Suma (suma logiczna) N zdarzeń nazywana jest zdarzeniem , co obserwuje się za każdym razem, gdy występuje przynajmniej jeden z wydarzenia . W szczególności połączenie zdarzeń A i B nazywa się wydarzeniem A+ B(niektórzy autorzy
), co obserwuje się, gdy pochodziLub A,Lub BLub oba te wydarzenia w tym samym czasie(ryc. 7). Znakiem przecięcia w tekstowych sformułowaniach wydarzeń jest koniunkcja "Lub".

Ryż. 7. Łączenie zdarzeń A+B

Należy wziąć pod uwagę, że prawdopodobieństwo zdarzenia P(A) odpowiada lewej stronie zacienionej na ryc. 7 rysunku i jego środkowa część oznaczona jako
. Natomiast wyniki odpowiadające zdarzeniu B znajdują się zarówno po prawej stronie zacieniowanej figury, jak i po zaznaczeniu
Środkowa część. Zatem przy dodawaniu I obszar
faktycznie zostanie uwzględniony w tej sumie dwukrotnie, a dokładne wyrażenie pola zacieniowanej figury ma postać
.

Więc, prawdopodobieństwo zjednoczenia dwa zdarzenia A i B są równe

W przypadku większej liczby zdarzeń ogólne wyrażenie obliczeniowe staje się niezwykle uciążliwe ze względu na konieczność uwzględnienia wielu opcji wzajemnego nakładania się obszarów. Jeżeli jednak łączone wydarzenia są niekompatybilne (patrz s. 33), wówczas wzajemne nakładanie się obszarów jest niemożliwe, a strefę korzystną wyznacza się bezpośrednio poprzez sumę obszarów odpowiadających poszczególnym wydarzeniom.

Prawdopodobieństwo wspomnienia Jakikolwiek numer niekompatybilny wydarzenia jest określona przez wyrażenie

Wniosek 1: Kompletny zespół zdarzeń składa się ze zdarzeń niezgodnych, z których jedno musi koniecznie zostać zrealizowane w doświadczeniu. W rezultacie, jeśli wydarzenia …
,stworzyć kompletną grupę, to dla nich

Zatem,

Zkonsekwencja 3 Weźmy pod uwagę, że przeciwieństwo stwierdzenia „co najmniej jedno ze zdarzeń nastąpi …
" brzmi stwierdzenie "żadne z wydarzeń …
nie jest realizowany.” Innymi słowy, „wydarzenia będą obserwowane w doświadczeniu , I , i i ”, co już reprezentuje przecięcie wydarzeń przeciwnych do pierwotnego zestawu. Stąd, biorąc pod uwagę (2.0), otrzymujemy kombinację dowolnej liczby zdarzeń

Wnioski 2 i 3 pokazują, że w przypadkach, gdy bezpośrednie obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia jest problematyczne, przydatne jest oszacowanie złożoności badania zdarzenia przeciwnego. W końcu znając znaczenie
, uzyskaj wymaganą wartość z (2.0)
nie sprawia już żadnych trudności.

    1. Przykłady obliczeń prawdopodobieństw zdarzeń złożonych

Przykład 1 : Dwóch studentów (Iwanow i Pietrow) razem Istanął w obronie Praca laboratoryjna, poznawszy pierwsze 8 stożkówpytania trollingowe do tej pracy z 10 dostępnych. Sprawdzanie gotowości, s. 10Nauczyciel pyta wszystkich tylko o jednon losowo wybrane pytanie. Określ prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

A= „Iwanow będzie bronił swojej pracy laboratoryjnej”;

B= „Pietrow będzie bronił swojej pracy laboratoryjnej”;

C= „oba będą bronić pracy laboratoryjnej”;

D= „przynajmniej jeden ze studentów będzie bronił pracy”;

mi= „tylko jeden z uczniów będzie bronił pracy”;

F= „żaden z nich nie ochroni pracy.”

Rozwiązanie. Należy pamiętać, że zdolność do obrony pracy jak Iwanow, ta także Petrova oddzielnie zależy jedynie od liczby opanowanych pytańNa. (Uwaga: w w tym przykładzie wartości uzyskanych ułamków nie zostały celowo zmniejszone, aby uprościć porównanie wyników obliczeń.)

WydarzenieCmożna sformułować inaczej: „zarówno Iwanow, jak i Pietrow będą chronić dzieło”, tj. stanie sięI wydarzenieA, I wydarzenieB. Zatem wydarzenieCjest splotem wydarzeńAIBi zgodnie z (2.0)

gdzie pojawia się współczynnik „7/9” ze względu na fakt wystąpienia zdarzeniaAoznacza, że ​​Iwanow otrzymał „udane” pytanie, co oznacza, że ​​Pietrow ma teraz tylko 7 „dobrych” pytań z pozostałych 9 pytań.

WydarzenieDsugeruje, że „praca będzie chronićLub Iwanow,Lub Pietrow,Lub oboje są razem”, tj. przynajmniej jedno z wydarzeń nastąpiAIB. Zatem wydarzenieDjest splotem wydarzeńAIBi zgodnie z (2.0)

co spełnia oczekiwania, ponieważ Nawet dla każdego ucznia indywidualnie szanse na sukces są dość wysokie.

Zzdarzenie E oznacza, że ​​„albo Ivano ochroni posadęw i Pietrow „sspada"Lub Iwanow będzie miał kłopoty„Profesjonaliści i Petrov radzą sobie z obroną”. Obie alternatywy wykluczają się wzajemnie (nie są kompatybilne), tzw

Na koniec oświadczenieFbędzie sprawiedliwe tylko wtedy, gdy „I Iwanow,I Pietrow z ochronąNie sobie poradzi.” Więc,

To kończy rozwiązanie problemu, ale warto zwrócić uwagę na następujące punkty:

1. Każde z otrzymanych prawdopodobieństw spełnia warunek (1,0), rzoch, jeśli za
I
dostać konfliktprzytulny z(1,0) jest w zasadzie niemożliwe, zatem dla
Spróbuj iużycie (2.0) zamiast (2.0) doprowadziłoby do wyraźnie nieprawidłowego działaniaznaczenie projektu
. Należy pamiętać, że taka wartość prawdopodobieństwa jest zasadniczo niemożliwa, a jeśli otrzymasz tak paradoksalny wynik, natychmiast rozpocznij poszukiwania błędu.

2. Znalezione prawdopodobieństwa spełniają zależnościM

.

mijest to całkiem oczekiwane, ponieważ wydarzeniaC, miIFtworzą kompletgrupa i wydarzeniaDIFsą do siebie przeciwne. Rozliczanie tychz jednej strony można zastosować współczynnikivan do ponownego sprawdzenia obliczeń, a w innej sytuacji może posłużyć jako podstawa do alternatywnego sposobu rozwiązania problemu.

P notatka : Nie zaniedbuj pisaniaprecyzyjne sformułowanie zdarzenia, w przeciwnym razie w trakcie rozwiązywania problemu możesz mimowolnie przejść na inną interpretację znaczenia tego zdarzenia, co doprowadzi do błędów w rozumowaniu.

Przykład 2 : W dużej partii mikroukładów, które nie przeszły końcowej kontroli jakości, 30% produktów jest wadliwych.Jeśli wybierzesz losowo dowolne dwa mikroukłady z tej partii, to jaki będzieprawdopodobieństwo, że wśród nich:

A= „oba ważne”;

B= „dokładnie 1 użyteczny mikroukład”;

C= „oba wadliwe”.

Przeanalizujmy następującą wersję rozumowania (uwaga, zawiera błąd):

Ponieważ mówimy o dużej partii produktów, usunięcie z niej kilku mikroukładów praktycznie nie wpływa na stosunek liczby produktów użytecznych do wadliwych, co oznacza, że ​​wybierając kilka mikroukładów z tej partii kilka razy z rzędu, można założyć, że w każdym przypadku prawdopodobieństwa pozostają niezmienione

= P(wybrano wadliwy produkt) = 0,3 i

= P(wybrany odpowiedni produkt) = 0,7.

Aby zdarzenie miało miejsceAto konieczne abyI najpierw,I po raz drugi wybrano odpowiedni produkt i dlatego (biorąc pod uwagę niezależność od siebie powodzenia wyboru pierwszego i drugiego mikroukładu) na przecięciu zdarzeń mamy

Podobnie, aby zaszło zdarzenie C, oba produkty muszą być wadliwe, a aby zaistnieć B, należy wybrać jeden produkt dobry i raz produkt wadliwy.

Znak błędu. Xchociaż wszystkie otrzymały powyżej prawdopodobieństwai wyglądają wiarygodnie, gdy analizuje się je razem, jest to łatweProszę to zanotować .Jednak przypadkiA, BICtworzą kompletgrupa zdarzeń, dla których ma zostać wykonana .Sprzeczność ta wskazuje na błąd w rozumowaniu.

