Rozwiązujemy zadania B14 z egzaminu Unified State Exam. Znajdowanie największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale Największe i najmniejsze wartości funkcji

Stwierdzenie problemu 2:

Dana funkcja jest zdefiniowana i ciągła w pewnym przedziale. Musisz znaleźć największą (najmniejszą) wartość funkcji w tym przedziale.

Podstawy teoretyczne.
Twierdzenie (Drugie twierdzenie Weierstrassa):

Jeżeli funkcja jest zdefiniowana i ciągła w przedziale zamkniętym, to w tym przedziale osiąga swoje wartości maksymalne i minimalne.

Funkcja może osiągać największe i najmniejsze wartości albo w wewnętrznych punktach przedziału, albo na jego granicach. Zilustrujmy wszystkie możliwe opcje.

Wyjaśnienie:
1) Funkcja osiąga największą wartość na lewej granicy przedziału w punkcie , a minimalną wartość na prawej granicy przedziału w punkcie .
2) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie (jest to punkt maksymalny), a wartość minimalną na prawej granicy przedziału w tym punkcie.
3) Funkcja osiąga wartość maksymalną na lewej granicy przedziału w punkcie , a wartość minimalną w punkcie (jest to punkt minimalny).
4) Funkcja jest stała na przedziale, tj. osiąga wartości minimalne i maksymalne w dowolnym punkcie przedziału, a wartości minimalne i maksymalne są sobie równe.
5) Funkcja osiąga największą wartość w punkcie , a minimalną w punkcie (mimo że funkcja ma w tym przedziale zarówno maksimum, jak i minimum).
6) Funkcja osiąga w punkcie największą wartość (jest to punkt maksymalny), a w punkcie minimalną (jest to punkt minimalny).
Komentarz:

„Maksymalna” i „maksymalna wartość” to różne rzeczy. Wynika to z definicji maksimum i intuicyjnego rozumienia pojęcia „wartość maksymalna”.

Algorytm rozwiązania zadania 2.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Przykład 4:

Określ największą i najmniejszą wartość funkcji na segmencie.
Rozwiązanie:
1) Znajdź pochodną funkcji.

2) Znajdź punkty stacjonarne (i punkty podejrzane o ekstremum), rozwiązując równanie. Zwróć uwagę na punkty, w których nie ma dwustronnej skończonej pochodnej.

3) Oblicz wartości funkcji w punktach stacjonarnych i na granicach przedziału.

4) Wybierz największą (najmniejszą) z uzyskanych wartości i zapisz odpowiedź.

Funkcja na tym odcinku osiąga największą wartość w punkcie o współrzędnych .

Funkcja na tym odcinku osiąga wartość minimalną w punkcie o współrzędnych .

Poprawność obliczeń możesz sprawdzić, patrząc na wykres badanej funkcji.

Komentarz: Funkcja osiąga największą wartość w punkcie maksymalnym, a minimalną na granicy odcinka.

Specjalny przypadek.

Załóżmy, że musisz znaleźć maksymalną i minimalną wartość jakiejś funkcji w segmencie. Po wykonaniu pierwszego punktu algorytmu, tj. obliczając pochodną, staje się jasne, że na przykład przyjmuje tylko wartości ujemne w całym rozpatrywanym przedziale. Pamiętaj, że jeśli pochodna jest ujemna, to funkcja maleje. Stwierdziliśmy, że funkcja maleje na całym odcinku. Sytuację tę przedstawia wykres nr 1 na początku artykułu.

Funkcja maleje na odcinku, tj. nie ma ekstremów. Z rysunku widać, że funkcja będzie przyjmować najmniejszą wartość po prawej stronie odcinka, a największą po lewej stronie. jeśli pochodna odcinka jest wszędzie dodatnia, to funkcja rośnie. Najmniejsza wartość znajduje się na lewej krawędzi segmentu, największa po prawej stronie.

W tym artykule opowiem o algorytm znajdowania największej i najmniejszej wartości funkcje, punkty minimalne i maksymalne.

Z teorii na pewno nam się przyda tabela pochodnych I zasady różnicowania. Wszystko jest na tym talerzu:

Algorytm znajdowania największych i najmniejszych wartości.

