Lekcja wideo „Ukończ z racjonalny wskaźnik» zawiera wizualizację materiał edukacyjny aby dać lekcję na ten temat. Lekcja wideo zawiera informacje na temat pojęcia stopnia z wykładnikiem wymiernym, właściwości takich stopni, a także przykłady opisujące wykorzystanie materiałów edukacyjnych do rozwiązywania problemy praktyczne. Celem tej lekcji wideo jest jasne i przejrzyste przedstawienie materiału edukacyjnego, ułatwienie jego opracowania i zapamiętywania przez uczniów oraz rozwinięcie umiejętności rozwiązywania problemów przy użyciu poznanych pojęć.

Głównymi zaletami lekcji wideo jest możliwość wizualnego wykonywania przekształceń i obliczeń, możliwość wykorzystania efektów animacji w celu poprawy efektywności uczenia się. Akompaniament głosowy pomaga rozwijać poprawną mowę matematyczną, a także pozwala zastąpić wyjaśnienia nauczyciela, uwalniając go do samodzielnej pracy.

Lekcja wideo rozpoczyna się od wprowadzenia tematu. Łączenie studiów nowy temat w przypadku wcześniej badanego materiału sugeruje się, aby pamiętać, że n √a jest w przeciwnym razie oznaczane przez 1/n dla naturalnego n i dodatniego a. Ta reprezentacja n-pierwiastkowa jest wyświetlana na ekranie. Następnie proponujemy rozważyć, co oznacza wyrażenie a m/n, w którym a jest liczbą dodatnią, a m/n jest ułamkiem. Podana jest definicja stopnia z wykładnikiem wymiernym jako a m/n = n √a m, zaznaczona w ramce. Należy zauważyć, że n może być liczbą naturalną, a m może być liczbą całkowitą.

Po zdefiniowaniu stopnia z wykładnikiem wymiernym jego znaczenie wyjaśniają przykłady: (5/100) 3/7 = 7 √(5/100) 3. Pokazano również przykład, w którym stopień reprezentowany przez dziesiętny, jest konwertowane na ułamek zwykły, który ma być przedstawiony jako pierwiastek: (1/7) 1,7 = (1/7) 17/10 = 10 √(1/7) 17 i przykład z ujemna wartość stopnie: 3 -1/8 = 8 √3 -1.

Osobliwość szczególnego przypadku, gdy podstawa stopnia wynosi zero, jest wskazana osobno. Należy zauważyć, że stopień ten ma sens tylko w przypadku dodatniego wykładnika ułamkowego. W tym przypadku jego wartość wynosi zero: 0 m/n = 0.

Należy zauważyć inną cechę stopnia z wykładnikiem wymiernym - tego stopnia z wykładnikiem ułamkowym nie można rozpatrywać z wykładnikiem ułamkowym. Podano przykłady nieprawidłowego zapisu stopni: (-9) -3/7, (-3) -1/3, 0 -1/5.

Następnie w lekcji wideo omawiamy właściwości stopnia z wykładnikiem wymiernym. Należy zauważyć, że właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym będą obowiązywać również dla stopnia z wykładnikiem wymiernym. Proponuje się przypomnienie listy właściwości, które obowiązują również w tym przypadku:

1. Podczas mnożenia potęg przez na tej samej podstawie ich wskaźniki sumują się: a p a q =a p+q.
2. Dzielenie stopni o tej samej podstawie sprowadza się do stopnia o danej podstawie i różnicy wykładników: a p:a q =a p-q.
3. Jeśli podniesiemy stopień do określonej potęgi, to otrzymamy stopień o danej podstawie i iloczynie wykładników: (a p) q =a pq.

Wszystkie te własności obowiązują dla potęg o wykładnikach wymiernych p, q i podstawie dodatniej a>0. Również przekształcenia stopni podczas otwierania nawiasów pozostają prawdziwe:

1. (ab) p =a p b p - podniesienie do jakiejś potęgi z wykładnikiem wymiernym iloczynu dwóch liczb sprowadza się do iloczynu liczb, z których każdą podnosi się do określonej potęgi.
2. (a/b) p =a p /b p - podniesienie ułamka do potęgi o wykładniku wymiernym sprowadza się do ułamka, którego licznik i mianownik podnosi się do danej potęgi.