Z są błędy. Przedstawmy dwa pomocniczespecjalne wydarzenia:

= „pierwszy mikroukład jest dobry, drugi jest uszkodzony”;

= „pierwszy mikroukład jest uszkodzony, drugi jest dobry”.

Jest jednak oczywiste, że właśnie tę opcję obliczeniową wykorzystano powyżej w celu obliczenia prawdopodobieństwa zdarzeniaB, chociaż wydarzeniaBI nie są uhrównowartość. W rzeczywistości,
, ponieważ sformułowaniewydarzeniaBwymaga, aby wśród mikroukładów znajdowały się dokładniejeden , ale nie do końcaniekoniecznie pierwszy był dobry (a drugi był wadliwy). Dlatego chociaż wydarzenie nie jest zduplikowanym wydarzeniem , ale należy się tego uczyćdziałać niezależnie. Biorąc pod uwagę niezgodność zdarzeń I , prawdopodobieństwo ich sumy logicznej będzie równe

Po wskazanej korekcie obliczeń mamy

co pośrednio potwierdza poprawność znalezionych prawdopodobieństw.

Notatka : Zwróć szczególną uwagę na różnicę w brzmieniu zdarzeń takich jak „tylkoPierwszy z wymienionych elementów musi…” i „tylko”.jeden z wymienionych elementówEntov powinien...” Ostatnie wydarzenie wyraźnie szersze i inkluzywneTw swoim składzie pierwszy jako jeden z (prawdopodobnie licznychx) opcje. Alternatywy te (nawet jeśli ich prawdopodobieństwa są zbieżne) należy rozpatrywać niezależnie od siebie.

P notatka : Słowo „procent” pochodzi od „za cent", tj.„na sto”. Przedstawianie częstotliwości i prawdopodobieństw w procentach pozwala operować większymi wartościami, co czasami ułatwia dostrzeżenie wartości „ze słuchu”. Jednak stosowanie mnożenia lub dzielenia przez „100%” w obliczeniach w celu prawidłowej normalizacji jest kłopotliwe i nieskuteczne. W tym względzie nieZachowaj ostrożność podczas używania wartości, o których warto wspomniećwyrażone w procentach, podstaw je do obliczonych wyrażeńw postaci ułamków jednostki (na przykład w obliczeniach zapisuje się 35%.Lubię „0,35”), aby zminimalizować ryzyko błędnej normalizacji wyników.

Przykład 3 : Zestaw rezystorów zawiera jeden rezystor nNominalna wartość 4 kOhm, trzy rezystory 8 kOhm i sześć rezystorówlub o rezystancji 15 kOhm. Trzy losowo wybrane rezystory są połączone ze sobą równolegle. Określ prawdopodobieństwo uzyskania rezystancji końcowej nieprzekraczającej 4 kOhm.

Resz cja. Rezystancja połączenia równoległegohistorie można obliczyć za pomocą wzoru

.

Dzięki temu możesz wprowadzać zdarzenia takie jak

A= „wybrano trzy rezystory 15 kOhm” = „
”;

B= „wdwa rezystory 15 kOhm i jeden z rezystancjąm 8 kOhm” =“
”…

Pełna grupa zdarzeń odpowiadających warunkom problemowym obejmuje również cała linia opcje, a dokładnie te, które mają byćktóre spełniają podane wymagania, aby uzyskać rezystancję nie większą niż 4 kOhm. Jednakże, choć „bezpośrednia” ścieżka rozwiązania, obejmująca obliczenia (i późniejsze sumyChociaż prawidłowe jest określenie prawdopodobieństw charakteryzujących wszystkie te zdarzenia, nie zaleca się postępowania w ten sposób.

Należy pamiętać, że aby uzyskać rezystancję końcową mniejszą niż 4 kOhm dWystarczy, że w zastosowanym zestawie znajdzie się przynajmniej jeden rezystor z rezystancjąJem mniej niż 15 kOhm. Zatem tylko na wszelki wypadekAwymóg zadania nie jest spełniony, tj. wydarzenieAJestnaprzeciwko do badanej osoby. W tym samym czasie,

.

Zatem, .

P ri tagowanie : Obliczanie prawdopodobieństwa jakiegoś zdarzeniaA, nie zapomnij przeanalizować złożoności ustalaniaJestem prawdopodobieństwem zdarzenia odwrotnego do niego. Jeśli diss.Czytać
proste, to właśnie od tego musisz zacząć, rozwiązaneczyli zadania, uzupełniając go poprzez zastosowanie relacji (2 .0).

P przykład 4 : W pudełku sąNbiały,Mczarny ikczerwone kulki. Z pudełka losujemy po jednej kulce.i wróć po każdej ekstrakcji. Określ prawdopodobieństwowydarzeniaA= „biała kulazostanie wyciągnięta przed czarną” .

Resz cja. Rozważmy następujący zestaw zdarzeń

= „bila biała została odzyskana za pierwszym podejściem”;

= „najpierw wyjęto kulę czerwoną, a potem białą”;

= „dwa razy wyjęto kulę czerwoną, a za trzecim razem białą”…

Więc doGdy kule powrócą, następuje sekwencjatyty można formalnie rozciągać w nieskończoność.

Zdarzenia te są niekompatybilne i razem stanowią zbiór sytuacji, w których dane zdarzenie ma miejsceA. Zatem,

Łatwo zauważyć, że warunki zawarte w formie sumypostęp geometryczny z elementem początkowym
i mianownik
. Ale kwotya elementy nieskończonego postępu geometrycznego są równe

.

Zatem, . LCiekawe, że to prawdopodobieństwo (jak wynika z uzyskanychwyrażenie) nie zależy od liczby czerwonych kul w pudełku.

Krótka teoria

Aby ilościowo porównać zdarzenia ze względu na stopień możliwości ich wystąpienia, wprowadza się miarę numeryczną, którą nazywa się prawdopodobieństwem zdarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego to liczba wyrażająca miarę obiektywnej możliwości wystąpienia zdarzenia.

Wielkości określające, jak istotne są obiektywne przesłanki oczekiwania wystąpienia zdarzenia, charakteryzują się prawdopodobieństwem zdarzenia. Należy podkreślić, że prawdopodobieństwo jest wielkością obiektywną, istniejącą niezależnie od znającego i uwarunkowaną całym zespołem warunków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia.

Wyjaśnienia, które podaliśmy dla pojęcia prawdopodobieństwa, takie nie są definicja matematyczna, gdyż nie definiują tego pojęcia ilościowo. Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa zdarzenia losowego, które są szeroko stosowane w rozwiązywaniu konkretnych problemów (klasyczna, geometryczna definicja prawdopodobieństwa, statystyczna itp.).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia sprowadza to pojęcie do bardziej elementarnego pojęcia równie możliwych zdarzeń, które nie podlega już definicji i przyjmuje się, że jest intuicyjnie jasne. Na przykład, jeśli kostka jest jednorodną kostką, to utrata którejkolwiek ze ścian tej sześcianu będzie równie możliwym zdarzeniem.

Niech wiarygodne zdarzenie zostanie podzielone na równie możliwe przypadki, których suma daje zdarzenie. Oznacza to, że przypadki, na które się rozpada, nazywane są sprzyjającymi zdarzeniu, ponieważ pojawienie się jednego z nich zapewnia wystąpienie.

Prawdopodobieństwo zdarzenia będzie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosunkowi liczby korzystnych dla niego przypadków, z ogólnej liczby przypadków jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych, do liczby, tj.

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, należy po rozważeniu różnych wyników testu znaleźć zbiór jednoznacznie możliwych, równie możliwych i niezgodnych przypadków, obliczyć ich całkowitą liczbę n, liczbę przypadków m korzystnych dla danego zdarzenia, a następnie wykonaj obliczenia korzystając z powyższego wzoru.

Prawdopodobieństwo zdarzenia równy stosunkowi nazywa się liczbę wyników doświadczenia sprzyjających zdarzeniu do całkowitej liczby wyników doświadczenia prawdopodobieństwo klasyczne Zdarzenie losowe.

Z definicji wynikają następujące własności prawdopodobieństwa:

Własność 1. Prawdopodobieństwo wiarygodne wydarzenie równy jeden.

Własność 2. Prawdopodobieństwo niemożliwe wydarzenie równy zeru.

Właściwość 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest liczbą dodatnią z zakresu od zera do jeden.

Właściwość 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzących pełną grupę jest równe jeden.