Wygodniej będzie mi to wyjaśnić na konkretnym przykładzie. Rozważać:

Przykład: Znajdź największą wartość funkcji y=x^5+20x^3–65x na odcinku [–4;0].

Krok 1. Bierzemy pochodną.

Y" = (x^5+20x^3–65x)" = 5x^4 + 20*3x^2 - 65 = 5x^4 + 60x^2 - 65

Krok 2. Znajdowanie punktów ekstremalnych.

Punkt ekstremalny nazywamy te punkty, w których funkcja osiąga największą lub minimalną wartość.

Aby znaleźć punkty ekstremalne, należy przyrównać pochodną funkcji do zera (y" = 0)

5x^4 + 60x^2 - 65 = 0

Teraz rozwiązujemy to równanie dwukwadratowe, a znalezione pierwiastki są naszymi ekstremami.

Rozwiązuję takie równania zastępując t = x^2, a następnie 5t^2 + 60t - 65 = 0.

Zmniejszmy równanie o 5, otrzymamy: t^2 + 12t - 13 = 0

D = 12^2 - 4*1*(-13) = 196

T_(1) = (-12 + sqrt(196))/2 = (-12 + 14)/2 = 1

T_(2) = (-12 - sqrt(196))/2 = (-12 - 14)/2 = -13

Dokonujemy odwrotnej zmiany x^2 = t:

X_(1 i 2) = ± kwadrat (1) = ±1
x_(3 i 4) = ±sqrt(-13) (wykluczamy, pod pierwiastkiem nie mogą znajdować się liczby ujemne, chyba że mówimy oczywiście o liczbach zespolonych)

Razem: x_(1) = 1 i x_(2) = -1 - to są nasze ekstrema.

Krok 3. Określ największą i najmniejszą wartość.

Metoda substytucyjna.

W warunku otrzymaliśmy segment [b][–4;0]. Punkt x=1 nie należy do tego odcinka. Dlatego nie bierzemy tego pod uwagę. Ale oprócz punktu x=-1 musimy także wziąć pod uwagę lewą i prawą granicę naszego odcinka, czyli punkty -4 i 0. Aby to zrobić, podstawiamy wszystkie te trzy punkty do pierwotnej funkcji. Zauważ, że oryginałem jest ten podany w warunku (y=x^5+20x^3–65x), niektórzy zaczynają go zastępować pochodną...

Y(-1) = (-1)^5 + 20*(-1)^3 - 65*(-1) = -1 - 20 + 65 = [b]44
y(0) = (0)^5 + 20*(0)^3 - 65*(0) = 0
y(-4) = (-4)^5 + 20*(-4)^3 - 65*(-4) = -1024 - 1280 + 260 = -2044

Oznacza to, że największa wartość funkcji wynosi [b]44 i osiągana jest ona w punkcie [b]-1, który nazywany jest maksymalnym punktem funkcji na odcinku [-4; 0].

Zdecydowaliśmy i otrzymaliśmy odpowiedź, jesteśmy super, możesz odpocząć. Ale przestań! Nie sądzisz, że obliczenie y(-4) jest w jakiś sposób zbyt trudne? W warunkach ograniczonego czasu lepiej zastosować inną metodę, ja to nazywam tak:

Przez przedziały stałości znaku.

Przedziały te znajdują się dla pochodnej funkcji, czyli dla naszego równania dwukwadratowego.

Robię to w ten sposób. Rysuję skierowany segment. Umieszczam punkty: -4, -1, 0, 1. Mimo że 1 nie mieści się w danym segmencie, to mimo to należy ją odnotować, aby poprawnie wyznaczyć przedziały stałości znaku. Weźmy liczbę wielokrotnie większą od 1, powiedzmy 100, i podstawmy ją w myślach do naszego równania dwukwadratowego 5(100)^4 + 60(100)^2 - 65. Nawet bez liczenia czegokolwiek staje się oczywiste, że w punkcie 100 funkcja ma znak plus. Oznacza to, że dla przedziałów od 1 do 100 ma znak plus. Przechodząc przez 1 (przechodzimy od prawej do lewej) funkcja zmieni znak na minus. Przy przejściu przez punkt 0 funkcja zachowa swój znak, ponieważ jest to tylko granica odcinka, a nie pierwiastek równania. Po przejściu przez -1 funkcja ponownie zmieni znak na plus.

