Znajdź kąt między prostymi, mając dane równania kanoniczne. Kąt pomiędzy liniami prostymi. Jak obliczyć kąt między przecinającymi się liniami w przestrzeni

Narożnik φ równania ogólne A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 i A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, obliczane według wzoru:

Narożnik φ między dwiema podanymi liniami równania kanoniczne(x-x 1)/m 1 = (y-y 1)/n 1 i (x-x 2)/m 2 = (y-y 2)/n 2, obliczane według wzoru:

Odległość od punktu do linii

Każdą płaszczyznę w przestrzeni można przedstawić w postaci równania liniowego zwanego równanie ogólne samolot

Specjalne przypadki.

o Jeżeli w równaniu (8) , to płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.

o Gdy (,) płaszczyzna jest równoległa odpowiednio do osi (osi, osi).

o Gdy (,) płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny (płaszczyzna, płaszczyzna).

Rozwiązanie: użyj (7)

Odpowiedź: ogólne równanie płaszczyzny.

Przykład.

Płaszczyzna w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz jest dana przez ogólne równanie płaszczyzny . Zapisz współrzędne wszystkich wektorów normalnych tej płaszczyzny.

Wiemy, że współczynniki zmiennych x, y i z w ogólnym równaniu płaszczyzny są odpowiadającymi współrzędnymi wektora normalnego tej płaszczyzny. Zatem wektor normalny danej płaszczyzny ma współrzędne. Zbiór wszystkich wektorów normalnych można zdefiniować jako:

Zapisz równanie płaszczyzny, jeżeli w prostokątnym układzie współrzędnych Oxyz w przestrzeni przechodzi ona przez punkt , A jest wektorem normalnym tej płaszczyzny.

Przedstawiamy dwa rozwiązania tego problemu.

Z stanu jaki mamy. Podstawiamy te dane do ogólnego równania płaszczyzny przechodzącej przez punkt:

Zapisz ogólne równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych Oyz i przechodzącej przez ten punkt .

Płaszczyznę równoległą do płaszczyzny współrzędnych Oyz można wyznaczyć za pomocą ogólnego niepełnego równania płaszczyzny w postaci . Od tego momentu należy do płaszczyzny pod warunkiem, wówczas współrzędne tego punktu muszą spełniać równanie płaszczyzny, czyli równość musi być prawdziwa. Stąd znajdziemy. Zatem wymagane równanie ma postać.

Rozwiązanie. Iloczyn krzyżowy, z definicji 10.26, jest ortogonalny do wektorów p i q. W związku z tym jest on ortogonalny do żądanej płaszczyzny i wektor można przyjąć jako jego wektor normalny. Znajdźmy współrzędne wektora n:

to jest . Korzystając ze wzoru (11.1) otrzymujemy

Otwierając nawiasy w tym równaniu, dochodzimy do ostatecznej odpowiedzi.

Odpowiedź: .

Przepiszmy wektor normalny do postaci i znajdźmy jego długość:

Zgodnie z powyższym:

Odpowiedź:

Płaszczyzny równoległe mają ten sam wektor normalny. 1) Z równania znajdujemy wektor normalny płaszczyzny:.

2) Ułóżmy równanie płaszczyzny wykorzystując punkt i wektor normalny:

Odpowiedź:

Równanie wektorowe płaszczyzny w przestrzeni

Równanie parametryczne płaszczyzny w przestrzeni

Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt prostopadle do zadanego wektora

Niech w przestrzeni trójwymiarowej będzie dany prostokątny kartezjański układ współrzędnych. Sformułujmy następujący problem:

Napisz równanie przechodzącej przez nią płaszczyzny ten punkt M(X 0, y 0, z 0) prostopadle do zadanego wektora n = ( A, B, C} .

Rozwiązanie. Pozwalać P(X, y, z) jest dowolnym punktem w przestrzeni. Kropka P należy do płaszczyzny wtedy i tylko wtedy, gdy wektor poseł = {X − X 0, y − y 0, z − z 0) ortogonalne do wektora N = {A, B, C) (ryc. 1).

Po zapisaniu warunku ortogonalności tych wektorów (n, poseł) = 0 w postaci współrzędnych, otrzymujemy:

A(X − X 0) + B(y − y 0) + C(z − z 0) = 0

Równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów

W formie wektorowej

We współrzędnych

Wzajemne ustawienie płaszczyzn w przestrzeni

– równania ogólne dwa samoloty. Następnie:

1) jeśli , wówczas płaszczyzny pokrywają się;

2) jeśli , to płaszczyzny są równoległe;

3) jeśli lub , to płaszczyzny przecinają się i układ równań

(6)

są równaniami prostej przecięcia tych płaszczyzn.