Własność 5. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego określa się w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Liczba przypadków sprzyjających zaistnieniu zdarzenia przeciwnego. Zatem prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia przeciwnego jest równe różnicy między jednością a prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia A:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa zdarzenia jest to, że za jej pomocą można określić prawdopodobieństwo zdarzenia bez uciekania się do doświadczenia, ale w oparciu o logiczne rozumowanie.

Kiedy zostanie spełniony zestaw warunków, na pewno nastąpi pewne zdarzenie, ale zdarzenie niemożliwe na pewno nie nastąpi. Wśród zdarzeń, które mogą, ale nie muszą wystąpić, gdy zostanie stworzony zestaw warunków, wystąpienie niektórych można uznać za uzasadnione, a wystąpienie innych z mniejszym uzasadnieniem. Jeśli na przykład w urnie jest więcej kul białych niż czarnych, to więcej jest powodów, aby mieć nadzieję, że po losowym wylosowaniu z urny pojawi się kula biała, niż że pojawi się kula czarna.

Na następnej stronie omówiono.

Przykład rozwiązania problemu

Przykład 1

W pudełku znajduje się 8 kul białych, 4 czarne i 7 czerwonych. Losujemy 3 kule. Znajdź prawdopodobieństwo następujących zdarzeń: – wylosowano co najmniej 1 kulę czerwoną, – są co najmniej 2 kule tego samego koloru, – są co najmniej 1 kula czerwona i 1 biała.

Rozwiązanie problemu

Całkowitą liczbę wyników testu obliczamy jako liczbę kombinacji 19 (8+4+7) elementów 3:

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia– wylosowano co najmniej 1 kulę czerwoną (1,2 lub 3 kule czerwone)

Wymagane prawdopodobieństwo:

Niech wydarzenie– są co najmniej 2 kule tego samego koloru (2 lub 3 kule białe, 2 lub 3 kule czarne i 2 lub 3 kule czerwone)

Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu:

Wymagane prawdopodobieństwo:

Niech wydarzenie– jest co najmniej jedna kula czerwona i 1 biała

(1 czerwony, 1 biały, 1 czarny lub 1 czerwony, 2 białe lub 2 czerwone, 1 biały)

Liczba wyników sprzyjających zdarzeniu:

Wymagane prawdopodobieństwo:

Odpowiedź: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0,6068

Przykład 2

Dwa rzucone kostka do gry. Znajdź prawdopodobieństwo, że suma punktów wyniesie co najmniej 5.

Rozwiązanie

Niech wydarzenie będzie miało ocenę co najmniej 5

Skorzystajmy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:

Całkowita liczba możliwych wyników testu

Liczba prób faworyzujących interesujące zdarzenie

Na opuszczonej stronie pierwszej kostki może pojawić się jeden punkt, dwa punkty..., może pojawić się sześć punktów. podobnie, przy rzucie drugą kością możliwych jest sześć wyników. Każdy wynik rzutu pierwszą kostką można połączyć z każdym wynikiem drugiej. Zatem łączna liczba możliwych wyników testu elementarnego jest równa liczbie miejsc z powtórzeniami (wybór z rozmieszczeniem 2 elementów z zestawu tomu 6):

Znajdźmy prawdopodobieństwo zdarzenia odwrotnego - suma punktów jest mniejsza niż 5

Następujące kombinacje utraconych punktów będą sprzyjać wydarzeniu:

№ Pierwsza kość 2. kość 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Na cenę duży wpływ ma pilność decyzji (od jednego dnia do kilku godzin). Pomoc online przy egzaminach/testach jest dostępna po wcześniejszym umówieniu się.

Możesz zostawić prośbę bezpośrednio na czacie, po wcześniejszym przesłaniu warunków zadań i poinformowaniu Cię o ramach czasowych potrzebnego rozwiązania. Czas odpowiedzi to kilka minut.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Rozumiem, że każdy chce wiedzieć z wyprzedzeniem, jak zakończy się wydarzenie sportowe, kto wygra, a kto przegra. Dzięki tym informacjom możesz bez obaw obstawiać wydarzenia sportowe. Ale czy jest to w ogóle możliwe, a jeśli tak, to jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Prawdopodobieństwo jest wartością względną, dlatego nie może mówić z pewnością o żadnym zdarzeniu. Wartość ta pozwala na analizę i ocenę konieczności postawienia zakładu na dane zawody. Określanie prawdopodobieństw to cała nauka wymagająca dokładnych badań i zrozumienia.

Współczynnik prawdopodobieństwa w teorii prawdopodobieństwa

W zakładach sportowych istnieje kilka możliwości wyniku zawodów:

  • zwycięstwo pierwszej drużyny;
  • zwycięstwo drugiej drużyny;
  • rysować;
  • całkowity

Każdy wynik konkursu ma swoje własne prawdopodobieństwo i częstotliwość występowania tego zdarzenia, pod warunkiem zachowania początkowych cech. Jak powiedzieliśmy wcześniej, niemożliwe jest dokładne obliczenie prawdopodobieństwa jakiegokolwiek zdarzenia - może się ono pokrywać lub nie. Zatem Twój zakład może albo wygrać, albo przegrać.

Nie można przewidzieć w 100% dokładnego wyniku zawodów, ponieważ na wynik meczu wpływa wiele czynników. Naturalnie bukmacherzy nie znają z góry wyniku meczu i jedynie zakładają jego wynik, podejmując decyzje na podstawie swojego systemu analitycznego i oferując określone kursy na zakłady.

Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia?

Załóżmy, że kursy bukmachera wynoszą 2,1/2 – otrzymamy 50%. Okazuje się, że współczynnik 2 jest równy prawdopodobieństwu 50%. Stosując tę ​​samą zasadę, można uzyskać współczynnik prawdopodobieństwa progu rentowności - 1/prawdopodobieństwo.

Wielu graczy uważa, że ​​po kilku powtarzających się porażkach na pewno dojdzie do zwycięstwa – jest to błędna opinia. Prawdopodobieństwo wygranej zakładu nie zależy od liczby przegranych. Nawet jeśli w grze na monety rzucisz kilka orłów z rzędu, prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki pozostaje takie samo – 50%.

Co to jest prawdopodobieństwo?

Gdy po raz pierwszy spotkałem się z tym terminem, nie zrozumiałem, co to jest. Dlatego postaram się to jasno wytłumaczyć.

Prawdopodobieństwo to szansa, że ​​zdarzenie, którego pragniemy, nastąpi.

Na przykład zdecydowałeś się pójść do domu przyjaciela, pamiętasz wejście, a nawet piętro, na którym mieszka. Ale zapomniałem numeru i lokalizacji mieszkania. A teraz stoisz na klatce schodowej, a przed tobą są drzwi do wyboru.

Jaka jest szansa (prawdopodobieństwo), że jeśli jako pierwszy zadzwonisz do drzwi, Twój znajomy otworzy Ci drzwi? Są tylko mieszkania, a znajomy mieszka tylko za jednym z nich. Z równymi szansami możemy wybrać dowolne drzwi.

Ale jaka jest ta szansa?

Drzwi, właściwe drzwi. Prawdopodobieństwo zgadnięcia po pierwszym dzwonku do drzwi: . Oznacza to, że raz na trzy zgadniesz dokładnie.

Chcemy wiedzieć, dzwoniąc raz, jak często będziemy odgadnąć drzwi? Przyjrzyjmy się wszystkim opcjom:

  1. Nazwałeś 1 drzwi
  2. Nazwałeś 2 drzwi
  3. Nazwałeś 3 drzwi

Przyjrzyjmy się teraz wszystkim opcjom, gdzie może być przyjaciel:

A. Za 1 drzwi
B. Za 2 drzwi
V. Za 3 drzwi

Porównajmy wszystkie opcje w formie tabeli. Znaczek wskazuje opcje, gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją znajomego, krzyżyk - gdy nie pokrywa się.

Jak widzisz wszystko Może opcje lokalizację Twojego znajomego i wybór, do których drzwi ma zadzwonić.

A korzystne dla wszystkich wyniki . Oznacza to, że raz zgadniesz, dzwoniąc raz do drzwi, tj. .

Jest to prawdopodobieństwo – stosunek korzystnego wyniku (gdy Twój wybór pokrywa się z lokalizacją Twojego znajomego) do liczby możliwych zdarzeń.

Definicja jest formułą. Prawdopodobieństwo jest zwykle oznaczane przez p, więc:

Napisanie takiego wzoru nie jest zbyt wygodne, dlatego weźmiemy za - liczbę korzystnych wyników, a za - całkowitą liczbę wyników.

Prawdopodobieństwo można zapisać w procentach, w tym celu wynikowy wynik należy pomnożyć przez:

Słowo „wyniki” prawdopodobnie przykuło Twoją uwagę. Bo matematycy dzwonią różne działania(w naszym kraju taką akcją jest dzwonek do drzwi) eksperymentów, wówczas wynik takich eksperymentów nazywa się zwykle wynikiem.

