Temat lekcji: Stopień z naturalnym wskaźnikiem

Typ lekcji: lekcja uogólniania i systematyzacji wiedzy

Typ lekcji: łączny

Formy pracy: indywidualna, frontalna, praca w parach

Sprzęt: komputer, produkt multimedialny (prezentacja w programieMicrosoftuBiuroPower Point 2007); karty z zadaniami do samodzielnej pracy

Cele Lekcji:

Edukacyjny : rozwijanie umiejętności systematyzowania i uogólniania wiedzy o stopniach z wykładnikiem naturalnym, utrwalania i doskonalenia umiejętności prostych przekształceń wyrażeń zawierających stopnie z wykładnikiem naturalnym.

- rozwijanie: przyczyniają się do kształtowania umiejętności stosowania technik uogólniania, porównywania, podkreślania najważniejszych rzeczy, rozwoju horyzontów matematycznych, myślenia, mowy, uwagi i pamięci.

- edukacyjny: promować zainteresowanie matematyką, aktywnością, organizacją, kształtować pozytywny motyw do nauki, rozwijać umiejętności w działaniach edukacyjnych i poznawczych

Notatka wyjaśniająca.

Ta lekcja jest nauczana klasa ogólnokształcąca ze średnim poziomem wykształcenia matematycznego. Głównym celem lekcji jest rozwinięcie umiejętności systematyzowania i uogólniania wiedzy o stopniu za pomocą naturalnego wskaźnika, co realizuje się w procesie wykonywania różnych ćwiczeń.

Charakter rozwojowy przejawia się w doborze ćwiczeń. Korzystanie z produktu multimedialnego pozwala zaoszczędzić czas, uatrakcyjnić materiał i pokazać przykłady rozwiązań.Na lekcji wykorzystywane są różne rodzaje pracy, co łagodzi zmęczenie dzieci.

Struktura lekcji:

  1. Organizowanie czasu.

  2. Zgłoszenie tematu, ustalenie celów lekcji.

  4. Praca ustna.

  5. Systematyzacja wiedzy wspomagającej.

  6. Elementy technologii oszczędzających zdrowie.

  7. Wykonanie zadania testowego

  9. Podsumowanie lekcji.

  10. Praca domowa.

Podczas zajęć:

I.Organizowanie czasu

Nauczyciel: Cześć chłopaki! Miło mi powitać Cię na dzisiejszej lekcji. Usiądź. Mam nadzieję, że na dzisiejszej lekcji czeka nas zarówno sukces, jak i radość. A my, pracując jako zespół, pokażemy nasz talent.

Uważaj podczas lekcji. Pomyśl, zapytaj, zasugeruj - bo wspólnie przejdziemy drogę do prawdy.

Otwórzcie swoje zeszyty i zapiszcie numer, świetna robota

II. Komunikowanie tematu, ustalanie celów lekcji

1) Temat lekcji. Epigraf lekcji.(slajd 2,3)

„Niech ktoś spróbuje wymazać z matematyki

stopni i zobaczy, że bez nich daleko nie zajedziesz” M.V. Łomonosow

2) Ustalanie celów lekcji.

Nauczyciel: Zatem podczas lekcji będziemy powtarzać, uogólniać i systematyzować przestudiowany materiał. Twoim zadaniem jest wykazanie się znajomością właściwości stopni z wykładnikiem naturalnym i umiejętnością ich zastosowania podczas wykonywania różnych zadań.

III. Powtórzenie podstawowych pojęć z tematu, własności stopni z wykładnikami naturalnymi

1) rozwiązać anagram: (slajd 4)

Nspete (stopień)

Dziwka (segment)

Hovhaniosne (podstawa)

Casapotel (wskaźnik)

Mnożenie (mnożenie)

2) Co to jest stopień z wykładnikiem naturalnym?(slajd 5)

(Potęga liczby A z naturalnym wskaźnikiem N , większe niż 1, nazywa się wyrażeniem A N , równy produktowi N czynników, z których każdy jest równy A obniżać, N -indeks)

3) Przeczytaj wyrażenie, podaj podstawę i wykładnik: (slajd 6)

4) Podstawowe własności stopnia (dodaj prawą stronę równości)(slajd 7)

  • A N A M =

  • A N :A M =

  • (A N ) M =

  • (ab) N =

  • ( A / B ) N =

  • A 0 =

  • A 1 =

IV U Ładny Stanowisko

1) liczenie ustne (slajd 8)

Nauczyciel: Sprawdźmy teraz, jak zastosować te formuły podczas rozwiązywania.

1)x 5 X 7 ; 2) 4 A 0 ;

3) do 9 : Do 7 ; 4) R N : R ;

5)5 5 2 ; 6) (- B )(- B ) 3 (- B );

7) z 4 : Z; 8) 7 3 : 49;

9) r 4 Na 6 y 10) 7 4 49 7 3 ;

11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;

13) ss 3 ; 14) 2 N A N ;

15) x 9 : X M ; 16) r N : tak

2) gra „Wyeliminuj niepotrzebne” ((-1) 2 )(slajd 9)

-1

Dobrze zrobiony. Wykonać dobrą robotę. Następnie rozwiązujemy następujące przykłady.

VSystematyzacja wiedzy referencyjnej

1. Połącz odpowiadające sobie wyrażenia liniami:(slajd 10)

4 ⁶ 4 2 3 6 4 6

4 6 : 4 2 4 6 /5 6

(3 4) 6 4 ⁶ +2

(4 2 ) 6 4 6-2

(4/5) 6 4 12

2. Ułóż liczby w kolejności rosnącej:(slajd 11)

3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3

3.Zaliczenie zadania i samotest(slajd 12)

  • A1, przedstaw produkt jako moc:

a) a) x 5 X 4 ; b) 3 7 3 9 ; o 4) 3 (-4) 8 .

