Ruch punktu po okręgu można scharakteryzować za pomocą kąta obrotu promienia łączącego poruszający się punkt ze środkiem okręgu. Zmiana tego kąta w czasie charakteryzuje się prędkością kątową. Prędkość kątowa punktu to stosunek kąta obrotu wektora promienia punktu do okresu czasu, w którym ten obrót miał miejsce. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu wektora promienia punktu w jednostce czasu.

Kąt obrotu jest zwykle mierzony w radianach (rad). Jednostką prędkości kątowej jest radian na sekundę (rad/s) – prędkość kątowa, przy której punkt opisuje łuk na podstawie kąta równego jednemu radianowi w ciągu jednej sekundy.

Całkowity obrót wokół koła jest rad. Oznacza to, że jeśli punkt obraca się z częstotliwością , to jego prędkość kątowa wynosi

Jeśli ruch punktu po okręgu jest nierówny, wówczas możemy wprowadzić pojęcie średniej prędkości kątowej i chwilowej prędkości kątowej, tak jak to zrobiono dla zwykłej prędkości w przypadku ruchu nierównego, jednak w dalszej części rozważymy tylko ruch jednostajny po okręgu.

Prędkość „zwykłą” w odróżnieniu od prędkości kątowej będziemy nazywać prędkością liniową. Łatwo jest znaleźć zależność pomiędzy prędkością liniową punktu, jego prędkością kątową i promieniem okręgu, po którym się on porusza. Ponieważ po opisaniu kąta równego jednemu radianowi punkt przejedzie po okręgu odległość równą promieniowi

to znaczy prędkość liniowa podczas poruszania się po okręgu jest równa prędkości kątowej pomnożonej przez promień okręgu.

Korzystając z (115.1) możemy wyrazić przyspieszenie dośrodkowe punktu poruszającego się po okręgu w postaci prędkości kątowej. Podstawiając wyrażenie na prędkość (115.1) do (27.1), znajdujemy wzór wyrażający przyspieszenie dośrodkowe w postaci prędkości kątowej!

Rozważając obrót sztywnego ciała wokół osi, stosuje się również pojęcie prędkości kątowej, w tym przypadku prędkość kątowa wszystkich punktów ciała jest taka sama, ponieważ wszystkie obracają się o ten sam kąt. Zatem obrót sztywnego ciała wokół osi można scharakteryzować na podstawie prędkości kątowej, z jaką poruszają się wszystkie jego punkty. Dlatego będziemy ją nazywać prędkością kątową ciała. Ze wzorów (115.1) i (115.2) wynika, że ​​gdy ciało sztywne się obraca, prędkości liniowe jego punktów i ich przyspieszenia dośrodkowe są proporcjonalne do odległości tych punktów od osi obrotu.

115.1 . Dwa punkty poruszają się z jednakowymi prędkościami kątowymi po okręgach, których promienie są w stosunku 1:2. Znajdź stosunek przyspieszeń tych punktów.

115.2. Co jest większe: prędkość kątowa obrotu wskazówki zegara czy prędkość kątowa obrotu Ziemi?

Dystans i czas potrzebny na jego pokonanie łączy pojęcie fizyczne – prędkość. A osoba z reguły nie ma żadnych pytań dotyczących określenia tej wartości. Każdy rozumie, że jazda samochodem z prędkością 100 km/h oznacza przejechanie 100 kilometrów w ciągu godziny.

Ale co, jeśli ciało się obraca? Na przykład zwykły domowy wentylator wykonuje dziesiątki obrotów na sekundę. Jednocześnie prędkość obrotu ostrzy jest taka, że ​​można je łatwo zatrzymać ręcznie, bez szkody dla siebie. Ziemia wokół swojej gwiazdy - Słońca - wykonuje jeden obrót w ciągu całego roku, czyli ponad 30 milionów sekund, ale prędkość jej ruchu po orbicie okołogwiazdowej wynosi około 30 kilometrów na sekundę!

Jak połączyć zwykłą prędkość z prędkością obrotową, jak wygląda wzór na prędkość kątową?

Pojęcie prędkości kątowej

Pojęcie prędkości kątowej jest wykorzystywane w badaniu praw obrotu. Dotyczy to wszystkich ciał wirujących. Czy to obrót pewnej masy wokół drugiej, jak w przypadku Ziemi i Słońca, czy też obrót samego ciała wokół osi biegunowej (codzienny obrót naszej planety).