W samouczku wideo omówiono przykłady rozwiązywania przykładów wykorzystujących rozważane właściwości potęg o wykładniku wymiernym. Pierwszy przykład prosi o znalezienie wartości wyrażenia zawierającego zmienne x w potędze ułamkowej: (x 1/6 -8) 2 -16x 1/6 (x -1/6 -1). Pomimo złożoności wyrażenia, wykorzystując właściwości potęg, można je rozwiązać w prosty sposób. Rozwiązanie problemu rozpoczyna się od uproszczenia wyrażenia, które wykorzystuje zasadę podnoszenia potęgi o wykładniku wymiernym do potęgi, a także mnożenia potęg o tej samej podstawie. Po podstawieniu podanej wartości x=8 do uproszczonego wyrażenia x 1/3 +48 łatwo otrzymać wartość - 50.

W drugim przykładzie musisz skrócić ułamek, którego licznik i mianownik zawierają potęgi o wykładniku wymiernym. Korzystając z właściwości stopnia, z różnicy wyciągamy współczynnik x 1/3, który następnie redukujemy w liczniku i mianowniku, a korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów licznik rozkładamy na czynniki, co daje dalsze redukcje identycznych czynniki w liczniku i mianowniku. Wynikiem takich przekształceń jest ułamek krótki x 1/4 +3.

Zamiast objaśniania przez nauczyciela nowego tematu lekcji można wykorzystać lekcję wideo „Wykładnik z wykładnikiem wymiernym”. Niniejsza instrukcja również zawiera wystarczającą ilość informacji pełna informacja Dla samokształcenie student. Materiał może być również przydatny w nauczaniu na odległość.

Wyrażenia, konwersja wyrażeń

Wyrażenia potęgowe (wyrażenia z potęgami) i ich transformacja

W tym artykule porozmawiamy o konwersji wyrażeń na potęgi. Najpierw skupimy się na przekształceniach, które są wykonywane przy użyciu dowolnego rodzaju wyrażeń, w tym wyrażeń potęgowych, takich jak nawiasy otwierające i wprowadzające podobne terminy. Następnie przeanalizujemy przekształcenia właściwe wyrażeniom ze stopniami: praca z podstawą i wykładnikiem, wykorzystanie właściwości stopni itp.

Nawigacja strony.

Co to są wyrażenia mocy?

Termin „wyrażenie władzy” prawie nigdy nie jest używany podręczniki szkolne matematyki, ale pojawia się dość często w zbiorach problemów, zwłaszcza tych przeznaczonych na przykład do przygotowania do egzaminu Unified State Exam i Unified State Exam. Po przeanalizowaniu zadań, w których konieczne jest wykonanie jakichkolwiek czynności z wyrażeniami potęgowymi, staje się jasne, że przez wyrażenia potęgowe rozumie się wyrażenia zawierające w swoich zapisach potęgi. Dlatego możesz przyjąć dla siebie następującą definicję:

Definicja.

Wyrażenia mocy są wyrażeniami zawierającymi stopnie.

Dajmy przykłady wyrażeń mocy. Ponadto przedstawimy je według sposobu rozwoju poglądów od stopnia z naturalnym wskaźnikiem do stopnia z faktyczny wskaźnik.

Jak wiadomo, najpierw zapoznajemy się z potęgą liczby z wykładnikiem naturalnym, na tym etapie pierwsze najprostsze wyrażenia potęgowe typu 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) 4, 3 a 2 pojawia się −a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 itd.

Nieco później badana jest potęga liczby o wykładniku całkowitym, co prowadzi do pojawienia się wyrażeń potęgowych o ujemnych potęgach całkowitych, takich jak: 3 −2, , za -2 +2 b -3 + do 2 .

