Oblicz rzuty wektora a na osie współrzędnych. Rzut siły na oś. Rzut sumy wektorów sił na oś. Jeśli przebyta odległość jest duża, czy moduł przemieszczenia może być mały?

Rzut algebraiczny wektora na dowolnej osi jest równa iloczynowi długości wektora i cosinusa kąta między osią a wektorem:

Pr a b = |b|cos(a,b) lub

Gdzie a b jest iloczynem skalarnym wektorów, |a| - moduł wektora a.

Instrukcje. Aby znaleźć rzut wektora Pr a b online, należy podać współrzędne wektorów a i b. W tym przypadku wektor można określić na płaszczyźnie (dwie współrzędne) i w przestrzeni (trzy współrzędne). Powstałe rozwiązanie jest zapisywane w pliku Word. Jeżeli wektory są określone poprzez współrzędne punktów, należy skorzystać z tego kalkulatora.

Klasyfikacja rzutów wektorowych

Rodzaje rzutów z definicji rzutowanie wektorowe

1. Rzut geometryczny wektora AB na oś (wektor) nazywa się wektorem A"B", którego początek A' jest rzutem początku A na oś (wektor), a koniec B' jest rzutem końca B na tę samą oś.
2. Rzut algebraiczny wektora AB na oś (wektor) nazywany jest długością wektora A"B", przyjmowaną ze znakiem + lub -, w zależności od tego, czy wektor A"B" ma ten sam kierunek co oś ( wektor).

Rodzaje rzutów ze względu na układ współrzędnych

Właściwości projekcji wektorowych

1. Rzut geometryczny wektora jest wektorem (ma kierunek).
2. Rzut algebraiczny wektora jest liczbą.

Twierdzenia o projekcji wektorowej

Twierdzenie 1. Rzut sumy wektorów na dowolną oś jest równy rzutowi sum wektorów na tę samą oś.

AC" =AB" +B"C"

Twierdzenie 2. Rzut algebraiczny wektora na dowolną oś jest równy iloczynowi długości wektora i cosinusa kąta między osią a wektorem:

Pr a b = |b|·cos(a,b)

Rodzaje rzutów wektorowych

1. rzut na oś OX.
2. rzut na oś OY.
3. rzut na wektor.

Rzut na osi OX	Rzut na oś OY	Rzutowanie na wektor
Jeżeli kierunek wektora A’B’ pokrywa się z kierunkiem osi OX, to rzut wektora A’B’ ma znak dodatni.	Jeżeli kierunek wektora A’B’ pokrywa się z kierunkiem osi OY, to rzut wektora A’B’ ma znak dodatni.	Jeżeli kierunek wektora A’B’ pokrywa się z kierunkiem wektora NM, to rzut wektora A’B’ ma znak dodatni.
Jeżeli kierunek wektora jest przeciwny do kierunku osi OX, to rzut wektora A’B’ ma znak ujemny.	Jeżeli kierunek wektora A’B’ jest przeciwny do kierunku osi OY, to rzut wektora A’B’ ma znak ujemny.	Jeżeli kierunek wektora A’B’ jest przeciwny do kierunku wektora NM, to rzut wektora A’B’ ma znak ujemny.
Jeżeli wektor AB jest równoległy do ​​osi OX, to rzut wektora A’B’ jest równy wartości bezwzględnej wektora AB.	Jeżeli wektor AB jest równoległy do ​​osi OY, to rzut wektora A’B’ jest równy wartości bezwzględnej wektora AB.	Jeżeli wektor AB jest równoległy do ​​wektora NM, to rzut wektora A’B’ jest równy wartości bezwzględnej wektora AB.
Jeżeli wektor AB jest prostopadły do ​​osi OX, to rzut A’B’ jest równy zeru (wektor zerowy).	Jeżeli wektor AB jest prostopadły do ​​osi OY, to rzut A’B’ jest równy zeru (wektor zerowy).	Jeżeli wektor AB jest prostopadły do ​​wektora NM, to rzut A’B’ jest równy zeru (wektor zerowy).