  • I 2 upraszczają wyrażenie:

a) x 3 X 7 X 8 ; b) 2 21 :2 19 2 3

  • I 3 wykonaj potęgowanie:

a) (a 5 ) 3 ; pne 7 ) 2

VIElementy technologii oszczędzających zdrowie (slajd 13)

Lekcja wychowania fizycznego: powtórzenie potęg liczb 2 i 3

VIIZadanie testowe (slajd 14)

Odpowiedzi do testu są zapisane na tablicy: 1 d 2 o 3b 4y 5 h 6a (zdobycz)

VIII Samodzielna praca z wykorzystaniem kart

Na każdym biurku znajdują się karty z zadaniem według opcji, po wykonaniu pracy przekazywane są do weryfikacji

opcja 1

1) Uprość wyrażenia:

A) B)

V) G)

A) B)

V) G)


Opcja 2

1) Uprość wyrażenia:

A) B)

V) G)

2) Znajdź znaczenie wyrażenia:

A)B)

V) G)

3) Użyj strzałki, aby pokazać, czy wartość wyrażenia wynosi zero, jest liczbą dodatnią czy ujemną:

Wyniki lekcji IX

NIE.

Rodzaj pracy

poczucie własnej wartości

Ocena nauczyciela

1

Anagram

2

Przeczytaj wyrażenie

3

Zasady

4

Liczenie werbalne

5

Połącz liniami

6

Ułóż w kolejności rosnącej

7

Zadania samotestujące

8

Test

9

Samodzielna praca przy użyciu kart

Zadanie domowe

Karty testowe

A1. Znajdź znaczenie wyrażenia: .

Lekcja na temat: „Stopień i jego właściwości”.

Cel lekcji:

    Podsumuj wiedzę uczniów na temat: „Ukończ z naturalnym wskaźnikiem”.

    Osiągnięcie od studentów świadomego zrozumienia definicji stopni, właściwości i umiejętności ich stosowania.

    Nauczenie stosowania wiedzy i umiejętności do zadań o różnym stopniu złożoności.

    Stwórz warunki do przejawu niezależności, wytrwałości, aktywności umysłowej i zaszczepij miłość do matematyki.

Wyposażenie: karty perforowane, karty, testy, tabele.

Lekcja ma na celu usystematyzowanie i uogólnienie wiedzy uczniów na temat właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym. Materiał lekcyjny kształtuje wiedzę matematyczną dzieci i rozwija zainteresowanie tematem oraz spojrzenie w aspekcie historycznym.


Postęp.

    Komunikowanie tematu i celu lekcji.

Dzisiaj mamy lekcję ogólną na temat „Wykładnik z wykładnikiem naturalnym i jego właściwości”.

Celem naszej lekcji jest powtórzenie całości przerobionego materiału i przygotowanie się do testu.

    Sprawdzanie pracy domowej.

(Cel: sprawdzenie opanowania potęgowania, iloczynów i stopni).

№ 238 (b) nr 220 (a; d) nr 216.

Przy planszy znajdują się 2 osoby z indywidualnymi kartami.

za 4 ∙ za 15 za 12 ∙ za 4 za 12: za 4 za 18: za 9 (za 2) 5 (za 4) 8 (2 b 3) 6 (a 6 bв 4) 3 0 0

    Praca ustna.

(Cel: powtórz kluczowe punkty wzmacniające algorytm mnożenia i dzielenia potęg, podnosząc do potęgi).

    Sformułuj definicję potęgi liczby z wykładnikiem naturalnym.

    Wykonaj kroki.

za ∙ za 3 ; a 4: a 2; (a6) 2; (2a 3) 3; 0.

    Przy jakiej wartości x zachodzi równość.

5 6 ∙5 x = 5 10 10 x: 10 2 = 10 (za 4) x = za 8 (za x b 2) = za 35 b 10

    Określ znak wyrażenia bez wykonywania jakichkolwiek obliczeń.

(-3) 5 , -19 2 , -(-15) 2 , (-8) 6 , - (-17) 7

    Uproszczać.

A)
; b) (a 4) 6: (za 3) 3

    Burza mózgów.

( Cel : sprawdzić podstawową wiedzę studentów, właściwości stopnia).

Praca z kartami dziurkowanymi w celu zwiększenia szybkości.

6: 4; 10: 3 (a2)2; (za 3) 3; (a4) 5; (za 0) 2 .
    (2a 2) 2; (-2a 3) 3; (3a 4) 2; (-2a 2 b) 4 .

    Ćwiczenia: Uprość wyrażenie (pracujemy w parach, klasa rozwiązuje zadanie a, b, c, sprawdzamy wspólnie).

(Cel: przećwiczenie właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym.)

A)
; B)
; V)


6. Oblicz:

A)
( zbiorowo )

B)
( na własną rękę )

V)
( na własną rękę )

G)
( zbiorowo )

D)
( na własną rękę ).


7 . Sprawdź się!

(Cel: rozwój elementów działalność twórcza uczniowie i umiejętność kontrolowania swoich działań).

Praca z testami, 2 uczniów na tablicy, autotest.

ja – ok.



    Oceń wyrażenia.



║ - V.

    Uprość swoje wyrażenia.


    Oblicz.


    Oceń wyrażenia.


    D/z home k/r (kartami).

    Podsumowanie lekcji, ocena.

(Cel: Aby uczniowie mogli wyraźnie zobaczyć wynik swojej pracy i rozwinąć zainteresowania poznawcze).

    Kto jako pierwszy rozpoczął studia magisterskie?

    Jak zbudować n ?

Zatem do n-tego stopnia myA wyprostowany

Musimy pomnożyć n raz

Jeśli ani razu – nigdy

Jeśli więcej, pomnóż i na,

Powtarzam, n razy.

