Z tą różnicą, że zamiast „płaskich” wykresów rozważymy najczęstsze powierzchnie przestrzenne, a także nauczymy się, jak umiejętnie je budować ręcznie. Spędziłem sporo czasu wybierając narzędzia programowe do tworzenia trójwymiarowych rysunków i znalazłem kilka dobrych aplikacji, ale pomimo całej łatwości obsługi, programy te nie rozwiązują ważnych problemów pytanie praktyczne. Faktem jest, że w dającej się przewidzieć przyszłości historycznej uczniowie nadal będą uzbrojeni w linijkę i ołówek, a nawet mając wysokiej jakości rysunek „maszynowy”, wielu nie będzie w stanie poprawnie przenieść go na papier w kratkę. Dlatego też w instrukcji szczególną uwagę zwrócono na technikę ręcznej konstrukcji, a znaczna część ilustracji na stronie to produkt wykonany ręcznie.

Czym się to różni materiał referencyjny z analogów?

Mając przyzwoite doświadczenie praktyczne, doskonale wiem, z jakimi płaszczyznami najczęściej mamy do czynienia w realnych problemach matematyki wyższej i mam nadzieję, że ten artykuł pomoże Państwu szybko uzupełnić bagaż odpowiednią wiedzą i stosowanymi umiejętnościami, które stanowią 90 -95% powinno być wystarczająco dużo przypadków.

Co musisz wiedzieć ten moment?

Najbardziej podstawowe:

Po pierwsze trzeba to umieć zbudować poprawnie przestrzenny kartezjański układ współrzędnych (patrz początek artykułu Wykresy i własności funkcji) .

Co zyskasz po przeczytaniu tego artykułu?

Butelka Po opanowaniu materiałów lekcyjnych nauczysz się szybko określać rodzaj powierzchni na podstawie jej funkcji i/lub równania, wyobrażać sobie jej położenie w przestrzeni i oczywiście wykonywać rysunki. Nie ma problemu, jeśli po pierwszym czytaniu nie wszystko poukładasz sobie w głowie – zawsze możesz wrócić do dowolnego akapitu później, jeśli zajdzie taka potrzeba.

Informacja jest w zasięgu każdego – do jej opanowania nie potrzeba super wiedzy, specjalnego talentu artystycznego ani wizji przestrzennej.

Zaczynać!

W praktyce zazwyczaj podaje się powierzchnię przestrzenną funkcja dwóch zmiennych lub równanie postaci (stała po prawej stronie jest najczęściej równa zero lub jeden). Pierwsze oznaczenie jest bardziej typowe dla analizy matematycznej, drugie dla geometria analityczna. Równanie jest zasadniczo podane pośrednio funkcja 2 zmiennych, którą w typowych przypadkach można łatwo sprowadzić do postaci . przypominam ci najprostszy przykład C:

–równanie płaszczyzny Uprzejmy .

– funkcja płaszczyzny w wyraźnie .

Zacznijmy od tego:

Wspólne równania płaszczyzn

Typowe opcje ułożenia płaszczyzn w prostokątnym układzie współrzędnych zostały szczegółowo omówione na samym początku artykułu. Równanie płaszczyzny. Zastanówmy się jednak jeszcze raz nad równaniami, które mają ogromne znaczenie w praktyce.

Przede wszystkim należy w pełni automatycznie rozpoznać równania płaszczyzn równoległych płaszczyzny współrzędnych. Fragmenty płaszczyzn są standardowo przedstawiane jako prostokąty, które w dwóch ostatnich przypadkach wyglądają jak równoległoboki. Domyślnie możesz wybrać dowolne wymiary (oczywiście w rozsądnych granicach), ale pożądane jest, aby punkt, w którym oś współrzędnych „przebija” płaszczyznę, był środkiem symetrii:


Ściśle mówiąc, osie współrzędnych należy w niektórych miejscach przedstawić liniami przerywanymi, ale aby uniknąć nieporozumień, pominiemy ten niuans.

– (lewy rysunek) nierówność określa najdalszą od nas półprzestrzeń, z wyłączeniem samej płaszczyzny;

– (środkowy rysunek) nierówność określa prawą półprzestrzeń, łącznie z płaszczyzną;

– (prawy rysunek) podwójna nierówność definiuje „warstwę” znajdującą się pomiędzy płaszczyznami, obejmującą obie płaszczyzny.

Do samodzielnej rozgrzewki:

Przykład 1

Narysuj ciało ograniczone płaszczyznami
Stwórz układ nierówności definiujący dane ciało.

Spod ołówka powinien wyłonić się stary znajomy. prostopadłościan. Nie zapominaj, że niewidoczne krawędzie i twarze należy narysować linią przerywaną. Skończyłeś rysować na koniec lekcji.

Proszę, NIE ZANIEDBAJ zadań edukacyjnych, nawet jeśli wydają się zbyt proste. W przeciwnym razie może się zdarzyć, że przegapiłeś to raz, przegapiłeś dwa razy, a potem spędziłeś solidną godzinę próbując wymyślić trójwymiarowy rysunek na jakimś prawdziwym przykładzie. Oprócz, Praca mechaniczna pomoże Ci efektywniej nauczyć się materiału i rozwinąć Twoją inteligencję! To nie przypadek przedszkole I Szkoła Podstawowa Dzieci są obciążone rysowaniem, modelowaniem, zestawami konstrukcyjnymi i innymi zadaniami ćwiczącymi małą motorykę palców. Przepraszam za dygresję, ale moje dwa zeszyty z psychologii rozwojowej nie powinny zaginąć =)

Następną grupę płaszczyzn warunkowo nazwiemy „proporcjonalnością bezpośrednią” - są to płaszczyzny przechodzące przez osie współrzędnych:

2) równanie postaci określa płaszczyznę przechodzącą przez oś;

3) równanie postaci określa płaszczyznę przechodzącą przez oś.

Chociaż formalny znak jest oczywisty (jakiej zmiennej brakuje w równaniu – płaszczyzna przechodzi przez tę oś), zawsze warto zrozumieć istotę zachodzących wydarzeń:

Przykład 2

Zbuduj samolot

Jaki jest najlepszy sposób budowania? Proponuję następujący algorytm:

Najpierw przepiszmy równanie do postaci , z której wyraźnie widać, że „y” może przyjmować każdy znaczenia. Ustalmy wartość, to znaczy rozważymy płaszczyznę współrzędnych. Zestaw równań linia kosmiczna, leżące w danej płaszczyźnie współrzędnych. Przedstawmy tę linię na rysunku. Prosta przechodzi przez początek współrzędnych, dlatego do jej skonstruowania wystarczy znaleźć jeden punkt. Pozwalać . Odłóż punkt i narysuj linię prostą.

Teraz wracamy do równania płaszczyzny. Ponieważ „Y” akceptuje każdy wartości, wówczas linia prosta zbudowana na płaszczyźnie jest w sposób ciągły „replikowana” w lewo i w prawo. Dokładnie tak powstaje nasza płaszczyzna, przechodząc przez oś. Aby zakończyć rysunek, kładziemy dwie równoległe linie po lewej i prawej stronie prostej i „zamykamy” symboliczny równoległobok poprzecznymi poziomymi segmentami:

Ponieważ warunek nie narzucał dodatkowych ograniczeń, fragment samolotu można było przedstawić w nieco mniejszych lub nieco większych rozmiarach.

Powtórzmy jeszcze raz znaczenie przestrzenne nierówność liniowa Na przykład . Jak wyznaczyć półprzestrzeń, którą ona definiuje? Zajmijmy się pewnym punktem nie należący do płaszczyznę, na przykład punkt z najbliższej nam półprzestrzeni i podstawiamy jego współrzędne do nierówności:

Otrzymane prawdziwa nierówność, co oznacza, że ​​nierówność określa dolną (w stosunku do płaszczyzny) półprzestrzeń, natomiast sama płaszczyzna nie jest uwzględniana w rozwiązaniu.

Przykład 3

Konstruuj samoloty
A) ;
B) .

Są to zadania do samodzielnej konstrukcji, w przypadku trudności należy kierować się podobnym rozumowaniem. Krótka instrukcja i rysunki na końcu lekcji.

W praktyce szczególnie powszechne są płaszczyzny równoległe do osi. Szczególny przypadek, gdy płaszczyzna przechodzi przez oś, został właśnie omówiony w punkcie „be”, a teraz przeanalizujemy więcej wspólne zadanie:

Przykład 4

Zbuduj samolot

Rozwiązanie: zmienna „z” nie jest wyraźnie uwzględniona w równaniu, co oznacza, że ​​płaszczyzna jest równoległa do osi zastosowania. Zastosujmy tę samą technikę, co w poprzednich przykładach.