1. Pytanie: Czy rzut wektora może mieć znak ujemny? Odpowiedź: Tak, wektor projekcji może mieć wartość ujemną. W tym przypadku wektor ma przeciwny kierunek (zobacz jak skierowana jest oś OX i wektor AB)
2. Pytanie: Czy rzut wektora może pokrywać się z wartością bezwzględną wektora? Odpowiedź: Tak, może. W tym przypadku wektory są równoległe (lub leżą na tej samej linii).
3. Pytanie: Czy rzut wektora może być równy zero (wektor zerowy). Odpowiedź: Tak, może. W tym przypadku wektor jest prostopadły do ​​odpowiedniej osi (wektora).

Przykład 1. Wektor (rys. 1) tworzy z osią OX kąt 60° (określa to wektor a). Jeśli OE jest jednostką skali, to |b|=4, czyli .

Rzeczywiście długość wektora (rzut geometryczny b) jest równa 2, a kierunek pokrywa się z kierunkiem osi OX.

Przykład 2. Wektor (rys. 2) tworzy kąt (a,b) = 120 o z osią OX (z wektorem a). Długość |b| wektor b jest równy 4, więc pr a b=4·cos120 o = -2.

Rzeczywiście długość wektora wynosi 2, a kierunek jest przeciwny do kierunku osi.

Oś jest kierunkiem. Oznacza to, że rzut na oś lub na linię skierowaną jest uważany za taki sam. Rzutowanie może być algebraiczne lub geometryczne. W ujęciu geometrycznym rzut wektora na oś rozumiany jest jako wektor, a w ujęciu algebraicznym jako liczba. Oznacza to, że stosuje się koncepcje rzutowania wektora na oś i numerycznego rzutowania wektora na oś.

Jeśli mamy oś L i niezerowy wektor A B →, to możemy skonstruować wektor A 1 B 1 ⇀, oznaczający rzuty jego punktów A 1 i B 1.

A 1 B → 1 będzie rzutem wektora A B → na L.

Definicja 1

Rzut wektora na oś jest wektorem, którego początek i koniec są rzutami początku i końca danego wektora. n p L A B → → zwyczajowo oznacza się rzut A B → na L. Aby skonstruować rzut na L, prostopadłe są upuszczane na L.

Przykład 1

Przykład rzutu wektorowego na oś.

Na płaszczyźnie współrzędnych O x y określony jest punkt M 1 (x 1, y 1). Aby zobrazować wektor promienia punktu M 1, należy skonstruować rzuty na O x i O y. Otrzymujemy współrzędne wektorów (x 1, 0) i (0, y 1).

Jeśli mówimy o rzucie a → na niezerowe b → lub rzucie a → na kierunek b → , to mamy na myśli rzut a → na oś, z którą kierunek b → pokrywa się. Rzut a → na linię określoną przez b → oznaczono n p b → a → → . Wiadomo, że gdy kąt pomiędzy a → i b → , n p b → a → → i b → można uznać za współkierunkowy. W przypadku, gdy kąt jest rozwarty, n p b → a → → i b → są w przeciwnych kierunkach. W sytuacji prostopadłości a → i b → oraz a → wynosi zero, rzut a → w kierunku b → jest wektorem zerowym.

Numeryczną charakterystyką rzutowania wektora na oś jest numeryczny rzut wektora na daną oś.

Definicja 2

Numeryczne odwzorowanie wektora na oś to liczba równa iloczynowi długości danego wektora i cosinusa kąta między danym wektorem a wektorem wyznaczającym kierunek osi.

Rzut numeryczny A B → na L oznaczamy n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na podstawie wzoru otrzymujemy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , skąd a → jest długością wektora a → , a ⇀ , b → ^ jest kątem pomiędzy wektorami a → i b → .

Otrzymujemy wzór na obliczenie rzutu numerycznego: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Ma to zastosowanie dla znanych długości a → i b → oraz kąta między nimi. Wzór ma zastosowanie dla znanych współrzędnych a → i b →, ale istnieje uproszczona forma.

Przykład 2

Znajdź rzut numeryczny a → na linię prostą w kierunku b → o długości a → równej 8 i kącie między nimi 60 stopni. Według warunku mamy a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 °. Oznacza to, że podstawiamy wartości liczbowe do wzoru n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

Odpowiedź: 4.