3) Czy możemy podnieść liczbę do n stopni, bardzo szybko?

Jeśli weźmiesz mikrokalkulator

Numer a wybierzesz numer tylko raz

A potem znak mnożenia - także raz,

Możesz nacisnąć znak „sukcesu” tyle razy

Ile pokaże nam n bez jednostki

I odpowiedź jest gotowa, bez szkolnego długopisu NAWET .

4) Wymień właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym.

Oceny za lekcję wystawimy po sprawdzeniu pracy z kartami dziurkowanymi, za pomocą testów, biorąc pod uwagę odpowiedzi tych uczniów, którzy odpowiedzieli podczas lekcji.

Dobrze się dzisiaj sprawdziłeś, dziękuję.

Literatura:

1. Algebra A.G.Mordkovicha – klasa 7.

2.Materiały dydaktyczne - klasa 7.

3. Testy A.G. Mordkovicha - klasa 7.


Po ustaleniu potęgi liczby logiczne jest porozmawianie o tym właściwości stopnia. W tym artykule podamy podstawowe właściwości potęgi liczby, dotykając wszystkich możliwych wykładników. Tutaj przedstawimy dowody wszystkich właściwości stopni, a także pokażemy, jak te właściwości są wykorzystywane przy rozwiązywaniu przykładów.

Nawigacja strony.

Własności stopni z wykładnikami naturalnymi

Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym potęga a n jest iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. W oparciu o tę definicję, a także za pomocą właściwości mnożenia liczby rzeczywiste , możemy uzyskać i uzasadnić, co następuje własności stopnia z wykładnikiem naturalnym:

  1. główna właściwość stopnia a m ·a n =a m+n, jej uogólnienie;
  2. własność potęg ilorazowych z na tej samej podstawie za m:a n =a m−n;
  3. iloczyn mocy (a·b) n =a n ·b n , jego rozszerzenie;
  4. właściwość ilorazu stopnia naturalnego (a:b) n =a n:b n ;
  5. podniesienie stopnia do potęgi (a m) n =a m·n, jego uogólnienie (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
  6. porównanie stopnia z zerem:
    • jeśli a>0, to a n>0 dla dowolnej liczby naturalnej n;
    • jeśli a=0, to n=0;
    • Jeśli<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 jeśli<0 и показатель степени есть liczba nieparzysta 2 m−1, potem 2 m−1<0 ;
  7. jeśli a i b są liczbami dodatnimi oraz a
  8. jeśli m i n są takie same liczby całkowite, że m>n, to przy 0 0 nierówność a m >a n jest prawdziwa.

Zauważmy od razu, że wszystkie zapisane równości są identyczny pod warunkiem spełnienia określonych warunków, możliwa jest zamiana ich prawej i lewej części. Na przykład główna właściwość ułamka a m ·a n =a m+n z upraszczanie wyrażeń często używane w formie a m+n =a m ·a n .

Przyjrzyjmy się teraz szczegółowo każdemu z nich.

    Zacznijmy od własności iloczynu dwóch potęg o tych samych podstawach, która nazywa się główna właściwość stopnia: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n, prawdziwa jest równość a m ·a n =a m+n.

    Udowodnimy główną właściwość stopnia. Z definicji potęgi o wykładniku naturalnym iloczyn potęg o tych samych podstawach postaci a m·a n można zapisać jako iloczyn. Ze względu na właściwości mnożenia powstałe wyrażenie można zapisać jako , a ten iloczyn jest potęgą liczby a z wykładnikiem naturalnym m+n, czyli a m+n. To kończy dowód.

    Podajmy przykład potwierdzający główną właściwość stopnia. Weźmy stopnie o tych samych podstawach 2 i potęgach naturalnych 2 i 3, korzystając z podstawowej właściwości stopni, możemy zapisać równość 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5. Sprawdźmy jego ważność, obliczając wartości wyrażeń 2 2 · 2 3 i 2 5 . Wykonujemy potęgowanie, mamy 2 2 ·2 3 =(2,2)·(2,2,2)=4,8=32 i 2 5 =2·2·2·2·2=32, ponieważ uzyskuje się równe wartości, to równość 2 2 ·2 3 =2 5 jest poprawna i potwierdza główną właściwość stopnia.

    Podstawową właściwość stopnia, opartą na właściwościach mnożenia, można uogólnić na iloczyn trzech lub więcej potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych. Zatem dla dowolnej liczby k liczb naturalnych n 1, n 2, …, n k prawdziwa jest równość: za n 1 ·a n 2 ·…·a n k =za n 1 +n 2 +…+n k.

    Na przykład, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .

    Możemy przejść do kolejnej własności potęg z wykładnikiem naturalnym – własność ilorazu potęg o tych samych podstawach: dla dowolnej niezerowej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n spełniających warunek m>n, prawdziwa jest równość a m:a n =a m−n.

    Zanim przedstawimy dowód tej własności, omówmy znaczenie dodatkowych warunków w sformułowaniu. Warunek a≠0 jest konieczny, aby uniknąć dzielenia przez zero, gdyż 0 n =0, a kiedy zapoznaliśmy się z dzieleniem, zgodziliśmy się, że nie można dzielić przez zero. Warunek m>n zostaje wprowadzony, abyśmy nie wykraczali poza wykładniki naturalne. Rzeczywiście, dla m>n wykładnik a m−n jest liczbą naturalną, w przeciwnym razie będzie to albo zero (co dzieje się dla m−n), albo liczba ujemna (co zdarza się dla m

    Dowód. Główna właściwość ułamka pozwala nam zapisać równość a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Z otrzymanej równości a m−n ·a n =a m i wynika, że ​​a m−n jest ilorazem potęg a m i an . Dowodzi to własności ilorazów o identycznych podstawach.

