Lekcja i prezentacja na temat: „Funkcja y=sin(x). Definicje i właściwości”
Dodatkowe materiały
Drodzy użytkownicy, nie zapomnijcie zostawić swoich komentarzy, recenzji i życzeń! Wszystkie materiały zostały sprawdzone programem antywirusowym.
Podręczniki i symulatory w sklepie internetowym Integral dla klasy 10 od 1C
Rozwiązujemy problemy z geometrii. Interaktywne zadania konstrukcyjne dla klas 7-10
Środowisko oprogramowania „1C: Konstruktor matematyczny 6.1”
Co będziemy studiować:
- Własności funkcji Y=sin(X).
- Wykres funkcji.
- Jak zbudować wykres i jego skalę.
- Przykłady.
Właściwości sinusa. Y=grzech(X)
Chłopaki, poznaliśmy już funkcje trygonometryczne argument numeryczny. Czy pamiętasz je?
Przyjrzyjmy się bliżej funkcji Y=sin(X)
Zapiszmy niektóre właściwości tej funkcji:
1) Dziedziną definicji jest zbiór liczb rzeczywistych.
2) Funkcja jest nieparzysta. Przypomnijmy sobie definicję funkcji nieparzystej. Funkcję nazywamy nieparzystą, jeśli zachodzi równość: y(-x)=-y(x). Jak pamiętamy ze wzorów duchów: sin(-x)=-sin(x). Definicja jest spełniona, co oznacza, że Y=sin(X) jest funkcją nieparzystą.
3) Funkcja Y=sin(X) rośnie na odcinku i maleje na odcinku [π/2; π]. Kiedy poruszamy się po pierwszej ćwiartce (w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara), rzędna rośnie, a kiedy przechodzimy przez drugą ćwiartkę, maleje.
4) Funkcja Y=sin(X) jest ograniczona od dołu i od góry. Własność ta wynika z faktu, że
-1 ≤ grzech(X) ≤ 1
5) Najmniejsza wartość funkcji to -1 (przy x = - π/2+ πk). Największą wartością funkcji jest 1 (przy x = π/2+ πk).
Użyjmy właściwości 1-5 do wykreślenia funkcji Y=sin(X). Nasz graf zbudujemy sekwencyjnie, stosując nasze właściwości. Zacznijmy budować wykres na segmencie.
Szczególną uwagę należy zwrócić na skalę. Na osi rzędnych wygodniej jest przyjąć odcinek jednostkowy równy 2 komórkom, a na osi odciętych wygodniej jest przyjąć odcinek jednostkowy (dwie komórki) równy π/3 (patrz rysunek).
Wykres funkcji sinus x, y=sin(x)
Obliczmy wartości funkcji w naszym segmencie:
Zbudujmy wykres wykorzystując nasze punkty, biorąc pod uwagę trzecią własność.
Tabela przeliczeniowa dla formuł widmowych
Skorzystajmy z drugiej własności, która mówi, że nasza funkcja jest nieparzysta, co oznacza, że może być odzwierciedlona symetrycznie względem początku:
Wiemy, że grzech(x+ 2π) = grzech(x). Oznacza to, że na przedziale [- π; π] wykres wygląda tak samo jak na odcinku [π; 3π] lub lub [-3π; - π] i tak dalej. Wszystko, co musimy zrobić, to ostrożnie przerysować wykres z poprzedniego rysunku wzdłuż całej osi x.
Wykres funkcji Y=sin(X) nazywamy sinusoidą.
Napiszmy jeszcze kilka właściwości zgodnie ze skonstruowanym wykresem:
6) Funkcja Y=sin(X) rośnie na dowolnym segmencie postaci: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k jest liczbą całkowitą i maleje na dowolnym segmencie postaci: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – liczba całkowita.
7) Funkcja Y=sin(X) – funkcja ciągła. Przyjrzyjmy się wykresowi funkcji i upewnijmy się, że nasza funkcja nie ma przerw, co oznacza ciągłość.
8) Zakres wartości: segment [- 1; 1]. Widać to również wyraźnie na wykresie funkcji.
9) Funkcja Y=sin(X) - funkcja okresowa. Spójrzmy jeszcze raz na wykres i zobaczmy, że funkcja przyjmuje te same wartości w określonych odstępach czasu.