Przy znanym cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → , mamy a → , b → jako iloczyn skalarny a → i b → . Korzystając ze wzoru n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , możemy znaleźć rzut liczbowy a → skierowany wzdłuż wektora b → i otrzymać n p b → a → = a → , b → b → . Wzór jest równoważny definicji podanej na początku akapitu.

Definicja 3

Rzut numeryczny wektora a → na oś pokrywającą się w kierunku z b → jest stosunkiem iloczynu skalarnego wektorów a → i b → do długości b → . Wzór n p b → a → = a → , b → b → można zastosować do znalezienia rzutu numerycznego a → na linię zbieżną w kierunku z b → , o znanych współrzędnych a → i b →.

Przykład 3

Biorąc pod uwagę b → = (- 3 , 4) . Znajdź projekcję numeryczną a → = (1, 7) na L.

Rozwiązanie

Na płaszczyźnie współrzędnych n p b → a → = a → , b → b → ma postać n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 , gdzie a → = (a x , a y ) i b → = b x , b y . Aby znaleźć rzut numeryczny wektora a → na oś L, potrzebujemy: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · (- 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5.

Odpowiedź: 5.

Przykład 4

Znajdź rzut a → na L, pokrywający się z kierunkiem b →, gdzie znajduje się a → = - 2, 3, 1 i b → = (3, - 2, 6). Określona jest przestrzeń trójwymiarowa.

Rozwiązanie

Mając dane a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z , obliczamy iloczyn skalarny: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z . Długość b → oblicza się ze wzoru b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . Wynika z tego, że wzór na określenie rzutu numerycznego a → będzie następujący: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zastąp wartości liczbowe: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odpowiedź: - 6 7.

Przyjrzyjmy się powiązaniu pomiędzy a → na L i długością rzutu a → na L. Narysujmy oś L, dodając a → i b → z punktu na L, po czym rysujemy linię prostopadłą od końca a → do L i rysujemy rzut na L. Istnieje 5 odmian obrazu:

Pierwszy przypadek z a → = n p b → a → → oznacza a → = n p b → a → → , stąd n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p b → za → → .

Drugi przypadek implikuje użycie n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → , co oznacza n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Trzeci przypadek wyjaśnia, że ​​gdy n p b → a → → = 0 → otrzymujemy n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 , wtedy n p b → a → → = 0 i n p b → za → = 0 = n p b → za → → .

Czwarty przypadek pokazuje n p b → a → → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) , następuje n p b → a → = a → · cos ( a → , b → ^) = - n p b → a → → .

Piąty przypadek pokazuje a → = n p b → a → → , co oznacza a → = n p b → a → → , stąd mamy n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - za → = - n p b → za → .

Definicja 4

Numeryczny rzut wektora a → na oś L, która jest skierowana tak samo jak b →, ma następującą wartość:

• długość rzutu wektora a → na L, pod warunkiem, że kąt pomiędzy a → i b → jest mniejszy niż 90 stopni lub równy 0: n p b → a → = n p b → a → → z warunkiem 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• zero pod warunkiem, że a → i b → są prostopadłe: n p b → a → = 0, gdy (a → , b → ^) = 90 °;
• długość rzutu a → na L, pomnożona przez -1, gdy wektory a → i b → mają kąt rozwarty lub prosty: n p b → a → = - n p b → a → → z warunkiem 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Przykład 5

Biorąc pod uwagę długość rzutu a → na L, równą 2. Znajdź rzut liczbowy a → pod warunkiem, że kąt wynosi 5 π 6 radianów.

Rozwiązanie

Z warunku jasno wynika, że ​​kąt ten jest rozwarty: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odpowiedź: - 2.

Przykład 6

Biorąc pod uwagę płaszczyznę O x y z o długości wektora a → równej 6 3, b → (- 2, 1, 2) o kącie 30 stopni. Znajdź współrzędne rzutu a → na oś L.

Rozwiązanie

Najpierw obliczamy odwzorowanie numeryczne wektora a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

Pod warunkiem, że kąt jest ostry, wówczas rzut numeryczny a → = długość rzutu wektora a →: n p L a → = n p L a → → = 9. Ten przypadek pokazuje, że wektory n p L a → → i b → są współkierunkowe, co oznacza, że ​​istnieje liczba t, dla której zachodzi równość: n p L a → → = t · b → . Widzimy stąd, że n p L a → → = t · b → , co oznacza, że ​​możemy znaleźć wartość parametru t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Następnie n p L a → → = 3 · b → ze współrzędnymi rzutu wektora a → na oś L równymi b → = (- 2 , 1 , 2) , gdzie należy pomnożyć wartości przez 3. Mamy n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . Odpowiedź: (- 6, 3, 6).

Należy powtórzyć poznane wcześniej informacje o warunku kolinearności wektorów.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Najpierw przypomnijmy sobie, co to jest oś współrzędnych, rzut punktu na oś I współrzędne punktu na osi.

Oś współrzędnych- To jest linia prosta, która ma określony kierunek. Można o tym myśleć jak o wektorze o nieskończenie dużym module.

Oś współrzędnych oznaczone literą: X, Y, Z, s, t... Zwykle wybiera się (dowolnie) punkt na osi, który nazywa się początkiem i z reguły oznacza się literą O. Z tego punktu mierzone są odległości do innych interesujących nas miejsc.

Rzut punktu na oś- jest to podstawa prostopadłej obniżonej z tego punktu do tej osi (ryc. 8). Oznacza to, że rzut punktu na oś jest punktem.

Współrzędna punktu na osi- jest to liczba, której wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy początkiem osi a rzutem punktu na tę oś. Liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli rzut punktu znajduje się w kierunku osi od jego początku, i ze znakiem minus, jeśli w kierunku przeciwnym.

Rzut skalarny wektora na oś- Ten numer, którego wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy rzutami punktu początkowego i punktu końcowego wektora. Ważny! Zwykle zamiast wyrażenia Rzut skalarny wektora na oś po prostu mówią - rzut wektora na oś, czyli słowo skalarny obniżony. Projekcja wektorowa jest oznaczony tą samą literą co rzutowany wektor (normalnym, niepogrubionym pismem), z niższym (z reguły) indeksem nazwy osi, na którą rzutowany jest ten wektor. Na przykład, jeśli wektor jest rzutowany na oś X A, wówczas jego rzut jest oznaczony przez x. Podczas rzutowania tego samego wektora na inną oś, powiedzmy, oś Y, jego rzut zostanie oznaczony jako y (ryc. 9).

Liczyć rzut wektora na oś(na przykład oś X), należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jego punktu końcowego, czyli

za x = x k - x n.

Musimy pamiętać: rzut skalarny wektora na oś (lub po prostu rzut wektora na oś) jest liczbą (nie wektorem)! Ponadto rzut może być dodatni, jeśli wartość x k jest większa od wartości x n, ujemny, jeśli wartość x k jest mniejsza od wartości x n i równa zeru, jeśli x k jest równa x n (ryc. 10).

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku 11 jasno wynika, że ​​a x = a Cos α

Oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta pomiędzy kierunkiem osi a kierunkiem wektora. Jeśli kąt jest ostry, to Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli jest rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Kąty mierzone od osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uważa się za dodatnie, a kąty mierzone wzdłuż osi za ujemne. Ponieważ jednak cosinus jest funkcją parzystą, to znaczy Cos α = Cos (− α), przy obliczaniu rzutów kąty można liczyć zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przy rozwiązywaniu problemów często wykorzystywane będą następujące właściwości rzutów: jeśli

A = B + C +…+ D, wtedy a x = b x + c x +…+ d x (podobnie jak inne osie),

A= m B, to a x = mb x (podobnie dla pozostałych osi).

Wzór a x = a Cos α będzie wynosił Często pojawiają się podczas rozwiązywania problemów, więc zdecydowanie musisz to wiedzieć. Musisz znać zasadę wyznaczania projekcji na pamięć!

Pamiętać!

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora należy pomnożyć przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

Jeszcze raz - na pamięć!

Rozwiązywanie problemów dotyczących równowagi zbieżnych sił poprzez konstruowanie wielokątów sił zamkniętych wymaga uciążliwych konstrukcji. Uniwersalną metodą rozwiązania tego typu problemów jest przejście do wyznaczania rzutów danych sił na osie współrzędnych i operowanie tymi rzutami. Oś to linia prosta, której przypisano określony kierunek.

Rzut wektora na oś jest wielkością skalarną, którą wyznacza odcinek osi odcięty przez prostopadłe narzucone na nią z początku i końca wektora.

Rzut wektorowy uważa się za dodatni, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi. Rzut wektorowy uważa się za ujemny, jeśli kierunek od początku rzutu do jego końca jest przeciwny do dodatniego kierunku osi.

Zatem rzut siły na oś współrzędnych jest równy iloczynowi modułu siły i cosinusa kąta między wektorem siły a dodatnim kierunkiem osi.

Rozważmy kilka przypadków rzutowania sił na oś:

Wektor siły F(Rys. 15) tworzy kąt ostry z dodatnim kierunkiem osi x.

Aby znaleźć rzut, od początku i końca wektora siły obniżamy prostopadłe do osi Oh; dostajemy

1. Fx = F ponieważ α

Rzut wektora w tym przypadku jest dodatni

Siła F(Rys. 16) jest z dodatnim kierunkiem osi X kąt rozwarty α.

Następnie F x = F cos α, ale ponieważ α = 180 0 - φ,

F x = F sałata α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Projekcja siły F na oś Oh w tym przypadku jest negatywny.

Siła F(Rys. 17) prostopadle do osi Oh.

Rzut siły F na oś X równy zeru

F x = F cos 90° = 0.

Siła zlokalizowana na płaszczyźnie jak(Rys. 18), można rzutować na dwie osie współrzędnych Oh I Jednostka organizacyjna.

Wytrzymałość F można podzielić na elementy: F x i F y. Moduł wektorowy F x jest równe rzutowi wektora F na oś wół i moduł wektorowy F y jest równe rzutowi wektora F na oś Oh.

Od Δ OAV: F x = F cos α, F x = F grzech α.

Od Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F grzech φ.

Wielkość siły można wyznaczyć korzystając z twierdzenia Pitagorasa:

Rzut sumy wektorów lub wypadkowej na dowolną oś jest równy sumie algebraicznej rzutów sum wektorów na tę samą oś.

Rozważ zbieżne siły F 1 , F 2 , F 3 i F 4, (ryc. 19, a). Suma geometryczna lub wypadkowa tych sił F określona przez zamykającą stronę wielokąta sił

Spuśćmy się z wierzchołków wielokąta sił na oś X prostopadłe.

Uwzględniając otrzymane rzuty sił bezpośrednio z ukończonej konstrukcji, mamy

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

gdzie n jest liczbą terminów wektorowych. Ich rzuty wchodzą do powyższego równania z odpowiednim znakiem.

Na płaszczyźnie geometryczną sumę sił można rzutować na dwie osie współrzędnych, a w przestrzeni odpowiednio na trzy.

Wprowadzenie……………………………………………………………………………3

1. Wartość wektora i skalara………………………………….4

2. Definicja rzutu, osi i współrzędnej punktu............5

3. Rzut wektora na oś………………………………………………………...6

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej……………………………..8

5. Obliczanie modułu wektora z jego rzutów…………………...9

Zakończenie……………………………………………………………………………...11

Literatura……………………………………………………………………………...12

Wstęp:

Fizyka jest nierozerwalnie związana z matematyką. Matematyka dostarcza fizyce środków i technik służących do ogólnego i precyzyjnego wyrażania zależności między wielkościami fizycznymi odkrywanymi w wyniku eksperymentów lub badań teoretycznych.Wszak główną metodą badań w fizyce jest eksperyment. Oznacza to, że naukowiec ujawnia obliczenia za pomocą pomiarów. Oznacza związek między różnymi wielkościami fizycznymi. Następnie wszystko zostaje przetłumaczone na język matematyki. Tworzy się model matematyczny. Fizyka jest nauką badającą najprostsze i jednocześnie najbardziej ogólne prawa. Zadaniem fizyki jest stworzenie w naszym umyśle obrazu świata fizycznego, który najpełniej odzwierciedla jego właściwości i zapewnia takie relacje pomiędzy elementami modelu, jakie istnieją pomiędzy elementami.

Fizyka tworzy więc model otaczającego nas świata i bada jego właściwości. Ale każdy model jest ograniczony. Tworząc modele konkretnego zjawiska, uwzględnia się jedynie właściwości i powiązania, które są istotne dla danego zakresu zjawisk. Na tym polega sztuka naukowca – wybrać to, co najważniejsze z całej różnorodności.

Modele fizyczne są matematyczne, ale matematyka nie jest ich podstawą. Ilościowe zależności pomiędzy wielkościami fizycznymi wyznaczane są w wyniku pomiarów, obserwacji i badań eksperymentalnych i wyrażane są wyłącznie w języku matematyki. Jednakże nie ma innego języka do konstruowania teorii fizycznych.

1. Znaczenie wektora i skalara.

W fizyce i matematyce wektor jest wielkością charakteryzującą się wartością liczbową i kierunkiem. W fizyce istnieje wiele ważnych wielkości będących wektorami, na przykład siła, położenie, prędkość, przyspieszenie, moment obrotowy, pęd, natężenie pola elektrycznego i magnetycznego. Można je skontrastować z innymi wielkościami, takimi jak masa, objętość, ciśnienie, temperatura i gęstość, które można opisać zwykłą liczbą i nazywane są „ skalary”.

Są one pisane zwykłą czcionką lub cyframi (a, b, t, G, 5, -7….). Wielkości skalarne mogą być dodatnie lub ujemne. Jednocześnie niektóre obiekty badań mogą posiadać takie właściwości, dla których pełnego opisu nie wystarczy znajomość jedynie miary numerycznej, konieczne jest także scharakteryzowanie tych właściwości za pomocą kierunku w przestrzeni. Właściwości takie charakteryzują się wielkościami wektorowymi (wektorami). Wektory w odróżnieniu od skalarów oznaczane są pogrubionymi literami: a, b, g, F, C....
Często wektor jest oznaczony literą napisaną zwykłą (nie pogrubioną) czcionką, ale ze strzałką nad nią:

Ponadto wektor jest często oznaczony parą liter (zwykle wielką literą), przy czym pierwsza litera wskazuje początek wektora, a druga jego koniec.

Moduł wektora, czyli długość skierowanego odcinka prostej, oznacza się tymi samymi literami, co sam wektor, ale pismem normalnym (nie pogrubionym) i bez strzałki nad nimi lub dokładnie w ten sam sposób jako wektor (czyli pogrubiony lub zwykły, ale ze strzałką), ale wtedy oznaczenie wektora jest ujęte w pionowe kreski.
Wektor to złożony obiekt, który charakteryzuje się jednocześnie wielkością i kierunkiem.

Nie ma również wektorów dodatnich i ujemnych. Ale wektory mogą być sobie równe. Dzieje się tak, gdy na przykład a i b mają te same moduły i są skierowane w tym samym kierunku. W tym przypadku zapis jest prawdziwy A= b. Należy również pamiętać, że symbol wektora może być poprzedzony znakiem minus, na przykład - c, jednak znak ten symbolicznie wskazuje, że wektor -c ma ten sam moduł co wektor c, ale jest skierowany w przeciwną stronę kierunek.

Wektor -c nazywany jest przeciwieństwem (lub odwrotnością) wektora c.
W fizyce każdy wektor jest wypełniony określoną treścią, a przy porównywaniu wektorów tego samego typu (na przykład sił) istotne mogą być również punkty ich zastosowania.

2. Wyznaczanie rzutu, osi i współrzędnych punktu.

Oś- To jest linia prosta, która ma określony kierunek.
Oś oznaczona jest jakąś literą: X, Y, Z, s, t... Zwykle wybierany jest (dowolny) punkt na osi, który nazywa się początkiem i z reguły jest oznaczony literą O. Od tego miejsca mierzone są odległości do innych interesujących nas miejsc.

Rzut punktu na osi jest podstawa prostopadłej poprowadzonej z tego punktu na daną oś. Oznacza to, że rzut punktu na oś jest punktem.

