Znając jedną z nóg w trójkącie prostokątnym, możesz znaleźć drugą nogę i przeciwprostokątną, korzystając ze stosunków trygonometrycznych - sinusa i tangensa znanego kąta. Ponieważ stosunek nogi przeciwnej do kąta do przeciwprostokątnej jest równy sinusowi tego kąta, dlatego aby znaleźć przeciwprostokątną, należy podzielić nogę przez sinus kąta. a/c=sin⁡α c=a/sin⁡α

Drugą nogę można znaleźć na podstawie stycznej znanego kąta, jako stosunek znanej nogi do stycznej. a/b=tan⁡α b=a/tan⁡α

Aby obliczyć nieznany kąt w trójkącie prostokątnym, należy odjąć wartość kąta α od 90 stopni. β=90°-α

Obwód i powierzchnia trójkąt prostokątny przez nogę i kąt przeciwny do niej można wyrazić, zastępując we wzorach otrzymane wcześniej wyrażenia na drugą nogę i przeciwprostokątną. P=a+b+c=a+a/tan⁡α +a/sin⁡α =a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α+a tan⁡α S=ab/2=a^2/( 2 brązowe⁡α)

Wysokość można również obliczyć za pomocą stosunków trygonometrycznych, ale w wewnętrznym trójkącie prostokątnym o boku a, który on tworzy. Aby to zrobić, należy pomnożyć bok a jako przeciwprostokątną takiego trójkąta przez sinus kąta β lub cosinus α, ponieważ zgodnie z tożsamościami trygonometrycznymi są one równoważne. (Rys. 79.2) h=a cos⁡α

Mediana przeciwprostokątnej jest równa połowie przeciwprostokątnej lub znanej nogi a podzielonej przez dwa sinusy α. Aby znaleźć środkowe nogi, redukujemy wzory do odpowiedniej formy dla znanych boków i kątów. (Rys.79.3) m_с=c/2=a/(2 sin⁡α) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2⁡α)/2=(a√(4 tan^2⁡ α+1))/(2 tan⁡α) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2⁡α +a^2/sin ^2⁡α)/2=√((3a^2 sin^2⁡α+a^2 tan^2⁡α)/(tan^2⁡α sin^2⁡α))/2=(a√( 3 sin^2⁡α+tan^2⁡α))/(2 tan⁡α sin⁡α)

Od dwusiecznej prosty kąt w trójkącie jest iloczyn dwóch boków i pierwiastek z dwóch, podzielony przez sumę tych boków, następnie zastępując jedną z nóg stosunkiem znanej nogi do stycznej, otrzymujemy następujące wyrażenie. Podobnie, podstawiając stosunek do drugiego i trzeciego wzoru, możesz obliczyć dwusieczne kątów α i β. (Rys.79.4) l_с=(a a/tan⁡α √2)/(a+a/tan⁡α)=(a^2 √2)/(a tan⁡α+a)=(a√2)/ (tan⁡α+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tan⁡α √(2c (a/tan⁡α +c)))/(a/tan⁡α +c)=(a√(2c(a/tan⁡α +c)))/(a+c tan⁡α) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a /sin⁡α)))/(a+a/sin⁡α)=(a sin⁡α √(2c(a+a/sin⁡α)))/(a sin⁡α+a)

Linia środkowa biegnie równolegle do jednego z boków trójkąta, tworząc jednocześnie inny podobny trójkąt prostokątny o tych samych kątach, w którym wszystkie boki są o połowę mniejsze od pierwotnego. Na tej podstawie linie środkowe można znaleźć za pomocą następujących wzorów, znając tylko nogę i kąt leżący naprzeciwko niej. (Rys.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tan⁡α) M_c=c/2=a/(2 sin⁡α)

