Jeśli problem wymaga pełnego zbadania funkcji f (x) = x 2 4 x 2 - 1 wraz z konstrukcją jej wykresu, wówczas szczegółowo rozważymy tę zasadę.

Aby rozwiązać tego typu problem, należy skorzystać z własności i wykresów podstawowych funkcji elementarnych. Algorytm badawczy obejmuje następujące kroki:

Znalezienie dziedziny definicji

Ponieważ badania prowadzone są w dziedzinie definicji funkcji, należy zacząć od tego kroku.

Przykład 1

Za ten przykład polega na znalezieniu zer mianownika w celu wykluczenia ich z ODZ.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2 ; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞

W rezultacie możesz uzyskać pierwiastki, logarytmy i tak dalej. Następnie można szukać ODZ pierwiastka stopnia parzystego typu g (x) 4 przez nierówność g (x) ≥ 0, dla dziennik logarytmiczny a g (x) przez nierówność g (x) > 0.

Badanie granic ODZ i znajdowanie asymptot pionowych

Na granicach funkcji występują asymptoty pionowe, gdy jednostronne granice w takich punktach są nieskończone.

Przykład 2

Rozważmy na przykład punkty graniczne równe x = ± 1 2.

Następnie należy przestudiować funkcję, aby znaleźć granicę jednostronną. Wtedy otrzymujemy, że: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) · - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 fa (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 fa (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0 ) 2 = + ∞

To pokazuje, że jednostronne granice są nieskończone, co oznacza, że ​​linie proste x = ± 1 2 są pionowymi asymptotami wykresu.

Badanie funkcji i tego, czy jest ona parzysta, czy nieparzysta

Gdy warunek y (- x) = y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za parzystą. Sugeruje to, że wykres jest położony symetrycznie względem Oy. Gdy warunek y (- x) = - y (x) jest spełniony, funkcję uważa się za nieparzystą. Oznacza to, że symetria jest zależna od początku współrzędnych. Jeżeli choć jedna nierówność nie jest spełniona, otrzymujemy funkcję o postaci ogólnej.

Równość y (- x) = y (x) wskazuje, że funkcja jest parzysta. Podczas konstruowania należy wziąć pod uwagę, że będzie symetria w stosunku do Oy.

Aby rozwiązać nierówność, stosuje się przedziały zwiększania i zmniejszania z warunkami odpowiednio f " (x) ≥ 0 i f " (x) ≤ 0.

Definicja 1

Punkty stacjonarne- to są punkty, które zamieniają pochodną na zero.

Punkt krytyczny - są to punkty wewnętrzne z dziedziny definicji, w których pochodna funkcji jest równa zeru lub nie istnieje.

Podejmując decyzję, należy wziąć pod uwagę następujące uwagi:

  • dla istniejących przedziałów rosnących i malejących nierówności postaci f " (x) > 0 punkty krytyczne nie są uwzględniane w rozwiązaniu;
  • punkty, w których funkcja jest zdefiniowana bez skończonej pochodnej, należy ująć w przedziałach rosnących i malejących (przykładowo y = x 3, gdzie punkt x = 0 wyznacza funkcję, pochodna ma w tym miejscu wartość nieskończoności punkt, y " = 1 3 x 2 3, y "(0) = 1 0 = ∞, x = 0 jest zawarte w rosnącym przedziale);
  • Aby uniknąć nieporozumień, zaleca się korzystanie z literatury matematycznej zalecanej przez Ministerstwo Edukacji Narodowej.

Ujęcie punktów krytycznych w przedziałach rosnących i malejących, jeżeli spełniają one dziedzinę definicji funkcji.

Definicja 2

Dla określając przedziały wzrostu i spadku funkcji, należy znaleźć:

  • pochodna;
  • punkt krytyczny;
  • podzielić dziedzinę definicji na przedziały za pomocą punktów krytycznych;
  • określ znak pochodnej na każdym z przedziałów, gdzie + jest wzrostem, a - jest spadkiem.

Przykład 3

Znajdź pochodną w dziedzinie definicji f " (x) = x 2 " (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 " (4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 .

