Pojęcia „zbiór”, „element”, „przynależność elementu do zbioru” są podstawowymi pojęciami matematyki. Pęczek- dowolny zbiór (zestaw) dowolnych obiektów .

A jest podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest elementem zbioru B, tj. AÌB Û (ХОА Þ ХОВ).

Dwa zestawy są równe, jeżeli składają się z tych samych elementów. Mówimy o równości w teorii mnogości (nie mylić z równością liczb): A=B Û AÌB Ù VA.

Połączenie dwóch zestawów składa się z elementów należących co najmniej do jednego ze zbiorów, tj. KHOAÈV Û KHOAÚ KHOV.

Skrzyżowanie składa się ze wszystkich elementów należących jednocześnie do zbioru A i zbioru B: хОАХВ Û хОА Ù хОВ.

Różnica składa się ze wszystkich elementów A, które nie należą do B, tj. xО A\B Û xОА ÙхПВ.

Produkt kartezjański C=A'B zbiorów A i B jest zbiorem wszystkich możliwych par ( x, y), gdzie pierwszy element X każda para zawiera A i jego drugi element Na należy do V.

Nazywa się podzbiór F iloczynu kartezjańskiego A'B mapowanie zestawu A na zestaw B , jeśli warunek jest spełniony: (" X OA)($! para ( x.y)JEŚLI). Jednocześnie piszą: A V.

Terminy „wyświetlacz” i „funkcja” są synonimami. Jeśli („хОА)($! уУВ): ( x, y)ОF, następnie element NaÎ W zwany sposób X podczas wyświetlania F i napisz to w ten sposób: Na=F( X). Element X jednocześnie jest prototyp (jeden z możliwych) element y.

Rozważmy zbiór liczb wymiernych Q - zbiór wszystkich liczb całkowitych i zbiór wszystkich ułamków (dodatnich i ujemnych). Każdy Liczba wymierna można przedstawić jako iloraz, na przykład 1 =4/3=8/6=12/9=…. Takich reprezentacji jest wiele, ale tylko jedna z nich jest nieredukowalna .

W może być dowolna liczba wymierna jedyny sposób przedstawić jako ułamek p/q, gdzie pÎZ, qÎN, liczby p, q są względnie pierwsze.

Własności zbioru Q:

1. Zamknięcie w operacjach arytmetycznych. Wynikiem dodawania, odejmowania, mnożenia, podniesienia do potęgi naturalnej, dzielenia (z wyjątkiem dzielenia przez 0) liczb wymiernych jest liczba wymierna: ; ; .

2. Porządek: (" x, y ILORAZ INTELIGENCJI, x¹y)®( X Ú x>y).

Ponadto: 1) a>b, b>c Þ a>c; 2)A -B.

3. Gęstość. Pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami wymiernymi x, y istnieje trzecia liczba wymierna (na przykład c= ):

("x, y ILORAZ INTELIGENCJI, X<y)($cÎQ) : ( Xy).

Na zbiorze Q można wykonać 4 operacje arytmetyczne, rozwiązywać układy równań liniowych, ale równania kwadratowe postaci x 2 =a, aÎ N nie zawsze są rozwiązywalne w zbiorze Q.

Twierdzenie. Nie ma numeru xÎQ, którego kwadrat wynosi 2.

g Niech będzie taki ułamek X=p/q, gdzie liczby p i q są względnie pierwsze i X 2 = 2. Wtedy (p/q) 2 =2. Stąd,

Prawa strona (1) jest podzielna przez 2, co oznacza, że ​​p 2 jest liczbą parzystą. Zatem p=2n (n-liczba całkowita). Wtedy q musi być liczbą nieparzystą.

