Oblicz pole figury ograniczone liniami.

Rozwiązanie.

Znajdujemy punkty przecięcia danych prostych. W tym celu rozwiązujemy układ równań:

Aby znaleźć odciętą punktów przecięcia danych prostych, rozwiązujemy równanie:

Znaleźliśmy: X 1 = -2, X 2 = 4.

Zatem te linie, które są parabolą i linią prostą, przecinają się w punktach A(-2; 0), B(4; 6).

Linie te tworzą zamkniętą figurę, której obszar oblicza się za pomocą powyższego wzoru:

Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza znajdujemy:

Znajdź obszar regionu ograniczony elipsą.

Rozwiązanie.

Z równania elipsy dla pierwszej ćwiartki mamy. Stąd, korzystając ze wzoru, otrzymujemy

Zastosujmy podstawienie X = A grzech T, dx = A sałata T dt. Nowe granice integracji T = α I T = β wyznaczane są z równań 0 = A grzech T, A = A grzech T. Można umieścić α = 0 i β = π /2.

Znajdź jedną czwartą wymaganego obszaru

Stąd S = πab.

Znajdź obszar figury ograniczony liniamiy = - X 2 + X + 4 iy = - X + 1.

Rozwiązanie.

Znajdźmy punkty przecięcia linii y = -X 2 + X + 4, y = -X+ 1, zrównując rzędne linii: - X 2 + X + 4 = -X+ 1 lub X 2 - 2X- 3 = 0. Znajdowanie pierwiastków X 1 = -1, X 2 = 3 i odpowiadające im rzędne y 1 = 2, y 2 = -2.

Korzystając ze wzoru na pole figury, otrzymujemy

Wyznacz obszar ograniczony paraboląy = X 2 + 1 i prostoX + y = 3.

Rozwiązanie.

Rozwiązywanie układu równań

znajdź odciętą punktów przecięcia X 1 = -2 i X 2 = 1.

Wierzyć y 2 = 3 - X I y 1 = X 2 + 1, na podstawie otrzymanego wzoru

Oblicz pole zawarte w lemniskacie BernoulliegoR 2 = A 2 sałata 2 φ .

Rozwiązanie.

W biegunowym układzie współrzędnych obszar figury ograniczony łukiem krzywej R = F(φ ) i dwa promienie biegunowe φ 1 = ʅ I φ 2 = ʆ , zostanie wyrażona całką

Ze względu na symetrię krzywej najpierw określamy jedną czwartą wymaganej powierzchni

Dlatego całe pole jest równe S = A 2 .

Oblicz długość łuku asteroidyX 2/3 + y 2/3 = A 2/3 .

Rozwiązanie.

Zapiszmy równanie asteroidy w postaci

(X 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (A 1/3) 2 .

Włóżmy X 1/3 = A 1/3 kosztu T, y 1/3 = A 1/3 grzechu T.

Stąd otrzymujemy równania parametryczne asteroidy

X = A bo 3 T, y = A grzech 3 T, (*)

gdzie 0 ≤ T ≤ 2π .

Ze względu na symetrię krzywej (*) wystarczy znaleźć jedną czwartą długości łuku L, odpowiadający zmianie parametru T od 0 do π /2.

Dostajemy

dx = -3A co 2 T grzech t dt, dy = 3A grzech 2 T sałata t dt.

Stąd znajdziemy

Całkowanie powstałego wyrażenia od 0 do π /2, otrzymujemy

Stąd L = 6A.

Znajdź obszar ograniczony spiralą ArchimedesaR = aφ oraz dwa wektory promieni odpowiadające kątom biegunowymφ 1 Iφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Rozwiązanie.

Obszar ograniczony krzywą R = F(φ ) oblicza się ze wzoru, gdzie α I β - granice zmiany kąta biegunowego.

W ten sposób otrzymujemy

(*)

Z (*) wynika, że ​​obszar ograniczony osią biegunową i pierwszym zwojem spirali Archimedesa ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Podobnie znajdujemy obszar ograniczony osią biegunową i drugim zwojem spirali Archimedesa ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Wymagana powierzchnia jest równa różnicy tych obszarów

Oblicz objętość ciała otrzymanego przez obrót wokół osiWół figury ograniczone parabolamiy = X 2 IX = y 2 .

Rozwiązanie.