Z teorii wiemy, że gdzie jest pochodna funkcji (i właśnie dla niej to narysowaliśmy) zmienia znak z plusa na minus (w naszym przypadku punkt -1) funkcja osiąga swoje lokalne maksimum (y(-1)=44, jak obliczono wcześniej) na tym segmencie (jest to logicznie bardzo zrozumiałe, funkcja przestała rosnąć, ponieważ osiągnęła maksimum i zaczęła maleć).

Odpowiednio, gdzie pochodna funkcji zmienia znak z minus na plus, jest osiągnięte minimum lokalne funkcji. Tak, tak, odkryliśmy również, że lokalne minimum wynosi 1, a y(1) to minimalna wartość funkcji w segmencie, powiedzmy od -1 do +∞. Należy pamiętać, że jest to jedynie MINIMUM LOKALNE, czyli minimum w określonym segmencie. Ponieważ rzeczywiste (globalne) minimum funkcji osiągnie gdzieś tam, przy -∞.

Moim zdaniem pierwsza metoda jest prostsza teoretycznie, druga jest prostsza z punktu widzenia operacji arytmetycznych, ale znacznie bardziej złożona z teorii. Przecież czasami zdarzają się przypadki, gdy funkcja nie zmienia znaku przy przejściu przez pierwiastek równania i w ogóle można się pomylić z tymi lokalnymi, globalnymi maksimami i minimami, chociaż i tak będziesz musiał to dobrze opanować, jeśli się planujesz wstąpić na politechnikę (i po co w innym przypadku przystąpić do profilu Unified State Exam i rozwiązać to zadanie). Ale praktyka i tylko praktyka nauczy cię rozwiązywać takie problemy raz na zawsze. Możesz trenować na naszej stronie internetowej. Tutaj .

Jeżeli masz jakieś pytania lub coś jest niejasne, śmiało pytaj. Chętnie odpowiem oraz naniosę zmiany i uzupełnienia artykułu. Pamiętaj, że tworzymy tę stronę razem!

W zadaniu B14 z Unified State Examination z matematyki należy znaleźć najmniejszą lub największą wartość funkcji jednej zmiennej. Jest to dość trywialny problem z analizy matematycznej i dlatego każdy absolwent szkoły średniej może i powinien nauczyć się go rozwiązywać normalnie. Spójrzmy na kilka przykładów, które uczniowie rozwiązali podczas prac diagnostycznych z matematyki, które odbyły się w Moskwie 7 grudnia 2011 r.

W zależności od przedziału, w którym chcesz znaleźć wartość maksymalną lub minimalną funkcji, do rozwiązania tego problemu stosuje się jeden z następujących standardowych algorytmów.

I. Algorytm znajdowania największej lub najmniejszej wartości funkcji na odcinku:

Znajdź pochodną funkcji.
Spośród punktów podejrzewanych o ekstremum wybierz te, które należą do danego odcinka i dziedziny definicji funkcji.
Oblicz wartości Funkcje(nie pochodna!) w tych punktach.
Spośród uzyskanych wartości wybierz największą lub najmniejszą, będzie to pożądana.

Przykład 1. Znajdź najmniejszą wartość funkcji
y = X 3 – 18X 2 + 81X+ 23 w segmencie.

Rozwiązanie: Postępujemy zgodnie z algorytmem znajdowania najmniejszej wartości funkcji w segmencie:

Zakres funkcji nie jest ograniczony: D(y) = R.
Pochodna funkcji jest równa: ty = 3X 2 – 36X+ 81. Nieograniczona jest także dziedzina definicji pochodnej funkcji: D(y”) = R.
Zera pochodnej: ty = 3X 2 – 36X+ 81 = 0, co oznacza X 2 – 12X+ 27 = 0, skąd X= 3 i X= 9, nasz przedział obejmuje tylko X= 9 (jeden punkt podejrzany o ekstremum).
Wartość funkcji znajdujemy w punkcie podejrzanym o ekstremum i na krawędziach przerwy. Dla ułatwienia obliczeń funkcję przedstawiamy w postaci: y = X 3 – 18X 2 + 81X + 23 = X(X-9) 2 +23:
- y(8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
- y(9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
- y(13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Zatem z uzyskanych wartości najmniejsza to 23. Odpowiedź: 23.

