Nieruchomości numeryczne i ich właściwości. Rozwiążymy system nierówności - właściwości i metod obliczania działań przy jednoczesności Przykłady

System nierówności jest zwyczajny, aby zadzwonić do rekordu kilku nierówności pod znakiem wspornika figury (w tym samym czasie liczba i rodzaj nierówności w systemie może być arbitralna).

Aby rozwiązać system, konieczne jest znalezienie przecięcia wszystkich nierówności w nim. Rozwiązanie nierówności w matematyce jest nazywana dowolną wartością zmiany, w której ta nierówność jest prawdziwa. Innymi słowy, wymagane jest znalezienie wielu wszystkich rozwiązań - zadzwoni do odpowiedzi. Jako przykład spróbujmy nauczyć się rozwiązać systemu nierówności przez metodę interwałów.

Właściwości nierówności

Aby rozwiązać zadanie, ważne jest, aby poznać podstawowe właściwości związane z nierównymi względami, które można sformułować w następujący sposób:

• Do obu części nierówności można dodać tę samą funkcję zdefiniowaną w dziedzinie dopuszczalnych wartości (OTZ) tej nierówności;
• Jeśli f (x)\u003e g (x) i h (x) - dowolna funkcja określona w nieparzystej nierówności, a następnie f (x) + h (x)\u003e g (x) + h (x);
• Jeśli obie części nierówności są pomnożone przez pozytywną funkcję zdefiniowaną w OP tej nierówności (lub na numerze dodatnich), a następnie uzyskujemy nierówność, równoważne pierwotnie;
• Jeżeli obie części nierówności są pomnożone przez ujemną funkcję określoną w OTZ niniejszej nierówności (lub dla liczby ujemnej) oraz oznaka nierówności do zmiany na odwrót, a następnie uzyskaną nierówność jest równoważne tej nierówności;
• Nierówności tego samego znaczenia można osiągnąć z tyłu, a nierówności odległych zmysłów można odjąć co najmniej;
• Nierówności jednego sensu z dodatnimi częściami można pomnożyć przez uzupełnianie, a nierówności utworzone przez funkcje nie-negatywne mogą być podniesione do pozytywnego stopnia.

Aby rozwiązać system nierówności, musisz rozwiązać każdą nierówność osobno, a następnie porównać je. W rezultacie zostanie uzyskana pozytywna lub negatywna odpowiedź, co oznacza, czy system ma rozwiązanie, czy nie.

Metoda interwałowa

Podczas rozwiązywania systemu nierówności, matematyka często uciekają się do sposobu interwałów co do jednego z najbardziej wydajnych. Umożliwia zmniejszenie roztworu nierówności F (X)\u003e 0 (<, <, >) Aby rozwiązać równanie F (x) \u003d 0.

Istota metody jest następująca:

• Znajdź obszar dopuszczalnych wartości nierówności;
• Prowadzić nierówność do formularza f (x)\u003e 0 (<, <, >), to znaczy przenieść prawą stronę w lewo i uprościć;
• Rozwiązuj równanie f (x) \u003d 0;
• Obraz na funkcji bezpośredniej numerycznej. Wszystkie punkty oznaczone na OTZ i ograniczanie go, podziel ten zestaw do tzw. Przedziały znaków. W każdym takim przedziale określono funkcję F (x);
• Zapisz odpowiedź w postaci łączenia poszczególnych zestawów, na których f (x) ma odpowiedni znak. Punkty OTZ, które są granicami, włączyć (lub nie dołączone) w odpowiedzi po dodatkowej czeku.

Pole prawidłowych numerów ma właściwość zamawiania (klauzula 6, s. 35): Dla dowolnych liczb A, B ma miejsce jeden i tylko jeden z trzech stosunków: lub. W tym przypadku rekord A\u003e B oznacza, że \u200b\u200bróżnica jest dodatnia, a różnica nagrywania jest ujemna. W przeciwieństwie do pola prawidłowych numerów, pole liczby zespolone Nie jest korygowany: dla numerów złożonych, koncepcje "więcej" i "mniej" nie są określone; Dlatego ten rozdział omawia tylko rzeczywiste liczby.

Relacje nazywamy nierówności, numer A i B - członkowie (lub części) nierówności, znaki\u003e (więcej) i nierówności A\u003e B i C\u003e D są nazywane nierównościami tego samego (lub jednego i tego samego) znaczenia; Nierówności A\u003e B i z definicji nierówności natychmiast wynika

1) Każda liczba dodatnia jest większa niż zero;

2) Każda liczba ujemna jest mniejsza niż zero;

3) Każda liczba dodatnia jest większa niż jakakolwiek liczba ujemna;

4) dwóch liczb ujemnych bardziej niż wartość bezwzględna, której jest mniejsza.