Rozwiążmy układ równań

i otrzymujemy X 1 = 0, X 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, skąd punkty przecięcia krzywych O(0; 0), B(jedenaście). Jak widać na rysunku, wymagana objętość ciała obrotowego jest równa różnicy między dwiema objętościami powstałymi w wyniku obrotu wokół osi Wół krzywoliniowe trapezy OCBA I ODBA:

Oblicz pole ograniczone osiąWół i sinusoiday = grzechX na odcinkach: a) ; B) .

Rozwiązanie.

a) Na segmencie funkcja grzechu X zachowuje znak, a zatem zgodnie ze wzorem, zakładając y= grzech X, znaleźliśmy

b) W segmencie funkcja sin X zmienia znak. Aby poprawnie rozwiązać problem, należy podzielić segment na dwa i [ π , 2π ], w każdym z których funkcja zachowuje swój znak.

Zgodnie z zasadą znaków, na odcinku [ π , 2π ] obszar jest opisywany ze znakiem minus.

W rezultacie wymagany obszar jest równy

Wyznacz objętość ciała ograniczoną powierzchnią uzyskaną z obrotu elipsywokół głównej osiA .

Rozwiązanie.

Biorąc pod uwagę, że elipsa jest symetryczna względem osi współrzędnych, wystarczy znaleźć objętość utworzoną przez obrót wokół osi Wół obszar OAB równy jednej czwartej powierzchni elipsy i podwojony wynik.

Oznaczmy objętość ciała obrotowego przez V X; następnie w oparciu o wzór, który mamy , gdzie 0 i A- odcięte punktów B I A. Z równania elipsy znajdujemy . Stąd

Zatem wymagana objętość jest równa. (Kiedy elipsa obraca się wokół małej osi B, objętość ciała jest równa )

Znajdź obszar ograniczony parabolamiy 2 = 2 pikseli IX 2 = 2 py .

Rozwiązanie.

Najpierw znajdujemy współrzędne punktów przecięcia paraboli, aby określić odcinek całkowania. Przekształcając pierwotne równania, otrzymujemy i . Przyrównując te wartości, otrzymujemy lub X 4 - 8P 3 X = 0.

X 4 - 8P 3 X = X(X 3 - 8P 3) = X(X - 2P)(X 2 + 2pikseli + 4P 2) = 0.

Znajdowanie pierwiastków równań:

Biorąc pod uwagę fakt, że o A przecięcie paraboli znajduje się w pierwszej ćwiartce, potem granice całkowania X= 0 i X = 2P.

Wymagany obszar znajdujemy za pomocą wzoru

Zastosowanie całki do rozwiązywania problemów stosowanych

Obliczanie powierzchni

Całka oznaczona ciągłej nieujemnej funkcji f(x) jest liczbowo równa obszar krzywoliniowego trapezu ograniczony krzywą y = f(x), osią O x i liniami prostymi x = a i x = b. Zgodnie z tym wzór na powierzchnię zapisuje się w następujący sposób:

Spójrzmy na kilka przykładów obliczania pól figur płaskich.

Zadanie nr 1. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2.

Rozwiązanie. Skonstruujmy figurę, której pole będziemy musieli obliczyć.

y = x 2 + 1 to parabola, której ramiona są skierowane w górę, a parabola jest przesunięta w górę o jedną jednostkę w stosunku do osi O y (rysunek 1).

Rysunek 1. Wykres funkcji y = x 2 + 1

Zadanie nr 2. Oblicz pole ograniczone liniami y = x 2 – 1, y = 0 w zakresie od 0 do 1.


Rozwiązanie. Wykres tej funkcji jest parabolą gałęzi skierowanych w górę, przy czym parabola jest przesunięta względem osi O y w dół o jedną jednostkę (rysunek 2).

Rysunek 2. Wykres funkcji y = x 2 – 1


Zadanie nr 3. Zrób rysunek i oblicz obszar figury ograniczony liniami

y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4.

Rozwiązanie. Pierwsza z tych dwóch linii to parabola z ramionami skierowanymi w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, a druga linia to linia prosta przecinająca obie osie współrzędnych.

Aby skonstruować parabolę, znajdujemy współrzędne jej wierzchołka: y’=2 – 2x; 2 – 2x = 0, x = 1 – odcięta wierzchołka; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 to jego rzędna, N(1;9) to wierzchołek.