W szkole średniej wracają do stopni. Wprowadza się stopień z wykładnikiem wymiernym, co pociąga za sobą pojawienie się odpowiednich wyrażeń potęgowych: , , i tak dalej. Na koniec rozważane są stopnie z niewymiernymi wykładnikami i wyrażeniami je zawierającymi: , .

Sprawa nie ogranicza się do wymienionych wyrażeń potęgowych: dalej zmienna wnika w wykładnik i powstają np. wyrażenia: 2 x 2 +1 lub . A po zapoznaniu się z , zaczynają pojawiać się wyrażenia z potęgami i logarytmami, np. x 2·lgx −5·x lgx.

Zajęliśmy się więc pytaniem, co reprezentują wyrażenia potęgowe. Następnie nauczymy się je przekształcać.

Główne typy transformacji wyrażeń potęgowych

Za pomocą wyrażeń potęgowych można wykonać dowolne podstawowe przekształcenie tożsamości wyrażeń. Na przykład możesz rozwinąć nawiasy, zamienić wyrażenia numeryczne ich wartości, podać podobne terminy itp. Oczywiście w tym przypadku konieczne jest przestrzeganie przyjętej procedury wykonywania działań. Podajmy przykłady.

Przykład.

Oblicz wartość wyrażenia na potęgę 2 3 ·(4 2 −12) .

Rozwiązanie.

Zgodnie z kolejnością wykonywania czynności, najpierw wykonaj czynności podane w nawiasach. Tam po pierwsze zastępujemy potęgę 4 2 jej wartością 16 (jeśli to konieczne, patrz), a po drugie obliczamy różnicę 16−12=4. Mamy 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.

W otrzymanym wyrażeniu zastępujemy potęgę 2 3 jej wartością 8, po czym obliczamy iloczyn 8,4=32. To jest pożądana wartość.

Więc, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.

Odpowiedź:

2 3 ·(4 2 −12)=32.

Przykład.

Uprość wyrażenia za pomocą potęg 3 za 4 b -7 -1+2 za 4 b -7.

Rozwiązanie.

Oczywiście w wyrażeniu tym występują podobne terminy 3·a 4 ·b −7 i 2·a 4 ·b −7 i możemy je przedstawić: .

Odpowiedź:

3 za 4 b −7 −1+2 za 4 b −7 =5 za 4 b −7 −1.

Przykład.

Wyraź wyrażenie, używając mocy jako iloczynu.

Rozwiązanie.

Można sobie poradzić z zadaniem przedstawiając liczbę 9 jako potęgę 3 2, a następnie korzystając ze wzoru na skrócone mnożenie – różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

Istnieje również liczba przemiany tożsamości, nieodłącznie związany z wyrażeniami mocy. Przeanalizujemy je dalej.

Praca z bazą i wykładnikiem

Istnieją stopnie, których podstawa i/lub wykładnik to nie tylko liczby lub zmienne, ale niektóre wyrażenia. Jako przykład podajemy wpisy (2+0,3·7) 5−3,7 i (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) .

Pracując z takimi wyrażeniami, można zastąpić zarówno wyrażenie w podstawie stopnia, jak i wyrażenie w wykładniku, identycznym wyrażeniem w ODZ jego zmiennych. Innymi słowy, zgodnie ze znanymi nam regułami, możemy osobno przekształcić podstawę stopnia i osobno wykładnik. Oczywiste jest, że w wyniku tej transformacji otrzymane zostanie wyrażenie identycznie równe pierwotnemu.

Takie przekształcenia pozwalają nam uprościć wyrażenia za pomocą potęg lub osiągnąć inne potrzebne nam cele. Na przykład we wspomnianym powyżej wyrażeniu potęgowym (2+0,3 7) 5−3,7 można wykonać operacje na liczbach w podstawie i wykładniku, co pozwoli przejść do potęgi 4,1 1,3. A po otwarciu nawiasów i sprowadzeniu podobnych wyrazów do podstawy stopnia (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) otrzymujemy wyrażenie potęgowe more prosty typ za 2·(x+1) .