Współrzędna punktu na danej osi to liczba, której wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy początkiem osi a rzutem punktu na tę oś. Liczbę tę przyjmuje się ze znakiem plus, jeśli rzut punktu znajduje się w kierunku osi od jego początku, i ze znakiem minus, jeśli w kierunku przeciwnym.

3. Rzut wektora na oś.

Rzut wektora na oś to wektor, który uzyskuje się poprzez pomnożenie rzutu skalarnego wektora na tę oś przez wektor jednostkowy tej osi. Na przykład, jeśli a x jest rzutem skalarnym wektora a na oś X, to a x·i jest jego rzutem wektorowym na tę oś.

Oznaczmy rzut wektora w taki sam sposób, jak sam wektor, ale z indeksem osi, na którą wektor jest rzutowany. Zatem rzut wektorowy wektora a na oś X oznaczamy jako a x (pogrubiona litera oznaczająca wektor i indeks dolny nazwy osi) lub

(niska pogrubiona litera oznaczająca wektor, ale ze strzałką u góry (!) i indeksem dolnym nazwy osi).

Projekcja skalarna wektor na oś nazywa się numer, którego wartość bezwzględna jest równa długości odcinka osi (w wybranej skali) zawartego pomiędzy rzutami punktu początkowego i punktu końcowego wektora. Zwykle zamiast wyrażenia projekcja skalarna po prostu mówią - występ. Rzut jest oznaczony tą samą literą, co wektor rzutowany (normalnym, niepogrubionym pismem), z niższym indeksem (zwykle) nazwy osi, na którą rzutowany jest ten wektor. Na przykład, jeśli wektor jest rzutowany na oś X A, wówczas jego rzut jest oznaczony przez x. Podczas rzutowania tego samego wektora na inną oś, jeśli osią jest Y, jego rzut zostanie oznaczony jako y.

Aby obliczyć projekcję wektor na osi (na przykład osi X) należy odjąć współrzędną punktu początkowego od współrzędnej jego punktu końcowego, czyli

za x = x k - x n.

Rzut wektora na oś jest liczbą. Co więcej, rzut może być dodatni, jeżeli wartość x k jest większa od wartości x n,

ujemna, jeśli wartość x k jest mniejsza niż wartość x n

i równe zeru, jeśli x k równa się x n.

Rzut wektora na oś można również znaleźć, znając moduł wektora i kąt, jaki tworzy z tą osią.

Z rysunku jasno wynika, że ​​a x = a Cos α

Oznacza to, że rzut wektora na oś jest równy iloczynowi modułu wektora i cosinusa kąta między kierunkiem osi i kierunek wektora. Jeśli kąt jest ostry, to
Cos α > 0 i a x > 0, a jeśli jest rozwarty, to cosinus kąta rozwartego jest ujemny i rzut wektora na oś również będzie ujemny.

Kąty mierzone od osi przeciwnie do ruchu wskazówek zegara uważa się za dodatnie, a kąty mierzone wzdłuż osi za ujemne. Ponieważ jednak cosinus jest funkcją parzystą, to znaczy Cos α = Cos (− α), przy obliczaniu rzutów kąty można liczyć zarówno zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jak i przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Aby znaleźć rzut wektora na oś, moduł tego wektora należy pomnożyć przez cosinus kąta między kierunkiem osi a kierunkiem wektora.

4. Podstawowy wzór algebry wektorowej.

Rzutujmy wektor a na osie X i Y prostokątnego układu współrzędnych. Znajdźmy rzuty wektora a na te osie:

a x = a x ·i i y = a y ·j.

Ale zgodnie z zasadą dodawania wektorów

a = a x + a y.

a = za x ja + za y j.

W ten sposób wyraziliśmy wektor w kategoriach jego rzutów i wektorów prostokątnego układu współrzędnych (lub w kategoriach jego rzutów wektorowych).

Rzuty wektorów a x i y nazywane są składnikami lub składnikami wektora a. Operacja, którą wykonaliśmy, nazywa się rozkładem wektora wzdłuż osi prostokątnego układu współrzędnych.

Jeżeli wektor jest dany w przestrzeni, to

a = za x ja + za y jot + za z k.

Wzór ten nazywany jest podstawowym wzorem algebry wektorowej. Oczywiście, że można to zapisać w ten sposób.