Przepiszmy równanie płaszczyzny do postaci z czego jasno wynika, że ​​„zet” może przyjąć każdy znaczenia. Naprawmy to i narysujmy regularną „płaską” linię prostą w „natywnej” płaszczyźnie. Aby go skonstruować, wygodnie jest wziąć punkty odniesienia.

Ponieważ „Z” akceptuje Wszystko wartości, wówczas zbudowana linia prosta stale „mnoży się” w górę i w dół, tworząc w ten sposób pożądaną płaszczyznę . Ostrożnie rysujemy równoległobok o rozsądnych rozmiarach:

Gotowy.

Równanie płaszczyzny w odcinkach

Najważniejsza odmiana stosowana. Jeśli Wszystko szanse ogólne równanie płaszczyzny niezerowy, to można to przedstawić w postaci który jest nazywany równanie płaszczyzny w odcinkach. Jest oczywiste, że płaszczyzna przecina osie współrzędnych w punktach , a ogromną zaletą takiego równania jest łatwość skonstruowania rysunku:

Przykład 5

Zbuduj samolot

Rozwiązanie: Najpierw utwórzmy równanie płaszczyzny w odcinkach. Rzućmy wolny wyraz w prawo i podzielmy obie strony przez 12:

Nie, nie ma tu żadnej literówki i wszystko dzieje się w kosmosie! Proponowaną powierzchnię badamy tą samą metodą, która była ostatnio stosowana w przypadku płaszczyzn. Przepiszmy równanie w postaci , z czego wynika, że ​​„zet” bierze każdy znaczenia. Naprawmy i skonstruujmy elipsę na płaszczyźnie. Ponieważ „zet” akceptuje Wszystko wartości, wówczas skonstruowana elipsa jest w sposób ciągły „replikowana” w górę i w dół. Łatwo zrozumieć, że powierzchnia nieskończony:

Ta powierzchnia nazywa się cylinder eliptyczny. Nazywa się elipsą (na dowolnej wysokości). przewodnik nazywa się cylinder i linie równoległe przechodzące przez każdy punkt elipsy formowanie cylinder (który dosłownie go tworzy). Oś jest oś symetrii powierzchni (ale nie jej części!).

Współrzędne dowolnego punktu należącego do danej powierzchni koniecznie spełniają równanie .

Przestrzenny nierówność określa „wnętrze” nieskończonej „rury”, w tym samą powierzchnię cylindryczną, i odpowiednio przeciwna nierówność określa zbiór punktów na zewnątrz cylindra.

W problemy praktyczne najbardziej popularny szczególny przypadek, Gdy przewodnik cylinder jest koło:

Przykład 8

Skonstruuj powierzchnię określoną równaniem

Nie da się przedstawić niekończącej się „fajki”, dlatego sztuka zwykle ogranicza się do „przycinania”.

Najpierw wygodnie jest skonstruować okrąg o promieniu w płaszczyźnie, a następnie kilka kolejnych okręgów powyżej i poniżej. Powstałe okręgi ( przewodniki cylinder) ostrożnie połącz czterema równoległymi liniami prostymi ( formowanie cylinder):

Nie zapomnij użyć linii przerywanych dla linii, które są dla nas niewidoczne.

Współrzędne dowolnego punktu należącego do danego walca spełniają równanie . Współrzędne dowolnego punktu leżącego ściśle wewnątrz „rury” spełniają nierówność i nierówność definiuje zbiór punktów części zewnętrznej. Dla lepszego zrozumienia polecam rozważyć kilka konkretnych punktów w przestrzeni i przekonać się samemu.

Przykład 9

Skonstruuj powierzchnię i znajdź jej rzut na płaszczyznę

Przepiszmy równanie w postaci z czego wynika, że ​​„x” bierze każdy znaczenia. Naprawmy i zobrazujmy na płaszczyźnie koło– ze środkiem na początku, promień jednostkowy. Ponieważ „x” stale akceptuje Wszystko wartości, wówczas skonstruowany okrąg generuje okrągły walec z osią symetrii. Narysuj kolejny okrąg ( przewodnik cylinder) i ostrożnie połącz je liniami prostymi ( formowanie cylinder). W niektórych miejscach zachodziły na siebie nakładki, ale co zrobić, takie nachylenie:

Tym razem ograniczyłem się do kawałka cylindra w szczelinie i nie jest to przypadek. W praktyce często konieczne jest zobrazowanie jedynie niewielkiego fragmentu powierzchni.

Nawiasem mówiąc, tutaj jest 6 generatorów - dwie dodatkowe linie proste „zakrywają” powierzchnię od lewego górnego i prawego dolnego rogu.

Przyjrzyjmy się teraz rzutowi walca na płaszczyznę. Wielu czytelników rozumie, czym jest projekcja, niemniej jednak przeprowadźmy kolejne pięciominutowe ćwiczenie fizyczne. Proszę wstać i pochylić głowę nad rysunkiem tak, aby punkt osi był skierowany prostopadle do czoła. Pod tym kątem cylinder wydaje się być jego rzutem na płaszczyznę. Wydaje się jednak, że jest to nieskończony pas, zamknięty pomiędzy liniami prostymi, włączając w to same linie proste. Ta projekcja jest dokładnie taka domena funkcje (górna „rynna” cylindra), (dolna „rynna”).

Przy okazji wyjaśnijmy sytuację rzutami na inne płaszczyzny współrzędnych. Niech promienie słoneczne świecą na cylinder od czubka i wzdłuż osi. Cień (rzut) walca na płaszczyznę jest podobnym nieskończonym pasem - częścią płaszczyzny ograniczoną liniami prostymi (- dowolnymi), łącznie z samymi liniami prostymi.

Ale rzut na płaszczyznę jest nieco inny. Jeśli spojrzysz na cylinder od końca osi, zostanie on rzucony na okrąg o jednostkowym promieniu od którego rozpoczęliśmy budowę.

Przykład 10

Skonstruuj powierzchnię i znajdź jej rzuty na płaszczyzny współrzędnych

To jest zadanie dla niezależna decyzja. Jeśli warunek nie jest zbyt jasny, wyrównaj obie strony i przeanalizuj wynik; dowiedz się, która część cylindra jest określona przez funkcję. Zastosuj technikę konstrukcyjną wielokrotnie opisaną powyżej. Krótkie rozwiązanie, rysunek i komentarze na końcu lekcji.

Powierzchnie eliptyczne i inne cylindryczne można przesunąć względem osi współrzędnych, na przykład:

(w oparciu o znane motywy artykułu o Linie drugiego rzędu) – walec o promieniu jednostkowym z osią symetrii przechodzącą przez punkt równoległy do ​​osi. Jednak w praktyce takie cylindry spotyka się dość rzadko i absolutnie niewiarygodne jest napotkanie powierzchni cylindrycznej, która jest „ukośna” w stosunku do osi współrzędnych.

Cylindry paraboliczne

Jak sama nazwa wskazuje, przewodnik taki cylinder jest parabola.

Przykład 11

Skonstruuj powierzchnię i znajdź jej rzuty na płaszczyzny współrzędnych.

Nie mogłam się oprzeć temu przykładowi =)

Rozwiązanie: Chodźmy utartą ścieżką. Przepiszmy równanie do postaci, z której wynika, że ​​„zet” może przyjmować dowolną wartość. Ustalmy i zbudujmy na płaszczyźnie zwykłą parabolę, zaznaczając wcześniej trywialne punkty podparcia. Ponieważ „Z” akceptuje Wszystko wartości, wówczas skonstruowana parabola jest w sposób ciągły „replikowana” w górę i w dół aż do nieskończoności. Kładziemy tę samą parabolę, powiedzmy, na wysokości (w płaszczyźnie) i ostrożnie łączymy je równoległymi liniami prostymi ( tworząc cylinder):

przypominam ci przydatna technika: jeśli początkowo nie masz pewności co do jakości rysunku, lepiej najpierw narysować linie bardzo cienko ołówkiem. Następnie oceniamy jakość szkicu, znajdujemy obszary, w których powierzchnia jest ukryta przed naszymi oczami, i dopiero wtedy wywieramy nacisk na rysik.

Projekcje.

1) Rzut walca na płaszczyznę jest parabolą. Należy zauważyć, że w tym przypadku nie można o tym rozmawiać dziedzina definicji funkcji dwóch zmiennych– z tego powodu, że równania walca nie da się sprowadzić do postaci funkcyjnej.

2) Rzut walca na płaszczyznę jest półpłaszczyzną łącznie z osią

3) I wreszcie rzut walca na płaszczyznę to cała płaszczyzna.

