Notatka. Jest to część lekcji poświęconej problemom geometrii (stereometria przekroju, problemy dotyczące piramidy). Jeśli potrzebujesz rozwiązać problem z geometrią, którego tu nie ma, napisz o tym na forum. W zadaniach zamiast symbolu „pierwiastka kwadratowego” używana jest funkcja sqrt(), w której symbolem jest sqrt pierwiastek kwadratowy, a wyrażenie radykalne podano w nawiasach.W przypadku prostych wyrażeń radykalnych można użyć znaku „√”.. Regularny czworościan- To jest regularna trójkątna piramida, w której wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.

W czworościanie foremnym wszystkie kąty dwuścienne na krawędziach i wszystkie kąty trójścienne na wierzchołkach są równe

Czworościan ma 4 ściany, 4 wierzchołki i 6 krawędzi.

Podstawowe wzory na czworościan foremny podano w tabeli.

Gdzie:
S - Pole powierzchni regularnego czworościanu
V - objętość
h - wysokość obniżona do podstawy
r - promień okręgu wpisanego w czworościan
R - promień obwodu
a - długość krawędzi

Praktyczne przykłady

Zadanie.
Znajdź pole powierzchni trójkątnej piramidy, której każda krawędź jest równa √3

Rozwiązanie.
Ponieważ wszystkie krawędzie trójkątnej piramidy są równe, jest ona regularna. Pole powierzchni regularnej trójkątnej piramidy wynosi S = a 2 √3.
Następnie
S = 3√3

Odpowiedź: 3√3

Zadanie.
Wszystkie krawędzie regularnej trójkątnej piramidy są równe 4 cm. Znajdź objętość piramidy

Rozwiązanie.
Ponieważ w regularnej piramidzie trójkątnej wysokość piramidy jest rzutowana na środek podstawy, który jest jednocześnie środkiem opisanego koła, to

AO = R = √3 / 3 za
AO = 4√3 / 3

W ten sposób można znaleźć wysokość piramidy OM trójkąt prostokątny AOM

AO 2 + OM 2 = AM 2
OM 2 = AM 2 - AO 2
OM 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
OM 2 = 16 - 16/3
OM = √(32/3)
OM = 4√2 / √3

Objętość piramidy znajdujemy za pomocą wzoru V = 1/3 Sh
W tym przypadku pole podstawy znajdujemy za pomocą wzoru S = √3/4 a 2

V = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
V = 16√2/3

Odpowiedź: 16√2 / 3 cm

Z podstawowego wzoru na objętość czworościanu

Gdzie S jest obszarem dowolnej twarzy i H– wysokość przez nią obniżona, można wyprowadzić cały szereg wzorów wyrażających objętość poprzez różne elementy czworościanu. Przedstawmy te wzory na czworościan ABCD.

(2) ,

gdzie ∠ ( OGŁOSZENIE,ABC) – kąt pomiędzy krawędziami OGŁOSZENIE i płaszczyzna twarzy ABC;

(3) ,

gdzie ∠ ( ABC,ABD) – kąt pomiędzy ścianami ABC I ABD;

gdzie | AB,płyta CD| – odległość pomiędzy przeciwległymi żebrami AB I płyta CD, ∠ (AB,płyta CD) jest kątem pomiędzy tymi krawędziami.

Wzory (2)–(4) można wykorzystać do znalezienia kątów pomiędzy prostymi i płaszczyznami; Szczególnie przydatny jest wzór (4), za pomocą którego można znaleźć odległość pomiędzy przecinającymi się liniami AB I płyta CD.

Wzory (2) i (3) są podobne do wzorów S = (1/2)ok grzech C dla obszaru trójkąta. Formuła S = rp podobna formuła

Gdzie R jest promieniem wpisanej kuli czworościanu, Σ jest jego pełna powierzchnia(suma powierzchni wszystkich ścian). Istnieje również piękny wzór łączący objętość czworościanu z promieniem R opisana przez nią sfera ( Formuła kreletowa):

gdzie Δ jest obszarem trójkąta, którego boki są liczbowo równe iloczynom przeciwległych krawędzi ( AB× płyta CD, AC× BD,OGŁOSZENIE× PNE.). Ze wzoru (2) i twierdzenia cosinus dla kątów trójściennych (patrz Trygonometria sferyczna) możemy wyprowadzić wzór podobny do wzoru Herona na trójkąty.