    Podajmy przykład. Weźmy dwa stopnie o tych samych podstawach π i wykładnikach naturalnych 5 i 2, równość π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 odpowiada rozważanej właściwości stopnia.

    Teraz rozważmy właściwość mocy produktu: naturalna potęga n iloczynu dowolnych dwóch liczb rzeczywistych a i b jest równa iloczynowi potęg a n i b n , czyli (a·b) n =a n ·b n .

    Rzeczywiście, z definicji stopnia z naturalnym wykładnikiem mamy . W oparciu o właściwości mnożenia ostatni iloczyn można przepisać jako , co jest równe a n · b n .

    Oto przykład: .

    Właściwość ta rozciąga się na potęgę iloczynu trzech lub więcej czynników. Oznacza to, że właściwość stopnia naturalnego n iloczynu k czynników jest zapisana jako (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·ak k n.

    Dla przejrzystości pokażemy tę właściwość na przykładzie. Dla iloczynu trzech czynników do potęgi 7 mamy .

    Następna właściwość to właściwość ilorazu w naturze: iloraz liczb rzeczywistych aib, b≠0 do potęgi naturalnej n jest równy ilorazowi potęg a n i b n, czyli (a:b) n =a n:b n.

    Dowód można przeprowadzić wykorzystując poprzednią własność. Więc (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, a z równości (a:b) n ·b n =a n wynika, że ​​(a:b) n jest ilorazem a n podzielonym przez b n .

    Zapiszmy tę właściwość na przykładzie konkretnych liczb: .

    Teraz zabierzmy głos właściwość podnoszenia potęgi do potęgi: dla dowolnej liczby rzeczywistej a oraz dowolnych liczb naturalnych m i n potęga a m do potęgi n jest równa potędze liczby a z wykładnikiem m·n, czyli (a m) n =a m·n.

    Na przykład (5 2) 3 =5 2.3 =5 6.

    Dowodem własności potęgi do stopnia jest następujący ciąg równości: .

    Rozważaną właściwość można rozszerzyć o stopień na stopień na stopień itp. Na przykład dla dowolnych liczb naturalnych p, q, r i s równość . Dla większej przejrzystości oto przykład z konkretnymi liczbami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10 .

    Pozostaje zastanowić się nad właściwościami porównywania stopni z naturalnym wykładnikiem.

    Zacznijmy od udowodnienia właściwości porównywania zera i potęgi z wykładnikiem naturalnym.

    Najpierw udowodnijmy, że a n > 0 dla dowolnego a > 0.

    Iloczyn dwóch liczb dodatnich jest liczbą dodatnią, jak wynika z definicji mnożenia. Fakt ten oraz właściwości mnożenia sugerują, że wynik mnożenia dowolnej liczby liczb dodatnich również będzie liczbą dodatnią. A potęga liczby a z wykładnikiem naturalnym n jest z definicji iloczynem n czynników, z których każdy jest równy a. Argumenty te pozwalają nam stwierdzić, że dla dowolnej podstawy dodatniej a stopień a n jest liczbą dodatnią. Ze względu na sprawdzoną właściwość 3 5 >0, (0.00201) 2 >0 i .

    Jest całkiem oczywiste, że dla dowolnej liczby naturalnej n z a=0 stopień n wynosi zero. Rzeczywiście, 0 n =0·0·…·0=0 . Na przykład 0 3 =0 i 0 762 =0.

    Przejdźmy do ujemnych podstaw stopnia.

    Zacznijmy od przypadku, gdy wykładnik jest liczbą parzystą, oznaczmy go jako 2·m, gdzie m jest liczbą naturalną. Następnie . Dla każdego z iloczynów postaci a·a jest równy iloczynowi modułów liczb a i a, czyli jest liczbą dodatnią. Dlatego produkt będzie również pozytywny i stopień a 2·m. Podajmy przykłady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 i .

    Wreszcie, gdy podstawa a jest liczbą ujemną, a wykładnik jest liczbą nieparzystą, to 2 m−1 . Wszystkie iloczyny a·a są liczbami dodatnimi, iloczyn tych liczb dodatnich jest również dodatni i jego pomnożenie przez resztę liczba ujemna a daje liczbę ujemną. Ze względu na tę właściwość (-5) 3<0 , (−0,003) 17 <0 и .

    Przejdźmy do własności porównywania potęg o tych samych wykładnikach naturalnych, która ma następujące sformułowanie: z dwóch potęg o takich samych wykładnikach naturalnych n jest mniejsze od tej, której podstawa jest mniejsza, a większe to ta, której podstawa jest większa . Udowodnijmy to.

    Nierówność n własności nierówności możliwa do udowodnienia nierówność postaci a n jest również prawdziwa (2.2) 7 i .

    Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych własności potęg o wykładnikach naturalnych. Sformułujmy to. Z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach dodatnich mniejszych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest mniejszy; a z dwóch potęg o wykładnikach naturalnych i identycznych podstawach większych niż jeden, większa jest ta, której wykładnik jest większy. Przejdźmy do dowodu tej własności.

    Udowodnimy to dla m>n i 0 0 ze względu na warunek początkowy m>n, co oznacza, że ​​przy 0

    Pozostaje udowodnić drugą część własności. Udowodnimy, że dla m>n i a>1 a m >a n jest prawdziwe. Różnica a m −a n po usunięciu n z nawiasów przyjmuje postać a n·(a m−n −1) . Iloczyn ten jest dodatni, gdyż dla a>1 stopień a n jest liczbą dodatnią, a różnica a m−n −1 jest liczbą dodatnią, gdyż m−n>0 wynika z warunku początkowego, a dla a>1 stopień a m-n jest większe niż jeden. W konsekwencji a m −a n >0 i a m >a n , co należało udowodnić. Własność tę ilustruje nierówność 3 7 >3 2.

