Na tej lekcji zapoznamy się ze wzorami na kwadrat sumy i kwadrat różnicy oraz wyprowadzimy je. Udowodnijmy wzór na kwadrat sumy geometrycznie. Ponadto za pomocą tych wzorów rozwiążemy wiele różnych przykładów.
Formułowanie tematu lekcji
Rozważmy wzór na kwadrat sumy:
Wyprowadzenie i dowód wzoru na sumę kwadratową
Stworzyliśmy więc wzór na kwadrat sumy:
Słowo-waga-ale ten wzór jest wyrażony w ten sposób: kwadrat sumy jest równy kwadratowi pierwszej liczby plus dwukrotność pro-iz-ve- dzieląc pierwszą liczbę przez drugą plus kwadrat drugiej liczby .
Ta forma jest łatwa do przedstawienia geo-met-ri-che-ski.
Rozważmy kwadrat ze setką:
Powierzchnia kwadratowa.
Z drugiej strony ten sam kwadrat można przedstawić inaczej, dzieląc go na a i b (ryc. 1).
Ryż. 1. Kwadrat
Następnie obszar kwadratu można przedstawić jako sumę obszarów:
Ponieważ były to te same kwadraty, ich pola są równe, co oznacza:
Zatem robimy-ka-za-li geo-met-ri-che-ski for-mu-lu kwadrat-ra-ta suma.
Rozwiązywanie przykładów z wykorzystaniem wzoru na kwadrat sumy
Rozważ przykłady:
Przykład 1:
Komentarz: Przykład rozwiązano za pomocą wzoru na kwadrat sumy.
Przykład 2:
Przykład 3:
Wyprowadzenie wzoru na kwadrat różnicy
Ty-my-my-tworzymy-mu-lu-kwadrat-ta-różnice:
Stworzyliśmy więc różnicę quad-ra-ta:
Słowo-waga - ale ten wzór jest wyrażony w ten sposób: kwadrat różnicy jest równy kwadratowi pierwszej liczby minus dwukrotność pro- od pierwszej liczby do drugiej plus kwadrat drugiej liczby.
Rozwiązywanie przykładów z wykorzystaniem wzoru na różnicę kwadratową
Rozważ przykłady:
Przykład 4:
Przykład 5:
Przykład 6:
Wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy można stosować zarówno od lewej do prawej, jak i od prawej do lewej. Używając od lewej do prawej, będą to wzory inteligencji skróconej, stosuje się je przy numerowaniu i przygotowywaniu przykładów. A przy użyciu od prawej do lewej formuły są podzielone na wielokrotności.
Spójrzmy na kilka przykładów, w których trzeba podzielić dany wielomian na wielokrotności, korzystając z formy - kwadratu sumy i kwadratu różnicy. Aby to zrobić, musisz bardzo uważnie przyjrzeć się wielomianowi i określić, jak dokładnie należy go podzielić.
Rozwiązywanie przykładów faktoryzacji wielomianów
Przykład 7:
Komentarz: Aby rozłożyć wyraz wielomianowy na wielokrotności, należy określić, co jest reprezentowane w danym wyrażeniu. Zatem widzimy kwadrat i kwadrat jako jedno. Teraz musisz znaleźć podwójny produkt - to jest . Tak więc są tam wszystkie niezbędne elementy, wystarczy określić, czy jest to kwadrat sumy, czy różnicy. Przed podwojonym iloczynem znajduje się znak plus, co oznacza, że mamy kwadrat sumy.
Przykład 8:
Przykład 9:
Komentarz: aby rozwiązać ten przykład, musisz opuścić minus w nawiasach, aby zobaczyć potrzebny nam formularz.
Rozwiązywanie różnych typowych problemów za pomocą wzorów na sumę kwadratową i różnicę
Przejdźmy do rozwiązania równania:
Przykład 10:
Komentarz: aby rozwiązać to równanie, należy uprościć lewą stronę, korzystając ze wzoru na różnicę między kwadratami i różnicami kwadratów, a następnie wprowadzić podobne elementy. Następnie przenieś wszystkie niewiadome na lewą stronę, a wyraz wolny na prawą i rozwiąż elementarne równanie liniowe.
Przykład 11:
Oblicz: .
Komentarz: aby rozwiązać ten przykład, należy skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów i kwadratu sumy, a następnie ukraść ułamek.
Przykład 12:
Aby udowodnić równość:
Podziel na wielokrotności:
Z każdej wielokrotności minus jeden w nawiasach:
Osiągnęliśmy równość (a - b)2 = (b - a)2.
To równanie jest bardzo przydatne przy upraszczaniu równań. Spójrzmy na przykład.
Przykład 13:
Podziel na wiele: .
Przykład 14:
Pod warunkiem, że kwadrat całej liczby nieparzystej zmniejszony o jeden zostanie podzielony przez osiem.
Wyobrażamy sobie liczbę swobodnie nieparzystą jako , a jej kwadrat odpowiednio jako . Napiszmy zgodnie z następującymi warunkami:
Uprośćmy wynikowe wyrażenie:
Aby udowodnić, że otrzymana wartość jest wielokrotnością ośmiu, musimy udowodnić, że jest ona podzielna przez 2 i 4. Jest oczywiste, że jesteś wielokrotnością tego, ponieważ ma współczynnik 4. Dlatego musimy udowodnić to -lit-xia na 2.
Zapis to produkcja dwóch kolejnych liczb i zawsze jest to wielokrotność dwóch, ponieważ z dwóch kolejnych liczb wszystkich liczb jedna będzie zawsze parzysta, a druga odpowiednio nieparzysta, oraz konwersja liczby parzystej na nieparzysty Wielokrotność dwóch oznacza wielokrotność ośmiu. Zrozumieliśmy więc, że kwadrat całej liczby nieparzystej zmniejszony o jeden dzieli się przez osiem.
Wnioski z lekcji
Wniosek: podczas tej lekcji stworzyliśmy wzory na kwadrat sumy i kwadrat różnicy oraz nauczyliśmy się rozwiązywać najróżniejsze zadania związane z tymi wzorami.
W tej lekcji przypomnimy sobie skrócone wzory na mnożenie, których nauczyliśmy się wcześniej, a mianowicie kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Wyprowadźmy wzór na różnicę kwadratów i rozwiążmy wiele różnych typowych problemów za pomocą tego wzoru. Dodatkowo rozwiążemy problemy polegające na skomplikowanym zastosowaniu kilku formuł.
Sformułowanie tematu i celu lekcji oraz przypomnienie materiału z poprzedniej lekcji
Przypomnijmy, że na poprzedniej lekcji przyglądaliśmy się wzorom na kwadrat sumy i kwadrat różnicy. Zapisujemy je:
Wyprowadzenie wzoru na różnicę kwadratową
You-ve-dem for-mu-lu inny-no-sti quad-ra-tov. Możesz pomnożyć dwa wyrazy zgodnie z regułą:
Sformułowanie tego formularza wygląda następująco: różnica w kwadratach dwóch wartości jest równa iloczynowi sumy tych wartości ra-zhe-niy na ich różnicy.
Nazywamy to różnicą kwadratów.
Nazywamy kwadrat inaczej, nie powinniśmy mylić tych dwóch wyrażeń.
Przykłady bezpośredniego użycia wzoru i sformułowania błędu standardowego
Rozważenie zastosowania formuł w konkretnych zadaniach. Zacznijmy od zadań dotyczących bezpośredniego zastosowania formuły.
Przykład 1: 
.
Weźmy to za , za , powiedzmy:
.
Piszemy zgodnie z formą:
Wróć do oryginalnych zmian:
Standardowy błąd:
według mnie w nawiasie ze znakiem plus słabe miejsca otrzymujemy:
.
Często przy takim pi-si stawiają, z którego kwadratu należy honorować:
Rozwiązywanie przykładów bezpośredniego zastosowania wzoru
Przykład 2:
Komentarz: jeśli zależy Ci na robocie, możesz, analogicznie do poprzedniego przykładu, zastąpić jeden ze swoich znaków na a, a drugi na b, aby łatwiej było zobaczyć żądaną formę.
Przykład 3:
Komentarz: w tym przykładzie powinieneś zachować ostrożność i nie popełnić tego samego błędu, który opisano powyżej. Aby to zrobić, wygodnie jest zmienić słabe miejsca w pierwszym nawiasie.
Wróćmy do odwrotnego zastosowania formuły - podziału na wiele.
Przykład 4:
Komentarz: przykład rozwiązano na podstawie definicji różnicy kwadratów. Musisz tylko określić kwadrat tego, jak pojawiają się pierwszy i drugi wyraz.
Przykład 5:
Przykład 6:
Komentarz: w tym przykładzie musisz przestudiować formularz kilka razy. Może uda się otrzymać standardową postać wielomianu z wyniku otrzymanego na końcu długiego wzoru, wtedy trzeba spienić, ale ponownie docisnąć nawiasy do siebie i złożyć je do najprostszej formy.
Przykłady złożonego zastosowania kilku formuł
Kolejnym rodzajem problemu jest zastosowanie kilku formuł typu com-bi-ni-ro-van.
Przykład 7 – uproszczenie:
Komentarz: w tym przykładzie trzeba użyć dwóch wzorów: różnych kwadratów i kwadratu różnych STI, aby w najlepszy możliwy sposób uzyskać podobne pręty.
Przykład 8:
Rozwiązywanie równań i problemów obliczeniowych
Przejdźmy do rozwiązania równania.
Przykład 9:
Sprawdzamy dla Ciebie liczby.
Przykład 10:
Przykład 11:
Wnioski z lekcji i praca domowa
Wniosek: podczas tej lekcji sformułowaliśmy różne typy quad-ra-tov i rozwiązaliśmy wiele różnych przykładów, a mianowicie równanie -no-niya, liczby-ty dla-da-chi, for-da-nia do bezpośredniego i odwrotnego użycia ciebie- ve-den- no form-mu-ly i inne. Ponadto rozwiązaliśmy kilka problemów związanych ze złożonym zastosowaniem kilku formuł.
W tej lekcji będziemy kontynuować naukę skróconych wzorów na mnożenie, a mianowicie przyjrzymy się różnicom i sumie wzorów kostek. Ponadto za pomocą tych wzorów rozwiążemy różne typowe problemy.
Wyprowadzenie wzoru na różnicę sześcianów
Studiując formuły krótkotrwałej sprytu, przestudiowaliśmy już:
Kwadrat sumy i różnicy;
Różnica kwadrat-ra-tov.
Będziesz formułować różne kostki.
Naszym celem jest pokazanie, że po otwarciu nawiasów po prawej stronie i wprowadzeniu podobnych słabych punktów, wykonamy -dem in re-zul-ta-te po lewej stronie.
Nazywa się to niepełnym kwadratem sumy, ponieważ przed iloczynem you-ra-zhe-niy nie ma dwóch.
Wyprowadzenie wzoru na sumę kostek
Definicja
Różnica między sześcianami dwóch wyrażeń jest iloczynem różnicy między tymi wyrażeniami a niepełnym kwadratem ich sumy.
Masz wzór na sumę sześcianów.
Jesteś pełen sprytnych mnożeń terminów:
co było do okazania
Nazywa się to niepełną różnicą kwadratową, ponieważ przed iloczynem nie ma dwóch - nie, jesteś-taki sam.
Problemy z upraszczaniem wyrażeń
Definicja
Suma kostek dwóch wyrażeń jest iloczynem sumy tych wyrażeń przez niepełny kwadrat ich różnic.
Przykład 1 – dla uproszczenia obliczeń:
Niech i , mamy:
To jest badanie formy-mu-la - różnorodności kostek:
Przykład 2 – dla uproszczenia obliczeń:
Niech i , mamy:
To jest badanie wzoru - sumy kostek.
Służy do upraszczania obliczeń, a także rozkładu wielomianów na czynniki, szybkie mnożenie wielomiany. Większość skróconych wzorów na mnożenie można uzyskać z dwumianu Newtona - wkrótce to zobaczysz.
Wzory na kwadraty częściej używane w obliczeniach. Zaczyna się je studiować program nauczania Począwszy od siódmej klasy aż do końca nauki, uczniowie powinni znać na pamięć wzory na kwadraty i sześciany.
Wzory na kostki niezbyt skomplikowane i trzeba je znać, redukując wielomiany do postaci standardowej, aby uprościć podnoszenie sumy lub różnicy zmiennej i liczby do sześcianu.
Wzory zaznaczone na czerwono uzyskano z poprzednich, grupując podobne terminy.
Wzory na czwarty i piąty stopień V kurs szkolny Niewielu osobom uzna to za przydatne, ale w nauce wyższej matematyki, gdzie trzeba obliczać współczynniki potęg, pojawiają się problemy.
Wzory na stopień n są zapisywane poprzez współczynniki dwumianowe przy użyciu następujących silni 
Przykłady stosowania skróconych wzorów na mnożenie
Przykład 1. Oblicz 51^2.
Rozwiązanie. Jeśli masz kalkulator, znajdziesz go bez problemu.
Żartowałem - z kalkulatorem każdy jest mądry, bez niego... (nie rozmawiajmy o smutnych rzeczach).
Bez kalkulatora i znając powyższe zasady, obliczamy kwadrat liczby korzystając z reguły
Przykład 2. Znajdź 99^2.
Rozwiązanie. Zastosujmy drugą formułę
Przykład 3: Podnieś wyrażenie do kwadratu
(x+y-3).
Rozwiązanie. W myślach uważamy, że suma pierwszych dwóch wyrazów jest jednym wyrazem i korzystając z drugiego wzoru na skrócone mnożenie, mamy
Przykład 4. Znajdź różnicę kwadratów
11^2-9^2.
Rozwiązanie. Ponieważ liczby są małe, możesz po prostu zastąpić wartości kwadratów
Ale nasz cel jest zupełnie inny - nauczyć się używać skróconych wzorów mnożenia w celu uproszczenia obliczeń. W tym przykładzie zastosujemy trzecią formułę
Przykład 5. Znajdź różnicę kwadratów
17^2-3^2
.
Rozwiązanie. W tym przykładzie będziesz już chciał przestudiować zasady ograniczania obliczeń do jednej linii
Jak widać, nie zrobiliśmy nic zaskakującego.
Przykład 6: Uprość wyrażenie
(x-y)^2-(x+y)^2.
Rozwiązanie. Możesz rozłożyć kwadraty i później pogrupować podobne terminy. Można jednak bezpośrednio zastosować różnicę kwadratów 
Proste i bez długich rozwiązań.
Przykład 7. Kostka wielomianu
x^3-4.
Rozwiązanie . Zastosujmy skróconą formułę mnożenia 5 
Przykład 8. Zapisz jako różnicę kwadratów lub ich sumę
a) x^2-8x+7
b) x^2+4x+29
Rozwiązanie. a) Zmień układ terminów
b) Uprość w oparciu o poprzednie argumenty 
Przykład 9. Rozwiń ułamek racjonalny
Rozwiązanie. Zastosujmy wzór na różnicę kwadratów 
Utwórzmy układ równań w celu wyznaczenia stałych
Dodajmy drugie do potrojonego pierwszego równania. Podstawiamy znalezioną wartość do pierwszego równania 
Rozkład w końcu przybierze formę 
Rozszerzanie ułamka wymiernego jest często konieczne przed całkowaniem, aby zmniejszyć potęgę mianownika.
Przykład 10. Korzystając z dwumianu Newtona, napisz
wyrażenie (x-a)^7.
Rozwiązanie. Prawdopodobnie już wiesz, czym jest dwumian Newtona. Jeśli nie, poniżej znajdują się współczynniki dwumianu
Tworzy się je w następujący sposób: jednostki idą wzdłuż krawędzi, współczynniki między nimi w dolnej linii powstają poprzez zsumowanie sąsiednich górnych. Jeśli w pewnym stopniu szukamy różnicy, wówczas znaki w harmonogramie zmieniają się od plusa do minusa. Zatem dla siódmego rzędu otrzymujemy następujący układ
Przyjrzyj się także uważnie, jak zmieniają się wskaźniki - dla pierwszej zmiennej zmniejszają się odpowiednio o jeden w każdym kolejnym okresie, dla drugiej zwiększają się o jeden. W sumie wskaźniki muszą być zawsze równe stopniowi rozkładu (=7).
Myślę, że w oparciu o powyższy materiał będziesz w stanie rozwiązać problemy za pomocą dwumianu Newtona. Poznaj skrócone wzory na mnożenie i stosuj je wszędzie tam, gdzie mogą uprościć obliczenia i zaoszczędzić czas na zadaniach.
Wśród różnych wyrażeń rozważanych w algebrze ważne miejsce zajmują sumy jednomianów. Oto przykłady takich wyrażeń:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Suma jednomianów nazywana jest wielomianem. Wyrazy wielomianu nazywane są wyrazami wielomianu. Jednomiany są również klasyfikowane jako wielomiany, uznając jednomian za wielomian składający się z jednego elementu.
Na przykład wielomian
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
można uprościć.
Przedstawmy wszystkie terminy w postaci jednomianów postaci standardowej:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Przedstawmy podobne wyrazy w otrzymanym wielomianie:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Rezultatem jest wielomian, którego wszystkie terminy są jednomianami postaci standardowej, a wśród nich nie ma podobnych. Takie wielomiany nazywane są wielomiany postaci standardowej.
Za stopień wielomianu w standardowej formie przejmują najwyższe uprawnienia swoich członków. Zatem dwumian \(12a^2b - 7b\) ma trzeci stopień, a trójmian \(2b^2 -7b + 6\) ma drugi stopień.
Zazwyczaj wyrazy wielomianów w postaci standardowej zawierające jedną zmienną są ułożone w malejącej kolejności wykładników. Na przykład:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Sumę kilku wielomianów można przekształcić (uprościć) do wielomianu w postaci standardowej.
Czasami wyrazy wielomianu należy podzielić na grupy, umieszczając każdą grupę w nawiasach. Ponieważ nawiasy zamykające są odwrotną transformacją nawiasów otwierających, łatwo je sformułować zasady otwierania nawiasów:
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „+”, wówczas określenia ujęte w nawiasy są pisane tymi samymi znakami.
Jeżeli przed nawiasem zostanie umieszczony znak „-”, wówczas określenia zawarte w nawiasie zapisuje się znakami przeciwnymi.
Transformacja (uproszczenie) iloczynu jednomianu i wielomianu
Korzystając z rozdzielności mnożenia, możesz przekształcić (uprościć) iloczyn jednomianu i wielomianu w wielomian. Na przykład:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Iloczyn jednomianu i wielomianu jest identycznie równy sumie iloczynów tego jednomianu i każdego składnika wielomianu.
Wynik ten jest zwykle formułowany jako reguła.
Aby pomnożyć jednomian przez wielomian, należy pomnożyć ten jednomian przez każdy wyraz wielomianu.
Korzystaliśmy już z tej reguły kilka razy, aby pomnożyć przez sumę.
Iloczyn wielomianów. Transformacja (uproszczenie) iloczynu dwóch wielomianów
Ogólnie rzecz biorąc, iloczyn dwóch wielomianów jest identycznie równy sumie iloczynu każdego wyrazu jednego wielomianu i każdego wyrazu drugiego.
Zwykle stosowana jest następująca reguła.
Aby pomnożyć wielomian przez wielomian, należy pomnożyć każdy wyraz jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego i dodać otrzymane iloczyny.
Skrócone wzory na mnożenie. Suma kwadratów, różnice i różnica kwadratów
Z niektórymi wyrażeniami w przekształceniach algebraicznych musisz mieć do czynienia częściej niż z innymi. Być może najczęstszymi wyrażeniami są \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) i \(a^2 - b^2 \), czyli kwadrat sumy, kwadrat różnica i różnica kwadratów. Zauważyłeś, że nazwy tych wyrażeń wydają się niekompletne, np. \((a + b)^2 \) to oczywiście nie tylko kwadrat sumy, ale kwadrat sumy aib . Jednak kwadrat sumy aib nie występuje zbyt często, z reguły zamiast liter aib zawiera różne, czasem dość skomplikowane, wyrażenia.
Wyrażenia \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) można łatwo przekształcić (uprościć) na wielomiany postaci standardowej; w rzeczywistości napotkałeś już to zadanie przy mnożeniu wielomianów:
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Warto zapamiętać otrzymane tożsamości i zastosować je bez pośrednich obliczeń. Pomagają w tym krótkie sformułowania słowne.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kwadrat sumy jest równy sumie kwadratów i iloczynu podwójnego.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kwadrat różnicy jest równy sumie kwadratów bez iloczynu podwójnego.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - różnica kwadratów jest równa iloczynowi różnicy i sumy.
Te trzy tożsamości pozwalają na zamianę jego części lewych na prawe w przekształceniach i odwrotnie - części prawych na lewe. Najtrudniej jest zobaczyć odpowiednie wyrażenia i zrozumieć, w jaki sposób zmienne a i b są w nich zastępowane. Spójrzmy na kilka przykładów użycia skróconych wzorów mnożenia.
Wyrażenia matematyczne (wzory) skrócone mnożenie(kwadrat sumy i różnicy, kostka sumy i różnicy, różnica kwadratów, suma i różnica kostek) są niezwykle niezastąpione w wielu dziedzinach nauki ścisłe. Te 7 symbolicznych zapisów jest nieocenionych przy upraszczaniu wyrażeń, rozwiązywaniu równań, mnożeniu wielomianów, zmniejszaniu ułamków, rozwiązywaniu całek i wielu innych. Oznacza to, że bardzo przydatne będzie zrozumienie, w jaki sposób je uzyskuje się, dlaczego są potrzebne i, co najważniejsze, jak je zapamiętać, a następnie zastosować. Następnie zastosowanie skrócone wzory na mnożenie w praktyce najtrudniej będzie zobaczyć, co jest X i co masz. Oczywiście nie ma żadnych ograniczeń dla A I B nie, co oznacza, że może to być dowolne wyrażenie numeryczne lub alfabetyczne.
Oto one:
Pierwszy x 2 - o 2 = (x - y) (x+y).Liczyć różnica kwadratów dwa wyrażenia, należy pomnożyć różnice między tymi wyrażeniami przez ich sumy.
Drugi (x + y) 2 = x 2 + 2xy + y2. Znaleźć kwadrat sumy dwa wyrażenia, należy dodać do kwadratu pierwszego wyrażenia podwójny iloczyn pierwszego wyrażenia i drugiego plus kwadrat drugiego wyrażenia.
Trzeci (x - y) 2 = x 2 - 2xy + y2. Liczyć kwadratowa różnica dwóch wyrażeń, od kwadratu pierwszego wyrażenia należy odjąć dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia przez drugie plus kwadrat drugiego wyrażenia.
Czwarty (x + y) 3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + o 3. Liczyć sześcian sumy dwóch wyrażeń, należy dodać do sześcianu pierwszego wyrażenia potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.
Piąty (x - y) 3 = x 3 - 3x 2 y + 3xy 2 - o 3. Liczyć kostka różnicowa dwóch wyrażeń, należy od sześcianu pierwszego wyrażenia odjąć potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia przez drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia przez kwadrat drugiego minus sześcian drugiego wyrażenia.
Szósty x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 - xy + y 2) Liczyć suma kostek dwa wyrażenia, należy pomnożyć sumy pierwszego i drugiego wyrażenia przez częściowy kwadrat różnice między tymi wyrażeniami.
Siódmy x 3 - o 3 = (x - y) (x 2 + xy + y 2) Aby wykonać obliczenia różnice w kostkach dwa wyrażenia, należy pomnożyć różnicę pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
Nietrudno pamiętać, że wszystkie wzory służą do wykonywania obliczeń w przeciwnym kierunku (od prawej do lewej).
Istnienie tych wzorów było znane już około 4 tysiące lat temu. Były szeroko stosowane przez mieszkańców starożytnego Babilonu i Egiptu. Ale w tamtych czasach wyrażano je werbalnie lub geometrycznie i nie używano liter w obliczeniach.
Uporządkujmy to dowód sumy kwadratowej(a + b) 2 = za 2 +2ab +b 2.
Najpierw to wzór matematyczny Udowodnił to starożytny grecki naukowiec Euklides, który pracował w Aleksandrii w III wieku p.n.e., aby udowodnić wzór, zastosował metodę geometryczną, ponieważ naukowcy starożytnej Hellady nie używali liter do oznaczania liczb. Wszędzie używano nie „a 2”, ale „kwadratu na odcinku a”, nie „ab”, ale „prostokąta zawartego pomiędzy odcinkami a i b”.
Skrócone wzory na mnożenie.
Badanie skróconych wzorów mnożenia: kwadratu sumy i kwadratu różnicy dwóch wyrażeń; różnica kwadratów dwóch wyrażeń; sześcian sumy i sześcian różnicy dwóch wyrażeń; sumy i różnice kostek dwóch wyrażeń.
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Aby uprościć wyrażenia, rozłożyć wielomiany i sprowadzić wielomiany do postaci standardowej, stosuje się skrócone wzory na mnożenie. Skrócone wzory na mnożenie należy znać na pamięć.
Niech a, b R. Następnie:
1. Kwadrat sumy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia plus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
2. Kwadrat różnicy dwóch wyrażeń jest równy kwadrat pierwszego wyrażenia minus dwukrotność iloczynu pierwszego wyrażenia i drugi plus kwadrat drugiego wyrażenia.
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
3. Różnica kwadratów dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy tych wyrażeń i ich sumy.
za 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Sześcian sumy dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia plus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadratu drugiego plus sześcian drugiego wyrażenia.
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Kostka różnicowa dwa wyrażenia są równe sześcianowi pierwszego wyrażenia minus potrójny iloczyn kwadratu pierwszego wyrażenia i drugie plus potrójny iloczyn pierwszego wyrażenia i kwadrat drugiego wyrażenia minus sześcian drugiego wyrażenia.
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Suma kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi sumy pierwszego i drugiego wyrażenia oraz niepełnego kwadratu różnicy tych wyrażeń.
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
7. Różnica kostek dwa wyrażenia są równe iloczynowi różnicy pierwszego i drugiego wyrażenia przez niepełny kwadrat sumy tych wyrażeń.
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
Zastosowanie skróconych wzorów na mnożenie przy rozwiązywaniu przykładów.
Przykład 1.
Oblicz
a) Korzystając ze wzoru na kwadrat sumy dwóch wyrażeń, mamy
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Korzystając ze wzoru na kwadrat różnicy dwóch wyrażeń, otrzymujemy
98 2 = (100 – 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 – 400 + 4 = 9604
Przykład 2.
Oblicz
Korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń, otrzymujemy
Przykład 3.
Uprość wyrażenie
(x - y) 2 + (x + y) 2
Skorzystajmy ze wzorów na kwadrat sumy i kwadrat różnicy dwóch wyrażeń
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
Skrócone wzory na mnożenie w jednej tabeli:
(a + b) 2 = za 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = za 2 - 2ab + b 2
za 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = za 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = za 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
za 3 + b 3 = (a + b) (za 2 - ab + b 2)
za 3 - b 3 = (a - b) (za 2 + ab + b 2)
