Dowód i wyprowadzenie wzorów na pochodną wykładniczą (e do potęgi x) i funkcja wykładnicza(a do potęgi x). Przykłady obliczania pochodnych e^2x, e^3x i e^nx. Wzory na pochodne wyższych rzędów.

Treść

Zobacz też: Funkcja wykładnicza - właściwości, wzory, wykres
Wykładnik e do potęgi x - właściwości, wzory, wykres

Podstawowe formuły

Pochodna wykładnika jest równa samemu wykładnikowi (pochodna e do potęgi x jest równa e do potęgi x):
(1) (np. x)′ = np. x.

Pochodna funkcji wykładniczej o podstawie a jest równa samej funkcji pomnożonej przez logarytm naturalny a:
(2) .

Funkcja wykładnicza to funkcja wykładnicza, której podstawa jest równa liczbie e, która jest następującą granicą:
.
Tutaj może to być liczba naturalna lub liczba rzeczywista. Następnie wyprowadzamy wzór (1) na pochodną wykładniczą.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną wykładniczą

Rozważmy wykładniczą e do potęgi x:
y = mi x .
Ta funkcja jest zdefiniowana dla każdego. Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x. Z definicji pochodną jest następująca granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, potrzebujemy następujących faktów:
A) Właściwość wykładnika:
(4) ;
B) Własność logarytmu:
(5) ;
W) Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej:
(6) .
Oto funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
G) Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:
(7) .

Zastosujmy te fakty do naszej granicy (3). Korzystamy z własności (4):
;
.

Dokonajmy zamiany. Następnie ; .
Ze względu na ciągłość wykładniczą,
.
Dlatego kiedy , . W rezultacie otrzymujemy:
.

Dokonajmy zamiany. Następnie . Na , . I mamy:
.

Zastosujmy własność logarytmu (5):
. Następnie
.

Zastosujmy własność (6). Ponieważ istnieje dodatnia granica, a logarytm jest ciągły, to:
.
Tutaj również wykorzystaliśmy drugą niezwykłą granicę (7). Następnie
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (1) na pochodną wykładniczą.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji wykładniczej

Teraz wyprowadzamy wzór (2) na pochodną funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a. Wierzymy, że i . Następnie funkcja wykładnicza
(8)
Zdefiniowany dla każdego.

Przekształćmy wzór (8). Aby to zrobić, skorzystamy z właściwości funkcji wykładniczej i logarytmu.
;
.
Zatem przekształciliśmy wzór (8) do następującej postaci:
.

Pochodne wyższego rzędu e do potęgi x

Znajdźmy teraz pochodne wyższych rzędów. Przyjrzyjmy się najpierw wykładnikowi:
(14) .
(1) .

Widzimy, że pochodna funkcji (14) jest równa samej funkcji (14). Różnicząc (1) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
;
.

To pokazuje, że pochodna n-tego rzędu jest również równa pierwotnej funkcji:
.

Pochodne wyższego rzędu funkcji wykładniczej

Rozważmy teraz funkcję wykładniczą o podstawie stopnia a:
.
Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu:
(15) .

Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
;
.

Widzimy, że każde zróżnicowanie prowadzi do pomnożenia pierwotnej funkcji przez . Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:
.

Zobacz też:

Tym filmem rozpoczynam długą serię lekcji na temat instrumentów pochodnych. Ta lekcja składa się z kilku części.

Na początek opowiem, czym są pochodne i jak je obliczyć, ale nie wyszukanym językiem akademickim, ale tak, jak ja to rozumiem i jak tłumaczę to moim studentom. Po drugie, rozważymy najprostszą zasadę rozwiązywania problemów, w której będziemy szukać pochodnych sum, pochodnych różnic i pochodnych funkcja zasilania.

Przyjrzymy się bardziej złożonym połączonym przykładom, z których w szczególności dowiesz się, że podobne problemy dotyczące pierwiastków, a nawet ułamków, można rozwiązać, korzystając ze wzoru na pochodną funkcji potęgowej. Oprócz tego oczywiście nie zabraknie wielu problemów i przykładów rozwiązań o różnym stopniu złożoności.

Generalnie początkowo miałem zamiar nagrać krótki 5-minutowy film, ale widać jak wyszło. Dość już tekstów – przejdźmy do rzeczy.

Co to jest pochodna?

Zacznijmy więc od daleka. Wiele lat temu, kiedy drzewa były bardziej zielone, a życie przyjemniejsze, matematycy myśleli o tym: zastanów się prosta funkcja, określony przez jego wykres, nazwijmy to $y=f\left(x \right)$. Oczywiście wykres nie istnieje samodzielnie, dlatego należy narysować osie $x$ oraz oś $y$. Wybierzmy teraz dowolny punkt na tym wykresie, absolutnie dowolny. Nazwijmy odciętą $((x)_(1))$, rzędna, jak można się domyślić, będzie wynosić $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Spójrzmy na inny punkt na tym samym wykresie. Nie ma znaczenia, który, najważniejsze, że różni się od oryginału. To znowu ma odciętą, nazwijmy ją $((x)_(2))$, a także rzędną - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Mamy więc dwa punkty: mają różne odcięte i dlatego różne znaczenia funkcje, chociaż ta ostatnia jest opcjonalna. Ale co naprawdę ważne, wiemy z kursu planimetrii: przez dwa punkty można poprowadzić linię prostą i to w dodatku tylko jedną. Zatem przeprowadźmy to.

Teraz narysujmy linię prostą przechodzącą przez pierwszy z nich, równoległą do osi odciętych. Dostajemy trójkąt prostokątny. Nazwijmy to $ABC$, kąt prosty $C$. Trójkąt ten ma jedną bardzo interesującą właściwość: faktem jest, że kąt $\alpha $ w rzeczywistości równy kątowi, pod którym prosta $AB$ przecina się z kontynuacją osi odciętej. Oceńcie sami:

linia prosta $AC$ jest konstrukcyjnie równoległa do osi $Ox$,
linia $AB$ przecina $AC$ pod $\alpha $,
stąd $AB$ przecina $Ox$ pod tym samym $\alpha $.