Cóż, są korzystne i niekorzystne skutki.

Wróćmy do naszego przykładu. Powiedzmy, że zadzwoniliśmy do jednych z drzwi, ale zostały one dla nas otwarte nieznajomy. Nie zgadliśmy prawidłowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli zadzwonimy do pozostałych drzwi, nasz przyjaciel nam je otworzy?

Jeśli tak myślałeś, to jest to błąd. Rozwiążmy to.

Zostało nam dwoje drzwi. Mamy więc możliwe kroki:

1) Zadzwoń 1 drzwi
2) Zadzwoń 2 drzwi

Kolega mimo wszystko na pewno stoi za którymś z nich (w końcu to nie on stał za tym, do którego dzwoniliśmy):

a) Przyjaciel dla 1 drzwi
b) Przyjaciel dla 2 drzwi

Narysujmy jeszcze raz tabelę:

Jak widać, istnieją tylko opcje, z których są korzystne. Oznacza to, że prawdopodobieństwo jest równe.

Dlaczego nie?

Rozważana przez nas sytuacja jest taka przykład zdarzeń zależnych. Pierwsze zdarzenie to pierwszy dzwonek do drzwi, drugie zdarzenie to drugi dzwonek do drzwi.

Nazywa się je zależnymi, ponieważ wpływają na następujące działania. W końcu, gdyby po pierwszym dzwonku do drzwi otworzył znajomy, jakie byłoby prawdopodobieństwo, że stał za którymś z pozostałych dwóch? Prawidłowy, .

Ale jeśli istnieją zdarzenia zależne, to muszą też istnieć niezależny? To prawda, zdarzają się.

Podręcznikowym przykładem jest rzut monetą.

  1. Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie na przykład reszka? Zgadza się – bo możliwości są wszystkie (albo reszka, albo reszka, pominiemy prawdopodobieństwo, że moneta wyląduje na jej krawędzi), ale tylko nam to odpowiada.
  2. Ale przyszło do głowy. OK, wrzućmy to jeszcze raz. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wyrzucenia orła? Nic się nie zmieniło, wszystko jest takie samo. Ile opcji? Dwa. Z ilu jesteśmy zadowoleni? Jeden.

I niech to wyjdzie na jaw co najmniej tysiąc razy z rzędu. Prawdopodobieństwo zdobycia orła na raz będzie takie samo. Zawsze są opcje i to korzystne.

Łatwo jest odróżnić zdarzenia zależne od niezależnych:

  1. Jeśli eksperyment zostanie przeprowadzony raz (raz rzuca monetą, raz dzwoni do drzwi itp.), to zdarzenia są zawsze niezależne.
  2. Jeśli doświadczenie przeprowadza się kilka razy (raz rzucono monetą, kilka razy zadzwonił dzwonek do drzwi), to pierwsze zdarzenie jest zawsze niezależne. A potem, jeśli zmieni się liczba korzystnych lub liczba wszystkich wyników, to zdarzenia są zależne, a jeśli nie, to są niezależne.

Poćwiczmy trochę określanie prawdopodobieństwa.

Przykład 1.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł dwa razy z rzędu?

Rozwiązanie:

Rozważmy wszystko możliwe opcje:

  1. Orzeł-orzeł
  2. Głowy-ogony
  3. Ogony-głowy
  4. Ogony-ogony

Jak widać są tylko opcje. Z nich jesteśmy tylko zadowoleni. Oznacza to, że prawdopodobieństwo:

Jeśli warunek wymaga po prostu znalezienia prawdopodobieństwa, odpowiedź należy podać w formularzu dziesiętny. Gdyby było określone, że odpowiedź ma być podana w procentach, to mnożylibyśmy przez.

Odpowiedź:

Przykład 2.

W pudełku czekoladek wszystkie czekoladki są zapakowane w to samo opakowanie. Jednak ze słodyczy - z orzechami, z koniakiem, z wiśniami, z karmelem i z nugatem.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy jednego cukierka i otrzymamy cukierka z orzechami? Podaj odpowiedź w procentach.

Rozwiązanie:

Ile jest możliwych wyników? .

Oznacza to, że jeśli weźmiesz jeden cukierek, będzie to jeden z tych dostępnych w pudełku.

Ile korzystnych wyników?

Ponieważ w pudełku znajdują się wyłącznie czekoladki z orzechami.

Odpowiedź:

Przykład 3.

W pudełku z balonami. z czego są białe i czarne.

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kulę białą?
  2. Do pudełka dodaliśmy więcej czarnych kulek. Jakie jest teraz prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?

Rozwiązanie:

a) W pudełku znajdują się tylko kule. Spośród nich są białe.

Prawdopodobieństwo wynosi:

b) Teraz w pudełku jest więcej piłek. I pozostało tyle samo białych - .

Odpowiedź:

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Załóżmy, że w pudełku znajdują się czerwone i zielone kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwoną kulę? Zielona piłka? Czerwona czy zielona piłka?

Prawdopodobieństwo wylosowania czerwonej kuli

Zielona kula:

Czerwona lub zielona kula:

Jak widać suma wszystkich możliwych zdarzeń jest równa (). Zrozumienie tego punktu pomoże Ci rozwiązać wiele problemów.

Przykład 4.

W pudełku znajdują się znaczniki: zielony, czerwony, niebieski, żółty, czarny.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że NIE wylosujemy czerwonego znacznika?

Rozwiązanie:

Policzmy liczbę korzystne wyniki.

NIE jest to czerwony znacznik, to znaczy zielony, niebieski, żółty lub czarny.

Prawdopodobieństwo wszystkich zdarzeń. A prawdopodobieństwo zdarzeń, które uważamy za niekorzystne (kiedy wyjmiemy czerwony znacznik) wynosi .

Zatem prawdopodobieństwo wyciągnięcia NIE czerwonego pisaka wynosi .

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Wiesz już, czym są zdarzenia niezależne.

Co się stanie, jeśli chcesz znaleźć prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch (lub więcej) niezależnych zdarzeń z rzędu?

Powiedzmy, że chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy raz monetą, zobaczymy reszkę dwa razy?

Już rozważaliśmy - .

A co jeśli rzucimy raz monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że zobaczysz orła dwa razy z rzędu?

Całkowite możliwe opcje:

  1. Orzeł-orzeł-orzeł
  2. Głowy, głowy, ogony
  3. Głowy-ogony-głowy
  4. Głowy-ogony-ogony
  5. Ogony-głowy-głowy
  6. Ogony-głowy-ogony
  7. Ogony-ogony-głowy
  8. Ogony-ogony-ogony

Nie wiem jak Wy, ale ja kilka razy popełniłem błędy podczas tworzenia tej listy. Wow! I tylko opcja (pierwsza) nam odpowiada.

W przypadku 5 rzutów możesz samodzielnie sporządzić listę możliwych wyników. Ale matematycy nie są tak pracowici jak ty.

Dlatego najpierw zauważyli, a następnie udowodnili, że prawdopodobieństwo pewnego ciągu niezależnych zdarzeń za każdym razem maleje o prawdopodobieństwo jednego zdarzenia.

Innymi słowy,

Spójrzmy na przykład tej samej nieszczęsnej monety.

Prawdopodobieństwo zdobycia orła w wyzwaniu? . Teraz rzucamy raz monetą.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie orzeł z rzędu?

Ta reguła działa nie tylko wtedy, gdy jesteśmy proszeni o znalezienie prawdopodobieństwa wystąpienia tego samego zdarzenia kilka razy z rzędu.

Gdybyśmy chcieli znaleźć sekwencję OGONY-GŁÓWKI-OGONY dla kolejnych rzutów, zrobilibyśmy to samo.

Prawdopodobieństwo wylądowania orła wynosi - , orła - .

Prawdopodobieństwo otrzymania ciągu OGONY-GŁÓWKI-OGONY-OGONY:

Możesz to sprawdzić samodzielnie, tworząc tabelę.

Zasada dodawania prawdopodobieństw zdarzeń niezgodnych.

Więc przestań! Nowa definicja.

Rozwiążmy to. Weźmy naszą zniszczoną monetę i rzućmy ją raz.
Możliwe opcje:

  1. Orzeł-orzeł-orzeł
  2. Głowy, głowy, ogony
  3. Głowy-ogony-głowy
  4. Głowy-ogony-ogony
  5. Ogony-głowy-głowy
  6. Ogony-głowy-ogony
  7. Ogony-ogony-głowy
  8. Ogony-ogony-ogony

Zatem zdarzenia niezgodne to pewna, zadana sekwencja zdarzeń. - są to zdarzenia niezgodne.