Wracając do (1), mamy 4n 2 =2q 2. Zatem q 2 =2n 2. Podobnie upewniamy się, że q jest podzielne przez 2, tj. q jest liczbą parzystą. Twierdzenie jest dowodzone przez sprzeczność.n

geometryczna reprezentacja liczb wymiernych. Umieszczając odcinek jednostkowy z początku współrzędnych 1, 2, 3... razy w prawo, otrzymujemy punkty linii współrzędnych odpowiadające liczby naturalne. Przesuwając się podobnie w lewo, otrzymujemy punkty odpowiadające ujemnym liczbom całkowitym. Weźmy 1/kw(q= 2,3,4 … ) część segmentu jednostkowego i umieścimy ją po obu stronach początku układu współrzędnych R raz. Otrzymujemy punkty linii odpowiadające numerom postaci ±p/q (pОZ, qОN). Jeśli p, q przebiegają przez wszystkie pary liczb względnie pierwszych, to na prostej mamy wszystkie punkty odpowiadające liczbom ułamkowym. Zatem, Zgodnie z przyjętą metodą każdej liczbie wymiernej odpowiada pojedynczy punkt na osi współrzędnych.

Czy dla każdego punktu można podać jedną liczbę wymierną? Czy linia jest wypełniona w całości liczbami wymiernymi?

Okazuje się, że na linii współrzędnych znajdują się punkty, które nie odpowiadają żadnym liczbom wymiernym. Na odcinku jednostkowym konstruujemy trójkąt prostokątny równoramienny. Punkt N nie odpowiada liczbie wymiernej, bo jeśli WŁ.=x- w takim razie racjonalnie x 2 = 2, czego nie można zrobić.

Na prostej znajduje się nieskończenie wiele punktów podobnych do punktu N. Weźmy wymierne części segmentu x=WŁ., te. X. Jeśli przesuniemy je w prawo, to żadna liczba wymierna nie będzie odpowiadać żadnemu z końców żadnego z tych odcinków. Zakładając, że długość odcinka jest wyrażona liczbą wymierną x=, rozumiemy to x=- racjonalne. Jest to sprzeczne z tym, co zostało udowodnione powyżej.

Liczby wymierne nie wystarczą, aby powiązać określoną liczbę wymierną z każdym punktem na linii współrzędnych.

Zbudujmy pęczek liczby rzeczywiste R Poprzez nieskończone ułamki dziesiętne.

Zgodnie z algorytmem dzielenia „narożnego” dowolną liczbę wymierną można przedstawić jako skończony lub nieskończony okresowy ułamek dziesiętny. Gdy w mianowniku ułamka p/q nie ma czynników pierwszych innych niż 2 i 5, tj. q=2 m × 5 k, wówczas wynikiem będzie końcowy ułamek dziesiętny p/q=a 0,a 1 a 2 …a n. Inne ułamki zwykłe mogą mieć tylko nieskończone rozwinięcia dziesiętne.

Znając nieskończony okresowy ułamek dziesiętny, możesz znaleźć liczbę wymierną, której jest reprezentacją. Ale każdy skończony ułamek dziesiętny można przedstawić jako nieskończony ułamek dziesiętny na jeden z następujących sposobów:

za 0 , za 1 za 2 … za n = za 0 , za 1 za 2 … za n 000…= za 0 , za 1 za 2 …(za n -1)999… (2)

Na przykład dla nieskończonego ułamka dziesiętnego X=0,(9) mamy 10 X=9,(9). Jeśli odejmiemy pierwotną liczbę od 10x, otrzymamy 9 X=9 lub 1=1,(0)=0,(9).

Ustalona zostanie zgodność jeden do jednego między zbiorem wszystkich liczb wymiernych a zbiorem wszystkich nieskończonych okresowych ułamków dziesiętnych, jeśli zidentyfikujemy nieskończony ułamek dziesiętny z liczbą 9 w okresie z odpowiadającym mu nieskończonym ułamkiem dziesiętnym z liczbą 0 w okres zgodnie z zasadą (2).

Zgódźmy się na użycie takich nieskończonych ułamków okresowych, które nie mają w okresie liczby 9. Jeśli w procesie rozumowania pojawi się nieskończony okresowy ułamek dziesiętny o liczbie 9 w okresie, wówczas zastąpimy go nieskończonym ułamkiem dziesiętnym z zerem w okresie, tj. zamiast 1999... weźmiemy 2000...