Wszystkie te stwierdzenia umożliwiają po prostu interpretację geometryczną. Niech pozytywny kierunek osi numerycznej przejdzie na prawo od punktu wyjścia; Następnie, jakie byłyby oznaki liczb, więcej z nich jest przedstawiony przez punkt, który jest właściwym punktem przedstawiającym mniejszą liczbę.

Nierówność posiada następujące właściwości podstawowe.

1. Asymetria (nieodwracalność): Jeśli, a następnie i tył.

Rzeczywiście, jeśli różnica jest dodatnia, różnica jest negatywna. Mówi się, że podczas ponownego obliczenia członków nierówności konieczne jest zmianę znaczenia nierówności na odwrót.

2. Tranzyjność: Jeśli, to. Rzeczywiście, z pozytywności różnic i pozytywności

Oprócz oznak nierówności, oznaki nierówności są również stosowane w następujący sposób: rekord oznacza, że \u200b\u200bdlatego, na przykład, możesz również pisać. Zwykle nierówności zarejestrowane za pomocą znaków nazywane są ścisłe nierówności, a nierówności nierówności zapisywane za pomocą znaków. W związku z tym znaki same nazywają objawami ścisłej lub nieregularnej nierówności. Właściwości 1 i 2, rozważane powyżej, są prawdziwe dla niesamowitalnych nierówności.

Rozważ teraz działania, które można wykonać na jednej lub kilku nierównościach.

3. Od dodawania do członków nierówności tego samego numeru, znaczenie nierówności nie zmienia się.

Dowód. Niech nierówność i arbitralny numer zostanie podany. Z definicji różnica jest pozytywna. Dodaj dwa liczby dwa przeciwne numery Z tego, czego się nie zmienia, tj.

Ta równość może być przepisana tak:

Z tego wynika, że \u200b\u200bróżnica jest pozytywna, tj. Co

i było to konieczne, aby udowodnić.

Jest to oparte na możliwości przekrzywania dowolnego członka nierówności z jednej części do drugiego z przeciwnym znakiem. Na przykład z nierówności

wynika z tego

4. Podczas rozmnażania członków nierówności na jedną i tym samym numerem dodatnim, znaczenie nierówności nie zmienia się; Podczas rozmnażania członków nierówności na tej samej liczbie ujemnej, znaczenie nierówności zmienia się przeciwnie.

Dowód. Niech wtedy, jeśli od tego, że produkt dodatnich liczb jest pozytywny. Otwieranie wspornika w lewej części ostatniej nierówności, otrzymujemy, tj .. Podobnie sprawa jest rozpatrywana.

Dokładnie ten sam wniosek można dokonać w odniesieniu do podziału części nierówności do dowolnej innej liczby z zera, ponieważ podział według liczby jest równoważny z mnożeniem przez liczbę, a liczby mają te same znaki.

5. Niech członkowie nierówności są pozytywne. Następnie, gdy obracając swoich członków w tym samym pozytywnym stopniu, znaczenie nierówności nie zmienia się.

Dowód. Pozwól tej sprawie, właściwości transportowej i. Następnie, ze względu na monotonny wzrost funkcji mocy, będziemy mieli

W szczególności, jeśli tam, gdzie - Naturalnie, to dostajemy

tj. Przyjmując korzeń z obu części nierówności z pozytywnym członkiem, znaczenie nierówności nie zmienia się.

Niech członkowie nierówności są negatywne. Wtedy nie jest trudno udowodnić, że w budowie jego członków w dziwny naturalny stopień nierówności nie zmieni się, a gdy wzniesiono w równy stopień naturalny, zmieni się na odwrót. Nierówności z członkami negatywnymi można również wyodrębnić korzeń dziwnego stopnia.

Pozwolić, aby członkowie nierówności mają różne znaki. Następnie, gdy został wzniesiony w dziwny stopień, znaczenie nierówności nie zmieni, a gdy zostanie wzniesiony w równym stopniu znaczenia nierówności otrzymujących, nic określonego w ogóle nie można powiedzieć. W rzeczywistości, gdy liczba zostanie wzniesiona w pewnym stopniu, liczba zostanie zachowana liczba numerów, a zatem znaczenie nierówności nie zmienia się. Jeśli nierówność zostanie wzniesiona w równomierny stopień, powstaje nierówność z pozytywnym członkiem, a jego znaczenie zależy od absolutnych wartości członków początkowej nierówności, nierówności tego samego znaczenia może być nierówność jako początkowa, nierówność przeciwne znaczenie, a nawet równość!

Wszystkie opisane powyżej nierówność jest przydatna do sprawdzenia poniższego przykładu.