Co możemy powiedzieć o $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$? Nic konkretnego poza tym, że w trójkącie $ABC$ stosunek ramienia $BC$ do ramienia $AC$ jest równy tangensowi tego właśnie kąta. Zapiszmy to zatem:

Oczywiście $AC$ w tym przypadku można łatwo obliczyć:

Podobnie dla $BC$:

Innymi słowy, możemy napisać, co następuje:

\[\nazwa operatora(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Skoro już to wszystko mamy za sobą, wróćmy do naszego wykresu i spójrzmy na nowy punkt $B$. Usuńmy stare wartości i weźmy $B$ gdzieś bliżej $((x)_(1))$. Oznaczmy ponownie jej odciętą przez $((x)_(2))$, a jej rzędną przez $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Spójrzmy jeszcze raz na nasz mały trójkąt $ABC$ i $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ wewnątrz niego. Jest całkiem oczywiste, że będzie to zupełnie inny kąt, inna będzie także tangens, ponieważ długości odcinków $AC$ i $BC$ znacząco się zmieniły, natomiast wzór na tangens kąta nie zmienił się wcale - jest to nadal związek między zmianą funkcji a zmianą argumentu.

Na koniec nadal przesuwamy $B$ bliżej pierwotnego punktu $A$, w efekcie trójkąt stanie się jeszcze mniejszy, a prosta zawierająca odcinek $AB$ będzie coraz bardziej przypominać styczną do wykresu funkcja.

W rezultacie, jeśli w dalszym ciągu będziemy przybliżać punkty do siebie, czyli zmniejszać odległość do zera, to prosta $AB$ rzeczywiście w danym punkcie zamieni się w styczną do wykresu i $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ przekształci się ze zwykłego elementu trójkąta w kąt pomiędzy styczną do wykresu a dodatnim kierunkiem osi $Ox$.

I tu płynnie przechodzimy do definicji $f$, czyli pochodna funkcji w punkcie $((x)_(1))$ jest tangensem kąta $\alpha $ pomiędzy styczną do wykres w punkcie $((x)_( 1))$ i dodatnim kierunku osi $Ox$:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\nazwa operatora(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Wracając do naszego wykresu należy zauważyć, że dowolny punkt na wykresie można wybrać jako $((x)_(1))$. Na przykład z takim samym sukcesem moglibyśmy usunąć obrys w punkcie pokazanym na rysunku.

Nazwijmy kąt pomiędzy styczną a dodatnim kierunkiem osi $\beta$. Odpowiednio, $f$ w $((x)_(2))$ będzie równe tangensowi tego kąta $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Każdy punkt na wykresie będzie miał własną tangens, a co za tym idzie, własną wartość funkcji. W każdym z tych przypadków oprócz punktu, w którym szukamy pochodnej różnicy lub sumy, lub pochodnej funkcji potęgowej, konieczne jest wzięcie innego punktu położonego w pewnej odległości od niego, a następnie skierowanie ten punkt do pierwotnego i oczywiście dowiedz się, jak w procesie Taki ruch zmieni tangens kąta nachylenia.

Pochodna funkcji potęgowej

Niestety taka definicja zupełnie nam nie odpowiada. Wszystkie te wzory, obrazy, kąty nie dają nam najmniejszego pojęcia, jak obliczyć rzeczywistą pochodną w rzeczywistych problemach. Dlatego odejdźmy trochę od formalnej definicji i rozważmy bardziej skuteczne formuły i techniki, dzięki którym można już rozwiązywać realne problemy.

Zacznijmy od najprostszych konstrukcji, czyli funkcji postaci $y=((x)^(n))$, czyli: funkcje mocy. W tym przypadku możemy zapisać następująco: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. Innymi słowy, stopień, który był w wykładniku, jest pokazany w przednim mnożniku, a sam wykładnik jest zmniejszany o jednostkę.Na przykład:

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Oto inna opcja:

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

Korzystając z tych prostych zasad, spróbujmy usunąć dotyk następujących przykładów:

Otrzymujemy zatem:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Rozwiążmy teraz drugie wyrażenie:

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ liczba pierwsza ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Oczywiście, te były bardzo proste zadania. Jednak rzeczywiste problemy są bardziej złożone i nie ograniczają się tylko do stopni funkcji.

Zatem zasada nr 1 – jeśli funkcję przedstawiamy w postaci dwóch pozostałych, to pochodna tej sumy jest równa sumie pochodnych:

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

Podobnie pochodna różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy pochodnych:

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ liczba pierwsza ))+((\lewo(x \prawo))^(\pierwsza ))=2x+1\]

Poza tym jest jeszcze jeden ważna zasada: jeśli jakieś $f$ jest poprzedzone stałą $c$, przez którą ta funkcja jest mnożona, to $f$ całej tej konstrukcji oblicza się w następujący sposób:

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ liczba pierwsza ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Na koniec jeszcze jedna bardzo ważna zasada: w problemach często pojawia się osobny termin, który w ogóle nie zawiera $x$. Na przykład możemy to dziś zaobserwować w naszych wyrażeniach. Pochodna stałej, czyli liczby, która w żaden sposób nie zależy od $x$, jest zawsze równa zeru i nie ma w ogóle znaczenia, ile wynosi stała $c$:

\[((\lewy(c \prawy))^(\prime ))=0\]

Przykładowe rozwiązanie:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Kluczowe punkty ponownie:

Pochodna sumy dwóch funkcji jest zawsze równa sumie pochodnych: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Z podobnych powodów pochodna różnicy dwóch funkcji jest równa różnicy dwóch pochodnych: $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Jeżeli funkcja ma stały współczynnik, to stałą tę można potraktować jako znak pochodnej: $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Jeśli cała funkcja jest stała, to jej pochodna zawsze wynosi zero: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Zobaczymy jak to wszystko będzie działać prawdziwe przykłady. Więc:

Zapisujemy:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\end(align)\]

W tym przykładzie widzimy zarówno pochodną sumy, jak i pochodną różnicy. W sumie pochodna wynosi 5((x)^(4))-6x$.

Przejdźmy do drugiej funkcji:

Zapiszmy rozwiązanie:

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Tutaj znaleźliśmy odpowiedź.

Przejdźmy do trzeciej funkcji – jest ona poważniejsza:

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Znaleźliśmy odpowiedź.

Przejdźmy do ostatniego wyrażenia - najbardziej złożonego i najdłuższego:

Rozważamy zatem:

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Ale na tym rozwiązanie się nie kończy, ponieważ jesteśmy proszeni nie tylko o usunięcie obrysu, ale o obliczenie jego wartości w określonym punkcie, dlatego podstawiamy do wyrażenia -1 zamiast $x$:

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Pójdźmy dalej i przejdźmy do jeszcze bardziej złożonych i ciekawe przykłady. Faktem jest, że wzór na rozwiązanie pochodnej potęgi $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ ma jeszcze szerszy zakres, niż się zwykle uważa. Za jego pomocą możesz rozwiązywać przykłady z ułamkami zwykłymi, pierwiastkami itp. To właśnie zrobimy teraz.