Własności potęg o wykładnikach całkowitych

Ponieważ dodatnie liczby całkowite są liczbami naturalnymi, to wszystkie właściwości potęg o dodatnich wykładnikach całkowitych pokrywają się dokładnie z właściwościami potęg o wykładnikach naturalnych, wymienionymi i udowodnionymi w poprzednim akapicie.

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem całkowitym ujemnym oraz stopień z wykładnikiem zerowym w taki sposób, aby wszystkie własności stopni z wykładnikami naturalnymi wyrażone równościami pozostały aktualne. Dlatego wszystkie te właściwości obowiązują zarówno dla wykładników zerowych, jak i wykładników ujemnych, chociaż oczywiście podstawy potęg są różne od zera.

Zatem dla dowolnych liczb rzeczywistych i niezerowych aib, a także dowolnych liczb całkowitych m i n, spełnione są następujące warunki: własności potęg o wykładnikach całkowitych:

  1. a m ·a n =a m+n ;
  2. za m:a n =a m−n ;
  3. (a·b) n =a n ·b n ;
  4. (a:b) n =a n:b n ;
  5. (a m) n =a m·n ;
  6. jeśli n jest dodatnią liczbą całkowitą, aib są liczbami dodatnimi, oraz a b-n;
  7. jeśli m i n są liczbami całkowitymi i m>n, to przy 0 1 zachodzi nierówność a m >a n.

Gdy a=0, potęgi am i an mają sens tylko wtedy, gdy zarówno m, jak i n są dodatnimi liczbami całkowitymi, to znaczy liczbami naturalnymi. Zatem zapisane właśnie właściwości obowiązują również w przypadkach, gdy a = 0, a liczby m i n są dodatnimi liczbami całkowitymi.

Udowodnienie każdej z tych własności nie jest trudne, wystarczy w tym celu posłużyć się definicjami stopni o wykładnikach naturalnych i całkowitych oraz własnościami operacji na liczbach rzeczywistych. Jako przykład udowodnijmy, że właściwość potęgi do potęgi obowiązuje zarówno dla dodatnich, jak i niedodatnich liczb całkowitych. Aby to zrobić, trzeba pokazać, że jeśli p wynosi zero lub liczbę naturalną, a q wynosi zero lub liczbę naturalną, to równości (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) i (a −p) −q =a (−p)·(−q). Zróbmy to.

Dla dodatnich p i q w poprzednim akapicie udowodniono równość (a p) q =a p·q. Jeśli p=0, to mamy (a 0) q =1 q =1 i a 0·q =a 0 =1, skąd (a 0) q =a 0·q. Podobnie, jeśli q=0, to (a p) 0 =1 i a p·0 =a 0 =1, skąd (a p) 0 =a p·0. Jeśli zarówno p=0, jak i q=0, to (a 0) 0 =1 0 =1 i a 0,0 =a 0 =1, skąd (a 0) 0 =a 0,0.

Teraz udowodnimy, że (a −p) q =a (−p)·q . Zatem z definicji potęgi o wykładniku ujemnym będącym liczbą całkowitą . Z własności ilorazów potęg, które mamy . Ponieważ 1 p =1·1·…·1=1 i , to . Ostatnie wyrażenie z definicji jest potęgą postaci a −(p·q), którą ze względu na zasady mnożenia można zapisać jako a (−p)·q.

Podobnie .

I .

Stosując tę ​​samą zasadę, możesz udowodnić wszystkie inne właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, zapisanym w postaci równości.

W przedostatniej z zarejestrowanych własności warto zatrzymać się na dowodzie nierówności a −n >b −n, który obowiązuje dla dowolnej ujemnej liczby całkowitej −n oraz dowolnych dodatnich a i b, dla których warunek a jest spełniony . Ponieważ według warunku a 0. Iloczyn a n · b n jest również dodatni jako iloczyn liczb dodatnich a n i b n . Wtedy powstały ułamek jest dodatni jako iloraz liczb dodatnich b n −a n i a n ·b n . Zatem skąd a −n >b −n , co należało udowodnić.

Ostatnią własność potęg o wykładnikach całkowitych dowodzi się w taki sam sposób, jak podobną własność potęg o wykładnikach naturalnych.

Własności potęg o wykładnikach wymiernych

Zdefiniowaliśmy stopień z wykładnikiem ułamkowym, rozszerzając na niego właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym. Innymi słowy, potęgi o wykładnikach ułamkowych mają takie same właściwości jak potęgi o wykładnikach całkowitych. Mianowicie:

Dowód własności stopni z wykładnikami ułamkowymi opiera się na definicji stopnia z wykładnikiem ułamkowym oraz na własnościach stopnia z wykładnikiem całkowitym. Przedstawmy dowody.

Z definicji potęgi z wykładnikiem ułamkowym i , a następnie . Właściwości pierwiastka arytmetycznego pozwalają nam zapisać następujące równości. Ponadto, korzystając z właściwości stopnia z wykładnikiem całkowitym, otrzymujemy , z którego, zgodnie z definicją stopnia z wykładnikiem ułamkowym, mamy , a wskaźnik uzyskanego stopnia można przekształcić w następujący sposób: . To kończy dowód.

Drugą własność potęg o wykładnikach ułamkowych udowadnia się w zupełnie podobny sposób:

Pozostałe równości dowodzi się stosując podobne zasady:

Przejdźmy do udowodnienia kolejnej własności. Udowodnijmy, że dla dowolnego dodatniego a i b, a b s. Zapiszmy liczbę wymierną p jako m/n, gdzie m jest liczbą całkowitą, a n jest liczbą naturalną. Warunki str. 1<0 и p>0 w tym przypadku warunki m<0 и m>Odpowiednio 0. Dla m>0 i a

Podobnie dla m<0 имеем a m >b m , to znaczy skąd i a p >b p .

Pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości. Udowodnijmy, że dla liczb wymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q . Zawsze możemy sprowadzić liczby wymierne p i q do wspólnego mianownika, nawet jeśli otrzymamy ułamki zwykłe i , gdzie m 1 i m 2 są liczbami całkowitymi, a n jest liczbą naturalną. W tym przypadku warunek p>q będzie odpowiadał warunkowi m 1 > m 2, który wynika z. Następnie, korzystając z własności porównywania potęg o tych samych podstawach i wykładnikach naturalnych w punkcie 0 1 – nierówność a m 1 > a m 2 . Te nierówności we właściwościach pierwiastków można odpowiednio przepisać jako I . A definicja stopnia z racjonalnym wykładnikiem pozwala nam przejść do nierówności i odpowiednio. Stąd wyciągamy ostateczny wniosek: dla p>q i 0 0 – nierówność a p >a q .

Własności potęg o wykładnikach niewymiernych

Ze sposobu, w jaki definiuje się stopień z wykładnikiem niewymiernym, możemy wywnioskować, że ma on wszystkie właściwości stopni z wykładnikami wymiernymi. Zatem dla dowolnego a>0, b>0 i liczby niewymierne p i q są następujące własności potęg o wykładnikach niewymiernych:

  1. a p ·a q =a p+q ;
  2. a p:a q =a p-q ;
  3. (a·b) p =a p ·b p ;
  4. (a:b) p =a p:b p ;
  5. (a p) q =a p·q ;
  6. dla dowolnych liczb dodatnich aib, a 0 nierówność a p bp;
  7. dla liczb niewymiernych p i q, p>q przy 0 0 – nierówność a p >a q .

Z tego możemy wywnioskować, że potęgi z dowolnymi wykładnikami rzeczywistymi p i q dla a>0 mają te same właściwości.

Bibliografia.

  • Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Podręcznik do matematyki dla klasy V. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 7. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 8. instytucje edukacyjne.
  • Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: podręcznik dla klasy 9. instytucje edukacyjne.
  • Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
  • Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Mapa technologiczna sesji szkoleniowej

Lekcja nr 38 dla klasy 7

Temat: Stopień z naturalnym wskaźnikiem

1. Zapewnienie powtarzalności, uogólnienia i usystematyzowania wiedzy na dany temat, utrwalenie i doskonalenie umiejętności prostych przekształceń wyrażeń zawierających potęgi z naturalnym wykładnikiem, stworzenie warunków do monitorowania przyswajania wiedzy i umiejętności;

2. Promowanie kształtowania umiejętności stosowania technik uogólniania, porównywania, podkreślania najważniejszych rzeczy, promowanie zainteresowania przenoszeniem wiedzy do nowej sytuacji, rozwojem horyzontów matematycznych, mowy, uwagi i pamięci, rozwojem aktywności edukacyjnej i poznawczej;

3. Promowanie zainteresowania matematyką, aktywnością, organizacją, rozwijanie umiejętności wzajemnej i samokontroli swoich działań, kształtowanie pozytywnej motywacji do nauki i kultury komunikacji.

Podstawowe pojęcia lekcji

Stopień, podstawa stopnia, wykładnik, właściwości stopnia, iloczyn stopnia, dzielenie stopni, podnoszenie stopnia do potęgi.

Planowany wynik

Nauczą się operować pojęciem stopnia, rozumieć znaczenie zapisu liczby jako stopnia i wykonywać proste przekształcenia wyrażeń zawierających stopnie z wykładnikiem naturalnym.

Będą mieli okazję nauczyć się przeprowadzać przekształcenia wyrażeń całkowitych zawierających stopień z wykładnikiem naturalnym

Umiejętności przedmiotowe, UUD

Osobisty UUD:

umiejętność samooceny w oparciu o kryterium sukcesu w działaniach edukacyjnych.

UUD poznawczy:

umiejętność poruszania się w systemie wiedzy i umiejętności: odróżniania rzeczy nowych od tego, co już znane przy pomocy nauczyciela; znajdź odpowiedzi na pytania, korzystając z informacji zdobytych na zajęciach.

Generalizacja i systematyzacja materiał edukacyjny, operować symbolicznym zapisem stopni, podstawień, odtwarzać z pamięci informacje niezbędne do rozwiązania problemu edukacyjnego

Temat UUD:

Zastosuj właściwości potęgowe, aby przekształcić wyrażenia zawierające wykładniki na wykładniki naturalne

    UUD regulacyjny:

    Umiejętność wyznaczania i formułowania celu lekcji przy pomocy nauczyciela; oceń swoją pracę na zajęciach. Podczas wykonywania zadań należy zachować wzajemną kontrolę i samokontrolę

KomunikatywnyUUD:
Potrafić wyrażać swoje myśli w mowie i piśmie, słuchać i rozumieć mowę innych

Połączenia metaprzedmiotowe

Fizyka, astronomia, medycyna, życie codzienne

Typ lekcji

Powtarzanie, uogólnianie i zastosowanie wiedzy i umiejętności.

Formy pracy i metody pracy

Fronton, łaźnia parowa, indywidualna. Wyjaśniające – ilustracyjne, werbalne, sytuacja problemowa, warsztatowe, wzajemna weryfikacja, kontrola

Wsparcie zasobów

Składniki materiałów dydaktycznych Makaryczowa Podręcznik, rzutnik, ekran, komputer, prezentacja, zadania dla uczniów, arkusze samooceny

Technologie wykorzystane podczas sesji szkoleniowej

Technologia czytania semantycznego, uczenie się oparte na problemach, indywidualne i zróżnicowane podejście, ICT

Wprawianie uczniów w nastrój do pracy, mobilizowanie uwagi

Dzień dobry chłopaki. Dzień dobry, drodzy koledzy! Witam wszystkich zgromadzonych na dzisiejszym spotkaniu lekcja otwarta. Kochani, życzę Wam owocnej pracy na zajęciach, dokładnego przemyślenia odpowiedzi na postawione pytania, nie spieszcie się, nie przeszkadzajcie, szanujcie kolegów i ich odpowiedzi. Życzę Wam wszystkim, abyście mieli tylko dobre oceny. Powodzenia!