Rozwiązanie: Równania kanoniczne prostej układamy ze wzoru: Odpowiedź:

Bierzemy powstałe równania i mentalnie „odcinamy”, na przykład lewy kawałek: . Teraz przyrównajmy ten kawałek na dowolny numer(pamiętajcie, że było już zero) na przykład do jedynki: . Ponieważ , to pozostałe dwie „kawałki” również powinny być równe jeden. Zasadniczo musisz rozwiązać system:

Utwórz równania parametryczne następujących linii prostych:

Rozwiązanie: Określono bezpośrednio równania kanoniczne i na pierwszym etapie powinieneś znaleźć jakiś punkt należący do prostej i jej wektor kierunkowy.

a) Z równań usuń punkt i wektor kierunkowy: . Możesz wybrać inny punkt (jak to zrobić opisano powyżej), ale lepiej wybrać najbardziej oczywisty. Nawiasem mówiąc, aby uniknąć błędów, zawsze podstawiaj jego współrzędne do równań.

Utwórzmy równania parametryczne dla tej prostej:

Wygodą równań parametrycznych jest to, że bardzo ułatwiają znalezienie innych punktów na linii. Na przykład znajdźmy punkt, którego współrzędne odpowiadają, powiedzmy, wartości parametru:

Zatem: b) Rozważmy równania kanoniczne . Wybór punktu tutaj nie jest trudny, ale zdradliwy: (uważaj, aby nie pomylić współrzędnych!!!). Jak usunąć wektor prowadzący? Możesz spekulować, do czego ta prosta jest równoległa, lub możesz zastosować prostą technikę formalną: proporcja zawiera „Y” i „Z”, więc zapisujemy wektor kierunkowy , a w pozostałym miejscu wstawiamy zero: .

Ułóżmy równania parametryczne prostej:

c) Zapiszmy równania w postaci , czyli „zet” może oznaczać wszystko. A jeśli już, to niech np. . Zatem punkt należy do tej prostej. Aby znaleźć wektor kierunku, stosujemy następującą technikę formalną: w oryginalnych równaniach znajdują się „x” i „y”, a w wektorze kierunku w tych miejscach piszemy zera: . W pozostałej przestrzeni umieściliśmy jednostka: . Zamiast jedynki wystarczy dowolna liczba z wyjątkiem zera.

Zapiszmy równania parametryczne prostej:

Niech w przestrzeni zostaną podane linie proste l I M. Przez jakiś punkt A przestrzeni rysujemy linie proste l 1 || l I M 1 || M(ryc. 138).

Należy pamiętać, że punkt A może być wybrany dowolnie, w szczególności może leżeć na jednej z tych prostych. Jeśli prosto l I M przecinają się, to A można przyjąć jako punkt przecięcia tych prostych ( l 1 = l I M 1 = m).

Kąt między liniami nierównoległymi l I M jest wartością najmniejszego z sąsiednich kątów utworzonych przez przecinające się linie l 1 I M 1 (l 1 || l, M 1 || M). Kąt między równoległymi liniami uważa się za równy zeru.

Kąt pomiędzy liniami prostymi l I M oznaczone przez \(\widehat((l;m))\). Z definicji wynika, że ​​jeśli mierzy się ją w stopniach, to 0° < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < 90°, a jeśli w radianach, to 0 < \(\szeroki kapelusz((l;m)) \) < π / 2 .

Zadanie. Biorąc pod uwagę sześcian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (ryc. 139).

Znajdź kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1.

Proste AB i DC 1 przecinają się. Ponieważ prosta DC jest równoległa do prostej AB, to kąt pomiędzy prostymi AB i DC 1, zgodnie z definicją, jest równy \(\widehat(C_(1)DC)\).

Dlatego \(\widehat((AB;DC_1))\) = 45°.

Bezpośredni l I M są nazywane prostopadły, if \(\widehat((l;m)) \) = π / 2. Na przykład w sześcianie

Obliczanie kąta między prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak w płaszczyźnie. Oznaczmy przez φ wielkość kąta między liniami l 1 I l 2, a przez ψ - wielkość kąta między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ <90° (рис. 206, а), то φ = ψ; если же ψ >90° (ryc. 206.6), wówczas φ = 180° - ψ. Oczywiście w obu przypadkach prawdziwa jest równość cos φ = |cos ψ|. Zgodnie ze wzorem (cosinus kąta pomiędzy niezerowymi wektorami a i b jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów podzielonemu przez iloczyn ich długości) mamy

$$ cos\psi = cos\widehat((a; b)) = \frac(a\cdot b)(|a|\cdot |b|) $$

stąd,

$$ cos\phi = \frac(|a\cdot b|)(|a|\cdot |b|) $$

Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne

$$ \frac(x-x_1)(a_1)=\frac(y-y_1)(a_2)=\frac(z-z_1)(a_3) \;\; I \;\; \frac(x-x_2)(b_1)=\frac(y-y_2)(b_2)=\frac(z-z_2)(b_3) $$

Następnie kąt φ między liniami wyznacza się ze wzoru

$$ cos\phi = \frac(|a_(1)b_1+a_(2)b_2+a_(3)b_3|)(\sqrt((a_1)^2+(a_2)^2+(a_3)^2 )\sqrt((b_1)^2+(b_2)^2+(b_3)^2)) (1)$$

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest dana równaniami niekanonicznymi, to aby obliczyć kąt, należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie skorzystać ze wzoru (1).

Zadanie 1. Oblicz kąt między liniami

$$ \frac(x+3)(-\sqrt2)=\frac(y)(\sqrt2)=\frac(z-7)(-2) \;\;i\;\; \frac(x)(\sqrt3)=\frac(y+1)(\sqrt3)=\frac(z-1)(\sqrt6) $$

Wektory kierunkowe prostych mają współrzędne:

za = (-√2; √2; -2), B = (√3 ; √3 ; √6 ).

Korzystając ze wzoru (1) znajdujemy

$$ cos\phi = \frac(|-\sqrt6+\sqrt6-2\sqrt6|)(\sqrt(2+2+4)\sqrt(3+3+6))=\frac(2\sqrt6)( 2\sqrt2\cdot 2\sqrt3)=\frac(1)(2) $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 60°.

Zadanie 2. Oblicz kąt między liniami

$$ \begin(cases)3x-12z+7=0\\x+y-3z-1=0\end(cases) i \begin(cases)4x-y+z=0\\y+z+1 =0\end(przypadki) $$

Za wektorem prowadzącym A weź pierwszą prostą produkt wektorowy wektory normalne N 1 = (3; 0; -12) i N 2 = (1; 1; -3) płaszczyzny definiujące tę linię. Korzystając ze wzoru \(=\begin(vmatrix) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end(vmatrix) \) otrzymujemy

$$ a==\begin(vmatrix) i & j & k \\ 3 & 0 & -12 \\ 1 & 1 & -3 \end(vmatrix)=12i-3i+3k $$

Podobnie znajdujemy wektor kierunkowy drugiej prostej:

$$ b=\begin(vmatrix) i & j & k \\ 4 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end(vmatrix)=-2i-4i+4k $$

Ale korzystając ze wzoru (1) obliczamy cosinus żądanego kąta:

$$ cos\phi = \frac(|12\cdot (-2)-3(-4)+3\cdot 4|)(\sqrt(12^2+3^2+3^2)\sqrt(2 ^2+4^2+4^2))=0 $$

Zatem kąt między tymi liniami wynosi 90°.

Zadanie 3. W piramidzie trójkątnej MABC krawędzie MA, MB i MC są wzajemnie prostopadłe (ryc. 207);

ich długości wynoszą odpowiednio 4, 3, 6. Punkt D jest środkiem [MA]. Znajdź kąt φ pomiędzy liniami CA i DB.

Niech CA i DB będą wektorami kierunkowymi prostych CA i DB.

Przyjmijmy punkt M jako początek współrzędnych. Z warunku równania mamy A (4; 0; 0), B(0; 0; 3), C(0; 6; 0), D (2; 0; 0). Zatem \(\overrightarrow(CA)\) = (4; - 6;0), \(\overrightarrow(DB)\)= (-2; 0; 3). Skorzystajmy ze wzoru (1):

$$ cos\phi=\frac(|4\cdot (-2)+(-6)\cdot 0+0\cdot 3|)(\sqrt(16+36+0)\sqrt(4+0+9 )) $$

Korzystając z tabeli cosinusów, stwierdzamy, że kąt pomiędzy prostymi CA i DB wynosi około 72°.

Każdemu uczniowi przygotowującemu się do egzaminu państwowego z matematyki przydatne będzie powtórzenie tematu „Znajdowanie kąta między liniami prostymi”. Jak pokazują statystyki, przy zdaniu egzaminu certyfikacyjnego zadania z tej części stereometrii sprawiają trudności duża ilość studenci. Jednocześnie zadania wymagające znalezienia kąta między liniami prostymi znajdują się w ujednoliconym egzaminie państwowym zarówno podstawowym, jak i poziom profilu. Oznacza to, że każdy powinien być w stanie je rozwiązać.

Podstawowe momenty

Istnieją 4 rodzaje względnych pozycji linii w przestrzeni. Mogą się pokrywać, przecinać, być równoległe lub przecinać się. Kąt między nimi może być ostry lub prosty.

Aby znaleźć kąt między liniami w ujednoliconym egzaminie państwowym lub na przykład podczas rozwiązywania, uczniowie w Moskwie i innych miastach mogą skorzystać z kilku sposobów rozwiązywania problemów w tej części stereometrii. Zadanie możesz wykonać korzystając z klasycznych konstrukcji. Aby to zrobić, warto poznać podstawowe aksjomaty i twierdzenia stereometrii. Aby sprowadzić zadanie do zagadnienia planimetrycznego, uczeń musi umieć logicznie rozumować i tworzyć rysunki.

Możesz także użyć metody współrzędnych wektorowych za pomocą proste formuły, reguły i algorytmy. Najważniejsze w tym przypadku jest prawidłowe wykonanie wszystkich obliczeń. Doskonal swoje umiejętności rozwiązywania problemów ze stereometrii i innych dziedzin kurs szkolny pomoże Ci projekt edukacyjny„Szkołkowo”.

Och, och, och, och… no cóż, jest ciężko, jakby sam sobie czytał zdanie =) Jednak relaks przyda się później, tym bardziej, że dzisiaj kupiłem odpowiednie akcesoria. Przejdźmy zatem do pierwszej części, mam nadzieję, że do końca artykułu utrzymam pogodny nastrój.

Względne położenie dwóch linii prostych

Dzieje się tak, gdy publiczność śpiewa razem z chórem. Dwie linie proste mogą:

1) mecz;

2) być równoległe: ;

3) lub przecinają się w jednym punkcie: .

Pomoc dla manekinów : Proszę pamiętać o matematycznym znaku przecięcia, będzie on pojawiał się bardzo często. Oznaczenie oznacza, że ​​linia przecina się z linią w punkcie .

Jak określić względne położenie dwóch linii?

Zacznijmy od pierwszego przypadku:

Dwie linie pokrywają się wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające im współczynniki są proporcjonalne, czyli istnieje liczba „lambda”, która spełnia równość

Rozważmy linie proste i utwórz trzy równania z odpowiednich współczynników: . Z każdego równania wynika, że ​​zatem te linie się pokrywają.

Rzeczywiście, jeśli wszystkie współczynniki równania pomnóż przez –1 (zmień znak) i zmniejsz wszystkie współczynniki równania o 2, otrzymasz to samo równanie: .

Drugi przypadek, gdy linie są równoległe:

Dwie linie są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych są proporcjonalne: , Ale.

Jako przykład rozważmy dwie linie proste. Sprawdzamy proporcjonalność odpowiednich współczynników dla zmiennych:

Jednakże jest to całkiem oczywiste.

I trzeci przypadek, gdy linie się przecinają:

Dwie linie przecinają się wtedy i tylko wtedy, gdy ich współczynniki zmiennych NIE są proporcjonalne, czyli NIE ma takiej wartości „lambda”, aby równości były spełnione

Zatem dla prostych stworzymy układ:

Z pierwszego równania wynika, że ​​, a z drugiego równania: , co oznacza system jest niespójny(brak rozwiązań). Zatem współczynniki zmiennych nie są proporcjonalne.

Wniosek: linie się przecinają

W problemy praktyczne możesz skorzystać z omówionego właśnie schematu rozwiązania. Nawiasem mówiąc, bardzo przypomina algorytm sprawdzania wektorów pod kątem współliniowości, który oglądaliśmy na zajęciach Pojęcie liniowej (nie)zależności wektorów. Baza wektorów. Ale jest bardziej cywilizowane opakowanie:

Przykład 1

Rozwiązać wzajemne porozumienie bezpośredni:

Rozwiązanie na podstawie badania wektorów kierunku prostych:

a) Z równań znajdujemy wektory kierunkowe linii: .

, co oznacza, że ​​wektory nie są współliniowe, a linie przecinają się.

Na wszelki wypadek postawię na skrzyżowaniu kamień z napisami:

Reszta przeskakuje kamień i podąża dalej, prosto do Nieśmiertelnego Kaszczeja =)

b) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Linie mają ten sam wektor kierunkowy, co oznacza, że ​​są równoległe lub pokrywają się. Nie ma tu potrzeby liczenia wyznacznika.

Jest oczywiste, że współczynniki niewiadomych są proporcjonalne, a .

Sprawdźmy, czy równość jest prawdziwa:

Zatem,

c) Znajdź wektory kierunkowe linii:

Obliczmy wyznacznik złożony ze współrzędnych tych wektorów:
dlatego wektory kierunkowe są współliniowe. Linie są równoległe lub pokrywają się.

Współczynnik proporcjonalności „lambda” można łatwo zobaczyć bezpośrednio ze stosunku współliniowych wektorów kierunkowych. Można to jednak również znaleźć na podstawie współczynników samych równań: .

Sprawdźmy teraz, czy równość jest prawdziwa. Obydwa wolni członkowie zera, więc:

Wynikowa wartość spełnia to równanie (na ogół spełnia je dowolna liczba).

W ten sposób linie się pokrywają.

Odpowiedź:

Już wkrótce nauczysz się (a nawet już nauczyłeś się), jak rozwiązać problem omawiany ustnie dosłownie w ciągu kilku sekund. W związku z tym nie widzę sensu oferowania czegokolwiek niezależna decyzja, lepiej położyć kolejną ważną cegłę w geometrycznym fundamencie:

Jak skonstruować prostą równoległą do danej?

Z niewiedzy o tym najprostsze zadanie Słowik Zbójca surowo karze.

Przykład 2

Linię prostą wyznacza równanie. Napisz równanie prostej równoległej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Oznaczmy nieznaną linię literą . Co mówi o niej ten stan? Prosta przechodzi przez ten punkt. A jeśli linie są równoległe, to oczywiste jest, że wektor kierunkowy linii prostej „tse” nadaje się również do zbudowania linii prostej „de”.

Wyciągamy wektor kierunkowy z równania:

Odpowiedź:

Przykładowa geometria wygląda prosto:

Testowanie analityczne składa się z następujących kroków:

1) Sprawdzamy, czy proste mają ten sam wektor kierunkowy (jeśli równanie prostej nie zostanie odpowiednio uproszczone, to wektory będą współliniowe).

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie.

W większości przypadków badania analityczne można łatwo przeprowadzić ustnie. Spójrz na te dwa równania, a wielu z Was szybko określi równoległość linii bez żadnego rysunku.

Przykłady samodzielnych rozwiązań będą dziś kreatywne. Bo nadal będziesz musiał konkurować z Babą Jagą, a ona, jak wiadomo, jest miłośniczką wszelkiego rodzaju zagadek.

Przykład 3

Napisz równanie prostej przechodzącej przez punkt równoległy do ​​prostej jeśli

Istnieje racjonalny i niezbyt racjonalny sposób rozwiązania tego problemu. Najkrótsza droga jest na końcu lekcji.

Pracowaliśmy trochę z liniami równoległymi i wrócimy do nich później. Przypadek zbiegających się linii jest mało interesujący, więc rozważmy problem, który jest ci znany program nauczania:

Jak znaleźć punkt przecięcia dwóch linii?

Jeśli prosto przecinają się w punkcie , to jego współrzędne są rozwiązaniem układy równań liniowych

Jak znaleźć punkt przecięcia prostych? Rozwiąż system.

Proszę bardzo znaczenie geometryczne systemy dwójkowe równania liniowe z dwiema niewiadomymi- są to dwie przecinające się (najczęściej) linie na płaszczyźnie.

Przykład 4

Znajdź punkt przecięcia linii

Rozwiązanie: Istnieją dwa sposoby rozwiązania - graficzny i analityczny.

Metoda graficzna polega po prostu na narysowaniu podanych linii i ustaleniu punktu przecięcia bezpośrednio z rysunku:

Oto nasz punkt widzenia: . Aby to sprawdzić należy podstawić jego współrzędne do każdego równania prostej, powinny pasować zarówno tam, jak i tam. Innymi słowy, współrzędne punktu są rozwiązaniem układu. Zasadniczo przyjrzeliśmy się rozwiązaniu graficznemu układy równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.

Metoda graficzna nie jest oczywiście zła, ale zauważalne są wady. Nie, nie chodzi o to, że siódmoklasiści tak decydują, chodzi o to, że stworzenie prawidłowego i DOKŁADNEGO rysunku zajmie trochę czasu. Poza tym niektóre linie proste nie są tak łatwe do skonstruowania, a sam punkt przecięcia może znajdować się gdzieś w trzydziestym królestwie poza kartką zeszytu.

Dlatego bardziej celowe jest poszukiwanie punktu przecięcia metodą analityczną. Rozwiążmy układ:

Do rozwiązania układu wykorzystano metodę dodawania równań wyraz po wyrazie. Aby rozwinąć odpowiednie umiejętności, weź lekcję Jak rozwiązać układ równań?

Odpowiedź:

Sprawdzenie jest banalne – współrzędne punktu przecięcia muszą spełniać każde równanie układu.

Przykład 5

Znajdź punkt przecięcia prostych, jeśli się przecinają.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Wygodnie jest podzielić zadanie na kilka etapów. Analiza warunku sugeruje, że konieczne jest:
1) Zapisz równanie prostej.
2) Zapisz równanie prostej.
3) Znajdź względne położenie linii.
4) Jeśli linie przecinają się, znajdź punkt przecięcia.

Opracowanie algorytmu działania jest typowe dla wielu problemy geometryczne i będę na tym wielokrotnie skupiał uwagę.

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji:

Zanim dotarliśmy do drugiej części lekcji, nie zużyła się nawet para butów:

Prostopadłe linie. Odległość punktu od linii.
Kąt pomiędzy liniami prostymi

Zacznijmy od typowego i bardzo ważnego zadania. W pierwszej części nauczyliśmy się budować linię prostą równoległą do tej, a teraz chatka na udkach kurczaka obróci się o 90 stopni:

Jak skonstruować prostą prostopadłą do danej?

Przykład 6

Linię prostą wyznacza równanie. Zapisz równanie prostopadłe do prostej przechodzącej przez ten punkt.

Rozwiązanie: Pod warunkiem wiadomo , że . Byłoby miło znaleźć wektor kierujący linii. Ponieważ linie są prostopadłe, sztuczka jest prosta:

Z równania „usuwamy” wektor normalny: , który będzie wektorem kierującym prostej.

Ułóżmy równanie linii prostej za pomocą punktu i wektora kierunku:

Odpowiedź:

Rozwińmy szkic geometryczny:

Hmmm... Pomarańczowe niebo, pomarańczowe morze, pomarańczowy wielbłąd.

Analityczna weryfikacja rozwiązania:

1) Wyciągamy wektory kierunkowe z równań i z pomocą Iloczyn skalarny wektorów dochodzimy do wniosku, że proste są rzeczywiście prostopadłe: .

Nawiasem mówiąc, możesz użyć normalnych wektorów, jest to jeszcze łatwiejsze.

2) Sprawdź, czy punkt spełnia otrzymane równanie .

Test ponownie można łatwo przeprowadzić ustnie.

Przykład 7

Znajdź punkt przecięcia prostych prostopadłych, jeśli równanie jest znane i okres.

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Problem obejmuje kilka działań, dlatego wygodnie jest formułować rozwiązanie punkt po punkcie.

Nasza ekscytująca podróż trwa:

Odległość od punktu do linii

Przed nami prosty pas rzeki i naszym zadaniem jest dotarcie do niego najkrótszą drogą. Nie ma żadnych przeszkód, a najbardziej optymalną trasą będzie poruszanie się po prostopadle. Oznacza to, że odległość punktu od linii to długość odcinka prostopadłego.

Odległość w geometrii jest tradycyjnie oznaczana grecki list„ro”, np.: – odległość punktu „em” od prostej „de”.

Odległość od punktu do linii wyrażone wzorem

Przykład 8

Znajdź odległość punktu od linii

Rozwiązanie: wystarczy ostrożnie podstawić liczby do wzoru i wykonać obliczenia:

Odpowiedź:

Zróbmy rysunek:

Znaleziona odległość punktu od linii jest dokładnie równa długości czerwonego odcinka. Jeśli narysujesz rysunek na papierze w kratkę w skali 1 jednostki. = 1 cm (2 komórki), wówczas odległość można zmierzyć zwykłą linijką.