Rozważmy dowolny trójkąt ABC i punkt D nie leżący w płaszczyźnie tego trójkąta. Połączmy ten punkt z wierzchołkami za pomocą odcinków trójkąt ABC. W rezultacie otrzymujemy trójkąty ADC, CDB, ABD. Powierzchnia ograniczona czterema trójkątami ABC, ADC, CDB i ABD nazywana jest czworościanem i oznaczona jako DABC.
Trójkąty tworzące czworościan nazywane są jego ścianami.
Boki tych trójkątów nazywane są krawędziami czworościanu. A ich wierzchołki są wierzchołkami czworościanu

Czworościan ma 4 twarze, 6 żeber I 4 szczyty.
Dwie krawędzie, które nie mają wspólnego wierzchołka, nazywane są przeciwległymi.
Często dla wygody nazywa się jedną ze ścian czworościanu podstawa, a pozostałe trzy ściany to ściany boczne.

Zatem czworościan jest najprostszym wielościanem, którego ściany są czterema trójkątami.

Ale prawdą jest również, że każda dowolna piramida trójkątna jest czworościanem. Zatem prawdą jest również, że nazywa się czworościan piramida z trójkątem u podstawy.

Wysokość czworościanu nazywany odcinkiem łączącym wierzchołek z punktem znajdującym się na przeciwległej ścianie i prostopadłym do niej.
Mediana czworościanu nazywany odcinkiem łączącym wierzchołek z punktem przecięcia środkowych przeciwległej ściany.
Bimediana czworościanu nazywany odcinkiem łączącym środki przecinających się krawędzi czworościanu.

Ponieważ czworościan jest piramidą z podstawa trójkątna, wówczas objętość dowolnego czworościanu można obliczyć za pomocą wzoru

  • S– okolice dowolnej twarzy,
  • H– wysokość obniżona do tej twarzy

Regularny czworościan - specjalny rodzaj czworościanu

Czworościan ze wszystkimi bokami trójkąt równoboczny zwany prawidłowy.
Właściwości regularnego czworościanu:

  • Wszystkie krawędzie są równe.
  • Wszystkie kąty płaskie czworościanu foremnego wynoszą 60°
  • Ponieważ każdy z jego wierzchołków jest wierzchołkiem trzech regularne trójkąty, wówczas suma kątów płaskich w każdym wierzchołku wynosi 180°
  • Dowolny wierzchołek czworościanu foremnego jest rzutowany na ortocentrum przeciwnej ściany (w punkcie przecięcia wysokości trójkąta).

Dajmy sobie czworościan foremny ABCD o krawędziach równych a. DH to jego wysokość.
Wykonajmy dodatkowe konstrukcje BM - wysokość trójkąta ABC i DM - wysokość trójkąta ACD.
Wysokość BM jest równa BM i jest równa
Rozważmy trójkąt BDM, gdzie DH, czyli wysokość czworościanu, jest także wysokością tego trójkąta.
Wysokość trójkąta opuszczonego na bok MB można obliczyć korzystając ze wzoru

, Gdzie
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Podstawmy te wartości do wzoru na wysokość. Dostajemy


Wyjmijmy 1/2a. Dostajemy



Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów

Po małych przekształceniach otrzymujemy


Objętość dowolnego czworościanu można obliczyć za pomocą wzoru
,
Gdzie ,

Podstawiając te wartości, otrzymujemy

Zatem wzór na objętość czworościanu foremnego to:

Gdzie A–krawędź czworościanu

Obliczanie objętości czworościanu, jeśli znane są współrzędne jego wierzchołków

Podajmy współrzędne wierzchołków czworościanu

Z wierzchołka rysujemy wektory , , .
Aby znaleźć współrzędne każdego z tych wektorów, odejmij odpowiednią współrzędną początkową od współrzędnej końcowej. Dostajemy


Definicja czworościanu

Czworościan– najprostsza bryła wielościenna, której ścianami i podstawą są trójkąty.

Kalkulator internetowy

Czworościan ma cztery ściany, a każdą z nich tworzą trzy boki. Czworościan ma cztery wierzchołki, z każdego z nich wychodzą trzy krawędzie.

To ciało jest podzielone na kilka typów. Poniżej znajduje się ich klasyfikacja.

  1. Czworościan izoedryczny- wszystkie jego ściany są identycznymi trójkątami;
  2. Ortocentryczny czworościan- wszystkie wysokości narysowane od każdego wierzchołka do przeciwległej ściany są równej długości;
  3. Prostokątny czworościan- krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka tworzą ze sobą kąt 90 stopni;
  4. Rama;
  5. Procentowy;
  6. Incentryczny.

