1 Dodatkowa konstrukcja prowadząca do twierdzenia o linia środkowa trójkąt, trapez i podobieństwo trójkątów.
I ona równy połowie przeciwprostokątnej.
Wniosek 1.
Konsekwencja 2.
Z tego wynika, że 
1 Wszystkie trójkąty prostokątne o tym samym kącie ostrym są podobne. Spojrzenie na funkcje trygonometryczne.
Trójkąty z kreskowanymi i niezakresowanymi bokami są podobne, ponieważ ich dwa kąty są równe. Dlatego gdzie
Oznacza to, że wskazane zależności zależą jedynie od kąta ostrego trójkąta prostokątnego i zasadniczo go determinują. Jest to jeden z powodów pojawienia się funkcje trygonometryczne:
Często zapisywanie funkcji trygonometrycznych kątów w podobnych trójkątach prostokątnych jest wyraźniejsze niż zapisywanie relacji podobieństwa!
2 Przykładem dodatkowej konstrukcji jest wysokość obniżona do przeciwprostokątnej. Wyprowadzenie twierdzenia Pitagorasa na podstawie podobieństwa trójkątów.
Obniżmy wysokość CH do przeciwprostokątnej AB. Mamy trzy podobne trójkąt ABC, AHC i CHB. Zapiszmy wyrażenia dla funkcji trygonometrycznych:
Z tego wynika, że . Sumując, otrzymujemy twierdzenie Pitagorasa, ponieważ:
Kolejny dowód twierdzenia Pitagorasa można znaleźć w komentarzu do Zadania 4.
3 Ważnym przykładem dodatkowej konstrukcji jest konstrukcja kąta równego jednemu z kątów trójkąta.
Wykonujemy od góry prosty kąt odcinek prosty tworzący kąt z ramieniem CA równy kątowi CAB danego trójkąta prostokątnego ABC. W rezultacie otrzymujemy trójkąt równoramienny ACM z kątami przy podstawie. Ale drugi trójkąt wynikający z tej konstrukcji będzie również równoramienny, ponieważ każdy z jego kątów u podstawy jest równy (ze względu na właściwość kątów trójkąta prostokątnego i konstrukcję - kąt został „odjęty” od kąta prostego). Z uwagi na to, że trójkąty BMC i AMC są równoramienne o wspólnym boku MC, mamy równość MB=MA=MC, tj. MC środkowa poprowadzona do przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, i ona równy połowie przeciwprostokątnej.
Wniosek 1.Środek przeciwprostokątnej jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie, ponieważ okazuje się, że środek przeciwprostokątnej jest w równej odległości od wierzchołków trójkąta prostokątnego.
Konsekwencja 2.Środkowa linia trójkąta prostokątnego, łącząca środek przeciwprostokątnej i środek nogi, jest równoległa do przeciwnej nogi i równa się jej połowie.
W trójkątach równoramiennych BMC i AMC obniżmy wysokości MH i MG do podstaw. Od w Trójkąt równoramienny, wysokość obniżona do podstawy jest również medianą (i dwusieczną), wówczas MH i MG są liniami trójkąta prostokątnego łączącego środek przeciwprostokątnej ze środkami nóg. Z konstrukcji okazują się równoległe do przeciwległych nóg i równe ich połówkom, ponieważ trójkąty są równe MHC i MGC są równe (a MHCG jest prostokątem). Wynik ten jest podstawą dowodu twierdzenia o linii środkowej dowolnego trójkąta i dalej linii środkowej trapezu oraz własności proporcjonalności odcinków odciętych równoległymi liniami na dwóch przecinających je prostych.
Zadania
Korzystanie z właściwości podobieństwa -1
Korzystanie z podstawowych właściwości - 2
Korzystanie z dodatkowej formacji 3-4
1 2 3 4
Wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego trójkąta prostokątnego jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z długości odcinków, na które dzieli przeciwprostokątną.
Rozwiązanie wydaje się oczywiste, jeśli znamy wyprowadzenie twierdzenia Pitagorasa z podobieństwa trójkątów:
\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
skąd \(h^2=c_1c_2\).
Znajdź miejsce punktów (GMT) przecięcia środkowych wszystkich możliwych trójkątów prostokątnych, których przeciwprostokątna AB jest stała.
Punkt przecięcia środkowych dowolnego trójkąta odcina jedną trzecią środkowej, licząc od punktu jej przecięcia z odpowiednim bokiem. W trójkąt prostokątny Mediana narysowana pod kątem prostym jest równa połowie przeciwprostokątnej. Dlatego pożądany GMT to okrąg o promieniu równym 1/6 długości przeciwprostokątnej, ze środkiem pośrodku tej (stałej) przeciwprostokątnej.
Temat lekcji
Środkowa linia trójkąta
Cele Lekcji
Utrwalenie wiedzy uczniów na temat trójkątów;
Zapoznanie uczniów z pojęciem linii środkowej trójkąta;
Poszerzenie wiedzy uczniów na temat własności trójkątów;
Kontynuuj nauczanie dzieci, jak wykorzystywać właściwości kształtów podczas rozwiązywania problemów;
Rozwijać logiczne myślenie, wytrwałość i uwaga uczniów.
Cele Lekcji
Kształtowanie wiedzy uczniów na temat linii środkowej trójkątów;
Sprawdź wiedzę uczniów na tematy związane z trójkątami;
Sprawdź umiejętności uczniów w rozwiązywaniu problemów.
Rozwijanie zainteresowań uczniów nauki ścisłe;
Kontynuuj rozwijanie umiejętności uczniów w zakresie wyrażania swoich myśli i opanowania języka matematycznego;
Plan lekcji
1. Środkowa linia trójkąta. Podstawowe koncepcje.
2. Linia środkowa trójkąta, twierdzenia i własności.
3. Powtórzenie wcześniej przestudiowanego materiału.
4. Główne linie trójkąta i ich właściwości.
5. Interesujące fakty z zakresu matematyki.
6. Praca domowa.
Środkowa linia trójkąta
Linia środkowa trójkąta to odcinek łączący środki dwóch boków danego trójkąta.
Każdy trójkąt ma trzy środkowe linie, które tworzą kolejny nowy trójkąt znajdujący się wewnątrz.
Wierzchołki nowo utworzonego trójkąta znajdują się w środkach boków tego trójkąta.
W każdym trójkącie można narysować trzy linie środkowe.
Przyjrzyjmy się teraz bliżej temu tematowi. Spójrz na wzór trójkąta powyżej. Przed tobą znajduje się trójkąt ABC, na którym rysujesz środkowe linie. Odcinki MN, MP i NP tworzą wewnątrz tego trójkąta kolejny trójkąt MNP.
Właściwości linii środkowej trójkąta
Każda linia środkowa trójkąta łącząca środki jego boków ma następujące właściwości:
1. Linia środkowa trójkąta jest równoległa do jego trzeciego boku i równa jego połowie.
Zatem widzimy, że bok AC jest równoległy do MN, który jest o połowę mniejszy od boku AC.
2. Linie środkowe trójkąta dzielą go na cztery równy trójkąt.
Jeśli spojrzymy na trójkąt ABC, zobaczymy, że środkowe linie MN, MP i NP podzieliły go na cztery równe trójkąty, w wyniku czego powstały trójkąty MBN, PMN, NCP i AMP.
3. Linia środkowa trójkąta odcina od danego trójkąta podobny, którego pole jest równe jednej czwartej pierwotnego trójkąta.
Na przykład w trójkącie ABC linia środkowa MP odcina się od tego trójkąta, tworząc trójkąt AMP, którego powierzchnia jest równa jednej czwartej trójkąt ABC.
Trójkąty
Na poprzednich zajęciach zapoznałeś się już z taką figurą geometryczną jak trójkąt i wiesz, jakie są rodzaje trójkątów, czym się różnią i jakie mają właściwości.
Trójkąt jest jednym z najprostszych figury geometryczne, które mają trzy boki, trzy kąty, a ich obszar jest ograniczony przez trzy punkty i trzy odcinki łączące te punkty parami.
Teraz pamiętamy definicję trójkąta, a teraz powtórzmy wszystko, co wiesz o tej figurze, odpowiadając na pytania:
4. Jakie rodzaje trójkątów już studiowałeś? Wymień je.
5. Zdefiniuj każdy rodzaj trójkąta.
6. Jakie jest pole trójkąta?
7. Jaka jest suma kątów tej figury geometrycznej?
8. Jakie znasz rodzaje trójkątów? Nazwij je.
9. Jakie znasz trójkąty ze względu na rodzaj równych boków?
10. Zdefiniuj przeciwprostokątną.
11. Ile ostre rogi może w trójkącie?
Podstawowe linie trójkąta
Główne linie trójkąta to: środkowa, dwusieczna, wysokość i środkowa prostopadła.
Mediana
Mediana trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku trójkąta.
Własności środkowych trójkątów
1. Dzieli trójkąt na dwa inne, o równej powierzchni;
2. Wszystkie środkowe danej figury przecinają się w jednym punkcie. Punkt ten dzieli je w stosunku dwa do jednego, zaczynając od wierzchołka i nazywany jest środkiem ciężkości trójkąta;
3. Mediany dzielą dany trójkąt na sześć równych.
Dwusieczna
Promień wychodzący z wierzchołka i przechodząc między bokami kąta dzieli go na pół, nazywa się dwusieczną tego kąta.
A jeśli odcinek dwusiecznej kąta łączy jego wierzchołek z punktem leżącym po przeciwnej stronie trójkąta, wówczas nazywa się to dwusieczną trójkąta.
Własności dwusiecznych trójkąta
1. Dwusieczna kąta to zbiór punktów w jednakowej odległości od boków danego kąta.
2. Dwusieczna kąta wewnętrznego trójkąta dzieli przeciwny bok na odcinki proporcjonalne do sąsiednich boków trójkąta.
3. Środek okręgu wpisanego w trójkąt jest punktem przecięcia dwusiecznych tej figury.
Wysokość
Prostopadła poprowadzona z wierzchołka figury do linii prostej, która jest przeciwną stroną trójkąta, nazywa się jej wysokością.
Własności wysokości trójkątów
1. Wysokość narysowana z wierzchołka kąta prostego dzieli trójkąt na dwa podobne.
2. Jeżeli trójkąt jest ostry, to jego dwie wysokości odcinają się od danego trójkąta.
Mediana prostopadła
Prostopadła środkowa trójkąta to linia przechodząca przez środek odcinka prostopadłego do tego odcinka.
Nieruchomości dwusieczne prostopadłe trójkąt
1. Dowolny punkt dwusiecznej prostopadłej do odcinka jest w równej odległości od jego końców. W tym przypadku prawdziwe będzie również stwierdzenie odwrotne.
2. Punkt przecięcia dwusiecznych prostopadłych poprowadzonych do boków trójkąta jest środkiem okręgu opisanego wokół tego trójkąta.
Ciekawe fakty z dziedziny matematyki
Czy byłaby dla Ciebie nowością informacja, że chcieli wysłać François Vietę na stos za rozszyfrowanie tajnej korespondencji hiszpańskiego rządu, ponieważ wierzyli, że tylko diabeł może poznać szyfr, a człowiek nie może tego zrobić.
Czy wiesz, że pierwszą osobą, która zaproponowała numerację krzeseł, rzędów i siedzeń był Rene Descartes? Arystokraci teatralni prosili nawet króla Francji o przyznanie za to nagrody Kartezjuszowi, ale król niestety odmówił, uważając, że wręczanie nagród filozofowi jest poniżej jego godności.
Ze względu na uczniów, którzy potrafili zapamiętać twierdzenie Pitagorasa, ale nie byli w stanie go zrozumieć, twierdzenie to nazwano „mostem osła”. Oznaczało to, że uczeń był „osłem”, który nie mógł przejść przez most. W tym przypadku za most uznano twierdzenie Pitagorasa.
Pisarze i gawędziarze poświęcali swoje dzieła nie tylko mitycznym bohaterom, ludziom i zwierzętom, ale także symbolom matematycznym. Na przykład autor słynnego „Czerwonego Kapturka” napisał bajkę o miłości kompasu i władcy.
Praca domowa
1. Przed tobą pokazano trzy trójkąty, odpowiedz, czy linie narysowane w trójkątach są średnie?
2. Ile linii środkowych można zbudować w jednym trójkącie?
3. Biorąc pod uwagę trójkąt ABC. Znajdź boki trójkąta ABC, jeśli jego osie środkowe mają wymiary: OF = 5,5 cm, FN = 8 cm, ON = 7 cm.
Linia środkowa trapezu, a zwłaszcza jego właściwości, są bardzo często wykorzystywane w geometrii do rozwiązywania problemów i dowodzenia niektórych twierdzeń.
jest czworokątem, który ma tylko 2 boki równoległe do siebie. Równoległe boki nazywane są podstawami (na rysunku 1 - OGŁOSZENIE I PNE.), pozostałe dwa są boczne (na rysunku AB I płyta CD).
Linia środkowa trapezu jest odcinkiem łączącym środki jego boków (na rysunku 1 - KL).
Właściwości linii środkowej trapezu
Dowód twierdzenia o linii środkowej trapezu
Udowodnićże linia środkowa trapezu jest równa połowie sumy jego podstaw i jest do nich równoległa.
Biorąc pod uwagę trapez ABCD z linią środkową KL. Aby udowodnić rozważane właściwości, konieczne jest narysowanie linii prostej przez punkty B I L. Na rysunku 2 jest to linia prosta BQ. A także kontynuuj fundament OGŁOSZENIE do przecięcia z linią BQ.
Rozważ powstałe trójkąty L.B.C. I LQD:
- Z definicji linii środkowej KL kropka L jest środkiem odcinka płyta CD. Wynika z tego, że segmenty C.L. I LD są równe.
- ∠BLC = ∠QLD, ponieważ te kąty są pionowe.
- ∠BCL = ∠LDQ, ponieważ kąty te leżą poprzecznie na liniach równoległych OGŁOSZENIE I PNE. i sieczna płyta CD.
Z tych 3 równości wynika, że rozważane wcześniej trójkąty L.B.C. I LQD równe z 1 strony i dwóch sąsiednich kątów (patrz ryc. 3). Stąd, ∠LBC = ∠ LQD, BC=DQ i najważniejsze - BL=LQ => KL, czyli linia środkowa trapezu ABCD, jest także linią środkową trójkąta ABQ. Zgodnie z właściwością linii środkowej trójkąta ABQ dostajemy.
W rozwiązywaniu problemów planimetrycznych oprócz boków i kątów figury często biorą udział inne wielkości - środkowe, wysokości, przekątne, dwusieczne i inne. Należą do nich linia środkowa.
Jeśli pierwotny wielokąt jest trapezem, jaka jest jego linia środkowa? Odcinek ten jest częścią linii prostej, która przecina boki figury w środku i jest umieszczona równolegle do pozostałych dwóch boków - podstaw.
Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez linię środka i podstawy
Jeśli znane są wartości górnej i dolnej podstawy, wyrażenie pomoże obliczyć niewiadomą:
a, b – podstawy, l – linia środkowa.
Jak znaleźć linię środkową trapezu przechodzącego przez obszar
Jeśli dane źródłowe zawierają obszar figury, to za pomocą tej wartości można również obliczyć długość linii pośrodku trapezu. Skorzystajmy ze wzoru S = (a+b)/2*h,
S – powierzchnia,
h – wysokość,
a, b – zasady.
Ale ponieważ l = (a+b)/2, to S = l*h, co oznacza l=S/h.
Jak znaleźć linię środkową trapezu poprzez podstawę i jej kąty
Biorąc pod uwagę długość większej podstawy figury, jej wysokość, a także znaną środki stopnia kąty, wyrażenie na znalezienie linii środka trapezu będzie miało następującą postać:
l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2, podczas gdy
l jest pożądaną wartością,
a – większa podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
Jeśli znana jest wartość mniejszej podstawy (biorąc pod uwagę te same inne dane), w wyznaczeniu linii środkowej pomoże poniższa zależność:
l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,
l jest pożądaną wartością,
b – mniejsza podstawa,
α, β to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
Znajdź linię środkową trapezu, korzystając z wysokości, przekątnych i kątów
Rozważmy sytuację, w której warunki problemowe obejmują wartości przekątnych figury, kąty, jakie tworzą przy przecinaniu się, a także wysokość. Linię środkową można obliczyć za pomocą następujących wyrażeń:
l=(d1*d2)/2h*sinγ lub l=(d1*d2)/2h*sinφ,
l – linia środkowa,
d1, d2 – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.
Jak znaleźć linię środkową trapezu Dla figury równoramiennej
Jeżeli figurą podstawową jest trapez równoramienny, powyższe wzory będą miały następującą postać.
- Jeśli obecne są wartości podstaw trapezu, w wyrażeniu nie nastąpią żadne zmiany.
l = (a+b)/2, a, b – podstawy, l – linia środkowa.
- Jeżeli znana jest wysokość, podstawa i sąsiadujące z nią kąty, to:
l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,
l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
α to kąty przy nim,
h – wysokość figury.
- Jeśli znany jest boczny bok trapezu i jedna z podstaw, to żądaną wartość można określić, odwołując się do wyrażenia:
l=a-√(c*c-h*h),
l=b+√(c*c-h*h),
l – linia środkowa,
a, b – zasady (b< a),
h – wysokość figury.
- Przy znanych wartościach wysokości, przekątnych (a są one sobie równe) i kątów powstałych w wyniku ich przecięcia, linię środkową można znaleźć w następujący sposób:
l=(d*d)/2h*sinγ lub l=(d*d)/2h*sinφ,
l – linia środkowa,
d – przekątne,
φ, γ – kąty między nimi,
h – wysokość figury.
- Znane jest pole i wysokość figury, wówczas:
l=S/h,
S – powierzchnia,
h – wysokość.
- Jeżeli wysokość prostopadła nie jest znana, można ją wyznaczyć korzystając z definicji funkcji trygonometrycznej.
h=c*sinα, zatem
l=S/c*sinα,
l – linia środkowa,
S – powierzchnia,
c – bok,
α jest kątem przy podstawie.
Ciekawym charakterystycznym odcinkiem jest linia środkowa trójkąta, ponieważ posiada kilka właściwości, które pozwalają znaleźć proste rozwiązanie pozornie trudne zadanie. Dlatego przyjrzyjmy się podstawowym właściwościom linii środkowej i porozmawiajmy o tym, jak znaleźć długość tego odcinka w trójkącie.
Trójkąt i jego charakterystyczne odcinki
Trójkąt to figura składająca się z trzech boków i trzech kątów. Ze względu na kąty trójkąty dzielą się na:
- Ostry kąt
- Rozwarty
- Prostokątny
Ryż. 1. Rodzaje trójkątów
Główne charakterystyczne segmenty trójkąta to:
- Mediana– odcinek łączący wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku.
- Dwusieczna- odcinek dzielący kąt na pół
- Wysokość- prostopadłość spuszczona z wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę.
Ryż. 2. Wysokość, mediana i dwusieczna w trójkącie
Dla każdego z charakterystycznych odcinków istnieje własny punkt przecięcia. Łącząc trzy punkty przecięcia środkowych, dwusiecznych i wysokości, otrzymujemy złoty podział trójkąt.
Istnieje jednak szereg dodatkowych segmentów charakteryzujących:
- Dwusieczna prostopadła- wysokość przywrócona od środka wysokości. Z reguły dwusieczna prostopadła trwa, dopóki nie przetnie się z drugą stroną.
- Środkowa linia- odcinek łączący środki sąsiednich boków.
- Promień okręgu wpisanego. Okrąg wpisany to okrąg, który styka się z każdym bokiem trójkąta.
- Promień okręgu opisanego. Okrąg opisany to okrąg zawierający wszystkie boki trójkąta.
Sąsiednie boki trójkątów to boki, które mają wspólny wierzchołek. W geometrii istnieje pojęcie przeciwnych stron, tj. boki leżące naprzeciw siebie i nie mające wspólnych wierzchołków. Ale ta koncepcja nie dotyczy trójkątów - dowolna para boków w trójkącie sąsiaduje ze sobą.
Własność linii środkowej
Nie ma wielu właściwości linii środkowej, ale wszystkie są ważne przy rozwiązywaniu problemów. Faktem jest, że znalezienie długości linii środkowej jest niewiele problemów, dlatego niektóre z nich, pomimo swojej prostoty, potrafią oszołomić ucznia.
Dlatego przedstawiamy i omawiamy wszystkie właściwości linii środkowej trójkąta:
- Linia środkowa jest równa połowie podstawy. Ogólnie rzecz biorąc, bardziej poprawne jest powiedzenie nie połowy podstawy, ale połowy przeciwnej strony. Ponieważ w trójkącie są 3 boki, ale tylko jedna podstawa. Ale w ogólnym przypadku dowolny z boków trójkąta można uznać za podstawę, dlatego takie sformułowanie uważa się za dopuszczalne. Poza tym łatwiej się go nauczyć. Ogólnie rzecz biorąc, ta właściwość służy do określania długości linii środkowej trójkąta.
- Linia środkowa jest równoległa do podstawy. Sytuacja z koncepcją fundamentu jest taka sama jak w poprzedniej nieruchomości.
- Środkowa linia odcina od trójkąta mały podobny trójkąt o współczynniku podobieństwa równym 0,5
- Trzy środkowe linie dzielą trójkąt na 4 równe trójkąty, podobne duży trójkąt ze współczynnikiem podobieństwa 0,5
Ryż. 3. Linie środkowe w trójkącie
Właściwie wzór na długość linii środkowej wynika z drugiej właściwości:
$m=1\over(2)*a$- gdzie m jest linią środkową, a jest stroną przeciwną do linii środkowej.
Czego się nauczyliśmy?
Mówiliśmy o wtórnych segmentach charakteryzujących, podkreślając linię środkową. Podaliśmy właściwości linii środkowych i rozmawialiśmy o osobliwościach formułowania tych właściwości. Wyjaśnili, w jaki sposób wyprowadza się wzór na długość linii środkowej trójkąta i w jaki sposób linia środkowa dzieli trójkąt. Wszystkie te właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu trójkątów.
Testuj w temacie
Ocena artykułu
Średnia ocena: 4.3. Łączna liczba otrzymanych ocen: 174.