Jeśli chcemy określić, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia dwóch (lub więcej) niezgodnych zdarzeń, to dodajemy prawdopodobieństwa tych zdarzeń.

Musisz zrozumieć, że orzeł lub reszka to dwa niezależne zdarzenia.

Jeżeli chcemy wyznaczyć prawdopodobieństwo wystąpienia ciągu (lub innego) wówczas stosujemy zasadę mnożenia prawdopodobieństw.
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pierwszym rzucie wypadnie reszka, a w drugim i trzecim reszcie?

Ale jeśli chcemy wiedzieć, jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania jednego z kilku ciągów, gdy np. wypadnie reszka dokładnie raz, tj. opcji, a następnie musimy dodać prawdopodobieństwa tych ciągów.

Wszystkie opcje nam odpowiadają.

To samo możemy uzyskać, dodając prawdopodobieństwa wystąpienia każdego ciągu:

Zatem prawdopodobieństwa dodajemy, gdy chcemy określić prawdopodobieństwo pewnych, niespójnych sekwencji zdarzeń.

Istnieje wspaniała zasada, która pomoże Ci uniknąć pomylenia, kiedy mnożyć, a kiedy dodawać:

Wróćmy do przykładu, w którym rzuciliśmy raz monetą i chcieliśmy poznać prawdopodobieństwo, że raz zobaczymy reszkę.
Co się stanie?

Powinno wypaść:
(reszki ORAZ ogony ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ głowy ORAZ ogony) LUB (ogony ORAZ ogony ORAZ głowy).
Oto jak się okazuje:

Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 5.

W pudełku znajdują się ołówki. czerwony, zielony, pomarańczowy, żółty i czarny. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy czerwony lub zielony ołówek?

Rozwiązanie:

Co się stanie? Musimy ciągnąć (czerwony LUB zielony).

Teraz jest jasne, zsumujmy prawdopodobieństwa tych zdarzeń:

Odpowiedź:

Przykład 6.

Jeśli rzucimy kostką dwa razy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w sumie wypadnie 8?

Rozwiązanie.

Jak możemy zdobyć punkty?

(i) lub (i) lub (i) lub (i) lub (i).

Prawdopodobieństwo wylosowania jednej (dowolnej) twarzy wynosi .

Obliczamy prawdopodobieństwo:

Odpowiedź:

Szkolenie.

Myślę, że teraz rozumiesz, kiedy należy obliczyć prawdopodobieństwa, kiedy je dodać, a kiedy pomnożyć. Czyż nie? Poćwiczmy trochę.

Zadania:

Weźmy talię kart zawierającą karty zawierające pik, kier, 13 trefl i 13 karo. Od do Asa w każdym kolorze.

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania trefl w rzędzie (pierwszą wyciągniętą kartę wkładamy z powrotem do talii i tasujemy)?
  2. Jakie jest prawdopodobieństwo wyciągnięcia czarnej karty (pików lub trefl)?
  3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz obrazek (walet, dama, król lub as)?
  4. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dwóch obrazków pod rząd (usuwamy pierwszą wyciągniętą kartę z talii)?
  5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przy dwóch kartach uda się zebrać kombinację (walet, dama lub król) i as? Kolejność losowania kart nie ma znaczenia.

Odpowiedzi:

  1. W talii kart każdej wartości oznacza to:
  2. Zdarzenia są zależne, gdyż po wyciągnięciu pierwszej karty liczba kart w talii zmniejszyła się (podobnie jak liczba „obrazków”). W talii początkowo znajduje się ogółem waletów, dam, królów i asów, co oznacza prawdopodobieństwo wylosowania „obrazka” za pomocą pierwszej karty:

    Ponieważ usuwamy pierwszą kartę z talii, oznacza to, że w talii pozostały już karty, w tym obrazki. Prawdopodobieństwo wylosowania obrazka drugą kartą:

    Ponieważ interesuje nas sytuacja, w której wyjmujemy z talii „obrazek” ORAZ „obrazek”, musimy pomnożyć prawdopodobieństwa:

    Odpowiedź:

  3. Po wyciągnięciu pierwszej karty liczba kart w talii będzie się zmniejszać, zatem odpowiadają nam dwie opcje:
    1) Pierwsza karta to as, druga to walet, dama lub król
    2) Pierwszą kartą wyciągamy walet, królową lub króla, a drugą asa. (as i (walet, dama lub król)) lub ((walet, dama lub król) i as). Nie zapomnij o zmniejszeniu liczby kart w talii!

Jeśli udało Ci się samodzielnie rozwiązać wszystkie problemy, to świetnie! Teraz rozwiążesz problemy z teorii prawdopodobieństwa na egzaminie Unified State Exam jak szalone!

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. ŚREDNI POZIOM

Spójrzmy na przykład. Powiedzmy, że rzucamy kostką. Co to za kość, wiesz? To jest to, co nazywają sześcianem z liczbami na ścianach. Ile twarzy, tyle liczb: od do ilu? Zanim.

Więc rzucamy kostką i chcemy, żeby wypadło lub. I rozumiemy to.

W teorii prawdopodobieństwa mówią, co się stało pomyślne wydarzenie(nie mylić z zamożnym).

Gdyby tak się stało, wydarzenie byłoby również korzystne. W sumie mogą wydarzyć się tylko dwa sprzyjające zdarzenia.

Ile jest niekorzystnych? Ponieważ możliwych zdarzeń jest łącznie, oznacza to, że zdarzeniami niekorzystnymi są zdarzenia (to znaczy, jeśli wypadnie lub).

Definicja:

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń. Oznacza to, że prawdopodobieństwo pokazuje, jaka część wszystkich możliwych zdarzeń jest korzystna.

Prawdopodobieństwo jest oznaczone literą łacińską (najwyraźniej z angielskie słowo prawdopodobieństwo - prawdopodobieństwo).

Zwyczajowo mierzy się prawdopodobieństwo w procentach (patrz tematy i). Aby to zrobić, należy pomnożyć wartość prawdopodobieństwa. W przykładzie z kostką prawdopodobieństwo.

I procentowo: .

Przykłady (zdecyduj sam):

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła podczas rzucania monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylądują głowy?
  2. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadnie kostka do gry podczas rzucania kostką Liczba parzysta? Który jest dziwny?
  3. W pudełku prostych, niebieskich i czerwonych ołówków. Losujemy jeden ołówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy na prostą?

Rozwiązania:

  1. Ile jest opcji? Głowy i reszki – tylko dwie. Ile z nich jest korzystnych? Tylko jeden jest orłem. Zatem prawdopodobieństwo

    Podobnie jest z ogonami: .

  2. Łączna liczba opcji: (ile boków ma sześcian, tyle różnych opcji). Korzystne: (to wszystko są liczby parzyste:).
    Prawdopodobieństwo. Oczywiście to samo dotyczy liczb nieparzystych.
  3. Całkowity: . Korzystne: . Prawdopodobieństwo: .

Całkowite prawdopodobieństwo

Wszystkie ołówki w pudełku są zielone. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz czerwony ołówek? Nie ma szans: prawdopodobieństwo (w końcu sprzyjające zdarzenia -).

Takie zdarzenie nazywa się niemożliwym.

Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujesz zielony ołówek? Zdarzeń sprzyjających jest dokładnie tyle samo, ile jest zdarzeń ogółem (wszystkie zdarzenia są sprzyjające). Zatem prawdopodobieństwo jest równe lub.

Takie zdarzenie nazywa się niezawodnym.

Jeśli w pudełku znajdują się zielone i czerwone ołówki, jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony? Jeszcze raz. Zauważmy to: prawdopodobieństwo wyciągnięcia zielonego jest równe i czerwonego.

W sumie prawdopodobieństwa te są dokładnie równe. To jest, suma prawdopodobieństw wszystkich możliwych zdarzeń jest równa lub.

Przykład:

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie wylosujemy zielonego?

Rozwiązanie:

Pamiętamy, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się. A prawdopodobieństwo, że zostaniesz zielony, jest równe. Oznacza to, że prawdopodobieństwo, że nie zostanie wylosowany kolor zielony, jest równe.

Zapamiętaj tę sztuczkę: Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zdarzenia niezależne i zasada mnożenia

Rzucasz raz monetą i chcesz, żeby za każdym razem wypadła reszka. Jakie jest prawdopodobieństwo tego?

Przeanalizujmy wszystkie możliwe opcje i określmy, ile ich jest:

Głowy-głowy, ogony-głowy, głowy-ogony, ogony-ogony. Co jeszcze?

Całkowite opcje. Spośród nich tylko jeden nam odpowiada: Orzeł-Orzeł. W sumie prawdopodobieństwo jest równe.