Na początek jeszcze raz napiszmy wzór, który pomoże nam znaleźć pochodną funkcji potęgowej:

A teraz uwaga: do tej pory rozważaliśmy tylko liczby naturalne jako $n$, ale nic nie stoi na przeszkodzie, abyśmy rozważali ułamki zwykłe i parzyste liczby ujemne. Na przykład możemy napisać co następuje:

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ liczba pierwsza ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\end(align)\]

Nic skomplikowanego, więc zobaczmy, jak ta formuła pomoże nam przy rozwiązywaniu więcej złożone zadania. A więc przykład:

Zapiszmy rozwiązanie:

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ lewy(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\end(align)\]

Wróćmy do naszego przykładu i napiszmy:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

To taka trudna decyzja.

Przejdźmy do drugiego przykładu - są tylko dwa terminy, ale każdy z nich zawiera zarówno stopień klasyczny, jak i pierwiastki.

Teraz nauczymy się, jak znaleźć pochodną funkcji potęgowej, która dodatkowo zawiera pierwiastek:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Oba terminy zostały obliczone, pozostaje tylko zapisać ostateczną odpowiedź:

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Znaleźliśmy odpowiedź.

Pochodna ułamka poprzez funkcję potęgową

Ale na tym nie kończą się możliwości wzoru na rozwiązanie pochodnej funkcji potęgowej. Faktem jest, że za jego pomocą można obliczyć nie tylko przykłady z pierwiastkami, ale także z ułamkami. Jest to właśnie rzadka możliwość, która znacznie upraszcza rozwiązanie takich przykładów, ale często jest ignorowana nie tylko przez uczniów, ale także przez nauczycieli.

Teraz spróbujemy połączyć dwie formuły na raz. Z jednej strony klasyczna pochodna funkcji potęgowej

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Z drugiej strony wiemy, że wyrażenie w postaci $\frac(1)(((x)^(n)))$ można przedstawić jako $((x)^(-n))$. Stąd,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Zatem pochodne ułamków prostych, gdzie licznik jest stałą, a mianownik stopniem, również oblicza się za pomocą klasycznego wzoru. Zobaczmy jak to działa w praktyce.

Zatem pierwsza funkcja:

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ prawo))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Pierwszy przykład rozwiązany, przejdźmy do drugiego:

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ lewy(3((x)^(4)) \prawy))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ koniec(wyrównaj)\]...

Teraz zbieramy wszystkie te terminy w jedną formułę:

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Otrzymaliśmy odpowiedź.

Zanim jednak przejdę dalej, chciałbym zwrócić uwagę na formę zapisu samych oryginalnych wyrażeń: w pierwszym wyrażeniu napisaliśmy $f\left(x \right)=...$, w drugim: $y =...$ Wielu uczniów gubi się, gdy widzą różne formy nagrywania. Jaka jest różnica między $f\left(x \right)$ a $y$? Nic takiego. Są to po prostu różne wpisy o tym samym znaczeniu. Tyle, że gdy mówimy $f\left(x \right)$, to przede wszystkim mówimy o funkcji, a gdy mówimy o $y$, to najczęściej mamy na myśli wykres funkcji. W przeciwnym razie jest to to samo, tj. pochodną w obu przypadkach uważa się za taką samą.

Złożone problemy z instrumentami pochodnymi

Podsumowując, chciałbym rozważyć kilka złożonych, połączonych problemów, które wykorzystują wszystko, co rozważaliśmy dzisiaj. Zawierają pierwiastki, ułamki i sumy. Jednak te przykłady będą skomplikowane dopiero w dzisiejszym samouczku wideo, ponieważ naprawdę złożone funkcje pochodne będą na Ciebie czekać.

A więc ostatnia część dzisiejszej lekcji wideo, składająca się z dwóch połączonych zadań. Zacznijmy od pierwszego z nich:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ lewy(((x)^(-3)) \prawy))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

Pochodna funkcji jest równa:

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Pierwszy przykład został rozwiązany. Rozważmy drugi problem:

W drugim przykładzie postępujemy podobnie:

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\główny ))\]

Obliczmy każdy wyraz osobno:

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3 )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Wszystkie terminy zostały obliczone. Teraz wracamy do pierwotnej formuły i dodajemy wszystkie trzy terminy razem. Dowiadujemy się, że ostateczna odpowiedź będzie wyglądać następująco:

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

I to wszystko. To była nasza pierwsza lekcja. W kolejnych lekcjach omówimy więcej złożone projekty, a także dowiedzieć się, dlaczego w ogóle potrzebne są instrumenty pochodne.

Bardzo łatwe do zapamiętania.

Cóż, nie odchodźmy daleko, od razu rozważmy funkcję odwrotną. Która funkcja jest odwrotnością funkcji wykładniczej? Logarytm:

W naszym przypadku podstawą jest liczba:

Taki logarytm (czyli logarytm z podstawą) nazywa się „naturalnym” i używamy dla niego specjalnego zapisu: zamiast tego piszemy.

Czemu to jest równe? Oczywiście, .

Pochodna naturalny logarytm również bardzo proste:

Przykłady:

Znajdź pochodną funkcji.
Jaka jest pochodna funkcji?

Odpowiedzi: Logarytm wykładniczy i logarytm naturalny są wyjątkowo prostymi funkcjami z punktu widzenia pochodnej. Funkcje wykładnicze i logarytmiczne na dowolnej innej podstawie będą miały inną pochodną, którą przeanalizujemy później, po zapoznaniu się z zasadami różniczkowania.

Zasady różnicowania

Zasady czego? Znowu nowy termin, znowu?!...

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej.

To wszystko. Jak inaczej można nazwać ten proces jednym słowem? Nie pochodna. Matematycy nazywają różniczkę tym samym przyrostem funkcji. Termin ten pochodzi od łacińskiego słowa Differentia – różnica. Tutaj.

Wyprowadzając wszystkie te reguły, użyjemy na przykład dwóch funkcji i. Będziemy również potrzebować wzorów na ich przyrosty:

W sumie jest 5 zasad.

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej.

Jeśli - jakaś stała liczba (stała), to.

Oczywiście ta zasada działa również w przypadku różnicy: .

Udowodnijmy to. Niech tak będzie, albo prościej.