Różnica między prędkością kątową a prędkością liniową polega na tym, że rejestruje ona zmianę kąta, a nie odległości, w jednostce czasu. W fizyce prędkość kątowa jest zwykle oznaczana literą greckiego alfabetu „omega” - ω.

Klasyczny wzór na prędkość kątową obrotu rozważa się następująco.

Wyobraźmy sobie, że ciało fizyczne obraca się wokół pewnego środka A ze stałą prędkością. Jego położenie w przestrzeni względem środka wyznacza kąt φ. W pewnym momencie t1 rozpatrywane ciało znajduje się w punkcie B. Kąt odchylenia ciała od początkowego φ1.

Następnie ciało przemieszcza się do punktu C. Znajduje się tam w chwili t2. Czas potrzebny na ten ruch:

Zmienia się także położenie ciała w przestrzeni. Teraz kąt odchylenia wynosi φ2. Zmiana kąta w czasie ∆t wynosiła:

∆φ = φ2 - φ1.

Teraz wzór na prędkość kątową formułuje się następująco: prędkość kątową definiuje się jako stosunek zmiany kąta ∆φ w czasie ∆t.

Jednostki prędkości kątowej

Prędkość liniową ciała mierzy się w różnych wielkościach. Ruch pojazdów po drogach podawany jest zwykle w kilometrach na godzinę; statki morskie tworzą węzły – mile morskie na godzinę. Jeśli weźmiemy pod uwagę ruch ciał kosmicznych, to najczęściej pojawiają się tutaj kilometry na sekundę.

Prędkość kątowa, w zależności od wielkości i obracającego się obiektu, jest również mierzona w różnych jednostkach.

Radiany na sekundę (rad/s) to klasyczna miara prędkości w międzynarodowym układzie jednostek (SI). Pokazują, ile radianów (w jednym pełnym obrocie 2 ∙ 3,14 radianów) ciało jest w stanie obrócić w ciągu jednej sekundy.

Obroty na minutę (rpm) są najczęstszą jednostką wskazującą prędkości obrotowe w technologii. Wały silników elektrycznych i samochodowych wytwarzają dokładnie (wystarczy spojrzeć na obrotomierz w samochodzie) obroty na minutę.

Obroty na sekundę (rps) - używane rzadziej, głównie w celach edukacyjnych.

Okres obiegu

Czasami wygodniej jest zastosować inną koncepcję do określenia prędkości obrotowej. Okres obrotu nazywany jest zwykle czasem, w którym pewne ciało wykonuje obrót o 360° (pełny okrąg) wokół środka obrotu. Wzór na prędkość kątową wyrażoną w okresie obrotu ma postać:

Wyrażanie prędkości obrotowej ciał przez okres obrotu jest uzasadnione w przypadkach, gdy ciało obraca się stosunkowo wolno. Wróćmy do rozważenia ruchu naszej planety wokół gwiazdy.

Wzór na prędkość kątową pozwala ją obliczyć, znając okres obrotu:

ω = 2P/31536000 = 0,000000199238499086111 rad/s.

Patrząc na uzyskany wynik, można zrozumieć, dlaczego rozważając obrót ciał niebieskich, wygodniej jest posługiwać się okresem obrotu. Osoba widzi przed sobą wyraźne liczby i wyraźnie wyobraża sobie ich skalę.

Zależność prędkości kątowych i liniowych

W niektórych zadaniach należy wyznaczyć prędkość liniową i kątową. Wzór transformacji jest prosty: prędkość liniowa ciała jest równa iloczynowi prędkości kątowej i promienia obrotu. Jak pokazano na rysunku.

Wyrażenie „działa” także w odwrotnej kolejności; za jego pomocą wyznacza się prędkość kątową. Wzór na prędkość liniową uzyskuje się poprzez proste manipulacje arytmetyczne.

Encyklopedyczny YouTube

  • 1 / 5

    W przestrzeni trójwymiarowej wektor prędkości kątowej jest równy wartości kątowi obrotu punktu wokół środka obrotu w jednostce czasu:

    ω = re φ re t , (\ Displaystyle \ omega = (\ Frac (d \ varphi) (dt)),)

    a jest skierowane wzdłuż osi obrotu zgodnie z zasadą świdra, czyli w kierunku, w jaki świder lub śruba z gwintem prawoskrętnym wkręcałaby się, gdyby obracała się w tym kierunku. Innym mnemonikiem pozwalającym zapamiętać związek między kierunkiem obrotu a kierunkiem wektora prędkości kątowej jest to, że dla konwencjonalnego obserwatora znajdującego się na końcu wektora prędkości kątowej wychodzącego ze środka obrotu wydaje się, że sam obrót ma miejsce przeciwko zgodnie ze wskazówkami zegara.