Definicja liczby niewymiernej. Oprócz nieskończonych dziesiętnych ułamków okresowych istnieją nieokresowe ułamki dziesiętne. Na przykład 0,1010010001... lub 27,1234567891011... (liczby naturalne pojawiają się kolejno po przecinku).

Rozważmy nieskończony ułamek dziesiętny postaci ±a 0, a 1 a 2 …a n … (3)

Ułamek ten określa się poprzez podanie znaku „+” lub „–”, a nie całości Liczba ujemna a 0 i ciągi miejsc dziesiętnych a 1 ,a 2 ,…,an n ,…(zbiór miejsc dziesiętnych składa się z dziesięciu liczb: 0, 1, 2,…, 9).

Nazwijmy dowolny ułamek postaci (3) rzeczywista (rzeczywista) liczba. Jeśli przed ułamkiem (3) znajduje się znak „+”, zwykle jest on pomijany i zapisywany jako 0 , a 1 a 2 …an … (4)

Zadzwonimy pod numer formularza (4) nieujemna liczba rzeczywista, oraz w przypadku, gdy choć jedna z liczb a 0 , a 1 , a 2 , …, a n jest różna od zera, – dodatnia liczba rzeczywista. Jeśli w wyrażeniu (3) zostanie przyjęty znak „-”, to jest to liczba ujemna.

Suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych tworzy zbiór liczb rzeczywistych (QÈJ=R). Jeśli nieskończony ułamek dziesiętny (3) jest okresowy, to jest liczbą wymierną, gdy ułamek nieokresowy, jest niewymierny.

Dwie nieujemne liczby rzeczywiste a=a 0 ,a 1 za 2 …a n …, b=b 0 ,b 1 b 2 …b n …. zwany równy(piszą a=b), Jeśli za n = b n Na n=0,1,2… Liczba a jest mniejsza niż liczba b(piszą A<B), jeśli albo 0 Lub za 0 = b 0 i jest taka liczba M, Co a k =b k (k=0,1,2,…m-1), A jestem , tj. A Û (0 Ú ($mÎN: a k =b k (k= ), za m ). Koncepcja " A>B».

Aby porównać dowolne liczby rzeczywiste, wprowadzamy pojęcie „ moduł liczby a» . Moduł liczby rzeczywistej a=±a 0 , za 1 za 2 …za n … Jest to nieujemna liczba rzeczywista, którą można przedstawić za pomocą tego samego nieskończonego ułamka dziesiętnego, ale ze znakiem „+”, tj. ½ A½= za 0, za 1 za 2 … za n … i½ A½³0. Jeśli A - nieujemne, B jest liczbą ujemną, to rozważmy a>b. Jeśli obie liczby są ujemne ( A<0, b<0 ), to założymy, że: 1) a=b, jeśli ½ A½ = ½ B½; 2) A , jeśli ½ A½ > ½ B½.

Własności zbioru R:

I. Właściwości porządku:

1. Dla każdej pary liczb rzeczywistych A I B istnieje tylko jedna relacja: a=b,a B.

2. Jeśli A , To A (przechodniość).

3. Jeśli A , to istnieje liczba c taka, że A< с .

II. Własności operacji dodawania i odejmowania:

4. a+b=b+a(przemienność).

5. (a+b)+c=a+(b+c) (skojarzenie).

6. a+0=a.

7. a+(-a)= 0.

8. z A Þ a+c („cÎR”).

III. Własności operacji mnożenia i dzielenia:

9. a×b=b×a .

10. (a×b)×c=a×(b×c).

11. a×1=a.

12. а×(1/а)=1 (а¹0).

13. (a+b)×c = ac + bc(dystrybutywność).

14. jeśli A i c > 0, wówczas а×с .

IV. własność Archimedesa(„cÎR)($nÎN): (n>c).

Niezależnie od liczby cÎR, istnieje nÎN takie, że n>c.

V. Własność ciągłości liczb rzeczywistych. Niech dwa niepuste zbiory AÌR i BÌR będą takie, że dowolny element A OA już nie będzie ( A£ B) dowolnego elementu bОB. Następnie Zasada ciągłości Dedekinda stwierdza istnienie liczby c takiej, że dla wszystkich AОА i bОB zachodzi następujący warunek: A£c£ B:

(„AÌR, BÌR):(” AÎA, bÎB ® A£b)($cÎR): (" AÎA, bÎB® A£c £b).