Przykłady.

Znajdź pochodne funkcji:

w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w pewnym momencie;
w tym punkcie.

Rozwiązania:

(pochodna jest taka sama we wszystkich punktach, ponieważ this funkcja liniowa, Pamiętać?);

Pochodna produktu

Tutaj wszystko jest podobne: wprowadźmy nową funkcję i znajdźmy jej inkrementację:

Pochodna:

Przykłady:

Znajdź pochodne funkcji i;
Znajdź pochodną funkcji w punkcie.

Rozwiązania:

Pochodna funkcji wykładniczej

Teraz twoja wiedza jest wystarczająca, aby dowiedzieć się, jak znaleźć pochodną dowolnej funkcji wykładniczej, a nie tylko wykładniki (zapomniałeś już, co to jest?).

Więc gdzie jest jakaś liczba.

Znamy już pochodną funkcji, więc spróbujmy sprowadzić naszą funkcję do nowej podstawy:

Do tego użyjemy prosta zasada: . Następnie:

Cóż, zadziałało. Teraz spróbuj znaleźć pochodną i nie zapominaj, że ta funkcja jest złożona.

Stało się?

Tutaj sprawdź sam:

Wzór okazał się bardzo podobny do pochodnej wykładnika: jak był, pozostaje taki sam, pojawił się tylko czynnik, który jest tylko liczbą, a nie zmienną.

Przykłady:
Znajdź pochodne funkcji:

Odpowiedzi:

To po prostu liczba, której bez kalkulatora nie da się obliczyć, czyli nie da się jej już zapisać w prostej formie. Dlatego zostawiamy to w tej formie w odpowiedzi.

Zauważ, że tutaj jest iloraz dwóch funkcji, dlatego stosujemy odpowiednią regułę różniczkowania:

W tym przykładzie iloczyn dwóch funkcji:

Pochodna funkcji logarytmicznej

Tutaj jest podobnie: znasz już pochodną logarytmu naturalnego:

Dlatego, aby znaleźć dowolny logarytm o innej podstawie, na przykład:

Musimy sprowadzić ten logarytm do podstawy. Jak zmienić podstawę logarytmu? Mam nadzieję, że pamiętasz tę formułę:

Dopiero teraz zamiast tego napiszemy:

Mianownik jest po prostu stałą (liczbą stałą, bez zmiennej). Pochodną otrzymuje się bardzo prosto:

Pochodne funkcji wykładniczych i logarytmicznych prawie nigdy nie znajdują się w Unified State Examination, ale ich znajomość nie będzie zbyteczna.

Pochodna funkcji zespolonej.

Co to jest „funkcja złożona”? Nie, to nie jest logarytm ani arcustangens. Funkcje te mogą być trudne do zrozumienia (chociaż jeśli logarytm wydaje ci się trudny, przeczytaj temat „Logarity” i wszystko będzie dobrze), ale z matematycznego punktu widzenia słowo „złożony” nie oznacza „trudny”.

Wyobraź sobie mały przenośnik taśmowy: dwie osoby siedzą i wykonują pewne czynności z niektórymi przedmiotami. Przykładowo, pierwszy zawija tabliczkę czekolady w opakowanie, a drugi zawiązuje ją wstążką. W rezultacie powstał obiekt złożony: tabliczka czekolady owinięta i przewiązana wstążką. Aby zjeść tabliczkę czekolady, należy wykonać kroki w odwrotnej kolejności.

Stwórzmy podobny potok matematyczny: najpierw znajdziemy cosinus liczby, a następnie podniesiemy wynikową liczbę do kwadratu. Dostajemy więc liczbę (czekoladę), znajduję jej cosinus (opakowanie), a następnie podnoszę do kwadratu to, co otrzymam (przewiązuję wstążką). Co się stało? Funkcjonować. To jest przykład złożona funkcja: kiedy, aby znaleźć jej wartość, wykonujemy pierwszą akcję bezpośrednio ze zmienną, a następnie drugą akcję z tym, co wynika z pierwszej.

Innymi słowy, funkcja złożona to funkcja, której argumentem jest inna funkcja: .

Dla naszego przykładu .

Możemy z łatwością wykonać te same kroki w odwrotnej kolejności: najpierw podnieś wynik do kwadratu, a następnie szukam cosinusa otrzymanej liczby: . Łatwo się domyślić, że wynik prawie zawsze będzie inny. Ważna cecha funkcji złożonych: gdy zmienia się kolejność działań, zmienia się funkcja.

Drugi przykład: (to samo). .

Akcja, którą wykonamy jako ostatnia, zostanie wywołana funkcja „zewnętrzna”., oraz czynność wykonaną jako pierwsza – odpowiednio funkcję „wewnętrzną”.(są to nazwy nieformalne, używam ich jedynie w celu wyjaśnienia materiału prostym językiem).

Spróbuj sam określić, która funkcja jest zewnętrzna, a która wewnętrzna:

Odpowiedzi: Oddzielenie funkcji wewnętrznej i zewnętrznej jest bardzo podobne do zmiany zmiennych: na przykład w funkcji

Jaką czynność wykonamy jako pierwszą? Najpierw obliczmy sinus, a dopiero potem sześcian. Oznacza to, że jest to funkcja wewnętrzna, ale zewnętrzna.
A oryginalną funkcją jest ich skład: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .
Wewnętrzny: ; zewnętrzny: .
Badanie: .

Zmieniamy zmienne i otrzymujemy funkcję.

Cóż, teraz wyodrębnimy naszą tabliczkę czekolady i poszukamy pochodnej. Procedura jest zawsze odwrotna: najpierw szukamy pochodnej funkcji zewnętrznej, następnie mnożymy wynik przez pochodną funkcji wewnętrznej. W odniesieniu do pierwotnego przykładu wygląda to tak:

Inny przykład:

Sformułujmy więc w końcu oficjalną zasadę:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Wydaje się to proste, prawda?

Sprawdźmy na przykładach:

Rozwiązania:

1) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

2) Wewnętrzne: ;

(Tylko nie próbuj już tego ciąć! Spod cosinusa nic nie wychodzi, pamiętasz?)

3) Wewnętrzne: ;

Zewnętrzny: ;

Od razu widać, że jest to funkcja złożona na trzech poziomach: w końcu jest to już sama w sobie funkcja złożona i wyodrębniamy z niej również korzeń, to znaczy wykonujemy trzecią akcję (włóż czekoladę do opakowania i ze wstążką w teczce). Ale nie ma powodu się bać: nadal „rozpakowujemy” tę funkcję w tej samej kolejności, co zwykle: od końca.