Przykład 1. Wczesnych następujących nierówności do określonego stopnia, zmieniając znak nierówności na odwrót lub na znak równości.

a) 3\u003e 2 na stopień 4; b) w wysokości 3;

c) do stopnia 3; d) do stopnia 2;

e) do stopnia 5; e) do stopnia 4;

g) 2\u003e -3 do stopnia 2; h) do stopnia 2

6. Od nierówności możliwe jest przeniesienie do nierówności między, jeśli członkowie nierówności są zarówno pozytywne, jak i oba są ujemne, wówczas nierówności jest nierówność przeciwnego znaczenia między ich odwrotnymi wartościami:

Dowód. Jeśli A i B są jednym znakiem, a ich praca jest pozytywna. Dzielimy się na nierówność

tj., co było wymagane do zdobycia.

Jeśli członkowie nierówności mają przeciwne znaki, nierówność między ich odwrotnymi wartościami ma to samo znaczenie, ponieważ oznaki odwrotnych wartości są takie same jak oznaki samych wartości.

Przykład 2. Sprawdź ostatnią właściwość 6 na następujących nierównościach:

7. Nierówności logarytmowania mogą być wykonywane tylko w przypadku, gdy członkowie nierówności są dodatnie (liczby ujemne i zero logarytmy nie mają).

Pozwolić . Więc kiedy będzie

i będzie

Poprawność tych stwierdzeń opiera się na monotonii funkcji logarytmicznej, która zwiększa się, jeśli podstawa i zmniejsza się

Tak więc, w logariuszy nierówności składającej się z pozytywnych członków, w oparciu o podstawę, większą jednostkę, nierówność tego samego znaczenia jest utworzona jako to, a podczas jego logarytmingu na pozytywnej podstawie, mniejsza jednostka - nierówność odwrotna znaczenie.

8. Jeśli, jeśli, ale następnie.

Natychmiast wynika z właściwości monotonii funkcja orientacyjna. (str. 42), co wzrasta w przypadku zmniejszenia, jeśli

Gdy nierówność tego samego znaczenia powstaje we wczesnym dodatku nierówności jako tego samego znaczenia, co dane.

Dowód. Udowodni, że to oświadczenie o dwie nierówności, chociaż jest to prawdą dla dowolnej liczby nierówności złożonych. Niech nierówność zostanie podana

Z definicji liczba będzie pozytywna; Wtedy ich kwota jest również pozytywna, tj.

Grupowanie inaczej komponentów, dostajemy

i dlatego,

i było to konieczne, aby udowodnić.

Nie można powiedzieć nic zdefiniowanego w ogólnym przypadku o znaczeniu nierówności uzyskanego przez dodanie dwóch lub kilku nierówności różnych znaczenia.

10. Jeżeli z jednej nierówności, aby odjąć inne nierówności przeciwnego sensu, nierówność jest tworzona tak samo jak pierwszy.

Dowód. Niech dwie nierówności o różnych znaczeniu. Drugi z nich przez stosunek nieodwracalności można przepisać w następujący sposób: D\u003e s. Przenoszenie dwóch nierówności w tym samym znaczeniu i uzyskać nierówność

tego samego znaczenia. Z tego ostatniego znalezionego

i było to konieczne, aby udowodnić.

Nie można powiedzieć nic zdefiniowanego w ogólnym przypadku o znaczeniu nierówności uzyskanego przez odjęcie z jednej nierówności innych nierówności tego samego znaczenia.

Nierówności w matematyce odgrywają znaczącą rolę. W szkole zasadniczo mamy do czynienia nieruchomości numeryczneDzięki definicji, którą rozpoczniemy ten artykuł. A następnie wymień i uzasadnij właściwości nierówności numerycznychgdzie opierają się wszystkie zasady pracy z nierównościami.

Natychmiast zwróć uwagę, że wiele właściwości nawitralnych nierówności jest podobnych. Dlatego podejmiemy materiał według tego samego schematu: sformułujemy nieruchomość, nadajemy mu uzasadnienie i przykłady, po którym zwracamy się do następującej nieruchomości.

Strona nawigacyjna.

Nieruchomości numeryczne: definicja, przykłady

Kiedy wprowadziliśmy koncepcję nierówności, zauważyli, że nierówności często określają ich wygląd. Więc nierówności, które nazywaliśmy znaczeniem wyrażeń algebraicznych zawierających znaki nie są równe ≠, mniej<, больше >, mniejszy lub równy ≤ lub więcej lub równy ≥. W oparciu o określenie wygodne jest określenie nierówności numerycznej:

Spotkanie z nawijami numerycznymi występuje w lekcjach matematycznych w pierwszej klasie natychmiast po znajomym z pierwszymi liczbami naturalnymi od 1 do 9 i znajomych z działalności porównawczej. To prawda, że \u200b\u200bsą one nazywane po prostu nierównościami, obniżając definicję "numerycznego". Dla jasności nie zapobiegnie kilku przykładów najprostszych numerycznych nierówności z tego etapu badania: 1<2 , 5+2>3 .