Przykłady problemów z sinusem
1. Rozwiąż równanie sin(x)= x-π
Rozwiązanie: Zbudujmy 2 wykresy funkcji: y=sin(x) i y=x-π (patrz rysunek).
Nasze wykresy przecinają się w jednym punkcie A(π;0), oto odpowiedź: x = π
2. Narysuj wykres funkcji y=sin(π/6+x)-1
Rozwiązanie: Pożądany wykres otrzymamy przesuwając wykres funkcji y=sin(x) π/6 jednostek w lewo i 1 jednostkę w dół.
Rozwiązanie: Narysujmy funkcję i rozważmy nasz odcinek [π/2; 5π/4].
Z wykresu funkcji wynika, że największe i najmniejsze wartości osiągane są na końcach odcinka, odpowiednio w punktach π/2 i 5π/4.
Odpowiedź: grzech(π/2) = 1 – najwyższa wartość, grzech(5π/4) = najmniejsza wartość.
Problemy sinusoidalne do samodzielnego rozwiązania
- Rozwiąż równanie: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
- Naszkicuj funkcję y=sin(π/3+x)-2
- Naszkicuj funkcję y=sin(-2π/3+x)+1
- Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) w segmencie
- Znajdź największą i najmniejszą wartość funkcji y=sin(x) w przedziale [- π/3; 5π/6]
Jak wykreślić funkcję y=sin x? Najpierw spójrzmy na wykres sinusa na przedziale.
W notatniku bierzemy pojedynczy segment o długości 2 komórek. Na osi Oy zaznaczamy jeden.
Dla wygody zaokrąglamy liczbę π/2 do 1,5 (a nie do 1,6, jak wymagają tego zasady zaokrąglania). W tym przypadku odcinek o długości π/2 odpowiada 3 komórkom.
Na osi Ox zaznaczamy nie pojedyncze odcinki, ale odcinki o długości π/2 (co 3 komórki). Odpowiednio odcinek o długości π odpowiada 6 komórkom, a odcinek o długości π/6 odpowiada 1 komórce.
Przy takim wyborze segmentu jednostkowego wykres przedstawiony na kartce zeszytu w pudełku odpowiada w miarę możliwości wykresowi funkcji y=sin x.
Zróbmy tabelę wartości sinusów na przedziale:
Wynikowe punkty zaznaczamy na płaszczyźnie współrzędnych:
Ponieważ y=grzech x - dziwna funkcja, wykres sinusa jest symetryczny względem początku - punktu O(0;0). Biorąc ten fakt pod uwagę kontynuujmy rysowanie wykresu w lewo, a następnie punktów -π:
Funkcja y=sin x jest okresowa o okresie T=2π. Dlatego wykres funkcji przyjętej na przedziale [-π;π] powtarza się nieskończoną liczbę razy w prawo i w lewo.
Teraz przyjrzymy się pytaniu, jak wykreślić funkcje trygonometryczne wielu kątów ωx, Gdzie ω - jakaś liczba dodatnia.
Aby wykreślić funkcję y = grzech ωx Porównajmy tę funkcję z funkcją, którą już badaliśmy y = grzech x. Załóżmy, że kiedy x = x 0 funkcjonować y = grzech x przyjmuje wartość równą 0. Następnie
y 0 = grzech X 0 .
Przekształćmy tę relację w następujący sposób:
Dlatego funkcja y = grzech ωx Na X = X 0 / ω przyjmuje tę samą wartość Na 0 , co jest tym samym co funkcja y = grzech x Na x = X 0 . Oznacza to, że funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω razy częściej niż funkcja y = grzech x. Dlatego wykres funkcji y = grzech ωx uzyskany przez „kompresję” wykresu funkcji y = grzech x V ω razy wzdłuż osi x.
Na przykład wykres funkcji y = grzech 2x uzyskany poprzez „kompresję” sinusoidy y = grzech x dwukrotnie wzdłuż osi x.
Wykres funkcji y = grzech x / 2 uzyskuje się przez dwukrotne „rozciągnięcie” sinusoidy y = sin x (lub „ściśnięcie” jej przez 1 / 2 razy) wzdłuż osi x.
Ponieważ funkcja y = grzech ωx powtarza swoje znaczenie w ω
razy częściej niż funkcja
y = grzech x, to jest jego okres ω
razy krótszy niż okres funkcji y = grzech x. Na przykład okres funkcji y = grzech 2x równa się 2π/2 = π
i okres funkcji y = grzech x / 2
równa się π
/
X/ 2
= 4π .