Wejdź w biznesowy rytm lekcji

Sprawdzają dostępność wszystkiego, co niezbędne do pracy na lekcji i schludność ułożenia przedmiotów. Umiejętność organizacji siebie i przygotowania do pracy.

2.Aktualizacja wiedza podstawowa i wprowadzenie do tematu lekcji

3. Praca ustna

Chłopaki, każdy z Was ma na biurku arkusze wyników.Posłużą one do oceny Twojej pracy na zajęciach.Dziś na zajęciach masz możliwość otrzymania nie jednej, ale dwóch ocen: za pracę na zajęciach i za pracę samodzielną.
Twoje poprawne, kompletne odpowiedzi również zostaną ocenione na „+”, ale w innej kolumnie też wystawię tę ocenę.

Na ekranie widzisz zagadki, w których zaszyfrowane są słowa-klucze dzisiejszej lekcji. Rozwiąż je. (slajd 1)

stopień

powtórzenie

uogólnienie

Chłopaki, poprawnie odgadliście zagadki. Te słowa to: stopień, powtórzenie i uogólnienie. Teraz, korzystając z odgadniętych słów - podpowiedzi, sformułuj temat dzisiejszej lekcji.

Prawidłowy. Otwórz zeszyty i zapisz numer i temat lekcji „Powtórzenie i uogólnienie na temat „Właściwości stopnia z wykładnikiem naturalnym” (slajd 2)

Ustaliliśmy temat lekcji, ale jak myślisz, co będziemy robić podczas lekcji, jakie cele sobie postawimy? (slajd 3)

Powtórz i podsumuj naszą wiedzę na ten temat, uzupełnij istniejące luki, przygotuj się do nauki Następny temat„Monomiany”.

Chłopaki, właściwości stopnia z naturalnym wykładnikiem są dość często używane przy znajdowaniu wartości wyrażeń i przekształcaniu wyrażeń. Szybkość obliczeń i przekształceń związanych z właściwościami stopnia z wykładnikiem naturalnym jest podyktowana wprowadzeniem Unified State Exam.

Dlatego dzisiaj powtórzymy i podsumujemy Twoją wiedzę i umiejętności na ten temat. Ustnie należy rozwiązać szereg problemów i pamiętać o werbalnym grupowaniu właściwości i definicji stopnia z wykładnikiem naturalnym.

Epigraf na lekcję słowa wielkiego rosyjskiego naukowca M.V. Łomonosowa „Niech ktoś spróbuje wymazać stopnie naukowe z matematyki, a zobaczy, że bez nich nie można daleko zajść”

(slajd 4)

Czy uważacie, że naukowiec ma rację?

Dlaczego potrzebujemy stopni naukowych?

Gdzie są powszechnie stosowane? (w fizyce, astronomii, medycynie)

Zgadza się, teraz powtórzmy, czym jest stopień?

Jakie są nazwy iNw świadectwie ukończenia studiów?

Jakie zajęcia możesz wykonywać mając stopnie naukowe? (Slajdy 5–11)

Podsumujmy teraz. Na biurku leżą kartki papieru z zadaniami. .

1. Po lewej stronie znajdują się początki definicji, po prawej końcówki definicji. Połącz liniami poprawne stwierdzenia (slajd 12)

Połącz odpowiednie części definicji liniami.

a) Kiedy mnożymy potęgi o tych samych podstawach...

1) podstawa stopnia

b) Przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie...

2) Wykładnik potęgowy

c) Wywoływana jest liczba a

3) iloczyn n czynników, z których każdy jest równy a.

d) Podnosząc potęgę do potęgi...

4)… podstawa pozostaje ta sama, ale wskaźniki się sumują.

e) Nazywa się potęgę liczby a z wykładnikiem naturalnym n większym niż 1

5)…podstawa pozostaje ta sama, ale wskaźniki się mnożą.

mi)NumerNzwany

6) Według stopnia

I)Wyrażenie A Nzwany

7)…podstawa pozostaje ta sama, ale wskaźniki są odejmowane.

2.Teraz wymień się z sąsiadem przy biurku, oceń jego pracę i wystaw mu ocenę. Zapisz tę ocenę na swoim arkuszu ocen.

Sprawdźmy teraz, czy poprawnie wykonałeś zadanie.

Rozwiązują zagadki, definiują słowa - wskazówki.

Podejmowane są próby ustalenia tematu lekcji.

Zapisz w zeszycie datę i temat lekcji.

Odpowiadać na pytania

Pracują w parach. Czytają zadanie i zapamiętują.

Połącz części definicji

Wymieniają się zeszytami.

Wzajemnie sprawdzają wyniki i wystawiają oceny swojemu koledze z biurka.

4. Minuta wychowania fizycznego

Ręce podniesione i drżące -

to są drzewa w lesie,

Ramiona zgięte, ręce drżące -

Wiatr zrywa liście.

Pomachajmy rękami na boki, płynnie -

Ptaki lecą w ten sposób na południe

Po cichu pokażemy im, jak siadają -

Ręce złożone w ten sposób!

Wykonuj czynności równolegle z nauczycielem

5. Transfer zdobytej wiedzy, jej podstawowe zastosowanie w nowych lub zmienionych warunkach, w celu rozwijania umiejętności.