Korzystanie z właściwości stopnia

Jednym z głównych narzędzi przekształcania wyrażeń za pomocą potęg są równości odzwierciedlające . Przypomnijmy te główne. Dla dowolnych liczb dodatnich aib i dowolnych liczby rzeczywiste r i s obowiązują następujące właściwości stopni:

• za r ·a s =a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a·b) r =a r ·b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s =a r·s .

Należy zauważyć, że w przypadku wykładników naturalnych, całkowitych i dodatnich ograniczenia dotyczące liczb aib mogą nie być tak rygorystyczne. Na przykład dla liczb naturalnych m i n równość a m ·a n =a m+n jest prawdziwa nie tylko dla dodatniego a, ale także dla ujemnego a i dla a=0.

W szkole przy przekształcaniu wyrażeń mocy główny nacisk kładzie się na umiejętność wyboru odpowiedniej właściwości i prawidłowego jej zastosowania. W tym przypadku podstawy stopni są zwykle dodatnie, co pozwala na nieograniczone korzystanie z właściwości stopni. To samo dotyczy transformacji wyrażeń zawierających zmienne w podstawach potęg - zakres dopuszczalnych wartości zmiennych jest zwykle taki, że podstawy na nim zajmują tylko wartości dodatnie, co pozwala na dowolne wykorzystanie właściwości stopni. Ogólnie rzecz biorąc, należy stale zadawać sobie pytanie, czy w tym przypadku można wykorzystać jakąkolwiek właściwość stopni, ponieważ nieprawidłowe wykorzystanie właściwości może prowadzić do zawężenia wartości edukacyjnej i innych problemów. Punkty te zostały szczegółowo omówione wraz z przykładami w artykule Transformacja wyrażeń z wykorzystaniem właściwości stopni. Tutaj ograniczymy się do rozważenia kilku prostych przykładów.

Przykład.

Wyraź wyrażenie a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 jako potęgę o podstawie a.

Rozwiązanie.

Najpierw przekształcamy drugi czynnik (a 2) −3, korzystając z właściwości podnoszenia potęgi do potęgi: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Oryginalne wyrażenie potęgi będzie miało postać a 2,5 ·a −6:a −5,5. Oczywiście pozostaje skorzystać z właściwości mnożenia i dzielenia potęg o tej samej podstawie, które mamy
a 2,5 ·a –6:a –5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .

Odpowiedź:

a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.

Właściwości potęg przy przekształcaniu wyrażeń potęgowych stosuje się zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej.

Przykład.

Znajdź wartość wyrażenia potęgowego.

Rozwiązanie.

Równość (a·b) r =a r ·br r, zastosowana od prawej do lewej, pozwala nam przejść od pierwotnego wyrażenia do iloczynu formy i dalej. A przy mnożeniu potęg o tej samej podstawie wykładniki sumują się: .

Pierwotne wyrażenie można było przekształcić w inny sposób:

Odpowiedź:

.

Przykład.

Mając wyrażenie na potęgę a 1,5 −a 0,5 −6, wprowadź nową zmienną t=a 0,5.

Rozwiązanie.

Stopień a 1,5 można przedstawić jako a 0,5 3, a następnie, bazując na własności stopnia do stopnia (a r) s = a r s, zastosowanego od prawej do lewej, przekształcić go do postaci (a 0,5) 3. Zatem, za 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Teraz łatwo jest wprowadzić nową zmienną t=a 0,5, otrzymujemy t 3 −t−6.

Odpowiedź:

t 3 −t−6 .

Zamiana ułamków zawierających potęgi

Wyrażenia potęgowe mogą zawierać lub reprezentować ułamki z potęgami. Wszelkie podstawowe przekształcenia ułamków właściwe dla ułamków dowolnego rodzaju mają pełne zastosowanie do takich ułamków. Oznacza to, że ułamki zawierające potęgi można zredukować, zredukować do nowego mianownika, oddzielnie pracować z ich licznikiem i oddzielnie z mianownikiem itp. Aby zilustrować te słowa, rozważ rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Uprość wyrażanie mocy .