Zidentyfikujemy zbiór R ze zbiorem punktów na osi liczbowej, a liczby rzeczywiste nazwiemy punktami.

Liczby rzeczywiste geometrycznie, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii.

Pozwalać l jest dowolną linią prostą, a O to niektóre z jej punktów (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α skojarzmy punkt A, leżący na prawo od O, w odległości α jednostki długości.

Jeśli na przykład α = 2,1356..., zatem

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Oczywiście punkt A w tym przypadku musi leżeć na prostej l po prawej stronie punktów odpowiadających liczbom

2; 2,1; 2,13; ... ,

ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom

3; 2,2; 2,14; ... .

Można wykazać, że warunki te definiują się na linii l jedyny punkt A, który uważamy za obraz geometryczny liczby rzeczywistej α = 2,1356... .

Podobnie dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej β skojarzmy punkt B leżący na lewo od O w odległości | β | jednostki długości. Na koniec kojarzymy liczbę „zero” z punktem O.

Zatem liczba 1 zostanie przedstawiona w linii prostej l punkt A, położony na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - według punktu B, znajdującego się na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp. .

Pokażmy jak na linii prostej l za pomocą kompasu i linijki możesz znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. W tym celu przede wszystkim pokażemy, jak konstruować odcinki, których długości są wyrażone przez te liczby. Niech AB będzie odcinkiem traktowanym jako jednostka długości (ryc. 60).

W punkcie A konstruujemy prostopadłą do tego odcinka i nanosimy na nią odcinek AC równy odcinku AB. Następnie stosując twierdzenie Pitagorasa do prostokąta trójkąt ABC, otrzymujemy; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Zatem odcinek BC ma długość √2. Skonstruujmy teraz prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na niej punkt D tak, aby odcinek CD był równy jednej jednostce długości AB. Następnie od trójkąt prostokątny Znajdźmy BCD:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Zatem odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd.

Teraz po linii prostej l łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd.

Wykreślając np. odcinek BC na prawo od punktu O (ryc. 61) otrzymujemy punkt C, który służy jako obraz geometryczny liczby √2. W ten sam sposób, umieszczając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymamy punkt D”, będący obrazem geometrycznym liczby √3 itd.

Nie należy jednak myśleć, że posługiwanie się kompasem i linijką na osi liczbowej l można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji jedynie kompas i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyraża się liczbą π = 3,14... . Dlatego na osi liczbowej l za pomocą takich konstrukcji nie da się wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje.

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej α możliwe jest powiązanie jakiegoś dobrze określonego punktu z linią prostą l . Ten punkt będzie w odległości | α | jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α > 0 i na lewo od O, jeśli α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . W rzeczywistości niech numer α punkt A odpowiada i liczba β - punkt B. Wtedy, jeśli α > β , wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); Jeśli α < β , wówczas A będzie leżeć na lewo od B (ryc. 62, b).

Mówiąc w § 37 o obrazie geometrycznym liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za obraz geometryczny jakiejś racjonalny liczby? Nie potrafiliśmy wtedy odpowiedzieć na to pytanie; Teraz możemy odpowiedzieć na to pytanie z całą pewnością. Na linii znajdują się punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb niewymiernych (na przykład √2). Dlatego nie każdy punkt na linii reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt na osi liczbowej można uznać za obraz geometryczny jakiegoś ważny liczby? Problem ten został już pozytywnie rozwiązany.

Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na prostej l , leżący na prawo od O (ryc. 63).

Długość odcinka OA wyraża się pewną dodatnią liczbą rzeczywistą α (patrz § 41). Zatem punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α . Podobnie ustalono, że każdy punkt B leżący na lewo od O można uznać za obraz geometryczny ujemnej liczby rzeczywistej - β , Gdzie β - długość odcinka VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że są to dwa różne punkty na linii l nie może być obrazem geometrycznym tej samej liczby rzeczywistej.