Rozważmy inne zadanie oparte na tym samym rysunku:

Zadanie polega na znalezieniu współrzędnych punktu, który jest symetryczny względem punktu względem prostej . Sugeruję wykonanie kroków samodzielnie, ale przedstawię algorytm rozwiązania z wynikami pośrednimi:

1) Znajdź linię prostopadłą do tej linii.

2) Znajdź punkt przecięcia linii: .

Obydwa działania zostały szczegółowo omówione w tej lekcji.

3) Punkt jest środkiem odcinka. Znamy współrzędne środka i jednego z końców. Przez wzory na współrzędne środka odcinka znaleźliśmy .

Dobrze byłoby sprawdzić, czy odległość wynosi również 2,2 jednostki.

W obliczeniach mogą pojawić się tutaj trudności, ale w wieży bardzo pomocny jest mikrokalkulator, pozwalający obliczyć ułamki zwykłe. Doradzałem już wiele razy i będę polecał jeszcze raz.

Jak znaleźć odległość między dwiema równoległymi liniami?

Przykład 9

Znajdź odległość między dwiema równoległymi liniami

To kolejny przykład, który możesz podjąć samodzielnie. Dam ci małą wskazówkę: istnieje nieskończenie wiele sposobów rozwiązania tego problemu. Podsumowanie lekcji na koniec lekcji, ale lepiej spróbować zgadnąć samodzielnie, myślę, że twoja pomysłowość była dobrze rozwinięta.

Kąt między dwiema prostymi

Każdy narożnik jest ościeżem:


W geometrii za kąt pomiędzy dwiema prostymi przyjmuje się MNIEJSZY kąt, z czego automatycznie wynika, że ​​nie może być rozwarty. Na rysunku kąt wskazany przez czerwony łuk nie jest uważany za kąt pomiędzy przecinającymi się liniami. I jego „zielony” sąsiad lub zorientowany przeciwnie kącik „malinowy”.

Jeśli linie są prostopadłe, to dowolny z 4 kątów można przyjąć jako kąt między nimi.

Czym różnią się kąty? Orientacja. Po pierwsze, kierunek, w którym kąt jest „przewijany”, ma fundamentalne znaczenie. Po drugie, kąt zorientowany negatywnie jest zapisywany znakiem minus, na przykład jeśli .

Dlaczego ci to powiedziałem? Wydaje się, że możemy obejść się przy zwykłym pojęciu kąta. Faktem jest, że wzory, dzięki którym znajdziemy kąty, mogą łatwo dać wynik ujemny i nie powinno Cię to dziwić. Kąt ze znakiem minus nie jest gorszy i ma bardzo specyficzne znaczenie geometryczne. Na rysunku dla kąta ujemnego należy wskazać jego orientację strzałką (zgodnie z ruchem wskazówek zegara).

Jak znaleźć kąt między dwiema liniami prostymi? Istnieją dwie działające formuły:

Przykład 10

Znajdź kąt między liniami

Rozwiązanie I Metoda pierwsza

Rozważ dwie linie proste, dane równaniami V ogólna perspektywa:

Jeśli prosto nie prostopadle, To zorientowany Kąt między nimi można obliczyć ze wzoru:

Zwróćmy szczególną uwagę na mianownik - dokładnie tak produkt skalarny wektory kierujące prostych:

Jeśli , to mianownik wzoru wyniesie zero, a wektory będą ortogonalne, a proste będą prostopadłe. Dlatego też zgłoszono zastrzeżenie dotyczące nieprostopadłości linii prostych w sformułowaniu.

W związku z powyższym wygodnie jest sformalizować rozwiązanie w dwóch etapach:

1) Obliczmy iloczyn skalarny wektorów kierunkowych prostych:
, co oznacza, że ​​linie nie są prostopadłe.

2) Znajdź kąt między prostymi, korzystając ze wzoru:

Używając funkcja odwrotnaŁatwo jest znaleźć sam róg. W tym przypadku używamy nieparzystości arcustangens (patrz. Wykresy i własności funkcji elementarnych):

Odpowiedź:

W Twojej odpowiedzi podajemy wartość dokładną, a także wartość przybliżoną (najlepiej w stopniach i radianach), obliczoną za pomocą kalkulatora.