Oznacza to, że najpierw różnicujemy pierwiastek, potem cosinus, a dopiero potem wyrażenie w nawiasach. A potem to wszystko mnożymy.

W takich przypadkach wygodnie jest ponumerować działania. To znaczy wyobraźmy sobie to, co wiemy. W jakiej kolejności wykonamy czynności, aby obliczyć wartość tego wyrażenia? Spójrzmy na przykład:

Im później akcja zostanie wykonana, tym bardziej „zewnętrzna” będzie odpowiednia funkcja. Sekwencja działań jest taka sama jak poprzednio:

Tutaj zagnieżdżenie jest zazwyczaj 4-poziomowe. Ustalmy kierunek działania.

1. Radykalne wyrażenie. .

2. Korzeń. .

3. Sinus. .

4. Kwadrat. .

5. Łączenie wszystkiego w jedną całość:

POCHODNA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Pochodna funkcji- stosunek przyrostu funkcji do przyrostu argumentu dla nieskończenie małego przyrostu argumentu:

Podstawowe pochodne:

Zasady różnicowania:

Stała jest usuwana ze znaku pochodnej:

Pochodna sumy:

Pochodna produktu:

Pochodna ilorazu:

Pochodna funkcji złożonej:

Algorytm znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

Definiujemy funkcję „wewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Definiujemy funkcję „zewnętrzną” i znajdujemy jej pochodną.
Mnożymy wyniki pierwszego i drugiego punktu.

Dla wygody i przejrzystości podczas studiowania tematu przedstawiamy tabelę podsumowującą.

Stałyy = C

Funkcja mocy y = x p

(x p) " = p x p - 1

Funkcja wykładniczay = a x

(a x) " = a x ln a

W szczególności kiedya = mimamy y = mi x

(np. x) " = np. x

Funkcja logarytmiczna

(log a x) " = 1 x ln a

W szczególności kiedya = mimamy y = logx

(ln x) " = 1 x

Funkcje trygonometryczne

(sin x) " = cos x (cos x) " = - grzech x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t sol x) " = - 1 grzech 2 x

Odwrotne funkcje trygonometryczne

(a r do grzech x) " = 1 1 - x 2 (a r do cos x) " = - 1 1 - x 2 (za r do t sol x) " = 1 1 + x 2 (za r do do t sol x) " = - 1 1 + x 2

Funkcje hiperboliczne

(s godz x) " = do godz x (c godz x) " = s godz x (t godz x) " = 1 do godz 2 x (c t godz x) " = - 1 s godz 2 x

Przeanalizujmy, w jaki sposób otrzymano wzory z podanej tabeli, czyli inaczej mówiąc, udowodnimy wyprowadzenie wzorów pochodnych dla każdego rodzaju funkcji.

Pochodna stałej

Dowód 1

Aby wyprowadzić ten wzór, przyjmujemy za podstawę definicję pochodnej funkcji w punkcie. Używamy x 0 = x, gdzie X przyjmuje wartość dowolnej liczby rzeczywistej, czyli innymi słowy X jest dowolną liczbą z dziedziny funkcji f (x) = C. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu jako ∆ x → 0:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - do ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Należy pamiętać, że wyrażenie 0 ∆ x należy do znaku granicznego. Nie jest to niepewność „zero podzielone przez zero”, ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem pochodna funkcji stałej f (x) = C jest równa zero w całym obszarze definicji.

Przykład 1

Dane są funkcje stałe:

fa 1 (x) = 3, fa 2 (x) = a, za ∈ R, fa 3 (x) = 4. 13 7 22 , fa 4 (x) = 0 , fa 5 (x) = - 8 7

Rozwiązanie

Opiszmy podane warunki. W pierwszej funkcji widzimy pochodną liczby naturalnej 3. W poniższym przykładzie musisz wziąć pochodną A, Gdzie A- każdy prawdziwy numer. Trzeci przykład daje nam pochodną Liczba niewymierna 4. 13 7 22, czwarta jest pochodną zera (zero jest liczbą całkowitą). Wreszcie w piątym przypadku mamy pochodną ułamek racjonalny - 8 7 .

Odpowiedź: pochodne określone funkcje wynosi zero dla dowolnej liczby rzeczywistej X(na całym obszarze definicji)

fa 1 " (x) = (3) " = 0 , fa 2 " (x) = (a) " = 0 , za ∈ R , fa 3 " (x) = 4. 13 7 22 " = 0 , fa 4 " (x) = 0 " = 0 , fa 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Pochodna funkcji potęgowej

Przejdźmy do funkcji potęgowej i wzoru na jej pochodną, który ma postać: (x p) " = p x p - 1, gdzie wykładnik P jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Dowód 2

Podajmy dowód wzoru, gdy wykładnik jest Liczba naturalna: p = 1, 2, 3, …

Ponownie opieramy się na definicji instrumentu pochodnego. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, używamy wzoru dwumianu Newtona:

(x + ∆ x) p - x p = do p 0 + x p + do p 1 · x p - 1 · ∆ x + do p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + do p p - 1 x (∆ x) p - 1 + do p p (∆ x) p - x p = = do p 1 x p - 1 ∆ x + do p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Zatem:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + do p 2 x p - 2 ∆ x + . . + do p p - 1 x (∆ x) p - 2 + do p p (∆ x) p - 1) = = do p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

W ten sposób udowodniliśmy wzór na pochodną funkcji potęgowej, gdy wykładnik jest liczbą naturalną.

Dowód 3

Aby dostarczyć dowód w przypadku, gdy P- dowolną liczbę rzeczywistą różną od zera, stosujemy pochodną logarytmiczną (tutaj powinniśmy rozumieć różnicę od pochodnej funkcja logarytmiczna). Aby uzyskać pełniejsze zrozumienie, zaleca się zbadanie pochodnej funkcji logarytmicznej i dalsze zrozumienie pochodnej funkcji ukrytej i pochodnej funkcji zespolonej.

Rozważmy dwa przypadki: kiedy X pozytywne i kiedy X negatywny.

Zatem x > 0. Wtedy: x p > 0 . Logarytmujemy równość y = x p do podstawy e i stosujemy własność logarytmu:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Na tym etapie otrzymaliśmy domyślnie określoną funkcję. Zdefiniujmy jego pochodną:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Rozważmy teraz przypadek, kiedy X - liczba ujemna.

Jeśli wskaźnik P Jest Liczba parzysta, wówczas funkcja potęgi jest zdefiniowana dla x< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Następnie x str< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Jeśli P jest liczbą nieparzystą, wówczas funkcja potęgi jest zdefiniowana dla x< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Ostatnie przejście jest możliwe dzięki temu, że if P jest w takim razie liczbą nieparzystą p - 1 albo liczba parzysta, albo zero (dla p = 1), zatem dla wartości ujemnej X równość (- x) p - 1 = x p - 1 jest prawdziwa.

Udowodniliśmy więc wzór na pochodną funkcji potęgowej dla dowolnego rzeczywistego p.

Przykład 2

Podane funkcje:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 , fa 2 (x) = x 2 - 1 4 , fa 3 (x) = 1 x log 7 12

Wyznacz ich pochodne.

Rozwiązanie

Część podanych funkcji przekształcamy do postaci tabelarycznej y = x p , bazując na własnościach stopnia, a następnie korzystamy ze wzoru:

fa 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ fa 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 fa 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Pochodna funkcji wykładniczej

Dowód 4

Wyprowadźmy wzór na pochodną, opierając się na definicji:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Mamy niepewność. Aby ją rozwinąć, napiszmy nową zmienną z = a ∆ x - 1 (z → 0 jako ∆ x → 0). W tym przypadku a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Do ostatniego przejścia wykorzystano wzór na przejście na nową podstawę logarytmu.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Przypomnijmy sobie to drugie cudowna granica i wtedy otrzymujemy wzór na pochodną funkcji wykładniczej:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Przykład 3

Dane są funkcje wykładnicze:

fa 1 (x) = 2 3 x , fa 2 (x) = 5 3 x , fa 3 (x) = 1 (e) x

Należy znaleźć ich pochodne.

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej i własności logarytmu:

fa 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) fa 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 fa 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 mi x " = 1 mi x ln 1 mi = 1 mi x ln e - 1 = - 1 mi x

Pochodna funkcji logarytmicznej

Dowód 5

Przedstawmy dowód wzoru na pochodną funkcji logarytmicznej dla dowolnego X w dziedzinie definicji i wszelkich dopuszczalnych wartości podstawy logarytmu. Na podstawie definicji pochodnej otrzymujemy:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Ze wskazanego ciągu równości wynika, że przekształcenia opierały się na własności logarytmu. Równość lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e jest prawdziwa zgodnie z drugą niezwykłą granicą.

Przykład 4

Dane są funkcje logarytmiczne:

fa 1 (x) = log ln 3 x , fa 2 (x) = ln x

Należy obliczyć ich pochodne.

Rozwiązanie

Zastosujmy otrzymany wzór:

fa 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; fa 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln mi = 1 x

Zatem pochodna logarytmu naturalnego jest dzielona przez X.

Pochodne funkcji trygonometrycznych

Dowód 6

Wykorzystajmy trochę wzory trygonometryczne i pierwsza niezwykła granica wyprowadzenia wzoru na pochodną funkcji trygonometrycznej.

Zgodnie z definicją pochodnej funkcji sinus otrzymujemy:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x

Wzór na różnicę sinusów pozwoli nam wykonać następujące czynności:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 grzech (x + ∆ x) - grzech x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 grzech x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2

Na koniec używamy pierwszego cudownego limitu:

grzech " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Zatem pochodna funkcji grzech x będzie bo x.

Udowodnimy również wzór na pochodną cosinusa:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 grzech x + ∆ x - x 2 grzech x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 grzech x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - grzech x + 0 2 lim ∆ x → 0 grzech ∆ x 2 ∆ x 2 = - grzech x

Te. pochodna funkcji cos x będzie wynosić – grzech x.

Wzory na pochodne stycznej i cotangens wyprowadzamy w oparciu o zasady różniczkowania:

t sol " x = grzech x cos x " = grzech " x · cos x - grzech x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - grzech x · (- grzech x) cos 2 x = grzech 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x do t sol " x = cos x grzech x " = cos " x · grzech x - cos x · grzech " x grzech 2 x = = - grzech x · grzech x - cos x · cos x grzech 2 x = - grzech 2 x + sałata 2 x grzech 2 x = - 1 grzech 2 x

Pochodne odwrotnych funkcji trygonometrycznych

Sekcja instrumentów pochodnych funkcje odwrotne dostarcza wyczerpujących informacji na temat dowodu wzorów na pochodne arcsinusa, arcuscosinusa, arcustangens i arccotangens, dlatego nie będziemy tutaj powielać materiału.

Pochodne funkcji hiperbolicznych

Dowód 7

Wzory na pochodne sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa hiperbolicznego możemy wyprowadzić korzystając z reguły różniczkowania oraz wzoru na pochodną funkcji wykładniczej:

s godz " x = mi x - mi - x 2 " = 1 2 mi x " - e - x " = = 1 2 mi x - - e - x = mi x + mi - x 2 = do godz x do godz " x = mi x + e - x 2 " = 1 2 mi x " + e - x " = = 1 2 mi x + - e - x = mi x - mi - x 2 = s godz x t godz " x = s godz x do godz x " = s godz " x · do godz x - s godz x · do godz " x do godz 2 x = do godz 2 x - s godz 2 x do godz 2 x = 1 do godz 2 x do t godz " x = do godz x s godz x " = do godz " x · s godz x - do godz x · s godz " x s godz 2 x = s godz 2 x - do godz 2 x s godz 2 x = - 1 s godz 2 x

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Złożone pochodne. Pochodna logarytmiczna.
Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Wciąż doskonalimy naszą technikę różnicowania. Na tej lekcji skonsolidujemy przerobiony materiał, przyjrzymy się bardziej złożonym pochodnym, a także zapoznamy się z nowymi technikami i trikami znajdowania pochodnej, w szczególności pochodnej logarytmicznej.

Czytelnicy o niskim poziomie przygotowania powinni zapoznać się z artykułem Jak znaleźć pochodną? Przykłady rozwiązań, które pozwolą Ci podnieść swoje umiejętności niemal od zera. Następnie musisz dokładnie przestudiować stronę Pochodna funkcji zespolonej, zrozumieć i rozwiązać Wszystko przykłady, które podałem. Ta lekcja jest logicznie trzecią z rzędu, a po jej opanowaniu z pewnością rozróżnisz dość złożone funkcje. Niepożądane jest przyjmowanie stanowiska „Gdzie jeszcze? Tak, to wystarczy! ”, ponieważ wszystkie przykłady i rozwiązania pochodzą z rzeczywistości testy i często spotykane w praktyce.

Zacznijmy od powtórzeń. Na lekcji Pochodna funkcji zespolonej Przyjrzeliśmy się wielu przykładom ze szczegółowymi komentarzami. W trakcie studiowania rachunku różniczkowego i innych gałęzi analizy matematycznej będziesz musiał bardzo często dokonywać różnicowania i nie zawsze jest wygodne (i nie zawsze konieczne) opisywanie przykładów z dużą szczegółowością. Dlatego będziemy ćwiczyć ustne znajdowanie pochodnych. Najbardziej odpowiednimi „kandydatami” do tego są pochodne najprostszych ze złożonych funkcji, na przykład:

Zgodnie z zasadą różniczkowania funkcji zespolonych :

Studiując w przyszłości inne tematy matanowe, tak szczegółowy zapis najczęściej nie jest wymagany, zakłada się, że student wie, jak znaleźć takie pochodne na autopilocie. Wyobraźmy sobie, że o trzeciej w nocy zadzwonił telefon i przyjemny głos zapytał: „Jaka jest pochodna tangensa dwóch X?” Po tym powinna nastąpić niemal natychmiastowa i uprzejma odpowiedź: .

Pierwszy przykład będzie od razu przeznaczony niezależna decyzja.

Przykład 1

Znajdź ustnie następujące pochodne w jednej akcji, na przykład: . Aby wykonać zadanie, wystarczy użyć tablica pochodnych funkcji elementarnych(jeśli jeszcze tego nie pamiętasz). W razie trudności sugeruję ponowne przeczytanie lekcji Pochodna funkcji zespolonej.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, ,

Odpowiedzi na końcu lekcji

Złożone pochodne

Po wstępnym przygotowaniu artyleryjskim przykłady z 3-4-5 zagnieżdżeniami funkcji będą mniej przerażające. Poniższe dwa przykłady mogą niektórym wydawać się skomplikowane, ale jeśli je zrozumiesz (ktoś ucierpi), to prawie wszystko inne w rachunku różniczkowym będzie wydawać się dziecięcym żartem.

Przykład 2

Znajdź pochodną funkcji

Jak już wspomniano, przy znajdowaniu pochodnej funkcji złożonej przede wszystkim jest to konieczne Prawidłowy ZROZUM swoje inwestycje. W przypadku wątpliwości przypominam przydatną technikę: bierzemy na przykład eksperymentalną wartość „x” i próbujemy (w myślach lub w wersji roboczej) zastąpić tę wartość „strasznym wyrażeniem”.

1) Najpierw musimy obliczyć wyrażenie, co oznacza, że suma jest najgłębszym osadzeniem.

2) Następnie musisz obliczyć logarytm:

4) Następnie sześcian cosinus:

5) W piątym kroku różnica:

6) I wreszcie najbardziej zewnętrzna funkcja to Pierwiastek kwadratowy:

Wzór na różniczkowanie funkcji zespolonej są stosowane w odwrotnej kolejności, od funkcji najbardziej zewnętrznej do najbardziej wewnętrznej. My decydujemy:

Wygląda na to, że nie ma błędów...

(1) Weź pochodną pierwiastka kwadratowego.

(2) Pochodną różnicy obliczamy korzystając z reguły

(3) Pochodna trójki wynosi zero. W drugim wyrazie bierzemy pochodną stopnia (sześcianu).

(4) Weź pochodną cosinusa.

(5) Weź pochodną logarytmu.

(6) Na koniec bierzemy pochodną najgłębszego osadzania.

Może się to wydawać zbyt trudne, ale nie jest to najbardziej brutalny przykład. Weźmy na przykład kolekcję Kuzniecowa, a docenisz całe piękno i prostotę analizowanego pochodnego. Zauważyłem, że lubią dawać podobne zadanie na egzaminie, żeby sprawdzić, czy student rozumie, jak znaleźć pochodną funkcji zespolonej, czy też nie rozumie.

Poniższy przykład jest przeznaczony do samodzielnego rozwiązania.

Przykład 3

Znajdź pochodną funkcji

Wskazówka: Najpierw zastosujemy reguły liniowości i zasadę różnicowania produktu

Pełne rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Czas przejść na coś mniejszego i ładniejszego.
Nierzadko zdarza się, że przykład pokazuje iloczyn nie dwóch, ale trzech funkcji. Jak znaleźć pochodną iloczynu trzech czynników?

Przykład 4

Znajdź pochodną funkcji

Najpierw zastanówmy się, czy można zamienić iloczyn trzech funkcji w iloczyn dwóch funkcji? Na przykład, gdybyśmy mieli w iloczynie dwa wielomiany, moglibyśmy otworzyć nawiasy. Ale w rozważanym przykładzie wszystkie funkcje są inne: stopień, wykładnik i logarytm.

W takich przypadkach jest to konieczne sekwencyjnie zastosować regułę różnicowania produktów dwa razy

Sztuka polega na tym, że przez „y” oznaczamy iloczyn dwóch funkcji: , a przez „ve” oznaczamy logarytm: . Dlaczego można to zrobić? Czy to naprawdę? – to nie jest iloczyn dwóch czynników i reguła nie działa?! Nie ma nic skomplikowanego:

Teraz pozostaje zastosować regułę po raz drugi do nawiasu:

Możesz też się przekręcić i wstawić coś z nawiasów, ale w tym przypadku lepiej zostawić odpowiedź dokładnie w tej formie - łatwiej będzie to sprawdzić.

Rozważany przykład można rozwiązać w drugi sposób:

Obydwa rozwiązania są całkowicie równoważne.

Przykład 5

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład rozwiązania niezależnego, w przykładzie zostało ono rozwiązane pierwszą metodą.

Spójrzmy na podobne przykłady z ułamkami zwykłymi.

Przykład 6

Znajdź pochodną funkcji

Można tu przejść na kilka sposobów:

Lub tak:

Ale rozwiązanie zostanie zapisane bardziej zwięźle, jeśli najpierw zastosujemy zasadę różniczkowania ilorazu , biorąc za cały licznik:

W zasadzie przykład został rozwiązany i jeśli pozostawimy go tak jak jest, nie będzie to błąd. Ale jeśli masz czas, zawsze warto sprawdzić wersję roboczą, aby sprawdzić, czy odpowiedź można uprościć? Sprowadźmy wyrażenie licznika do wspólnego mianownika i pozbądźmy się ułamka trzypiętrowego:

Wadą dodatkowych uproszczeń jest ryzyko popełnienia błędu nie przy znajdywaniu pochodnej, ale przy banalnych przekształceniach szkolnych. Z drugiej strony nauczyciele często odrzucają zadanie i proszą o „przypomnienie” pochodnej.

Prostszy przykład do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 7

Znajdź pochodną funkcji

Nadal doskonalimy metody znajdowania pochodnej, a teraz rozważymy typowy przypadek, gdy do różniczkowania zaproponowany zostanie „straszny” logarytm

Przykład 8

Znajdź pochodną funkcji

Tutaj możesz przejść długą drogę, używając reguły różniczkowania funkcji złożonej:

Ale już pierwszy krok natychmiast pogrąża cię w przygnębieniu - musisz wziąć nieprzyjemną pochodną z potęgi ułamkowej, a potem także z ułamka.

Dlatego zanim jak wziąć pochodną „wyrafinowanego” logarytmu, najpierw upraszcza się ją, korzystając ze znanych właściwości szkolnych:

! Jeśli masz pod ręką zeszyt ćwiczeń, przepisz bezpośrednio tam te formuły. Jeśli nie masz zeszytu, przepisz je na kartkę papieru, ponieważ pozostałe przykłady lekcji będą dotyczyć tych formuł.

Samo rozwiązanie można zapisać mniej więcej tak:

Przekształćmy funkcję:

Znajdowanie pochodnej:

Wstępna konwersja samej funkcji znacznie uprościła rozwiązanie. Zatem, gdy do różniczkowania proponuje się podobny logarytm, zawsze wskazane jest „rozbicie go”.

A teraz kilka prostych przykładów do samodzielnego rozwiązania:

Przykład 9

Znajdź pochodną funkcji

Przykład 10

Znajdź pochodną funkcji

Wszystkie przekształcenia i odpowiedzi znajdują się na końcu lekcji.

Pochodna logarytmiczna

Jeśli pochodną logarytmów jest taka słodka muzyka, pojawia się pytanie: czy w niektórych przypadkach można sztucznie uporządkować logarytm? Móc! A nawet konieczne.

Przykład 11

Znajdź pochodną funkcji

Niedawno przyglądaliśmy się podobnym przykładom. Co robić? Można kolejno zastosować regułę różniczkowania ilorazu, a następnie regułę różniczkowania iloczynu. Wadą tej metody jest to, że otrzymujesz ogromną trzypiętrową frakcję, z którą w ogóle nie chcesz się zajmować.

Ale w teorii i praktyce istnieje coś tak cudownego jak pochodna logarytmiczna. Logarytmy można organizować sztucznie, „zawieszając” je po obu stronach:

Notatka : ponieważ funkcja może zaakceptować wartości ujemne, to ogólnie rzecz biorąc, musisz użyć modułów: , które zanikną w wyniku różnicowania. Jednak obecny projekt jest również akceptowalny, jeśli domyślnie jest brany pod uwagę złożony znaczenia. Ale jeśli z całą surowością, to w obu przypadkach należy poczynić zastrzeżenie.

Teraz musisz jak najbardziej „rozłożyć” logarytm prawej strony (wzory na twoich oczach?). Opiszę ten proces bardzo szczegółowo:

Zacznijmy od różnicowania.
Obie części kończymy pod liczbą pierwszą:

Pochodna prawej strony jest dość prosta, nie będę jej komentować, bo jeśli czytasz ten tekst, powinieneś sobie z tym poradzić pewnie.

A co z lewą stroną?

Po lewej stronie mamy złożona funkcja. Przewiduję pytanie: „Dlaczego pod logarytmem jest jedna litera „Y”?”

Faktem jest, że ta „gra w jedną literę” - SAM JEST FUNKCJĄ(jeśli nie jest to zbyt jasne, zobacz artykuł Pochodna funkcji określonej implicytnie). Dlatego logarytm jest funkcją zewnętrzną, a „y” jest funkcją wewnętrzną. I używamy reguły różniczkowania funkcji zespolonej :

Po lewej stronie, jak za dotknięciem czarodziejskiej różdżki magiczna różdżka mamy pochodną. Następnie zgodnie z zasadą proporcji przenosimy „y” z mianownika lewej strony na górę prawej strony:

A teraz przypomnijmy sobie, o jakiej funkcji „gracza” mówiliśmy podczas różniczkowania? Spójrzmy na warunek:

Ostatnia odpowiedź:

Przykład 12

Znajdź pochodną funkcji

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. Przykładowy projekt przykładu tego typu znajduje się na końcu lekcji.

Stosując pochodną logarytmiczną udało się rozwiązać dowolny z przykładów nr 4-7, inną rzeczą jest to, że funkcje tam są prostsze i być może użycie pochodnej logarytmicznej nie jest zbyt uzasadnione.

Pochodna funkcji potęgowo-wykładniczej

Nie rozważaliśmy jeszcze tej funkcji. Funkcja potęgowo-wykładnicza to funkcja, dla której zarówno stopień, jak i podstawa zależą od „x”. Klasyczny przykład, który zostanie ci podany w dowolnym podręczniku lub wykładzie:

Jak znaleźć pochodną funkcji potęgowo-wykładniczej?

Należy zastosować omówioną właśnie technikę – pochodną logarytmiczną. Zawieszamy logarytmy po obu stronach:

Z reguły po prawej stronie stopień jest pobierany spod logarytmu:

W efekcie po prawej stronie mamy iloczyn dwóch funkcji, które będziemy różniczkować według wzoru standardowego .

Znajdujemy pochodną, w tym celu obcinamy obydwie części kreskami:

Dalsze działania są proste:

Wreszcie:

Jeśli jakakolwiek konwersja nie jest całkowicie jasna, prosimy o ponowne dokładne przeczytanie wyjaśnień do Przykładu nr 11.

W zadania praktyczne Funkcja potęgowo-wykładnicza zawsze będzie bardziej złożona niż przykład omawiany na wykładzie.

Przykład 13

Znajdź pochodną funkcji

Używamy pochodnej logarytmicznej.

Po prawej stronie mamy stałą i iloczyn dwóch czynników - „x” i „logarytm logarytmu x” (kolejny logarytm jest zagnieżdżony pod logarytmem). Różniczkując, jak pamiętamy, lepiej od razu usunąć stałą ze znaku pochodnej, aby nie przeszkadzała; i oczywiście stosujemy znaną zasadę :