Z powyższych względów prostą, na której określony punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii.

Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej są w korespondencji jeden do jednego.

Oznacza to, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada jeden, dobrze określony punkt na osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi na osi liczbowej z taką korespondencją odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista.

Liczby zespolone

Podstawowe koncepcje

Początkowe dane dotyczące liczby pochodzą z epoki kamienia – epoki paleomelitu. Są to „jeden”, „kilka” i „wiele”. Zapisywano je w postaci nacięć, sęków itp. Rozwój procesów pracy i pojawienie się własności zmusiły człowieka do wymyślenia liczb i ich nazw. Najpierw pojawiły się liczby naturalne N, uzyskane poprzez zliczenie obiektów. Następnie, wraz z koniecznością liczenia, ludzie musieli mierzyć długości, pola, objętości, czas i inne wielkości, gdzie musieli uwzględnić części użytej miary. W ten sposób powstały ułamki. Formalne uzasadnienie pojęć liczb ułamkowych i ujemnych przeprowadzono w XIX wieku. Zbiór liczb całkowitych Z– są to liczby naturalne, liczby naturalne ze znakiem minus i zerem. Całość i liczby ułamkowe utworzył zbiór liczb wymiernych Q, ale okazało się to również niewystarczające do badania zmiennych zmieniających się w sposób ciągły. Księga Rodzaju ponownie ukazała niedoskonałość matematyki: niemożność rozwiązania równania postaci X 2 = 3, dlatego pojawiły się liczby niewymierne I. Suma zbioru liczb wymiernych Q i liczby niewymierne I– zbiór liczb rzeczywistych (lub rzeczywistych). R. W rezultacie oś liczbowa została wypełniona: każda liczba rzeczywista odpowiadała punktowi na niej. Ale na wielu R nie ma możliwości rozwiązania równania postaci X 2 = – A 2. W związku z tym ponownie pojawiła się potrzeba rozszerzenia pojęcia liczby. Tak pojawiły się liczby zespolone w 1545 roku. Ich twórca J. Cardano nazwał je „czysto negatywnymi”. Nazwę „urojony” wprowadził w 1637 r. Francuz R. Descartes, w 1777 r. Euler zaproponował użycie pierwszej litery francuskiej liczby I do oznaczenia jednostki urojonej. Symbol ten wszedł do powszechnego użytku dzięki K. Gaussowi.

W XVII i XVIII wieku trwała dyskusja na temat arytmetycznej natury wyobrażeń i ich geometrycznej interpretacji. Duńczyk G. Wessel, Francuz J. Argan i Niemiec K. Gauss niezależnie zaproponowali przedstawienie liczby zespolonej jako punktu na płaszczyzna współrzędnych. Później okazało się, że jeszcze wygodniej jest przedstawić liczbę nie przez sam punkt, ale przez wektor prowadzący do tego punktu od początku.

Dopiero pod koniec XVIII i na początku XIX wieku liczby zespolone zajęły należne im miejsce w analizie matematycznej. Ich pierwsze użycie ma charakter teoretyczny równania różniczkowe oraz w teorii hydrodynamiki.

Definicja 1.Liczba zespolona nazywa się wyrażeniem postaci , gdzie X I y są liczbami rzeczywistymi i I– jednostka urojona, .

Dwie liczby zespolone i równy wtedy i tylko wtedy gdy , .

Jeżeli , to numer jest wywoływany czysto wyimaginowany; jeśli , to liczba jest liczbą rzeczywistą, oznacza to, że zbiór R Z, Gdzie Z- pęczek Liczby zespolone.

Sprzężony do liczby zespolonej nazywa się liczbą zespoloną.

Obraz geometryczny Liczby zespolone.

Dowolną liczbę zespoloną można przedstawić za pomocą punktu M(X, y) samolot Oksy. Para liczb rzeczywistych oznacza również współrzędne wektora promienia , tj. pomiędzy zbiorem wektorów na płaszczyźnie a zbiorem liczb zespolonych można ustalić zgodność jeden do jednego: .

