje się na górnym pasku narzędzi. Można tam także regulować wypełnienie, a właściwie jego brak.
Otrzymałem następujące trójkąty:
Możesz eksperymentować z ustawieniami, aby osiągnąć pożądany rezultat.
Kolejnym narzędziem do rysowania trójkątów jest „Lasso w linii prostej”.
Narzędzie to umożliwia rysowanie trójkątów o dowolnych proporcjach. Spróbujmy narysować prostokąt.
Dla trójkąt prostokątny będziemy musieli dokładnie narysować prawy (kto by pomyślał...) kąt.
Korzystajmy z poradników. Jak pracować z liniami pomocniczymi w Photoshopie, przeczytaj ten artykuł.
Czytamy więc artykuł, wyciągamy prowadnice. Jeden pionowy, drugi poziomy.
Aby zaznaczenie „przyciągnęło” do prowadnic, włącz funkcję przyciągania.
Następnie kliknij prawym przyciskiem myszy wewnątrz zaznaczenia i wybierz w zależności od potrzeb elementy menu kontekstowego „Wykonaj wypełnienie” Lub "Udar mózgu".
Kolor wypełnienia jest konfigurowany w następujący sposób:
Szerokość i położenie skoku można również regulować.
Otrzymujemy następujące wyniki:
Pożywny.
Za zdobycie ostre rogi należy wykonać udar "Wewnątrz".
Po odznaczeniu ( CTRL+D) otrzymujemy gotowy trójkąt prostokątny.
Oto dwa najprostsze sposoby rysowania trójkątów w Photoshopie.