    Prędkość kątowa jest wektorem osiowym (pseudowektorem). Kiedy osie układu współrzędnych zostaną odzwierciedlone, składowe wektora regularnego (na przykład wektor promienia punktu) zmieniają znak. Jednocześnie składowe pseudowektora (w szczególności prędkość kątowa) przy takiej transformacji współrzędnych pozostają takie same.

    Reprezentacja tensorowa

    Jednostki miary

    Jednostka miary prędkość kątowa, przyjęta w Międzynarodowym Układzie Jednostek Jednostek (SI) oraz w układach GHS i MKGSS, - radiany na sekundę (oznaczenie rosyjskie: rad/s, międzynarodowe: rad/s) . W technologii stosuje się również obroty na sekundę, znacznie rzadziej - stopnie, minuty, sekundy łuku na sekundę, stopnie na sekundę. Obroty na minutę są często wykorzystywane w technice - wywodzi się to z czasów, gdy prędkość obrotową wolnoobrotowych silników parowych określano po prostu na oko, licząc liczbę obrotów na jednostkę czasu.

    Właściwości

    Wektor prędkości chwilowej dowolnego punktu ciała absolutnie sztywnego obracającego się z prędkością kątową wyznacza się ze wzoru:

    v → = [ ω → , r → ] , (\ Displaystyle (\ vec (v)) = [\ (\ vec (\ omega)), (\ vec (r)) \ ],)

    gdzie jest wektorem promienia do danego punktu od początku znajdującego się na osi obrotu ciała, a nawiasy kwadratowe oznaczają iloczyn wektora. Prędkość liniowa (zgodna z wielkością wektora prędkości) punktu w określonej odległości (promień) r (\ displaystyle r) od osi obrotu można obliczyć w następujący sposób: v = r ω .(\ Displaystyle v = r \ omega.)

    • W przypadku obrotu płaszczyzny, czyli gdy wszystkie wektory prędkości punktów ciała zawsze leżą w tej samej płaszczyźnie („płaszczyźnie obrotu”), prędkość kątowa ciała jest zawsze prostopadła do tej płaszczyzny i faktycznie - jeżeli znana jest płaszczyzna obrotu – można ją zastąpić skalarem – rzutem na oś obrotu, czyli na prostą prostopadłą do płaszczyzny obrotu. W tym przypadku kinematyka obrotu jest znacznie uproszczona. Jednak w ogólnym przypadku prędkość kątowa może zmieniać kierunek w czasie w przestrzeni trójwymiarowej i taki uproszczony obraz nie sprawdza się.
    • Ruch ze stałym wektorem prędkości kątowej nazywany jest ruchem jednostajnym obrotowym (w tym przypadku przyspieszenie kątowe wynosi zero). Obrót jednostajny jest szczególnym przypadkiem obrotu płaskiego.
    • Pochodną prędkości kątowej po czasie jest przyspieszenie kątowe.
    • Prędkość kątowa (rozważana jako wektor swobodny) jest taka sama we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, różniąca się położeniem punktu odniesienia i prędkością jego ruchu, ale porusza się względem siebie równomiernie prostoliniowo i translacyjnie. Jednakże w tych inercjalnych układach odniesienia położenie osi lub środka obrotu tego samego konkretnego ciała w tym samym momencie może się różnić (to znaczy „punkt przyłożenia” prędkości kątowej będzie inny).
    • W przypadku punktu poruszającego się w przestrzeni trójwymiarowej możemy zapisać wyrażenie na prędkość kątową tego punktu względem wybranego początku współrzędnych:
    ω → = r → × v → (r → , r →) , (\ Displaystyle (\ vec (\ omega)) = (\ Frac ({\ vec (r)) \ razy (\ vec (v))) ( ((\vec (r)),(\vec (r))))),) Gdzie r → (\ Displaystyle (\ vec (r)))- wektor promienia punktu (od początku), v → (\ Displaystyle (\ vec (v)))- prędkość tego punktu, r → × v → (\ Displaystyle (\ vec (r)) \ razy (\ vec (v)})- produkt wektorowy, (r → , r →) (\ Displaystyle ({\ vec (r)), (\ vec (r}}}- iloczyn skalarny wektorów. Jednakże wzór ten nie określa jednoznacznie prędkości kątowej (w przypadku pojedynczego punktu można wybrać inne wektory ω → , (\ Displaystyle (\ vec (\ omega)),) nadaje się z definicji, w inny sposób - dowolnie - wybierając kierunek osi obrotu), a dla przypadku ogólnego (kiedy ciało zawiera więcej niż jeden punkt materialny) - wzór ten nie jest prawdziwy dla prędkości kątowej całego ciało (ponieważ daje różne ω → (\ Displaystyle (\ vec (\ omega)}) dla każdego punktu, a gdy ciało absolutnie sztywne się obraca, wektory prędkości kątowej obrotu wszystkich jego punktów pokrywają się). Jednak w przypadku dwuwymiarowym (w przypadku obrotu płaszczyzny) wzór ten jest w zupełności wystarczający, jednoznaczny i poprawny, gdyż w tym konkretnym przypadku kierunek osi obrotu jest wyraźnie jednoznacznie określony.
    • W przypadku jednostajnego ruchu obrotowego (czyli ruchu ze stałym wektorem prędkości kątowej) ciała absolutnie sztywnego, współrzędne kartezjańskie punktów obracającego się w ten sposób ciała sprawiają, że