Definicja 2.Prawdziwa część X.

Przeznaczenie: X= Odp z(z łac. Realis).

Definicja 3.Wyimaginowana część liczba zespolona jest liczbą rzeczywistą y.

Przeznaczenie: y= Jestem z(z łac. Imaginarius).

Odnośnie z osadza się na osi ( Oh), Jestem z osadza się na osi ( Oh), wówczas wektor odpowiadający liczbie zespolonej jest wektorem promienia punktu M(X, y), (Lub M(Odnośnie z, Jestem z)) (ryc. 1).

Definicja 4. Nazywa się płaszczyznę, której punkty są powiązane ze zbiorem liczb zespolonych złożona płaszczyzna. Nazywa się oś odciętych prawdziwa oś, ponieważ zawiera liczby rzeczywiste. Nazywa się oś rzędnych wyimaginowana oś, zawiera czysto urojone liczby zespolone. Oznaczono zbiór liczb zespolonych Z.

Definicja 5.Moduł Liczba zespolona z = (X, y) nazywa się długością wektora: , tj. .

Definicja 6.Argument liczba zespolona to kąt pomiędzy dodatnim kierunkiem osi ( Oh) i wektor: .

LICZBY PRAWDZIWE II

§ 44 Geometryczna reprezentacja liczb rzeczywistych

Liczby rzeczywiste geometrycznie, podobnie jak liczby wymierne, są reprezentowane przez punkty na linii.

Pozwalać l jest dowolną linią prostą, a O to niektóre z jej punktów (ryc. 58). Każda dodatnia liczba rzeczywista α skojarzmy punkt A, leżący na prawo od O, w odległości α jednostki długości.

Jeśli na przykład α = 2,1356..., zatem

2 < α < 3
2,1 < α < 2,2
2,13 < α < 2,14

itd. Oczywiście punkt A w tym przypadku musi leżeć na prostej l po prawej stronie punktów odpowiadających liczbom

2; 2,1; 2,13; ... ,

ale na lewo od punktów odpowiadających liczbom

3; 2,2; 2,14; ... .

Można wykazać, że warunki te definiują się na linii l jedyny punkt A, który uważamy za obraz geometryczny liczby rzeczywistej α = 2,1356... .

Podobnie dla każdej ujemnej liczby rzeczywistej β skojarzmy punkt B leżący na lewo od O w odległości | β | jednostki długości. Na koniec kojarzymy liczbę „zero” z punktem O.

Zatem liczba 1 zostanie przedstawiona w linii prostej l punkt A, położony na prawo od O w odległości jednej jednostki długości (ryc. 59), liczba - √2 - według punktu B, znajdującego się na lewo od O w odległości √2 jednostek długości itp. .

Pokażmy jak na linii prostej l za pomocą kompasu i linijki możesz znaleźć punkty odpowiadające liczbom rzeczywistym √2, √3, √4, √5 itd. W tym celu przede wszystkim pokażemy, jak konstruować odcinki, których długości są wyrażone przez te liczby. Niech AB będzie odcinkiem traktowanym jako jednostka długości (ryc. 60).

W punkcie A konstruujemy prostopadłą do tego odcinka i nanosimy na nią odcinek AC równy odcinku AB. Następnie, stosując twierdzenie Pitagorasa do trójkąta prostokątnego ABC, otrzymujemy; BC = √AB 2 + AC 2 = √1+1 = √2

Zatem odcinek BC ma długość √2. Skonstruujmy teraz prostopadłą do odcinka BC w punkcie C i wybierzmy na niej punkt D tak, aby odcinek CD był równy jednej jednostce długości AB. Następnie z trójkąta prostokątnego BCD znajdujemy:

ВD = √ВC 2 + СD 2 = √2+1 = √3

Zatem odcinek BD ma długość √3. Kontynuując opisany proces, możemy otrzymać odcinki BE, BF, ..., których długości wyrażone są liczbami √4, √5 itd.

Teraz po linii prostej l łatwo jest znaleźć te punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb √2, √3, √4, √5 itd.