Znajdźmy teraz punkty przecięcia paraboli i prostej, rozwiązując układ równań:

Zrównywanie prawych stron równania, którego lewe strony są równe.

Otrzymujemy 8 + 2x – x 2 = 2x – 4 lub x 2 – 12 = 0, skąd .

Zatem punkty są punktami przecięcia paraboli i linii prostej (rysunek 1).


Rysunek 3 Wykresy funkcji y = 8 + 2x – x 2 i y = 2x – 4

Konstruujemy prostą y = 2x – 4. Przechodzi ona przez punkty (0;-4), (2;0) na osiach współrzędnych.

Do skonstruowania paraboli można także wykorzystać jej punkty przecięcia z osią 0x, czyli pierwiastki równania 8 + 2x – x 2 = 0 lub x 2 – 2x – 8 = 0. Korzystając z twierdzenia Viety, jest to łatwe znaleźć pierwiastki: x 1 = 2, x 2 = 4.

Rysunek 3 pokazuje figurę (odcinek paraboliczny M 1 N M 2) ograniczoną tymi liniami.

Drugą częścią problemu jest znalezienie obszaru tej figury. Jego pole można obliczyć korzystając z całki oznaczonej ze wzoru .

Zastosowano do ten warunek, otrzymujemy całkę:

2 Obliczanie objętości ciała wirującego

Objętość ciała otrzymaną z obrotu krzywej y = f(x) wokół osi O x oblicza się ze wzoru:

Przy obrocie wokół osi O y formuła wygląda następująco:

Zadanie nr 4. Wyznacz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego liniami prostymi x = 0 x = 3 i krzywą y = wokół osi O x.

Rozwiązanie. Narysujmy obrazek (ryc. 4).

Rysunek 4. Wykres funkcji y =

Wymagana objętość to


Zadanie nr 5. Oblicz objętość ciała uzyskaną z obrotu zakrzywionego trapezu ograniczonego krzywą y = x 2 i liniami prostymi y = 0 i y = 4 wokół osi O y.

Rozwiązanie. Mamy:

Przejrzyj pytania

Podaj funkcję, dla której chcesz znaleźć całkę

Kalkulator dostarcza SZCZEGÓŁOWYCH rozwiązań całek oznaczonych.

Kalkulator ten znajduje rozwiązanie całki oznaczonej funkcji f(x) przy danych granicach górnych i dolnych.

Przykłady

Korzystanie ze stopnia
(kwadrat i sześcian) oraz ułamki zwykłe

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Pierwiastek kwadratowy

Kwadrat(x)/(x + 1)

pierwiastek sześcienny

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Korzystanie z sinusa i cosinusa

2*grzech(x)*cos(x)

arcsinus

X*arcsin(x)

cosinus łukowy

X*arccos(x)

Zastosowanie logarytmu

X*log(x, 10)

Naturalny logarytm

Wystawca

Tg(x)*grzech(x)

Cotangens

Ctg(x)*cos(x)

Ułamki irracjonalne

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arcus tangens

X*arctg(x)

Arckotangens

X*arсctg(x)

Sinus i cosinus hiperboliczny

2*sz(x)*ch(x)

Tangens i cotangens hiperboliczny

Ctgh(x)/tgh(x)

Arcsinus hiperboliczny i arcusinus arcus

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Arcus tangens hiperboliczny i arccotangens

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Zasady wprowadzania wyrażeń i funkcji

Wyrażenia mogą składać się z funkcji (oznaczenia podano w kolejności alfabetycznej): absolutny(x) Całkowita wartość X
(moduł X Lub |x|) arccos(x) Funkcja - arcus cosinus X arccosh(x) Arc cosinus hiperboliczny z X arcsin(x) Arcsine z X arcsinh(x) Arcsine hiperboliczny z X Arktan(x) Funkcja - arcustangens X arctgh(x) Arcus tangens hiperboliczny z X mi mi liczba w przybliżeniu równa 2,7 exp(x) Funkcja - wykładnik X(Jak mi^X) log(x) Lub ln(x) Logarytm naturalny X
(Pozyskać log7(x), musisz wpisać log(x)/log(7) (lub np log10(x)=log(x)/log(10)) Liczba Pi Liczba ta to „Pi”, która jest w przybliżeniu równa 3,14 grzech(x) Funkcja - Sinus X cos(x) Funkcja - Cosinus X sinh(x) Funkcja - Sinus hiperboliczny z X cosh(x) Funkcja - Cosinus hiperboliczny z X sqrt(x) Funkcja - Pierwiastek kwadratowy z X kwadrat(x) Lub x^2 Funkcja - Kwadrat X opalony(x) Funkcja - styczna od X tgh(x) Funkcja - tangens hiperboliczny od X cbrt(x) Funkcja - pierwiastek sześcienny z X