Rozwiązanie

Aby rozwiązać, potrzebujesz:

  • znajdź punkty stacjonarne, w tym przykładzie x = 0;
  • znajdź zera mianownika, przykład przyjmuje wartość zero przy x = ± 1 2.

Umieszczamy punkty na osi liczbowej, aby wyznaczyć pochodną w każdym przedziale. Aby to zrobić, wystarczy pobrać dowolny punkt z przedziału i wykonać obliczenia. Jeśli wynik jest dodatni, na wykresie przedstawiamy +, co oznacza, że ​​funkcja rośnie, a - oznacza, że ​​maleje.

Na przykład f " (- 1) = - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9 > 0, co oznacza, że ​​pierwszy przedział po lewej stronie ma znak +. Rozważmy na osi liczbowej.

Odpowiedź:

  • funkcja rośnie na przedziale - ∞; - 1 2 i (- 1 2 ; 0 ] ;
  • następuje zmniejszenie przedziału [ 0 ; 1 2) i 1 2 ; + ∞ .

Na schemacie za pomocą + i - przedstawiono dodatniość i ujemność funkcji, a strzałki wskazują spadek i wzrost.

Ekstremalne punkty funkcji to punkty, w których funkcja jest zdefiniowana i przez które pochodna zmienia znak.

Przykład 4

Jeśli rozważymy przykład, w którym x = 0, wówczas wartość funkcji w nim jest równa f (0) = 0 2 4 · 0 2 - 1 = 0. Gdy znak pochodnej zmienia się z + na - i przechodzi przez punkt x = 0, wówczas za punkt maksymalny uważa się punkt o współrzędnych (0; 0). Kiedy znak zmienia się z - na +, uzyskujemy minimum punktu.

Wypukłość i wklęsłość określa się rozwiązując nierówności postaci f „” (x) ≥ 0 i f „” (x) ≤ 0. Rzadziej używana jest nazwa wypukłość w dół zamiast wklęsłości i wypukłość w górę zamiast wypukłości.

Definicja 3

Dla wyznaczanie przedziałów wklęsłości i wypukłości niezbędny:

  • znajdź drugą pochodną;
  • znajdź zera drugiej funkcji pochodnej;
  • podzielić obszar definicji na przedziały z pojawiającymi się punktami;
  • określić znak przedziału.

Przykład 5

Znajdź drugą pochodną z dziedziny definicji.

Rozwiązanie

fa "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Znajdujemy zera licznika i mianownika, gdzie w naszym przykładzie mamy, że zera mianownika x = ± 1 2

Teraz należy nanieść punkty na oś liczbową i określić znak drugiej pochodnej każdego przedziału. Rozumiemy to

Odpowiedź:

  • funkcja jest wypukła z przedziału - 1 2 ; 12;
  • funkcja jest wklęsła od przedziałów - ∞ ; - 1 2 i 1 2; + ∞ .

Definicja 4

Punkt przegięcia– jest to punkt postaci x 0 ; fa (x 0) . Jeżeli ma styczną do wykresu funkcji, to po przejściu przez x 0 funkcja zmienia znak na przeciwny.

Innymi słowy jest to punkt, przez który przechodzi druga pochodna i zmienia znak, a w samych punktach jest równa zeru lub nie istnieje. Wszystkie punkty uważa się za dziedzinę funkcji.

Na przykładzie widać było, że nie ma punktów przegięcia, gdyż druga pochodna zmienia znak przechodząc przez punkty x = ± 1 2. One z kolei nie są objęte zakresem definicji.

Znajdowanie asymptot poziomych i ukośnych

Definiując funkcję w nieskończoności, należy szukać asymptot poziomych i ukośnych.

Definicja 5

Asymptoty ukośne są przedstawiane za pomocą linii prostych, dane równaniem y = k x + b, gdzie k = lim x → ∞ f (x) x i b = lim x → ∞ fa (x) - k x.

Dla k = 0 i b różnych od nieskończoności stwierdzamy, że asymptota ukośna staje się poziomy.