Rozwiązanie.

To wyrażenie potęgi jest ułamkiem. Popracujmy z jego licznikiem i mianownikiem. W liczniku otwieramy nawiasy i upraszczamy otrzymane wyrażenie wykorzystując właściwości potęg, a w mianowniku przedstawiamy podobne wyrazy:

Zmieńmy także znak mianownika, umieszczając minus przed ułamkiem: .

Odpowiedź:

.

Redukcję ułamków zawierających potęgi do nowego mianownika przeprowadza się w taki sam sposób, jak redukcję do nowego mianownika ułamki racjonalne. W tym przypadku znajduje się również dodatkowy współczynnik i mnoży się przez niego licznik i mianownik ułamka. Wykonując tę ​​czynność warto pamiętać, że redukcja do nowego mianownika może prowadzić do zawężenia VA. Aby temu zapobiec, konieczne jest, aby dodatkowy współczynnik nie osiągnął zera dla żadnej wartości zmiennych ze zmiennych ODZ dla pierwotnego wyrażenia.

Przykład.

Skróć ułamki do nowego mianownika: a) do mianownika a, b) do mianownika.

Rozwiązanie.

a) W tym przypadku dość łatwo jest dowiedzieć się, jaki dodatkowy mnożnik pomaga osiągnąć pożądany rezultat. Jest to mnożnik 0,3, ponieważ a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Zauważmy, że w przedziale dopuszczalnych wartości zmiennej a (jest to zbiór wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych) potęga 0,3 nie zanika, zatem mamy prawo pomnożyć licznik i mianownik danej ułamek przez ten dodatkowy współczynnik:

b) Przyglądając się bliżej mianownikowi, przekonasz się, że

i pomnożenie tego wyrażenia przez da sumę kostek i , to znaczy . I to jest nowy mianownik, do którego musimy sprowadzić ułamek pierwotny.

W ten sposób znaleźliśmy dodatkowy czynnik. W zakresie dopuszczalnych wartości zmiennych x i y wyrażenie nie zanika, dlatego możemy pomnożyć przez niego licznik i mianownik ułamka:

Odpowiedź:

A) , B) .

Nie ma też nic nowego w redukcji ułamków zawierających potęgi: licznik i mianownik są reprezentowane jako liczba czynników, a te same współczynniki licznika i mianownika są redukowane.

Przykład.

Skróć ułamek: a) , B) .

Rozwiązanie.

a) Po pierwsze, licznik i mianownik można zmniejszyć o liczby 30 i 45, co równa się 15. Oczywiście możliwe jest również wykonanie redukcji o x 0,5 +1 i o . Oto co mamy:

b) W tym przypadku identyczne współczynniki w liczniku i mianowniku nie są od razu widoczne. Aby je uzyskać, będziesz musiał wykonać wstępne przekształcenia. W tym przypadku polegają one na rozłożeniu mianownika na czynniki ze wzoru na różnicę kwadratów:

Odpowiedź:

A)

B) .

Zamiana ułamków na nowy mianownik i ułamki redukujące są używane głównie do wykonywania czynności z ułamkami zwykłymi. Akcje wykonywane są według znanych zasad. Podczas dodawania (odejmowania) ułamków są one redukowane do wspólnego mianownika, po czym liczniki są dodawane (odejmowane), ale mianownik pozostaje taki sam. Wynikiem jest ułamek, którego licznik jest iloczynem liczników, a mianownik jest iloczynem mianowników. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność.

Przykład.

Wykonaj kroki .

Rozwiązanie.

Najpierw odejmujemy ułamki w nawiasach. Aby to zrobić, sprowadzamy je do wspólnego mianownika, czyli , po czym odejmujemy liczniki:

Teraz mnożymy ułamki:

Oczywiście możliwe jest zmniejszenie o potęgę x 1/2, po czym mamy .