W wyrażeniach można stosować następujące operacje: Liczby rzeczywiste wpisz jako 7.5 , Nie 7,5 2*x- mnożenie 3/x- dział x^3- potęgowanie x+7- dodatek x - 6- odejmowanie
Inne funkcje: piętro(x) Funkcja - zaokrąglanie X w dół (przykładowe piętro(4.5)==4.0) sufit(x) Funkcja - zaokrąglanie X w górę (przykładowy sufit (4,5) == 5,0) znak (x) Funkcja - Znak X erf(x) Funkcja błędu (lub całka prawdopodobieństwa) laplace(x) Funkcja Laplace'a

A)

Rozwiązanie.

Pierwszym i najważniejszym punktem decyzji jest konstrukcja rysunku.

Zróbmy rysunek:

Równanie y=0 ustawia oś „x”;

- x=-2 I x=1 - proste, równoległe do osi jednostka organizacyjna;

- y=x 2 +2 - parabola, której ramiona są skierowane w górę, z wierzchołkiem w punkcie (0;2).

Komentarz. Aby skonstruować parabolę, wystarczy znaleźć punkty jej przecięcia osie współrzędnych, tj. kładzenie x=0 znajdź przecięcie z osią Jednostka organizacyjna i odpowiednio podjąć decyzję równanie kwadratowe, znajdź przecięcie z osią Oh .

Wierzchołek paraboli można znaleźć za pomocą wzorów:

Można także budować linie punkt po punkcie.

Na przedziale [-2;1] wykres funkcji y=x 2 +2 usytuowany nad osią Wół , Dlatego:

Odpowiedź: S =9 jednostek kwadratowych

Po wykonaniu zadania zawsze warto spojrzeć na rysunek i dowiedzieć się, czy odpowiedź jest prawdziwa. W tym przypadku „na oko” liczymy liczbę komórek na rysunku - cóż, będzie ich około 9, wydaje się, że to prawda. Jest całkowicie jasne, że jeśli otrzymamy, powiedzmy, odpowiedź: 20 jednostki kwadratowe, to widać, że gdzieś popełniono błąd – 20 komórek wyraźnie nie mieści się w omawianej liczbie, najwyżej kilkanaście. Jeśli odpowiedź jest negatywna, to zadanie również zostało rozwiązane niepoprawnie.

Co zrobić, jeśli znajduje się zakrzywiony trapez pod osią Oh?

B) Oblicz pole figury ograniczone liniami y=-e x , x=1 i osie współrzędnych.

Rozwiązanie.

Zróbmy rysunek.

Jeśli zakrzywiony trapez całkowicie umieszczony pod osią Oh , wówczas jego pole można obliczyć korzystając ze wzoru:

Odpowiedź: S=(e-1) jednostki kwadratowe" 1,72 jednostki kwadratowe

Uwaga! Nie należy mylić tych dwóch rodzajów zadań:

1) Jeśli zostaniesz poproszony o rozwiązanie całki oznaczonej bez żadnej znaczenie geometryczne, wtedy może być negatywny.

2) Jeśli zostaniesz poproszony o znalezienie obszaru figury za pomocą całki oznaczonej, wówczas obszar jest zawsze dodatni! Dlatego we wzorze, który właśnie omówiliśmy, pojawia się minus.

W praktyce najczęściej figura znajduje się zarówno w górnej, jak i dolnej półpłaszczyźnie.

Z) Znajdź obszar figury płaskiej ograniczony liniami y=2x-x 2, y=-x.

Rozwiązanie.

Najpierw musisz ukończyć rysunek. Ogólnie rzecz biorąc, konstruując rysunek w zagadnieniach obszarowych, najbardziej interesują nas punkty przecięcia prostych. Znajdźmy punkty przecięcia paraboli i prostej. Można to zrobić na dwa sposoby. Pierwsza metoda ma charakter analityczny.

Rozwiązujemy równanie:

Oznacza to, że dolna granica całkowania a=0 , górna granica całkowania b=3 .

Budujemy podane proste: 1. Parabola - wierzchołek w punkcie (1;1); przecięcie osi Oh - punkty (0;0) i (0;2). 2. Prosta - dwusieczna drugiego i czwartego kąta współrzędnych. A teraz uwaga! Jeśli w segmencie [ a;b] jakaś funkcja ciągła k(x) większe lub równe niektórym funkcja ciągła g(x), wówczas obszar odpowiedniej figury można znaleźć za pomocą wzoru: .


I nie ma znaczenia, gdzie znajduje się figura - nad osią czy pod osią, ważne jest, który wykres jest WYŻSZY (w stosunku do innego wykresu), a który PONIŻEJ. W rozważanym przykładzie oczywiste jest, że na odcinku parabola znajduje się powyżej linii prostej, dlatego należy odjąć od niej

Można konstruować linie punkt po punkcie, a granice całkowania stają się jasne „same z siebie”. Niemniej jednak czasami trzeba zastosować analityczną metodę wyznaczania granic, jeśli np. wykres jest wystarczająco duży lub szczegółowa konstrukcja nie ujawniła granic całkowania (mogą one być ułamkowe lub niewymierne).

Pożądana figura jest ograniczona parabolą powyżej i linią prostą poniżej.

Na segmencie, zgodnie z odpowiednim wzorem:

Odpowiedź: S =4,5 jednostek kwadratowych

W poprzedniej części poświęconej analizie znaczenia geometrycznego całki oznaczonej otrzymaliśmy szereg wzorów na obliczenie pola trapezu krzywoliniowego:

S (G) = ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i nieujemnej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x dla ciągłej i niedodatniej funkcji y = f (x) na przedziale [ a ; B ] .

Wzory te mają zastosowanie do rozwiązywania proste zadania. W rzeczywistości często będziemy musieli pracować z bardziej złożonymi figurami. W związku z tym tę sekcję poświęcimy analizie algorytmów obliczania pola figur ograniczonych funkcjami w postaci jawnej, tj. jak y = f(x) lub x = g(y).

Twierdzenie

Niech funkcje y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będą określone i ciągłe na przedziale [ a ; b] i f 1 (x) ≤ f 2 (x) dla dowolnej wartości x z [ a ; B ] . Następnie wzór na obliczenie pola figury G, ograniczonego liniami x = a, x = b, y = f 1 (x) i y = f 2 (x) będzie wyglądać jak S (G) = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x .

Podobny wzór będzie miał zastosowanie do powierzchni figury ograniczonej liniami y = c, y = d, x = g 1 (y) i x = g 2 (y): S (G) = ∫ c d ( sol 2 (y) - sol 1 (y) re y .

Dowód

Przyjrzyjmy się trzem przypadkom, dla których formuła będzie obowiązywać.

W pierwszym przypadku, biorąc pod uwagę właściwość addytywności pola, suma obszarów pierwotnej figury G i krzywoliniowego trapezu G 1 jest równa powierzchni figury G 2. To znaczy, że

Dlatego S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) re x - ∫ a b f 1 (x) re x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Ostatnie przejście możemy wykonać korzystając z trzeciej własności całki oznaczonej.

W drugim przypadku równość jest prawdziwa: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) re x

Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Jeśli obie funkcje nie są dodatnie, otrzymujemy: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - fa 1 (x)) re x . Ilustracja graficzna będzie wyglądać następująco:

Przejdźmy do rozważenia ogólnego przypadku, gdy y = f 1 (x) i y = f 2 (x) przecinają oś O x.

Punkty przecięcia oznaczamy jako x i, i = 1, 2, . . . , n - 1 . Punkty te dzielą odcinek [a; b ] na n części x i - 1 ; x ja, ja = 1, 2, . . . , n, gdzie α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Stąd,

S (G) = ∑ ja = 1 n S (G i) = ∑ ja = 1 n ∫ x ja x ja fa 2 (x) - fa 1 (x)) re x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - fa ( x)) re x = ∫ za b fa 2 (x) - fa 1 (x) re x

Ostatniego przejścia możemy dokonać korzystając z piątej własności całki oznaczonej.