Cienki. Teraz rzućmy raz monetą. Wykonaj obliczenia samodzielnie. Stało się? (odpowiedź).

Być może zauważyłeś, że wraz z dodaniem każdego kolejnego rzutu prawdopodobieństwo maleje o połowę. Główna zasada zwany reguła mnożenia:

Prawdopodobieństwa niezależnych zdarzeń zmieniają się.

Czym są wydarzenia niezależne? Wszystko jest logiczne: są to te, które nie są od siebie zależne. Przykładowo, gdy rzucamy monetą kilka razy, za każdym razem wykonywany jest nowy rzut, którego wynik nie zależy od wszystkich poprzednich rzutów. Równie łatwo możemy wrzucić dwie różne monety jednocześnie.

Więcej przykładów:

  1. Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafimy oba razy?
  2. Moneta jest rzucana raz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wypadnie orzeł, a potem reszka dwukrotnie?
  3. Gracz rzuca dwiema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma liczb na nich będzie równa?

Odpowiedzi:

  1. Zdarzenia są niezależne, co oznacza, że ​​działa zasada mnożenia: .
  2. Prawdopodobieństwo wyrzucenia orła jest równe. Prawdopodobieństwo reszki jest takie samo. Zwielokrotniać:
  3. 12 można uzyskać tylko wtedy, gdy wyrzuci się dwa -ki: .

Niekompatybilne zdarzenia i zasada dodawania

Zdarzenia, które uzupełniają się aż do pełnego prawdopodobieństwa, nazywane są niekompatybilnymi. Jak sama nazwa wskazuje, nie mogą one wystąpić jednocześnie. Na przykład, jeśli rzucimy monetą, może wypaść reszka lub reszka.

Przykład.

W pudełku ołówków są wśród nich niebieski, czerwony, zielony, gładki, żółty, a reszta jest pomarańczowa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolor zielony lub czerwony?

Rozwiązanie .

Prawdopodobieństwo wylosowania zielonego ołówka jest równe. Czerwony - .

W sumie korzystne wydarzenia: zielony + czerwony. Oznacza to, że prawdopodobieństwo wylosowania koloru zielonego lub czerwonego jest równe.

To samo prawdopodobieństwo można przedstawić w postaci: .

Oto zasada dodawania: prawdopodobieństwa zdarzeń niezgodnych sumują się.

Problemy typu mieszanego

Przykład.

Moneta jest rzucana dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyniki rzutów będą inne?

Rozwiązanie .

Oznacza to, że jeśli pierwszym wynikiem będą reszki, drugim muszą być reszki i odwrotnie. Okazuje się, że istnieją dwie pary niezależnych zdarzeń i pary te są ze sobą niezgodne. Jak nie pomylić się, gdzie pomnożyć, a gdzie dodać.

Na takie sytuacje jest prosta zasada. Spróbuj opisać, co się wydarzy, używając spójników „AND” lub „OR”. Na przykład w tym przypadku:

Powinien pojawić się (reszki i reszki) lub (reszki i reszki).

Tam, gdzie jest spójnik „i”, nastąpi mnożenie, a tam, gdzie jest „lub”, nastąpi dodawanie:

Spróbuj sam:

  1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli rzucimy monetą dwa razy, moneta wyląduje po tej samej stronie za każdym razem?
  2. Kostką rzucamy dwukrotnie. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia łącznie punktów?

Rozwiązania:

  1. (Opadły głowy i opadły ogony) lub (opadły ogony i opadły ogony): .
  2. Jakie są opcje? I. Następnie:
    Upuszczone (i) lub (i) lub (i): .

Inny przykład:

Rzuć raz monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł pojawi się przynajmniej raz?

Rozwiązanie:

Och, jak mi się nie chce przeglądać opcji... Głowy-ogony-ogony, Orle-głowy-ogony... Ale nie ma takiej potrzeby! Pamiętajmy o prawdopodobieństwie całkowitym. Pamiętasz? Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł nigdy nie wypadnie? To proste: głowy latają cały czas, dlatego.

TEORIA PRAWDOPODOBIEŃSTWA. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH

Prawdopodobieństwo to stosunek liczby korzystnych zdarzeń do liczby wszystkich możliwych zdarzeń.

Niezależne wydarzenia

Dwa zdarzenia są niezależne, jeśli wystąpienie jednego nie zmienia prawdopodobieństwa wystąpienia drugiego.

Całkowite prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo wszystkich możliwych zdarzeń jest równe ().

Prawdopodobieństwo, że zdarzenie nie nastąpi, jest równe minus prawdopodobieństwo, że zdarzenie nastąpi.

Zasada mnożenia prawdopodobieństw zdarzeń niezależnych

Prawdopodobieństwo określonej sekwencji niezależnych zdarzeń jest równe iloczynowi prawdopodobieństw każdego zdarzenia

Niezgodne zdarzenia

Zdarzenia niezgodne to takie, które w wyniku eksperymentu nie mogą wystąpić jednocześnie. Szereg niekompatybilnych zdarzeń tworzy kompletną grupę zdarzeń.

Prawdopodobieństwa zdarzeń niezgodnych sumują się.

Po opisaniu co powinno się wydarzyć, używając spójników „AND” lub „OR”, zamiast „AND” stawiamy znak mnożenia, a zamiast „OR” znak dodawania.

„Wypadki nie są przypadkowe”… Brzmi to jak powiedzenie filozofa, ale tak naprawdę badanie przypadkowości jest przeznaczeniem wielkiej nauki, jaką jest matematyka. W matematyce przypadek zajmuje się teorią prawdopodobieństwa. W artykule zostaną zaprezentowane wzory i przykłady zadań, a także podstawowe definicje tej nauki.

Co to jest teoria prawdopodobieństwa?

Teoria prawdopodobieństwa jest jedną z dyscyplin matematycznych badającą zdarzenia losowe.

Aby było to trochę jaśniejsze, podamy mały przykład: jeśli rzucisz monetę w górę, może wypaść orzeł lub reszka. Gdy moneta jest w powietrzu, możliwe są oba prawdopodobieństwa. Oznacza to, że prawdopodobieństwo możliwych konsekwencji wynosi 1:1. Jeśli zostanie wylosowany z talii 36 kart, prawdopodobieństwo zostanie wskazane jako 1:36. Wydawać by się mogło, że nie ma tu co badać i przewidywać, zwłaszcza za pomocą wzorów matematycznych. Jeśli jednak powtarzasz daną czynność wiele razy, możesz zidentyfikować pewien wzorzec i na jego podstawie przewidzieć wynik zdarzeń w innych warunkach.

Podsumowując wszystko powyższe, teoria prawdopodobieństwa w klasycznym sensie bada możliwość wystąpienia jednego z możliwych zdarzeń w wartości liczbowej.

Z kart historii

Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady pierwszych zadań pojawiły się w odległym średniowieczu, kiedy pojawiły się pierwsze próby przewidywania wyniku gier karcianych.

Początkowo teoria prawdopodobieństwa nie miała nic wspólnego z matematyką. Uzasadniano to faktami empirycznymi lub właściwościami zdarzenia dającymi się odtworzyć w praktyce. Pierwsze prace w tym zakresie jak w dyscyplina matematyczna pojawił się w XVII wieku. Założycielami byli Blaise Pascal i Pierre Fermat. Długi czas studiowali hazard i dostrzegli pewne wzorce, o których postanowili opowiedzieć społeczeństwu.

Tę samą technikę wynalazł Christiaan Huygens, choć nie znał wyników badań Pascala i Fermata. Wprowadził on pojęcie „teorii prawdopodobieństwa”, wzory i przykłady, które uważane są za pierwsze w historii dyscypliny.

Niemałe znaczenie mają także prace Jacoba Bernoulliego, twierdzenia Laplace'a i Poissona. Sprawili, że teoria prawdopodobieństwa bardziej przypominała dyscyplinę matematyczną. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady podstawowych zadań otrzymały swoją obecną formę dzięki aksjomatom Kołmogorowa. W wyniku tych wszystkich zmian teoria prawdopodobieństwa stała się jedną z gałęzi matematyki.

Podstawowe pojęcia teorii prawdopodobieństwa. Wydarzenia

Główną koncepcją tej dyscypliny jest „wydarzenie”. Istnieją trzy typy wydarzeń:

  • Niezawodny. Te, które i tak się wydarzą (moneta spadnie).
  • Niemożliwe. Wydarzenia, które w żadnym wypadku nie będą miały miejsca (moneta pozostanie w powietrzu).
  • Losowy. Te, które się wydarzą lub nie. Wpływ na nie mogą mieć różne czynniki, które są bardzo trudne do przewidzenia. Jeśli mówimy o monecie, to czynniki losowe, które mogą mieć wpływ na wynik: Charakterystyka fizyczna monety, ich kształt, położenie początkowe, siłę rzucania itp.

Wszystkie zdarzenia w przykładach oznaczono wielkimi literami łacińskimi, z wyjątkiem P, które pełni inną rolę. Na przykład:

  • A = „studenci przyszli na wykład”.
  • Ā = „studenci nie przyszli na wykład”.

W zadania praktyczne Zdarzenia są zwykle rejestrowane słownie.

Jedną z najważniejszych cech zdarzeń jest ich równość możliwości. Oznacza to, że jeśli rzucisz monetą, możliwe są wszystkie warianty początkowego upadku, dopóki nie spadnie. Ale zdarzenia również nie są równie możliwe. Dzieje się tak, gdy ktoś celowo wpływa na wynik. Na przykład „oznaczone” grać w karty lub kostka, w której środek przesunięty powaga.

Zdarzenia mogą być również kompatybilne i niekompatybilne. Zdarzenia zgodne nie wykluczają wzajemnego wystąpienia. Na przykład:

  • A = „uczeń przyszedł na wykład”.
  • B = „uczeń przyszedł na wykład”.

Zdarzenia te są od siebie niezależne i wystąpienie jednego z nich nie ma wpływu na wystąpienie drugiego. Zdarzenia niezgodne definiuje się przez fakt, że wystąpienie jednego wyklucza wystąpienie drugiego. Jeśli mówimy o tej samej monecie, to utrata „resztek” uniemożliwia pojawienie się „resztek” w tym samym eksperymencie.

Działania na zdarzeniach

Zdarzenia można mnożyć i dodawać, dlatego w dyscyplinie wprowadza się spójniki logiczne „AND” i „OR”.

Kwota jest ustalana na podstawie faktu, że zdarzenie A, B lub dwa mogą wystąpić jednocześnie. Jeśli są one niezgodne, ostatnia opcja jest niemożliwa; zostanie wyrzucony albo A, albo B.

Mnożenie zdarzeń polega na jednoczesnym pojawieniu się A i B.

Teraz możemy podać kilka przykładów, aby lepiej zapamiętać podstawy, teorię prawdopodobieństwa i wzory. Poniżej przykłady rozwiązań problemów.

Ćwiczenie 1: Firma bierze udział w konkursie na kontrakty na trzy rodzaje prac. Możliwe zdarzenia, które mogą wystąpić:

  • A = „firma otrzyma pierwszy kontrakt”.
  • A 1 = „firma nie otrzyma pierwszego kontraktu”.
  • B = „firma otrzyma drugi kontrakt”.
  • B 1 = „firma nie otrzyma drugiego zamówienia”
  • C = „firma otrzyma trzeci kontrakt”.
  • C 1 = „firma nie otrzyma trzeciego kontraktu”.

Używając akcji na zdarzeniach, spróbujemy wyrazić następujące sytuacje:

  • K = „firma otrzyma wszystkie kontrakty”.

W forma matematyczna równanie będzie miało postać: K = ABC.

  • M = „firma nie otrzyma ani jednego kontraktu.”

M = ZA 1 B 1 do 1.

Skomplikujmy zadanie: H = „firma otrzyma jeden kontrakt”. Ponieważ nie wiadomo, jaki kontrakt otrzyma firma (pierwszy, drugi czy trzeci), konieczne jest odnotowanie całego ciągu możliwych zdarzeń:

H = ZA 1 BC 1 υ AB 1 do 1 υ ZA 1 B 1 C.

A 1 p.n.e. 1 to seria wydarzeń, w których firma nie otrzymuje pierwszego i trzeciego kontraktu, ale otrzymuje drugi. Inne możliwe zdarzenia rejestrowano przy użyciu odpowiedniej metody. Symbol υ w dyscyplinie oznacza łącznik „LUB”. Jeśli przełożymy powyższy przykład na ludzki język, firma otrzyma albo trzeci kontrakt, albo drugi, albo pierwszy. W podobny sposób możesz zapisać inne warunki w dyscyplinie „Teoria prawdopodobieństwa”. Przedstawione powyżej formuły i przykłady rozwiązywania problemów pomogą Ci to zrobić samodzielnie.

Właściwie prawdopodobieństwo

Być może w tej dyscyplinie matematycznej prawdopodobieństwo zdarzenia jest pojęciem centralnym. Istnieją 3 definicje prawdopodobieństwa:

  • klasyczny;
  • statystyczny;
  • geometryczny.

Każdy ma swoje miejsce w badaniu prawdopodobieństwa. Teoria prawdopodobieństwa, wzory i przykłady (klasa 9) wykorzystują głównie klasyczną definicję, która brzmi następująco:

  • Prawdopodobieństwo sytuacji A jest równe stosunkowi liczby wyników sprzyjających jej wystąpieniu do liczby wszystkich możliwych wyników.

Wzór wygląda następująco: P(A)=m/n.

A jest właściwie wydarzeniem. Jeśli pojawi się przypadek przeciwny do A, można go zapisać jako Ā lub A 1 .

m to liczba możliwych korzystnych przypadków.

n - wszystkie zdarzenia, które mogą się wydarzyć.

Na przykład A = „dobierz kartę w kolorze kier”. W standardowej talii znajduje się 36 kart, z czego 9 to kier. W związku z tym formuła rozwiązania problemu będzie wyglądać następująco:

P(A)=9/36=0,25.

W rezultacie prawdopodobieństwo, że z talii zostanie wylosowana karta w kolorze kier, wyniesie 0,25.

W stronę wyższej matematyki

Teraz mało wiadomo, czym jest teoria prawdopodobieństwa, formuły i przykłady rozwiązywania problemów, które się w niej pojawiają program nauczania. Jednak teorię prawdopodobieństwa można znaleźć także w wyższej matematyce, której wykłada się na uniwersytetach. Najczęściej operują geometrycznymi i statystycznymi definicjami teorii oraz złożonymi wzorami.

Teoria prawdopodobieństwa jest bardzo interesująca. Lepiej zacząć uczyć się wzorów i przykładów (wyższa matematyka) od małych - ze statystyczną (lub częstotliwościową) definicją prawdopodobieństwa.

Podejście statystyczne nie jest sprzeczne z podejściem klasycznym, lecz nieznacznie je rozszerza. Jeśli w pierwszym przypadku konieczne było określenie, z jakim prawdopodobieństwem wystąpi zdarzenie, to w tej metodzie konieczne jest wskazanie, jak często będzie ono występować. Wprowadzono tutaj nową koncepcję „częstotliwości względnej”, którą można oznaczyć jako Wn (A). Formuła nie różni się od klasycznej:

Jeżeli do predykcji obliczany jest klasyczny wzór, to statystyczny jest obliczany na podstawie wyników eksperymentu. Weźmy na przykład małe zadanie.

Dział kontroli technologicznej sprawdza jakość wyrobów. Spośród 100 produktów 3 uznano za złej jakości. Jak znaleźć prawdopodobieństwo częstotliwości produktu wysokiej jakości?

A = „wygląd produktu wysokiej jakości”.

W n (A) = 97/100 = 0,97

Zatem częstotliwość produktu wysokiej jakości wynosi 0,97. Skąd wziąłeś 97? Na 100 skontrolowanych produktów 3 okazały się złej jakości. Odejmujemy 3 od 100 i otrzymujemy 97, to jest ilość towarów wysokiej jakości.

Trochę o kombinatoryce

Inną metodą teorii prawdopodobieństwa jest kombinatoryka. Jej podstawowa zasada jest taka, że ​​jeśli pewnego wyboru A można dokonać m.in różne sposoby, a wyboru B można dokonać na n różnych sposobów, wówczas wyboru A i B można dokonać przez mnożenie.

Na przykład istnieje 5 dróg prowadzących z miasta A do miasta B. Z miasta B do miasta C prowadzą 4 ścieżki. Na ile sposobów można dostać się z miasta A do miasta C?

To proste: 5x4=20, czyli na dwadzieścia różnych sposobów można dostać się z punktu A do punktu C.

Skomplikujmy zadanie. Na ile sposobów można ułożyć karty w pasjansie? W talii znajduje się 36 kart – to jest punkt wyjścia. Aby poznać liczbę sposobów, należy „odejmować” po jednej karcie od punktu początkowego i pomnożyć.

Oznacza to, że 36x35x34x33x32...x2x1= wynik nie mieści się na ekranie kalkulatora, więc można go po prostu oznaczyć jako 36!. Podpisać "!" obok liczby wskazuje, że cały ciąg liczb jest mnożony przez siebie.

W kombinatoryce istnieją takie pojęcia jak permutacja, rozmieszczenie i kombinacja. Każdy z nich ma swoją własną formułę.

Uporządkowany zbiór elementów zbioru nazywa się układem. Miejsca docelowe można powtarzać, czyli jeden element można wykorzystać kilkukrotnie. I bez powtórzeń, gdy elementy się nie powtarzają. n to wszystkie elementy, m to elementy biorące udział w rozmieszczeniu. Wzór na umieszczenie bez powtórzeń będzie wyglądał następująco:

A n m = n!/(n-m)!

Połączenia n elementów różniących się jedynie kolejnością umieszczenia nazywane są permutacjami. W matematyce wygląda to tak: P n = n!

Kombinacje n elementów m to takie związki, w których ważne jest jakie to były pierwiastki i jaka jest ich całkowita liczba. Formuła będzie wyglądać następująco:

A n m = n!/m! (n-m)!

Wzór Bernoulliego

W teorii prawdopodobieństwa, jak w każdej dyscyplinie, znajdują się dzieła wybitnych badaczy w swojej dziedzinie, którzy wynieśli ją na nowy poziom. Jedną z takich prac jest wzór Bernoulliego, który pozwala określić prawdopodobieństwo wystąpienia określonego zdarzenia w niezależnych warunkach. Sugeruje to, że wystąpienie A w eksperymencie nie zależy od wystąpienia lub niewystąpienia tego samego zdarzenia we wcześniejszych lub kolejnych próbach.

Równanie Bernoulliego:

P n (m) = C n m × p m × q n-m.

Prawdopodobieństwo (p) wystąpienia zdarzenia (A) jest stałe dla każdej próby. Prawdopodobieństwo, że sytuacja wystąpi dokładnie m razy w n liczbie eksperymentów, zostanie obliczone ze wzoru przedstawionego powyżej. W związku z tym pojawia się pytanie, jak znaleźć liczbę q.

Jeśli zdarzenie A wystąpi p razy, odpowiednio, może nie wystąpić. Jednostka to liczba używana do określenia wszystkich wyników sytuacji w danej dyscyplinie. Zatem q jest liczbą oznaczającą możliwość nie wystąpienia zdarzenia.

Teraz znasz już wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów (pierwszy poziom).

Zadanie 2: Osoba odwiedzająca sklep dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2. Do sklepu samodzielnie weszło 6 osób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odwiedzający dokona zakupu?

Rozwiązanie: Ponieważ nie wiadomo, ilu odwiedzających powinno dokonać zakupu, jednego czy wszystkich sześciu, konieczne jest obliczenie wszystkich możliwych prawdopodobieństw za pomocą wzoru Bernoulliego.

A = „odwiedzający dokona zakupu”.

W tym przypadku: p = 0,2 (jak wskazano w zadaniu). Odpowiednio q=1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ponieważ w sklepie jest 6 klientów). Liczba m będzie się wahać od 0 (żaden klient nie dokona zakupu) do 6 (wszyscy odwiedzający sklep coś kupią). W rezultacie otrzymujemy rozwiązanie:

P 6 (0) = C 0 6 × p 0 × q 6 = q 6 = (0,8) 6 = 0,2621.

Żaden z kupujących nie dokona zakupu z prawdopodobieństwem 0,2621.

Jak jeszcze wykorzystuje się wzór Bernoulliego (teorię prawdopodobieństwa)? Przykłady rozwiązania problemu (drugi poziom) poniżej.

Po powyższym przykładzie pojawiają się pytania, dokąd poszły C i r. Względem p liczba do potęgi 0 będzie równa jeden. Jeśli chodzi o C, można je znaleźć za pomocą wzoru:

Do n m = n! /m!(n-m)!

Ponieważ w pierwszym przykładzie odpowiednio m = 0, C = 1, co w zasadzie nie ma wpływu na wynik. Korzystając z nowego wzoru, spróbujmy dowiedzieć się, jakie jest prawdopodobieństwo, że dwóch odwiedzających dokona zakupu towaru.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) 2 × ( 0,8) 4 = 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246.

Teoria prawdopodobieństwa nie jest aż tak skomplikowana. Bezpośrednim dowodem na to jest wzór Bernoulliego, którego przykłady przedstawiono powyżej.

Wzór Poissona

Równanie Poissona służy do obliczania sytuacji losowych o niskim prawdopodobieństwie.

Podstawowa formuła:

P n (m) = λ m /m! × mi (-λ) .

W tym przypadku λ = n x p. Oto prosty wzór Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Poniżej rozważymy przykłady rozwiązywania problemów.

Zadanie 3: Fabryka wyprodukowała 100 000 części. Wystąpienie wadliwej części = 0,0001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w partii będzie 5 wadliwych części?

Jak widać małżeństwo jest wydarzeniem mało prawdopodobnym, dlatego do obliczeń używana jest formuła Poissona (teoria prawdopodobieństwa). Przykłady rozwiązywania tego typu problemów nie różnią się od innych zadań z dyscypliny, niezbędne dane podstawiamy do podanego wzoru:

A = „losowo wybrana część będzie wadliwa”.

p = 0,0001 (wg warunków zadania).

n = 100000 (liczba części).

m = 5 (części wadliwe). Podstawiamy dane do wzoru i otrzymujemy:

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0,0375.

Podobnie jak wzór Bernoulliego (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązań opisano powyżej, równanie Poissona ma niewiadomą e. W rzeczywistości można je znaleźć za pomocą wzoru:

mi -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Istnieją jednak specjalne tabele, które zawierają prawie wszystkie wartości e.

Twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a

Jeżeli w schemacie Bernoulliego liczba prób jest dostatecznie duża, a prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A we wszystkich schematach jest takie samo, to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A określoną liczbę razy w serii testów można znaleźć wzorem Wzór Laplace'a:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Aby lepiej zapamiętać wzór Laplace’a (teorię prawdopodobieństwa), poniżej znajdują się przykłady problemów.

Najpierw znajdźmy X m, podstawmy dane (wszystkie są wymienione powyżej) do wzoru i otrzymamy 0,025. Korzystając z tabel, znajdujemy liczbę ϕ(0,025), której wartość wynosi 0,3988. Teraz możesz zastąpić wszystkie dane wzorem:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Zatem prawdopodobieństwo, że ulotka wykona dokładnie 267 razy, wynosi 0,03.

Formuła Bayesa

Wzór Bayesa (teoria prawdopodobieństwa), którego przykłady rozwiązywania problemów zostaną podane poniżej, jest równaniem opisującym prawdopodobieństwo zdarzenia na podstawie okoliczności, które mogą być z nim powiązane. Podstawowa formuła jest następująca:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A i B to zdarzenia określone.

P(A|B) jest prawdopodobieństwem warunkowym, co oznacza, że ​​zdarzenie A może zaistnieć pod warunkiem, że zdarzenie B jest prawdziwe.

P (B|A) - prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B.

Tak więc ostatnią częścią krótkiego kursu „Teoria prawdopodobieństwa” jest formuła Bayesa, przykłady rozwiązań problemów, które znajdują się poniżej.

Zadanie 5: Na magazyn przywieziono telefony z trzech firm. Jednocześnie udział telefonów produkowanych w pierwszym zakładzie wynosi 25%, w drugim – 60%, w trzecim – 15%. Wiadomo też, że średni odsetek wadliwych produktów w pierwszej fabryce wynosi 2%, w drugiej – 4%, a w trzeciej – 1%. Musisz znaleźć prawdopodobieństwo, że losowo wybrany telefon będzie uszkodzony.

A = „losowo wybrany telefon”.

B 1 - telefon wyprodukowany przez pierwszą fabrykę. Odpowiednio pojawią się wprowadzające B 2 i B 3 (dla drugiej i trzeciej fabryki).

W rezultacie otrzymujemy:

P (B 1) = 25%/100% = 0,25; P(B2) = 0,6; P (B 3) = 0,15 - w ten sposób wyznaczyliśmy prawdopodobieństwo każdej opcji.

Teraz musisz znaleźć prawdopodobieństwa warunkowe pożądanego zdarzenia, czyli prawdopodobieństwo wadliwych produktów w firmach:

P (A/B 1) = 2%/100% = 0,02;

P(A/B2) = 0,04;

P (A/B 3) = 0,01.

Podstawmy teraz dane do wzoru Bayesa i otrzymamy:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

W artykule przedstawiono teorię prawdopodobieństwa, wzory i przykłady rozwiązywania problemów, ale to tylko wierzchołek góry lodowej ogromnej dyscypliny. A po tym wszystkim, co zostało napisane, logiczne będzie zadanie pytania, czy teoria prawdopodobieństwa jest potrzebna w życiu. Do zwykłego człowieka Trudno odpowiedzieć, lepiej zapytać kogoś, kto skorzystał z niego, aby wygrać jackpot więcej niż raz.