II. Algorytm znajdowania największej lub najmniejszej wartości funkcji:

Znajdź dziedzinę definicji funkcji.
Znajdź pochodną funkcji.
Wskaż punkty podejrzane o ekstremum (te punkty, w których pochodna funkcji zanika oraz punkty, w których nie ma dwustronnej pochodnej skończonej).
Zaznacz te punkty oraz dziedzinę definicji funkcji na osi liczbowej i określ znaki pochodna(nie funkcje!) na otrzymanych przedziałach.
Zdefiniuj wartości Funkcje(nie pochodna!) w punktach minimalnych (tych punktach, w których znak pochodnej zmienia się z minus na plus), najmniejsza z tych wartości będzie najmniejszą wartością funkcji. Jeśli nie ma punktów minimalnych, to funkcja nie ma wartości minimalnej.
Zdefiniuj wartości Funkcje(nie pochodna!) w punktach maksymalnych (tych punktach, w których znak pochodnej zmienia się z plusa na minus), największa z tych wartości będzie największą wartością funkcji. Jeśli nie ma punktów maksymalnych, funkcja nie ma największej wartości.

Przykład 2. Znajdź największą wartość funkcji.

Aby go rozwiązać, potrzebujesz minimalnej wiedzy na ten temat. Kolejny rok szkolny dobiega końca, każdy chce jechać na wakacje, a żeby przybliżyć ten moment, od razu przejdę do sedna:

Zacznijmy od okolicy. Obszar, o którym mowa w warunku to ograniczony Zamknięte zbiór punktów na płaszczyźnie. Na przykład zbiór punktów ograniczony trójkątem, obejmujący CAŁY trójkąt (jeśli z granice„wybić” chociaż jeden punkt, wtedy region nie będzie już zamknięty). W praktyce zdarzają się również obszary o kształtach prostokątnych, okrągłych i nieco bardziej skomplikowanych. Należy zauważyć, że w teorii analizy matematycznej podawane są ścisłe definicje ograniczenia, izolacja, granice itp., ale myślę, że każdy jest świadomy tych koncepcji na poziomie intuicyjnym i teraz nic więcej nie jest potrzebne.

Region płaski jest standardowo oznaczany literą i z reguły jest określany analitycznie - kilkoma równaniami (niekoniecznie liniowy); rzadziej nierówności. Typowe słownictwo: „zamknięty obszar ograniczony liniami”.

Integralną częścią rozważanego zadania jest konstrukcja obszaru na rysunku. Jak to zrobić? Musisz narysować wszystkie wymienione linie (w tym przypadku 3 prosty) i przeanalizuj, co się stało. Przeszukiwany obszar jest zwykle lekko zacieniony, a jego granica zaznaczona jest grubą linią:

Można również ustawić ten sam obszar nierówności liniowe: , które z jakiegoś powodu są często zapisywane jako lista wyliczeniowa, a nie system.
Ponieważ granica należy do regionu, wówczas oczywiście wszystkie nierówności niedbały.

A teraz istota zadania. Wyobraź sobie, że oś wychodzi prosto od początku w twoją stronę. Rozważmy funkcję, która ciągły w każdym punkt obszaru. Wykres tej funkcji przedstawia niektóre powierzchnia, a małe szczęście jest takie, że aby rozwiązać dzisiejszy problem, nie musimy wiedzieć, jak ta powierzchnia wygląda. Może być umieszczony wyżej, niżej, przecinać płaszczyznę - to wszystko nie ma znaczenia. I ważne jest: wg Twierdzenia Weierstrassa, ciągły V ograniczona, zamknięta obszarze funkcja osiąga największą wartość (najwyższy") i najmniej (Najniższy") wartości, które należy znaleźć. Takie wartości osiąga się Lub V punkty stacjonarne, należący do regionuD , Lub w punktach leżących na granicy tego obszaru. Prowadzi to do prostego i przejrzystego algorytmu rozwiązania:

Przykład 1

W ograniczonym zamkniętym obszarze

Rozwiązanie: Przede wszystkim musisz zobrazować obszar na rysunku. Niestety, technicznie trudno jest mi stworzyć interaktywny model problemu, dlatego od razu przedstawię ostateczną ilustrację, która pokazuje wszystkie „podejrzane” punkty wykryte podczas badań. Zwykle są one wymieniane jeden po drugim w miarę ich odkrycia:

Na podstawie preambuły decyzję można wygodnie podzielić na dwa punkty:

I) Znajdź punkty stacjonarne. Jest to standardowa czynność, którą wielokrotnie wykonywaliśmy na zajęciach. o ekstremach kilku zmiennych:

Znaleziono punkt stacjonarny należy obszary: (zaznacz to na rysunku), co oznacza, że powinniśmy obliczyć wartość funkcji w danym punkcie:

- jak w artykule Największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie, ważne wyniki wyróżnię pogrubioną czcionką. Wygodnie jest prześledzić je w notatniku ołówkiem.

Zwróć uwagę na nasze drugie szczęście - nie ma sensu sprawdzać warunek wystarczający na ekstremum. Dlaczego? Nawet jeśli w pewnym momencie funkcja osiągnie np. minimum lokalne, to NIE OZNACZA, że wynikowa wartość będzie taka minimalny w całym regionie (patrz początek lekcji o bezwarunkowych skrajnościach) .

Co zrobić, jeśli punkt stacjonarny NIE należy do obszaru? Prawie nic! Należy to odnotować i przejść do następnego punktu.

II) Badamy granicę regionu.

Ponieważ obramowanie składa się z boków trójkąta, wygodnie jest podzielić badanie na 3 podrozdziały. Ale w każdym razie lepiej tego nie robić. Z mojego punktu widzenia korzystniej jest w pierwszej kolejności uwzględnić odcinki równoległe do osi współrzędnych, a przede wszystkim te leżące na samych osiach. Aby ogarnąć całą sekwencję i logikę działań, spróbuj przestudiować zakończenie „jednym tchem”:

1) Zajmijmy się dolną stroną trójkąta. Aby to zrobić, podstaw bezpośrednio do funkcji:

Alternatywnie możesz to zrobić w ten sposób:

Geometrycznie oznacza to, że płaszczyzna współrzędnych (co jest również dane równaniem)„wyrzeźbia” z powierzchnie parabola „przestrzenna”, której wierzchołek natychmiast staje się podejrzany. Dowiedzmy Się gdzie ona się znajduje:

– wynikowa wartość „wpadła” w obszar i może się okazać, że w tym momencie (zaznaczone na rysunku) funkcja osiąga największą lub najmniejszą wartość w całym obszarze. Tak czy inaczej, wykonajmy obliczenia:

Pozostali „kandydaci” to oczywiście końce segmentu. Obliczmy wartości funkcji w punktach (zaznaczone na rysunku):

Nawiasem mówiąc, tutaj możesz przeprowadzić mini-kontrolę ustną, korzystając z „okrojonej” wersji:

2) Aby zbadać prawą stronę trójkąta, podstaw ją do funkcji i „uporządkuj”:

Tutaj natychmiast przeprowadzimy zgrubną kontrolę, „dzwoniąc” już przetworzonego końca segmentu:
, Świetnie.

Sytuacja geometryczna jest powiązana z poprzednim punktem:

– otrzymana wartość również „weszła w zakres naszych zainteresowań”, co oznacza, że musimy obliczyć, jaka funkcja w pojawiającym się punkcie jest równa:

Przyjrzyjmy się drugiemu końcowi segmentu:

Korzystanie z funkcji , przeprowadźmy kontrolę kontrolną:

3) Chyba każdy domyśla się jak zbadać pozostałą stronę. Podstawiamy go do funkcji i przeprowadzamy uproszczenia:

Końce segmentu zostały już zbadane, ale w wersji roboczej nadal sprawdzamy, czy poprawnie znaleźliśmy funkcję :
– zbiegło się z wynikiem akapitu pierwszego;
– zbiegło się z wynikiem z akapitu drugiego.

Pozostaje dowiedzieć się, czy w segmencie jest coś interesującego:

- Jest! Podstawiając prostą do równania otrzymujemy rzędną tej „ciekawości”:

Zaznaczamy punkt na rysunku i znajdujemy odpowiednią wartość funkcji:

Sprawdźmy obliczenia w wersji „budżetowej”. :
, zamówienie.