    Ruch obrotowy wokół stałej osi to kolejny szczególny przypadek ruchu ciała sztywnego.
    Ruch obrotowy ciała sztywnego wokół ustalonej osi nazywa się to takim ruchem, w którym wszystkie punkty ciała opisują okręgi, których środki leżą na tej samej prostej, zwanej osią obrotu, natomiast płaszczyzny, do których należą te okręgi, są prostopadłe oś obrotu (Ryc.2.4).

    W technologii tego typu ruch występuje bardzo często: na przykład obrót wałów silników i generatorów, turbin i śmigieł samolotów.
    Prędkość kątowa . Każdy punkt ciała obracający się wokół osi przechodzącej przez ten punkt O, porusza się po okręgu, a różne punkty poruszają się w czasie różnymi drogami. A zatem moduł prędkości punktowej A więcej niż punkt W (Ryc.2.5). Ale promienie okręgów obracają się w czasie o ten sam kąt. Kąt - kąt pomiędzy osiami OH oraz wektor promienia, który określa położenie punktu A (patrz rys. 2.5).

    Niech ciało obraca się równomiernie, to znaczy obraca się o równe kąty w równych odstępach czasu. Prędkość obrotu ciała zależy od kąta obrotu wektora promienia, który określa położenie jednego z punktów ciała sztywnego w danym okresie czasu; to się charakteryzuje prędkość kątowa . Na przykład, jeśli jedno ciało obraca się o kąt co sekundę, a drugie o kąt, to mówimy, że pierwsze ciało obraca się 2 razy szybciej niż drugie.
    Prędkość kątowa ciała podczas obrotu jednostajnego jest wielkością równą stosunkowi kąta obrotu ciała do okresu czasu, w którym ten obrót nastąpił.
    Prędkość kątową będziemy oznaczać literą grecką ω (omega). Wtedy z definicji

    Prędkość kątowa wyrażana jest w radianach na sekundę (rad/s).
    Na przykład prędkość kątowa obrotu Ziemi wokół własnej osi wynosi 0,0000727 rad/s, a prędkości tarczy szlifierskiej około 140 rad/s 1 .
    Prędkość kątową można wyrazić poprzez prędkość obrotowa , czyli liczba pełnych obrotów w ciągu 1s. Jeśli ciało wykonuje obroty (grecka litera „nu”) w ciągu 1 s, to czas jednego obrotu jest równy sekundom. Ten czas to tzw okres rotacji i oznaczone literą T. Zatem związek między częstotliwością a okresem rotacji można przedstawić jako:

    Pełny obrót ciała odpowiada kątowi. Zatem zgodnie ze wzorem (2.1)

    Jeżeli podczas obrotu jednostajnego znana jest prędkość kątowa i w początkowym momencie czasu kąt obrotu wynosi , to kąt obrotu ciała w czasie T zgodnie z równaniem (2.1) jest równe:

    Jeśli , to lub .
    Prędkość kątowa przyjmuje wartości dodatnie, jeżeli kąt pomiędzy wektorem promienia, który określa położenie jednego z punktów bryły sztywnej, a osią OH wzrasta, a ujemna, gdy maleje.
    W ten sposób możemy w dowolnym momencie opisać położenie punktów obracającego się ciała.
    Zależność prędkości liniowej i kątowej. Często nazywa się prędkością punktu poruszającego się po okręgu prędkość liniowa , aby podkreślić różnicę w stosunku do prędkości kątowej.
    Zauważyliśmy już, że gdy ciało sztywne obraca się, jego różne punkty mają nierówne prędkości liniowe, ale prędkość kątowa jest taka sama dla wszystkich punktów.
    Istnieje związek pomiędzy prędkością liniową dowolnego punktu obracającego się ciała a jego prędkością kątową. Zainstalujmy to. Punkt leżący na okręgu o promieniu R, pokona tę odległość w jednym obrocie. Ponieważ czas jednego obrotu ciała to okres T, wówczas moduł prędkości liniowej punktu można znaleźć w następujący sposób:

    Ponieważ prędkość liniowa równomiernie zmienia kierunek, ruchu po okręgu nie można nazwać ruchem jednostajnym, jest on równomiernie przyspieszany.

    Prędkość kątowa

    Wybierzmy punkt na okręgu 1 . Zbudujmy promień. W jednostce czasu punkt przesunie się do punktu 2 . W tym przypadku promień opisuje kąt. Prędkość kątowa jest liczbowo równa kątowi obrotu promienia w jednostce czasu.

    Okres i częstotliwość

    Okres rotacji T- to czas, w którym organizm dokonuje jednego obrotu.

    Częstotliwość obrotów to liczba obrotów na sekundę.

    Częstotliwość i okres są ze sobą powiązane zależnością

    Związek z prędkością kątową

    Prędkość liniowa

    Każdy punkt na okręgu porusza się z określoną prędkością. Prędkość ta nazywana jest liniową. Kierunek wektora prędkości liniowej zawsze pokrywa się ze styczną do okręgu. Na przykład iskry spod szlifierki poruszają się, powtarzając kierunek prędkości chwilowej.


    Rozważmy punkt na okręgu, który wykonuje jeden obrót, czas spędzony na tym okręgu to okres T. Droga, którą przebywa punkt, to obwód.

    Przyspieszenie dośrodkowe

    Podczas poruszania się po okręgu wektor przyspieszenia jest zawsze prostopadły do ​​wektora prędkości i skierowany w stronę środka okręgu.

    Korzystając z poprzednich wzorów, możemy wyprowadzić następujące zależności


    Punkty leżące na tej samej linii prostej wychodzącej ze środka okręgu (na przykład mogą to być punkty leżące na szprychach koła) będą miały te same prędkości kątowe, okres i częstotliwość. Oznacza to, że będą się obracać w ten sam sposób, ale z różnymi prędkościami liniowymi. Im dalej punkt znajduje się od środka, tym szybciej się porusza.

    Prawo dodawania prędkości obowiązuje także w przypadku ruchu obrotowego. Jeżeli ruch ciała lub układu odniesienia nie jest równomierny, to prawo stosuje się do prędkości chwilowych. Przykładowo prędkość człowieka idącego krawędzią obracającej się karuzeli jest równa sumie wektorowej liniowej prędkości obrotu krawędzi karuzeli i prędkości człowieka.

    Ziemia uczestniczy w dwóch głównych ruchach obrotowych: dobowym (wokół własnej osi) i orbitalnym (wokół Słońca). Okres obrotu Ziemi wokół Słońca wynosi 1 rok lub 365 dni. Ziemia obraca się wokół własnej osi z zachodu na wschód, okres tego obrotu wynosi 1 dzień lub 24 godziny. Szerokość geograficzna to kąt między płaszczyzną równika a kierunkiem od środka Ziemi do punktu na jej powierzchni.

    Zgodnie z drugim prawem Newtona przyczyną przyspieszenia jest siła. Jeśli poruszające się ciało doświadcza przyspieszenia dośrodkowego, wówczas charakter sił powodujących to przyspieszenie może być inny. Na przykład, jeśli ciało porusza się po okręgu na przywiązanej do niego linie, wówczas działającą siłą jest siła sprężystości.

    Jeśli ciało leżące na dysku obraca się wraz z dyskiem wokół własnej osi, to taka siła jest siłą tarcia. Jeśli siła przestanie działać, ciało będzie nadal poruszać się po linii prostej

    Rozważmy ruch punktu na okręgu z A do B. Prędkość liniowa jest równa w A I przeciwko B odpowiednio. Przyspieszenie to zmiana prędkości w jednostce czasu. Znajdźmy różnicę między wektorami.