Wzory na objętość czworościanu

Objętość danego ciała można znaleźć na kilka sposobów. Przyjrzyjmy się im bardziej szczegółowo.

Poprzez mieszany produkt wektorów

Jeżeli czworościan jest zbudowany na trzech wektorach o współrzędnych:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)A= (A X​ , A y​ , A z​ )
b ⃗ = (b x , b y , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)B= (B X​ , B y​ , B z​ )
do ⃗ = (c x , c y , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)C= (C X​ , C y​ , C z​ ) ,

wówczas objętość tego czworościanu wynosi praca mieszana tych wektorów, czyli następujący wyznacznik:

Objętość czworościanu poprzez wyznacznik

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )V=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ C X​ ​ A y​ B y​ C y​ ​ A z​ B z​ C z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

Problem 1

Znane są współrzędne czterech wierzchołków ośmiościanu. A(1, 4, 9) A(1,4,9) O(1, 4, 9), B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3), C (1 , 2 , 3) ​​​​C (1,2,3) C(1, 2, 3), D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1). Znajdź jego objętość.

Rozwiązanie

A(1, 4, 9) A(1,4,9) O(1, 4, 9)
B (8, 7, 3) B (8,7,3) B(8, 7, 3)
C (1 , 2 , 3) ​​​​C (1,2,3) C(1, 2, 3)
D(7, 12, 1) D(7,12,1) D(7, 1 2, 1)

Pierwszym krokiem jest określenie współrzędnych wektorów, na których zbudowane jest to ciało.
Aby to zrobić, musisz znaleźć każdą współrzędną wektora, odejmując odpowiednie współrzędne dwóch punktów. Na przykład współrzędne wektora A B → \overrightarrow(AB) A B, czyli wektor skierowany od punktu A A do momentu B.B B, są to różnice między odpowiednimi współrzędnymi punktów B.B B I A A:

ZA B → = (8 - 1 , 7 - 4 , 3 - 9) = (7 , 3 , - 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)A B= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

ZA do → = (1 - 1 , 2 - 4 , 3 - 9) = (0 , - 2 , - 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)C= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
ZA re → = (7 - 1 , 12 - 4 , 1 - 9) = (6 , 8 , - 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)A D= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

Znajdźmy teraz iloczyn mieszany tych wektorów; w tym celu utworzymy wyznacznik trzeciego rzędu, przyjmując, że A B → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)A B= A, A C → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)C= B, A D → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)A D= C.

a x za y a z b x b y b z do x do y do z (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 i -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\ cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ A X​ B X​ CX​ ​ Ay​ By​ Cy​ ​ Az​ Bz​ Cz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

Oznacza to, że objętość czworościanu jest równa:

V = 1 6 ⋅ ∣ za x za y za z b x b y b z do x do y do z ∣ = 1 6 ⋅ ∣ 7 3 - 6 0 - 2 - 6 6 8 - 8 ∣ = 1 6 ⋅ 268 ≈ 44,8 cm 3 V=\frac(1)(6)\cdot\begin (vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot \begin(vmatrix) 7 i 3 & - 6 \\ 0 i -2 i -6 \\ 6 i 8 i -8 \\ \end(vmatrix)=\frac(1)(6)\cdot268\około44.8\text( cm)^3

Odpowiedź

44,8 cm3. 44,8\tekst (cm)^3.

Wzór na objętość czworościanu izoedrycznego wzdłuż jego boku

Wzór ten obowiązuje tylko przy obliczaniu objętości czworościanu izoedrycznego, to znaczy czworościanu, w którym wszystkie ściany są identycznymi trójkątami foremnymi.

Objętość czworościanu izoedrycznego

V = 2 ⋅ a 3 12 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)

a a

Problem 2

Wyznacz objętość czworościanu, mając jego bok równy 11 cm 11\tekst( cm)

Rozwiązanie

a=11 a=11

Zastąpmy a a

V = 2 ⋅ za 3 12 = 2 ⋅ 1 1 3 12 ≈ 156,8 cm 3 V=\frac(\sqrt(2)\cdot a^3)(12)=\frac(\sqrt(2)\cdot 11^ 3)(12)\około156,8\tekst (cm)^3

Odpowiedź

156,8 cm3. 156,8\tekst (cm)^3.