I ostatni krok: UWAŻNIE przeglądamy wszystkie „pogrubione” liczby, polecam początkującym nawet sporządzenie jednej listy:

z których wybieramy największe i najmniejsze wartości. Odpowiedź Zapiszmy w stylu problem znalezienia największe i najmniejsze wartości funkcji w segmencie:

Na wszelki wypadek jeszcze raz skomentuję geometryczne znaczenie wyniku:
– tu znajduje się najwyższy punkt powierzchni w regionie;
– tutaj znajduje się najniższy punkt powierzchni w okolicy.

W analizowanym zadaniu zidentyfikowaliśmy 7 punktów „podejrzanych”, jednak ich liczba różni się w zależności od zadania. W przypadku obszaru trójkątnego minimalny „zbiór badawczy” składa się z trzech punktów. Dzieje się tak, gdy na przykład funkcja określa samolot– jest całkowicie jasne, że nie ma punktów stacjonarnych, a funkcja może osiągać swoje maksimum/najmniejsze wartości jedynie w wierzchołkach trójkąta. Ale jest tylko jeden lub dwa podobne przykłady - zazwyczaj z niektórymi trzeba sobie poradzić powierzchnia II rzędu.

Jeśli choć trochę rozwiążecie takie zadania, to od trójkątów może zakręcić się w głowie, dlatego przygotowałam dla Was nietypowe przykłady, jak zrobić kwadrat :))

Przykład 2

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji na zamkniętym obszarze ograniczonym liniami

Przykład 3

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w ograniczonym obszarze zamkniętym.

Należy zwrócić szczególną uwagę na racjonalną kolejność i technikę badania granicy regionu, a także na łańcuch kontroli pośrednich, który niemal całkowicie pozwoli uniknąć błędów obliczeniowych. Ogólnie rzecz biorąc, możesz to rozwiązać w dowolny sposób, ale w przypadku niektórych problemów, na przykład w przykładzie 2, istnieje duża szansa, że znacznie utrudnisz sobie życie. Przybliżona próbka zadań końcowych na koniec lekcji.

Usystematyzujmy algorytm rozwiązania, bo inaczej przy mojej pracowitości pająka jakoś zaginął w długim wątku komentarzy do 1-go przykładu:

– W pierwszym kroku budujemy obszar, warto go zacienić i zaznaczyć granicę pogrubioną linią. Podczas rozwiązywania pojawią się punkty, które należy zaznaczyć na rysunku.

– Znajdź punkty stacjonarne i oblicz wartości funkcji tylko w tych z nich które należą do regionu. Wynikowe wartości podkreślamy w tekście (na przykład zakreślamy je ołówkiem). Jeżeli punkt stacjonarny NIE należy do danego regionu, wówczas zaznaczamy ten fakt ikoną lub słownie. Jeśli w ogóle nie ma punktów stacjonarnych, wyciągamy pisemny wniosek, że ich nie ma. W każdym razie tego punktu nie można pominąć!

– Badamy granicę regionu. Po pierwsze, korzystne jest zrozumienie linii prostych, które są równoległe do osi współrzędnych (jeśli w ogóle jakieś są). Wyróżniamy także wartości funkcji obliczone w „podejrzanych” punktach. Wiele powiedziano powyżej o technice rozwiązania, a poniżej zostanie powiedziane coś innego - czytaj, czytaj jeszcze raz, zagłębiaj się w to!

– Spośród wybranych liczb wybierz największą i najmniejszą wartość i podaj odpowiedź. Czasami zdarza się, że funkcja osiąga takie wartości w kilku punktach jednocześnie - w tym przypadku wszystkie te punkty powinny znaleźć odzwierciedlenie w odpowiedzi. Niech np. i okazało się, że jest to najmniejsza wartość. Potem to zapisujemy

Ostatnie przykłady obejmują inne przydatne pomysły, które przydadzą się w praktyce:

Przykład 4

Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji w obszarze zamkniętym .