Odkładając np. odcinek BC na prawo od punktu O (ryc. 61), otrzymujemy punkt C, który służy jako obraz geometryczny liczby √2. W ten sam sposób, umieszczając odcinek BD na prawo od punktu O, otrzymamy punkt D”, będący obrazem geometrycznym liczby √3 itd.

Nie należy jednak myśleć, że posługiwanie się kompasem i linijką na osi liczbowej l można znaleźć punkt odpowiadający dowolnej liczbie rzeczywistej. Udowodniono np., że mając do dyspozycji jedynie kompas i linijkę, nie da się skonstruować odcinka, którego długość wyraża się liczbą π = 3,14... . Dlatego na osi liczbowej l za pomocą takich konstrukcji nie da się wskazać punktu odpowiadającego tej liczbie, niemniej jednak taki punkt istnieje.

Zatem dla każdej liczby rzeczywistej α możliwe jest powiązanie jakiegoś dobrze określonego punktu z linią prostą l . Ten punkt będzie w odległości | α | jednostki długości i znajdować się na prawo od O jeśli α > 0 i na lewo od O, jeśli α < 0. Очевидно, что при этом двум неравным действительным числам будут соответствовать две различные точки прямой l . W rzeczywistości niech numer α punkt A odpowiada i liczba β - punkt B. Wtedy, jeśli α > β , wtedy A będzie na prawo od B (ryc. 62, a); Jeśli α < β , wówczas A będzie leżeć na lewo od B (ryc. 62, b).

Mówiąc w § 37 o obrazie geometrycznym liczb wymiernych, postawiliśmy pytanie: czy dowolny punkt prostej można uznać za obraz geometryczny jakiejś racjonalny liczby? Nie potrafiliśmy wtedy odpowiedzieć na to pytanie; Teraz możemy odpowiedzieć na to pytanie z całą pewnością. Na linii znajdują się punkty, które służą jako geometryczna reprezentacja liczb niewymiernych (na przykład √2). Dlatego nie każdy punkt na linii reprezentuje liczbę wymierną. Ale w tym przypadku pojawia się kolejne pytanie: czy dowolny punkt na osi liczbowej można uznać za obraz geometryczny jakiegoś ważny liczby? Problem ten został już pozytywnie rozwiązany.

Rzeczywiście, niech A będzie dowolnym punktem na prostej l , leżący na prawo od O (ryc. 63).

Długość odcinka OA wyraża się pewną dodatnią liczbą rzeczywistą α (patrz § 41). Zatem punkt A jest geometrycznym obrazem liczby α . Podobnie ustalono, że każdy punkt B leżący na lewo od O można uznać za obraz geometryczny ujemnej liczby rzeczywistej - β , Gdzie β - długość odcinka VO. Wreszcie punkt O służy jako geometryczna reprezentacja liczby zero. Oczywiste jest, że są to dwa różne punkty na linii l nie może być obrazem geometrycznym tej samej liczby rzeczywistej.

Z powyższych względów prostą, na której określony punkt O jest wskazany jako punkt „początkowy” (dla danej jednostki długości) nazywa się Numer linii.

Wniosek. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych i zbiór wszystkich punktów na osi liczbowej są w korespondencji jeden do jednego.

Oznacza to, że każdej liczbie rzeczywistej odpowiada jeden, dobrze określony punkt na osi liczbowej i odwrotnie, każdemu punktowi na osi liczbowej z taką korespondencją odpowiada jedna, dobrze określona liczba rzeczywista.

Ćwiczenia

320. Dowiedz się, który z dwóch punktów znajduje się po lewej, a który po prawej stronie osi liczbowej, jeśli punkty te odpowiadają liczbom:

a) 1.454545... i 1.455454...; c) 0 i - 1,56673...;

b) - 12.0003... i - 12.0002...; d) 13.24... i 13.00....