1. Oferuję Ci następującą pracę: masz karty na biurkach. Musisz wykonać zadania, tj. napisz odpowiedź w postaci potęgi o podstawie c, a poznasz imię i nazwisko wielkiego francuskiego matematyka, który wprowadził obecnie ogólnie przyjęty zapis potęg (slajd 14)

5

Z 8 : Z 6

(Z 4 ) 3 Z

(Z 4 ) 3

Z 4 Z 5 Z 0

Z 5 Z 3 : Z 6

Z 16 : Z 8

Z 14 Z 8

10.

(Z 3 ) 5

    Odpowiedź: Rene Descartes.

Opowieść o biografii Rene Descartes (slajdy 15 – 17)

Chłopaki, teraz wykonajmy kolejne zadanie.

2. O określić, które odpowiedzi są poprawne, a które fałszywe. (slajdy 18–19)

    Przypisz 1 do prawdziwej odpowiedzi i 0 do fałszywej odpowiedzi.

    Po otrzymaniu uporządkowanego zestawu zer i jedynek znajdziesz poprawną odpowiedź oraz ustalisz imię i nazwisko pierwszej Rosjanki - matematyczki.

A)X 2 X 3 =x 5

B)S 3 S 5 S 8 = S 16

V)X 7 : X 4 = x 28

G) (C+ D) 8 : ( C+ D) 7 = C+ D

D) (X 5 ) 6 = X 30

Wybierz jej imię spośród czterech imion znane kobiety, z których każdy odpowiada zbiorowi jedynek i zer:

    Ada Augusta Lovelace – 11001

    Zofia Germain - 10101

    Ekaterina Daszkowa – 11101

    Sofia Kovalevskaya - 11011

Z biografii Sofii Kowalewskiej (slajd 20)

Wykonaj zadanie, ustal nazwisko i imię francuskiego matematyka

Posłuchaj i obejrzyj slajdy

Notowane są poprawne i niepoprawne odpowiedzi, zapisywany jest powstały kod, który służy do ustalenia imienia pierwszej Rosjanki - matematyka.

6. Monitorowanie i ocena wiedzy Samodzielne wykonywanie zadań przez uczniów pod okiem nauczyciela.

A teraz musisz to zrobić praca testowa. Przed tobą karty z zadaniami w różnych kolorach. Kolor odpowiada poziomowi trudności zadania (na „3”, na „4”, na „5”). Wybierz dla siebie zadanie, które stopień wykonasz i zabierz się do pracy. (slajd 21)

Na „3”

1. Wyraź iloczyn w postaci potęgi:

A) ; B) ;

V) ; G) .

2. Wykonaj następujące kroki:

( M 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( M 3 ) 2 ; ( A X ) y

Na „4”

1. Przedstaw produkt jako siłę.

a) x 5 X 8 ; gwizd 2 Na 9 ; o 2 6 · 2 4 ; G)M 2 M 5 M 4 ;

D)X 6 ∙ X 3 ∙ X 7 ; e) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .

2. Wyraź iloraz w postaci potęgi:

A)X 8 : X 4 ; b) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;

c) x 5 : X 3 ; d) o godz 10 : tak 10 ; D2 6 : 2 4 ; e) ;

do „5”

1. Wykonaj następujące kroki:

a) 4 · A · A 3 ab) (7 X ) 2 c) s · R 2 · R 0

d) z · Z 3 · s d) t · T 4 · ( T 2 ) 2 · T 0

e) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 I) -X 3 · (– X ) 4

H) (R 2 ) 4 : R 5 i)(3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11

2. Uprość:

A) X 3 ( X 2 ) 5 c) ( A 2 ) 3 · ( A 4 ) 2

B) ( A 3) 2 · A 5 g) ( X 2 ) 5 · ( X 5 )

Niezależna praca

Wykonuj zadania w zeszytach

7. Podsumowanie lekcji

Podsumowanie informacji zdobytych podczas lekcji.Sprawdzanie pracy, ocenianie. Identyfikacja trudności napotkanych na lekcji

8. Refleksja

Co się stało z koncepcją stopnia wXVIIstulecia, ty i ja możemy przewidzieć siebie. Aby to zrobić, spróbuj odpowiedzieć na pytanie: czy liczbę można podnieść do potęgi ujemnej lub ułamka? Ale to jest temat naszych przyszłych badań.

Oceny z lekcji

Chłopaki, chcę zakończyć naszą lekcję następującą przypowieścią.

Przypowieść. Szedł mędrzec i wyszły mu naprzeciw trzy osoby, niosące wozy z kamieniami na budowę w gorącym słońcu. Mędrzec zatrzymał się i zadał każdemu pytanie. Pierwszego zapytał: „Co robiłeś przez cały dzień?” A on odpowiedział z uśmiechem, że cały dzień dźwigał te przeklęte kamienie. Mędrzec zapytał drugiego: „Co robiłeś przez cały dzień?”, a on odpowiedział: „I sumiennie wykonywałem swoją pracę”. A trzeci uśmiechnął się, a jego twarz rozjaśniła się radością i przyjemnością: „I brałem udział w budowie świątyni!”

Chłopaki, odpowiedzcie mi, co robiliście dzisiaj na zajęciach? Zrób to po prostu na arkuszu samooceny. Zakreśl stwierdzenie w każdej kolumnie, które Cię dotyczy.

W arkuszu samooceny należy podkreślić wyrażenia charakteryzujące pracę ucznia na lekcji w trzech obszarach.

Nasza lekcja dobiegła końca. Dziękuję wszystkim za pracę na zajęciach!

Odpowiadać na pytania

Oceń ich pracę na zajęciach.

Zaznacz na karcie wyrażenia charakteryzujące ich pracę na lekcji.