No cóż, minus, minus, nic wielkiego. Oto ilustracja geometryczna:

Nic dziwnego, że kąt okazał się mieć negatywną orientację, ponieważ w opisie problemu pierwsza liczba jest linią prostą i właśnie od niej rozpoczęło się „odkręcanie” kąta.

Jeśli naprawdę chcesz uzyskać kąt dodatni, musisz zamienić linie, to znaczy wziąć współczynniki z drugiego równania i weź współczynniki z pierwszego równania. Krótko mówiąc, musisz zacząć od bezpośredniego .

A. Niech zostaną dane dwie linie proste, które, jak wskazano w rozdziale 1, tworzą różne kąty dodatnie i ujemne, które mogą być ostre lub rozwarte. Znając jeden z tych kątów, możemy łatwo znaleźć każdy inny.

Nawiasem mówiąc, dla wszystkich tych kątów wartość liczbowa stycznej jest taka sama, różnica może dotyczyć tylko znaku

Równania prostych. Liczby są rzutami wektorów kierunkowych pierwszej i drugiej prostej.Kąt między tymi wektorami jest równy jednemu z kątów utworzonych przez proste. Zatem problem sprowadza się do określenia kąta pomiędzy wektorami

Dla uproszczenia możemy zgodzić się, że kąt między dwiema prostymi jest ostrym kątem dodatnim (jak na przykład na ryc. 53).

Wtedy tangens tego kąta będzie zawsze dodatni. Jeśli więc po prawej stronie wzoru (1) znajduje się znak minus, to musimy go odrzucić, czyli zapisać tylko wartość bezwzględną.

Przykład. Wyznacz kąt pomiędzy liniami prostymi

Zgodnie ze wzorem (1) mamy

Z. Jeśli zostanie wskazane, który z boków kąta jest jego początkiem, a który końcem, to licząc zawsze kierunek kąta w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, możemy wydobyć ze wzoru (1) coś więcej. Jak łatwo zauważyć z rys. 53, znak uzyskany po prawej stronie wzoru (1) wskaże, pod jakim kątem – ostrym czy rozwartym – tworzy się druga prosta z pierwszą.

(Istotnie, z ryc. 53 widzimy, że kąt między pierwszym i drugim wektorem kierunkowym jest albo równy pożądanemu kątowi między liniami prostymi, albo różni się od niego o ± 180°.)

D. Jeśli proste są równoległe, to ich wektory kierunkowe są równoległe.Stosując warunek równoległości dwóch wektorów, otrzymujemy!

Jest to warunek konieczny i wystarczający równoległości dwóch prostych.

Przykład. Bezpośredni

są równoległe, ponieważ

mi. Jeśli linie są prostopadłe, to ich wektory kierunkowe są również prostopadłe. Stosując warunek prostopadłości dwóch wektorów otrzymujemy warunek prostopadłości dwóch prostych, czyli

Przykład. Bezpośredni

są prostopadłe, ponieważ

W związku z warunkami równoległości i prostopadłości rozwiążemy następujące dwa problemy.

F. Narysuj linię przechodzącą przez punkt równoległy do ​​danej prostej

Rozwiązanie przeprowadza się w ten sposób. Ponieważ żądana prosta jest równoległa do tej, to za jej wektor kierunkowy możemy przyjąć ten sam wektor, co danej prostej, czyli wektor z rzutami A i B. I wówczas równanie żądanej prostej zostanie zapisane w formularz (§ 1)

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (1; 3) równoległy do ​​tej prostej

będzie następny!

G. Narysuj linię przechodzącą przez punkt prostopadły do ​​danej prostej

Tutaj nie nadaje się już wektor z występami A i jako wektor prowadzący, ale konieczne jest przyjęcie wektora prostopadłego do niego. Rzuty tego wektora należy zatem dobierać zgodnie z warunkiem prostopadłości obu wektorów, czyli zgodnie z warunkiem

Warunek ten można spełnić na niezliczoną ilość sposobów, ponieważ tutaj jest jedno równanie z dwiema niewiadomymi.Ale najłatwiej jest wziąć lub Wtedy równanie żądanej prostej zostanie zapisane w postaci

Przykład. Równanie prostej przechodzącej przez punkt (-7; 2) w prostej prostopadłej

będzie następująco (zgodnie z drugą formułą)!

H. W przypadku, gdy linie są dane przez równania postaci

przepisując te równania w inny sposób, mamy