Innymi słowy, za asymptoty uważa się linie, do których wykres funkcji zbliża się w nieskończoności. Ułatwia to szybkie zbudowanie wykresu funkcji.

Jeżeli nie ma asymptot, ale funkcja jest zdefiniowana w obu nieskończonościach, należy obliczyć granicę funkcji w tych nieskończonościach, aby zrozumieć, jak będzie się zachowywał wykres funkcji.

Przykład 6

Rozważmy to jako przykład

k = lim x → ∞ fa (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

jest asymptotą poziomą. Po sprawdzeniu funkcji możesz przystąpić do jej konstruowania.

Obliczanie wartości funkcji w punktach pośrednich

Aby wykres był dokładniejszy, zaleca się znalezienie kilku wartości funkcji w punktach pośrednich.

Przykład 7

Z rozważanego przez nas przykładu konieczne jest znalezienie wartości funkcji w punktach x = - 2, x = - 1, x = - 3 4, x = - 1 4. Ponieważ funkcja jest parzysta, otrzymujemy, że wartości pokrywają się z wartościami w tych punktach, to znaczy otrzymujemy x = 2, x = 1, x = 3 4, x = 1 4.

Napiszmy i rozwiążmy:

fa (- 2) = fa (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 fa (- 1) - fa (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 fa - 3 4 = fa 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 fa - 1 4 = fa 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Aby wyznaczyć maksima i minima funkcji, punkty przegięcia i punkty pośrednie, konieczne jest skonstruowanie asymptot. Dla wygodne oznaczenie rejestrowane są przedziały wzrostu, spadku, wypukłości, wklęsłości. Spójrzmy na zdjęcie poniżej.

Przez zaznaczone punkty należy poprowadzić linie wykresu, co umożliwi zbliżenie się do asymptot podążając za strzałkami.

Na tym kończy się pełna eksploracja funkcji. Zdarzają się przypadki konstruowania pewnych funkcji elementarnych, dla których stosuje się transformacje geometryczne.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Przy sporządzaniu wykresów funkcji warto trzymać się następującego planu:

1. Znaleźć dziedzinę definicji funkcji i określić punkty nieciągłości, jeśli występują.

2. Ustal, czy funkcja jest parzysta, nieparzysta, czy żadna. Jeśli funkcja jest parzysta lub nieparzysta, wystarczy wziąć pod uwagę jej wartości w x>0, a następnie symetrycznie względem osi OY lub początku współrzędnych, przywróć je dla wartości X<0 .

3. Zbadaj funkcję pod kątem okresowości. Jeśli funkcja jest okresowa, wystarczy rozważyć ją w jednym okresie.

4. Znajdź punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami współrzędnych (jeśli to możliwe)

5. Przeprowadź badanie funkcji na ekstremum i znajdź przedziały wzrostu i spadku funkcji.

6. Znajdź punkty przegięcia krzywej oraz przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji.

7. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.

8. Korzystając z wyników kroków 1-7, skonstruuj wykres funkcji. Czasami dla większej dokładności można znaleźć kilka dodatkowych punktów; ich współrzędne oblicza się za pomocą równania krzywej.

Przykład. Przeglądaj funkcję y=x 3 -3x i zbuduj wykres.

1) Funkcja jest zdefiniowana na przedziale (-∞; +∞). Nie ma żadnych punktów krytycznych.

2) Funkcja jest dziwna, ponieważ f(-x) = -x 3 -3(-x) = -x 3 +3x = -f(x), dlatego jest symetryczny względem początku.

3) Funkcja nie jest okresowa.

4) Punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych: x 3 -3x=0, x = , x = -, x = 0, te. wykres funkcji przecina osie współrzędnych w punktach: ( ; 0 ), (0; 0 ), (-; 0 ).

5) Znajdź możliwe ekstrema: y′ = 3x 2 -3; 3x2 -3=0; x =-1; x = 1. Dziedzinę definicji funkcji podzielimy na przedziały: (-∞; -1), (-1; 1), (1; +∞). Znajdźmy znaki pochodnej w każdym wynikowym przedziale:

Na przedziale (-∞; -1) y′>0 – funkcja wzrasta

W przedziale (-1; 1) y′<0 – funkcja jest malejąca

Na przedziale (1; +∞) y′>0 – funkcja wzrasta. Kropka x =-1 – punkt maksymalny; x = 1 – punkt minimalny.

6) Znajdź punkty przegięcia: y′′ = 6x; 6x = 0; x = 0. Kropka x = 0 dzieli dziedzinę definicji na przedziały (-∞; 0), (0; +∞). Znajdźmy znaki drugiej pochodnej w każdym wynikowym przedziale:

Na przedziale (-∞;0) y”<0 – funkcja jest wypukła

Na przedziale (0; +∞) y′′>0 – funkcja jest wklęsła. x = 0- punkt przegięcia.

7) Wykres nie ma asymptot

8) Wykreślmy funkcję:

Przykład. Zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres.

1) Dziedziną funkcji są przedziały (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥). Zakres wartości tej funkcji jest przedziałem (-¥; ¥).



Punktami przerwania funkcji są punkty x = 1, x = -1.

2) Funkcja jest dziwna, ponieważ .

3) Funkcja nie jest okresowa.

4) Wykres przecina osie współrzędnych w punkcie (0; 0).

5) Znajdź punkty krytyczne.

Punkt krytyczny: X = 0; X = -; X = ; X = -1; X = 1.

Znajdź przedziały funkcji rosnącej i malejącej. W tym celu wyznaczamy znaki pochodnej funkcji na przedziałach.

-¥ < X< -, ty¢> 0, funkcja jest rosnąca

-< X < -1, y¢ < 0, функция убывает

1 < X < 0, y¢ < 0, функция убывает

0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает

1 < X < , y¢ < 0, функция убывает

< x < ¥, y¢ > 0, funkcja wzrasta

Jasne, że o to chodzi X= -jest punktem maksymalnym i punktem X= jest punktem minimalnym. Wartości funkcji w tych punktach wynoszą odpowiednio 3/2 i -3/2.

6) Znajdź drugą pochodną funkcji

Równanie asymptoty ukośnej: y = x.

8) Zbudujmy wykres funkcji.

Ta lekcja obejmuje temat „Badanie funkcji i powiązane problemy”. W tej lekcji omówiono tworzenie wykresów funkcji przy użyciu pochodnych. Badana jest funkcja, konstruowany jest jej wykres i rozwiązywanych jest szereg powiązanych problemów.

Temat: Pochodna

Lekcja: Badanie funkcjii powiązane zadania

Trzeba zbadać tę funkcję, skonstruować wykres, znaleźć przedziały monotoniczności, maksima, minima i jakie problemy towarzyszą wiedzy o tej funkcji.

Na początek wykorzystajmy w pełni informacje, jakie daje funkcja bez pochodnej.

1. Znajdź przedziały stałego znaku funkcji i skonstruuj szkic wykresu funkcji:

1) Znajdźmy.

2) Pierwiastki funkcji: , stąd

3) Przedziały stałego znaku funkcji (patrz rys. 1):

Ryż. 1. Przedziały znaku stałego funkcji.

Teraz wiemy, że w przedziale i wykres znajduje się powyżej osi X, w przedziale - poniżej osi X.

2. Zbudujmy wykres w pobliżu każdego pierwiastka (patrz rys. 2).

Ryż. 2. Wykres funkcji w sąsiedztwie pierwiastka.

3. Konstruować wykres funkcji w sąsiedztwie każdego punktu nieciągłości z dziedziny definicji. Dziedzina definicji pęka w punkcie . Jeśli wartość jest bliska punktu, wówczas wartość funkcji zmierza do tego punktu (patrz rys. 3).

Ryż. 3. Wykres funkcji w sąsiedztwie punktu nieciągłości.

4. Określmy jak wykres zachowuje się w sąsiedztwie punktów w nieskończoności:

Zapiszmy to używając granic

. Ważne jest, aby dla bardzo dużych wartości funkcja prawie nie różniła się od jedności.

Znajdźmy pochodną, ​​przedziały jej znaku stałego i będą to przedziały monotoniczności funkcji, znajdźmy te punkty, w których pochodna jest równa zeru i dowiedzmy się, gdzie jest punkt maksymalny, a gdzie minimalny.

Stąd, . Punkty te są punktami wewnętrznymi dziedziny definicji. Dowiedzmy się, jaki znak pochodnej znajduje się na przedziałach i który z tych punktów jest punktem maksymalnym, a który minimalnym (patrz ryc. 4).

Ryż. 4. Przedziały stałego znaku pochodnej.

Z ryc. 4 widać, że punkt jest punktem minimalnym, punkt jest punktem maksymalnym. Wartość funkcji w tym punkcie wynosi . Wartość funkcji w tym punkcie wynosi 4. Teraz zbudujmy wykres funkcji (patrz rys. 5).

Ryż. 5. Wykres funkcji.

W ten sposób zbudowaliśmy wykres funkcji. Opiszmy to. Zapiszmy przedziały, w których funkcja maleje monotonicznie: , to te przedziały, w których pochodna jest ujemna. Funkcja rośnie monotonicznie na przedziałach i . - punkt minimalny, - punkt maksymalny.

Znajdź liczbę pierwiastków równania w zależności od wartości parametrów.

1. Zbuduj wykres funkcji. Wykres tej funkcji przedstawiono powyżej (patrz rys. 5).

2. Rozbij wykres za pomocą rodziny prostych i zapisz odpowiedź (patrz ryc. 6).

Ryż. 6. Przecięcie wykresu funkcji liniami prostymi.

1) Kiedy - jedno rozwiązanie.

2) Kiedy - dwa rozwiązania.

3) Kiedy - trzy rozwiązania.

4) Kiedy - dwa rozwiązania.

5) Kiedy - trzy rozwiązania.

6) Kiedy - dwa rozwiązania.

7) Kiedy - jedno rozwiązanie.

W ten sposób rozwiązaliśmy jeden z ważnych problemów, a mianowicie znalezienie liczby rozwiązań równania w zależności od parametru. Mogą istnieć różne przypadki szczególne, na przykład, w których będzie jedno rozwiązanie, dwa rozwiązania lub trzy rozwiązania. Zauważ, że te szczególne przypadki, wszystkie odpowiedzi na te szczególne przypadki są zawarte w odpowiedzi ogólnej.

1. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Poradnik dla instytucje edukacyjne (poziom profilu) wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra i początek analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Książka problemowa dla instytucji edukacyjnych (poziom profilu), wyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra i rachunek różniczkowy dla klasy 10 ( instruktaż dla uczniów szkół i klas kl dogłębne studium matematyka).-M.: Edukacja, 1996.

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Pogłębione studium algebry i analizy matematycznej.-M.: Edukacja, 1997.

5. Zbiór problemów z matematyki dla kandydatów do szkół wyższych (pod red. M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Symulator algebraiczny.-K.: A.S.K., 1997.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra i początki analizy. Klasy 8-11: Podręcznik dla szkół i klas z pogłębioną nauką matematyki (materiały dydaktyczne) - M.: Bustard, 2002.

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Zagadnienia algebry i zasady analizy (podręcznik dla uczniów klas 10-11 szkół ogólnokształcących) - M.: Prosveshchenie, 2003.

9. Karp A.P. Zbiór problemów algebry i zasad analizy: podręcznik. dodatek dla klas 10-11. z głębią badane Matematyka.-M.: Edukacja, 2006.

10. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Klasy 9-10 (podręcznik dla nauczycieli).-M.: Edukacja, 1983

Dodatkowe zasoby internetowe

2. Portalu Nauki przyrodnicze ().

Zrób to w domu

Nr 45.7, 45.10 (Algebra i początki analizy, klasa 10 (w dwóch częściach). Zeszyt zadań dla placówek kształcenia ogólnego (poziom profilu) pod red. A. G. Mordkovicha. - M.: Mnemosyne, 2007.)