Możesz także uprościć wyrażenie potęgi w mianowniku, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów: .

Odpowiedź:

Przykład.

Uprość wyrażenie mocy .

Rozwiązanie.

Oczywiście ułamek ten można zmniejszyć o (x 2,7 +1) 2, co daje ułamek . Jest oczywiste, że trzeba zrobić coś innego z potęgami X. Aby to zrobić, przekształcamy powstałą frakcję w produkt. Daje nam to możliwość skorzystania z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach: . I pod koniec procesu odchodzimy Ostatnia praca do ułamka.

Odpowiedź:

.

Dodajmy jeszcze, że jest możliwe, a w wielu przypadkach pożądane, przeniesienie czynników o wykładnikach ujemnych z licznika do mianownika lub z mianownika do licznika, zmieniając znak wykładnika. Takie przekształcenia często ułatwiają dalsze działania. Na przykład wyrażenie potęgi można zastąpić przez .

Konwersja wyrażeń z pierwiastkami i potęgami

Często w wyrażeniach, w których wymagane są pewne przekształcenia, wraz z potęgami występują także pierwiastki z wykładnikami ułamkowymi. Aby przekształcić takie wyrażenie do pożądanej postaci, w większości przypadków wystarczy sięgnąć tylko do pierwiastków lub tylko do potęg. Ponieważ jednak wygodniej jest pracować z mocami, zwykle przechodzą od korzeni do mocy. Wskazane jest jednak wykonanie takiego przejścia w sytuacji, gdy ODZ zmiennych dla pierwotnego wyrażenia pozwala na zastąpienie pierwiastków potęgami bez konieczności odwoływania się do modułu lub dzielenia ODZ na kilka przedziałów (omawialiśmy to szczegółowo w przejście artykułu od pierwiastków do potęg i z powrotem Po zapoznaniu się ze stopniem o wykładniku wymiernym wprowadza się stopień z wykładnikiem niewymiernym, co pozwala nam mówić o stopniu z dowolnym wykładnikiem rzeczywistym.Na tym etapie szkoła zaczyna badanie funkcja wykładnicza , który analitycznie jest podawany przez potęgę, której podstawą jest liczba, a wykładnikiem jest zmienna. Mamy więc do czynienia z wyrażeniami potęgowymi zawierającymi liczby w podstawie potęgi, a w wykładniku – wyrażeniami ze zmiennymi i naturalnie pojawia się potrzeba przeprowadzenia przekształceń takich wyrażeń.

Należy powiedzieć, że przy rozwiązywaniu zwykle trzeba przeprowadzić transformację wyrażeń wskazanego typu równania wykładnicze I nierówności wykładnicze , a te konwersje są dość proste. W zdecydowanej większości przypadków opierają się one na właściwościach stopnia i w większości mają na celu wprowadzenie w przyszłości nowej zmiennej. Równanie pozwoli nam je wykazać 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.

Po pierwsze, potęgi, których wykładnikami jest suma określonej zmiennej (lub wyrażenia ze zmiennymi) i liczby, są zastępowane iloczynami. Dotyczy to pierwszego i ostatniego wyrazu wyrażenia po lewej stronie:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.

Następnie obie strony równości dzieli się przez wyrażenie 7 2 x, które na ODZ zmiennej x dla pierwotnego równania przyjmuje tylko wartości dodatnie (jest to standardowa technika rozwiązywania równań tego typu, nie jesteśmy teraz o tym mowa, więc skupmy się na kolejnych przekształceniach wyrażeń z potęgami):

Teraz możemy anulować ułamki z potęgami, co daje .

Na koniec stosunek potęg o tych samych wykładnikach zastępuje się potęgami relacji, w wyniku czego powstaje równanie , co jest równoważne . Dokonane przekształcenia pozwalają na wprowadzenie nowej zmiennej, co sprowadza rozwiązanie do oryginału równanie wykładnicze do rozwiązania równania kwadratowego

I. V. Bojkow, L. D. Romanowa Zbiór zadań przygotowujących do egzaminu Unified State Exam. Część 1. Penza 2003.

Wyrażenie a n (potęga o wykładniku całkowitym) zostanie zdefiniowane we wszystkich przypadkach, z wyjątkiem przypadku, gdy a = 0 i n jest mniejsze lub równe zero.

Właściwości stopni

Podstawowe własności stopni z wykładnikiem całkowitym:

za m * za n = za (m+n) ;

a m: za n = a (m-n) (z A nierówny zeru);

(a m) n = za (m*n) ;

(a*b) n = za n *b n ;

(a/b) n = (a n)/(b n) (z B nierówny zeru);

a 0 = 1 (z A nierówny zeru);

Właściwości te będą obowiązywać dla dowolnych liczb a, b oraz dowolnych liczb całkowitych m i n. Warto również zwrócić uwagę na następującą właściwość:

Jeżeli m>n, to a m > a n, dla a>1 i a m

Możemy uogólnić koncepcję stopnia liczby na przypadki, w których liczby wymierne pełnią rolę wykładnika. Jednocześnie chciałbym, aby wszystkie powyższe właściwości zostały spełnione, a przynajmniej część z nich.

Na przykład, jeśli spełniona byłaby własność (a m) n = a (m*n), zachodziłaby równość:

(a (m/n)) n = za m .

Ta równość oznacza, że ​​liczba a (m/n) musi być n-tym pierwiastkiem liczby a m.

Potęga pewnej liczby a (większej od zera) z wykładnikiem wymiernym r = (m/n), gdzie m jest liczbą całkowitą, n jest liczbą naturalną większą od jedności, jest liczbą n√(am). Na podstawie definicji: a (m/n) = n√(a m).

Dla wszystkich dodatnich r zostanie określona potęga zera. Z definicji 0 r = 0. Należy również zauważyć, że dla dowolnej liczby całkowitej dowolne naturalne m i n oraz dodatnie A prawdziwa jest następująca równość: a (m/n) = a ((mk)/(nk)) .

Na przykład: 134 (3/4) = 134 (6/8) = 134 (9/12).

Z definicji stopnia z wykładnikiem wymiernym wynika bezpośrednio, że dla każdego dodatniego a i dowolnego wymiernego r liczba a r będzie wynosić pozytywny.

Podstawowe własności stopnia z wykładnikiem wymiernym

Dla dowolnych liczb wymiernych p, q oraz dowolnych a>0 i b>0 prawdziwe są następujące równości:

1. (a p)*(a q) = a (p+q) ;

2. (a p): (b q) = a (p-q) ;

3. (a p) q = a (p*q) ;

4. (a*b) p = (a p)*(b p);

5. (a/b) p = (a p)/(b p).

Właściwości te wynikają z właściwości korzeni. Wszystkie te własności dowodzi się w podobny sposób, dlatego ograniczymy się do udowodnienia tylko jednej z nich, np. pierwszej (a p)*(a q) = a (p + q) .

Niech p = m/n i q = k/l, gdzie n, l to liczby naturalne, a m, k to liczby całkowite. Następnie musisz udowodnić, że:

(a (m/n))*(a (k/l)) = a ((m/n) + (k/l)) .

Najpierw sprowadźmy ułamki m/n k/l do wspólnego mianownika. Otrzymujemy ułamki (m*l)/(n*l) i (k*n)/(n*l). Przepiszmy lewą stronę równości, używając tych oznaczeń i otrzymajmy:

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ).

(a (m/n))*(a (k/l)) = (a ((m*l)/(n*l)))*(a ((k*n)/(n*l)) ) = (n*l)√(a (m*l))*(n*l)√(a (k*n)) = (n*l)√((a (m*l))*(a (k*n))) = (n*l)√(a (m*l+k*n)) = a ((m*l+k*n)/(n*l)) = a ((m /n)+(k/l)) .

Lekcja nr 30 (Algebra i analiza podstawowa, klasa 11)

Temat lekcji: Stopień z wykładnikiem racjonalnym.

Cel lekcji: 1 . Rozwiń pojęcie stopnia, podaj pojęcie stopnia z wykładnikiem wymiernym; uczyć, jak zamienić stopień z wykładnikiem wymiernym na pierwiastek i odwrotnie; obliczać potęgi z wykładnikiem wymiernym.

2. Rozwój pamięci i myślenia.

3. Tworzenie działalności.

„Niech ktoś spróbuje skreślić

z matematyki i zobaczy,

Że bez nich daleko nie zajedziesz. M.V. Łomonosow

Podczas zajęć.

I. Podanie tematu i celu lekcji.

II. Powtórzenie i utrwalenie przerobionego materiału.

1. Analiza nierozwiązanych przykładów domowych.

2. Nadzór nad samodzielną pracą:

Opcja 1.

1. Rozwiąż równanie: √(2x – 1) = 3x – 12

2. Rozwiąż nierówność: √(3x – 2) ≥ 4 – x

Opcja 2.

1. Rozwiąż równanie: 3 – 2x = √(7x + 32)

2. Rozwiąż nierówność: √(3x + 1) ≥ x – 1

III. Nauka nowego materiału.

1 . Przypomnijmy rozwinięcie pojęcia liczb: N є Z є Q є R.

Najlepiej obrazuje to poniższy diagram:

Naturalny (N)

Zero

Liczby nieujemne

Liczby ujemne

Liczby ułamkowe

Liczby całkowite (Z)

Irracjonalny

Racjonalne (Q)

Liczby rzeczywiste

2. W klasach niższych zdefiniowano pojęcie potęgi liczby o wykładniku całkowitym. a) Przypomnij sobie definicję wykładnika a) z liczbą naturalną, b) z ujemną liczbą całkowitą, c) z wykładnikiem zerowym.Podkreśl, że wyrażenie a N ma sens dla wszystkich liczb całkowitych n i dowolnych wartości a, z wyjątkiem a=0 i n≤0.

b) Wymień właściwości stopni z wykładnikiem całkowitym.

3. Praca ustna.

1). Oblicz: 1 -5 ; 4-3; (-100 ; (-5) -2 ; (1/2) -4 ; (3/7) -1 .

2). Zapisz to jako potęgę z wykładnikiem ujemnym:

1/4 5 ;1/21 3 ; 1/x7; 1/za 9 .

3). Porównaj z jednostką: 12-3 ; 21 0 ; (0,6) -5 ; (5/19) -4 .

4 . Teraz musisz zrozumieć znaczenie wyrażeń 3 0,4 ; 4 5/7 ; 5 -1/2 itp. W tym celu należy uogólnić pojęcie stopnia w taki sposób, aby spełnione były wszystkie wymienione właściwości stopni. Rozważmy równość (a m/n) n = za m . Następnie z definicji korzenia stopień n rozsądne jest założenie, że a m/n będzie n-ty pierwiastek stopnie od liczby a M . Podano definicję stopnia z wykładnikiem wymiernym.

5. Rozważ przykłady 1 i 2 z podręcznika.

6. Poczynimy kilka uwag związanych z koncepcją stopnia z wykładnikiem wymiernym.

Notatka 1 : Dla dowolnego a>0 i Liczba wymierna r liczba a r > 0

Uwaga 2 : Zgodnie z podstawową własnością ułamków, liczbę wymierną m/n można zapisać w postaci mk/nk dla dowolnego Liczba naturalna k. Następniewartość stopnia nie zależy od formy zapisu liczby wymiernej, ponieważ a mk/nk = = nk √a mk = n √a m = a m/n

Uwaga 3: Kiedy Wyjaśnijmy to na przykładzie. Rozważ (-64) 1/3 = 3 √-64 = -4. Z drugiej strony: 1/3 = 2/6 i wtedy (-64) 1/ 3 = (-64) 2/6 = 6 √(-64) 2 = 6√64 2 = 6 √4 6 = 4. Otrzymujemy sprzeczność.