Zilustrujmy przypadek ogólny na wykresie.

Wzór S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x można uznać za udowodniony.

Przejdźmy teraz do analizy przykładów obliczania pola figur ograniczonych liniami y = f (x) i x = g (y).

Rozważanie dowolnego z przykładów zaczniemy od skonstruowania wykresu. Obraz pozwoli nam przedstawić złożone kształty jako sumę prostszych kształtów. Jeśli konstruowanie na nich wykresów i figur sprawia Ci trudność, możesz przestudiować rozdział poświęcony podstawowym funkcjom elementarnym, transformacji geometrycznej wykresów funkcji, a także konstruowaniu wykresów podczas nauki funkcji.

Przykład 1

Konieczne jest określenie obszaru figury, który jest ograniczony parabolą y = - x 2 + 6 x - 5 i liniami prostymi y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie w kartezjańskim układzie współrzędnych.

Na odcinku [ 1 ; 4 ] wykres paraboli y = - x 2 + 6 x - 5 znajduje się nad prostą y = - 1 3 x - 1 2. W związku z tym, aby uzyskać odpowiedź, korzystamy z otrzymanego wcześniej wzoru oraz metody obliczania całki oznaczonej za pomocą wzoru Newtona-Leibniza:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 re x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Odpowiedź: S(G) = 13

Spójrzmy na bardziej złożony przykład.

Przykład 2

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x + 2, y = x, x = 7.

Rozwiązanie

W tym przypadku mamy tylko jedną prostą umieszczoną równolegle do osi x. To jest x = 7. Wymaga to od nas samodzielnego znalezienia drugiej granicy całkowania.

Zbudujmy wykres i nanieś na niego linie podane w opisie problemu.

Mając przed oczami wykres, łatwo możemy określić, że dolną granicą całkowania będzie odcięta punktu przecięcia wykresu prostej y = x i półparaboli y = x + 2. Aby znaleźć odciętą, używamy równości:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Okazuje się, że odcięta punktu przecięcia wynosi x = 2.

Zwracamy uwagę na fakt, że w ogólny przykład na rysunku proste y = x + 2, y = x przecinają się w punkcie (2; 2), więc te szczegółowe obliczenia może wydawać się niepotrzebne. Przywieźliśmy to tutaj szczegółowe rozwiązanie tylko dlatego, że jest ich więcej trudne przypadki rozwiązanie może nie być takie oczywiste. Oznacza to, że zawsze lepiej jest obliczyć współrzędne przecięcia linii analitycznie.

Na przedziale [ 2 ; 7] wykres funkcji y = x znajduje się nad wykresem funkcji y = x + 2. Zastosujmy wzór do obliczenia pola:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) re x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Odpowiedź: S (G) = 59 6

Przykład 3

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego wykresami funkcji y = 1 x i y = - x 2 + 4 x - 2.

Rozwiązanie

Narysujmy linie na wykresie.

Zdefiniujmy granice całkowania. Aby to zrobić, określamy współrzędne punktów przecięcia linii, przyrównując wyrażenia 1 x i - x 2 + 4 x - 2. Pod warunkiem, że x nie jest równe zero, równość 1 x = - x 2 + 4 x - 2 staje się równoważna równaniu trzeciego stopnia - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 ze współczynnikami całkowitymi. Aby odświeżyć pamięć o algorytmie rozwiązywania takich równań, możemy zapoznać się z sekcją „Rozwiązywanie równań sześciennych”.

Pierwiastkiem tego równania jest x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

Dzieląc wyrażenie - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 przez dwumian x - 1, otrzymujemy: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Pozostałe pierwiastki możemy znaleźć z równania x 2 - 3 x - 1 = 0:

x 2 - 3 x - 1 = 0 re = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Znaleźliśmy przedział x ∈ 1; 3 + 13 2, w którym cyfra G zawarta jest nad linią niebieską i poniżej linii czerwonej. Pomaga nam to określić obszar figury:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x re x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpowiedź: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Przykład 4

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego krzywymi y = x 3, y = - log 2 x + 1 i osią odciętych.

Rozwiązanie

Narysujmy wszystkie linie na wykresie. Wykres funkcji y = - log 2 x + 1 możemy otrzymać z wykresu y = log 2 x jeśli umieścimy go symetrycznie względem osi x i przesuniemy go o jedną jednostkę w górę. Równanie osi x to y = 0.