Interesujące jest badanie zachowania funkcji y = topór grzechu na przykładzie animacji, którą w bardzo prosty sposób można stworzyć w programie Klon:
Wykresy innych funkcji trygonometrycznych wielu kątów są konstruowane w podobny sposób. Rysunek przedstawia wykres funkcji y = cos 2x, który uzyskuje się poprzez „kompresję” fali cosinus y = cos x dwukrotnie wzdłuż osi x.
Wykres funkcji y = cos x / 2 uzyskane poprzez „rozciągnięcie” fali cosinus y = cos x podwojona wzdłuż osi x.
Na rysunku widać wykres funkcji y = opalenizna 2x, uzyskany przez „ściskanie” stycznych y = opalenizna x dwukrotnie wzdłuż osi x.
Wykres funkcji y = tg X/ 2 , uzyskany przez „rozciągnięcie” stycznych y = opalenizna x podwojona wzdłuż osi x.
I na koniec animacja wykonywana przez program Klon:
Ćwiczenia
1. Zbuduj wykresy tych funkcji i wskaż współrzędne punktów przecięcia tych wykresów z osiami współrzędnych. Wyznacz okresy tych funkcji.
A). y = grzech 4x/ 3 G). y = opalony 5x/ 6 I). y = sałata 2x/ 3
B). y = sałata 5x/ 3 D). y = ctg 5x/ 3 H). y=ctg X/ 3
V). y = opalony 4x/ 3 mi). y = grzech 2x/ 3
2. Wyznaczanie okresów funkcji y = grzech (πх) I y = tg (πх/2).
3. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od -1 do +1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z okresem 10.
4 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości od 0 do 1 (w tym te dwie liczby) i zmieniają się okresowo z kropką π/2.
5. Podaj dwa przykłady funkcji, które przyjmują wszystkie wartości rzeczywiste i zmieniają się okresowo z okresem 1.
6 *. Podaj dwa przykłady funkcji, które akceptują wszystko wartości ujemne i zero, ale nie są akceptowane wartości dodatnie i zmieniać się okresowo z okresem 5.
„Wyższa Szkoła Technologii Usługowych Yoshkar-Ola”
Budowa i badanie wykresu funkcja trygonometryczna y=sinx w arkuszu kalkulacyjnymSM Przewyższać
/rozwój metodologiczny/
Joszkar – Ola
Temat. Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznejy = grzech w arkuszu kalkulacyjnym MS Excel
Typ lekcji– zintegrowane (zdobywanie nowej wiedzy)
Cele:
Cel dydaktyczny - zbadać zachowanie wykresów funkcji trygonometrycznychy= grzechw zależności od szans na użycie komputera
Edukacyjny:
1. Znajdź zmianę na wykresie funkcji trygonometrycznej y= grzech X w zależności od szans
2. Pokaż implementację technologia komputerowa w nauczaniu matematyki, integrując dwa przedmioty: algebrę i informatykę.
3. Rozwijanie umiejętności wykorzystania technologii komputerowej na lekcjach matematyki
4. Udoskonalić umiejętność badania funkcji i konstruowania ich wykresów
Edukacyjny:
1. Rozwijaj zainteresowanie poznawcze uczniów dyscyplin akademickich oraz umiejętność zastosowania swojej wiedzy w praktycznych sytuacjach
2. Rozwijaj umiejętność analizowania, porównywania, podkreślania najważniejszych rzeczy
3. Przyczyniać się do poprawy ogólnego poziomu rozwoju uczniów
Edukacja :
1. Wspieraj niezależność, dokładność i ciężką pracę
2. Pielęgnuj kulturę dialogu
Formy pracy na lekcji -łączny
Zaplecze i sprzęt dydaktyczny:
1. Komputery
2. Projektor multimedialny
4. Ulotki
5. Slajdy prezentacyjne
Podczas zajęć
I. Organizacja rozpoczęcia lekcji
· Powitanie uczniów i gości
· Nastrój na lekcję
II. Wyznaczanie celów i aktualizacja tematu
Badanie funkcji i zbudowanie jej wykresu zajmuje dużo czasu, trzeba wykonać wiele uciążliwych obliczeń, nie jest to wygodne, na ratunek przychodzi technologia komputerowa.
Dziś dowiemy się jak budować wykresy funkcji trygonometrycznych w środowisku arkusza kalkulacyjnego MS Excel 2007.
Temat naszej lekcji brzmi: „Budowa i badanie wykresu funkcji trygonometrycznej y= grzech w procesorze stołowym”
Z kursu algebry znamy schemat badania funkcji i konstruowania jej wykresu. Pamiętajmy, jak to zrobić.
Slajd 2
Schemat badania funkcji
1. Dziedzina funkcji (D(f))
2. Zakres funkcji E(f)
3. Wyznaczanie parytetu
4. Częstotliwość
5. Zera funkcji (y=0)
6. Przedziały znaku stałego (y>0, y<0)
7. Okresy monotonii
8. Ekstrema funkcji
III. Podstawowa asymilacja nowego materiału edukacyjnego
Otwórz MS Excel 2007.
Narysujmy funkcję y=sin X
Tworzenie wykresów w procesorze arkuszy kalkulacyjnychSM Przewyższać 2007
Narysujemy wykres tej funkcji na odcinku XЄ [-2π; 2π]
Wartości argumentu będziemy przyjmować etapami , aby wykres był dokładniejszy.
Ponieważ edytor pracuje z liczbami, przeliczmy radiany na liczby, wiedząc o tym P ≈ 3,14 . (tabela tłumaczeń w ulotce).
1. Znajdź wartość funkcji w punkcie x=-2P. W pozostałej części edytor automatycznie oblicza odpowiednie wartości funkcji.
2. Teraz mamy tabelę z wartościami argumentu i funkcji. Mając te dane, musimy wykreślić tę funkcję za pomocą Kreatora wykresów.
3. Aby zbudować wykres należy wybrać wymagany zakres danych, linie z wartościami argumentów i funkcji
4..jpg" szerokość="667" wysokość="236 src=">
Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 5)
Wniosek. Wykres funkcji w postaci y=sinx+k otrzymuje się z wykresu funkcji y=sinx stosując równoległe przesunięcie wzdłuż osi wzmacniacza operacyjnego o k jednostek
Jeżeli k > 0, wówczas wykres przesuwa się w górę o k jednostek
Jeśli k<0, то график смещается вниз на k единиц
Budowa i badanie funkcji formyy=k*sinx,k- konst
Zadanie 2. W pracy Arkusz 2 rysować wykresy funkcji w jednym układzie współrzędnych y= grzech y=2* grzech, y= * grzech, na przedziale (-2π; 2π) i obserwuj, jak zmienia się wygląd wykresu.
(Aby nie ustawiać na nowo wartości argumentu, skopiujmy istniejące wartości. Teraz należy ustawić formułę i zbudować wykres korzystając z wynikowej tabeli.)
Porównujemy powstałe wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 6)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image005_66.gif" szerokość="16" wysokość="41 src=">x , na przedziale (-2π; 2π) i obserwuj, jak zmienia się wygląd wykresu.
Porównujemy powstałe wykresy. Wspólnie ze studentami analizujemy zachowanie wykresu funkcji trygonometrycznej w zależności od współczynników. (slajd 8)
https://pandia.ru/text/78/510/images/image008_35.jpg" szerokość="649" wysokość="281 src=">
Wnioski zapisujemy w zeszycie (slajd 11)
Wniosek. Wykres funkcji w postaci y=sin(x+k) otrzymujemy z wykresu funkcji y=sinx stosując równoległe przesunięcie wzdłuż osi OX o k jednostek
Jeżeli k >1, to wykres przesuwa się w prawo wzdłuż osi OX
Jeśli 0 IV. Pierwotne utrwalenie zdobytej wiedzy Zróżnicowane karty z zadaniem skonstruowania i zbadania funkcji za pomocą wykresu Y=6*grzech(x) T=1-2
grzechX T=-
grzech(3x+)
1.
Domena 2.
Zakres wartości 3.
Parytet 4.
Okresowość 5.
Przedziały stałości znaku 6.
Lukimonotonia Funkcja wzrasta Funkcjonować maleje 7.
Ekstrema funkcji Minimum Maksymalny V. Organizacja pracy domowej Narysuj wykres funkcji y=-2*sinх+1, sprawdź i sprawdź poprawność konstrukcji w środowisku arkusza kalkulacyjnego Microsoftu Przewyższać. (slajd 12) VI. Odbicie