Pochodna i funkcja pierwotna funkcji wykładniczej. Pochodna e do potęgi x i funkcji wykładniczej Pochodna funkcji wykładniczej e

Pochodna wykładnika jest równa samemu wykładnikowi (pochodna e do potęgi x jest równa e do potęgi x):
(1) (np. x)′ = np. x.

Pochodna funkcja wykładnicza o podstawie potęgi a jest równa samej funkcji pomnożonej przez logarytm naturalny a:
(2) .

Wyprowadzenie wzoru na pochodną wykładniczą e do potęgi x

Funkcja wykładnicza to funkcja wykładnicza, której podstawa jest równa liczbie e, która jest następującą granicą:
.
Tutaj może być zarówno naturalny, jak i prawdziwy numer. Następnie wyprowadzamy wzór (1) na pochodną wykładniczą.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną wykładniczą

Rozważmy wykładniczą e do potęgi x:
y = mi x .
Ta funkcja jest zdefiniowana dla każdego. Znajdźmy jego pochodną względem zmiennej x. Z definicji pochodną jest następująca granica:
(3) .

Przekształćmy to wyrażenie, aby zredukować je do znanych właściwości i reguł matematycznych. Aby to zrobić, potrzebujemy następujących faktów:
A) Właściwość wykładnika:
(4) ;
B) Własność logarytmu:
(5) ;
W) Ciągłość logarytmu i własność granic funkcji ciągłej:
(6) .
Oto funkcja, która ma granicę i ta granica jest dodatnia.
G) Znaczenie drugiego niezwykłego limitu:
(7) .

Zastosujmy te fakty do naszej granicy (3). Korzystamy z własności (4):
;
.

Dokonajmy zamiany. Następnie ; .
Ze względu na ciągłość wykładniczą,
.
Dlatego kiedy , . W rezultacie otrzymujemy:
.

Dokonajmy zamiany. Następnie . Na , . I mamy:
.

Zastosujmy własność logarytmu (5):
. Następnie
.

Zastosujmy własność (6). Ponieważ istnieje dodatnia granica, a logarytm jest ciągły, to:
.
Tutaj również wykorzystaliśmy to drugie niezwykły limit(7). Następnie
.

W ten sposób otrzymaliśmy wzór (1) na pochodną wykładniczą.

Wyprowadzenie wzoru na pochodną funkcji wykładniczej

Teraz wyprowadzamy wzór (2) na pochodną funkcji wykładniczej o podstawie stopnia a. Wierzymy, że i . Następnie funkcja wykładnicza
(8)
Zdefiniowany dla każdego.

Przekształćmy wzór (8). Aby to zrobić, skorzystamy z właściwości funkcji wykładniczej i logarytmu.
;
.
Zatem przekształciliśmy wzór (8) do następującej postaci:
.

Pochodne wyższego rzędu e do potęgi x

Znajdźmy teraz pochodne wyższych rzędów. Przyjrzyjmy się najpierw wykładnikowi:
(14) .
(1) .

Widzimy, że pochodna funkcji (14) jest równa samej funkcji (14). Różnicząc (1) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
;
.

To pokazuje, że pochodna n-tego rzędu jest również równa pierwotnej funkcji:
.

Pochodne wyższego rzędu funkcji wykładniczej

Rozważmy teraz funkcję wykładniczą o podstawie stopnia a:
.
Znaleziono jego pochodną pierwszego rzędu:
(15) .

Różniczkując (15) otrzymujemy pochodne drugiego i trzeciego rzędu:
;
.

Widzimy, że każde zróżnicowanie prowadzi do pomnożenia pierwotnej funkcji przez . Zatem pochodna n-tego rzędu ma postać:
.

Lekcja i prezentacja na temat: „Liczba e. Funkcja. Wykres. Właściwości”

Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.

Pomoce dydaktyczne i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 11
Podręcznik interaktywny dla klas 9–11 „Trygonometria”
Podręcznik interaktywny dla klas 10–11 „Logarity”

Chłopaki, dzisiaj przestudiujemy specjalną liczbę. Zajmuje osobne miejsce w matematyce „dla dorosłych” i ma wiele niezwykłych właściwości, z których niektóre rozważymy.

Wróćmy do funkcji wykładniczych $y=a^x$, gdzie $a>1$. Możemy wykreślić wiele różnych wykresów funkcji dla różnych baz.
Ale należy zauważyć, że:

• wszystkie funkcje przechodzą przez punkt (0;1),
• dla $x→-∞$ wykres ma asymptotę poziomą $y=0$,
• wszystkie funkcje rosną i są wypukłe w dół,
• a także ciągłe, co z kolei oznacza, że ​​są one różniczkowalne.

Jeśli funkcje są różniczkowalne wszędzie, to można do nich skonstruować styczne w każdym punkcie. Jeśli wszystkie funkcje przechodzą przez punkt (0;1), to jest to szczególnie interesujące. Zbudujmy po kolei kilka stycznych.

Rozważmy funkcję $y=2^x$ i skonstruujmy do niej styczną.
Po dokładnym narysowaniu naszych wykresów widać, że kąt nachylenia stycznej wynosi 35°.
Teraz narysujmy funkcję $y=3^x$ i wykreślmy także linię styczną:
Tym razem kąt styczny wynosi około 48°. Ogólnie rzecz biorąc, warto zauważyć: im większa podstawa funkcji wykładniczej, tym większy kąt nachylenia.
Szczególnie interesująca jest styczna o kącie nachylenia równym 45°. Do wykresu jakiej funkcji wykładniczej można poprowadzić taką styczną w punkcie (0;1)?
Podstawa funkcji wykładniczej musi być większa niż 2, ale mniejsza niż 3, ponieważ wymagany kąt styczny osiąga się gdzieś pomiędzy funkcjami $y=2^x$ i $y=3^x$. Znaleziono taką liczbę i okazała się ona dość unikalna.

Funkcję wykładniczą, w której styczna przechodząca przez punkt (0;1) ma kąt nachylenia równy 45°, zwykle oznaczamy przez: $y=e^x$ .
Podstawą naszej funkcji jest Liczba niewymierna. Matematycy obliczyli przybliżoną wartość tej liczby $e=2,7182818284590…$.
Na szkolnych lekcjach matematyki zwyczajowo zaokrągla się liczbę do najbliższej części dziesiątej, czyli $e=2,7$.
Zbudujmy wykres funkcji $y=e^x$ i styczną do tego wykresu.
Nasza funkcja jest zwykle nazywana wykładniczą.
Własności funkcji $y=e^x$.
1. $D(f)=(-∞;+∞)$.
2. Nie jest ani parzysty, ani nieparzysty.
3. Przyrosty w całym zakresie definicji.
4. Nieograniczony z góry, ograniczony z dołu.
5. Największa wartość nie, nie ma wartości minimalnej.
6. Ciągłe.
7. $E(f)=(0; +∞)$.
8. Wypukły w dół.
W matematyce wyższej udowodniono, że funkcja wykładnicza jest różniczkowalna wszędzie, a jej pochodna jest równa samej funkcji: $(e^x)"=e^x$.
Nasza funkcja jest szeroko stosowana w wielu obszarach matematyki (w analizie matematycznej, w teorii prawdopodobieństwa, w programowaniu) i wiele obiektów rzeczywistych jest powiązanych z tą liczbą.

Przykład.
Znajdź styczną do wykresu funkcji $y=e^x$ w punkcie $x=2$.
Rozwiązanie.
Równanie styczne opisuje wzór: $y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Kolejno znajdujemy wymagane wartości:
1. $f(a)=f(2)=e^2$.
2. $f"(a)=e^a$.
3. $f"(2)=e^2$.
4. $y=f(a)+f"(a)(x-a)=e^2+e^2(x-2)=e^2*x-e^2$.
Odpowiedź: $y=e^2*x-e^2$

Przykład.
Znajdź wartość pochodnej funkcji $y=e^(3x-15)$ w punkcie $x=5$.
Rozwiązanie.
Przypomnijmy sobie zasadę różniczkowania funkcji w postaci $y=f(kx+m)$.
$y"=k*f"(kx+m)$.
W naszym przypadku $f(kx+m)=e^(3x-15)$.
Znajdźmy pochodną:
$y"=(e^(3x-15))"=3*e^(3x-15)$.
$y"(5)=3*e^(15-15)=3*e^0=3$.
Odpowiedź: 3.

Przykład.
Sprawdź funkcję $y=x^3*e^x$ pod kątem ekstremów.
Rozwiązanie.
Znajdźmy pochodną naszej funkcji $y"=(x^3*e^x)"=(x^3)"*e^x+x^3(e^x)"=3x^2*e^x +x^ 3*e^x=x^2*e^x(x+3)$.
Funkcja nie ma punktów krytycznych, ponieważ pochodna istnieje dla dowolnego x.
Przyrównując pochodną do 0, otrzymujemy dwa pierwiastki: $x_1=0$ i $x_2=-3$.
Zaznaczmy nasze punkty na osi liczbowej:

Problemy do samodzielnego rozwiązania

1. Znajdź styczną do wykresu funkcji $y=e^(2x)$ w punkcie $x=2$.
2. Znajdź wartość pochodnej funkcji $y=e^(4x-36)$ w punkcie $x=9$.
3. Zbadaj ekstrema w funkcji $y=x^4*e^(2x)$.

Cele Lekcji: stworzyć wyobrażenie o liczbie mi; udowodnić różniczkowalność funkcji w dowolnym punkcie X;rozważ dowód twierdzenia o różniczkowalności funkcji; sprawdzenie dojrzałości umiejętności i zdolności przy rozwiązywaniu przykładów ich zastosowania.

Cele Lekcji.

Edukacyjne: powtórz definicję pochodnej, zasady różniczkowania, pochodną funkcji elementarnych, zapamiętaj wykres i własności funkcji wykładniczej, rozwijaj umiejętność znajdowania pochodnej funkcji wykładniczej, sprawdź wiedzę za pomocą zadania testowego i testu test.

Rozwojowe: promują rozwój uwagi, rozwój logicznego myślenia, intuicji matematycznej, umiejętności analizowania i stosowania wiedzy w niestandardowych sytuacjach.

Edukacyjne: kultywowanie kultury informacyjnej, rozwijanie umiejętności pracy w grupie i indywidualnie.

Metody nauczania: werbalne, wizualne, aktywne.

Formy szkolenia: zbiorowe, indywidualne, grupowe.

Sprzęt : podręcznik „Algebra i początki analizy” (pod red. Kołmogorowa), wszystkie zadania grupy B „Odcinek zamknięty” pod red. A.L. Semenova, I.V. Yashchenko, projektor multimedialny.

Kroki lekcji:

1. Omówienie tematu, celu i celów lekcji (2 min.).
2. Przygotowanie do nauki nowego materiału poprzez powtarzanie poznanego materiału (15 min.).
3. Wprowadzenie do nowego materiału (10 min.)
4. Wstępne zrozumienie i utrwalenie nowej wiedzy (15 min.).
5. Zadanie domowe (1 min.).
6. Podsumowanie (2 min.).

Podczas zajęć

1. Moment organizacyjny.

Ogłasza się temat lekcji: „Pochodna funkcji wykładniczej. Liczba e.”, cele, cele. Slajd 1. Prezentacja

2. Aktywizacja wiedzy wspierającej.

Aby to zrobić, w pierwszym etapie lekcji odpowiemy na pytania i rozwiążemy problemy z powtórkami. Slajd 2.

Przy tablicy dwójka uczniów pracuje nad kartkami, wykonując zadania takie jak B8 Unified State Examination.

Zadanie dla pierwszego ucznia:

Zadanie dla drugiego ucznia:

Pozostali uczniowie wykonują samodzielną pracę według następujących opcji:

opcja 1		Opcja 2
1.		1.
2.		2.
3.		3.
4.		4.
5.		5.

Pary wymieniają się rozwiązaniami i sprawdzają nawzajem swoje prace, sprawdzając odpowiedzi na slajdzie 3.

Brane są pod uwagę rozwiązania i odpowiedzi uczniów pracujących w tablicy.

Sprawdzanie zadania domowego nr 1904. Pokazano slajd 4.

3. Aktualizacja tematu lekcji, stworzenie sytuacji problemowej.

Nauczyciel prosi o zdefiniowanie funkcji wykładniczej i podanie własności funkcji y = 2 x. Wykresy funkcji wykładniczych przedstawiono w postaci gładkich linii, do których w każdym punkcie można poprowadzić styczną. Ale istnienie stycznej do wykresu funkcji w punkcie o odciętej x 0 jest równoważne jej różniczkowalności w x 0.

Dla wykresów funkcji y = 2 x i y = 3 x rysujemy do nich styczne w punkcie o odciętej 0. Kąty nachylenia tych stycznych do osi odciętych wynoszą w przybliżeniu odpowiednio 35° i 48° . Slajd 5.

Wniosek: jeśli podstawa funkcji wykładniczej A wzrasta od 2 do np. 10, wówczas kąt pomiędzy styczną do wykresu funkcji w punkcie x = 0 a osią x stopniowo rośnie od 35° do 66,5°. Logiczne jest założenie, że istnieje powód A, dla którego odpowiedni kąt wynosi 45

Udowodniono, że istnieje liczba większa od 2 i mniejsza od 3. Zwykle oznacza się ją literą mi. W matematyce ustalono, że liczba mi– irracjonalne, tj. reprezentuje nieskończony dziesiętny ułamek nieokresowy.

e = 2,7182818284590…

Uwaga (niezbyt poważna). Slajd 6.

Na kolejnym slajdzie 7 pojawiają się portrety wielkich matematyków – Johna Napiera, Leonharda Eulera i krótka informacja o nich.

• Rozważmy własności funkcji y=e x
• Dowód twierdzenia 1. Slajd 8.
• Dowód twierdzenia 2. Slajd 9.

4. Dynamiczna pauza lub relaks dla oczu.

(Pozycja wyjściowa – siedząca, każde ćwiczenie powtarzamy 3-4 razy):

1. Odchylając się do tyłu, weź głęboki oddech, a następnie pochylając się do przodu, wykonaj wydech.

2. Opierając się na krześle, zamknij powieki, zamknij mocno oczy, nie otwierając powiek.

3. Ramiona wzdłuż ciała, okrężne ruchy barków w przód i w tył.

5. Utrwalenie badanego materiału.

5.1 Rozwiązanie ćwiczeń nr 538, nr 540, nr 544c.

5.2 Samodzielne wykorzystanie wiedzy, umiejętności i zdolności. Praca weryfikacyjna w formie testu. Czas wykonania zadania – 5 minut.

Kryteria oceny:

„5” – 3 punkty

„4” – 2 punkty

„3” - 1 punkt

6. Podsumowanie wyników pracy na lekcji.

1. Odbicie.
2. Cieniowanie.
3. Przesyłanie zadań testowych.

7. Praca domowa: paragraf 41 (1, 2); nr 539 (a, b, d); 540 (c, d), 544 (a, b).

„Odcinek zamknięty” nr 1950, 2142.

Wykres funkcji wykładniczej jest zakrzywioną, gładką linią bez załamań, do której można poprowadzić styczną w każdym punkcie, przez który ona przechodzi. Logiczne jest założenie, że jeśli można narysować styczną, to funkcja będzie różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji.

Wyświetlmy kilka wykresów funkcji y = x a na tych samych osiach współrzędnych. Dla a = 2; a = 2,3; a = 3; a = 3,4.

W punkcie o współrzędnych (0;1). Kąty tych stycznych będą wynosić odpowiednio około 35, 40, 48 i 51 stopni. Logiczne jest założenie, że w przedziale od 2 do 3 znajduje się liczba, przy której kąt nachylenia stycznej będzie równy 45 stopni.

Podajmy precyzyjne sformułowanie tego stwierdzenia: istnieje liczba większa od 2 i mniejsza od 3, oznaczona literą e, taka, że ​​funkcja wykładnicza y = e x w punkcie 0 ma pochodną równą 1. Czyli: (e ∆x -1) / ∆x dąży do 1, gdy ∆x dąży do zera.

Ten numer mi jest niewymierny i jest zapisywany jako nieskończony nieokresowy ułamek dziesiętny:

e = 2,7182818284…

Ponieważ e jest dodatnie i niezerowe, istnieje logarytm o podstawie e. Ten logarytm nazywa się naturalny logarytm. Oznaczone przez ln(x) = log e (x).

Pochodna funkcji wykładniczej

Twierdzenie: Funkcja e x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, oraz (e x)’ = e x.

Funkcja wykładnicza a x jest różniczkowalna w każdym punkcie swojej dziedziny definicji, oraz (a x)’ = (a x)*ln(a).
Konsekwencją tego twierdzenia jest fakt, że funkcja wykładnicza jest ciągła w dowolnym punkcie swojej dziedziny definicji.

Przykład: znajdź pochodną funkcji y = 2 x.

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji wykładniczej otrzymujemy:

(2 x)’ = (2 x)*ln(2).

Odpowiedź: (2 x)*ln(2).

Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej

Dla funkcji wykładniczej a x określonej na zbiorze liczb rzeczywistych funkcją pierwotną będzie funkcja (a x)/(ln(a)).
ln(a) jest pewną stałą, wówczas (a x / ln(a))’= (1 / ln(a)) * (a x) * ln(a) = a x dla dowolnego x. Udowodniliśmy to twierdzenie.

Rozważmy przykład znalezienia funkcji pierwotnej funkcji wykładniczej.

Przykład: znajdź funkcję pierwotną funkcji f(x) = 5 x. Skorzystajmy ze wzoru podanego powyżej i zasad znajdowania funkcji pierwotnych. Otrzymujemy: F(x) = (5 x) / (ln(5)) +C.

Temat: Pochodna funkcji wykładniczej. Numer .

Cel dydaktyczny: stwórz wyobrażenie o liczbie e, udowodnij różniczkowalność funkcji W każdym punkcie , różniczkowanie funkcji . Podaj koncepcję naturalny logarytm.

Cel rozwojowy: rozwinąć umiejętność szybkiego i prawidłowego wykonywania obliczeń przy użyciu komputera osobistego.

Cel edukacyjny: nadal rozwijaj umiejętność prawidłowego postrzegania i aktywnego zapamiętywania Nowa informacja, To jest najważniejsza jakość przyszły specjalista.

Pomoce wizualne: plakaty.

Rozdawać: karty zadań do pracy indywidualnej. Wyposażenie: komputer nauczyciela, projektor multimedialny, ekran. Motywacja aktywność poznawcza studenci. Wyjaśnij ważną rolę logarytmu na lekcjach matematyki, a także w naukach ogólnotechnicznych i specjalnych, podkreślając znaczenie liczby e i logarytmu naturalnego.

Podczas zajęć.

I. Moment organizacyjny.

II. Wyjaśnienie nowego materiału.

1) Wykresy funkcji wykładniczych.

3) Liczba .

4) Obliczanie liczb .

5) Wzór na pochodną funkcji wykładniczej.

6) Oblicz logarytm naturalny za pomocąSMPrzewyższać.

7) Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej.

8) 3 znaczenie liczby .

III. Rozwiązywanie przykładów.

IV. Podsumowanie lekcji.

V. Praca domowa.

Wyjaśnienie. Wykresy funkcji wykładniczej przedstawiono w postaci gładkich linii (tj. bez załamań), do których w każdym punkcie można poprowadzić styczną. Ale istnienie stycznej do wykresu funkcji w punkcie z odciętą jest równoważne jego różniczkowalności w x 0 . Naturalnym jest zatem założenie, że jest ona różniczkowalna we wszystkich punktach dziedziny definicji. Narysujmy kilka wykresów funkcji y=a X dla y=2 X , y=Z X , y=2,З X (Załącznik nr 1)

Narysujmy do nich styczne w punkcie z odciętą . Styczne do wykresów są różne. Mierzymy kąty nachylenia każdej z nich do osi odciętych i upewniamy się, że kąty nachylenia tych stycznych wynoszą w przybliżeniu 35°...51°, tj. wraz ze wzrostem a współczynnik kątowy wykresu w punkcie M(0;1) stopniowo rośnie odtg35 dotg51.

Istnieje liczba większa od 2 i mniejsza od 3 taka, że ​​funkcja wykładnicza y = a X w punkcie 0 ma pochodną równą 1. Podstawę tej funkcji zwykle oznaczamy literą e. Liczba e jest niewymierna i dlatego jest zapisywana w postaci nieskończonej dziesiętny

e ≈ 2,7182818284…

Za pomocą komputera znaleziono ponad 2 tysiące miejsc po przecinku liczby e. Pierwsze liczby to 2,718288182459045 ~ 2,7.

Funkcjonować często nazywany wykładnikiem. Otrzymana liczba odgrywa ogromną rolę w wyższej matematyce, podobnie jak słynna liczba 3,14. Wzór na pochodną funkcji wykładniczej.

Twierdzenie 1. Funkcja .

Dowód. Znalezienie przyrostu funkcji

Na .

Z definicji pochodnej , tj. dla każdego .

Udowodnij to na własną rękę.

Przykład.

Podaję definicję: logarytm naturalny to logarytm o podstawie :

Twierdzenie 2. Funkcja wykładnicza jest różniczkowalna w każdym punkcie dziedziny definicji, oraz .

Przykłady. , . Znajdź pochodne funkcji.

Obliczanie logarytmu naturalnego za pomocąSMPrzewyższać.

Przykład. Przeanalizujmy funkcję dla zwiększania (malenia) i ekstremum oraz konstruowania jego wykresu.

Ponieważ dla każdego , to znak pokrywa się ze znakiem . Stąd NA , - wzrasta

NA , - maleje.

Do zbudowania wykresu używamy programuSMPrzewyższać.

Funkcja pierwotna funkcji wykładniczej.

Twierdzenie 3. Funkcja pierwotna funkcji NARjest funkcją . Dowód:

Przykłady:

A) ,

B) ,

V) , .

d) Oblicz pole figury, ograniczone liniami , , , .

Znaczenie e.

Wynikowa liczba odgrywa ogromną rolę w matematyce, fizyce, astronomii, biologii i innych naukach. Oto niektóre:

To jest wspaniałe

To bardzo pomaga

Wyjaśnij to sobie i mnie

Rok urodzenia Tołstoja L.N. 2.71828

Wzór Eulera.

Leonhard Euler (1707-1783) Znany matematyk XVIII wieku. Euler ustalił zależność siły tarcia od liczby obrotów liny wokół stosu.

, - siła, przeciwko której skierowany jest nasz wysiłek ; mi;

Współczynnik tarcia między liną a stosem, - kąt nawinięcia, tj. stosunek długości łuku pokonywanego przez linę do promienia tego łuku. W życiu codziennym, nawet o tym nie wiedząc, często korzystamy z dobrodziejstw, jakie ukazuje nam wzór Eulera.

Co to jest węzeł? Jest to sznurek nawinięty na rolkę. Jak większa liczba zwojów liny, tym większe tarcie. Zasada zwiększania tarcia jest taka, że ​​w miarę wzrostu liczby obrotów w postępie arytmetycznym tarcie rośnie w postępie geometrycznym.

Krawiec nieświadomie wykorzystuje tę samą okoliczność podczas przyszywania guzika. Owija nić wielokrotnie wokół obszaru materiału uchwyconego przez ścieg, a następnie ją zrywa, chyba że nić jest mocna, guzik nie odpadnie. Tutaj obowiązuje znana nam już zasada: wraz ze wzrostem liczby zwojów nici w postępie arytmetycznym siła szycia wzrasta w postępie geometrycznym. Gdyby nie było tarcia, nie moglibyśmy używać guzików: nitki rozrywałyby się pod ich ciężarem, a guziki odpadałyby. , -Ludwig Boltzmann (1844-1906), austriacki fizyk, który odkrył podstawowe prawo natury, które wyznacza kierunek wszystkich procesów fizycznych zmierzających do stanu równowagi jako najbardziej prawdopodobnego. -entropia, tj. miarę osiągnięć układ równowagi, -prawdopodobieństwo stanu systemu.

Podsumowanie lekcji. Praca domowa: nr 538, nr 542

Załącznik nr 1