Zaznaczmy punkty przecięcia prostych.

Jak widać z rysunku, wykresy funkcji y = x 3 i y = 0 przecinają się w punkcie (0; 0). Dzieje się tak, ponieważ x = 0 jest jedynym rzeczywistym pierwiastkiem równania x 3 = 0.

x = 2 jest jedynym pierwiastkiem równania - log 2 x + 1 = 0, więc wykresy funkcji y = - log 2 x + 1 i y = 0 przecinają się w punkcie (2; 0).

x = 1 jest jedynym pierwiastkiem równania x 3 = - log 2 x + 1 . Pod tym względem wykresy funkcji y = x 3 i y = - log 2 x + 1 przecinają się w punkcie (1; 1). Ostatnie stwierdzenie może nie być oczywiste, ale równanie x 3 = - log 2 x + 1 nie może mieć więcej niż jednego pierwiastka, gdyż funkcja y = x 3 jest ściśle rosnąca, a funkcja y = - log 2 x + 1 to ściśle malejące.

Dalsze rozwiązanie obejmuje kilka opcji.

Opcja 1

Możemy sobie wyobrazić figurę G jako sumę dwóch trapezów krzywoliniowych znajdujących się powyżej osi x, z których pierwszy znajduje się poniżej linia środkowa na odcinku x ∈ 0; 1, a druga poniżej czerwonej linii na odcinku x ∈ 1; 2. Oznacza to, że pole będzie równe S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) re x .

Opcja nr 2

Figurę G można przedstawić jako różnicę dwóch figur, z których pierwsza znajduje się powyżej osi x i poniżej niebieskiej linii na odcinku x ∈ 0; 2, a druga pomiędzy czerwoną i niebieską linią na odcinku x ∈ 1; 2. Dzięki temu możemy znaleźć obszar w następujący sposób:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) re x

W tym przypadku, aby znaleźć pole, będziesz musiał użyć wzoru w postaci S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. W rzeczywistości linie ograniczające figurę można przedstawić jako funkcje argumentu y.

Rozwiążmy równania y = x 3 i - log 2 x + 1 względem x:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Otrzymujemy wymagany obszar:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) re y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Odpowiedź: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Przykład 5

Konieczne jest obliczenie obszaru figury ograniczonego liniami y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4.

Rozwiązanie

Na wykresie narysujemy linię czerwoną linią, podane przez funkcję y = x. Rysujemy linię y = - 1 2 x + 4 na niebiesko, a linię y = 2 3 x - 3 na czarno.

Zaznaczmy punkty przecięcia.

Znajdźmy punkty przecięcia wykresów funkcji y = x i y = - 1 2 x + 4:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16 ; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Sprawdź: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 nie Czy jest rozwiązaniem równania x 2 = 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 jest rozwiązaniem równania ⇒ (4; 2) punkt przecięcia i y = x i y = - 1 2 x + 4

Znajdźmy punkt przecięcia wykresów funkcji y = x i y = 2 3 x - 3:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 re = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Sprawdź: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 jest rozwiązaniem równania ⇒ (9 ; 3) punkt a s y = x i y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Równanie nie ma rozwiązania

Znajdźmy punkt przecięcia prostych y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) punkt przecięcia y = - 1 2 x + 4 i y = 2 3 x - 3

Metoda nr 1

Wyobraźmy sobie pole pożądanej figury jako sumę pól poszczególnych figur.

Następnie obszar figury wynosi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 re x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metoda nr 2

Obszar oryginalnej figury można przedstawić jako sumę dwóch innych figur.

Następnie rozwiązujemy równanie linii względem x i dopiero potem stosujemy wzór do obliczenia pola figury.

y = x ⇒ x = y 2 czerwona linia y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 czarna linia y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s ja n i a l i n e

Zatem obszar wynosi:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 re y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 re y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Jak widać wartości są takie same.

Odpowiedź: S (G) = 11 3

Wyniki

Aby znaleźć obszar figury, który jest ograniczony dane linie musimy skonstruować linie na płaszczyźnie, znaleźć ich punkty przecięcia i zastosować wzór, aby znaleźć pole. W tej sekcji sprawdziliśmy najczęstsze warianty zadań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter