Aby rozwiązać wiele problemy geometryczne muszę znaleźć wysokość podana figura. Zadania te mają znaczenie praktyczne. Podczas dyrygowania Roboty budowlane określenie wysokości pomaga obliczyć wymaganą ilość materiałów, a także określić, jak dokładnie wykonane są zbocza i otwory. Często, aby tworzyć wzory, trzeba mieć pojęcie o ich właściwościach
Dla wielu osób, mimo dobrych ocen w szkole, przy budowie zwyczajnie figury geometryczne Powstaje pytanie, jak znaleźć wysokość trójkąta lub równoległoboku. I to jest najtrudniejsze. Dzieje się tak, ponieważ trójkąt może być ostry, rozwarty, równoramienny lub prosty. Każdy z nich ma swoje własne zasady konstrukcji i obliczeń.
Jak znaleźć wysokość trójkąta, w którym wszystkie kąty są ostre, graficznie
Jeśli wszystkie kąty trójkąta są ostre (każdy kąt w trójkącie jest mniejszy niż 90 stopni), aby znaleźć wysokość, wykonaj następujące czynności.
- Korzystając z podanych parametrów konstruujemy trójkąt.
- Wprowadźmy pewną notację. A, B i C będą wierzchołkami figury. Kąty odpowiadające każdemu wierzchołkowi to α, β, γ. Boki leżące naprzeciw tych kątów to a, b, c.
- Wysokość jest prostopadłą poprowadzoną z wierzchołka kąta na przeciwną stronę trójkąta. Aby obliczyć wysokość trójkąta, konstruujemy prostopadłe: od wierzchołka kąta α do boku a, od wierzchołka kąta β do boku b i tak dalej.
- Oznaczmy punkt przecięcia wysokości i boku a jako H1, a samą wysokość jako h1. Punktem przecięcia wysokości i boku b będzie odpowiednio H2, wysokość h2. Dla boku c wysokość będzie wynosić h3, a punkt przecięcia będzie wynosił H3.
Wysokość w trójkącie c kąt rozwarty
Przyjrzyjmy się teraz, jak znaleźć wysokość trójkąta, jeśli taki istnieje (więcej niż 90 stopni). W tym przypadku wysokość narysowana z kąta rozwartego będzie znajdować się wewnątrz trójkąta. Pozostałe dwie wysokości będą znajdować się na zewnątrz trójkąta.
Niech kąty α i β w naszym trójkącie będą ostre, a kąt γ rozwarty. Następnie, aby skonstruować wysokości pochodzące z kątów α i β, należy kontynuować przeciwległe boki trójkąta, aby narysować prostopadłe.
Jak znaleźć wysokość trójkąta równoramiennego
Taka figura ma dwa równe boki i podstawę, natomiast kąty u podstawy również są sobie równe. Ta równość boków i kątów ułatwia konstruowanie wysokości i ich obliczanie.
Najpierw narysujmy sam trójkąt. Niech boki b i c oraz kąty β, γ będą odpowiednio równe.
Teraz narysujmy wysokość od wierzchołka kąta α, oznaczając go h1. Dla tej wysokości będzie zarówno dwusieczna, jak i mediana.
Dla fundamentu można wykonać tylko jedną konstrukcję. Na przykład narysuj środkową - odcinek łączący wierzchołek trójkąta równoramiennego z przeciwną stroną, podstawą, aby znaleźć wysokość i dwusieczną. Aby obliczyć długość wysokości dla pozostałych dwóch boków, możesz skonstruować tylko jedną wysokość. Zatem, aby graficznie określić, jak obliczyć wysokość trójkąta równoramiennego, wystarczy znaleźć dwie z trzech wysokości.
Jak znaleźć wysokość trójkąt prostokątny
W przypadku trójkąta prostokątnego określenie wysokości jest znacznie łatwiejsze niż w przypadku innych. Dzieje się tak, ponieważ same nogi tworzą kąt prosty i dlatego są wysokościami.
Aby skonstruować trzecią wysokość, jak zwykle, narysuj prostopadłą łączącą wierzchołek prosty kąt i przeciwna strona. W rezultacie, aby utworzyć trójkąt w tym przypadku, wymagana jest tylko jedna konstrukcja.
Jak znaleźć największą lub najmniejszą wysokość trójkąta? Im mniejsza wysokość trójkąta, tym większa jest wysokość do niego narysowana. Oznacza to, że największą z wysokości trójkąta jest ta poprowadzona do jego krótszego boku. - ten narysowany do największego boku trójkąta.
Aby znaleźć największą wysokość trójkąta , możemy podzielić obszar trójkąta przez długość boku, do którego narysowana jest ta wysokość (to znaczy przez długość najmniejszego boku trójkąta).
W związku z tym D Aby znaleźć najmniejszą wysokość trójkąta Pole trójkąta można podzielić przez długość jego najdłuższego boku.
Zadanie 1.
Znajdź najmniejszą wysokość trójkąta, którego boki wynoszą 7 cm, 8 cm i 9 cm.
Dany:
AC=7 cm, AB=8 cm, BC=9 cm.
Znajdź: najmniejszą wysokość trójkąta.
Rozwiązanie:
Najmniejsza wysokość trójkąta to wysokość poprowadzona do jego najdłuższego boku. Oznacza to, że musimy znaleźć wysokość AF narysowaną na boku BC.
Dla wygody notacji wprowadzamy notację
BC=a, AC=b, AB=c, AF=ha.
Wysokość trójkąta jest równa ilorazowi dwukrotnej powierzchni trójkąta podzielonej przez bok, do którego narysowana jest ta wysokość. można znaleźć za pomocą wzoru Herona. Dlatego
Obliczamy:
Odpowiedź:
Zadanie 2.
Znajdź najdłuższy bok trójkąta o bokach 1 cm, 25 cm i 30 cm.
Dany:
AC=25 cm, AB=11 cm, BC=30 cm.
Znajdować:
największa wysokość trójkąta ABC.
Rozwiązanie:
Największa wysokość trójkąta jest narysowana na jego najkrótszym boku.
Oznacza to, że musisz znaleźć wysokość CD narysowaną na boku AB.
Dla wygody oznaczmy
Obliczanie wysokości trójkąta zależy od samej figury (równoramienny, równoboczny, pochyły, prostokątny). W praktycznej geometrii z reguły nie występują złożone formuły. Wystarczająco, żeby wiedzieć ogólna zasada obliczeń tak, aby można było je zastosować uniwersalnie do wszystkich trójkątów. Dziś przedstawimy Państwu podstawowe zasady obliczania wysokości figury, wzory obliczeniowe oparte na właściwościach wysokości trójkątów.
Co to jest wysokość?
Wysokość ma kilka charakterystycznych właściwości
- Punkt, w którym łączą się wszystkie wysokości, nazywa się ortocentrum. Jeśli trójkąt jest spiczasty, wówczas ortocentrum znajduje się wewnątrz figury, jeśli jeden z kątów jest rozwarty, wówczas ortocentrum z reguły znajduje się na zewnątrz.
- W trójkącie, w którym jeden kąt ma miarę 90°, ortocentrum i wierzchołek pokrywają się.
- W zależności od rodzaju trójkąta istnieje kilka wzorów na znalezienie wysokości trójkąta.
Tradycyjne informatyka
- Jeśli p jest połową obwodu, to a, b, c są oznaczeniami boków wymaganej figury, h jest wysokością, to pierwszy i najbardziej prosta formuła będzie wyglądać następująco: h = 2/a √p(p-a) (p-b) (p-c).
- W podręczniki szkolne Często można spotkać się z problemami, w których znana jest wartość jednego z boków trójkąta oraz wielkość kąta pomiędzy tym bokiem a podstawą. Wtedy wzór na obliczenie wysokości będzie wyglądał następująco: h = b ∙ sin γ + c ∙ sin β.
- Gdy zostanie podane pole trójkąta - S, a także długość podstawy - a, wówczas obliczenia będą tak proste, jak to tylko możliwe. Wysokość oblicza się ze wzoru: h = 2S/a.
- Gdy dany jest promień okręgu opisanego wokół figury, najpierw obliczamy długości jego dwóch boków, a następnie przystępujemy do obliczenia zadanej wysokości trójkąta. W tym celu korzystamy ze wzoru: h = b ∙ c/2R, gdzie b i c to dwa boki trójkąta niebędące podstawą, a R to promień.
Wszystkie boki tej figury są równoważne, ich długości są równe, zatem kąty u podstawy również będą równe. Wynika z tego, że wysokości, które narysujemy na podstawach, również będą równe, są one jednocześnie środkowymi i dwusiecznymi. Mówienie w prostym języku, wysokość w Trójkąt równoramienny dzieli podstawę na dwie części. Trójkąt o kącie prostym uzyskany po narysowaniu wysokości zostanie rozpatrzony za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Oznaczmy bok jako a i podstawę jako b, wówczas wysokość h = ½ √4 a2 − b2.
Jak znaleźć wysokość trójkąta równobocznego?
Wzór na trójkąt równoboczny (figurę, w której wszystkie boki są równej wielkości) można znaleźć na podstawie wcześniejszych obliczeń. Wystarczy zmierzyć długość jednego z boków trójkąta i oznaczyć go jako a. Następnie wysokość oblicza się ze wzoru: h = √3/2 a.
Jak znaleźć wysokość trójkąta prostokątnego?
Jak wiadomo, kąt w trójkącie prostokątnym wynosi 90°. Wysokość obniżona o jedną stronę jest jednocześnie drugą stroną. Na nich będą leżały wysokości trójkąta o kącie prostym. Aby uzyskać dane o wysokości, należy nieznacznie przekształcić istniejącą formułę pitagorejską, wyznaczając nogi - a i b, a także mierząc długość przeciwprostokątnej - c.
Znajdźmy długość nogi (bok, do którego wysokość będzie prostopadła): a = √ (c2 − b2). Długość drugiej nogi obliczamy dokładnie według tego samego wzoru: b =√ (c2 − b2). Następnie możesz zacząć obliczać wysokość trójkąta pod kątem prostym, po uprzednim obliczeniu obszaru figury - s. Wartość wysokości wynosi h = 2s/a.
Obliczenia z trójkątem skalenowym
Gdy trójkąt równoboczny ma kąty ostre, widoczna jest wysokość obniżona do podstawy. Jeśli trójkąt ma kąt rozwarty, wówczas wysokość może znajdować się poza figurą i musisz ją mentalnie kontynuować, aby uzyskać punkt połączenia wysokości i podstawy trójkąta. Najbardziej w prosty sposób zmierzyć wysokość oznacza obliczyć ją poprzez jeden z boków i wielkość kątów. Wzór jest następujący: h = b sin y + c sin ß.
Zachowanie Twojej prywatności jest dla nas ważne. Z tego powodu opracowaliśmy Politykę prywatności, która opisuje, w jaki sposób wykorzystujemy i przechowujemy Twoje dane. Zapoznaj się z naszymi praktykami dotyczącymi prywatności i daj nam znać, jeśli masz jakiekolwiek pytania.
Gromadzenie i wykorzystywanie danych osobowych
Dane osobowe to dane, które można wykorzystać do identyfikacji konkretnej osoby lub skontaktowania się z nią.
Możesz zostać poproszony o podanie swoich danych osobowych w dowolnym momencie kontaktu z nami.
Poniżej znajduje się kilka przykładów rodzajów danych osobowych, które możemy gromadzić i sposobu, w jaki możemy je wykorzystywać.
Jakie dane osobowe zbieramy:
- Kiedy składasz wniosek na stronie, możemy zbierać różne informacje, w tym Twoje imię i nazwisko, numer telefonu, adres E-mail itp.
Jak wykorzystujemy Twoje dane osobowe:
- Zebrane przez nas informacje osobiste pozwala nam kontaktować się z Tobą i informować Cię o wyjątkowych ofertach, promocjach i innych wydarzeniach oraz nadchodzących wydarzeniach.
- Od czasu do czasu możemy wykorzystywać Twoje dane osobowe do wysyłania ważnych powiadomień i komunikatów.
- Możemy również wykorzystywać dane osobowe do celów wewnętrznych, takich jak przeprowadzanie audytów, analiza danych i różnych badań w celu ulepszenia świadczonych przez nas usług i przedstawienia rekomendacji dotyczących naszych usług.