Promień okręgu wpisanego jest równy różnicy między nogami a przeciwprostokątną podzielonej przez dwa, a aby znaleźć promień okręgu wpisanego, musisz podzielić przeciwprostokątną przez dwa. Zastępujemy drugą nogę i przeciwprostokątną stosunkiem nogi a do odpowiednio sinusa i stycznej. (Rys. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tan⁡α -a/sin⁡α)/2=(a tan⁡α sin⁡α+a sin⁡α-a tan⁡α)/(2 tan⁡α sin⁡α) R=c/2=a/2sin⁡α

Co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta, pomoże ci zrozumieć trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok \(AC\)); nogami są dwa pozostałe boki \(AB\) i \(BC\) (te sąsiadujące z kątem prostym), a jeśli rozważymy nogi w odniesieniu do kąta \(BC\), to noga \(AB\) wynosi sąsiednia noga, a noga \(BC\) jest przeciwna. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta– jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangens kąta– jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).

W naszym trójkącie:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotansa kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).

W naszym trójkącie:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;

Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta \(\beta \) . Z definicji z trójkąta \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale możemy obliczyć cosinus kąta \(\beta \) z trójkąta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!

Dla trójkąta \(ABC \) pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta \(\beta \) .

Odpowiedzi: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym \(1\) . Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.

Jak widać, okrąg ten jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, podczas gdy środek okręgu leży w początku współrzędnych, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\) (w naszym przykładzie jest to jest promieniem \(AB\)).

Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej na osi \(x\) i współrzędnej na osi \(y\). Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt \(ACG\) . Jest prostokątny, ponieważ \(CG\) jest prostopadły do ​​osi \(x\).

Co oznacza \(\cos \alfa \) z trójkąta \(ACG \)? Zgadza się \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ponadto wiemy, że \(AC\) jest promieniem okrąg jednostkowy, co oznacza \(AC=1\) . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ile wynosi \(\sin \ \alpha \) z trójkąta \(ACG \)? Ależ oczywiście, \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Podstaw wartość promienia \(AC\) do tego wzoru i otrzymaj:

\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt \(C\) należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie sprawę, że \(\cos \alpha \) i \(\sin \alpha \) to tylko liczby? Jakiej współrzędnej odpowiada \(\cos \alpha \)? Cóż, oczywiście, współrzędna \(x\)! A jakim współrzędnym odpowiada \(\sin \alpha \)? Zgadza się, współrzędne \(y\)! A więc o co chodzi \(C(x;y)=C(\cos \alfa ;\sin \alfa) \).

Czym zatem są \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) równe? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i zdobądźmy to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kąt (w sąsiedztwie kąta \(\beta \) ). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dla kąta? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kąt ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kąt ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tablica) \)

Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej \(y\) ; wartość cosinusa kąta - współrzędna \(x\) ; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą zatem dowolnego obrotu wektora promienia.

Wspomnieliśmy już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\). Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara – negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi \(360()^\circ \) lub \(2\pi \) . Czy można obrócić wektor promienia o \(390()^\circ \) lub o \(-1140()^\circ \)? Oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), zatem wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji \(30()^\circ \) lub \(\dfrac(\pi )(6) \) .

W drugim przypadku \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znaczy wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji \(-60()^\circ \) lub \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o \(360()^\circ \cdot m \) lub \(2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą ), odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt \(\beta =-60()^\circ \) . Ten sam obraz odpowiada narożnikowi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru \(\beta +360()^\circ \cdot m\) lub \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tablica) \)

Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \ \pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:

Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(tablica)\)

Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: róg do środka \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odpowiada punktowi o współrzędnych \(\left(0;1 \right) \) , zatem:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nie istnieje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalej, kierując się tą samą logiką, dowiadujemy się, że rogi w \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odpowiadają punktom o współrzędnych \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \prawo) \) odpowiednio. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

\(\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\(\ Displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nie istnieje

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nie istnieje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:

Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Musisz o tym pamiętać lub potrafić to wyświetlić!! \) !}