Przykład 12

Konstruowanie cylindrów parabolicznych:

a) ograniczyć się do fragmentu powierzchni w bliskiej półprzestrzeni;

b) w przerwie

W przypadku trudności nie śpieszymy się i nie rozumujemy analogicznie do poprzednich przykładów, na szczęście technologia została gruntownie opracowana. Nie jest krytyczne, jeśli powierzchnie okażą się trochę niezgrabne - ważne jest, aby poprawnie wyświetlić podstawowy obraz. Ja sam specjalnie nie przejmuję się pięknem linii, jeśli dostanę zadowalający rysunek z oceną C, to zazwyczaj go nie przerabiam. Nawiasem mówiąc, przykładowe rozwiązanie wykorzystuje inną technikę w celu poprawy jakości rysunku ;-)

Cylindry hiperboliczne

Przewodniki takie cylindry są hiperbolami. Ten typ powierzchni, według moich obserwacji, jest znacznie mniej powszechny niż poprzednie typy, dlatego ograniczę się do jednego schematycznego rysunku cylindra hiperbolicznego:

Zasada rozumowania jest tutaj dokładnie taka sama - zwykła szkolna hiperbola z płaszczyzny stale „mnoży się” w górę i w dół do nieskończoności.

Rozważane cylindry należą do tzw Powierzchnie II rzędu, a teraz będziemy nadal poznawać innych przedstawicieli tej grupy:

Elipsoida. Kula i piłka

Równanie kanoniczne elipsoidy w prostokątnym układzie współrzędnych ma postać , gdzie są liczbami dodatnimi ( półosie elipsoida), co w ogólnym przypadku różny. Nazywa się elipsoidą powierzchnia, Więc ciało, ograniczone daną powierzchnią. Ciało, jak wielu się domyślało, jest zdeterminowane nierównością a współrzędne dowolnego punktu wewnętrznego (jak również dowolnego punktu na powierzchni) koniecznie spełniają tę nierówność. Projekt jest symetryczny względem osi i płaszczyzn współrzędnych:

Pochodzenie terminu „elipsoida” jest również oczywiste: jeśli powierzchnia zostanie „przecięta” płaszczyznami współrzędnych, wówczas w wyniku przekrojów powstaną trzy różne (w ogólnym przypadku)

Studenci na pierwszym roku najczęściej spotykają się z powierzchniami II rzędu. Na początku problemy na ten temat mogą wydawać się proste, ale w miarę studiowania wyższej matematyki i zagłębiania się w stronę naukową, możesz w końcu stracić kontrolę nad tym, co się dzieje. Aby tak się nie stało, musisz nie tylko zapamiętać, ale zrozumieć, w jaki sposób uzyskuje się tę lub inną powierzchnię, jak wpływają na nią zmieniające się współczynniki i jej położenie względem pierwotnego układu współrzędnych oraz jak znaleźć nowy system(taki, w którym jego środek pokrywa się z początkiem współrzędnych i jest równoległy do ​​jednej z osi współrzędnych). Zacznijmy od samego początku.

Definicja

Powierzchnię drugiego rzędu nazywa się GMT, a jej współrzędne spełniają równanie ogólne postaci:

Jest oczywiste, że każdy punkt należący do powierzchni musi mieć trzy współrzędne w jakiejś wyznaczonej bazie. Chociaż w niektórych przypadkach miejsce punktów może się zdegenerować, na przykład w płaszczyznę. Oznacza to jedynie, że jedna ze współrzędnych jest stała i równa zeru w całym zakresie dopuszczalnych wartości.

Pełna pisemna forma powyższej równości wygląda następująco:

A 11 x 2 +A 22 y 2 +A 33 z 2 +2A 12 xy+2A 23 yz+2A 13 xz+2A 14 x+2A 24 y+2A 34 z+A 44 =0.

A nm to pewne stałe, x, y, z to zmienne odpowiadające współrzędnym afinicznym punktu. W takim przypadku przynajmniej jeden ze stałych współczynników nie może być równy zero, czyli żaden punkt nie będzie odpowiadał równaniu.

W zdecydowanej większości przykładów wiele czynników liczbowych jest nadal identycznie równych zeru, a równanie jest znacznie uproszczone. W praktyce ustalenie, czy punkt należy do powierzchni, nie jest trudne (wystarczy podstawić jego współrzędne do równania i sprawdzić, czy tożsamość jest zachowana). Kluczowym punktem w takiej pracy jest doprowadzenie tego ostatniego do formy kanonicznej.

Równanie zapisane powyżej definiuje dowolne (wszystkie wymienione poniżej) powierzchnie drugiego rzędu. Spójrzmy na przykłady poniżej.

Rodzaje powierzchni II rzędu

Równania powierzchni drugiego rzędu różnią się jedynie wartościami współczynników An nm. Z ogólnej formy można uzyskać dla pewnych wartości stałych różne powierzchnie, sklasyfikowane w następujący sposób:

  1. Cylindry.
  2. Typ eliptyczny.
  3. Typ hiperboliczny.
  4. Typ stożkowy.
  5. Typ paraboliczny.
  6. Samoloty.

Każdy z wymienionych typów ma postać naturalną i urojoną: w formie urojonej miejsce punktów rzeczywistych albo ulega degeneracji do prostszej figury, albo jest całkowicie nieobecne.

Cylindry

Jest to najprostszy typ, ponieważ stosunkowo złożona krzywa leży tylko u podstawy i pełni rolę prowadnicy. Generatory to linie proste prostopadłe do płaszczyzny, w której leży podstawa.

Wykres przedstawia walec kołowy, szczególny przypadek walca eliptycznego. Na płaszczyźnie XY jej rzutem będzie elipsa (w naszym przypadku okrąg) - prowadnica, a w XZ - prostokąt - ponieważ generatory są równoległe do osi Z. Aby uzyskać to z równania ogólnego, należy konieczne jest podanie następujących wartości współczynnikom:

Zamiast zwykłych symboli x, y, z, x z numer seryjny- nie ważne.

W rzeczywistości 1/a 2 i inne wskazane tutaj stałe są tymi samymi współczynnikami wskazanymi w równaniu ogólnym, ale zwyczajowo zapisuje się je dokładnie w tej formie - jest to reprezentacja kanoniczna. W dalszej części ten wpis będzie używany wyłącznie.

To definiuje cylinder hiperboliczny. Schemat jest ten sam – przewodnikiem będzie hiperbola.

Walec paraboliczny definiuje się nieco inaczej: w jego postaci kanonicznej występuje współczynnik p, zwany parametrem. W rzeczywistości współczynnik wynosi q=2p, ale zwyczajowo dzieli się go na dwa przedstawione czynniki.

Istnieje inny rodzaj cylindra: wyimaginowany. Żaden rzeczywisty punkt nie należy do takiego cylindra. Opisuje się to równaniem walca eliptycznego, ale zamiast jednego jest -1.

Typ eliptyczny

Elipsoidę można rozciągnąć wzdłuż jednej z osi (wzdłuż której zależy to od wartości stałych a, b, c wskazanych powyżej; oczywiście większa oś będzie odpowiadać większemu współczynnikowi).

Istnieje również wyimaginowana elipsoida - pod warunkiem, że suma współrzędnych pomnożona przez współczynniki jest równa -1:

Hiperboloidy

Kiedy w jednej ze stałych pojawia się minus, równanie elipsoidy zamienia się w równanie hiperboloidy jednoarkuszowej. Musisz zrozumieć, że ten minus nie musi znajdować się przed współrzędną x3! Określa jedynie, która z osi będzie osią obrotu hiperboloidy (lub równoległą do niej, gdyż gdy w kwadracie pojawią się dodatkowe wyrazy (na przykład (x-2) 2), środek figury przesuwa się, jak w rezultacie powierzchnia porusza się równolegle do osi współrzędnych). Dotyczy to wszystkich powierzchni drugiego rzędu.

Dodatkowo trzeba zrozumieć, że równania są przedstawione w formie kanonicznej i można je zmieniać zmieniając stałe (przy zachowaniu znaku!); jednocześnie ich wygląd (hiperboloid, stożek itd.) pozostanie taki sam.

Takie równanie podaje hiperboloida z dwoma arkuszami.

Powierzchnia stożkowa

W równaniu stożka nie ma jedności - jest ona równa zeru.

Tylko ograniczona powierzchnia stożkowa nazywana jest stożkiem. Poniższy obrazek pokazuje, że tak naprawdę na wykresie pojawią się dwa tzw. stożki.

Ważna uwaga: we wszystkich rozważanych równaniach kanonicznych domyślnie przyjmuje się, że stałe są dodatnie. W przeciwnym razie znak może mieć wpływ na końcowy wykres.

Płaszczyzny współrzędnych stają się płaszczyznami symetrii stożka, środek symetrii znajduje się w początku układu współrzędnych.

W równaniu wyimaginowanego stożka są tylko plusy; posiada jeden prawdziwy punkt.

Paraboloidy

Powierzchnie drugiego rzędu w przestrzeni mogą przyjmować różne kształty nawet przy podobnych równaniach. Na przykład paraboloidy występują w dwóch rodzajach.

x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =2z

Paraboloida eliptyczna, gdy oś Z jest prostopadła do rysunku, zostanie rzucona w elipsę.

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =2z

Paraboloida hiperboliczna: na przekrojach o płaszczyznach równoległych do ZY otrzymane zostaną parabole, a na przekrojach o płaszczyznach równoległych do XY otrzymane zostaną hiperbole.

Przecinające się płaszczyzny

Zdarzają się przypadki, gdy powierzchnie II rzędu ulegają degeneracji w płaszczyźnie. Płaszczyzny te można układać na różne sposoby.

Najpierw spójrzmy na przecinające się płaszczyzny:

x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0

Dzięki tej modyfikacji równania kanonicznego otrzymujemy po prostu dwie przecinające się płaszczyzny (wyimaginowane!); wszystkie punkty rzeczywiste leżą na osi współrzędnej, której nie ma w równaniu (w kanonicznej - osi Z).

Płaszczyzny równoległe

Jeśli istnieje tylko jedna współrzędna, powierzchnie drugiego rzędu degenerują się w parę równoległych płaszczyzn. Nie zapominaj, że każda inna zmienna może zastąpić gracza; wówczas otrzymane zostaną płaszczyzny równoległe do pozostałych osi.

W tym przypadku stają się one wyimaginowane.

Samoloty przypadkowe

Z tym proste równanie para płaszczyzn degeneruje się w jedną - pokrywają się.

Nie zapominaj, że w przypadku podstawy trójwymiarowej powyższe równanie nie określa prostej y=0! Brakuje pozostałych dwóch zmiennych, ale oznacza to po prostu, że ich wartość jest stała i równa zero.

Budowa

Jednym z najtrudniejszych zadań dla ucznia jest właśnie konstrukcja powierzchni II rzędu. Jeszcze trudniej jest przejść z jednego układu współrzędnych do drugiego, biorąc pod uwagę kąty nachylenia krzywej względem osi i przesunięcie środka. Powtórzmy, jak w sposób analityczny konsekwentnie określić przyszły wygląd rysunku.

Aby skonstruować powierzchnię drugiego rzędu, należy:

  • doprowadzić równanie do postaci kanonicznej;
  • określić rodzaj badanej powierzchni;
  • budować w oparciu o wartości współczynników.

Poniżej znajdują się wszystkie brane pod uwagę typy:

Aby to wzmocnić, opiszemy szczegółowo jeden przykład tego typu zadania.

Przykłady

Powiedzmy, że mamy równanie:

3(x 2 -2x+1)+6y 2 +2z 2 +60y+144=0

Doprowadźmy to do formy kanonicznej. Wybierajmy pełne kwadraty, czyli ułożymy dostępne wyrazy w taki sposób, aby były rozkładem kwadratu sumy lub różnicy. Na przykład: jeśli (a+1) 2 = a 2 +2a+1, to a 2 +2a+1=(a+1) 2. Przeprowadzimy drugą operację. W takim przypadku nie jest konieczne otwieranie nawiasów, ponieważ tylko skomplikuje to obliczenia, ale należy dodać wspólny współczynnik 6 (w nawiasach z idealny kwadrat gra) potrzebujesz:

3(x-1) 2 +6(y+5) 2 +2z 2 =6

Zmienna zet pojawia się w tym przypadku tylko raz - możesz ją na razie zostawić w spokoju.

Przeanalizujmy równanie na tym etapie: przed wszystkimi niewiadomymi znajduje się znak plus; Dzielenie przez sześć pozostawia jeden. W rezultacie mamy przed sobą równanie definiujące elipsoidę.

Zauważ, że 144 zostało uwzględnione w 150-6, a następnie -6 zostało przesunięte w prawo. Dlaczego trzeba było to zrobić w ten sposób? Oczywiście największy dzielnik w w tym przykładzie-6 zatem, aby po podzieleniu przez nią pozostać po prawej stronie, należy „odłożyć” dokładnie 6 ze 144 (o tym, że należy być po prawej stronie świadczy obecność Wolny Członek- stała niemnożona przez niewiadomą).

Podzielmy wszystko przez sześć i otrzymamy równanie kanoniczne elipsoidy:

(x-1) 2 /2+(y+5) 2 /1+z 2 /3=1

W stosowanej dotychczas klasyfikacji powierzchni II rzędu szczególny przypadek uwzględnia się, gdy środek figury znajduje się w początku współrzędnych. W tym przykładzie jest to przesunięte.

Zakładamy, że każdy nawias z niewiadomymi jest nową zmienną. Czyli: a=x-1, b=y+5, c=z. W nowych współrzędnych środek elipsoidy pokrywa się z punktem (0,0,0), zatem a=b=c=0, skąd: x=1, y=-5, z=0. We współrzędnych początkowych środek figury leży w punkcie (1,-5,0).

Elipsoidę otrzymamy z dwóch elips: pierwszej w płaszczyźnie XY i drugiej w płaszczyźnie XZ (lub YZ – nie ma to znaczenia). Współczynniki, przez które zmienne są dzielone, są w równaniu kanonicznym podnoszone do kwadratu. Dlatego w powyższym przykładzie bardziej poprawne byłoby dzielenie przez pierwiastek z dwóch, jeden i pierwiastek z trzech.

Oś mniejsza pierwszej elipsy, równoległa do osi Y, jest równa dwa. Główna oś jest równoległa do osi X – dwa pierwiastki z dwóch. Oś pomocnicza drugiej elipsy, równoległa do osi Y, pozostaje taka sama – jest równa dwa. A główna oś, równoległa do osi Z, jest równa dwóm pierwiastkom z trzech.

Wykorzystując dane uzyskane z pierwotnego równania poprzez konwersję do postaci kanonicznej, możemy narysować elipsoidę.

Podsumowując

Temat poruszony w tym artykule jest dość obszerny, jednak w rzeczywistości, jak teraz widać, nie jest bardzo skomplikowany. Jego rozwój tak naprawdę kończy się w momencie, gdy zapamiętujesz nazwy i równania powierzchni (i oczywiście, jak one wyglądają). W powyższym przykładzie szczegółowo rozpatrzyliśmy każdy krok, jednak doprowadzenie równania do postaci kanonicznej wymaga minimalnej znajomości matematyki wyższej i nie powinno sprawić uczniowi żadnych trudności.

Analiza przyszłego harmonogramu w oparciu o istniejącą równość to już ponad trudne zadanie. Ale aby pomyślnie rozwiązać ten problem, wystarczy zrozumieć, jak zbudowane są odpowiednie krzywe drugiego rzędu - elipsy, parabole i inne.

Przypadki zwyrodnień to jeszcze prostsza sekcja. Ze względu na brak niektórych zmiennych upraszczane są nie tylko obliczenia, jak wspomniano wcześniej, ale także sama konstrukcja.

Gdy tylko będziesz w stanie śmiało nazwać wszystkie rodzaje powierzchni, zmieniać stałe, przekształcać wykres w taki czy inny kształt, temat zostanie opanowany.

Powodzenia na studiach!

Definicja 1. Powierzchnia stożkowa lub stożek z wierzchołkiem w punkcie M 0 to powierzchnia utworzona przez wszystkie linie proste, z których każda przechodzi przez punkt M 0 i przez pewien punkt na linii γ. Punkt M 0 nazywany jest wierzchołkiem stożka, linia γ nazywana jest prowadnicą. Linie proste przechodzące przez wierzchołek stożka i leżące na nim nazywane są generatorami stożka.

Twierdzenie. Powierzchnia drugiego rzędu z równaniem kanonicznym

jest stożkiem z wierzchołkiem w początku, którego prowadnicą jest elipsa

Dowód.

Niech M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) będzie pewnym punktem na powierzchni α, różnym od początku; ?=ОM 1 – prosta, M (x; y; z) należy do?. Od | | , zatem takie, że

Ponieważ wówczas jego współrzędne wynoszą x 1; y 1; z 1 spełniają równanie (1). Biorąc pod uwagę warunki (3) mamy, gdzie t ≠ 0. Dzielenie obu stron równania przez t 2 ≠ 0, otrzymujemy, że współrzędne dowolnego punktu M (x; y; z) prostej m=ОM 1 spełniają równanie (1). Spełniają to także współrzędne punktu O(0,0,0).

Zatem dowolny punkt M (x; y; z) prostej m=ОМ 1 leży na powierzchni α o równaniu (1), czyli prosta ОМ 1 =m jest generatorem prostoliniowym powierzchni α.

Rozważmy teraz przekrój powierzchni α przez płaszczyznę równoległą do płaszczyzny Oxy z równaniem z = do ≠ 0:

Ta sekcja jest elipsą z półosiami A I B. Dlatego przecina tę elipsę. Zgodnie z definicją 1 powierzchnia α jest stożkiem z wierzchołkiem O(0,0,0) (Wszystkie linie m przechodzą przez początek); generatorami tego stożka są linie proste m, prowadnicą jest wspomniana wyżej elipsa.

Twierdzenie zostało udowodnione.

Definicja 2. Powierzchnię drugiego rzędu z równaniem kanonicznym (1) nazywamy stożkiem drugiego rzędu.

Właściwości stożka drugiego rzędu.

1° Stożek o równaniu (1) jest symetryczny względem wszystkich płaszczyzn współrzędnych, wszystkich osi współrzędnych i początku układu współrzędnych (ponieważ wszystkie zmienne zawarte są w równaniu (1) do drugiego stopnia).

2° Wszystkie osie współrzędnych mają pojedynczy stożek (1) wspólny punkt– początek współrzędnych, który jest jednocześnie jego wierzchołkiem i środkiem

3° Przekrój stożka (1) płaszczyznami Oxz I Oj– pary prostych przecinających się w początku; samolot Oksy- kropka O(0,0,0).

4° Przekroje stożka (1) w płaszczyznach równoległych do płaszczyzn współrzędnych, ale nie pokrywających się z nimi, są elipsami lub hiperbolami.

5° Jeśli A = B, to te elipsy są okręgami, a sam stożek jest powierzchnią obrotową. W tym przypadku nazywa się to okrągłym stożkiem.

Definicja 3: przekrój stożkowy to linia, wzdłuż której okrągły stożek przecina się z dowolną płaszczyzną nieprzechodzącą przez jego wierzchołek. Zatem przekroje kanoniczne to elipsa, hiperbola i parabola.

Powierzchnia stożkowa to powierzchnia utworzona przez linie proste – generatory stożka – przechodzące przez dany punkt – wierzchołek stożka – i przecinające daną linię – prowadnicę stożka. Niech przewodnik stożkowy będzie miał równania

a wierzchołek stożka ma współrzędne.Równania kanoniczne generatorów stożka jako linie proste przechodzące przez punkt ) i przez punkt prowadnicy będą;

Eliminując x, y i z z czterech równań (3) i (4), otrzymujemy pożądane równanie powierzchni stożkowej. Równanie to ma bardzo prostą właściwość: jest jednorodne (to znaczy wszystkie jego wyrazy mają ten sam wymiar) pod względem różnic. W rzeczywistości załóżmy najpierw, że wierzchołek stożka znajduje się w początku. Niech X, Y i Z będą współrzędnymi dowolnego punktu na stożku; spełniają zatem równanie stożka. Po zamianie X, Y i Z w równaniu stożka odpowiednio na XX, XY, XZ, gdzie X jest czynnikiem dowolnym, równanie musi być spełnione, gdyż XX, XY i XZ są współrzędnymi punktu stożka linia przechodząca przez początek współrzędnych do punktu, czyli tworząca stożek. W konsekwencji równanie stożka nie ulegnie zmianie, jeśli pomnożymy wszystkie aktualne współrzędne przez tę samą liczbę X. Wynika z tego, że równanie to musi być jednorodne względem bieżących współrzędnych.

Jeżeli wierzchołek stożka leży w punkcie, przeniesiemy początek współrzędnych na wierzchołek i zgodnie z tym, co zostało udowodnione, przekształcone równanie stożka będzie jednorodne względem nowych współrzędnych, czyli względem Do

Przykład. Napisz równanie stożka z wierzchołkiem w początku i kierunkiem

Równania kanoniczne generatorów przechodzących przez wierzchołek (0, 0, C) stożka i punkt prowadnicy będą wynosić:

Wyeliminujmy x, y i z czterech podanych równań. Zastępując przez c, wyznaczamy i y z dwóch ostatnich równań.

Treść artykułu

PRZEKROJE STOŻKOWE, krzywe płaskie, które uzyskuje się przez przecięcie linii prostej okrągły stożek płaszczyzna, która nie przechodzi przez jej wierzchołek (ryc. 1). Z punktu widzenia geometrii analitycznej przekrój stożkowy jest zbiorem punktów spełniających równanie drugiego rzędu. Z wyjątkiem zdegenerowanych przypadków rozpatrywanych w ostatnia sekcja, przekroje stożkowe to elipsy, hiperbole lub parabole.

Sekcje stożkowe często występują w przyrodzie i technologii. Na przykład orbity planet krążących wokół Słońca mają kształt elips. Okrąg jest szczególnym przypadkiem elipsy, w której główna oś jest równa mniejszej. Zwierciadło paraboliczne ma tę właściwość, że wszystkie promienie padające równolegle do jego osi zbiegają się w jednym punkcie (ognisku). Jest to stosowane w większości teleskopów zwierciadlanych wykorzystujących zwierciadła paraboliczne, a także w antenach radarowych i specjalnych mikrofonach z reflektorami parabolicznymi. Wiązka promieni równoległych pochodzi ze źródła światła umieszczonego w ognisku reflektora parabolicznego. Dlatego w reflektorach dużej mocy i reflektorach samochodowych stosuje się lusterka paraboliczne. Hiperbola to wykres wielu ważnych zależności fizycznych, takich jak prawo Boyle'a (odnoszące ciśnienie do objętości gazu doskonałego) i prawo Ohma, które definiuje Elektryczność jako funkcja rezystancji przy stałym napięciu.

WCZESNA HISTORIA

Za odkrywcę przekrojów stożkowych uważa się Menaechmusa (IV w. p.n.e.), ucznia Platona i nauczyciela Aleksandra Wielkiego. Menaechmus użył paraboli i hiperboli równobocznej do rozwiązania problemu podwojenia sześcianu.

Traktaty o przekrojach stożkowych napisane przez Aristaeusa i Euklidesa pod koniec IV wieku. p.n.e. zaginęły, ale materiały z nich trafiły do ​​słynnych Przekroje stożkowe Apoloniusza z Perge (ok. 260–170 p.n.e.), które przetrwały do ​​dziś. Apoloniusz porzucił wymóg, aby sieczna płaszczyzna tworząca stożka była prostopadła i zmieniając kąt jej nachylenia, otrzymywał wszystkie przekroje stożkowe z jednego okrągłego stożka, prostego lub nachylonego. Jesteśmy wdzięczni Apollo i współczesne nazwy krzywe - elipsa, parabola i hiperbola.

W swoich konstrukcjach Apoloniusz zastosował dwuwarstwowy okrągły stożek (jak na ryc. 1), dzięki czemu po raz pierwszy stało się jasne, że hiperbola jest krzywą o dwóch ramionach. Od czasów Apoloniusza przekroje stożkowe podzielono na trzy typy w zależności od nachylenia płaszczyzny cięcia do tworzącej stożka. Elipsa (ryc. 1, A) powstaje, gdy płaszczyzna cięcia przecina wszystkie tworzące stożka w punktach jednego z jego wgłębień; parabola (ryc. 1, B) – gdy płaszczyzna cięcia jest równoległa do jednej z płaszczyzn stycznych stożka; hiperbola (ryc. 1, V) – gdy płaszczyzna cięcia przecina obydwie wnęki stożka.

BUDOWA PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH

Badając przekroje stożkowe jako przecięcia płaszczyzn i stożków, starożytni greccy matematycy uważali je również za trajektorie punktów na płaszczyźnie. Stwierdzono, że elipsę można zdefiniować jako zbiór punktów, czyli sumę odległości, z jakich do dwóch danych punktów jest stała; parabola – jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu i danej prostej; hiperbola - jako zbiór punktów różnica odległości, z których do dwóch danych punktów jest stała.

Te definicje przekrojów stożkowych jako krzywych płaskich sugerują również metodę ich konstruowania przy użyciu rozciągniętej struny.

Elipsa.

Jeśli końce nici podana długość ustalone w punktach F 1 i F 2 (ryc. 2), wówczas krzywa opisana ostrzem ołówka przesuwającego się po mocno napiętej nitce ma kształt elipsy. Zwrotnica F 1 i F 2 nazywane są ogniskami elipsy i segmentami V 1 V 2 i w 1 w 2 pomiędzy punktami przecięcia elipsy z osiami współrzędnych - osią większą i mniejszą. Jeśli punkty F 1 i F 2 pokrywają się, następnie elipsa zamienia się w okrąg.

Hiperbola.

Konstruując hiperbolę, punkt P, końcówka ołówka, jest zamocowana na nitce, która swobodnie przesuwa się po kołkach zainstalowanych w punktach F 1 i F 2, jak pokazano na rys. 3, A. Odległości dobiera się tak, aby segment PF 2 jest dłuższy niż odcinek PF 1 o ustaloną kwotę mniejszą niż odległość F 1 F 2. W takim przypadku jeden koniec nici przechodzi pod kołkiem F 1 i oba końce nitki przechodzą przez kołek F 2. (Czut ołówka nie powinien ślizgać się po nitce, dlatego należy go zabezpieczyć, robiąc małą pętlę na nitce i przeciągając przez nią czubek.) Jedna gałąź hiperboli ( PV 1 Q) rysujemy, upewniając się, że nić jest cały czas napięta i ciągniemy oba końce nitki w dół poza punkt F 2 i kiedy punkt P będzie poniżej segmentu F 1 F 2, trzymając nić za oba końce i ostrożnie ją trawiąc (tj. puszczając). Druga gałąź hiperboli ( Pў V 2 Qў) rysujemy, wcześniej zamieniając role kołków F 1 i F 2 .

Gałęzie hiperboli zbliżają się do dwóch linii prostych, które przecinają się między gałęziami. Linie te, zwane asymptotami hiperboli, są zbudowane w sposób pokazany na ryc. 3, B. Współczynniki kątowe tych linii są równe ± ( w 1 w 2)/(V 1 V 2), gdzie w 1 w 2 – odcinek dwusiecznej kąta między asymptotami, prostopadły do ​​odcinka F 1 F 2; odcinek w 1 w 2 nazywa się osią sprzężoną hiperboli i odcinkiem V 1 V 2 – jego oś poprzeczna. Zatem asymptoty są przekątnymi prostokąta, którego boki przechodzą przez cztery punkty w 1 , w 2 , V 1 , V 2 równolegle do osi. Aby skonstruować ten prostokąt, musisz określić położenie punktów w 1 i w 2. Są w tej samej odległości, równi

od punktu przecięcia osi O. Wzór ten zakłada konstrukcję trójkąt prostokątny z nogami Ow 1 i V 2 O i przeciwprostokątna F 2 O.

Jeżeli asymptoty hiperboli są wzajemnie prostopadłe, wówczas hiperbolę nazywamy równoboczną. Dwie hiperbole, które mają wspólne asymptoty, ale z przestawionymi osiami poprzecznymi i sprzężonymi, nazywane są wzajemnie sprzężonymi.

Parabola.

Ogniska elipsy i hiperboli były znane Apoloniuszowi, jednak ognisko paraboli najwyraźniej zostało po raz pierwszy ustalone przez Pappusa (2. połowa III w.), który zdefiniował tę krzywą jako zbiór punktów w jednakowej odległości od danego punktu (ognisko). i daną linię prostą, która nazywa się reżyserem. Konstrukcję paraboli z rozciągniętej nici, w oparciu o definicję Pappusa, zaproponował Izydor z Miletu (VI w.). Umieść linijkę tak, aby jej krawędź pokrywała się z kierownicą LLў (ryc. 4) i przyłóż nogę do tej krawędzi AC rysowanie trójkąta ABC. Mocujemy jeden koniec nici o długości AB na górze B trójkąta, a drugi w ognisku paraboli F. Za pomocą końcówki ołówka naciągnij nić, dociśnij końcówkę w zmiennym punkcie P do wolnej nogi AB rysowanie trójkąta. Gdy trójkąt przesuwa się wzdłuż linijki, punkt P opisze łuk paraboli z ostrością F i dyrektorka LLў , ponieważ całkowita długość nici wynosi AB, kawałek nici przylega do wolnej nogi trójkąta, a tym samym do pozostałego kawałka nici PF musi być równa pozostałej części nogi AB, tj. ROCZNIE. Punkt przecięcia V parabola z osią nazywana jest wierzchołkiem paraboli, linią przechodzącą F I V, – oś paraboli. Jeśli przez ognisko poprowadzono linię prostą, prostopadłą do osi, wówczas odcinek tej prostej odcięty przez parabolę nazywa się parametrem ogniskowym. W przypadku elipsy i hiperboli parametr ogniskowy wyznacza się w podobny sposób.

WŁAŚCIWOŚCI PRZEKRÓJÓW STOŻKOWYCH

Definicje Pappusa.

Ustalenie ogniska paraboli podsunęło Pappusowi pomysł podania alternatywnej definicji przekrojów stożkowych w ogóle. Pozwalać F – punkt zadany(koncentracja) i L– dana linia prosta (kierownica), która nie przechodzi F, I DF I D L– odległość od poruszającego się punktu P skupiać się F i dyrektorki L odpowiednio. Następnie, jak pokazał Pappus, przekroje stożkowe definiuje się jako miejsce punktów P, dla którego relacja DF/D L jest stałą nieujemną. Ten stosunek nazywa się ekscentrycznością mi przekrój stożkowy. Na mi e > 1 – hiperbola; Na mi= 1 – parabola. Jeśli F leży na L, wówczas loci geometryczne mają postać linii prostych (rzeczywistych lub urojonych), które są zdegenerowanymi przekrojami stożkowymi.

Uderzająca symetria elipsy i hiperboli sugeruje, że każda z tych krzywych ma dwie kierownice i dwa ogniska, i ta okoliczność doprowadziła Keplera w 1604 r. do pomysłu, że parabola ma również drugie ognisko i drugą kierownicę - punkt w nieskończoności i prostą . W ten sam sposób okrąg można uznać za elipsę, której ogniska pokrywają się ze środkiem, a kierownice znajdują się w nieskończoności. Ekscentryczność mi w tym przypadku jest równa zeru.

Projekt Dandelena.

Ogniska i kierownice przekroju stożkowego można wyraźnie wykazać za pomocą kul wpisanych w stożek i nazwanych kulami dmuchawca na cześć belgijskiego matematyka i inżyniera J. Dandelina (1794–1847), który zaproponował następującą konstrukcję. Niech przekrój stożkowy zostanie utworzony przez przecięcie określonej płaszczyzny P z prostym okrągłym stożkiem z dwiema wgłębieniami i wierzchołkiem w punkcie O. Wpiszmy w ten stożek dwie kule S 1 i S 2, które dotykają samolotu P w punktach F 1 i F odpowiednio 2. Jeśli przekrój stożkowy jest elipsą (ryc. 5, A), to obie kule znajdują się w tej samej wnęce: jedna kula znajduje się nad płaszczyzną P, a drugi jest pod nim. Każda tworząca stożka styka się z obiema kulami, a miejsce punktów styku wygląda jak dwa koła C 1 i C 2 umieszczone w równoległych płaszczyznach P 1 i P 2. Pozwalać P– dowolny punkt na przekroju stożkowym. Narysujmy linie proste PF 1 , PF 2 i przedłuż linię prostą PO. Linie te są w punktach styczne do kul F 1 , F 2 i R 1 , R 2. Ponieważ wszystkie styczne poprowadzone do kuli z jednego punktu są równe, zatem PF 1 = PR 1 i PF 2 = PR 2. Stąd, PF 1 + PF 2 = PR 1 + PR 2 = R 1 R 2. Od samolotu P 1 i P 2 równoległe odcinki linii R 1 R 2 ma stałą długość. Tym samym wartość PR 1 + PR 2 jest taki sam dla wszystkich pozycji punktowych P i punkt P należy do geometrycznego miejsca punktów, dla których suma odległości jest P zanim F 1 i F 2 jest stałe. Dlatego punkty F 1 i F 2 – ogniska przekroju eliptycznego. Ponadto można wykazać, że linie proste, wzdłuż których płaszczyzna P przecina płaszczyzny P 1 i P 2, są kierownicami skonstruowanej elipsy. Jeśli P przecina obie wnęki stożka (ryc. 5, B), wówczas dwie kule Dandelin leżą po tej samej stronie płaszczyzny P, po jednej kuli w każdej wnęce stożka. W tym przypadku różnica pomiędzy PF 1 i PF 2 jest stała, a miejsce punktów P ma kształt hiperboli z ogniskami F 1 i F 2 i linie proste - linie przecięcia P Z P 1 i P 2 – jako dyrektorki. Jeśli przekrój stożkowy jest parabolą, jak pokazano na ryc. 5, V, to w stożek można wpisać tylko jedną kulę mniszka lekarskiego.

Inne właściwości.

Właściwości przekrojów stożkowych są naprawdę niewyczerpane i każdy z nich można uznać za definiujący. Ważne miejsce w Spotkanie matematyczne Tata (ok. 300), Geometria Kartezjusz (1637) i Początki Newton (1687) zajmował się problemem geometrycznego położenia punktów względem czterech prostych. Jeśli na płaszczyźnie podano cztery linie L 1 , L 2 , L 3 i L 4 (z których dwa mogą być takie same) i kropkę P jest taki, że iloczyn odległości od P zanim L 1 i L 2 jest proporcjonalna do iloczynu odległości od P zanim L 3 i L 4, następnie miejsce punktów P jest przekrojem stożkowym. Błędnie wierząc, że Apoloniusz i Pappus nie byli w stanie rozwiązać problemu położenia punktów względem czterech prostych, Kartezjusz stworzył geometrię analityczną, aby uzyskać rozwiązanie i uogólnić je.

PODEJŚCIE ANALITYCZNE

Klasyfikacja algebraiczna.

W ujęciu algebraicznym przekroje stożkowe można zdefiniować jako krzywe płaskie, których współrzędne w kartezjańskim układzie współrzędnych spełniają równanie drugiego stopnia. Innymi słowy, można zapisać równanie wszystkich przekrojów stożkowych ogólna perspektywa Jak

gdzie nie wszystkie współczynniki A, B I C są równe zeru. Stosując równoległe przesunięcie i obrót osi, równanie (1) można sprowadzić do postaci

topór 2 + przez 2 + C = 0

pikseli 2 + q = 0.

Pierwsze równanie otrzymuje się z równania (1) z B 2 № AC, drugi – o godz B 2 = AC. Przekroje stożkowe, których równania sprowadza się do pierwszej postaci, nazywane są centralnymi. Przekroje stożkowe dane równaniami drugiego typu z Q Nr 0 nazywane są niecentralnymi. W obrębie tych dwóch kategorii jest ich dziewięć różne rodzaje przekroje stożkowe w zależności od znaków współczynników.

2831) jeśli szanse A, B I C mają ten sam znak, to nie ma punktów rzeczywistych, których współrzędne spełniałyby równanie. Taki przekrój stożkowy nazywa się wyimaginowaną elipsą (lub wyimaginowanym okręgiem, jeśli A = B).

2) Jeśli A I B mają ten sam znak i C– odwrotnie, wówczas przekrój stożkowy jest elipsą (ryc. 1, A); Na A = B– okrąg (ryc. 6, B).

3) Jeśli A I B mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy jest hiperbolą (ryc. 1, V).

4) Jeśli A I B mają różne znaki i C= 0, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch przecinających się linii (ryc. 6, A).

5) Jeśli A I B mają ten sam znak i C= 0, to na krzywej istnieje tylko jeden rzeczywisty punkt spełniający równanie, a przekrój stożkowy to dwie wyimaginowane przecinające się linie. W tym przypadku mówimy również o elipsie skurczonej do punktu lub, jeśli A = B, skurczony do punktu na okręgu (ryc. 6, B).

6) Jeśli tak A, Lub B jest równa zeru, a pozostałe współczynniki mają różne znaki, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch równoległych linii.

7) Jeśli jedno A, Lub B jest równa zeru, a pozostałe współczynniki mają ten sam znak, to nie ma ani jednego punktu rzeczywistego spełniającego równanie. W tym przypadku mówią, że przekrój stożkowy składa się z dwóch wyimaginowanych równoległych linii.

8) Jeśli C= 0, i albo A, Lub B jest również równa zeru, wówczas przekrój stożkowy składa się z dwóch rzeczywistych zbieżnych linii. (Równanie nie definiuje żadnego przekroju stożkowego w A = B= 0, ponieważ w tym przypadku pierwotne równanie (1) nie jest drugiego stopnia.)

9) Równania drugiego typu definiują parabole jeśli P I Q są różne od zera. Jeśli P nr 0, a Q= 0, otrzymujemy krzywą z kroku 8. Jeśli P= 0, to równanie nie definiuje żadnego przekroju stożkowego, gdyż pierwotne równanie (1) nie jest drugiego stopnia.

Wyprowadzanie równań przekrojów stożkowych.

Dowolny przekrój stożkowy można również zdefiniować jako krzywą, wzdłuż której płaszczyzna przecina powierzchnię kwadratową, tj. o powierzchni określonej równaniem drugiego stopnia F (X, y, z) = 0. Najwyraźniej w tej formie po raz pierwszy rozpoznano przekroje stożkowe i ich nazwy ( patrz poniżej) wynikają z faktu, że uzyskano je przez przecięcie płaszczyzny ze stożkiem z 2 = X 2 + y 2. Pozwalać ABCD– podstawa prawego okrągłego stożka (ryc. 7) z kątem prostym na wierzchołku V. Niech samolot FDC przecina tworzącą VB w tym punkcie F, podstawa – w linii prostej płyta CD i powierzchnia stożka - wzdłuż krzywizny DFPC, Gdzie P– dowolny punkt na krzywej. Narysujmy środek odcinka płyta CD- punkt mi- prosty E.F. i średnica AB. Przez punkt P narysuj płaszczyznę równoległą do podstawy stożka, przecinającą stożek po okręgu R.P.S. i bezpośredni E.F. w tym punkcie Q. Następnie QF I Pytanie można zatem przyjąć jako odciętą X i uporządkować y zwrotnica P. Powstała krzywa będzie parabolą.

Konstrukcja pokazana na rys. 7, może być użyty do wyjścia równania ogólne sekcje stożkowe. Kwadrat długości odcinka prostopadłego przywróconego z dowolnego punktu średnicy do przecięcia z okręgiem jest zawsze równy iloczynowi długości odcinków średnicy. Dlatego

y 2 = pytanie H QS.

Dla paraboli odcinek pytanie ma stałą długość (ponieważ w dowolnym położeniu punktu P jest równy segmentowi AE) i długość odcinka QS proporcjonalny X(ze stosunku QS/E.B. = QF/FE). Wynika, że

Gdzie A– współczynnik stały. Numer A wyraża długość ogniskowego parametru paraboli.

Jeżeli kąt przy wierzchołku stożka jest ostry, to odcinek pytanie nie jest równy segmentowi AE; ale stosunek y 2 = pytanie H QS jest równoważne równaniu postaci

Gdzie A I B– stałe lub po przesunięciu osi do równania

które jest równaniem elipsy. Punkty przecięcia elipsy z osią X (X = A I X = –A) i punkty przecięcia elipsy z osią y (y = B I y = –B) definiują odpowiednio oś większą i mniejszą. Jeżeli kąt przy wierzchołku stożka jest rozwarty, to krzywa przecięcia stożka z płaszczyzną ma postać hiperboli, a równanie przyjmuje postać:

lub po przeniesieniu osi,

W tym przypadku punkty przecięcia z osią X, dane przez relację X 2 = A 2, wyznacz oś poprzeczną i punkty przecięcia z osią y, dane przez relację y 2 = –B 2, określ oś sprzężoną. Jeśli stała A I B w równaniu (4a) są równe, wówczas hiperbola nazywana jest równoboczną. Obracając osie, jego równanie sprowadza się do postaci

xy = k.

Teraz z równań (3), (2) i (4) możemy zrozumieć znaczenie nazw nadanych przez Apoloniusza trzem głównym przekrojom stożkowym. Od nich pochodzą określenia „elipsa”, „parabola” i „hiperbola”. Greckie słowa, co oznacza „niedostateczny”, „równy” i „lepszy”. Z równań (3), (2) i (4) wynika, że ​​dla elipsy y 2 b 2 / A) X, dla paraboli y 2 = (A) X i za hiperbolę y 2 > (2B 2 /A) X. W każdym przypadku wartość zawarta w nawiasie jest równa parametrowi ogniskowemu krzywej.

Sam Apoloniusz rozważał tylko trzech typ ogólny przekroje stożkowe (typy 2, 3 i 9 wymienione powyżej), ale jego podejście pozwala na uogólnienie uwzględniające wszystkie rzeczywiste krzywe drugiego rzędu. Jeśli płaszczyzna cięcia zostanie wybrana równolegle do okrągłej podstawy stożka, wówczas w wyniku przekroju poprzecznego powstanie okrąg. Jeżeli płaszczyzna przecięcia ma tylko jeden punkt wspólny ze stożkiem, czyli jego wierzchołek, to otrzymamy przekrój typu 5; jeśli zawiera wierzchołek i styczną do stożka, to otrzymujemy przekrój typu 8 (ryc. 6, B); jeżeli płaszczyzna cięcia zawiera dwie tworzące stożek, to z przekroju powstaje krzywizna typu 4 (rys. 6, A); gdy wierzchołek zostanie przeniesiony do nieskończoności, stożek zamienia się w walec, a jeśli płaszczyzna zawiera dwie tworzące, wówczas uzyskuje się przekrój typu 6.

Jeśli spojrzeć na okrąg pod kątem ukośnym, wygląda on jak elipsa. Znany Archimedesowi związek między kołem a elipsą staje się oczywisty, jeśli istnieje okrąg X 2 + Y 2 = A 2 stosując podstawienie X = X, Y = (A/B) y przekonwertuj na elipsę, dane równaniem(3a). Konwersja X = X, Y = (AI/B) y, Gdzie I 2 = –1, pozwala zapisać równanie okręgu w postaci (4a). To pokazuje, że hiperbolę można postrzegać jako elipsę z wyimaginowaną osią małą i odwrotnie, elipsę można postrzegać jako hiperbolę z wyimaginowaną osią sprzężoną.

Zależność między rzędnymi okręgu X 2 + y 2 = A 2 i elipsa ( X 2 /A 2) + (y 2 /B 2) = 1 bezpośrednio prowadzi do wzoru Archimedesa A = p.ab dla obszaru elipsy. Kepler znał przybliżony wzór P(A + B) dla obwodu elipsy zbliżonej do koła, ale dokładny wyraz uzyskano dopiero w XVIII wieku. po wprowadzeniu całek eliptycznych. Jak pokazał Archimedes, powierzchnia odcinka parabolicznego wynosi cztery trzecie powierzchni trójkąta wpisanego, ale długość łuku paraboli można było obliczyć dopiero po XVII wieku. Wynaleziono rachunek różniczkowy.

PODEJŚCIE PROJEKTYWNE

Geometria rzutowa jest ściśle związana z konstrukcją perspektywy. Jeśli narysujesz okrąg na przezroczystej kartce papieru i umieścisz go pod źródłem światła, wówczas okrąg ten zostanie rzucony na płaszczyznę poniżej. Co więcej, jeśli źródło światła znajduje się bezpośrednio nad środkiem okręgu, a płaszczyzna i przezroczysty arkusz są równoległe, wówczas rzut również będzie okręgiem (ryc. 8). Położenie źródła światła nazywa się punktem zbiegu. Wskazuje na to litera V. Jeśli V nie znajduje się powyżej środka okręgu lub jeżeli płaszczyzna nie jest równoległa do kartki papieru, wówczas rzut okręgu przyjmuje kształt elipsy. Przy jeszcze większym nachyleniu płaszczyzny główna oś elipsy (rzut koła) wydłuża się, a elipsa stopniowo zamienia się w parabolę; na płaszczyźnie równoległej do prostej wiceprezes, rzut ma postać paraboli; przy jeszcze większym nachyleniu rzut przyjmuje postać jednej z gałęzi hiperboli.

Każdy punkt na pierwotnym okręgu odpowiada pewnemu punktowi na rzucie. Jeśli rzut ma postać paraboli lub hiperboli, wówczas mówią, że punkt odpowiada punktowi P, jest w nieskończoności lub nieskończenie odległy.

Jak widzieliśmy, przy odpowiednim wyborze punktów zbiegu okrąg można rzutować na elipsy o różnych rozmiarach i różnych mimośrodach, a długości głównych osi nie są bezpośrednio powiązane ze średnicą rzutowanego okręgu. Dlatego geometria rzutowa nie zajmuje się odległościami ani długościami jako takimi, lecz jej zadaniem jest badanie stosunku długości zachowanego podczas projekcji. Zależność tę można znaleźć korzystając z następującej konstrukcji. Przez dowolny punkt P płaszczyźnie, narysuj dwie styczne do dowolnego okręgu i połącz punkty styczne linią prostą P. Niech kolejna linia przechodzi przez punkt P, przecina okrąg w punktach C 1 i C 2 i prosto P- w tym momencie Q(ryc. 9). Udowodniono to w planimetrii komputer 1 /komputer 2 = –Kontrola jakości 1 /Kontrola jakości 2. (Znak minus wynika z faktu, że kierunek odcinka Kontrola jakości 1 jest przeciwny do kierunków pozostałych odcinków.) Innymi słowy punkty P I Q podzielić segment C 1 C 2 zewnętrznie i wewnętrznie w tym samym zakresie; mówią również, że stosunek harmoniczny czterech odcinków jest równy - 1. Jeśli okrąg zostanie rzutowany na przekrój stożkowy i ten sam zapis zostanie zachowany dla odpowiednich punktów, wówczas stosunek harmoniczny ( komputer 1)(Kontrola jakości 2)/(komputer 2)(Kontrola jakości 1) pozostanie równa - 1. Punkt P zwany słupem liniowym P względem przekroju stożkowego i linii prostej P– punkt polarny P w stosunku do przekroju stożkowego.

Kiedy punkt P zbliża się do przekroju stożkowego, biegun ma tendencję do przyjmowania pozycji stycznej; jeśli punkt P leży na przekroju stożkowym, wówczas jego biegun pokrywa się w tym punkcie ze styczną do przekroju stożkowego P. Jeśli chodzi o P znajduje się wewnątrz przekroju stożkowego, wówczas jego biegun można skonstruować w następujący sposób. Przeciągnijmy przez punkt P dowolna linia prosta przecinająca przekrój stożkowy w dwóch punktach; narysuj styczne do przekroju stożkowego w punktach przecięcia; załóżmy, że te styczne przecinają się w jednym punkcie P 1. Przeciągnijmy przez punkt P kolejna linia prosta przecinająca przekrój stożkowy w dwóch innych punktach; załóżmy, że styczne do przekroju stożkowego w tych nowych punktach przecinają się w tym punkcie P 2 (ryc. 10). Linia przechodząca przez punkty P 1 i P 2 i tam jest pożądany biegun P. Jeśli chodzi o P zbliżając się do centrum Ośrodkowa część stożkowa, następnie polarna P oddalając się od O. Kiedy punkt P zbiega się z O, wówczas jego biegun staje się nieskończenie odległy lub idealny, prosto na płaszczyźnie.

BUDYNKI SPECJALNE

Szczególnie interesująca dla astronomów jest następująca prosta konstrukcja punktów elips za pomocą kompasu i linijki. Niech dowolna linia prosta przechodzi przez punkt O(ryc. 11, A), przecina się w punktach Q I R dwa koncentryczne okręgi o środku w jednym punkcie O i promienie B I A, Gdzie B A. Przeciągnijmy przez punkt Q linia pozioma i przez R– linię pionową i wskaż punkt ich przecięcia P P podczas obracania linii prostej OQR wokół punktu O będzie elipsa. Narożnik F pomiędzy linią prostą OQR a główna oś nazywana jest kątem mimośrodowym, a skonstruowana elipsa jest dogodnie zdefiniowana równania parametryczne X = A sałata F, y = B grzech F. Z wyłączeniem parametru F, otrzymujemy równanie (3a).

W przypadku hiperboli konstrukcja jest w dużej mierze podobna. Dowolna linia prosta przechodząca przez punkt O, przecina w jednym punkcie jeden z dwóch okręgów R(ryc. 11, B). Do momentu R jedno koło i do punktu końcowego S pozioma średnica innego okręgu, narysuj przecinające się styczne system operacyjny w tym punkcie T I LUB- w tym momencie Q. Niech linia pionowa przechodzi przez punkt T i poziomą linią przechodzącą przez ten punkt Q, przecinają się w punkcie P. Następnie miejsce punktów P podczas obracania segmentu LUB wokół O będzie hiperbolą określoną równaniami parametrycznymi X = A sek F, y = B tg F, Gdzie F– kąt mimośrodowy. Równania te uzyskał francuski matematyk A. Legendre (1752–1833). Wykluczając parametr F, otrzymujemy równanie (4a).

Elipsę, jak zauważył N. Kopernik (1473–1543), można skonstruować za pomocą ruchu epicyklicznego. Jeżeli okrąg toczy się bez poślizgu po wnętrzu innego okręgu o dwukrotnie większej średnicy, to każdy punkt P, który nie leży na mniejszym okręgu, ale jest względem niego nieruchomy, będzie opisywał elipsę. Jeśli chodzi o P leży na mniejszym okręgu, to trajektoria tego punktu jest zdegenerowanym przypadkiem elipsy – średnicą większego okręgu. Jeszcze prostszą konstrukcję elipsy zaproponował Proklos w V wieku. Jeśli końcówki A I B odcinek AB o danej długości przesuwaj się po dwóch ustalonych, przecinających się liniach prostych (na przykład wzdłuż osie współrzędnych), następnie każdy punkt wewnętrzny P odcinek będzie opisywał elipsę; holenderski matematyk F. van Schooten (1615–1660) wykazał, że dowolny punkt na płaszczyźnie przecinających się linii, ustalony względem segmentu ślizgowego, również będzie opisywał elipsę.

B. Pascal (1623–1662) w wieku 16 lat sformułował słynne obecnie twierdzenie Pascala, które głosi, że: trzy punkty przecięcia przeciwległych boków sześciokąta wpisanego w dowolny przekrój stożkowy leżą na tej samej prostej. Pascal wyprowadził z tego twierdzenia ponad 400 wniosków.