A następnie z naturalnej liczby wiedzy mają zastosowanie do innych rodzajów liczb (całe, racjonalne, rzeczywiste liczby), badano zasady ich porównania, a to znacznie rozszerza różnorodność gatunków nierówności numerycznych: -5\u003e -72, 3\u003e -0,275 · (7-5, 6) ,.

Właściwości nierówności numerycznych

W praktyce, praca z nierównościami pozwala na numer właściwości nierówności numerycznych. Powstają z koncepcji nierówności, które wprowadzone przez nas. W odniesieniu do liczb, koncepcja ta jest podana przez następujące oświadczenie, które można uznać za definicję "mniej" wskaźników i "więcej" na zestawie liczb (często odnosi się do definicji nierówności różnicy):

Definicja.

• numer zA. więcej liczb b wtedy i tylko wtedy, gdy różnica A-B jest liczbą dodatnią;
• numer A jest mniejsza niż liczba B, jeśli i tylko wtedy, gdy różnica A-B jest liczbą ujemną;
• numer A jest równa liczbie b, jeśli i tylko wtedy, gdy różnica A-B wynosi zero.

Definicja ta może zostać usunięta do definicji relacji "mniejszą lub równą" i "większa lub równa". Oto jego sformułowanie:

Definicja.

• numer większy lub równy numerom b, a tylko wtedy, gdy A-B jest liczbą nie ujemną;
• numer A jest mniejsza lub równa liczbie b, jeśli i tylko wtedy, gdy A-B jest niezdolnością.

Wykorzystamy te definicje w dowodzie właściwościach nierówności numerycznych, do których przejdziemy do ankiety.

Właściwości podstawowe

Recenzja Zacznijmy od trzech głównych właściwości nierówności. Dlaczego są podstawowe? Ponieważ są one odzwierciedleniem właściwości nierówności w ogólnym znaczeniu, a nie tylko w odniesieniu do nierówności numerycznych.

Nieruchomości numeryczne zarejestrowane za pomocą znaków< и >Charakterystyka:

Jeśli chodzi o nierówności numeryczne zarejestrowane przy użyciu oznak nierównych nierówności ≤ i ≥, mają one właściwość refleksyjności (a nie antyreflekmiona), ponieważ nierówności A≤A i A≥A obejmują przypadek równości A \u003d A. Również są również charakterystyczne dla antysymentacji i tranzytatywności.

Tak więc numeryczne nierówności zapisane ze znakami ≤ i ≥, posiadają właściwości:

• refleksyjność A≥A i A≤A - wierni nierówności;
• antysymetria, jeśli A≤B, a następnie B≥A, a jeśli A≥B, a następnie B≤A.
• przekładnia, jeśli A≤B i B≤C, a następnie A≤C, a także, jeśli A ≥B i B≥C, a następnie a≥C.

Ich dowód jest bardzo podobny do tych już cytowanych, więc nie zatrzymamy się na nich, ale zwracamy się do innych ważnych właściwości numerycznych nierówności.

Inne ważne właściwości nierówności numerycznych

Uzupełnij główne właściwości numerycznych nierówności kolejnej serii wyników, które mają duże znaczenie praktyczne. Opierają się na metodach oceny wartości wyrażeń, opierają się na zasadach rozwiązania nierówności itp. W związku z tym wskazane jest dobrze radzić sobie z nimi.

W tym elemencie właściwości nierówności będą formułowane tylko dla jednego znaku ścisłej nierówności, ale warto na uwadze, że podobne właściwości będą sprawiedliwe, a dla niego przeciwnego znaku, a także na oznaki nierówności nie strategicznych . Wyjaśnijmy to na przykładzie. Poniżej formułujemy się i udowodniliśmy taką nieruchomość nierówności: jeśli a

• jeśli A\u003e B, a następnie A + C\u003e B + C;
• jeśli A≤B, następnie A + C≤B + C;
• jeśli A≥B, a następnie A + C2 ≥B + C.

Dla wygody wyobraź sobie właściwości nierówności numerycznych w formie listy, dzięki temu otrzymamy odpowiednie oświadczenie, napisz to formalnie za pomocą liter, dowód ołowiu, po czym możliwe jest pokazanie przykładów użytkowania. A na końcu artykułu zmniejszymy wszystkie właściwości numerycznych nierówności w tabeli. Iść!