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) podane w poniższej tabeli, należy pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość prostego zapamiętywania odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusów dla wszystkich trzech miar kąta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), a także wartość tangensa kąta w \(30()^\circ \) . Znając te \(4\) wartości odtworzenie całej tabeli jest dość proste - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tablica) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Licznik „\(1 \)” będzie odpowiadał \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a mianownik „\(\sqrt(\text(3)) \)” będzie odpowiadał \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać tylko \(4\) wartości z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu? Oczywiście, że możesz! Wyprowadźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu. Na przykład oto okrąg przed nami:

Dano nam ten punkt \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- środek okręgu. Promień okręgu wynosi \(1,5\) . Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu \(P\) uzyskanych przez obrót punktu \(O\) o \(\delta \) stopni.

Jak widać z rysunku, współrzędna \(x\) punktu \(P\) odpowiada długości odcinka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Długość odcinka \(UK\) odpowiada współrzędnej \(x\) środka okręgu, czyli jest równa \(3\) . Długość odcinka \(KQ\) można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Następnie mamy to dla punktu \(P\) współrzędnej \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Stosując tę ​​samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu \(P\) . Zatem,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów określają wzory:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tablica) \), Gdzie

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - współrzędne środka okręgu,

\(r\) - promień okręgu,

\(\delta \) - kąt obrotu promienia wektora.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \ \delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!

Rozpoczniemy naukę trygonometrii od trójkąta prostokątnego. Zdefiniujmy, czym są sinus i cosinus, a także tangens i cotangens kąt ostry. To są podstawy trygonometrii.

Przypomnijmy to prosty kąt jest kątem równym . Innymi słowy, pół obrotu.

Ostry róg- mniejszy.

Kąt rozwarty - większy. W odniesieniu do takiego kąta „tępy” nie jest obelgą, ale terminem matematycznym :-)

Narysujmy trójkąt prostokątny. Kąt prosty jest zwykle oznaczany przez . Należy pamiętać, że strona przeciwna do rogu jest oznaczona tą samą literą, tylko małą. Tak więc wyznaczana jest strona leżąca naprzeciwko kąta.

Kąt jest oznaczony odpowiednią literą grecką.

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to bok leżący naprzeciw kąta prostego.

Nogi- boki leżące naprzeciw kątów ostrych.

Nazywa się nogę leżącą naprzeciwko kąta naprzeciwko(w odniesieniu do kąta). Nazywa się drugą nogę, która leży po jednej stronie kąta przylegający.

Zatoka Kąt ostry w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwprostokątnej do przeciwprostokątnej:

Cosinus kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej:

Tangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek przeciwnej strony do sąsiedniej:

Inna (równoważna) definicja: tangens kąta ostrego to stosunek sinusa kąta do jego cosinusa:

Cotangens kąt ostry w trójkącie prostokątnym - stosunek sąsiedniego boku do przeciwnego (lub, co jest takie samo, stosunek cosinusa do sinusa):

Zwróć uwagę na podstawowe zależności dla sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa poniżej. Przydadzą się nam przy rozwiązywaniu problemów.

Udowodnijmy niektóre z nich.

1. Suma kątów dowolnego trójkąta jest równa . Oznacza, suma dwóch kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa .

2. Z jednej strony jako stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Z drugiej strony, ponieważ dla kąta noga będzie przylegać.

Rozumiemy to. Innymi słowy, .

3. Weźmy twierdzenie Pitagorasa: . Podzielmy obie części przez:

Mamy podstawowa tożsamość trygonometryczna:

Zatem znając sinus kąta, możemy znaleźć jego cosinus i odwrotnie.

4. Podział obu części głównego tożsamość trygonometryczna na, otrzymujemy:

Oznacza to, że jeśli mamy daną tangens kąta ostrego, to możemy od razu znaleźć jego cosinus.

Podobnie,

OK, podaliśmy definicje i spisaliśmy wzory. Ale po co nam jeszcze sinus, cosinus, tangens i cotangens?

Wiemy to suma kątów dowolnego trójkąta jest równa.


Znamy zależności pomiędzy imprezy trójkąt prostokątny. Jest to twierdzenie Pitagorasa: .

Okazuje się, że znając dwa kąty w trójkącie, można znaleźć trzeci. Znając dwa boki trójkąta prostokątnego, możesz znaleźć trzeci. Oznacza to, że kąty mają swój własny stosunek, a boki mają swój własny. Ale co zrobić, jeśli w trójkącie prostokątnym znasz jeden kąt (z wyjątkiem kąta prostego) i jeden bok, ale musisz znaleźć pozostałe boki?

Z tym właśnie spotykali się ludzie w przeszłości, tworząc mapy okolicy i gwiaździstego nieba. W końcu nie zawsze można bezpośrednio zmierzyć wszystkie boki trójkąta.

Sinus, cosinus i tangens - są również nazywane trygonometryczne funkcje kąta- podać relacje pomiędzy imprezy I rogi trójkąt. Znając kąt, możesz znaleźć wszystkie jego funkcje trygonometryczne za pomocą specjalnych tabel. A znając sinusy, cosinusy i styczne kątów trójkąta i jednego z jego boków, możesz znaleźć resztę.

Narysujemy także tabelę wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa dla „dobrych” kątów od do.

Zwróć uwagę na dwie czerwone kreski w tabeli. Przy odpowiednich wartościach kąta tangens i cotangens nie istnieją.

Przyjrzyjmy się kilku problemom trygonometrycznym z banku zadań FIPI.

1. W trójkącie kąt wynosi , . Znajdować .

Problem zostanie rozwiązany w cztery sekundy.

Od , mamy: .

2. W trójkącie kąt wynosi , , . Znajdować . , jest równy połowa przeciwprostokątnej.

Trójkąt z kątami , i jest równoramienny. W nim przeciwprostokątna jest razy większa niż noga.

W życiu często będziemy musieli sobie radzić problemy matematyczne: w szkole, na uniwersytecie, a następnie pomoc dziecku w ukończeniu Praca domowa. Osoby wykonujące określone zawody będą miały styczność z matematyką na co dzień. Dlatego przydatne jest zapamiętywanie lub przywoływanie reguł matematycznych. W tym artykule przyjrzymy się jednemu z nich: znajdowaniu boku trójkąta prostokątnego.

Co to jest trójkąt prostokątny

Na początek przypomnijmy sobie, czym jest trójkąt prostokątny. Trójkąt prostokątny jest figura geometryczna z trzech odcinków łączących punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, a jeden z kątów tej figury wynosi 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami, a strona leżąca naprzeciw kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną.

Znalezienie nogi trójkąta prostokątnego

Istnieje kilka sposobów sprawdzenia długości nogi. Chciałbym rozważyć je bardziej szczegółowo.

Twierdzenie Pitagorasa dotyczące obliczania boku trójkąta prostokątnego

Jeśli znamy przeciwprostokątną i nogę, możemy obliczyć długość nieznanej nogi, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Wzór: c²=a²+b², gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi. Przekształcamy wzór i otrzymujemy: a²=c²-b².

Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 5 cm, a noga 3 cm.Przekształcamy wzór: c²=a²+b² → a²=c²-b². Następnie rozwiązujemy: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).


Stosunki trygonometryczne do znajdowania ramienia trójkąta prostokątnego

Możesz także znaleźć nieznaną nogę, jeśli znany jest jakikolwiek inny bok i dowolny kąt ostry trójkąta prostokątnego. Istnieją cztery możliwości znalezienia nogi za pomocą funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Poniższa tabela pomoże nam rozwiązać problemy. Rozważmy te opcje.


Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą sinusa

Sinus kąta (sin) to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wzór: sin=a/c, gdzie a to noga znajdująca się naprzeciw podanego kąta, a c to przeciwprostokątna. Następnie przekształcamy wzór i otrzymujemy: a=sin*c.

Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a kąt A ma miarę 30 stopni. Korzystając z tabeli, obliczamy sinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie korzystając z przekształconego wzoru rozwiązujemy: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).


Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cosinusa

Cosinus kąta (cos) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wzór: cos=b/c, gdzie b to ramię przylegające do danego kąta, a c to przeciwprostokątna. Przekształćmy wzór i otrzymamy: b=cos*c.

Przykład. Kąt A wynosi 60 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy cosinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie rozwiązujemy: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).


Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą stycznej

Tangens kąta (tg) to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Wzór: tg=a/b, gdzie a to bok przeciwny do kąta, a b to bok sąsiadujący. Przekształćmy wzór i otrzymamy: a=tg*b.

Przykład. Kąt A wynosi 45 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy tangens kąta A, jest on równy Rozwiąż: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).


Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cotangensu

Cotangens kąta (ctg) to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego. Wzór: ctg=b/a, gdzie b jest nogą przylegającą do kąta, a jest nogą przeciwną. Innymi słowy, cotangens jest „styczną odwróconą”. Otrzymujemy: b=ctg*a.

Przykład. Kąt A ma 30 stopni, przeciwległa noga ma długość 5 cm.Według tabeli tangens kąta A wynosi √3. Obliczamy: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).


Teraz już wiesz, jak znaleźć nogę w trójkącie prostokątnym. Jak widać, nie jest to takie trudne, najważniejsze jest zapamiętanie formuł.

Nazywa się stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej zatoka kąta ostrego trójkąt prostokątny.

\sin \alfa = \frac(a)(c)

Cosinus kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej cosinus kąta ostrego trójkąt prostokątny.

\cos \alfa = \frac(b)(c)

Tangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej tangens kąta ostrego trójkąt prostokątny.

tg \alpha = \frac(a)(b)

Cotangens kąta ostrego trójkąta prostokątnego

Nazywa się stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego cotangens kąta ostrego trójkąt prostokątny.

ctg \alpha = \frac(b)(a)

Sinus dowolnego kąta

Nazywa się rzędną punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alfa sinus dowolnego kąta obrót \alfa .

\sin \alfa=y

Cosinus dowolnego kąta

Nazywa się odciętą punktu na okręgu jednostkowym, któremu odpowiada kąt \alfa cosinus dowolnego kąta obrót \alfa .

\cos \alfa=x

Tangens dowolnego kąta

Stosunek sinusa dowolnego kąta obrotu \alfa do jego cosinusa nazywa się tangens dowolnego kąta obrót \alfa .

tan \alfa = y_(A)

tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)

Cotangens dowolnego kąta

Stosunek cosinusa dowolnego kąta obrotu \alfa do jego sinusa nazywa się cotangens dowolnego kąta obrót \alfa .

ctg\alfa =x_(A)

ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alfa)

Przykład znalezienia dowolnego kąta

Jeśli \alpha jest kątem AOM, gdzie M jest punktem okręgu jednostkowego, to

\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).

Na przykład, jeśli \angle AOM = -\frac(\pi)(4), wówczas: rzędna punktu M jest równa -\frac(\sqrt(2))(2), odcięta jest równa \frac(\sqrt(2))(2) i własnie dlatego

\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);

\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);

tg;

ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.

Tabela wartości sinusów cosinusów stycznych kotangentów

Wartości głównych, często występujących kątów podano w tabeli:

0^(\circ) (0)30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) 180^(\circ)\lewo(\pi\prawo)270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) 360^(\circ)\lewo(2\pi\prawo)
\sin\alfa0 \frac12\frac(\sqrt 2)(2)\frac(\sqrt 3)(2)1 0 −1 0
\cos\alfa1 \frac(\sqrt 3)(2)\frac(\sqrt 2)(2)\frac120 −1 0 1
tg\alfa0 \frac(\sqrt 3)(3)1 \sqrt3— 0 — 0
ctg\alfa— \sqrt31 \frac(\sqrt 3)(3)0 — 0 —