Zachowałem sformułowanie autora, w którym pole jest podane w postaci podwójnej nierówności. Warunek ten można zapisać za pomocą równoważnego systemu lub w bardziej tradycyjnej formie dla tego problemu:

Przypominam, że z nieliniowy napotkaliśmy nierówności na, a jeśli nie rozumiesz geometrycznego znaczenia zapisu, to nie zwlekaj i wyjaśnij sytuację już teraz ;-)

Rozwiązanie, jak zawsze, zaczyna się od zbudowania obszaru, który reprezentuje rodzaj „podeszwy”:

Hmm, czasem trzeba przeżuć nie tylko granit nauki...

I) Znajdź punkty stacjonarne:

System to marzenie idioty :)

Do obszaru należy punkt stacjonarny, czyli leży na jego granicy.

No cóż, nie ma problemu… lekcja przebiegła pomyślnie – oto co znaczy pić odpowiednią herbatę =)

II) Badamy granicę regionu. Bez zbędnych ceregieli zacznijmy od osi x:

1) Jeśli , to

Ustalmy, gdzie znajduje się wierzchołek paraboli:
– doceniaj takie momenty – „trafiłeś” aż do momentu, w którym wszystko jest już jasne. Ale nadal nie zapominamy o sprawdzeniu:

Obliczmy wartości funkcji na końcach odcinka:

2) Zajmijmy się dolną częścią „podeszwy” „na jednym posiedzeniu” - bez żadnych kompleksów podstawimy ją do funkcji i będzie nas interesował tylko segment:

Kontrola:

To już wnosi trochę emocji do monotonnej jazdy po radełkowanym torze. Znajdźmy punkty krytyczne:

Zdecydujmy równanie kwadratowe, pamiętasz coś jeszcze na ten temat? ...Jednak pamiętaj oczywiście, inaczej nie czytałbyś tych wierszy =) Jeśli w dwóch poprzednich przykładach wygodne byłyby obliczenia w ułamkach dziesiętnych (co, nawiasem mówiąc, jest rzadkie), to tutaj zwykłe ułamki zwykłe czekaj na nas. Znajdujemy pierwiastki „X” i za pomocą równania określamy odpowiednie współrzędne „gry” punktów „kandydatów”:

Obliczmy wartości funkcji w znalezionych punktach:

Sprawdź działanie samodzielnie.

Teraz dokładnie studiujemy zdobyte trofea i zapisujemy odpowiedź:

To są „kandydaci”, to są „kandydaci”!

Aby rozwiązać ten problem samodzielnie:

Przykład 5

Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji na zamkniętym terenie

Wpis z nawiasami klamrowymi brzmi następująco: „zbiór punktów taki, że”.

Czasami w takich przykładach używają Metoda mnożnika Lagrange'a, ale jest mało prawdopodobne, aby istniała realna potrzeba jego użycia. Jeśli więc np. dana jest funkcja o tym samym obszarze „de”, to po podstawieniu do niej – z pochodną od bez trudności; Co więcej, wszystko jest narysowane „w jednej linii” (ze znakami) bez konieczności osobnego rozpatrywania górnego i dolnego półkola. Ale oczywiście są też bardziej złożone przypadki, w których nie ma funkcji Lagrange'a (gdzie na przykład jest to samo równanie okręgu) Trudno się obejść – tak samo jak trudno obejść się bez dobrego wypoczynku!

Życzę wszystkim miłej zabawy i do zobaczenia wkrótce w przyszłym sezonie!

Rozwiązania i odpowiedzi:

Przykład 2: Rozwiązanie: Przedstawmy obszar na rysunku:

Niech funkcja y =F(X) jest ciągła na przedziale [ a, b] Jak wiadomo, taka funkcja osiąga w tym segmencie swoje wartości maksymalne i minimalne. Funkcja może przyjmować te wartości albo w punkcie wewnętrznym odcinka [ a, b] lub na granicy segmentu.

Aby znaleźć największą i najmniejszą wartość funkcji w segmencie [ a, b] niezbędny:

1) znajdź punkty krytyczne funkcji w przedziale ( a, b);

2) obliczyć wartości funkcji w znalezionych punktach krytycznych;

3) obliczyć wartości funkcji na końcach segmentu, czyli kiedy X=A i x = B;

4) ze wszystkich obliczonych wartości funkcji wybierz największą i najmniejszą.