321. Dowiedz się, który z dwóch punktów znajduje się na osi liczbowej dalej od punktu początkowego O, jeśli punkty te odpowiadają liczbom:

a) 5,2397... i 4,4996...; .. c) -0,3567... i 0,3557... .

d) - 15.0001 i - 15.1000...;

322. W tym rozdziale pokazano, że aby skonstruować odcinek o długości √ N korzystając z kompasu i linijki, możesz postępować w następujący sposób: najpierw skonstruuj odcinek o długości √2, następnie odcinek o długości √3 itd., aż dojdziesz do odcinka o długości √ N . Ale dla każdego ustalonego P > 3 proces ten można przyspieszyć. Jak na przykład zacząć konstruować odcinek o długości √10?

323*. Jak korzystać z kompasu i linijki, aby znaleźć punkt na osi liczbowej odpowiadający liczbie 1 / α , jeżeli pozycja punktu odpowiada liczbie α , czy wiadomo?

Wyrazistą geometryczną reprezentację układu liczb wymiernych można uzyskać w następujący sposób.

Na pewnej prostej, „osi numerycznej”, zaznaczamy odcinek od O do 1 (ryc. 8). Określa to długość odcinka jednostkowego, który, ogólnie rzecz biorąc, można wybrać dowolnie. Dodatnie i ujemne liczby całkowite są następnie reprezentowane przez zbiór równomiernie rozmieszczonych punktów na osi liczb, czyli liczby dodatnie są zaznaczane po prawej stronie, a liczby ujemne po lewej stronie punktu 0. Aby przedstawić liczby z mianownikiem n, podziel każdą z nich wynikowe odcinki długości jednostkowej przez n równe części; Punkty podziału będą reprezentować ułamki o mianowniku n. Jeśli zrobimy to dla wartości n odpowiadających wszystkim liczbom naturalnym, to każda liczba wymierna zostanie przedstawiona przez jakiś punkt na osi liczb. Zgodzimy się nazwać te punkty „racjonalnymi”; Ogólnie rzecz biorąc, będziemy używać terminów „liczba wymierna” i „punkt wymierny” jako synonimów.

W rozdziale I § 1 zdefiniowano relację nierówności A dla dowolnej pary punktów wymiernych, wówczas naturalną rzeczą jest próba uogólnienia arytmetycznej relacji nierówności w taki sposób, aby zachować ten porządek geometryczny dla rozpatrywanych punktów. Jest to możliwe, jeśli przyjmiemy następującą definicję: mówią, że liczba wymierna A mniej niż liczba wymierna B (A jest większe od liczby A (B>A), jeżeli różnica VA pozytywny. Oznacza to (dla A pomiędzy A i B są te, które są zarówno >A, jak i segmentem (lub człon) i jest oznaczony przez [A, B] (a sam zbiór punktów pośrednich to interwał(Lub pomiędzy), oznaczone (A, B)).

Nazywa się odległość dowolnego punktu A od początku 0, uważaną za liczbę dodatnią całkowita wartość A i jest oznaczony symbolem

Koncepcja " całkowita wartość" definiuje się następująco: jeśli A≥0, to |A| = A; jeśli A

|A + B|≤|A| + |B|,

co jest prawdą niezależnie od znaków A i B.

Fakt o fundamentalnym znaczeniu wyraża następujące zdanie: punkty wymierne są gęsto rozmieszczone w każdym miejscu na osi liczbowej. Znaczenie tego stwierdzenia jest takie, że każdy przedział, niezależnie od tego, jak mały, zawiera punkty wymierne. Aby sprawdzić słuszność postawionego twierdzenia, wystarczy przyjąć liczbę n tak dużą, że przedział będzie mniejszy od podanego przedziału (A, B); wówczas co najmniej jeden z punktów widokowych będzie znajdował się w tym przedziale. Nie ma więc takiego przedziału na osi liczbowej (nawet najmniejszego, jaki można sobie wyobrazić), w którym nie byłoby punktów wymiernych. Prowadzi to do dalszego wniosku: każdy przedział zawiera nieskończony zbiór punktów wymiernych. Rzeczywiście, jeśli pewien przedział zawierał tylko ostateczny numer punktów wymiernych, to w przedziale utworzonym przez dwa sąsiednie takie punkty nie byłoby już punktów wymiernych, co jest sprzeczne z tym, co właśnie zostało udowodnione.