- Jeśli bierzesz udział w losowaniu nagród, konkursie lub podobnej promocji, możemy wykorzystać podane przez Ciebie informacje w celu administrowania takimi programami.
Ujawnianie informacji osobom trzecim
Nie udostępniamy otrzymanych od Państwa informacji osobom trzecim.
Wyjątki:
- Jeżeli jest to konieczne – zgodnie z prawem, procedurą sądową, postępowaniem sądowym i/lub na podstawie żądań publicznych lub żądań od agencje rządowe na terytorium Federacji Rosyjskiej – ujawnij swoje dane osobowe. Możemy również ujawnić informacje o Tobie, jeśli uznamy, że takie ujawnienie jest konieczne lub odpowiednie ze względów bezpieczeństwa, egzekwowania prawa lub innych celów ważnych dla społeczeństwa.
- W przypadku reorganizacji, fuzji lub sprzedaży możemy przekazać zebrane dane osobowe odpowiedniej następczej stronie trzeciej.
Ochrona danych osobowych
Podejmujemy środki ostrożności – w tym administracyjne, techniczne i fizyczne – aby chronić Twoje dane osobowe przed utratą, kradzieżą i niewłaściwym wykorzystaniem, a także nieuprawnionym dostępem, ujawnieniem, zmianą i zniszczeniem.
Szanowanie Twojej prywatności na poziomie firmy
Aby zapewnić bezpieczeństwo Twoich danych osobowych, przekazujemy naszym pracownikom standardy dotyczące prywatności i bezpieczeństwa oraz rygorystycznie egzekwujemy praktyki dotyczące prywatności.
Wysokość trójkąta to prostopadła schodząca z dowolnego wierzchołka trójkąta na przeciwny bok lub na jego przedłużenie (strona, do której prostopadła opada, nazywana jest w tym przypadku podstawą trójkąta).
W rozwarty trójkąt dwie wysokości leżą na kontynuacji boków i leżą na zewnątrz trójkąta. Trzeci znajduje się wewnątrz trójkąta.
W ostry trójkąt wszystkie trzy wysokości leżą wewnątrz trójkąta.
W trójkącie prostokątnym nogi służą jako wysokości.
Jak znaleźć wysokość od podstawy i pola
Przypomnijmy sobie wzór na obliczenie pola trójkąta. Pole trójkąta oblicza się ze wzoru: A = 1/2bh.
- A jest obszarem trójkąta
- b jest bokiem trójkąta, na którym wysokość jest obniżona.
- h - wysokość trójkąta
Spójrz na trójkąt i zastanów się, jakie wielkości już znasz. Jeśli otrzymasz obszar, oznacz go jako „A” lub „S”. Powinieneś także otrzymać znaczenie strony, oznaczyć ją „b”. Jeśli nie podano ci obszaru ani boku, użyj innej metody.
Należy pamiętać, że podstawą trójkąta może być dowolny bok, do którego obniżona jest wysokość (niezależnie od położenia trójkąta). Aby lepiej to zrozumieć, wyobraź sobie, że możesz obrócić ten trójkąt. Obróć go tak, aby znana Ci strona była skierowana w dół.
Na przykład pole trójkąta wynosi 20, a jeden z jego boków wynosi 4. W tym przypadku „A = 20″”, „b = 4′”.
Podstaw podane wartości do wzoru, aby obliczyć powierzchnię (A = 1/2bh) i znajdź wysokość. Najpierw pomnóż bok (b) przez 1/2, a następnie podziel pole (A) przez wynikową wartość. W ten sposób znajdziesz wysokość trójkąta.
W naszym przykładzie: 20 = 1/2(4)h
20 = 2 godziny
10 = godz
Przypomnij sobie właściwości trójkąta równobocznego. W trójkącie równobocznym wszystkie boki i wszystkie kąty są równe (każdy kąt ma miarę 60˚). Jeśli narysujesz wysokość w takim trójkącie, otrzymasz dwa równe trójkąty prostokątne.
Rozważmy na przykład trójkąt równoboczny o boku 8.
Przypomnij sobie twierdzenie Pitagorasa. Twierdzenie Pitagorasa stwierdza, że w dowolnym trójkącie prostokątnym o nogach „a” i „b” przeciwprostokątna „c” jest równa: a2+b2=c2. Z tego twierdzenia można obliczyć wysokość trójkąta równobocznego!
Podziel trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne (w tym celu narysuj wysokość). Następnie opisz boki jednego z trójkątów prostokątnych. Boczna strona trójkąta równobocznego jest przeciwprostokątną „c” trójkąta prostokątnego. Odnoga „a” jest równa 1/2 boku trójkąta równobocznego, a odnoga „b” jest pożądaną wysokością trójkąta równobocznego.
Tak więc w naszym przykładzie z trójkąt równoboczny o znanym boku równym 8: c = 8 i a = 4.
Podłącz te wartości do twierdzenia Pitagorasa i oblicz b2. Najpierw kwadrat „c” i „a” (pomnóż każdą wartość przez siebie). Następnie odejmij a2 od c2.
42 + b2 = 82
16 + b2 = 64
b2 = 48
Usunąć Pierwiastek kwadratowy z b2, aby znaleźć wysokość trójkąta. Aby to zrobić, użyj kalkulatora. Wynikowa wartość będzie wysokością Twojego trójkąta równobocznego!
b = √48 = 6,93
Jak znaleźć wysokość za pomocą kątów i boków
Zastanów się, jakie znasz znaczenia. Możesz znaleźć wysokość trójkąta, jeśli znasz wartości boków i kątów. Na przykład, jeśli znany jest kąt między podstawą a bokiem. Lub jeśli znane są wartości wszystkich trzech stron. Oznaczmy więc boki trójkąta: „a”, „b”, „c”, kąty trójkąta: „A”, „B”, „C” i obszar - literę „S”.
Jeśli znasz wszystkie trzy boki, będziesz potrzebować pola trójkąta i wzoru Herona.
Jeśli znasz dwa boki i kąt między nimi, możesz skorzystać z poniższego wzoru, aby obliczyć pole: S=1/2ab(sinC).
Jeśli podane są wartości wszystkich trzech stron, skorzystaj ze wzoru Herona. Korzystając z tej formuły, będziesz musiał wykonać kilka kroków. Najpierw musisz znaleźć zmienną „s” (tą literą oznaczamy połowę obwodu trójkąta). Aby to zrobić, podstaw znane wartości do tego wzoru: s = (a+b+c)/2.
Dla trójkąta o bokach a = 4, b = 3, c = 5, s = (4+3+5)/2. Wynik to: s=12/2, gdzie s=6.
Następnie w drugim kroku znajdujemy pole (druga część wzoru Herona). Powierzchnia = √(s(s-a)(s-b)(s-c)). Zamiast słowa „obszar” wstaw równoważną formułę, aby znaleźć obszar: 1/2bh (lub 1/2ah lub 1/2ch).
Znajdź teraz równoważne wyrażenie na wysokość (h). Dla naszego trójkąta będzie obowiązywać następujące równanie: 1/2(3)h = (6(6-4)(6-3)(6-5)). Gdzie 3/2h=√(6(2(3(1))). Okazuje się, że 3/2h = √(36). Korzystając z kalkulatora, oblicz pierwiastek kwadratowy. W naszym przykładzie: 3/2h = 6. Okazuje się, że wysokość (h) jest równa 4, bok b jest podstawą.
Jeśli zgodnie z warunkami zadania znane są dwa boki i kąt, możesz zastosować inny wzór. Zamień obszar we wzorze na równoważne wyrażenie: 1/2bh. W ten sposób otrzymasz następujący wzór: 1/2bh = 1/2ab(sinC). Można to uprościć do następującej postaci: h = a(sin C) w celu usunięcia jednej nieznanej zmiennej.
Teraz pozostaje tylko rozwiązać powstałe równanie. Na przykład niech „a” = 3, „C” = 40 stopni. Wtedy równanie będzie wyglądało następująco: „h” = 3(sin 40). Korzystając z kalkulatora i tabeli sinusów, oblicz wartość „h”. W naszym przykładzie h = 1,928.