Przykład. Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji

na segmencie.

Znajdowanie punktów krytycznych:

Punkty te leżą wewnątrz odcinka; y(1) = ‒ 3; y(2) = ‒ 4; y(0) = ‒ 8; y(3) = 1;

w tym punkcie X= 3 i w punkcie X= 0.

Badanie funkcji wypukłości i punktu przegięcia.

Funkcjonować y = F (X) zwany wypukły pomiędzy (A, B) , jeśli jego wykres leży pod styczną narysowaną w dowolnym punkcie tego przedziału, i nazywa się wypukły w dół (wklęsły), jeśli jego wykres leży powyżej stycznej.

Nazywa się punkt, w którym wypukłość zostaje zastąpiona wklęsłością lub odwrotnie punkt przegięcia.

Algorytm badania wypukłości i punktu przegięcia:

1. Znajdź punkty krytyczne drugiego rodzaju, czyli takie, w których druga pochodna jest równa zeru lub nie istnieje.

2. Narysuj punkty krytyczne na osi liczbowej, dzieląc je na przedziały. Znajdź znak drugiej pochodnej w każdym przedziale; jeśli , to funkcja jest wypukła w górę, jeśli, to funkcja jest wypukła w dół.

3. Jeżeli przy przejściu przez punkt krytyczny drugiego rodzaju znak się zmieni i w tym momencie druga pochodna będzie równa zero, to punkt ten będzie odciętą punktu przegięcia. Znajdź jego rzędną.

Asymptoty wykresu funkcji. Badanie funkcji dla asymptot.

Definicja. Nazywa się asymptotą wykresu funkcji prosty, który ma tę właściwość, że odległość od dowolnego punktu na wykresie do tej linii dąży do zera, gdy punkt na wykresie porusza się w nieskończoność od początku.

Istnieją trzy rodzaje asymptot: pionowe, poziome i nachylone.

Definicja. Linia prosta nazywa się pionowa asymptota grafika funkcyjna y = f(x), jeśli przynajmniej jedna z jednostronnych granic funkcji w tym punkcie jest równa nieskończoności, czyli

gdzie jest punktem nieciągłości funkcji, czyli nie należy ona do dziedziny definicji.

Przykład.

D ( y) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)

X= 2 – punkt przerwania.

Definicja. Prosty y =A zwany asymptota pozioma grafika funkcyjna y = f(x) o, jeśli

Przykład.

X
y

Definicja. Prosty y =kx +B (k≠ 0) nazywa się asymptota ukośna grafika funkcyjna y = f(x) o, gdzie

Ogólny schemat badania funkcji i konstruowania wykresów.

Algorytm badania funkcjiy = f(x) :

1. Znajdź dziedzinę funkcji D (y).

2. Znajdź (jeśli to możliwe) punkty przecięcia wykresu z osiami współrzędnych (jeśli X= 0 i przy y = 0).

3. Zbadaj parzystość i nieparzystość funkcji ( y (‒ X) = y (X) ‒ parytet; y(‒ X) = ‒ y (X) ‒ dziwne).

4. Znajdź asymptoty wykresu funkcji.

5. Znajdź przedziały monotoniczności funkcji.

6. Znajdź ekstrema funkcji.

7. Znajdź przedziały wypukłości (wklęsłości) i punkty przegięcia wykresu funkcji.

8. Na podstawie przeprowadzonych badań skonstruuj wykres funkcji.

Przykład. Zbadaj funkcję i zbuduj jej wykres.

1) D (y) =

X= 4 – punkt przerwania.

2) Kiedy X = 0,

(0; ‒ 5) – punkt przecięcia z Oh.

Na y = 0,

3) y(‒ X)= funkcja formy ogólnej (ani parzysta, ani nieparzysta).

4) Sprawdzamy asymptoty.

a) pionowe

b) poziome

c) znajdź asymptoty ukośne gdzie

– równanie asymptoty ukośnej

5) W tym równaniu nie jest konieczne znajdowanie przedziałów monotoniczności funkcji.

Te punkty krytyczne dzielą całą dziedzinę definicji funkcji na przedział (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) i (10; +∞). Uzyskane wyniki wygodnie jest przedstawić w formie poniższej tabeli: